Luận văn thạc sĩ phương trình nghiệm nguyên và giả thiết catala

  • Số trang: 58 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 75 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ GIẢ THIẾT CATALA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ GIẢ THIẾT CATALA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 36 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2013 1 Mục lục 0.1 Tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 GIẢ THUYẾT CATALAN: MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE ĐƯỢC GIẢI 6 1.1 Lịch sử nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Cassels và trường hợp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Bài toán có thể giải bằng máy tính? . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Cặp Wieferich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Các "cái triệt tiêu"(Annihilator)- Nhân tố quan trọng . . . 12 1.6 Các cái triệt tiêu đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7 Phác thảo chứng minh giả thuyết Catalan . . . . . . . . . . 16 1.8 Định lý của Mihăilescu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.9 Xét lại các cái triệt tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.10 Mâu thuẫn cuối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.11 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 LŨY THỪA HOÀN THIỆN - CÁC CÔNG TRÌNH CỦA PILLAI VÀ NHỮNG PHÁT TRIỂN CỦA NÓ 2.1 Những đóng góp của Pillai cho các vấn đề Diophantine . . . 2.1.1 Các kết quả của Pillai trên các vấn đề Diophantine . 2.1.2 Giả thuyết của Pillai trên dãy các lũy thừa hoàn thiện 2.2 Giả thuyết Pillai và các bài toán mở hơn . . . . . . . . . . 2.2.1 Phương trình Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Các lũy thừa hoàn thiện (tiếp theo) . . . . . . . . . 2.3 Sự làm mịn định lượng (Quantitative refinement) của giả thuyết Pillai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Giả thuyết abc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Kết nối với bài toán Waring . . . . . . . . . . . . . 2 22 22 23 25 27 27 30 36 38 40 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 3 MỞ ĐẦU 0.1 Tóm tắt Giả thuyết Catalan trong lý thuyết số một trong những vấn đề toán học rất dễ xây dựng, nhưng rất khó để giải. Dự đoán rằng 8 và 9 là các lũy thừa hoàn thiện liên tiếp. Nói cách khác, phương trình Diophantine xu − y v = 1 (x > 0, y > 0, u > 1, v > 1) (1) không có nghiệm nào khác ngoài xu = 32 , y v = 23 . Giả thuyết này được công bố trên tạp trí Journal fur die Reine und Ange- wandte Mathematik bởi nhà toán học Bỉ Eugène Catalan (18141894). Bài báo được xuất bản năm 1944 ([4]. Trong thời gian Catalan giảng dạy tại trường đại học Pari ông thành công trong việc giải một số bài toán tổ hợp. Thuật ngữ số Catalan vẫn được sử dụng và trính dẫn trong các vấn đề đó. Đối với phương trình (1) Catalan đã viết Cho đến nay không thể chứng minh hoàn thiện. Ông cũng chưa bào giờ công bố bất kì kết quả riêng quan trọng nào về vấn đề này. Giả thuyết trở thành thách thức của toán học và sớm thu được một số trường hợp riêng, tuy nhiên trong suốt 100 năm tất các các kết quả thu được đều không mang tính bản chất và quan trọng. Tiếp đó vào cuối những năm 1950 đồng thời xuất hiện một số ý tưởng đáng kể. Sau đó đến năm 1970, việc nghiên cứu được điện tử hóa bằng một kết quả đưa bài toán tới việc tính toán hữu hạn. Tuy nhiên, khối lượng tính toán là rất lớn để có tính khả thi. Từ đó, hướng chính của việc nghiên cứu là các nỗ lực để giảm bới khối lượng tính toán. 4 Năm 2002, nhà toán học Preda Mihăilescu,người chưa được biết đến trong lĩnh vực này đã chứng minh hoàn thiện Giả thuyết. Điều ngạc nhiên là trong chứng minh của ông sử dụng rất ít đến máy tính, ông sử dụng các lý thuyết sâu sắc, đặc biệt các lý thuyết trong lĩnh vực chia đường tròn. Preda Mihăilescu sinh năm 1955 tại Romani, ông học toán tại ETH Zuric. Ông đã từng làm việc trong ngành công nghệ máy tính và tài chính, nhưng hiện tại ông đang nghiên cứu toán tại đại học Paderborn - Đức. Bài báo này mô tả một cách ngắn gọn những điểm mốc quan trọng trong lịch sử của bài toán Catalan và giải pháp tuyệt vời của Mihăilescu. Dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận văn không tránh khỏi thiếu sót nhất định, em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 20 tháng 3 năm 2013 Người thực hiện Lương Thị Hằng 5 Chương 1 GIẢ THUYẾT CATALAN: MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE ĐƯỢC GIẢI 1.1 Lịch sử nghiên cứu Khoảng 100 năm trước khi Catalan gửi thư cho Crelle, Euler đã chứng minh rằng chỉ có 8 và 9 là các số nguyên liên tiếp giữa các lũy thừa bậc hai và bậc ba, đó là nghiệm duy nhất của phương trình x3 − y 2 = ±1 (x > 0, y > 0) (1.1) Phương trình (1) là nền tảng để xét các trường hợp đặc biệt (1.1) được giải bằng phương pháp số đại số. Cho (x, y) là một nghiệm, trước hết ta xét phương trình x3 − y 2 = 1. Ta viết phương trình trong vành các số nguyên Gause Z[i]. x3 = (y + 1)(y − 1) (1.2) Do Z[i] là vành nhân tử duy nhất nên ta có thể xét ước chung lớn nhất của các phần tử của nó. Gọi d là ước chung lớn nhất của y + i và y − i, từ các phương trình y + i = dλ, y − y = dµ ta có d|2. Từ (2.6) suy ra d chia hết x và x phải là số lẻ. Từ đó y ≡ 0 hoặc 1( mod 4). Suy ra d là đơn vị. Do đó d = ±1; ±i. Ta có y + i = d(a + bi)3 , a, b ∈ Z. Tuy nhiên d là lũy thừa bậc ba trong Z[i] nên có thể bỏ đi. Từ phần thực và phần ảo của phương trình y + i = (a + bi)3 ta tìm được y = 0 và (x = 1). Điều này mâu thuẫn. Do đó phương trình không có nghiệm. 6 Đối với phương trình x3 − y 2 = 1, ta viết phương trình dưới dạng x3 = (y + 1)(y − 1) Ước chung lớn nhất của (y +1 và (y −1) là 1 hoặc 2. Trong trường hợp thứ nhất, ta thấy rằng 2 sẽ là hiệu của hai lũy thừa bậc ba, điều này không thể xảy ra. Trong trường hợp thứ hai, sẽ dẫn đến phương trình a3 − 2b3 = ±1 √ Do đó a − bα với α = 3 2 là đơn vị trong Z[α] vành các số nguyên trong trường các số thực Q(α). Các đơn vị của vành này là các lũy thừa của đơn vị 1 + α + α2 . Từ đó, ta tìm được |a − bα| là lũy thừa bậc 0 nên α = ±1, b = 0. Do đó phương trình ban đầu có nghiệm x = 2, y = 3. Để chứng minh giả thuyết Catalan ta xét phương trình xp − y q = 1 (x > 0, y > 0) (1.3) với p, q là các số nguyên tố. Năm 1985, V.A. Lebesgue [?] giải được trường hợp q = 2. Sử dụng đại số các số nguyên Gause, ta viết phương trình dưới dạng tương tự phương trình (2.6). Ước chung lớn nhất của y + i và y − i là đơn vị. Do đó ta có hai phương trình y + i = is (a + bi)p , y + i = (−i)s (a − bi)p trong đó s ∈ {0, 1, 2, 3}. Từ đó y được loại bỏ và các phương trình này dẫn đến mâu thuẫn, do đó phương trình xp − y 2 = 1 không có nghiệm. Đối với trường hợp p = 2 trong phương trình (2.7), năm 1961 có một 9 kết quả chứng minh phương trình x2 − y q = 1 có nghiệm với x > 103.10 . Nhà toán học Chaoko người Trung Quốc cho rằng phương trình này không giải được trong công đồng Toán học. Chứng minh được công bố trên tạp chí Scientia Simica [15]. Năm 1976, E.Z Chein [5] công bố một chứng minh rất khéo léo dựa trên kết quả của T.Nagell [22] cho rằng nghiệm (x, y) phải thỏa mãn 2|y và q|x. Xét phương trình có dạng (x + 1)(x − 1) = y q 7 Chein kết luận rằng ước chung lớn nhất của (x + 1) và (x − 1) là 2. Do đó có các số nguyên tố cùng nhau a và b, với a lẻ thỏa mãn phương trình (x + 1) = 2aq , x − 1 = 2q−1 bq (1.4) hay nói cách khác, các phương trình tương tự với x + 1 và x − 1 hoán vị được. Nếu q > 3 thì (2.8) dẫn đến điều kiện (ha)2 + b2 = (a2 − b)2 trong đó h2 = a − 2b và các phương trình thay thế mang lại điều kiện tương tự. Đây là hai phương trình kiểu Pitago và do đó giải được. Từ đó suy ra x và y không tồn tại với q > 3. Chi tiết về cách giải trên có thể xem trong cuốn chuyên khảo của Paulo Ribenboim. Trong cuốn sách trình bày toàn diện lịch sử của giả thuyết Catalan cho đến năm 1994. 1.2 Cassels và trường hợp 1 Từ mục này để thuận tiện chúng ta xét phương trình Catalan đưới dạng xp − y q = 1(xy 6= 0, p, q là các số nguyên tố lẻ khác nhau.) (1.5) Ta viết lại phương trình dưới dạng xp − 1 (x − 1) = yq x−1 Bằng cách đồng nhất xp = ((x − 1) + 1)p ta dễ thấy ước chung lớn nhất p −1 của (x − 1) và xx−1 là 1 hoặc p. Một tình huống tương tự xảy ra khi nghiên cứu phương trình Fermat xp + y p = z p , trong đó vế trái được phân tích thành tích của x + y và xp +y p x+y , ở đây ước chung lớn nhất của các thừa số là 1 hoặc p. Điều này dẫn đến trường hợp 1 và 2 của bài toán. Trong lịch sử, trường hợp 1 dễ ràng hơn và nhiều người tin rằng cách tiếp cận này sẽ chứng minh hoàn thiện bài toán. Tuy nhiên, trong chứng minh của Andrew Wiles không sử dụng sự phân loại này. Đối với phương trình (1.5) ta có thể phát biểu lại tương tự các trường hợp 1 và 2 theo giá trị của các ước chung lớn nhất ở trên. Trong trường hợp 1, khi gcd bằng 1 chúng ta thu được các phương trình x − 1 = aq , xp − 1 = bq , y = ab x−1 8 trong đó a và b là các số nguyên tố cùng nhau và không chia hết cho p. Năm 1960, J.W.S. Cassels[3] đã chỉ ra rằng các phương trình này dẫn đến mâu thuẫn. Ông sử dụng các phương pháp sơ cấp các mối liên hệ về tính chia hết và các bất đẳng thức. Sau đó, S. Hyyro [10] có một chứng minh khác. Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ còn trường hợp 2. Đặc biệt, một trong hai số x − 1 và (xp − 1)\(x − 1) chứa lũy thừa bậc nhất của p. Nhưng số này không thể là x − 1. Từ đó, ta có xp − 1 chia hết cho p2 . Vì vậy chúng ta có các phương trình (x − 1) = p xp − 1 a, = pbq , y = pab x−1 q−1 q (1.6) trong đó a và b là các số nguyên tố cùng nhau và p chia hết cho b( p có thể chia hết cho a). Các phương trình tương tự theo thừa số của xp trong tích của y + 1 và (y p − 1)\(y + 1). Đặc biệt y chia hết cho p và x chia hết cho q. Định lý Cassell là một trong những kết quả tổng quát đầu tiên về phương trình Catalan (1.5), nó là động lực quan trọng để nghiên cứu phương trình này. 1.3 Bài toán có thể giải bằng máy tính? Khoảng giữa thế kỷ trước, giả thuyết Catalan bắt đầu được quan tâm của những người làm việc trong giải tích Diophantine. Ban đầu họ quan tâm tới số nghiệm (x, y) của phương trình với số mũ p, q hữu hạn, cố định. Đây là một dãy các định lý tổng quát về điểm nguyên trên đường cong được công bố năm 1929 của C.L. Siegel. Năm 1955, H. Davenport và K.F. Roth công bố một kết quả về chặn trên của số đó (mặc dù rất lớn) [9](các kết quả khác về số nghiệm có thể tham khảo trong phần giới thiệu [?]). Bước ngoặt trong hướng này là vào những năm 1970. Alan Baker thu được các ước lượng cơ bản dưới dạng tuyến tính các logarit. Đặt Λ = b1 log r1 + ... + bn log rn trong đó bj là các số nguyên, rj là các số hữu tỷ dương. Ta định nghĩa chiều cao của một số hữu tỷ r = st là log max(|s|, |t|) và đặt B = max(|b1 |, ..., |bn |}. Giả sử Λ 6= 0, Baker chứng minh bất đẳng thức sau: |Λ| > exp(−A log B), 9 trong đó A là số dương được xác định bằng máy tính và phụ thuộc vào n và các chiều cao của r1 , ..., rn . Kết quả này, trong thực tế là sự làm mịn ràng buộc của nghiệm (x, y, p, q) của phương trình Catalan ở trên được Robert Tijdeman [28] sử dụng. Phương pháp này để tìm dạng tuyến tính của Λ và phụ thuộc vào nghiệm đó một cách đặc biệt: Một chặn trên cho |Λ| của (1.5) đủ gần với chặn dưới của Baker. Robert Tijdeman chọn (x − 1)p pa Λ1 = q log q − p log p + pq log 0 = log pa (y + 1)q p log pq−1 aq + 1 yq + 1 Λ2 = q log q + = log q q a0 q (y + 1)q 0 trong đó a được xác định từ phương trình x − 1 = pp−1 a p . Từ (x − 1)p < xp = y q + 1 < (y + 1)q suy ra Λ1 , Λ2 khác không. So sánh chặn dưới và chặn trên của |Λ1 | dẫn đến bất đẳng thức giữa p và q , tương tự với |Λ2 |, các bất đẳng thức này thu được kết quả để loại bỏ q là p < c1 (log p)c2 trong đó c1 , c2 là các hằng số. Điều này yêu cầu q < p, nhưng trong trường hợp q > p ta có các điều kiện tương tự cho q . Từ đó suy ra các số mũ p, q bị chặn trên và chặn trên phụ thuộc vào x và y . Do đó bài toán có thể phát biểu như sau: Chỉ có hữu hạn nghiệm (x, y, p, q). Thật vậy các hằng số c1 , c2 ở trên là hiệu dụng. Những kết quả tính toán chi tiết đầu tiên về chặn trên của p và q là vô cùng lớn, nhưng với những cải tiến đem lại những ước lượng vừa phải hơn. Kết quả lớn nhất cho chặn trên của max(p, q) là 8.1016 . Lưu ý rằng việc giả thiết x, y dương ở trên không làm mất tính tổng quát, từ (1.5) ta luôn viết được phương trình dưới dạng (−y)q − (−x)p = 1. (1.7) Điều gì xảy ra khi ta thay bằng phương trình xp − y q = c, trong đó c > 1 là số nguyên? Cố định p và q , định lý Siegle suy ra số nghiệm (x, y) là hữu hạn. Tuy nhiên, khi các số mũ biến thiên tình hình trở lên phức tạp: Ta không biết số nghiệm (x, y, p, q) có hữu hạn không? 10 1.4 Cặp Wieferich Các kết quả trên thúc đẩy việc tìm thêm các chặn trên cho các nghiệm giả định. Chúng ta biến đổi phương trình xp − y q = 1 trong (1.6) về dạng xp − 1 = pbq x−1 (p không chia hếtb) Điều này cho thấy phương pháp tiếp cận truyền thống của sự phân tích vế trái trong Z[ζ] vành các số nguyên trong trường chia đường tròn Q(ζ)(ζ = e2πi\p ). Kết hợp điều này với việc quan sát xp − 1 p= x−1   = x=1 p−1 Y (1 − ζ k ) k=1 Ta thu được phương trình p−1 Y x − ζk k=1 1− ζk = bq Ta viết x − ζ k = (x − 1) + (1 − ζ k ) và nhận thấy rằng x − 1 chia hết cho p (xem (1.6)). Suy ra thương (x − ζ k )(1 − ζ k ) ∈ Z[ζ]. Tuy nhiên vành này là không UFD trong trường hợp tổng quát. Để khôi phục lại các tính chất về nhân tử, chúng ta thay các số bằng các idean mà chúng tạo ra. Ta nhận thấy các idean chính < (x−ζ k )(1−ζ k ) > là cặp nguyên tố cùng nhau. Do đó mỗi số là một lũy thừa bậc q của một số idean. Đặc biệt   x−ζ = Jq (1.8) 1−ζ trong đó J là idean khác không của Z[ζ]. Tất cả điều này là tương tự như công trình kinh điển của Kummer trong phương trình Fermat và được K. Inkeri [12] công bố năm 1990. Trong bài viết của mình Inkeri giả thiết số lớp của Q(ζ) là nguyên tố với q . Khi đó cùng với J q , idean J là idean chính. Đặt J =< γ > và (1.8) thu được phương trình x−ζ = eγ q (1.9) 1−ζ 11 trong đó e là đơn vị trong Z[ζ]. Vành này có vô hạn đơn vị, nhưng ta có thể khắc phục được điều này. Thật vậy, xét (1.9) với số phức liên hợp của nó, do e và ē là khác nhau một nhân tử là căn của đơn vị. Bằng cách này Inkeri thu được kết quả q 2 |x. Theo Cassels, ta có q|x, việc làm mạnh ở đây dựa vào quy tắc nâng lên của số mũ: Nếu aq ≡ bq ( mod q) thì aq ≡ bq ( mod q 2 ). Ta viết lại phương trình thứ nhất trong (1.6) dưới dạng x = (pq−1 − 1)aq + aq + 1 Inkeri thu được kết quả q 2 chi hết pq−1 − 1, trong (1.7) vai trò của p và q có thể hoán vị và do đó ta thu được cặp đồng dư thức mới pq−1 ≡ 1( mod q 2 ), q p−1 ≡ 1( mod p2 ) (1.10) với điều kiện số các lớp của trường chí đường tròn thành q phần có dáng điệu tốt, có nghĩa là số các lớp là nguyên tố với q và sau đó là nguyên tố với p. Cặp các số nguyên tố lẻ p, q thỏa mãn các đồng dư thức này gọi là một cặp Wieferich. Tên này bắt nguồn trong lịch sử của bài toán Fermat: Năm 1909, A. Weiferich cho thấy tính giải được của phương trình xp + y p = z p trong trường hợp thứ nhất: 2p−1 ≡ 1( mod p2 ). Số nguyên tố p như trên gọi là số nguyên tố Weiferich và rất ít gặp. Thực tế, Weiferich tìm được 2 số là 1093 và 3511. Số tiếp theo nếu tồn tại phải lớn hơn 1, 25.1015 [7],[14]. Các cặp số Weiferich rất đặc biệt, cặp số đầu tiên được tìm thấy là (83; 4871) và là cặp số duy nhất được biết đến.[19],[13]. Các điều kiện (1.10) cùng với bảng số lớp hiện có được sử dụng để loại bỏ một lớp các số p và q trong các nghiệm có thể của phương trình Catalan. Phương pháp này tăng hiệu quả khi tìm cách thay đổi và lới lỏng hơn các điều kiện về ố lớp [18],[25],[26],[11]. Năm 1999, có sự tiến bộ đáng kể theo hướng này khi Preda Mihăilescu [20]đã chứng minh các đồng dư thức (1.10) không giữ bất kì điều kiện về số lớp nào. 1.5 Các "cái triệt tiêu"(Annihilator)- Nhân tố quan trọng Điểm quan trong trong điều kiện về số lớp ở trên được bỏ qua ở phương trình idean (1.8) quay trở lại trong một phương trình giữa các số. ý tưởng 12 của Mihăilescu để làm việc này bằng cách sử dụng các cái triệt tiêu của những idean. Cái triệt tiêu của một phần tử của một nhóm là ánh xạ từ nó tới phần tử trung lập e; cái triệt tiêu của của một nhóm là ánh xạ của tất cả các phần tử tới e. Trong trường hợp nhóm lớp (idean) của một trường số, e là lớp các idean nguyên tố nên cái triệt tiêu của một idean (khác không) là sự lới lỏng sự biểu diễn cho ánh xạ tới idean này. Nếu θ là cái triệt tiêu của vành Z[ζ], phương trình (1.8) viết dưới dạng   x−ζ θ = eγ q , (1.11) 1−ζ trong đó e ∈ Z[ζ]× và γ ∈ Q(ζ) được xác định bởi J θ =< γ >. Trong bài báo thứ nhất Mihăilescu[20] đã chọn một cái triệt tiêu được gọi là mối quan hệ Stic Kelberger. Tính toán tương tự Inkeri ta thu được các đồng dư thức x ≡ 0, pq−1 ≡ 1( mod q 2 ) (1.12) do tính đối xứng ta cũng có y ≡ 0, q p−1 ≡ 1( mod p2 ), (1.13) trong đó (1.12), (1.13) thỏa mãn với mọi nghiệm (x, y, p, q) của phương trình Catalan (1.5). Đặc biệt số mũ p, q là cặp Wieferich. Đây là những điều kiện rất hiệu quả để loại nghiệm của phương trình (1.5). Kết hợp chúng với các bất đẳng thức phù hợp của p và q thu được bằng phương pháp kiểu Tijdeman, Migrotte và những người khác ta tính được min(p, q) > 107 . Chặn dưới này vẫn còn rất xa so với chặn trên trong mục 4. Trong phần cuối chứng minh giả thuyết Mihăilescu [21] đã xét phương trình (1.11) dưới góc độ hoàn toàn mới, thay vì đẩy đơn vị e ra ngoài thì ông chỉ tập trung vào đơn vị này hoặc cho cả nhóm các đơn vị. Từ (1.11) ông phát hiện ra các thông tin cho nhóm này thông qua các cái triệt tiêu khác nhau và tìm được một tính chất bất ngờ của nhóm đó. Điều đó cho thấy tính chất như thế là vô lý nên ông đi đến kết luận mâu thuẫn trong chứng minh giả thuyết. Biện pháp phù hợp cho chương trình này được xậy dựng trên một kết quả sâu sắc về các cái triệt tiêu được gọi là định lý Thaine. Các kết quả này và dạng tổng quát của nó có liên quan đến các trường giao hoán thực. 13 1.6 Các cái triệt tiêu đặc biệt Các thiết lập được xét sau đây cho trường chia đường tròn thực K = Q(ζ) ∩ R, đây là sử mở rộng cấp m = (p − 1)/2 trên các số hữu tỷ, ví dụ ρ = ζ + ζ −1 là vành các số nguyên Z[ρ], nhóm các đơn vị của vành này E = Z[ρ]× là nhóm Abel vô hạn sinh bởi −1 và m − 1 đơn vị xoắn tự do các đơn vị cơ bản của K . Trong trường hợp tổng quát rất khó tìm được chúng nhưng ta có thể thay thế chúng bằng cách xét các đơn vị sin(lπ/p) ζ l/2 − ζ −l/2 = Sin(π/p) ζ 1/2 − ζ −1/2 (l = 2, ..., m)) (chú ý rằng ζ 1/2 = −ζ (p−1)/2 ). Cùng với −1, các đơn vị này sinh ra một nóm con của E có chỉ số hữu hạn, ta gọi là C . Các phần tử của C gọi là các điểm chia đường tròn hay đơn vị đường tròn. Kummer đã phát hiện ra một sự liên hệ giữa nhóm các đơn vị đó và lớp H(K) của K . Đó là chỉ số [E : C] bằng số lớp hk = |H(K)|. Kết quả này đã được mở rộng và làm sâu sắc theo nhiều cách. Bước cuối cùng trong sự phát triển này là định lý Thaine [27] liên hệ các cái triệt tiêu của các đơn vị với các idean đó. Trước khi đi vào chi tiết chúng ta sẽ giới thiệu các cái triệt tiêu một cách chính xác hơn. Cho trường K là một mở rộng Galoa của Q, nó là nhóm G chứa các tự đẳng cấu τ1 , τ2 , ..., τm xác định bởi (ζ + ζ −1 )τC = ζ C + ζ −C . Ta giới thiệu một tập lớn hơn các ánh xạ, nhóm vành m X Z[G] = { nC τC |nC ∈ Z, i = 1, ..., m} i=0 . tác động Galoa của G trong trường K ta thu được cấu trúc modun Z[G] trên K × nhóm nhân của K bởi công thức γ n1τ1 +...+nm τm = (γ n1 )τ1 ...(γ nn )τm , ∀γ ∈ K × . Đặc biệt, các nhóm E và C trở thành các modun con của K × . Vành Z[G] luôn tác động lên nhóm các idean của K trên nhóm lớp H(K). Do đó H(K) là một Z[G]- modun. Miền xác định của các cái triệt tiêu là Z[G]. Cho một nhóm Abel A, kí hiệu [A]q với q là số nguyên tố là một nhóm con của A, đó là nhóm con gồm các phần tử có cấp là lũy thừa bậc q . Nếu A là Z[G]- modun thì [A]q là một modun con. 14 Định lý Thaine cho trường K và số nguyên tố q lẻ được phát biểu như sau: Nếu bậc m = [K; Q] là số nguyên tố cùng nhau với q thì với mọi cái triệt tiêu θ ∈ Z[G] của nhóm [E/C]q luôn triệt tiêu nhóm [H(K)]q . Để chính xác nhóm các đơn vị chia được sử dụng bởi Thaine không hoàn toàn chính xác như nhóm C ở trên mà được thay bằng một nhóm con của C có cấp 2m−1 [16]. Sự khác biệt này không quan trọng và sẽ được bỏ qua trong phần tiếp theo. Nhận xét: Bài báo của Thaine được công bố năm 1988 nhưng định lý đã được biết đến trước đó. Thực tế, R. Greeberg [8] đã chỉ ra rằng "giả thuyết chính" của lý thuyết Iwasawa bao gồm một giả thuyết được G. Gras phát biểu: Các nhóm [E/C]q và [H(K)]q là các Zq [G]- modun, có một chuỗi các đẳng cấu Jordan - Holder (ở đây Zq là các số q - adic nguyên). Giả thuyết chính được chứng minh bởi B.Mazur và A. Wiles [17] năm 1984. Hơn nữa, phương pháp chứng minh của Thaine là trực tiếp hơn. Các trình bày trong chứng minh này có thể tìm trong các tài liệu chuyên khảo của LC Washington [29]. Chứng minh này cho thấy ẩn sau định lý này, dù là trường hợp đặc biệt có rất nhiều lý thuyết bao gồm cả lý thuyết trường. Vấn đề đầu tiên là đảm bảo điều kiện q không chia hết m là đúng. Ta dùng phương pháp phản chứng, nếu q|m thì p ≡ 1( mod q), theo luật nâng lên của số mũ ta có pq ≡ 1( mod q 2 ). Mặt khác pq ≡ p( mod q 2 ) (theo (1.12)). Do đó p ≡ 1( mod q 2 ). Do q 2 + 1, 2q 2 + 1 và 3q 2 + 1 không nguyên tố nên p > 4q 2 . Hơn nữa theo dạng tuyến tính của logarit (mục 4), suy ra p < 4q 2 với mọi q > 28000. Do đó ta thu được mâu thuẫn trừ khi số mũ của p, q thỏa mãn các bất đẳng thức q < 28000, p > 4q 2 . Nhưng các số mũ như vậy đã được loại trừ ở mục 6. Bilu [1] đã thực hiện một số sửa đổi trên các tham số p, q và yêu cầu này chỉ mất 1 phút chạy trên máy tính. Trong toàn bộ chứng minh đây là bước duy nhất sử dụng máy tính. Đây là nơi ta sử dụng phương pháp có nguồn gốc trong công việc đánh dấu của Tijdeman. Mặc dù kết quả thu được bằng cách của Tijdeman là không cần thiết. Gần đây có tin cho rằng Mihăilescu đã tìm được một cách tiếp cận hoàn toàn khác để kiểm tra điều kiện q không chia hết m. Điều này sẽ được áp dụng trong "phần âm" được nêu ở trên và không phải tính bằng máy tính. Liên hệ quan trọng đến việc này là bài báo của Y. Bugeaud và G. Hanrot 15 [2]. 1.7 Phác thảo chứng minh giả thuyết Catalan Trong mục này chúng ta sẽ phác thảo chứng minh của Mihăilescu cho mệnh đề về lũy thừa bậc q trên trường K . Mệnh đề này gọi là định lý quan trọng của Mihăilescu sẽ được chứng minh trong mục 9. Mục 10 và 11 sẽ làm rõ thêm một số chi tiết sẽ được bỏ qua dưới đây. Cho (x, y) là một nghiệm của phương trình Catalan (1.5). Như đã nêu trong (1.8) idean nguyên tố Z[ζ] sinh bởi (x − ζ)/(1 − ζ) là lũy thừa bậc q của một idean khác không. Điều này cũng đúng cho các idean liên hợp phức và tích của hai idean. Ta có   (x − ζ)(x − ζ −1 ) ¯q = (J J) −1 (1 − ζ)(1 − ζ ) là phương trình giữa các idean thực. Đặc biệt lớp idean của J J¯ có cấp q hoặc 1 trong nhóm H(K) và như vậy thuộc nhóm q - nguyên tố [H(K)]q . Cho θ ∈ Z[G] triệt tiêu nhóm thương E/C nên E θ ⊆ C . Theo định lý Thaine suy ra θ triệt tiêu nhóm [H(K)]q . Theo mục 6 ta có θ  (x − ζ)(x − ζ −1 ) = eγ q (1.14) −1 (1 − ζ)(1 − ζ ) trong đó e ∈ E và γ ∈ K × . Do γ chưa biết nên ta chỉ cần xét e và các đơn vị liên quan tới một thừa số là lũy thừa bậc q trong K × Do e ∈ C và đơn vị e trong (1.14) được giả thiết trong C . Bước này cần một tính chất tinh vi của các cái triệt tiêu sẽ được trình bày trong mục 10. Một sự liên hệ đơn giản nhưng quan trọng cho θ là ánh xạ dạng P N = C τC hoặc một bội số nguyên của nó. Thật vậy, dạng chuẩn của đơn vị là ±1, với mỗi r ∈ Z phù hợp, phần tử ((1 + ζ)/(1 − ζ −1 ))θ−rN là đơn vị chia đường tròn và (1.14) có dạng ((x − ζ)(x − ζ −1 )θ−rN ∈ η(K × )q , η ∈ C (1.15) Do x ≡ 0( mod q 2 ) và từ (1.12) ta tìm được η ≡ 1( mod q 2 ) (η là lũy thừa bậc q ). Các đơn vị chia đường tròn thỏa mãn các điều kiện này gọi là các q - nguyên tố. Chúng tạo thành một nhóm con của C , được ký hiệu là Cq . 16 Cho θ0 ∈ Z[G]là cái triệt tiêu Cq , theo (1.15) ta có 0 ((x − ζ)(x − ζ −1 ))θθ −rN ∈ (K × )q (1.16) Từ liên hệ này Mihăilescu suy ra θθ0 − rN chi hết cho q . Ta đặt 0 eθθ = erN +qω = erN = 1 (1.17) nhắc lại rằng eθ ∈ C , điều này cho thấy θ0 trên thực tế các cái triệt tiêu của C là nhóm con Cq , do đó Cq bằng C . Lập luận này được thực hiện một cách chặt chẽ. Do đó tất cả các đơn vị chia đường tròn phải là q - nguyên tố. Dễ thấy điều này không thể xảy ra. Do đó ta có điều phải chứng minh. 1.8 Định lý của Mihăilescu Kết quả quan trọng của Mihăilescu (1.16) suy ra (1.17) được sử dụng một cách chính xác. Chúng ta nhắc lại x và y là nghiệm của phương trình Catalan xp − y q = 1. m P Định lý 1.8.1. Giả sử θ = nC τC ∈ Z[G] và i=1 ((x − ζ)(x − ζ −1 ))θ ∈ (K × )q Nếu m P (1.18) nC ≡ 0( mod q) thì nC chia hết cho q sao cho θ = qω với C=1 ω ∈ Z[G]. Các yêu cầu trong định lý này là khá hợp lý nhưng kết quả là lạ lùng. Điều này cũng đã xảy ra trong suy nghĩ của nhiều người nghiên cứu phương trình Fermat, nhưng không suy ra được các điều tương tự [21]. Điều quan trọng trong chứng minh là |x| lớn. Năm 1964 Hyyro [9] chứng minh ước lượng |x| > q p . Tuy kết quả này không khả dụng, nhưng những ước lượng khác yếu hơn đã được trích dẫn trong [21], [1]. Chúng ta sẽ trình bày các ý chính trong chứng minh của định lý. Các thiết lập tổng quát của chứng minh thể hiện các ý tưởng của Bugeaud và Hanrot [2]. Để đơn giản, các tự đẳng cấu σ1 , ..., σp−1 với ζ σk = ζ k . Do đó τC có các mở rộng σC và σp−C . Đặt ψ= m X nC (γC + γp−C ) = C=1 p−1 X k=1 17 bk γk ∈ Z[G0 ] trong đó bC = nC = bp−C (C = 1, ..., m). Ta có ((x − ζ)(x − ζ −1 ))θ = (x − ζ)θ (x − θ−1 )θ = (x − ζ)ψ Thêm vào ψ một phần tử thích hợp có dạng qψ1 , chúng ta giả sử các hệ số bk nằm trong khoảng 0, ..., q − 1. Ta phải chỉ ra mỗi hệ số bk bị triệt tiêu. p−1 P Theo giả thiết của định lý bk = tq với t ∈ {1, ..., p − 1} (không k=1 xét trường hợp tầm thường t = 0), do x được cố định bởi σk , ta có (1 − xζ )ψ = x−tq (x − ζ)ψ . Theo (1.18) ta có p−1  Y k=1 ζ 1− x  bk σ k  ζ = 1+ x ψ = γ q (γ ∈ K × ) Do tính đối xứng ta thấy số thực γ được biểu thị bằng một chuỗi các tổ hợp sau b /q Y  µ   µ X p−1 X p−1  ∞ ∞  Y 1 −ζ ζk k bk = = α (ψ) γ= 1− µ µ x x x µ=1 µ=0 k=1 k=1 Các hệ số αµ = αµ (ψ) có dạng αµ = aµ /(µ!qµ), trong đó aµ ∈ Z[ζ]. Đặt q E(µ) là lũy thừa của q chia hết µ!q µ . ∞ P Xét các số hạng còn lại Ω = αµ x−µ , trong đó t là số nguyên được µ=t+1 xác định ở trên. Số β = q E(t) xt Ω là một số nguyên của trường Q(ζ) thuộc Z[ζ]. Ta có thể ước lượng |β| bằng các số hạng còn lại của chuỗi Taylor chuẩn tắc. Áp dụng chặn dưới của Hyyro |x| > q p thu được kết quả |β| < 1. Điều kiện cần thiết là t P bị chặn t ≤ m, điều này thực hiện được bằng cách thay k bk σk bằng P k (q − bk )σk nếu cần thiết. Các thiết lập được mở rộng tới các liên hợp β σk , chúng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1. Tuy nhiên trong hoàn cảnh đó không thể là một số nguyên đại số khác không. Do đó β = 0. Suy ra chuỗi Taylor cho γ rút gọn tới tổng hữu hạn. Mặt khác đánh giá tử số của αt ta có !t p−1 X at ≡ − bk ζ k ( mod q) k=1 18 P Kết hợp với β = 0 ta thu được đồng dư thức k bk ζ k ≡ 0( mod q). Suy ra bk triệt tiêu với mọi k . Định lý được chứng minh. 1.9 Xét lại các cái triệt tiêu Trong chứng minh ở mục 8 yêu cầu phải nghiên cứu sâu sắc các cái triệt tiêu, điều này mạng lại những khía cạnh đại số của chứng minh. Như đã nêu trong mục 8, chúng ta chỉ cần xét các đơn vị của E đồng dư modun lũy thừa bậc q hoặc ta có thể thay e bằng eE q trong nhóm P E/E q . Khi đó θ = C nC τC ∈ Z[G] tác động lên nhóm thứ hai, các hệ số nC cũng đồng dư modun q . Do đó ta có thể coi các hệ số nC là các số nguyên hoặc các lớp đồng dư moden q . Trong trường hợp thứ hai, ta có θ= m X nC τC ∈ Fq [G], Fq = Z/q Z C=1 và nhóm E/E q trở thành một modun trên vành R = Fq [G]. Để các nhóm [E/C]q trong định lý Thaine tham gia vào chứng minh, chúng ta giới thiệu nhóm E/CE q là R- modun. Hơn nữa khi đánh giá sự khác biệt giữa các nhóm C và Cq ta sẽ sử dụng R-modun CE q /Cq E q . Bằng cách này chúng ta nghiên cứu ba cái triệu tiêu: A1 = Ann(E/CE q ), A2 = Ann(CE q /Cq E q ), A3 = Ann(CE q /E q ) Các cái triệu tiêu trên R-modun là các idean của R. Do Fq là một trường và cấp của G là số nguyên tố q nen suy ra R và idean của nó có cấu trúc rõ ràng. Ngoài ra, các R - modun trên đều là giao hoán (ta chỉ cần kiểm tra modun E/E q do các modun khác thu được từ các modun con và modun thương). Tính giao hoán của E/E q là khá hiển nhiên và không khó để chứng minh. Mọi R-modun giao hoán M là đẳng cấu với R/Ann(M ), đẳng cấu này cùng với một số thông tin về các idean của R suy ra các idean A1 , A2 , A3 là các cặp nguyên tố cùng nhau và A1 A2 A3 = Ann(E/E q ) = RN là idean chính , đẳng thức thứ 2 là do tính giao hoán của E/E q . Mọi idean I của R là lũy đẳng, nói cách khác nó trùng với bình phương của nó. Do đó mỗi phần tử của I có thể viết như là tích các phần tử của 19
- Xem thêm -