Tài liệu Luận văn thạc sĩ Phép tính Tenxơ và một số ứng dụng trong cơ học vật rắn biến dạng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------- ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội- Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------- ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội- Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tình hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thƣờng xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trƣờng đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quan tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Khoa. Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học vật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận văn. Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu của tác giả. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả, những ngƣời đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả Đào Thị Bích Thảo MỤC LỤC TỔNG QUAN .............................................................................................................1 Chƣơng 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ ......................................3 1.1 Một số khái niệm cơ bản....................................................................................3 1.2. Phép biến đổi tọa độ .........................................................................................5 1.2.1. Hệ tọa độ Đề các ............................................................................................5 1.2.2. Hệ tọa độ cong ...............................................................................................7 1.2.3. Phép biến đổi tọa độ ......................................................................................8 1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide .......................................................14 1.3. Thành phần vật lý của tenxơ ...........................................................................20 1.3.1. Tenxơ hạng nhất ..........................................................................................20 1.3.2. Tenxơ hạng hai ............................................................................................21 1.3.3. Khai triển cụ thể...........................................................................................21 1.4. Đạo hàm hiệp biến ..........................................................................................23 1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở ...................................................................................23 1.4.2. Kí hiệu Christoffel .......................................................................................25 1.4.3. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất ......................................................31 1.4.4. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai ........................................................32 Chƣơng 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ.............................33 2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động. .................33 2.2. Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị .......42 2.3. Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng ........................................................48 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi ...........................................................48 2.3.2. Thành phần biến dạng của vỏ mỏng ............................................................49 2.3.3. Phƣơng trình cân bằng .................................................................................52 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu ........................................................................53 TỔNG QUAN Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực nhƣ cơ học môi trƣờng liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tƣơng đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên đƣợc nghiên cứu bởi các nhà toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học khác. Trong luận văn này tenxơ đƣợc sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các tập véctơ hình học. Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ các phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị. Việc thiết lập các phƣơng trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tƣơng đối phức tạp. Vì vậy trong các bài báo hay các giáo trình cơ học nói chung thƣờng chỉ nêu ra trực tiếp phƣơng trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ các bƣớc biến đổi để thu đƣợc kết quả. Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi của tenxơ. Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phƣơng trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phƣơng trình cân bằng- chuyển động trong hệ tọa độ cong bất kỳ. Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu đƣợc các phƣơng trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng nhƣ hệ phƣơng trình cân bằng trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu. Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chƣơng, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn bao gồm: - Chƣơng 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai. Đồng thời tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu đƣợc hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc xác định các phƣơng trình cân bằng- chuyển động, phƣơng trình liên hệ biến dạng- chuyển vị ở chƣơng 2. 1 - Chƣơng 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các phƣơng trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phƣơng trình liên hệ biến dạng- chuyển vị. Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu. Nội dung của luận văn sẽ đƣợc trình bày chi tiết dƣới đây: 2 Chƣơng 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa Tenxơ là trƣờng hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ cơ sở các thành thay đổi theo một quy luật xác định. Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu trong hệ thống đặc trƣng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dƣới. Ví dụ nhƣ𝑎 𝑖 , 𝑎 𝑖 , 𝑎 𝑖𝑗 , 𝑎 𝑖𝑗 . Theo quy ƣớc: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu kí hiệu 𝑎 𝑖 nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 . 𝑎 𝑖𝑗 biểu thị 1 trong 9 phần tử 𝑎11 , 𝑎12 ,𝑎13 , 𝑎21 ,𝑎22 , 𝑎23 ,𝑎31 , 𝑎32 ,𝑎33 . Hạng của tenxơ Hạng của tenxơ xác định bằng số lƣợng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Nhƣ𝑎 𝑖 phụ thuộc vào một chỉ số nên 𝑎 𝑖 là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử. 𝑎 𝑖𝑗 phụ thuộc vào 2 chỉ số(𝑖, 𝑗) nên𝑎 𝑖𝑗 là hệ thống hạng 2 bao gồm 32 = 9 phần tử. Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm 3 𝑛 phần tử. Quy ƣớc về chỉ số Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ƣớc: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số nhƣ vậy là chỉ số câm nên nó có thể thay bằng chữ khác. Ví dụ: 𝑎 𝑖 𝑏 𝑖 = 𝑎 𝑗 𝑏𝑗 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 . Hệ thống đối xứng Xét hệ thống hạng hai𝑎 𝑖𝑗 Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay đổi dấu giá trị thì hệ thống 𝑎 𝑖𝑗 gọi là hệ thống đối xứng. 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑗𝑖 . 3 Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống 𝑎 𝑖𝑗 là hệ thống phản đối xứng. 𝑎 𝑖𝑗 = −𝑎 𝑗𝑖 . Ví dụ hệ thống Kronecker 𝛿 𝑖𝑗 = 1, 0, nếu 𝑖 = 𝑗 nếu 𝑖 ≠ 𝑗 là hệ thống đối xứng Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau. Ví dụ: Nếu hệ thống 𝑎 𝑖𝑗𝑘 đối xứng theo 2 chỉ số ( 𝑖, 𝑗 ) thì 𝑎 𝑖𝑗𝑘 = 𝑎 𝑖𝑗𝑘 . Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3 𝑒 𝑖𝑗𝑘 0, = 1, −1, khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau khi 𝑖, 𝑗, 𝑘 là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3. khi 𝑖, 𝑗, 𝑘 là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3 Cụ thể:𝑒123 = 𝑒231 = 𝑒312 = 1 , 𝑒132 = 𝑒213 = 𝑒321 = −1, Cách thành phần còn lại của 𝑒 𝑖𝑗𝑘 = 0. Loại tenxơ Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định bởi vị trí của chỉ số. Hệ thống hạng hai𝑎 𝑖𝑗 gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai. Hệ thống hạng hai𝑎 𝑖𝑗 gọi là tenxơ phản biến hạng hai. Hệ thống hạng hai𝑎 𝑗𝑖 gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai 4 1.2. Phép biến đổi tọa độ 1.2.1. Hệ tọa độ Đềcác Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc 𝑦 3 𝑦1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 với véc tơ cơ sở 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 (Hình 1) 𝒆𝟑 𝑦 1 𝒆𝟏 𝑅 = 𝑅 (𝑦1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 ) là véctơ bán kính của 𝒆𝟐 O 𝑦2 điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác. Hình 1. Véc tơ 𝑅 đƣợc biểu diễn dƣới dạng 𝑅 = 𝑦1 𝑒1 + 𝑦 2 𝑒2 + 𝑦 3 𝑒3 = 𝑦 𝑖 𝑒 𝑖 𝑖 = 1,2,3 . (1.1) Xét điểm Q là lân cận của điểm P. 𝑃𝑄 = 𝑑𝑅 = 𝑑 𝑦 𝑖 𝑒 𝑖 = 𝑦 𝑖 𝑑𝑒 𝑖 + 𝑒 𝑖 𝑑𝑦 𝑖 = 𝑒 𝑖 𝑑𝑦 𝑖 . (𝑑𝑜𝑑𝑒 𝑖 = 0) 𝑑𝑠 2 là độ dài bình phƣơng vô cùng nhỏ của 𝑃𝑄 𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑅 . 𝑑𝑅 = 𝑒 𝑖 𝑑𝑦 𝑖 . 𝑒 𝑖 𝑑𝑦 𝑖 = 𝑒 𝑖 . 𝑒𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 là các véctơ đơn vị và trực giao nên tích vô hƣớng𝑒 𝑖 . 𝑒𝑗 =0 nếu 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑒 𝑖 . 𝑒𝑗 = 1 nếu 𝑖 = 𝑗 nên 𝑒 𝑖 . 𝑒𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 . Suy ra: 𝑑𝑠 2 = 𝑒 𝑖 . 𝑒𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 = 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑖 = 𝑑𝑦1 2 + 𝑑𝑦 2 2 + 𝑑𝑦 3 2 . a. Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ) Xét một hệ thống𝑎 có các thành phần 𝑎 𝑖 trong hệ cơ sở 𝑒 𝑖 . Phép cộng 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 𝑖 𝑒𝑖 + 𝑏 𝑖 𝑒𝑖 = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑖 𝑒𝑖 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑒1 + 𝑎2 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑎3 + 𝑏3 𝑒3 . Nhân với một số 5 𝜆𝑎 = 𝜆 𝑎 𝑖 𝑒 𝑖 = 𝜆𝑎 𝑖 𝑒 𝑖 = 𝜆𝑎1 𝑒1 + 𝜆𝑎2 𝑒2 + 𝜆𝑎3 𝑒3 . Nhân vô hƣớng 𝑎. 𝑏 = 𝑎 𝑖 𝑒 𝑖 . 𝑏 𝑗 𝑒𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑒 𝑖 . 𝑒𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝛿 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏 𝑖 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎 2 𝑏 2 + 𝑎 3 𝑏 3 . Nhân véctơ 𝑒1 𝑎 × 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 𝑒2 𝑎2 𝑏2 𝑒3 𝑎3 𝑏3 = 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 𝑒1 + 𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 𝑒2 + 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 𝑒3 . Hay viết dƣới dạng: 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 𝑖 𝑒 𝑖 × 𝑏 𝑗 𝑒𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑒 𝑖 × 𝑒𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑒 𝑖𝑗𝑘 𝑒 𝑘 𝐿𝑒−𝐶𝑖 = 𝑎1 𝑏2 𝑒3 − 𝑎2 𝑏1 𝑒3 − 𝑎1 𝑏3 𝑒2 − 𝑎3 𝑏2 𝑒1 + 𝑎2 𝑏3 𝑒1 + 𝑎3 𝑏1 𝑒2 = 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 𝑒1 + 𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 𝑒2 + 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 𝑒3 . Tích hỗn hợp 𝑎 × 𝑏 𝑐 = 𝑒 𝑖𝑗𝑘 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑒 𝑘 . 𝑐 = 𝑒 𝑖𝑗𝑘 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑐 𝑚 𝑚 𝑒 𝑚 = 𝑒 𝑖𝑗𝑘 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑐 𝑚 𝑒 𝑘. 𝑒 𝑚 𝛿 𝑘𝑚 = 𝑒 𝑖𝑗𝑘 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑐 𝑘 = 𝑎1 𝑏 2 𝑐 3 − 𝑎1 𝑏 3 𝑐 2 − 𝑎 2 𝑏1 𝑐 3 + 𝑎 2 𝑏 3 𝑐 1 + 𝑎 3 𝑏1 𝑐 2 − 𝑎 3 𝑏 2 𝑐 1 = 𝑎1 𝑏 2 𝑐 3 + 𝑎 2 𝑏 3 𝑐 1 + 𝑎 3 𝑏1 𝑐 2 − 𝑎1 𝑏 3 𝑐 2 − 𝑎 2 𝑏1 𝑐 3 − 𝑎 3 𝑏 2 𝑐 1 . Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là ⊗) 𝑎⨂𝑏 = 𝑎 𝑖 𝑒 𝑖 ⊗ 𝑏 𝑗 𝑒𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑒 𝑖 ⨂𝑒𝑗 = 𝑎1 𝑏1 𝑒1 ⨂𝑒1 + 𝑎1 𝑏2 𝑒1 ⨂𝑒2 + 𝑎1 𝑏3 𝑒1 ⨂𝑒3 + 𝑎2 𝑏1 𝑒2 ⨂𝑒1 + 𝑎2 𝑏2 𝑒2 ⨂𝑒2 +𝑎2 𝑏3 𝑒2 ⨂𝑒3 + 𝑎3 𝑏1 𝑒3 ⨂𝑒1 + 𝑎3 𝑏2 𝑒3 ⨂𝑒2 + 𝑎3 𝑏3 𝑒3 ⨂𝑒3 b. Các phép tính đối với tenxơ hạng hai. Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng đƣợc thực hiện tƣơng tự nhƣ đối với tenxơ hạng nhất. Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng đƣợc với các tenxơ cùng hạng và cùng loại. Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ. Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : 𝔸 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 6 Phép cộng 𝑎 𝑖𝑗 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 + 𝑏 𝑖𝑗 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 + 𝑏 𝑖𝑗 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 . 𝑎 𝑖𝑗 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 − 𝑏 𝑖𝑗 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 − 𝑏 𝑖𝑗 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 . Phép trừ Phép nhân vô hƣớng 𝑎 𝑖𝑗 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 . 𝑏 𝑘 𝑒 𝑘 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑏 𝑘 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 . 𝑒 𝑘 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑏 𝑘 𝑒 𝑖 𝛿𝑗𝑘 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑏𝑗 𝑒 𝑖 . 𝑎 𝑖𝑗 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 . 𝑏 𝑘𝑙 𝑒 𝑘 𝑒 𝑙 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑏 𝑘𝑙 𝑒 𝑖 𝑒 𝑙 𝑒𝑗 . 𝑒 𝑘 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑏 𝑘𝑙 𝑒 𝑖 𝑒 𝑙 𝛿𝑗𝑘 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑏𝑗𝑙 𝑒 𝑖 𝑒 𝑙 . Tích tenxơ 𝑎 𝑖𝑗 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 ⊗ 𝑏 𝑘𝑙 𝑒 𝑘 𝑒 𝑙 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑏 𝑘𝑙 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 ⊗ 𝑒 𝑘 𝑒 𝑙 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑏 𝑘𝑙 𝑒 𝑖 𝑒𝑗 𝑒 𝑘 𝑒 𝑙 . Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dƣới vẫn là chỉ số dƣới, chỉ số trên vẫn là chỉ số trên. 1.2.2. Hệ tọa độ cong Hệ tọa độ cong 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 với hệ véc 𝑥3 tơ cơ sở 𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 (Hình 2). 𝑅 = 𝑅 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) là véctơ bán kính 𝑔3 𝑔2 O 𝑥1 của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ 𝑥 cong. 2 Biểu diễn véc tơ𝑅 dƣới dạng : 𝑔1 𝑅 = 𝑥 1 𝑔1 + 𝑥 2 𝑔2 + 𝑥 3 𝑔3 Hình 2 = 𝑥 𝑖 𝑔𝑖 . Lấy điểm 𝑄 𝑥 𝑖 + 𝑑𝑥 𝑖 là lân cận của điểm 𝑃 𝑥 𝑖 . 𝑃𝑄 = 𝑑𝑅 = 𝑔 𝑖 𝑑𝑥 𝑖 . 7 (1.2) Độ dài bình phƣơng của véc tơ vô cùng nhỏ𝑃𝑄 đƣợc xác định bằng 𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑅. 𝑑𝑅 = 𝑔 𝑖 𝑑𝑥 𝑖 𝑔 𝑗 𝑑𝑥 𝑗 = 𝑔 𝑖 . 𝑔 𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 = 𝑔 𝑖𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 . Trong đó 𝑔 𝑖𝑗 = 𝑔 𝑖 . 𝑔 𝑗 . Phép tính đối với vectơ Cho hai véctơ𝑎 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 và𝑏 = 𝑏 𝑖 𝑔 𝑖 = 𝑏 𝑖 𝑔 𝑖 Phép cộng, trừ 𝑎 ± 𝑏 = 𝑎 𝑖 ± 𝑏 𝑖 𝑔𝑖 = 𝑎 𝑖 ± 𝑏𝑖 𝑔 𝑖 . Tích vô hƣớng 𝑎. 𝑏 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 . 𝑏 𝑗 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑔 𝑖 . 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑔 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 . 𝑏𝑗 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏𝑗 𝑔 𝑖 . 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏𝑗 𝑔 𝑖𝑗 . 1.2.3. Phép biến đổi tọa độ Bán kính𝑅 của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác 𝑂, 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 biểu diễn dƣới dạng: 𝑂𝑃 = 𝑅 = 𝑦 𝑖 𝑒 𝑖 = 𝑦1 𝑒1 + 𝑦 2 𝑒2 + 𝑦 3 𝑒3 . Với các véc tơ cơ sở 𝑒 𝑖 là không đổi. Trong tọa độ cong𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 bất kỳ, các biến 𝑥 𝑖 liên hệ với tọa đồ Đề các 𝑦 𝑖 trong miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân đƣợc, đơn trị. 𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑖 𝑦1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 và 𝑦 𝑖 = 𝜑 𝑖 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 . Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không. 𝐽 = 𝐷𝑒𝑡 𝜕𝑦 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 ≠ 0 ; 𝐽 = 𝐷𝑒𝑡 ≠ 0. 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑦 𝑗 Ta có: 𝜕𝑦 𝑖 𝜕𝑦 𝑖 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑦 𝑖 𝜕𝑥 1 𝜕𝑦 𝑖 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 𝑖 𝜕𝑥 3 = ∙ = 1∙ + 2∙ + 3∙ = 𝛿𝑗 𝑖 . 𝑗 𝑘 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Suy ra 2 ma trận 𝜕𝑦 𝑖 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑗 𝑘 ; là nghịch đảo của nhau. Ta kí hiệu : 8 𝜕𝑅 𝜕𝑅 𝜕𝑅 ; 𝑔2 = 2 ; 𝑔3 = 3 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑔1 = hay 𝜕𝑅 = 𝑅,𝑗 . 𝜕𝑥 𝑗 𝑔𝑗 = (1.3) Các véctơ 𝑔 𝑗 = 𝑔 𝑗 𝑃 = 𝑔 𝑗 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong. Trong đó 𝑔1 là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ 𝑥 1 ; 𝑔2 là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ 𝑥 2 ; 𝑔3 là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ 𝑥 3 . Cùng với hệ véctơ cơ sở𝑔 𝑖 , ta đƣa vào hệ véctơ cơ sở phản biến𝑔 𝑖 liên hệ theo hệ thức sau 𝑔 𝑖 . 𝑔 𝑗 = 𝛿𝑗 𝑖 (1.4) Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô cùng nhỏ từ𝑃 𝑥 𝑖 tới điểm 𝑄 𝑥 𝑖 + 𝑑𝑥 𝑖 cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán kính 𝑅 của điểm 𝑃. 𝜕𝑅 𝜕𝑅 𝜕𝑅 𝑑𝑥 1 + 2 𝑑𝑥 2 + 3 𝑑𝑥 3 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑃𝑄 ≈ 𝑑𝑅 = = 𝑔1 𝑑𝑥 1 + 𝑔2 𝑑𝑥 2 + 𝑔3 𝑑𝑥 3 = 𝑔 𝑖 𝑑𝑥 𝑖 . Vậy véctơ 𝑅 đƣợc biểu diễn dƣới dạng: 𝑅 = 𝑥 𝑖 𝑔 𝑖 . Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân đƣợc từ hệ tọa độ cong này 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 1 2 sang hệ tọa độ cong khác 𝑥 ′ ; 𝑥 ′ ; 𝑥 ′ 3 . 𝑘 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 ′ = ′𝑘∙ . 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 (1.5) Ta kí hiệu𝑔 𝑖 là các rêpe địa phƣơng trong hệ tọa độ cong 1 2 𝑥′ ; 𝑥′ ; 𝑥′ 3 . Do đó 𝑔 𝑖 sẽ đƣợc xác định từ biểu thức: 𝑔′ 𝜕𝑅 𝜕𝑥 𝑗 = ′𝑖 = ∙ 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 ′ 𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝑅 𝑖 (1.6) Thay 𝑔 𝑗 ở (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành: 𝑔′ 𝑖 = 𝑔𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 ′ 𝑖 = 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 ′ 𝑖 ∙ 𝑔 𝑗 ; 𝐷𝑒𝑡 9 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 ′ 𝑖 ≠ 0. (1.7) Khai triển cụ thể sẽ đƣợc kết quả: 𝑔′ 𝑔′ 𝑔′ 1 2 3 = 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 ′ 1 𝜕𝑥 2 ∙ 𝑔1 + 𝜕𝑥 ′ 1 ∙ 𝑔2 + 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 ′ 1 ∙ 𝑔3 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3 = ′ 2 ∙ 𝑔1 + ′ 2 ∙ 𝑔2 + ′ 2 ∙ 𝑔3 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 (1.8) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3 = ′ 3 ∙ 𝑔1 + ′ 3 ∙ 𝑔2 + ′ 3 ∙ 𝑔3 . 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 1 2 𝑥′ ; 𝑥′ ; 𝑥′ Ngƣợc lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong 3 sang hệ tọa độ cong 𝑥1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 . 𝑗 𝑗 𝜕𝑅 𝜕𝑅 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 𝑔𝑖 = = ′𝑗 ∙ = ∙ 𝑔′ 𝑗 . 𝑖 𝑖 𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 (1.9) Khai triển cụ thể (1.9) 1 2 3 1 2 3 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 𝑔1 = ∙ 𝑔′ 1 + ∙ 𝑔′ 2 + ∙ 𝑔′ 3 1 1 1 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 𝑔2 = ∙ 𝑔′ 1 + ∙ 𝑔′ 2 + ∙ 𝑔′ 3 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 2 1 2 (1.10) 3 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ ′ + ′ + 𝑔3 = ∙ 𝑔1 ∙ 𝑔2 ∙ 𝑔′ 3 . 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 3 Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ𝑎 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 . Có thể biểu diễn véc tơ𝑎 dƣới dạng: 𝑎 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 = 𝑎𝑗 𝑔 𝑗 . Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ𝑎 không đổi. Biểu diễn𝑎 với các thành phần phản biến 𝑖 𝑎 = 𝑎 ′ . 𝑔′ 𝑖 = 𝑎 𝑚 . 𝑔 𝑚 = 𝑎 𝑚 ∙ = 𝑎 𝑖 𝜕𝑥 ′ ∙ = 𝑎 𝜕𝑥 ′ 𝑖 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑅 𝑚 𝜕𝑅 𝜕𝑥 𝑚 𝑖 𝑚 𝜕𝑥 ′ ′ 𝑔 . 𝜕𝑥 𝑚 𝑖 Suy ra: 𝑖 ′𝑖 𝑎 = 𝑎 𝑚 𝜕𝑥 ′ ∙ 𝜕𝑥 𝑚 (1.11) Khai triển (1.11) cho biểu thức sau: 10 1 1 1 2 2 2 𝑎 ′1 𝜕𝑥 ′ 1 𝜕𝑥 ′ 2 𝜕𝑥 ′ 3 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3 𝑎 ′2 𝜕𝑥 ′ 1 𝜕𝑥 ′ 2 𝜕𝑥 ′ 3 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3 𝑎 ′3 𝜕𝑥 ′ 1 𝜕𝑥 ′ 2 𝜕𝑥 ′ 3 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3 3 3 (1.12) 3 Biểu diễn 𝑎 với các thành phần hiệp biến 𝑖 𝑎 = 𝑎′𝑖 𝑔′ = 𝑎 𝑚 𝑔 𝑎= 𝑎𝑚 𝑔 = 𝑎 𝑚 𝑚 𝑚 𝛿 𝑖′ 𝑚 = 𝑎 𝑚 𝑔 𝑚 . 𝑔′ 𝑖 . 𝑔 ′ ′𝑖 𝑔 = 𝑎𝑚 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 ′ 𝑖 𝑔′ 𝑖 𝑖 từ đó suy ra 𝑎′𝑖 𝜕𝑥 = 𝑎𝑚 𝑚 𝜕𝑥 ′ 𝑖 ∙ (1.14) Biểu diễn cụ thể (1.14) nhƣ sau ′ 𝑎1 = 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 ′ 1 𝑎1 + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 ′ 1 𝑎2 + 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 ′ 1 𝑎3 , ′ 𝑎2 = 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3 𝑎1 + ′ 2 𝑎2 + ′ 2 𝑎3 , 𝜕𝑥 ′ 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ′ 𝑎3 = 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3 𝑎1 + ′ 3 𝑎2 + ′ 3 𝑎3 . 𝜕𝑥 ′ 3 𝜕𝑥 𝜕𝑥 (1.15) Đối với tenxơ hạng hai Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dƣới dạng: 𝔸 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑗𝑖 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 . Trong đó 𝑎 𝑖𝑗 là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ. 𝑎 𝑖𝑗 là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ. 𝑎 𝑗𝑖 là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ. Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở 𝑔′ 1 ; 𝑔′ 2 ; 𝑔′ 3 tenxơ hạng 2 sẽ đƣợc biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến nhƣ sau: 11 𝔸 = 𝑎′ 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑚𝑛 = 𝑎 𝑚𝑛 𝜕𝑅 𝜕𝑅 ∙ 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑅 𝜕𝑥 ′ ∙ ∙ ∙ 𝜕𝑥 ′ 𝑖 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 ′ 𝑗 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ ∙ ∙ 𝑔′ 𝑖 𝑔′ 𝑗 . 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛 𝑚𝑛 𝑔′ 𝑖 𝑔′ 𝑗 = 𝑎 𝑔 𝑚 𝑔𝑛 = 𝑎 𝑖 𝜕𝑅 𝑖 𝑚𝑛 𝑗 𝑗 Suy ra: 𝑖 𝑎 ′ 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑗 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ ∙ . 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛 𝑚𝑛 11 22 33 (1.16) 12 13 21 23 31 32 𝑎′ bao gồm 9 thành phần: 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ , 𝑎′ . 11 Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần 𝑎′ ta sẽ đƣợc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑎 ′ 11 1 1 1 1 1 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 11 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 12 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 13 = ∙ 𝑎 + ∙ 𝑎 + ∙ 𝑎 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 21 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 22 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 23 + 2 ∙ 𝑎 + ∙ 𝑎 + ∙ 𝑎 𝜕𝑥 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 31 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 32 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 33 + 3 ∙ 𝑎 + ∙ 𝑎 + ∙ 𝑎 𝜕𝑥 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 3 1 2 = 1 2 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 1 𝑎11 + 1 1 2 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 2 1 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 3 𝑎22 + 1 𝑎33 + 1 1 1 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 12 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 13 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 23 2 1 ∙ 𝑎 +2 1 ∙ 𝑎 +2 2 ∙ 𝑎 . 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 𝜕𝑥 3 Tƣợng tự với 8 thành phần còn lại của𝑎′ 𝑎′ 31 ; 𝑎′ 23 𝑖𝑗 với chú ý là𝑎′ 12 = 𝑎′ 21 ; 𝑎′ 32 = 𝑎′ . Nếu biểu diễn dƣới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng: 𝑖 𝑗 𝑖 𝔸 = 𝑎′ 𝑖𝑗 𝑔′ . 𝑔′ = 𝑎 𝑚𝑛 𝑔 𝑚 . 𝑔 𝑛 = 𝑎 𝑚𝑛 . 𝑔 𝑚 . 𝑔′ 𝑖 . 𝑔′ . 𝑔 𝑛 . 𝑔′ 𝑗 . 𝑔′ 𝑖 𝑗 = 𝑎 𝑚𝑛 . 𝛿 𝑖′𝑚 . 𝛿𝑗 ′𝑛 . 𝑔′ . 𝑔′ = 𝑎 𝑚𝑛 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 ′ 𝑖 ∙ 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑥 ′ 𝑗 𝑗 ∙ 𝑔′ 𝑖 ∙ 𝑔′ 𝑗 . Vậy: 𝑎 ′ 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑚𝑛 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 ′ 𝑖 ∙ 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑥 ′ 𝑗 . (1.17) Hệ thống𝑎′ 𝑖𝑗 gồm có 9 phần tử𝑎′ 11 , 𝑎′ 12 , 𝑎′ 13 , 𝑎′ 21 , 𝑎′ 22 , 𝑎′ 23 , 𝑎′ 31 , 𝑎′ 32 , 𝑎′ 33 12 13 = trong đó𝑎′ 12 = 𝑎′ 21 ; 𝑎′ 13 = 𝑎′ 31 ; 𝑎′ 23 = 𝑎′ 32 . Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ đƣợc: 𝑎 ′ 22 2 𝜕𝑥 1 = 𝑎11 + 𝜕𝑥 ′ 2 2 𝜕𝑥 2 𝑎22 + 𝜕𝑥 ′ 2 2 𝜕𝑥 3 𝑎33 + 𝜕𝑥 ′ 2 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 3 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 3 2 ′ 2 ∙ ′ 2 𝑎12 + 2 ′ 2 ∙ ′ 2 𝑎13 + ′ 2 ∙ ′ 2 𝑎23 . 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến: 𝑗 𝑖 𝔸 = 𝑎′ 𝑗 𝑔′ 𝑖 𝑔′ = 𝑎 𝑛𝑚 𝑔 𝑚 𝑔 𝑛 = 𝑎 𝑛𝑚 𝑔 𝑚 𝑔 𝑛 𝑔′𝑗 . 𝑔′ = 𝑎 𝑛𝑚 ′𝑗 𝑛 𝑔 𝑚 . 𝛿𝑗 ′ . 𝑔 = 𝜕𝑅 𝑎 𝑛𝑚 𝜕𝑅 𝜕𝑥 𝑛 𝑗 ∙ ′ 𝑗 ∙ 𝑔′ 𝑚 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑖 𝑖 𝑎′ 𝑗 = 𝑎 𝑛𝑚 𝑎 𝑛𝑚 𝑗 𝑖 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 𝑛 𝑗 ∙ ∙ ′ 𝑗 ∙ 𝑔′ = 𝑎 𝑛𝑚 ∙ ′ 𝑗 ∙ 𝑔′ 𝑖 ∙ 𝑔′ 𝑗 . 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ′ 𝑖 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 Vậy: 𝑖 = 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 𝑛 ∙ ′𝑗 . 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 (1.18) Tƣơng tự đối với tenxơ hạng cao ta có: 𝑖 𝑎 ′ 𝑖𝑗𝑘 = 𝑎 𝑚𝑛𝑝 𝑎′ 𝑖𝑗𝑘 = 𝑎 𝑚𝑛𝑝 𝑗 𝑘 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 ′ ∙ ∙ . 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑥 𝑝 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑥 𝑝 ∙ ∙ . 𝜕𝑥 ′ 𝑖 𝜕𝑥 ′ 𝑗 𝜕𝑥 ′ 𝑘 𝑖 𝑖 𝑎′ 𝑗𝑘 = 𝑚 𝑎 𝑛𝑝 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑥 𝑝 ∙ ∙ . 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 ′ 𝑗 𝜕𝑥 ′ 𝑘 Tenxơ kết hợp Do các véc tơ 𝑔 𝑖 ; 𝑔 𝑗 đều là các véctơ cơ sở nên véctơ𝑔 𝑖 có thể biểu diễn thông qua hệ véctơ cơ sở 𝑔 𝑗 và ngƣợc lại. Ví dụ:𝑔1 = 𝛼1 𝑔1 + 𝛼2 𝑔2 + 𝛼3 𝑔3 , (1.19) Nhân cả hai vế của (1.19) với 𝑔1 ta đƣợc 𝑔1 . 𝑔1 = 𝛼1 𝑔1 . 𝑔1 + 𝛼2 𝑔2 . 𝑔1 + 𝛼3 𝑔3 . 𝑔1 , ⇔ 𝑔11 = 𝛼1 𝑔1 . 𝑔1 + 𝛼2 𝑔2 . 𝑔1 + 𝛼3 𝑔3 . 𝑔1 Vì𝑔1 ⊥ 𝑔2 , 𝑔3 nên𝑔2 . 𝑔1 = 𝑔3 . 𝑔1 = 0 13 (1.21 ) (1.20) Thay (1.21) và ( 1.20) có 𝑔11 = 𝛼1 . Làm tƣơng tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với𝑔2 𝑔1 . 𝑔2 = 𝛼1 𝑔1 . 𝑔2 + 𝛼2 𝑔2 . 𝑔2 + 𝛼3 𝑔3 . 𝑔2 ⇔ 𝑔12 = 𝛼2 . Tƣơng tự tính đƣợc Thay các 𝑔13 = 𝛼3 . 𝛼1 ; 𝛼2 ; 𝛼3 vào ( 1.19) suy ra 𝑔1 = 𝑔11 𝑔1 + 𝑔12 𝑔2 + 𝑔13 𝑔3 ⇒ 𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖𝑚 𝑔 𝑚 . ( 1.22) Ngƣợc lại véc tơ 𝑔 𝑖 có thể biểu diễn qua các cơ sở𝑔 𝑗 . Ví dụ 𝑔1 = 𝛽1 𝑔1 + 𝛽2 𝑔2 + 𝛽3 𝑔3 ( 1.23) Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với𝑔1 sẽ đƣợc 𝑔1 . 𝑔1 = 𝛽1 𝑔1 𝑔1 + 𝛽2 𝑔2 𝑔1 + 𝛽3 𝑔3 𝑔1 ⇔ 𝑔11 = 𝛽1 . Do 𝑔1 ⊥ 𝑔2 , 𝑔3 nên 𝑔1 . 𝑔2 = 𝑔1 . 𝑔3 = 0; 𝑔1 . 𝑔1 = 1. Thực hiện tƣơng tự, nhân hai vế của ( 1.23) với𝑔2 sẽ có 𝑔12 = 𝛽2. Nhân 2 vế của ( 1.23) với 𝑔3 𝑔13 = 𝛽3. Thay 𝛽1 , 𝛽2 , 𝛽3 vào ( 1.23) 𝑔1 = 𝑔11 . 𝑔1 + 𝑔12 . 𝑔2 + 𝑔13 . 𝑔3 Hay 𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖𝑛 . 𝑔 𝑛 (1.24 ) Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số nhƣ sau: 𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖𝑚 𝑔 𝑚 . ( phép nâng chỉ số) 𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖𝑛 . 𝑔 𝑛 . ( phép hạ chỉ số) 1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide a. Tenxơ mêtric hiệp biến 14 Xét trong hệ tọa độ Đềcác. Gọi 𝑑𝑠 2 là độ dài bình phƣơng của véctơ vô cùng nhỏ là 𝑃𝑄 𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑅. 𝑑𝑅 = 𝑒 𝑖 𝑑𝑦 𝑖 . 𝑒𝑗 𝑑𝑦 𝑗 = 𝑒 𝑖 . 𝑒𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 1.25 = 𝑑𝑦1 2 + 𝑑𝑦 2 2 + 𝑑𝑦 3 2 . Xét trong tọa độ cong 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑅 . 𝑑𝑅 = 𝑔 𝑖 𝑑𝑥 𝑖 𝑔 𝑗 𝑑𝑥 𝑗 = 𝑔 𝑖 . 𝑔 𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 = 𝑔 𝑖𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 . ( 1.26) Trong đó 𝑔 𝑖𝑗 = 𝑔 𝑖 . 𝑔 𝑗 là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong. Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi 2 𝑑𝑠 = 𝛿 𝑚𝑛 𝑑𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑛 𝑖 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝑛 𝑑𝑦 = 𝛿 𝑚𝑛 𝜕𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑛 ∙ 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 = 𝛿 𝑚𝑛 ( 1.27) Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận đƣợc 𝑔 𝑖𝑗 = 𝛿 𝑚𝑛 𝜕𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑛 ∙ 1.28 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 3 𝜕𝑦 3 = ∙ + ∙ + ∙ 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến nhƣ sau 2 𝑔11 = 𝜕𝑦1 𝜕𝑥 1 2 𝑔22 = 𝜕𝑦1 𝜕𝑥 2 2 𝑔33 = 𝜕𝑦1 𝜕𝑥 3 𝑔12 = 𝑔13 2 + 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 1 2 + 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2 2 + 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 3 2 + 𝜕𝑦 3 𝜕𝑥 1 2 + 𝜕𝑦 3 𝜕𝑥 2 2 + 𝜕𝑦 3 𝜕𝑥 3 , , , 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 3 𝜕𝑦 3 ∙ 2+ 1∙ 2+ 1∙ 2 , 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 3 𝜕𝑦 3 = 1∙ 3+ 1∙ 3+ 1∙ 3 , 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 15 1.29 𝑔12 = 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 3 𝜕𝑦 3 ∙ 3+ 2∙ 3+ 2∙ 3 . 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 b. Xác định tenxơ mêtric phản biến. Hệ véctơ cơ sở phản biến 𝑔 𝑖 liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức 𝑔 𝑖 . 𝑔 𝑗 = 𝛿𝑗 𝑖 - tenxơ Kronecker Với hệ cơ sở 𝑔 𝑖 , 𝑔 𝑖 , 𝑔 𝑖 đã biết ta xác định đƣợc hay 𝑔 = 𝑔1 𝑔2 × 𝑔3 𝑔 = 𝐷𝑒𝑡 𝑔 𝑖𝑗 . Đặt: 𝑔1 = 𝑔2 × 𝑔3 𝑔 ; 𝑔2 = 𝑔3 × 𝑔1 ; 𝑔3 = 𝑔 𝑔1 × 𝑔2 𝑔 . (1.30) Hoặc 𝑔1 = 𝑔2 × 𝑔3 𝑔 ; 𝑔2 = 𝑔3 × 𝑔1 𝑔 ; 𝑔3 = 𝑔1 × 𝑔2 𝑔 . Trong đó : 𝑔 = 𝑔1 𝑔2 × 𝑔3 = Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao (𝑔1 ⊥ 1 𝑔 . 𝑔2 , 𝑔3 ; 𝑔1 ⊥ 𝑔2 ; 𝑔3 ), các véc tơ cơ sở 𝑔 𝑖 , 𝑔 𝑖 trùng nhau về hƣớng nhƣng độ lớn khác nhau. Thật vậy, ta có 𝑔1 × 𝑔2 = 𝑘𝑔3 mà 𝑔3 = 𝑔1 × 𝑔2 𝑔 = 𝑘𝑔3 𝑔 Suy ra : 𝑔3 , 𝑔3 cùng hƣớng, khác nhau về độ lớn. Tƣơng tự các cặp 𝑔1 , 𝑔1 ; 𝑔2 , 𝑔2 cũng cùng chiều và khác độ lớn. Trong trƣờng hợp này: 𝑔 𝑖𝑗 = 𝑔 𝑖 . 𝑔 𝑗 = 0 𝑔 = 𝐷𝑒𝑡 𝑔 𝑖𝑗 𝑔11 = 𝑔21 𝑔31 𝑔12 𝑔22 𝑔32 𝑖≠ 𝑗 𝑔13 𝑔11 𝑔23 = 0 𝑔33 0 = 𝑔11 𝑔22 𝑔33 . Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính𝑔11 𝑔11 ta đƣợc: 16 𝑔 𝑖𝑗 = 𝑔 𝑖 . 𝑔 𝑗 = 0 0 𝑔22 0 0 0 𝑔33 𝑖≠ 𝑗