Tài liệu Luận văn thạc sĩ phản đối xứng vật chất trong mô hình 3 3 1 với tam tuyến vô hướng trơ

1 MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt Danh mục các hình vẽ, đồ thị Trang MỤC LỤC……………………………………………………………… 1 MỞ ĐẦU ……………………………………………………………... 2 CHƯƠNG 1. CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ ANDERSON……………………………………………………………. 4 1.1. Bức tranh vùng năng lượng…..………………………………… 4 1.2 Bức tranh chuyển pha kim loại – điện môi MOTT…..…………. 6 1.3. Định xứ Anderson….. ………………………………………….. 8 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ ANDERSON…………………………………………………………….. 15 2.1. Sơ lược về hàm Green ………………………………………… 15 2.1.1. Định nghĩa các hàm Green hai thời gian…………………… 15 2.1.2. Phương trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian……17 2.1.3. Một ví dụ về tính hàm Green…………………………….... 18 2.2. Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson………… 20 2.2.1 Lý thuyết trường trung bình động cho hệ đồng nhất ……….. 20 2.2.2 Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson…….. 23 CHƯƠNG 3. GIẢN ĐỒ PHA ĐIỆN TỬ Ở FKM VỚI BẤT TRẬT TỰ TUÂN THEO PHÂN BỐ GAUSS……………………………………… 29 3.1.Mô hình và hình thức luận………………………………………. 29 3.2. Kết quả tính số và thảo luận…………………………………….. 35 KẾT LUẬN………………………………………………………………. 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………….. 41 2 MỞ ĐẦU Tương tác giữa các điện tử và bất trật tự đóng một vai trò quan trọng trong việc hình thành các tính chất của vật rắn. Mặc dù tính chất truyền dẫn của vật rắn có thể giải thích một cách cơ bản thông qua lý thuyết vùng năng lượng, nhưng tương tác của các điện tử là nguyên nhân hàng đầu gây nên trong một số hiện tượng vật lý thú vị như điện môi Mott, siêu dẫn, siêu chảy v.v. Mặt khác, bất trật tự luôn có mặt trong vật liệu thực tế như tạp chất và sai hỏng mạng được thừa nhận có vai trò quyết định cho một loạt tính chất khác của vật rắn như thủy tinh spin, hiệu ứng Hall lượng tử, hỗn loạn lượng tử v.v. Vì thế, để có thể mô tả và hiểu được các tính chất điện tử của vật liệu cần xem xét đồng thời hai hiệu ứng mất trật tự và tương quan điện tử. Kết quả nghiên cứu mô hình liên kết chặt mất trật tự (sau này được gọi là mô hình Anderson) cho thấy bất trật tự đủ lớn sẽ cản trở sự khuyếch tán của hạt tải. Các quá trình tán xạ ngược kết hợp làm cho các hạt tải bị định xứ. Đặc biệt, sự định xứ của các trạng thái tại mức Fermi gây ra chuyển pha kim loại – điện môi, gọi là chuyển pha Anderson. Mặt khác chuyển pha kim loại – điện môi gây ra bởi tương quan điện tử gọi là chuyển pha Mott. Sự kết hợp giữa mô hình Anderson và mô hình Hubbard tạo nên mô hình Anderson – Hubbard (AHM), trong lúc đó sự kết hợp giữa mô hình Anderson và mô hình Falicov – Kimball gọi là mô hình Anderson – Falicov – Kimball (AFKM). Như vậy, so với mô hình Hubbard (mô hình Falicov – Kimball) thì AHM (AFKM) được bổ sung số hạng thứ ba mô tả thế bất trật tự i được phân bố một cách ngẫu P i  nhiên trên các nút mạng theo hàm phân bố xác suất nào đó. Các hàm phân bố xác suất thường được xét đến là phân bố đều, phân bố Gauss, phân bố Lorentz và phân bố nhị phân (binary distribusion). Đáng chú ý là việc tìm kiếm thông số trật tự để có thể phân biệt được trạng thái định xứ và trạng thái lan truyền trong chuyển pha Anderson là một thách thức trong nghiên cứu hệ điện tử bất trật tự. Dobrosavljevic và các cộng sự đã phát triển lý thuyết môi trường điển hình (Typical Medium Theory: TMT) để nghiên cứu các hệ không trật tự, trong đó mật độ trạng thái điển hình (TDOS) được xấp xỉ bằng cách lấy trung bình nhân theo các cấu hình không trật tự, thay cho mật độ trạng thái lấy trung bình cộng [1]. Nhóm tác giả này chứng tỏ rằng TDOS triệt 3 tiêu một cách liên tục khi độ lớn của mất trật tự tiến đến giá trị tới hạn và nó có thể dùng làm thông số trật tự hiệu dụng trung bình cho chuyển pha Anderson. Giản đồ pha ( ) tại đối với mô hình AFKM lấp đầy một nửa thu được từ lý thuyết môi trường điển hình TMT cho trường hợp tuân theo phân bố đều trên đoạn bao gồm 3 pha: kim loại, điện môi Mott (có khe cấm) và điện môi Anderson (không có khe cấm) đã được công bố trong công trình của Byczuk [2]. Ở đề tài này chúng tôi sẽ nghiên cứu giản đồ pha ở mô hình AFKM lấp đầy một nửa khi bất trật tự tuân theo phân bố Gauss bằng lý thuyết TMT và so sánh với kết quả của Byczuk nhằm đánh giá ảnh hưởng của các loại phân bố tạp lên giản đồ pha tìm được. Đề tài luận văn của tôi là: Giản đồ pha điện tử ở mô hình Falicov – Kimball với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss Đề tài hướng tới những kết quả sau đây: 1) Tìm hiểu về chuyển pha kim loại – điện môi và định xứ Anderson, lý thuyết trường trung bình động và lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson 2) Xây dựng giản đồ pha điện tử ở FKM với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss và so sánh với giản đồ pha ở trường hợp phân bố đều. Luận văn áp dụng lý thuyết môi trường điển hình, trong đó kết hợp giữa DMFT và việc lấy trung bình nhân mật độ trạng thái định xứ. Để đơn giản hóa việc tính toán DMFT tuyến tính cũng được áp dụng ở đây. Nội dung luận văn có bố cục như sau Chương 1: Chuyển pha kim loại – điện môi và định xứ Anderson Chương 2: Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson Chương 3: Giản đồ pha điện tử ở FKM với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss 4 CHƯƠNG 1: CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ ANDERSON Điện môi hoặc chất dẫn điện kém có khả năng cho ánh sáng đi qua do sự tồn tại của khe năng lượng, Eg . Bởi vì năng lượng của ánh sáng nhìn thấy 1.7  3.1 eV  nhỏ hơn năng lượng của khe Eg  4 10 eV trong chất điện môi, hấp thụ photon không xảy ra và vật liệu cho ánh sáng truyền qua. Kim cương, là chất cách điện tốt, trong suốt và có điện trở suất   1011  1018 m . Kim loại hoặc chất dẫn điện tốt hấp thụ một phần và phản xạ ánh sáng. Sự phản xạ và hấp thụ xảy ra do kim loại có vùng dẫn không bị lấp đầy. Bạc là một chất dẫn điện tốt có điện trở suất  10 8 m và hệ số phản xạ của nó là đối R  0.90 với ánh sáng nhìn thấy. Khi vật liệu trải qua chuyển pha kim loại – điện môi (MIT) điện trở suất của nó thay đổi một vài bậc về độ lớn. Ví dụ với V 2O3 , giản đồ điện trở suất - áp suất được trình bày trong Hình 1.2a. Tại áp suất ngoài 20Kbar chuyển pha bậc nhất xảy ra, khi đó điện trở suất của V 2O3 thay đổi 9 bậc. Khi chưa xét đến bất trật tự, hai tham số điều khiển MIT là cường độ tương quan điện tử và độ lấp đầy dải điện tử. Cả hai tham số này đều được điều khiển thông qua điện trường, từ trường ngoài, áp suất và sự pha tạp hạt tải. Trong các vật liệu, nơi lý thuyết vùng năng lương áp dụng tốt, điều khiển tính dẫn điện rất khó, chẳng hạn như đưa hạt tải vào kim cương. Ở một số vật liệu khác tương quan điện tử đóng vai trò chủ đạo trong việc điều khiển MIT. Ví dụ V2O3.Trạng thái điện môi của nó được gọi là điện môi Mott. Sau đây là phần giới thiệu vắn tắt về bức tranh vùng năng lượng, bức tranh chuyển pha kim loại – điện môi Mott và định xứ Anderson. 1.1. BỨC TRANH VÙNG NĂNG LƯỢNG Xét một khí Fermi được đặt vào thế mạng tinh thể tuần hoàn. Nếu thế Hình.1.1. Bức tranh sơ đồ vùng năng lượng. EF là năng lượng Fermi, Eg là khe cấm, k là véc tơ mạng đảo. Nếu EF cắt với vùng năng lượng hệ là kim loại. Nếu EF cắt khe cấm thì hệ là điện môi [3]. 5 mạng không đổi trong không gian và thời gian, các điện tử được phân bố đều trong không gian và tuân theo phân bố Fermi-Dirac trong không gian xung lượng. Khi thế mạng tinh thể tuần hoàn yếu được đưa vào V(r) = V(r+R), trong đó R là véc tơ mạng, các điện tử với véc tơ sóng k nhất định bị phản xạ Bragg bởi các mặt mạng trong tinh thể, từ đó một khe năng lượng (khe cấm) Eg = 2|V| trong vùng lân cận năng lượng Fermi được hình thành, phân tách vùng điện tử thành vùng dưới (vùng hóa tri) và vùng trên (vùng dẫn). Nếu trạng thái trống thấp nhất được tách ra khỏi trạng thái đầy cao nhất bởi khe năng lượng (khe cấm) thì hệ là điện môi. Trong trường hợp này, điện trường ngoài yếu không làm thay đổi sự phân bố điện tử và do đó không thể gây ra dòng điện. Khi số lượng điện tử trên mỗi ô cơ sở là chẵn (lẻ) vùng hóa trị luôn bị lấp đầy hoàn toàn (một phần). Nếu Eg  0 và mức Fermi cắt với một trong các vùng năng lượng thì hệ là kim loại. Khi mức Fermi nằm trong khe cấm hệ là điện môi và Eg càng lớn thì tính cách điện của vật liệu càng tốt. Lược đồ cấu trúc vùng đơn giản được trình bày ở Hình1.2. Năng lượng điển hình của khe cấm khoảng vài eV và năng lượng nhiệt k BT 1 / 40 eV không đủ để tạo ra dòng điện tử. Sự chuyển pha kim loại – điện môi xảy ra nếu một vật liệu được pha tạp bởi các hạt tải điện hoặc nếu cấu trúc mạng được sắp xếp lại do một áp lực ngoài. Ở trạng thái điện môi, mức Fermi nằm trong khe cấm, sự pha tạp vừa đủ của các điện tử làm cho mức Fermi EF dịch chuyển lên trên vùng điện tử lấp đầy thấp nhất và hệ trở thành kim loại, hoặc ngược lại. Sự tác động của áp lực ngoài làm thay đổi đáng kể thế mạng hiệu dụng và dẫn tới sự thay đổi độ rộng của khe cấm. Khi khe cấm nằm trong vùng lân cận mức Fermi bị triệt tiêu hoặc phát sinh, MIT xảy ra. Lý thuyết vùng năng lượng không tiên đoán được cách hành xử của các ôxit kim loại chuyển tiếp (V2O3, NiO, Fe3O4 …) và điện môi Mott. Một số ôxít kim loại chuyển tiếp là chất cách điện mặc dù chúng có số lẻ điện tử trên mỗi ô cơ sở. Điều này không phù hợp với lý thuyết vùng. Ví dụ các oxit Fe 3O4 và Fe2O3 có cấu trúc mạng như nhau và có 5.5 và 5 điện tử tương ứng trên mỗi ô cơ sở. Tuy 11 thế chất đầu tiên dẫn điện tốt hơn 10 lần so với chất thứ hai. Lý thuyết vùng không thể giải thích được pha điện môi khi vùng năng 6 lượng bị lấp đầy một phần, cũng như ở trường hợp sự lấp đầy không nguyên. Một ví dụ khác là V2O3 lẽ ra phải là một kim loại trong giản đồ pha, trong khi nó lại thể hiện chế độ điện môi (xem Hình.2b) ở nhiệt độ thấp Hình.1.2: a) Điện trở suất như là hàm của áp suất ở V 2O3 tại các độ pha tạp khác nhau .Sự thay đổi đột ngột của điện trở suất là hệ quả của chuyển pha kim loại – điện môi. b) Sơ đồ pha cho V 2O3. Lý thuyết vùng dự đoán là pha kim loại trên cả sơ đồ pha, tuy nhiên số liệu thực nghiệm chứng minh sự tồn tại của pha điện môi tại nhiệt độ thấp [4] 1.2. BỨC TRANH CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI MOTT Các chất điện môi hình thành do tương quan điện tử được gọi là điện môi Mott. Xét một hệ điện tử được lấp đầy một nửa với các vùng năng lượng hẹp, được mô tả bởi Hamiltonian Hubbard sau đây: H   t ij ij , f i† f j   nˆi U nˆi  nˆi i i (1.2.1) 7 † Trong đó, f i , fi là toán tử sinh hủy điện tử tại nút i có spin  ; tij là tham số nhảy nút của điện tử từ nút j sang nút i xét trong lân cận gần nhất và số hạng đầu của Hamiltonian mô tả động năng của hệ điện tử;  là thế hóa học; U là tương tác Coulomb địa phương của hai điện tử trên cùng một nút trong mạng và số hạng sau của Hamiltonian mô tả thế năng của hệ; ni  f i† fi là toán tử số hạt tại nút i. Mặc dù mô hình Hubbard rất đơn giản, nó cho phép mô tả pha điện môi Mott và chuyển pha MIT giữa pha điện môi Mott và pha kim loại. Thật vậy, hệ là kim loại hay điện môi phụ thuộc vào tỉ lệ giữa khe năng lượng và cường độ của tương quan điện tử - điện tử, 2t / U . Khi tương quan điện tử điện tử là không đáng kể , t / U 1, điện tử nhảy giữa các nguyên tử và hệ là kim loại. Trong giới hạn nguyên tử, t / U 1, tương quan điện tử - điện tử chiếm ưu thế, các điện tử được định xứ mạnh và hệ là điện môi. Hình.1.3. a) Sơ đồ chuyển pha Mott, trong đó khi tương quan điện tử giảm phân vùng Hubbard dưới (LHB) và phân vùng Hubbard phía trên (UHB) bắt đầu phủ nhau và hệ trở thành kim loại. b) Phổ phát xạ và các tính toán của lý thuyết trường trung bình động cho V2O3 . Đỉnh chuẩn hạt ( E  EF  0 ) và LHB được nhìn thấy rõ ràng, tuy nhiên đỉnh chuẩn hạt rộng hơn nhiều so với dự đoán của mô phỏng theo lý thuyết trường trung bình động [5]. Đỉnh chuẩn hạt ( E  EF  0 ) và LHB được nhìn thấy rõ ràng, tuy nhiên đỉnh chuẩn hạt rộng hơn nhiều so với dự đoán của mô phỏng theo lý thuyết trường trung bình động. Sơ đồ chuyển pha Mott được trình bày trong Hình 1.3.a. Chúng ta hãy xem xét một hệ lấp đầy một nửa và xen phủ nhỏ của các quỹ đạo nguyên tử, tức là độ rộng vùng 2D U . Năng lượng   E0 N  1 E0 N cần để tăng 8 thêm một điện tử được cho bởi  N  L   U  D (N là số điện tử và L là số nút mạng), ở đây kích thích điện tích với năng lượng U được xem là linh động, sao cho chúng tạo thành một vùng rộng D như trong trường hợp các điện tử không tương tác. Vùng này gọi là phân vùng Hubbard trên, nói chung không phải là vùng đơn điện tử và nó mô tả phổ kích thích điện tích khi một điện tử được thêm vào trạng thái cơ bản. Năng lượng cần thiết để loại bỏ một điện tử là  N  L   E0 N   E0 N  1  2D . Phổ tương ứng tạo thành phân vùng Hubbard dưới. Cả hai phân vùng được trình bày trong Hình.1.3a. Khi D U chúng ta chờ đợi rằng thế hóa học không liên tục và khe năng lượng  N  L   U  D  0 , hai phân vùng tách nhau, do đó hệ là điện môi. Nếu độ xen phủ nhau của các quỹ đạo nguyên tử tăng U  D , hai phân vùng bắt đầu chạm nhau, chuyển pha kim loại – điện môi xảy ra. Khi U D các phân vùng phủ nhau, khe cấm biến mất và hệ là kim loại. Năng lượng khe cấm của chất điện môi vào cỡ eV, trong đó 1 eV ~ 104K, vượt quá thang năng lượng (nhiệt độ Neel) được dự đoán bởi Slater, E g  k BTN . Nếu lực đẩy trong chất điện môi là lớn so với động năng, độ ổn định của điện môi được đảm bảo. Mặc dù lý thuyết Mott-Hubbard đã mô tả tốt các trạng thái điện môi, nhưng nó không mô tả được chính xác các trạng thái kim loại. Trong các kim loại tương quan, đỉnh chuẩn hạt nằm tại mức Fermi, ngoài phân vùng Hubbard dưới, được quan sát thấy trong các thí nghiệm phát quang. Ví dụ phổ của V2O3 được thể hiện trong Hình.1.3.b. Lưu ý rằng các thí nghiệm phát quang chỉ phân giải các trạng thái bị chiếm đóng và do đó không thể phân giải phân vùng Hubbard trên. Ngoài ra, ở bức tranh MIT trên đây bất trật tự chưa được đề cập đến. Phần tiếp theo sẽ giới thiệu chuyển pha kim loại – điện môi Anderson. 1.3. ĐỊNH XỨ ANDERSON Chuyển tiếp định xứ Anderson là chuyển pha kim loại – điện môi được gây ra bởi mất trật tự. Khi một điện tử lan truyền trong một thế tuần hoàn, sự giao thoa của các thành phần phản xạ và truyền qua của hàm sóng tạo ra các dải và khe cấm trong phổ năng lượng của điện tử. Với năng lượng xác đinh ở một dải, nếu 9 mật độ trạng thái khác không, hàm sóng điện tử tương ứng trải rộng trên toàn bộ cấu trúc. Trong một tinh thể thực, sự tán xạ của hàm sóng điện tử với các tạp chất làm xuất hiện điện trở và độ dẫn điện hữu hạn. Theo vật lý cổ điển, điện tử lan truyền trong kim loại theo cơ chế khuếch tán và có thể mô tả nó như là sự dịch chuyển ngẫu nhiên: sau mỗi va chạm điện tử không còn ghi nhớ chuyển động trước đó của nó, và do đó mật độ hạt n r , t  tuân theo phương trình  n  D 2n, t (1.3.1) trong đó D là hệ số khuếch tán. Mật độ n r , t có thể được hiểu như mật độ hạt, nhưng cũng có thể hiểu là xác suất tìm thấy một hạt ở tọa độ r tại thời điểm t. Nếu điện tử bắt đầu dịch chuyển từ một điểm xác định ở thời điểm ban đầu ( t  0 ), độ dịch chuyển bình phương trung bình tại thời điểm t, khi thời gian đủ dài là r t 2 2Dt, t . (1.3.2) Từ biểu thức (1.3.2), gọi l là quãng đường tự do trung bình và  là thời gian giữa hai lần va chạm liên tiếp, ta có thể viết được hằng số khuếch tán như sau D trong đó vF  k F l2 2  v l F 2  kF l 2m , (1.3.3) là tốc độ của điện tử ở bề mặt Fermi, m là khối lượng của m nó, kF là véc tơ sóng Fermi. Khi vật dẫn được đặt trong một điện trường E, điện tử nhận xung lượng từ trường ngoài, và nó có tốc độ cuốn: theo mô tả cổ điển, hạt được giả định có xung lượng hoàn toàn xác định trên quãng đường tự do trung bình l và xung lượng của nó giảm xuống sau mỗi lần tán xạ với tạp chất. Ở trạng thái cân bằng, tốc độ mà điện tử được gia tốc nhờ trường ngoài bằng tốc độ mà nó bị tán xạ do tạp chất . Lưu ý rằng chỉ có các điện tử ở gần với mức Fermi EF 10 mới tham gia vào quá trình dẫn điện và biểu thức của độ dẫn điện là   ne 2 / m , với mật độ điện tử linh động n liên hệ với mật độ trạng thái tại mức Fermi được tính theo công thức:  E F   n / E F  2 n / mvF2 . Kết hợp 2 công thức này với công thức của hằng số khuếch tán và thời gian phục hồi  ở (1.1.3), chúng ta thu được liên hệ giữa độ dẫn điện với hằng số khuếch tán như sau:   e 2 D  EF , (1.3.4) trong đó e là điện tích của điện tử. Theo bức tranh này, khi mất trật tự của hệ tăng, tức là nồng độ tạp chất tăng, quãng đường tự do trung bình của điện tử giảm, dẫn tới D giảm và độ dẫn điện giảm. Với mất trật tự mạnh, tuy nhiên chúng ta vẫn chờ đợi một độ dẫn điện  hữu hạn. Tuy nhiên, trong báo cáo hội thảo năm 1958, Anderson cho rằng, khi mất trật tự vượt qua một giá trị tới hạn, thì biểu thức (1.3.4) không còn đúng nữa, điện tử bị bẫy và sự chuyển động khuếch tán của nó bị dừng hoàn toàn [6]. Ý tưởng này ban đầu được đưa ra để giải thích một số kết quả thực nghiệm của nhóm của Feher, theo đó thời gian phục hồi của các spin điện tử trong chất bán dẫn pha tạp dài một cách bất thường. Đặc biệt, Anderson đưa ra giả thuyết rằng, khi quãng đường tự do trung bình của điện tử nhỏ hơn chiều dài bước sóng Fermi F  2 / kF , thay vì cho rằng các điện tử như là các sóng lan truyền với thời gian sống ngắn, chúng có thể được xem như các sóng bị giam cầm trong không gian với thời gian sống dài. Hàm sóng  r  của điện tử được định xứ theo hàm mũ xung quanh một tâm r0 , trên một khoảng cách  , được gọi là độ dài định xứ, và chúng ta có  r  2  A exp    rr  0   . (1.3.5)  Để giải thích hiện tượng định xứ xuất hiện như thế nào, Anderson đã sử dụng mô hình liên kết chặt trong một mạng tinh thể mất trật tự, mô hình này đã trở thành mô hình mẫu trong nghiên cứu hiện tượng định xứ. Trong mô hình Anderson, điện tử chịu ảnh hưởng của một thế ngẫu nhiên i tại mỗi nút i của mạng tinh thế, và nó có thể nhảy qua các nút lân cận nhờ số hạng nhảy 11 nút t. Sự tương tác giữa điện tử với điện tử được bỏ qua. Hamiltonian của mô hình này có dạng [6] H   c i †c i i i  t c i†c j  h.c., (1.3.6) ij trong đó tham số ngẫu nhiên i được phân bố độc lập và đồng nhất, chẳng hạn với dạng phân bố hộp (đều) sau đây:  1  W , i  p i   0,   i  W W 2 , 2      W , W    . (1.3.7)  2 2 Nếu W = 0 hàm riêng của mô hình là các trạng thái Bloch, còn trong trường hợp ngược lại, nếu t  0 Hamiltonian là chéo và mỗi trạng thái riêng đều định xứ hoàn toàn trên mỗi nút của mạng tinh thể. Điều gì xảy ra giữa hai Hình 1.4. Các hàm sóng định xứ ở vật liệu bất trật tự 2 chiều [7] trường hợp giới hạn này căn cứ vào tỉ số W / t : nếu nó lớn, có rất ít khả năng để điện tử tìm thấy một mức năng lượng sát nhau và không quá xa nhau trong không gian, và như thế sự chồng chập của hàm sóng ở các nút tương ứng là 12 t 12 không đáng kể. Để hiểu rõ hơn điều này chúng ta xét một Hamiltonian gồm 2 nút mạng, với số hạng chéo 1 , 2 và số hạng nhảy nút t. Dễ dàng thực hiện việc chéo hóa nó. Rõ ràng trong trường hợp này độ lệch của các trạng thái riêng với các véc tơ trên nút ban đầu t chịu sự chi phối của tỉ số cho bởi và sự chênh lệch giữa các giá trị năng lượng riêng E1 và E2 được  1   2 2  t2 . Bởi vậy, nếu 12 hàm sóng trên nút ban đầu, trong khi nếu t , hàm riêng gần đúng bằng các 12 t chúng ta thu được hai trạng thái riêng trong đó xác xuất được chia sẻ giữa các nút (cộng hưởng). Trong mô hình Anderson chúng ta có thể tưởng tượng rằng, nếu mất trật tự mạnh W t  sẽ có một vài cộng hưởng cô lập và các hàm sóng gần đúng bằng các véc tơ sóng trên nút. Trong trường hợp này điện tử bị bẫy xung quanh một tâm và hàm sóng của nó được cho bởi hàm bao. Ngược lại khi số hạng nhảy nút đủ mạnh so với mất trật tự, chúng ta sẽ có nhiều cộng hưởng phủ nhau và hệ sẽ có thuộc tính kim loại. Các trạng thái riêng định xứ được chờ đợi xuất hiện trong đuôi phổ năng lượng. Lý do trực quan đầu tiên là những trạng thái này có nguồn gốc từ năng lượng ngẫu nhiên lớn, và do đó, có thể trông đợi chúng bị ảnh hưởng bởi mất trật tự nhiều hơn các trạng thái tại tâm phổ. Lý do thứ hai được đề xuất bởi Lifshitz: như đã đề cập ở trên, sự khuếch tán có thể xảy ra nếu bước sóng Fermi F của điện tử nhỏ hơn rất nhiều quãng đường tự do trung bình. Do đó, một tiêu chuẩn trực quan cho xuất hiện định xứ là điều kiện F l. (1.3.8) 13 Vì các trạng thái thuộc đuôi phổ có chiều dài bước sóng lớn hơn so với các trạng thái ở trung tâm, chúng ta kì vọng sự định xứ xảy ra đầu tiên ở đuôi phổ. Đối với mỗi giá trị mất trật tự W có một năng lượng giới hạn Ec, được gọi là biên độ linh động (mobility edge), chia tách các trạng thái định xứ với các trạng thái phi định xứ. Trong trường hợp của mô hình Anderson, chúng được Trạng thái định xứ Trạng thái định xứ Trạng thái lan truyền Hình.1.5. Các trạng thái định xứ xuất hiện đầu tiên ở đuôi vùng, như chờ đợi trực quan. Với một giá trị ấn định của bất trật tự W < W c, bằng cách thay đổi mức Fermi so với đuôi vùng, chuyển pha kim loại – điện môi có thể  E xảy ra trong hệ. biểu diễn định tính trong Hình.1.5. Mật độ trạng thái đối xứng và hai biên độ linh động Ec1 và Ec2 tách biệt, với mỗi giá trị của W các trạng thái định xứ nằm từ phần đuôi vùng đến các trạng thái lan truyền ở phần tâm vùng. Bằng cách thay đổi mức Fermi EF so với biên độ linh động có thể thu được quá trình chuyển pha kim loại – điện môi tại nhiệt độ bằng không (T = 0K). Đặc biệt, nếu EF > Ec1 hệ vận hành như kim loại, trong trường hợp ngược lại thì như một chất điện môi. Tồn tại một giá trị tới hạn Wc của bất trật tự để Ec1 = Ec2 , và tất cả các trạng thái trong phổ được định xứ như được chỉ ra ở Hình 1.6. 14 Điện môi Kim loại Khe Khe E Hình 1.6. Giản đồ pha định tính của mô hình Anderson trên mặt phẳng W-E. Với mỗi giá trị của bất trật tự W, có 2 biên vùng đối xứng và khi bất trật tự tăng quá giá trị tới hạn W c thì toàn bộ phổ đều bị định xứ. Các đường đứt nét chỉ các biên vùng mà phía ngoài nó mật độ trạng thái bằng không [7]. Trực giác của Anderson và khám phá cơ chế của định xứ Anderson thể hiện sự phá vỡ bức tranh khuếch tán thông thường: chất điện môi của Anderson không liên quan đến việc lấp đầy các dải mà liên quan đến sự hình thành các bẫy điện tử trong mạng do có bất trật tự [7]. 15 CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ ANDERSON 2.1. SƠ LƯỢC VỀ HÀM GREEN Vào những năm 1950 - 1960 các hàm Green lượng tử được Feynman và Schwinger đề xuất như là các hàm truyền trong lý thuyết trường lượng tử. Ngay sau đó chúng được mở rộng cho vật lí thống kê và hệ nhiều hạt. Hàm Green vật lý có thể là hàm Green một hạt hay hàm Green nhiều hạt. Khi hàm Green được xác định thì các tính chất vật lý của hệ tương ứng cũng được xác định theo. Trong phần này sẽ đưa ra các định nghĩa về hàm Green trong vật lý lượng tử được Zubarev đưa ra vào năm 1960 để giải gần đúng các bài toán trong hệ tương quan mạnh. 2.1.1 Định nghĩa các hàm Green hai thời gian.  Hàm Green trễ Gr.     t' G r t , t ' i t  t '   A t , B r t  A t  B (2.1.1) .  Hàm Green sớm Ga. (2.1.2) G a t , t '  i t '  t a t   At,Bt'  A t  B . (2.1.3) Hàm Green nhân Gc G c t , t ' i  ' At,B t  † G (t, t'). Trong các công thức trên: Toán tử sắp xếp thứ tự thời gian từ lớn đến nhỏ:  '  tt'AtBt't'tB At,B t  t'At. Hàm Heaviside (hàm bước) . 16 Ở đây ... là  là X  1 Tr e Z  H kí hiệu lấy trung bình thống kế của hệ, tức  X , với H là Hamiltonian của hệ,   1 là nhiệt độ T  nghịch đảo và Z  Tr e H  là hàm phân hoạch của hệ. ' B t A t  và  là toán tử phụ thuộc thời gian trong biểu diễn A t   e Heisenberg và tiến hóa theo quy luật iHt Ae  iHt  '  eiHt  BeiHt ;B t Tùy theo các hạt là Fermion ( 1) hoặc boson  A, B   AB BA là giao hoán tử hay phản giao hoán tử. '  t > t’ thì  t  t  0 , tức là G ' ’  a t , t'  0. Từ định nghĩa ta có: Khi t < t thì  t  t Khi ( 1) mà  0 , tức là G r t , t'  0 . Xét hàm Green đối với hệ cân bằng ( tức là Hamiltonian không phụ thuộc vào thời gian) thì hàm Green hai thời gian chỉ phụ thuộc vào hiệu số giữa hai thời gian G t ,t    G t  t. Chứng minh: xét hàm Green trễ: G r t , t   i t  t   At,Bt   i  t  t     (2.1.4) A t B t    B t  A t  .   Mặt khác ta có: 1  H  A t B t    Tr e AtBt 1   Tr e   H e iHt Ae  iHt e iHt  BeiHt   1   Tr e  H e iH t t   Ae  iH t tB .   Như vậy hàm Green trễ (2.1.4) chỉ phụ thuộc vào hiệu t  t. Vì vậy ta có thể sử dụng phép biến đổi Fourier thuận nghịch (2.1.5) 17  G t  t     d G e it t. 2 (2.1.6)  i t G    dtG t e  . (2.1.7)  2.1.2. Phương trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian. Phương trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian có thể nhận được bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian cho hàm Green. Xét phương trình chuyển động cho hàm Green trễ: i G r t  t     t  t  ,  A t B t   t    t t G t  t     i t  t '    A t , B t  i    t     t r i  t i G r t  t   t  t  t   A t , B t '   i t  t    A, H t , B t     ,  A t B  t '    A, H  t  B  t .  (2.1.8)    Với hàm Green sớm ta cũng thu được kết quả tương tự. Vậy phương trình chuyển động cho hảm Green hai thời gian có dạng: , G t  t  i  t  t    A t  B t   t'   A,  H  t  B t   . (2.1.9) Lấy ảnh Fourier cho phương trình (2.1.9) ta thu được  A B   A,B  A,H B . (2.1.10) Phương trình (2.1.10) được gọi là phương trình chuyển động cho hàm Green viết dưới dạng tần số. 18 2.1.3. Một ví dụ về tính hàm Green. Bài toán: Tính hàm Green của hệ điện tử trong mô hình Hubbard ở các trường hợp riêng U = 0 và t = 0 Hamiltonian Hubbard trong tập thống kê lớn † H  H 0  H1    tij  ij ci  c j 1 U n n .  i i  2 ij i (2.1.11) † Với ni  ci  ci là toán tử số hạt; tij là thông số nhảy nút của điện tử từ nút j sang nút i; U là tương tác Coulomb địa phương của hai điện tử trên nút i. Ta có : c , H   k ' t   ij  tij ij c ij  k ' , c † c  1 U  c , n n   2 i i k ' j  i i  1   ij c j  ki   '  U ci ci† ci   ki   '  ci† ci ci   ki  '  (2.1.12) 2 i ij  t kj  kj c j ' Unk  ' ck ' . j Ta có phương trình chuyển động cho hàm Green của hệ :  Gij     ij   Gij    tim Gmj    U ci† c i  ci c†j , m ilm,j  ci† c l  cm c†j . (2.1.13) (2.1.14) Phương trình (2.1.13) trở thành: (   )Gij     ij  tim Gmj    U iii , j . m (2.1.15)  Xét giới hạn U = 0 . Phương trình (2.1.15) với lưu ý tim t với lân cận gần nhất ta được: (   )Gij     ij  t Gmj . m Chuyển sang biểu diễn Fourier theo tọa độ: (2.1.16)