Tài liệu Luận văn thạc sĩ phương pháp diện tích

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N THÀ LUY˜N PH×ÌNG PHP DI›N TCH LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - N«m 2014 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N THÀ LUY˜N PH×ÌNG PHP DI›N TCH Chuy¶n ng nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ C‡P M¢ sè : 60.46.01.13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc PGS.TS.NGUY™N VI›T HƒI Th¡i Nguy¶n - N«m 2014 Möc löc Líi nâi ¦u 1 Kh¡i ni»m di»n t½ch, ph÷ìng ph¡p t½nh di»n t½ch 3 1.1 C¡c ti¶n · v· di»n t½ch. C¡c h¼nh kh£ di»n . . . . . . . . 3 1.1.1 Di»n t½ch a gi¡c. ành lþ tçn t¤i v  duy nh§t . . 3 1.1.2 C¡c a gi¡c ¯ng di»n v  c¡c a gi¡c ¯ng hñp . . 9 1.1.3 Lîp c¡c h¼nh ph¯ng o ÷ñc . . . . . . . . . . . . 11 1.2 1.3 2 1 C¡c cæng thùc t½nh di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng . . . 14 1.2.1 Di»n t½ch tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 C¡c cæng thùc cì b£n cõa di»n t½ch tù gi¡c . . . . 17 1.2.3 C¡c cæng thùc di»n t½ch h¼nh trán, h¼nh qu¤t trán 18 T½nh di»n t½ch a gi¡c, h¼nh trán . . . . . . . . . . . . . 18 . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 T½nh di»n t½ch tam gi¡c. 1.3.2 T½nh di»n t½ch tù gi¡c. . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3 T½nh di»n t½ch h¼nh trán, h¼nh cong. . . . . . . . . 22 1.4 T½nh di»n t½ch trong m°t ph¯ng tåa ë. . . . . . . . . . . 24 1.5 Di»n t½ch h¼nh ph¯ng v  cæng cö t½ch ph¥n. . . . . . . . . 25 Ph÷ìng ph¡p di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng 30 2.1 30 2.2 Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sû döng di»n t½ch trong b i to¡n chùng minh. 2.2.1 . . . . . Chùng minh mët ¯ng thùc v· ë d i ho°c gâc i . 32 33 2.3 2.2.2 Chùng minh t½nh çng quy, th¯ng h ng, song song. 36 2.2.3 Sû döng di»n t½ch º chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc 41 Sû döng di»n t½ch gi£i c¡c b i to¡n v· t½nh to¡n, v· cüc trà, v· düng h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.1 Sû döng di»n t½ch trong nhúng b i to¡n t½nh to¡n 44 2.3.2 Sû döng di»n t½ch t¼m cüc trà . . . . . . . . . . . 46 Sû döng di»n t½ch trong c¡c b i to¡n düng h¼nh . 53 2.4 Sû döng di»n t½ch · t¼m tªp hñp iºm . . . . . . . . . . 55 2.5 Dòng y¸u tè di»n t½ch trong b i tªp ¤i sè . . . . . . . . 59 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.3.3 ii Líi nâi ¦u Di»n t½ch l  mët trong nhúng nëi dung quan trång trong H¼nh håc phê thæng, c¡c b i to¡n t½nh di»n t½ch, chùng minh di»n t½ch c¡c h¼nh luæn l  c¡c b i to¡n câ m°t trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi c¡c c§p. Nhi·u b i to¡n H¼nh håc b· ngo i khæng chùa y¸u tè di»n t½ch nh÷ng n¸u ng÷íi l m to¡n bi¸t kh²o l²o dòng y¸u tè di»n t½ch th¼ s³ nhªn ÷ñc mët líi gi£i hay, b§t ngí, câ nhúng tr÷íng hñp n¸u khæng sû döng di»n t½ch th¼ khæng thº gi£i ÷ñc. ¥y l  cì sð khoa håc º t¡c gi£ lüa chån · t i cho b£n luªn v«n Ph÷ìng ph¡p di»n t½ch . D÷îi ti¶u · tr¶n t¡c gi£ ¢ t¼m ra mët ph÷ìng ph¡p hay º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n H¼nh håc ph¯ng: T½nh di»n t½ch c¡c h¼nh v  dòng di»n t½ch nh÷ mët cæng cö hé trñ º gi£i c¡c b i to¡n h¼nh håc. B£n luªn v«n gçm Líi nâi ¦u, hai ch÷ìng, K¸t luªn v  danh möc t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1. Kh¡i ni»m di»n t½ch, ph÷ìng ph¡p t½nh di»n t½ch. Ch÷ìng n y nh¬m x¥y düng l¤i kh¡i ni»m di»n t½ch cõa mët h¼nh. B­t ¦u tø di»n t½ch a gi¡c ÷ñc x¥y düng b¬ng ph÷ìng ph¡p ti¶n ·, ¥y l  nhúng y¸u tè cì sð º câ kh¡i ni»m v· h¼nh kh£ di»n, çng thíi c¡c cæng thùc ìn gi£n nh§t, cì b£n nh§t º t½nh di»n t½ch c¡c h¼nh. Ngo i c¡ch t½nh di»n t½ch b¬ng c¡ch ¡p döng trüc ti¸p c¡c cæng thùc, ta cán ¡p döng ÷ñc ph÷ìng ph¡p tåa ë v  t½ch ph¥n x¡c ành. Méi ph÷ìng ph¡p ÷ñc l m rã bði c¡c kÿ thuªt v  minh håa b¬ng c¡c b i to¡n iºn h¼nh. Nëi dung ch÷ìng gçm c¡c ph¦n: - C¡c ti¶n · v· di»n t½ch. 1 - T½nh di»n t½ch b¬ng c¡ch ¡p döng c¡c cæng thùc. - T½nh di»n t½ch b¬ng cæng cö t½ch ph¥n. Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng. Ch÷ìng n y t¡c gi£ ÷a ra mët ph÷ìng ph¡p mîi gåi l  kÿ thuªt  döng di»n t½ch nh÷ ch§t xóc t¡c . Kÿ thuªt n y ÷ñc dòng º: sû - Gi£i c¡c b i to¡n chùng minh h¼nh håc (chùng minh hai o¤n th¯ng b¬ng nhau, chùng minh h» thùc, chùng minh t½nh song song, t½nh çng quy cõa c¡c ÷íng th¯ng, t½nh th¯ng h ng cõa c¡c iºm, chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc h¼nh håc...). - Gi£i c¡c b i to¡n v· t¼m cüc trà h¼nh håc, c¡c b i to¡n t½nh to¡n. - Gi£i c¡c b i to¡n v· düng h¼nh. - Gi£i c¡c b i to¡n t½nh tªp hñp iºm (quÿ t½ch). Ch½nh kÿ thuªt  dòng di»n t½ch nh÷ ch§t xóc t¡c  l  þ t÷ðng cì b£n cõa ph÷ìng ph¡p di»n t½ch m  chóng tæi nghi¶n cùu trong · t i n y. T i li»u tham kh£o gçm 8 danh möc. T¡c gi£ ¢ nhªn ÷ñc sü gióp ï tªn t¼nh cõa th y h÷îng d¨n, PGS.TS Nguy¹n Vi»t H£i, trong vi»c t¼m hiºu c¡c v§n · cõa b£n luªn v«n v  tr¼nh b y theo mët tr¼nh tü logic. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi tªp thº c¡c th y, cæ cõa Khoa To¡n- Tin, ¤i håc Khoa håc¤i håc Th¡i Nguy¶n; c¡c th y, cæ cõa Vi»n To¡n håc- Vi»n Khoa håc Vi»t Nam v  th y h÷îng d¨n; nhúng ng÷íi ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y, gióp ï t¡c gi£ trong suèt khâa håc cao håc t¤i ¤i håc Th¡i Nguy¶n v  ho n th nh b£n luªn v«n n y. Th¡i Nguy¶n, ng y 19 th¡ng 9 n«m 2014 T¡c gi£ Nguy¹n Thà Luy¸n 2 Ch÷ìng 1 Kh¡i ni»m di»n t½ch, ph÷ìng ph¡p t½nh di»n t½ch 1.1 C¡c ti¶n · v· di»n t½ch. C¡c h¼nh kh£ di»n 1.1.1 Di»n t½ch a gi¡c. ành lþ tçn t¤i v  duy nh§t L§y tr¶n m°t ph¯ng Euclide g§p khóc E2 mët h¼nh F n o â v  gi£ sû ÷íng L ⊂ F chia h¼nh F\L th nh 2 ph¦n F1 ,F2 0 F1 chia th nh c¡c h¼nh têng cõa c¡c h¼nh 0 = 0 F1 , F2 F1 ∪ L; v  vi¸t 0 F2 = 0 F2 ∪ . Ta nâi h¼nh F ÷ñc L cán h¼nh F ÷ñc gåi l  0 F = F1 + F2 . H¼nh 1.1: Nhî l¤i r¬ng a gi¡c l  mët h¼nh ph¯ng m  câ thº chia ÷ñc th nh mët sè húu h¤n c¡c tam gi¡c. a gi¡c ÷ñc gåi l  a gi¡c ìn n¸u bi¶n cõa nâ nâ l  ÷íng g§p khóc kh²p k½n, khæng câ iºm ký dà. Ta kþ hi»u M l  tªp hñp c¡c a gi¡c tr¶n m°t ph¯ng Euclide 3 E2 . Ta nâi r¬ng di»n t½ch a gi¡c ÷ñc x¡c ành n¸u ¡nh x¤ S : M → R∗+ thäa m¢n c¡c ti¶n · sau: (b§t bi¸n qua ph²p díi h¼nh). ii. F = G + H ⇒ S(F) = S(G) + S(H) (T½nh ch§t cëng t½nh cõa S). iii. S(F0 ) = 1 vîi F0 l  h¼nh vuæng câ c¤nh b¬ng 1 . Sè d÷ìng S(F) ÷ñc gåi l  ë o hay di»n t½ch cõa a gi¡c F. ành lþ 1.N¸u h m S(F) tçn t¤i th¼ èi vîi h¼nh chú nhªt P c¤nh câ ë d i x, y h m S câ d¤ng S(P)=xy. i. F ∼ = F' ⇒ S(F) = S(F') Chùng minh. Gi£ sû h m S(F) tçn t¤i v  ta x²t nâ tr¶n tªp hñp M0 t§t c£ c¡c h¼nh chú nhªt. Khi â S(P) l  h m cõa x v  y x¡c ành vîi måi x, y ∈ R∗+ v  ch¿ nhªn gi¡ trà d÷ìng: S(P)=f(x,y). H m n y câ c¡c t½nh ch§t sau: (a) f(x,y) = f(y,x). (b) f (x1 +x2 , y) = f (x1 , y) + f (x2 , y). T½nh ch§t (a) suy ra tø i·u ki»n i. Vîi chó þ r¬ng hai a gi¡c câ c¤nh x, y v  c¤nh l  y, x l  hai a gi¡c b¬ng nhau. T½nh ch§t (b) suy ra tø i·u ki»n ii. Ta kþ hi»u Tø t½nh ch§t (b) suy ra: f(x, y) |y=const = g(x). g(x1 +x2 ) = g(x1 ) + g(x2 ),∀x1 , x2 ∈ R∗+ . Theo k¸t qu£ cõa gi£i t½ch, h m g(x) câ t½nh ch§t n y, x¡c ành tr¶n tªp H¼nh 1.2: hñp R∗+ v  ch¿ nhªn gi¡ trà d÷ìng, ÷ñc biºu di¹n bði g(x) = k.x, trong â k = const. Ngh¾a l  f(x, y) |y=const = k.x. 4 Vîi c¡c gi¡ trà y = const kh¡c nhau th¼ gi¡ trà k công kh¡c nhau, bði vªy ta ph£i coi k = k(y). Nh÷ th¸ ta nhªn ÷ñc f(x,y) = k(y).x. °t x = 1 ta ÷ñc f(1,y) = k(y). Bði vªy ta câ t½nh ch§t (c): f(x,y) = f(1,y).x.Tø (a) v  (c) suy ra: f(1,y) = f(y, 1) = f(1,1).y v  (b) câ d¤ng f(x,y) = f(1,1).x.y. Nh÷ng theo ti¶n · iii. f(1,1) = 1. Do â, S(P) = x.y.(pcm) H¼nh vuæng F0 sao cho S(F0 ) = 1 ÷ñc gåi l  h¼nh vuæng ìn và. Rã r ng h¼nh vuæng n y x¡c ành n¸u chån ÷ñc o¤n th¯ng ìn và. i·u ki»n t½ch cõa hai o¤n th¯ng ÷ñc hiºu l  t½ch hai ë d i cõa chóng. N¸u h m S(F) tçn t¤i th¼ : i. Vîi h¼nh chú nhªt P, sè S(P) b¬ng t½ch cõa ¡y v  ÷íng cao. ii. Vîi h¼nh thang tòy þ T, sè S(T) b¬ng t½ch ÷íng trung b¼nh v  ¡y. iii. Vîi tam gi¡c tòy þ H, sè S(H) b¬ng nûa ë d i mët c¤nh nh¥n vîi ÷íng cao t÷ìng ùng. iv. Vîi h¼nh b¼nh h nh b§t ký B, sè S(B) b¬ng t½ch mët c¤nh vîi ÷íng cao t÷ìng ùng. H» qu£ 1. Chùng minh. K¸t qu£ i ¢ câ ð tr¶n. K¸t qu£ ii hiºn nhi¶n tr¶n h¼nh v³ 1.3. X²t iii. H¼nh 1.3: 5 1 SABC = SAFNB + SFNC = SBNMA = EF.AH = BC.AH 2 Cuèi còng x²t iv. SABCD = SABD + SBCD = 12 AB.DH+ 12 CD.BH1 = AB.DH. H» qu£ ÷ñc chùng minh. Nh÷ vªy v§n · cán l¤i l  tçn t¤i hay khæng h m S(F)? Gåi AB l  mët c¤nh cõa a gi¡c F, n¸u H l  iºm khæng ký dà tr¶n c¤nh n y th¼ tçn t¤i h¼nh trán B(H, ε) sao cho h¼nh F1 = F ∩ B(H, ε) l  mët nûa h¼nh trán. Tçn t¤i tia [HN) thäa m¢n 2 i·u ki»n sau: + [HN) vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng (AB). + [HN) ∩ B(H, ε)\F1 6= ∅. → − V²c tì ìn và n câ h÷îng 1 còng h÷îng vîi tia [HN) ÷ñc gåi l  ph¡p v²c tì ìn và ngo i cõa a gi¡c F. Nh÷ vªy vîi méi c¤nh cõa a gi¡c F ta ·u x¡c ành ÷ñc ph¡p v²c tì ìn và ngo i. Gi£ sû a gi¡c F câ k c¤nh. Ta kþ hi»u li l  ë d i c¤nh thù i; ùng vîi c¤nh n y; Hi → − ni l  ph¡p v²c tì ìn và ngo i l  iºm n o â tr¶n ÷íng th¯ng chùa c¤nh thù i. L§y iºm O tr¶n m°t ph¯ng cõa a gi¡c F v  lªp têng k X −−→ → li OHi .− ni . (1.1) i=1 Têng n y khæng phö thuëc v o vi»c chån iºm O, khæng phö thuëc v o vi»c chån iºm Hi tr¶n ÷íng th¯ng chùa c¤nh thù i cõa a gi¡c. H¼nh 1.4: 6 Thªt vªy, n¸u l§y mët iºm O' kh¡c th¼ k k k −−→ − −−→ P P P −−→ → − li OHi .− ni . li O0 Hi .→ ni = O0 O li → ni + i=1 i=1 −−0→ −−→ −−→ O Hi = O0 O+OHi , ngh¾a l : Ta chùng minh: i=1 k X → − − li .→ ni = 0 . (1.2) i=1 Tr÷îc ti¶n x²t tr÷íng hñp k = 3 (xem h¼nh 1.5). N¸u tø iºm H b§t ký H¼nh 1.5: −→ −→ −→ HP ∈ AB; HQ ∈ BC; HR ∈ CA, sau → − → − → − o¤n th¯ng HP0 ∈ AB. n1 ; HQ0 ∈ BC. n2 ; HR0 ∈ CA. n3 th¼ π r¬ng qua ph²p quay t¥m quay H, gâc quay ϕ = − , c¡c 2 ta °t c¡c o¤n th¯ng ành h÷îng â l¤i °t c¡c d¹ nhªn th§y iºm A,B,C chuyºn th nh c¡c iºm P,Q,R th nh c¡c iºm P',Q',R'. Bði vªy, tø ¯ng thùc −→ −→ −→ → − AB+BC+CA = 0 , ta suy ra ¯ng thùc (1.2). Vîi k > 3, bi¶n cõa h¼nh F gçm mët ho°c mët sè ÷íng g§p khóc âng. Suy luªn t÷ìng tü èi vîi méi ÷íng g§p khóc âng n y ta kh¯ng ành ÷ñc ¯ng thùc (1.2) óng vîi måi k>3. Do â têng (1.1) khæng phö thuëc v o vi»c chån iºm O. N¸u tr¶n ÷íng th¯ng chùa c¤nh thù i cõa a gi¡c F ta l§y iºm −−→0 −−→ − − OHi .→ ni = OHi .→ ni → − vîi n . th¼ v¼ −−→0 −−→ − − OHi .→ ni = OHi .→ ni i ành lþ 2(tçn t¤i v  duy nh§t) + −−→0 → Hi Hi .− ni v  −−→0 Hi Hi 0 Hi vuæng gâc nh x¤ S :M → R∗+ theo quy t­c k 1 X −−→ → S(F) = li OHi .− ni . 2 i=1 7 (1.3) trong â, k l  sè c¤nh a gi¡c F l  ¡nh x¤ duy nh§t M → R∗+, thäa m¢n c¡c ti¶n · trong ành ngh¾a di»n t½ch. Chùng minh. a. Tr÷îc h¸t, ¡nh x¤ x¡c ành bði (1.3) thäa m¢n c¡c ti¶n · (i),(ii),(iii). + Gi£ sû F, F0 ∈ M, F ∼ = F0 . Tçn t¤i ph²p díi díi n y sinh ra ph²p bi¸n êi trüc giao tì n·n cõa 2 E r ng v²c tì ϕ ∂|∂(F) = ∂(F0 ). n o â trong khæng gian v²c −−→ ϕ(OHi ) 0 0 ∂(O) = ∂(O ), ∂(Hi ) = ∂(Hi ) th¼ → −0 − ϕ(→ ni ) = ni l  ph¡p v²c tì ìn và ngo i cõa . N¸u Ph²p = −−→0 O0 Hi . Rã a gi¡c F'. V¼ ph²p díi b£o to n ë d i o¤n th¯ng, bi¸n êi trüc giao b£o to n t½ch væ h÷îng hai v²c tì n¶n ta k¸t luªn S(F)=S(F'). F =F1 +F2 AB ∈ L S(F1 ) −−→→ 1 theo cæng thùc (1.3) ta câ h¤ng tû AB.OH.− n , H ∈ AB (*) v  khi 2 − −→ → 1 AB.OH. n0 , H ∈ B (**). t½nh S(F2 ) theo cæng thùc (1.3) ta câ h¤ng tû 2 → −0 → − D¹ nhªn th§y r¬ng c¡c v²c tì n v  n èi nhau. Do â khi lªp têng + Gi£ sû S(F1 ) + S(F2 ), v  (xem h¼nh v³ 1.5). Khi t½nh c¡c h¤ng tû (*) v  (**) tri»t ti¶u l¨n nhau. K¸t qu£ â óng vîi måi o¤n th¯ng cõa ÷íng g§p khóc L. S(F) = S(F1 ) + S(F2 ). Tø â ta suy ra: + X²t h¼nh vuæng ABCD, c¤nh câ ë d i 1. L§y iºm O l  t¥m h¼nh vuæng cán Hi l  c¡c trung iºm c¡c c¤nh. Khi â 1 −−→ → 1 li .OHi .− ni = , (i = 1, 2, 3, 4) 2 2 t½nh theo cæng thùc (1.3) ta ÷ñc S(ABCD) = 1. b. Gi£ sû câ ¡nh x¤ S0 : M → R∗+ ∆ Vîi måi tam gi¡c thäa m¢n c¡c ti¶n · (i), (iii). theo h» qu£ cõa ành lþ 1, ta câ: S(∆)=S'(∆). L§y mët a gi¡c F tòy þ, câ thº ph¥n t½ch F th nh c¡c tam gi¡c: F=∆1+∆2+. . . + ∆n, 0 theo ti¶n · ii. S (F) = n X 0 S (∆j); S(F) = j=1 n X j=1 8 S(∆j). Tø â suy ra S'(F)=S(F). ¯ng thùc n y óng vîi måi F ∈ M, do â S v  S' tròng nhau, t½nh duy nh§t cõa S ÷ñc chùng minh(pcm). Vîi måi c¡ch ph¥n t½ch a gi¡c F th nh tªp hñp húu h¤n c¡c tam gi¡c th¼ têng di»n t½ch c¡c tam gi¡c n y l  nh÷ nhau. H» qu£ 2. Thªt vªy, theo ti¶n · ii, têng n y b¬ng di»n t½ch S(F) cõa a gi¡c F, m  theo ành lþ 2 khæng phö thuëc v o c¡ch ph¥n t½ch F th nh c¡c tam gi¡c. 1.1.2 C¡c a gi¡c ¯ng di»n v  c¡c a gi¡c ¯ng hñp Hai a gi¡c gåi l  ¯ng di»n n¸u chóng câ di»n t½ch b¬ng nhau. Hai a gi¡c F v  F' gåi l  ¯ng hñp n¸u chóng câ thº ph¥n t½ch ÷ñc th nh còng mët sè c¡c a gi¡c t÷ìng ùng b¬ng nhau. Ta vi¸t ¯ng hñp, ρ FρF0 n¸u F v  F' kþ hi»u quan h» ¯ng hñp. N¸u FρF0 th¼ S(F)=S(F'). H» qu£ n y l m cì sð cho  ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch  khi t½nh di»n t½ch H» qu£ 3. a gi¡c F: a gi¡c F ¢ cho ÷ñc ph¥n t½ch th nh mët sè húu h¤n c¡c a gi¡c m  tø chóng câ thº gh²p l¤i th nh a gi¡c F', câ di»n t½ch ¢ bi¸t. Di»n t½ch h¼nh b¼nh h nh, tam gi¡c, h¼nh thang trong s¡ch gi¡o khoa phê thæng ÷ñc t½nh nh÷ vªy. Khæng tçn t¤i hai a gi¡c ¯ng hñp m  mët trong chóng n¬m trong a gi¡c kia. o o H» qu£ 4. Thªt vªy, gi£ sû FρF0 . N¸u F ⊂ F0 , trong â, F0 l  ph¦n trong cõa F'. Khi â, F'=F+F, vîi F l  mët a gi¡c n o â, d¨n tîi S(F')>S(F), m¥u thu¨n vîi h» qu£ 1. Rã r ng ¯ng di»n l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n tªp hñp c¡c a gi¡c. Ta ph¡t biºu v  chùng minh k¸t qu£ ti¸p theo: ành lþ 3. ρ l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n tªp hñp M. Hiºn nhi¶n vîi måi a gi¡c l¤i ph£i chùng minh ρ F∈M ta câ: FρF ; FρF0 ⇒ F0 ρF. câ t½nh ch§t b­c c¦u. Gi£ sû 9 Cán F, F0 , F00 ∈ M v  FρF0 , F0 ρF00 . Ta câ: m m n n P P P P 00 00 0 0 0 0 Gj , Gj ∼ Gj , F00 = Fi , Fi ∼ Fi , F0 = F= = Gj . = Fi ; F0 = i=1 j=1 i=1 i=1 (xem h¼nh 1.6). X²t c¡c a gi¡c 0 0 0 0 0 Fi , Gj ∈ F . Giao cõa chóng Fi ∩ Gj câ H¼nh 1.6: thº réng, mët iºm, mët sè o¤n th¯ng hay c¡c a gi¡c. Trong tr÷íng 0 Fij . m P 0 0 0 Fi = Fij nh÷ng Fi ∼ = Fi hñp cuèi còng, ta kþ hi»u c¡c a gi¡c l  V¼ 0 Fi ⊂ F0 = m P j=1 0 Gj n¶n Fi = F= n X m X i 0 Gj = m P i=1 0 Fij 00 F = v  v¼ 0 Fij . (1.4) 00 Gj ∼ = Fj 0 m X n X n¶n 00 Fj = m P i=1 0 Fij . 0 Fij . Do â, (1.5) i=1 FρF00 (pcm). ành lþ 4 (Boian-Gevina ). 0 Fij . j=1 j Tø (1.2) v  (1.3) suy ra: m P j=1 j=1 Bði vªy, Công óng nh÷ vªy, n¶n Ta câ ành lþ sau: N¸u S(F) = S(F0) th¼ FρF0. ành lþ n y v  h» qu£ 2 cho k¸t qu£ sau: S(F) = S(F0 ) ⇔ FρF0 . Nâi c¡ch kh¡c tr¶n tªp hñp t§t c£ c¡c a gi¡c M, quan h» ¯ng di»n tròng vîi quan h» ¯ng hñp. 10 1.1.3 Lîp c¡c h¼nh ph¯ng o ÷ñc Kþ hi»u J l  tªp hñp t§t c£ c¡c h¼nh ph¯ng câ t½nh ch§t sau: ∀Φ ∈ J∃F, F0 ∈ M|F ⊂ Φ ⊂ F0 . Hiºn nhi¶n, tªp hñp t§t c£ c¡c a gi¡c M⊂J (1.6) v  måi h¼nh Φ∈J ·u bà ch°n (bði h¼nh câ ÷íng k½nh húu h¤n). Tø (1.6) suy ra: S(F) ≤ S(F0 ). L§y mët h¼nh Φ∈J (1.7) v  x²t c¡c tªp hñp sau: (F) = {F|F ∈ M&F ⊂ Φ} . (F0 ) = {F0 |F0 ∈ M&Φ ⊂ F0 } . Tªp hñp sè (S(F)) theo (1.7) bà ch°n tr¶n. Do â, tçn t¤i cªn tr¶n óng S∗ = sup(S(F)), m  ÷ñc gåi l  ë o Jocdan trong cõa h¼nh Ta kþ hi»u nâ l  S∗ (Φ). T÷ìng tü, tªp hñp sè (S(F')) bà ch°n d÷îi. Do â, tçn t¤i cªn d÷îi óng ngo i cõa h¼nh Φ ∈ J, Φ ∈ J. S∗ = inf(S(F0 )) kþ hi»u bði S∗ (Φ). m  ÷ñc gåi l  ë o Jocdan Nh÷ vªy, måi h¼nh Φ∈J ·u câ ë o Jocdan trong v  ngo i, tø (1.7) suy ra: S∗ (Φ) ≤ S∗ (Φ). H¼nh Φ (1.8) ÷ñc gåi l  h¼nh o ÷ñc n¸u c¡c ë o Joc dan trong v  ngo i S(Φ) =S∗ (Φ) = S∗ (Φ) ÷ñc gåi l  di»n t½ch cõa h¼nh n y. 0 N¸u Φ l  h¼nh o ÷ñc v  Φ ∼ = Φ th¼ hiºn nhi¶n Φ0 công o ÷ñc, hìn b¬ng nhau, sè núa S(Φ0 ) = S(Φ). Câ thº chùng minh ÷ñc r¬ng n¸u h¼nh o ÷ñc th¼ h¼nh Nh÷ vªy h m S(Φ) Φ Φ=Φ0 + Φ00 công o ÷ñc v  Φ0 , Φ00 ·u l  c¡c S(Φ)= S(Φ0 ) + S(Φ00 ). x¡c ành tr¶n tªp hñp c¡c h¼nh ph¯ng o ÷ñc thäa m¢n c¡c ti¶n · m  h m di»n t½ch a gi¡c â l m cì sð º gåi sè , c£ S(Φ) S(F) ¢ thäa m¢n. i·u l  di»n t½ch cõa h¼nh ph¯ng 11 Φ. (D§u hi»u nhªn bi¸t h¼nh o ÷ñc). º h¼nh ph¯ng Φ l  h¼nh o ÷ñc c¦n v  õ l  vîi måi sè ε > 0 t¼m ÷ñc c¡c a gi¡c: ành lþ 5: 0 0 0 F0 , F0 |F0 ⊂ Φ ⊂ F0 &S(F0 ) − S(F0 ) < ε. Chùng minh. Gi£ sû Vîi måi Φ o ÷ñc, khi â (1.9) sup S(F)) = inf S(F0 ) = S(Φ). ε . Theo t½nh ch§t cªn tr¶n óng, cªn d÷îi óng tçn 2 0 0 F0 , F0 sao cho S(F0 ) > S(Φ)−ε1 , S(F0 ) < S(Φ)+ε1 . ε > 0, ε 1 = t¤i c¡c a gi¡c Tø â, 0 S(F0 ) - S(F0 ) < 2ε1 = ε. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû câ (1.9). Tø ành ngh¾a ë o tr¶n, ë o d÷îi ta suy ra: 0 S(F0 ) ≤ S∗ (Φ), S∗ (Φ) ≤ S(F0 ). Tø â, câ: 0 S∗ (Φ) - S∗ (Φ) ≤ S(F0 ) - S(F0 ) < ε. K¸t hñp vîi k¸t qu£ (1.8) ta 0 ≤ S∗ (Φ)−S∗ (Φ) < ε v  v¼ ε l  sè d÷ìng tòy þ n¶n: S∗ (Φ)−S∗ (Φ) = 0. Do â, h¼nh Φ l  h¼nh o ÷ñc.(pcm) H¼nh 1.7: V¼ 00 F0 0 F0 ⊂ F0 00 a. F0 b. F0 00 n¶n 0 00 F0 = F0 +F0 . Câ thº x£y ra 2 kh£ n«ng sau: l  mët a gi¡c (xem h¼nh 1.7a ). l  hñp (khæng li¶n thæng) cõa mët sè a gi¡c (tr¶n h¼nh 1.7b, l  hñp cõa 2 a gi¡c). i·u quan trång l  h¼nh 00 F0 chùa bi¶n cõa h¼nh Φ. Bði vªy ành lþ vøa chùng minh câ thº ph¡t biºu nh÷ sau: C¦n v  õ º h¼nh Φ o ÷ñc l  bi¶n cõa nâ n¬m trong hñp cõa tªp húu h¤n c¡c a gi¡c câ di»n t½ch nhä tòy þ. Nh÷ vªy t½nh ch§t o ÷ñc hay khæng o 12 ÷ñc cõa mët h¼nh ph¯ng phö thuëc ho n to n v o bi¶n cõa nâ. i·u ki»n c¦n v  õ º h¼nh Φ o ÷ñc l  tçn t¤i hai d¢y a gi¡c (Xn)n∈N ; (Yn)n∈N sao cho Xn ⊂ Φ ⊂ Yn v  di»n t½ch cõa chóng câ giîi h¤n chung: n→+∞ lim S(Xn ) = lim S(Yn ). Giîi h¤n chung n y ch½nh l  n→+∞ di»n t½ch S(Φ) cõa Φ. H» qu£ 5. H» qu£ n y suy ra tø ành ngh¾a di»n t½ch h¼nh V½ dö. Gi£ sû Φ l  h¼nh trán b¡n k½nh R, nëi ti¸p trong ÷íng trán, ÷íng trán ( n ≥ 3). Yn Xn Φ v  c¡c ành lþ ð tr¶n. l  c¡c a gi¡c ·u n c¤nh l  c¡c a gi¡c ·u n c¤nh ngo¤i ti¸p trong Khi â: n 2π π S(Xn ) = R2 sin , S(Yn ) = nR2 tg . 2 n n H¼nh 1.8: Ta t¼m ÷ñc: sin 2π tg π 2 2 n n = πR2 . lim S(Xn ) = R lim = πR ; lim S(Yn ) = R lim 2 1 n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ n n 2 Do â, h¼nh trán l  h¼nh o ÷ñc v  di»n t½ch cõa nâ b¬ng πR . 2 H» qu£ 6. Di»n t½ch h¼nh qu¤t trán. Cho h¼nh trán t¥m O, b¡n k½nh R, cung AB tr¶n ÷íng trán câ sè o n0 , gåi ` l  ë d i cung n0 . Khi â di»n t½ch h¼nh qu¤t AmB ÷ñc t½nh theo cæng thùc sau: 2 S= πR n `R = . 360 2 13 Vi»c t½nh di»n t½ch cõa mët h¼nh o ÷ñc tòy þ ÷ñc thüc hi»n b¬ng cæng cö t½ch ph¥n. Trong gi£i t½ch ng÷íi ta ÷a ra mët sè v½ dö c¡c h¼nh ph¯ng khæng o ÷ñc. Do â, khæng ph£i måi h¼nh N¸u kþ hi»u M ⊂ J0 ⊂ J, 1.2 J0 Φ∈J l  o ÷ñc. l  tªp hñp c¡c h¼nh ph¯ng o ÷ñc th¼ ta câ thº vi¸t: hìn núa M 6= J0 6= J. C¡c cæng thùc t½nh di»n t½ch trong h¼nh håc ph¯ng Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng, håc sinh nhi·u l¦n l m quen vîi kh¡i ni»m di»n t½ch a gi¡c. Trong ph¦n n y chóng tæi x¥y düng v  chùng minh mët sè cæng thùc t½nh di»n t½ch tam gi¡c v  di»n t½ch c¡c tù gi¡c °c bi»t º phöc vö cho · t i luªn v«n cõa m¼nh. 1.2.1 Di»n t½ch tam gi¡c X²t tam gi¡c ABC vîi BC=a, CA=b, AB=c, nûa chu vi p= a+b+c , 2 ÷íng cao AH = h, l¦n l÷ñt gåi r v  R l  b¡n k½nh ÷íng trong nëi ti¸p v  ngo¤i ti¸p tam gi¡c. Ta câ c¡c cæng thùc sau: 1 S = ah. 2 S = pr 1 S = absinC. 2 abc S= . 4R a2 sinBsinC S= . 2sinA S = 2R2 sinAsinBsinC. q S = p(p − a)(p − b)(p − c). (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) (1.14) (1.15) (1.16) Xu§t ph¡t tø cæng thùc (1.10) ta câ thº chùng minh c¡c cæng thùc kh¡c nh÷ d÷îi ¥y: 14 H¼nh 1.9: (1.10) → (1.11): Gåi O l  t¥m ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c ABC, b¡n k½nh r. Gåi D, E, F l¦n l÷ñt l  ÷íng vuæng gâc k´ tø O ¸n c¡c c¤nh BC, CA, AB th¼ OE = OF = OD = r. Ta câ: 1 SABC = SAOB + SBOC + SCOA = r. (c + a + b) = p.r. 2 (1.10) → (1.12): 1 1 SABC = a.AH = a.b.sinC. 2 2 (gâc C câ thº nhån, vuæng hay tò) º chùng minh (1.13), (1.14), (1.15) c¦n câ ành lþ h m sè sin: a b c = = = 2R. sinA sinB sinC V³ ÷íng trán t¥m O ngo¤i ti¸p (ABC), k´ ÷íng k½nh BD = 2R. H¼nh 1.10: 15 a . 2R b < 900 th¼ sinA = sinBAC= [ sinBDC= [ BC = a . - N¸u A BD 2R 0 0 [ b [ [ BC = a . - N¸u A > 90 th¼ BAC= 180 −BDC n¶n sinA = sinBAC= BD 2R b c T÷ìng tü ta câ: sinB = sinC = 2R. 1 1 c abc (1.12) → (1.13): SABC = ab sin C = ab = . 2 2 2R 4R 1 1 asinB a2 sinBsinC (1.12) → (1.14): SABC = absinC = asinC. = . 2 2 sinA sinA 1 (1.12) → (1.15): SABC = .2RsinA.2RsinB.sinC = 2R2 sinA.sinB.sinC. 2 p (1.10) → (1.16): SABC = p(p − a)(p − b)(p − c).
1 2 2 2 2 V¼ S = a.AH n¶n 4S = a .AH = a b2 − CH2 (*) n¶n c¦n t½nh CH2 2 2 2 2 2 theo a, b, c. Gi£ sû AB ≥ AC. Ta câ: BH = AB − AC + CH . - N¸u b = 900 A th¼ sinA = 1 = H¼nh 1.11: M°t kh¡c BH2 = (BC ± CH)2 = BC2 + CH2 ± 2BC.CH. Trong ¯ng thùc tr¶n ta l§y d§u + khi gâc C tò, l§y d§u - khi gâc C nhån, cán khi khi gâc C vuæng th¼ CH = 0 v  BH = BC = a. AB2 − AC2 = BC2 ± BC.CH, hay c2 − b2 = a2 ± 2a.CH,
2 2 2 2 2 2 n¶n 4a .CH = a + b − c . Thay ¯ng thùc n y v o (*), ta ÷ñc:
2 16S2 = 4a2 b2 − 4a2 .CH2 = (2ab)2 − a2 + b2 − c2 . Tø â suy ra Ta bi¸n êi nh÷ sau:

16S2 = 2ab + a2 + b2 − c2 2ab − a2 − b2 + c2 = (a + b + c) (a + b − c) (c + a − b) (c − a + b) = 2p.2 (p − c) 2. (p − b) 2. (p − a) . 16