Tài liệu Luận văn thạc sĩ tích phân bochner

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------- HUỲNH VĂN HOÀI TÍCH PHÂN BOCHNER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------ HUỲNH VĂN HOÀI TÍCH PHÂN BOCHNER Ngành : Toán. Chuyên ngành : Toán giải tích. Mã số : 60 46 01. LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN ĐÌNH THANH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2012 Lời cảm ơn  Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cố PGS. TS. Đậu Thế Cấp, PGS. TS. Nguyễn Bích Huy. TS. Trần Đình Thanh đã tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học và quý thầy cô trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý kiến đóng góp quý báu giúp luận văn được hoàn chỉnh hơn. Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô làm việc tại phòng KHCN – SĐH đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn này. Huỳnh Văn Hoài MỤC LỤC MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU..................................................................................... 2 Chương 1: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE.................................. 3 1.1. σ- ĐẠI SỐ BOREL CỦA n : ........................................................ 3 1.2. ĐỘ ĐO LEBESGUE .......................................................................... 6 1.3. TÍCH PHÂN LEBESGUE ............................................................... 11 Chương 2: TÍCH PHÂN BOCHNER CỦA HÀM ĐƠN GIẢN ............. 15 2.1. HÀM ĐƠN GIẢN, HÀM ĐO ĐƯỢC : ........................................... 15 2.2. TÍCH PHÂN BOCHNER CỦA HÀM ĐƠN GIẢN:....................... 22 Chương 3: TÍCH PHÂN BOCHNER ...................................................... 25 3.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA : ...................................................................... 25 3.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA CÁC HÀM KHẢ TÍCH BOCHNER VÀ CỦA TÍCH PHÂN BOCHNER ............................................... 37 KẾT LUẬN ................................................................................................ 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 44 MỞ ĐẦU Tích phân là một khái niệm rất cơ bản trong giải tích toán học. Ngay từ những ngày đầu làm quen với giải tích toán học, chúng ta đã được làm quen với tích phân Riemann. Tích phân Riemann có nhiều mở rộng cho các hàm số xác định trên các tập hợp sau : tập hợp trong không gian nhiều chiều, các đường cong và mặt cong được tham số hóa tương đối tốt. Tuy nhiên, để định một tích phân trên các mặt cong không thể tham số hóa toàn cục, chúng ta cần một lý thuyết tích phân tổng quát hơn. Đầu thế kỷ XX, Lebesgue và một số nhà toán học đã phát triển vấn đề này. Họ tách và kết hợp vấn đề đo đạc các tập hợp với vấn đề tích phân của các hàm số. Trong luận văn này, người thực hiện muốn giới thiệu một trong những tích phân được xây dựng trên không gian Banach, đó là tích phân Bochner. Điều đặc biệt là những kết quả mà ta đã biết trong tích phân Lebesgue đều thích ứng trong tích phân Bochner. Trong luận văn này, ở Chương 1 nhắc lại khái niệm và các tính chất của độ đo Lebesgue, tích phân Lebesgue. Chương 2, luận văn giới thiệu hàm đơn giản và hàm đo được theo nghĩa Bochner. Từ đó, định nghĩa tích phân Bochner của hàm đơn giản. Chương 3, luận văn giới thiệu tích phân Bochner của hàm đo được; các tính chất của hàm khả tích Bochner và của tích phân Bochner. MỘT SỐ KÝ HIỆU (Sử dụng ở chương 2 và chương 3) •= I • [ a1 ,b1 ] × . . . × [ am ,bm ] ⊂ X là không gian Banach với chuẩn ⋅ • B( X ) = {x ∈ X ; x •  m là compact với độ đo Lebesgue µ . X X . ≤ 1} là quả cầu đơn vị trong không gian Banach X. X * là không gian đối ngẫu của X . Chương 1 ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE 1.1. σ- ĐẠI SỐ BOREL CỦA  n : Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng. Một σ- đại số các tập con của X (hoặc σ- đại số trên X ) là một họ khác rỗng  ⊂  ( X ) (tập các tập con của X ) đóng với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù, tức là : i) {E } ∞ j 1 ∞ E ⊂  thì j ∈ ; 1 ii) E ∈  thì E C ∈  . Nhận xét 1.1.2: a)= Ej (UE ) C C j ∈; j b) ∅ = Ε ∩ ΕC ∈ ; c) X =E ∪ E C ∈  ; d) Một hợp các phần tử của σ-đại số đều có thể thay bởi hợp rời. Thật vậy, nếu { E j } ⊂  thì đặt : 1 ∞  k −1   k −1  F= Ek \   E j= k  Ek ∩   E j   1   1  C Khi đó dãy {Fk } ⊂  các tập rời nhau và ∞ ∞ E = F j 1 k 1 Định nghĩa 1.1.3: Cho ξ là một họ các tập con của X . σ-đại số (ξ) giao của tất cả các σ-đại số chứa ξ. σ-đại số (ξ) gọi là σ-đại số sinh bởi ξ. Định nghĩa 1.1.4: Cho X là một không gian mêtric hoặc tôpô. Ta gọi σ-đại số Borel trên X là σ-đại số sinh bởi họ các tập con mở của X , kí hiệu là X . Mỗi phần tử thuộc X gọi là một tập Borel. Nhận xét 1.1.5:  được sinh bởi một trong các họ tập con sau đây của  : a) Họ các khoảng = mở ξ1 {(a, b) | a < b} b) Họ các khoảng đóng = ξ2 {[a, b] | a < b} c) Họ các khoảng nửa mở = ξ3 hoặc = ξ4 {(a, b] | a < b} {[a, b) | a < b} {(a, ∞) | a ∈ } d) Họ các nửa đường thẳng mở ξ= 5 hoặc ξ6= {(−∞; a) | a ∈ } e) Họ các nửa đường thẳng đóng ξ7= hoặc ξ8= {[a, ∞) | a ∈ } {(−∞; a] | a ∈ } Định nghĩa 1.1.5: Cho { X α }α∈I là một họ các tập khác rỗng, X = ∏ X α và α∈I πα : X → X α là ánh xạ tọa độ thứ α. Với mỗi α, cho α là σ-đại số trên Xα . Ta gọi σ- đại số tích của các σ-đại số trên α là σ- đại số trên X sinh bởi họ tập. {π −1 α ( Eα ) | Eα ∈ α , α ∈ I } Ta kí hiệu σ-đại số này là ⊗ α , nếu I = {1, ... , n} thì ta kí hiệu là α∈I n ⊗ . j 1 Định lí 1.1.6: Nếu I là tập đếm được thì ⊗ α là σ-đại số sinh bởi họ tập α∈I   ∏ Eα | Eα ∈ α  .  α∈I  Định lí 1.1.7: ⊗ Cho α sinh bởi ξα , α ∈ I . Khi đó 1 = {π ⊗ α α∈I −1 α α∈I α được sinh bởi ( Eα ) | Eα ∈ ξα , α ∈ I } . Nếu I đếm được và X α ∈ ξα với mọi α thì   được sinh bởi 2 ∏ Eα | Eα ∈ ξα  . =  α∈I  Định lý 1.1.8: n Cho X 1 , ..., X n là các không gian mêtric và X = ∏ X j là không 1 gian mêtric tích. Khi đó n ⊗ Xj ⊂ X . Nếu tất cả các không gian X j khả li 1 n thì ⊗ Xj = X . 1 Ta gọi một gian trong  n là một tập dạng G1 × ... × Gn , trong đó G j là khoảng mở, khoảng đóng hoặc khoảng nửa mở trong  . Từ nhận xét n 1.1.5, định lí 1.1.7 và định lí 1.1.8 ta có n = ⊗ và n là σ-đại số 1 được sinh bởi các gian trong  n . 1.2. ĐỘ ĐO LEBESGUE Định nghĩa 1.2.1: Giả sử  là một σ-đại số những tập hợp con của tập hợp X . Hàm µ :  → [0, ∞] gọi là một độ đo nếu : 1) µ(∅) =0 2) µ là σ- cộng tính, tức là nếu A1 , A2 ,... là một họ đếm được những tập hợp đôi một rời nhau thuộc  thì : ∞  ∞ µ   An  = ∑ µ( An )  n=1  n=1 Bộ ba ( X , , µ) trong đó  là một σ-đại số tập hợp con của tập hợp X , µ :  → [0; ∞] là một độ đo, gọi là một không gian độ đo. Nếu A∈  thì số µ( A) gọi là độ đo của tập hợp A . Độ đo µ gọi là ∞ hữu hạn nếu µ( X ) < ∞ . Độ đo µ gọi là σ- hữu hạn nếu X =  X n , n =1 X n ∈  , µ( X n ) < ∞ , ∀n ∈ N . Hiển nhiên độ đo hữu hạn là σ-hữu hạn. Định nghĩa 1.2.2: Độ đo µ gọi là đủ nếu mỗi tập hợp con của một tập có độ đo không đều là một tập hợp đo được. Nếu µ là độ đo không đủ thì bao giờ cũng có thể thác triển nó thành một độ đo đủ. Định nghĩa 1.2.3: Gọi  ( R) là σ-đại số Borel của không gian  , µ :  () → [0; ∞] là độ đo Borel trong  . Bổ sung Lebesgue  của  () gọi là σ-đại số Lebesgue của không gian  , độ đo thác triển Lebesgue  :  → [0; ∞] của µ gọi là độ đo Lebesgue trong không gian  . Mỗi tập hợp thuộc  gọi là một tập hợp đo được theo nghĩa Legesgue, gọi tắt là đo được (L). Như vậy: 1) σ-đại số  của  là họ tất cả các tập hợp A ⊂  có dạng : A= B ∪ C (1) trong đó B là một tập hợp Borel trong  và C là một tập hợp con 0. của một tập hợp Borel D có độ đo µ( D) = 2) Độ đo Lebesgue  :  → [0; ∞] được xác định như sau: Nếu A là tập hợp có dạng (1) thì  ( A) = µ( A) ;  là một độ đo đủ. Định nghĩa 1.2.4: (định nghĩa các phép tính). Ta bổ sung vào tập hợp các số thực  hai phần tử –∞ và ∞. Tập =  ∪ {−∞} ∪ {∞} gọi là tập hợp các số thực mở rộng. Thứ tự các phép tính cộng, nhân, chia với hai phần tử −∞ và ∞ được quy định như sau : 1) −∞ < a < ∞, ∀a ∈  2) a + ∞ = ∞ + a = ∞ , với −∞ < a ≤ ∞ 3) a + (−∞) = −∞ + a = −∞ , với −∞ ≤ a < ∞ 4) a . ∞ = ∞ . a = ∞ ; a (−∞) = (−∞)a = −∞ , với a > 0 5) a . ∞ = ∞ . a = −∞ ; a (−∞) = (−∞)a = ∞ , với a < 0 6) 0 . (±∞) = (±∞) . 0 = 0 7) a = 0 , với a ∈  ±∞ 8) ∞ = −∞ =∞ Các kí hiệu ∞ − ∞ , ∞ + (−∞) , −∞ − (−∞) , ±∞ a , với mọi a ∈  là ±∞ 0 không có nghĩa. Hàm số f : X →  gọi là hữu hạn (trên X ) nếu f ( X ) ⊂  . Định nghĩa 1.2.5: Cho một không gian đo được ( X , ) và A∈  . Hàm số f : A →  gọi là đo được trên tập hợp A nếu với mỗi a ∈  , tập hợp { x ∈ A : f ( x) < a} ⊂  . Định lý 1.2.6: Giả sử A là một tập hợp đo được, khi đó bốn điều kiện sau tương đương : 1) f đo được trên A . 2) Với mọi a ∈ , { x ∈ A : f ( x) ≥ a} là đo được. 3) Với mọi a ∈ , { x ∈ A : f ( x) > a} là đo được. 4) Với mọi a ∈ , { x ∈ A : f ( x) ≤ a} là đo được. Định lý 1.2.7: Giả sử ( X , ) là một không gian đo được và A∈  . Khi đó : a/ Nếu f là một hàm số đo được trên A và c ∈  thì cf cũng là một hàm số đo được trên A . b/ Tổng của hai hàm số đo được hữu hạn trên A là một hàm đo được trên A . c/ Tích của hai hàm số đo được hữu hạn trên A là một hàm số đo được trên A . Nếu f là hàm số đo được hữu hạn trên A và α là một số dương thì f α là một hàm số đo được trên A ; nếu f ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ A thì 1 là f một hàm đo được trên A . d) f và g là hai hàm số đo được trên A thì max ( f , g ) và min( f , g ) là những hàm số đo được trên A . e) Nếu { f n } là một dãy hàm số đo được trên A thì sup f n , inf f n , n n limsup f n , liminf f n là những hàm số đo được trên A . Đặc biệt, nếu dãy n→∞ n→∞ hàm số { f n } hội tụ trên A thì lim f n là một hàm số đo được trên A . n→∞ f) Nếu f và g là hai hàm số đo được trên A thì các tập g ( x)} đều { x ∈ A : f ( x) < g ( x)} , { x ∈ A : f ( x) ≤ g ( x)} , { x ∈ A : f ( x) = thuộc  . Hệ quả 1.2.8: Nếu f là một hàm số đo được trên một tập hợp A thì các hàm số :  f ( x) neáu f + ( x) =  neáu  0 f ( x) ≥ 0 neáu  0 f − ( x) =  − f ( x) neáu f ( x) ≥ 0 f ( x) < 0 f ( x) < 0 là những hàm số đo được trên A . f f++ f− f + và f − là những hàm số không âm, = f f + − f − và = Định nghĩa 1.2.9: Giả sử A là một tập hợp con của một không gian X . Hàm số  A xác định trên X bởi công thức ; 1 neáu x ∈ A  A ( x) =  0 neáu x ∉ A gọi là hàm đặc trưng của tập hợp A . Hàm số s : X → [0; ∞] xác định trên một tập hợp X và lấy một số hữu hạn giá trị hữu hạn không âm gọi là một hàm số đơn giản trên X . Giả sử α1 , ... , α n là các giá trị khác nhau của hàm số đơn giản s trên X . Đặt : Ai = αi } , i = 1,2,..., n { x ∈ X ; s ( x) = Các tập hợp Ai đôi một rời nhau và s ( x= ) n ∑α  i =1 i Ai ( x) , x ∈ X . Định lý 1.2.10 : Giả sử ( X , ) là một không gian đo được, A∈  . a) Hàm đặc trưng  E của một tập hợp E ⊂ A là đo được trên A khi và chỉ khi E ∈ . n n ∑α  s b) Hàm đơn giản trên A , = i =1 i Ai , (  A=i A, αi đôi một khác i =1 nhau, các tập Ai đôi một rời nhau) là đo được trên A khi và chỉ khi các tập hợp A1 , ..., An đều thuộc  . Định lý 1.2.11: Mỗi hàm số đo được không âm trên một tập hợp A đều là giới hạn của một dãy đơn điệu tăng những hàm đơn giản đo được trên A . Định lý 1.2.12: Giả sử ( X , , µ) là một không gian độ đo, A∈  . a) Nếu f ~ g (trên A ) và dãy hàm { f n } hội tụ h.k.n đến f trên A thì { f n } hội tụ h.k.n đến g trên A. b) Nếu { f n } hội tụ h.k.n đến f và { f n } hội tụ h.k.n đến g trên A thì f ~ g (trên A ). Định nghĩa 1.2.13: Giả sử ( X , , µ) là một không gian độ đo, A∈  và f , f1 , f 2 ,... là những hàm số đo được hữu hạn h.k.n trên A . Dãy { fn} gọi là hội tụ theo µ độ đo đến hàm số f và kí hiệu là f n  → f trên A , nếu với mỗi ε > 0 , ta đều có : lim µ ({x ∈ A : f n ( x) − f ( x) ≥ ε ) =0 n→∞ Định lý 1.2.14: a) Nếu f và g là hai hàm số đo được tương đương trên một tập hợp A và dãy hàm số { fn} { f n } hội tụ theo độ đo đến hội tụ theo độ đo đến hàm số f trên A thì g trên A . µ µ b) Nếu f n  → f và f n  → g trên A thì f ~ g trên A . Định lý 1.2.15: { fn} Nếu dãy hàm số đo được hữu hạn h.k.n, hội tụ h.k.n. đến một hàm số f đo được hữu hạn h.k.n trên một tập hợp A có độ đo hữu hạn thì dãy { f n } hội tụ theo độ đo đến f trên A . Định lý 1.2.16: Mỗi dãy hàm số { f n } hội tụ theo độ đo đến một hàm số f trên một tập hợp A đều có một dãy con hội tụ h.k.n đến f trên A . 1.3. TÍCH PHÂN LEBESGUE Định nghĩa 1.3.1: s Giả sử ( X , , µ) là một không gian độ đo, A∈  và = m ∑α  i =1 i Ai là một hàm đơn giản đo được trên tập hợp A . m Số ∑ α µ( A ) i i =1 i gọi là tích phân của hàm đơn giản đo được s trên tập hợp A đối với độ đo µ , kí hiệu là ∫ sdµ hoặc ∫ s ( x)d µ( x) . A A ∫ sdµ là một số không âm hữu hạn hoặc vô hạn. A Định lý 1.3.2: Giả sử s và t là những hàm số đơn giản đo được trên một tập hợp A . Khi đó: = µ c ∫ sd µ , c ∈  , c ≥ 0 . a) ∫ csd A A µ b) ∫ ( s + t )d= A ∫ sd µ + ∫ td µ A A c) Nếu s ≤ t thì ∫ sd µ ≤ ∫ td µ A A d) {sn } là một dãy đơn điệu tăng những hàm đơn giản hội tụ đến hàm đơn giản s trên A thì : µ lim ∫ sn d= n→∞ ∫ sd µ A A Định lý 1.3.3: Giả sử {sn } và {tn } là hai dãy đơn điện tăng những hàm đơn giản đo được trên một tập hợp A và lim sn ( x) = lim tn ( x) với mọi x ∈ A . n→∞ Khi đó : n→∞ lim ∫= sn d µ lim ∫ tn d µ n→∞ A n→∞ A Định nghĩa 1.3.4: Giả sử f là một hàm số đo được không âm trên một tập hợp A . Khi đó, tồn tại một dãy đơn điện tăng {sn } những hàm đơn giản đo được trên A hội tụ đến f . Số lim ∫ sn d µ n→∞ A gọi là tích phân của hàm số đo được không âm f trên tập hợp A đối với độ đo µ , kí hiệu là ∫ fdµ hoặc ∫ f ( x)d µ( x) . A A Định nghĩa 1.3.5: Giả sử f : A →  là một hàm số đo được bất kì trên tập hợp A . Nếu một trong hai tích phân ∫f + d µ và A ∫f A + ∫f − d µ hữu hạn thì hiệu A d µ − ∫ f − d µ được gọi là tích phân của hàm số f trên tập hợp A đối A với độ đo µ , kí hiệu là ∫ fdµ hoặc ∫ f ( x)d µ( x) A A ∫ fdµ hữu hạn thì Nếu f gọi là một hàm khả tích trên A . A Định lý 1.3.6: Nếu f là một hàm số đo được trên một tập hợp A và µ( A) = 0 thì : ∫ fdµ =0 A Định lý 1.3.7: Giả sử f , g là hai hàm số đo được trên A , c ∈  . Khi đó : a) µ c ∫ fd µ ∫ cfd= A A b) Nếu f ≤ g thì ∫ fd µ ≤ ∫ gd µ A A Định lý 1.3.8: Giả sử A và B là hai tập hợp đo được không giao nhau và f là một hàm số đo được trên A ∪ B . Nếu ∫ fdu tồn tại thì hai tích phân A∪ B ∫ fdµ và A ∫ fdµ cũng tồn tại, và B ∫ fd= µ A∪ B ∫ fd µ + ∫ fd µ A (1) B Đảo lại, nếu tổng ở vế phải của (1) có nghĩa thì ∫ fd µ tồn tại và ta A∪ B có đẳng thức (1) Định lý 1.3.9: Nếu f ≤ g h.k.n trên một tập hợp A , f đo được, g khả tích trên A thì f khả tích trên A . Định lý 1.3.10: (Đính lý Lebesgue về hội tụ đơn điệu đối với một dãy hàm số đo được không âm) Nếu { f n } là một dãy đơn điệu tăng những hàm số đo được không âm trên một tập hợp A thì : f dµ ∫ lim= A n→∞ lim ∫ f n d µ n n→∞ A Định lý 1.3.11: (Định lý Lebesgue về hội tụ đơn điệu) Nếu { fn} là một dãy đơn điệu tăng (giảm những hàm số đo được trên một tập hợp A và ∫ f dµ ≠ −∞ (hoặc ∫ f dµ ≠ +∞ ) thì : 1 1 A f dµ ∫ lim= A n→∞ A lim ∫ f n d µ n n→∞ (1) A Đặc biệt, có đẳng thức (1) khi { f n } là một dãy đơn điệu những hàm số đo được và f1 là hàm số khả tích. Định lý 1.3.12: (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu { fn} là một dãy hàm số đo được hội tụ hầu khắp nơi đến một hàm f đo được trên A và f n ≤ g h.k.n trên A với mọi n , trong đó g là một hàm số khả tích trên A thì lim n→∞ ∫ n→∞ µ f n d= ∫ fd µ A Chương 2 TÍCH PHÂN BOCHNER CỦA HÀM ĐƠN GIẢN 2.1. HÀM ĐƠN GIẢN, HÀM ĐO ĐƯỢC : Định nghĩa 2.1.1. Một hàm số f : I → X được gọi là đơn giản nếu có một dãy hữu hạn Em ⊂ I , m = 1 , ..., p các tập đo được sao cho Em ∩ En = ∅ nếu m ≠ n . p và I =  Em , m =1 f (t= ) ym ∈ X với t ∈ Em , m = 1 , ..., p . Hay : f ( t ) = p ∑ ym χ E ( t ) , m=1 m t∈I  là tập tất cả các hàm đơn giản được định nghĩa Kí hiệu  (µ, X ) = trên I. Rõ ràng,  là một không gian tuyến tính và f là một hàm đơn giản thì f : I →  cũng là hàm đơn giản. Định nghĩa 2.1.2 Một hàm số f : I → X được gọi là đo được nếu tồn tại một dãy ( fn ) , f n ∈  , n ∈  với lim f n (t ) − f (t ) n→∞ X = 0 hầu khắp nơi trên I . Rõ ràng, nếu f là hàm đơn giản thì f đo được. Định lý 2.1.3.: Nếu f : I → X là đo được thì hàm thực f X : I →  là đo được. Chứng minh: Cho ( fn ) , n ∈  là dãy hàm đơn giản hội tụ về f . Khi đó f n X là hàm thực đơn giản với mọi n ∈  . Vì : f n (t ) X − f (t ) Nên lim f n (t ) n→∞ Vậy : f X X X ≤ f n (t ) − f (t ) X , t ∈ I = f (t ) X h.k.n trên I là đo được. Nhận xét : Trong trường hợp X =  , f : I →  là đo được nếu và chỉ nếu với mọi a ∈  hữu hạn, tập {t ∈ I : f (t ) > a} (hoặc {t ∈ I : f (t ) ≥ a , {t ∈ I : f (t ) < a}, {t ∈ I : f (t ) ≤ a} ) là đo được. Định nghĩa 2.1.4: Hàm f : I → X được gọi là đo được yếu nếu với mỗi x* ∈ X * , hàm thực x* ( ƒ ) : I →  là đo được. Bổ đề 2.1.5: Giả xử X là không gian Banach tách được thì có một dãy {x * m ∈ B( X * ); m ∈  } sao cho với mọi x* ∈ B( X * ) tồn tại dãy con {x ; k ∈ } của {x*m} sao cho lim x ( x) = x ( x) với mọi x ∈ X . * k k →∞ * k * Chứng minh: Giả sử { xn ∈ X ; n ∈ } là một dãy trù mật trong không gian tách được X . Với n ∈  , xét ánh xạ : x* ∈ B= ( X * ) → ϕn ( x* ) {x ( x ),..., x ( x )} ∈  * * 1 n n . Không gian  n với chuẩn Euclide là tách được, do đó với mỗi n ∈  cố định, có một dãy { xn*,k ∈ B( X * ); k ∈ } sao cho tập {ϕn ( xn*,k ); k ∈ } là trù mật trong ϕn ( B( X * ) ) ⊂  n của quả cầu đơn vị B( X * ) .