ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ THU HÀ
BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH
TRÊN KHÔNG GIAN HARDY
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mục lục
Chương 1. HÀM CHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG
GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Khái niệm về hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
8
1.2.1. Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4. Nguyên lý môđun cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lp
1.4.1. Không gian
............................................................
1.4.2. Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Tính đối ngẫu của không gian H p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4. Biến dạng biên của tích phân Poisson-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
12
14
14
16
16
18
Chương 2. BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG
GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Tiêu chuẩn hypercyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Toán tử hợp thành Chaotic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
25
26
2.2.1. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Chứng minh định lý 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
2.3. Áp dụng kết quả của định lý 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU
Cho đĩa đơn vị mở D := {z ∈ C : |z| < 1} , ký hiệu H 2 (D) là không gian
Hardy của các hàm f chỉnh hình trên D với chuẩn
1
/
2
Z2π
2
1
k f k = lim
f reiθ dθ .
r→1−
2π
0
Giả sử ψ là tự đồng cấu chỉnh hình của D. Khi đó toán tử hợp thành Cψ :
H 2 (D) → H 2 (D) được định nghĩa Cψ f = f ◦ ψ, là một toán tử tuyến tính bị
chặn trên H 2 (D). Nếu ψ không có điểm cố định trong D thì ψ có một hoặc hai
điểm cố định trên ∂ D. Ta gọi ψ là parabolic nếu nó chỉ có một điểm biên cố
định và là hyperbolic nếu nó có hai điểm biên cố định, với γ là một số phức.
Luận văn trình bày kết quả sau:
1. Nếu ψ là tự đẳng cấu hyperbolic của D và λ > 1 là đạo hàm tại điểm đẩy
cố định của ψ. Khi đó bội vô hướng của toán tử hợp thành γCψ là chaotic
1
1
trên H 2 (D) khi và chỉ khi λ − /2 < |γ| < λ /2
2. Nếu ψ là tự đẳng cấu parabolic của D. Khi đó γCψ là chaotic trên H 2 (D)
khi và chỉ khi |γ| = 1.
3. Nếu ψ là tự đẳng cấu của D, nó có một điểm cố định trong D. Khi đó γCψ
không là chaotic trên H 2 (D) với mọi γ ∈ C.
Đó là kết quả trong bài báo "Chaotic behavior of composition operators on the
Hardy space" của Takuya Hosokawa về việc nghiên cứu biến dạng chaotic của
toán tử hợp thành trên không gian Hardy H 2 (D) thông qua việc phân loại điểm
dính trên biên của dãy trọng lặp. Luận văn gồm 2 chương:
• Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức sử
dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình,
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
điều kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực
đại, định lý khai triển Taylor, không gian Hardy và tính chất của nó.
• Chương 2: Trình bày và làm rõ công trình nghiên cứu của Takuya Hosokawa
về biến dạng chaotic của toán tử hợp thành trên không gian Hardy H 2 (D),
như các tính chất cơ bản của toán tử hợp thành trên không gian Hardy, đặc
biệt là tính hypercyclic của toán tử này, áp dụng định lý Denjoy-Wolf về
phân loại các điểm dính hyperbolic, elliptic nằm trên đường tròn đơn vị để
nghiên cứu chaotic của toán tử hợp thành.
Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn
PGS - TSKH Nguyễn Quang Diệu, người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm
thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội
và các thầy cô giáo Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả hoàn
thành khóa học.
Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường trung học phổ thông Dương
Tự Minh, thành phố Thái Nguyên, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và
tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chương 1
HÀM CHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC
TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG
GIAN HARDY
Trong chương trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức
sử dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình, điều
kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực đại, định lý
khai triển Taylor, không gian Hardy H 2 (D) và tính chất.
1.1.
Khái niệm về hàm chỉnh hình
1.1.1.
Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f xác định trên miền Ω ∈ C. Xét giới hạn
lim
∆z→0
f (z + ∆z) − f (z)
,
∆z
với z, z + ∆z ∈ Ω.
Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z,
ký hiệu f 0 (z) hay
df
dz
(z). Như vậy
f 0 (z) = lim
∆z→0
f (z + ∆z) − f (z)
.
∆z
Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C- khả vi tại z.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Định nghĩa 1.1.2. Hàm f xác định trong miền Ω ∈ C với giá trị trong C gọi là
hàm chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu tồn tại r > 0 để f C-khả vi tại mọi z ∈ D(z0 , r) ⊂
Ω. Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω.
Định lý 1.1.3. Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh hình
trên Ω. Khi đó
1. H(Ω) là một không gian véc tơ trên C.
2. H(Ω) là một vành.
3. Nếu f ∈ H(Ω) và f (z) 6= 0, ∀z ∈ Ω thì
1
f
∈ H(Ω).
4. Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.
Chứng minh. Chứng minh 4.
∂f ∂f
Do f chỉ nhận giá trị thực
,
cũng chỉ nhận giá trị thực. Nhưng mặt
∂x ∂y
khác
∂f
∂x
1.1.2.
=i
∂f
∂y
, ta suy ra
∂f
∂x
=
∂f
∂y
= 0. Vậy f = const.
Điều kiện Cauchy - Riemann
Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định trên miền Ω ∈ C. Hàm
f được gọi là R2 - khả vi tại z = x + iy nếu hàm u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x, y)
(theo định nghĩa đã biết trong giải tích thực).
Định lý 1.1.4. Để hàm f C- khả vi tại z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần và đủ là f
R2 - khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thỏa mãn tại z.
∂u
∂v
(x, y) =
(x, y)
∂x
∂y
(1.1.1)
∂
u
∂
v
(x, y) = − (x, y) .
∂y
∂x
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chứng minh. Điều kiện cần:
Giả sử f C - khả vi tại z = x + iy ∈ Ω. Khi đó tồn tại giới hạn
f 0 (z) = lim
∆z→0
f (z + ∆z) − f (z)
∆z
với
∆z = ∆x + i∆y.
Vì nếu giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến đến điểm 0 của ∆z
nên nếu chọn ∆z = ∆x, ta có :
u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y) − u(x, y) − iv(x, y)
=
∆z→0
∆x
f 0 (z) = lim
u(x + ∆x, y) − u(x, y)
v(x + ∆x, y) − v(x, y)
+ i lim
∆z→0
∆z→0
∆x
∆x
= lim
tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x, y) và
f 0 (z) =
∂v
∂u
(x, y) + i (x, y).
∂x
∂x
(1.1.2)
Tương tự bằng cách chọn ∆z = i∆y ta có
f 0 (z) = −i
∂u
∂v
(x, y) + (x, y).
∂y
∂y
(1.1.3)
So sánh (1.1.2) và (1.1.3) ta được
∂u
∂v
(x, y) =
(x, y)
∂x
∂y
∂u
∂v
(x, y) = − (x, y) .
∂y
∂x
Ta còn phải chứng tỏ u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x, y).
Vì f C- khả vi tại z nên
∆ f = f (z + ∆z) − f (z) = f 0 (z)∆z + o(∆z)
với o(∆z) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆z, tức là
o(∆z)
= 0.
∆z→0 ∆z
lim
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Rõ ràng
∆ f = ∆u + i∆v, ∆z = ∆x + i∆y.
theo (1.1.2) ta có
∆u + i∆v = (
∂u
∂v
+ i )(∆x + i∆y) + o(∆z) + io(∆z).
∂x
∂x
Từ đó
∂u
∂v
∂u
∂u
∆x − ∆y + o(∆z) =
∆x + ∆y + o(|∆z|),
∂x
∂x
∂x
∂y
∂v
∂u
∂v
∂v
∆v = ∆x + ∆y + o(∆z) = ∆x + ∆y + o(|∆z|).
∂x
∂x
∂x
∂y
điều kiện đó nghĩa là u và v khả vi tại (x, y).
∆u =
Điều kiện đủ:
Vì u và v khả vi tại (x, y) nên
∆u =
p
∂u
∂u
∆x + ∆y + o( ∆x2 + ∆y2 )
∂x
∂y
và
p
∂v
∂v
∆x + ∆y + o( ∆x2 + ∆y2 ).
∂x
∂y
Theo điều kiện (1.1.1) hai đẳng thức này có thể viết thành
∆v =
∆u =
∂u
∂v
∆x − ∆y + o(|∆z|),
∂x
∂x
(1.1.4)
∆v =
∂u
∂v
∆x + ∆y + o(|∆z|).
∂x
∂x
(1.1.5)
Từ (1.1.4) và (1.1.5) ta có
∆u
∆v
∆f
=
+i
∆z
∆z
∆z
∂u
∂v
∂u
∂v
∂ x ∆x − ∂ x ∆y + o (∆z)
∂ x ∆x + ∂ x ∆y + o (∆z)
=
+i
∆z
∆z
∂u
∂u
∂v
∂v
∆x + i ∂ x ∆y − ∂ x ∆y + i ∂ x ∆x o (∆z)
= ∂x
+
+
∆z
∆z
∆z
∂u
∂ v o (∆z)
=
+i +
.
∂x
∂x
∆z
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Vì vậy
∆f
∂u
∂v
=
+i
∆z→0 ∆z
∂x
∂x
tức là f C- khả vi tại z = x + iy.
lim
Nhận xét 1.1.5. (1.) Giả sử f là R2 -khả vi tại z ∈ Ω ⊂ C
Xét vi phân
∂f
∂f
dx +
dy.
∂x
∂y
Vì dz = dx + idy và d z̄ = dx − idy nên
df =
(1.1.6)
1
1
dx = (dz + d z̄), dy = (dz − d z̄).
2
2i
Thế các đẳng thức này vào (1.1.6) ta có
∂f
1 ∂f
∂f
1 ∂f
− i )dz + (
+ i )d z̄.
df = (
2 ∂x
∂y
2 ∂x
∂y
Nếu đặt
∂f
1 ∂f
∂f ∂f
1 ∂f
∂f
= (
− i ),
= (
+i )
∂z 2 ∂x
∂ y ∂ z̄ 2 ∂ x
∂y
(1.1.7)
thì
df =
∂f
∂f
dz +
d z̄.
∂z
∂ z̄
(1.1.8)
Bởi vì
∂f
1 ∂f
∂f
1 ∂u ∂v
∂v ∂u
= (
+ i ) = [( − ) + i( + )]
∂ z̄ 2 ∂ x
∂y
2 ∂x ∂y
∂x ∂y
nên f thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại z nếu và chỉ nếu
∂f
(z) = 0.
∂ z̄
Nói cách khác hàm R2 -khả vi f tại z là C-khả vi nếu và chỉ nếu
∂f
(z) = 0.
∂ z̄
(2.) Từ (1.1.1) và (1.1.2) và nhận xét trên, nếu f C-khả vi tại z thì ta có
∂f
1 ∂u
∂v
∂u
∂v
(z) =
(z) + i (z) − i (z) + (z)
∂z
2 ∂x
∂x
∂y
∂y
0
1 ∂u
∂v
∂u
∂v
=
2 (z) + 2i (z) =
(z) + i (z) = f (z) .
2 ∂x
∂x
∂x
∂x
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.2.
Công thức tích phân Cauchy
1.2.1.
Công thức tích phân Cauchy
Định lý 1.2.1. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và z0 ∈ Ω. Khi đó với
mọi chu tuyến γ ⊂ Ωγ ⊂ Ω ta có công thức tích phân Cauchy
1 Z f (η)
f (z0 ) =
2πi
γ
η − z0
dη.
Nếu thêm f liên tục trên Ω̄ và ∂ Ω là một chu tuyến, thì với mọi z ∈ Ω ta có
f (η)
1 Z
f (z) =
2πi
∂Ω
dη.
η −z
Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh z0 sao cho Ωγ ⊂ Ω. Chọn
ρ > 0 đủ bé để hình tròn D(z0 , ρ) ⊂ Ωγ . Ký hiệu Cρ là biên của D(z0 , ρ) và đặt
Ωγ,ρ = Ωγ \D(z0 , ρ)
Ωγ,ρ là miền 2- liên, ta có
f (η)
Z
γ∪Cρ−
η − z0
dη = 0.
Từ đó ta có công thức
f (η)
Z
γ
η − z0
f (η)
Z
dη =
η − z0
Cρ
dη.
Thực hiện phép biến đổi η = z0 + ρeiϕ , dη = iρeiϕ dϕ ta được
Z
Cρ
f (η)
η − z0
dη =
Z 2π f (z + ρeiϕ )
0
ρeiϕ
0
Z 2π
=i
0
Z 2π
=i
0
iρeiϕ dϕ
f (z0 + ρeiϕ )dϕ
[ f (z0 + ρeiϕ ) − f (z0 )]dϕ + 2πi f (z0 ).
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chú ý rằng khi ρ → 0 thì do tính liên tục của f ta có
Z 2π
lim i
0
ρ→0
[ f (z0 + ρeiϕ ) − f (z0 )]dϕ = 0
vì thế
f (η)
Z
lim
ρ→0 γ
η − z0
dη = 2πi f (z0 ).
Vậy
1 Z f (η)
f (z0 ) =
2πi
γ
η − z0
dη.
Trong trường hợp f liên tục trên Ω̄ và chỉnh hình trên Ω có thể lấy ∂ Ω thay cho
γ trong chứng minh trên. Khi đó với mọi z ∈ Ω các điều kiện của trường hợp
nói trên đều được thỏa mãn, vì vậy ta có :
f (η)
1 Z
f (z) =
1.2.2.
2πi
∂Ω
dη.
η −z
Bất đẳng thức Cauchy
Định lý 1.2.2. Nếu f là hàm chỉnh hình trên Ω, điểm a ∈ Ω, 0 < r < d(a, ∂ Ω)
và
M(a, r) = sup|z−a|=r | f (z)|.
Khi đó ta có bất đẳng thức sau
n!M(a, r)
.
rn
| f (n) (a)| ≤
(1.2.1)
Chứng minh. Ta có
f
(n)
n!
(z) =
2πi
f (η)
dη, n = 0, 1, 2, · · ·
n+1
γ (η − z)
Z
với γ = ∂ D(a, r) ta có
n!
| f n)(a)| = |
2πi
(
f (η)
dη|
n+1
γ (η − a
Z
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
≤
1.2.3.
n! M(a, r)
n!M(a, r)
|γ|
=
, n = 0, 1, · · ·
2π rn+1
rn
Định lý về giá trị trung bình
Định lý 1.2.3. Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và hình tròn D̄(z0 , r) ⊂ Ω,
thì
1 2π
f (z0 ) =
f (z0 + reiϕ )dϕ.
2π 0
Chứng minh. Theo công thức tích phân Cauchy ta có
Z
1
f (z0 ) =
2πi
f (z)
dz.
∂ D(z0 ,r) (z − z0 )
Z
Viết z = z0 + reiϕ , z ∈ ∂ D(z0 , r) ta có
1
f (z0 ) =
2π
1.2.4.
Z 2π
0
f (z0 + reiϕ )dϕ.
Nguyên lý môđun cực đại
Định lý 1.2.4. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn trên miền Ω và
liên tục trên Ω. Khi đó hoặc f = const hoặc | f (z)| chỉ đạt cực đại trên biên ∂ Ω
của Ω.
Chứng minh. Vì f liên tục trên tập compact Ω nên tồn tại z0 ∈ Ω sao cho
max | f (z)| = | f (z0 )| .
z∈Ω
Giả sử z0 ∈ Ω, ta sẽ chứng minh rằng f (z) = const. Lấy r > 0 sao cho D (z0 , r) ⊂
Ω. Theo định lý giá trị trung bình ta có
| f (z0 )| =
6
1
2π
1
2π
Z2π
0
Z2π
Z2π
1
iϕ
| f (z0 )| dϕ = f z0 + re dϕ 6
2π
0
(1.2.2)
f z0 + reiϕ dϕ,
0
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
suy ra
1
2π
Z2π
f z0 + reiϕ − | f (z0 )| dϕ > 0.
(1.2.3)
0
Trên đường tròn ∂ D (z0 , r) ta có
f z0 + reiϕ 6 | f (z0 )| = M
và do đó
1
2π
Z2π
f z0 + reiϕ − | f (z0 )| dϕ = 0,
0
bởi tính liên tục suy ra f z0 + reiϕ = | f (z0 )| = M, với mọi 0 6 ϕ 6 2π.
0
Tương tự có đẳng thức trên với mọi r 6 r, do đó | f (z)| = M với mọi z ∈
D (z0 , r).
Lấy z∗ tùy ý trong Ω. Gọi L là đường cong nối z0 với z∗ . Do L compact tồn
tại các điểm z0 , z1 , . . . , zn = z∗ trên L và r > 0 sao cho
L⊂
n
[
D (z j , r) và z j+1 ∈ D (z j , r) ⊂ Ω, j = 0, 1, . . . , n − 1.
j=0
Do | f (z)| = M trên D (z0 , r) nên | f (z1 )| = M. Vì vậy theo lập luận trên | f (z)| =
M với mọi z ∈ D (z1 , r) , . . . , | f (z)| = M với mọi z ∈ D (zn−1 , r). Đặc biệt | f (z∗ )| =
M.
Như vậy ta chứng minh được | f (z)| = M với mọi z ∈ Ω. Viết
f (z) = | f (z)| ei arg f (z) = Meiϕ(x,y) = M cos ϕ (x, y) + iM sin ϕ (x, y) .
Theo điều kiện Cauchy - Riemann
∂ϕ
∂ϕ
= M cos ϕ
∂x
∂y
∂ϕ
∂ϕ
−M cos ϕ
= −M sin ϕ
.
∂x
∂y
−M sin ϕ
(1.2.4)
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Nhân đẳng thức thứ nhất của (1.2.4) với sin ϕ và nhân đẳng thức thứ 2 với cos ϕ
rồi so sánh ta có
Msin2 ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
= −Mcos2 ϕ
hay M
= 0.
∂x
∂x
∂x
Nếu M = 0 thì hiển nhiên f = const. Nếu M 6= 0 thì
trong hai vế của (1.2.4) ta có
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂x
= 0. Thay vào một
= 0. Từ đó suy ra ϕ = const trong miền Ω, vậy
f = const
1.3.
Công thức khai triển Taylor
1.3.1.
Chuỗi Taylor
Định nghĩa 1.3.1. Chuỗi hàm có dạng
∞
∑ Cn(z − z0)n
n=0
gọi là chuỗi Taylor tại z0 hay chuỗi lũy thừa của z − z0 .
1.3.2.
Công thức khai triển Taylor
Định lý 1.3.2. Nếu hàm f chỉnh hình trên hình tròn |z − z0 | < R, thì trong hình
tròn này f (z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z0 . Cụ thể là
∞
f (z) =
∑ Cn(z − z0)n
với |z − z0 | < R
n=0
ở đây các hệ số Cn được xác định một cách duy nhất theo công thức
1
f (n) (z0 )
=
Cn =
n!
2πi
f (η)
dη
n+1
|η−z0 |=r (η − z0 )
Z
với 0 < r < R.
Chứng minh. Lấy tùy ý z với |z − z0 | < R.
Chọn r > 0 sao cho |z − z0 | < r < R. Theo công thức tích phân Cauchy ta có
1
f (z) =
2πi
f (η)
dη
γr η − z
Z
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
ở đây γr là đường tròn |z − z0 | = r.
Ta viết
1
1
η −z
=
1
(η − z0 ) − (z − z0 )
=
(η − z0 )(1 −
vì thế nếu η ∈ γr
thì |
z − z0
η − z0
z − z0
η − z0
)
| < 1.
Ta có
∞
∞
1
z − z0 k
(z − z0 )k
1
(
=
)
=
∑ η − z1
∑
k+1
η − z η − z0 k=0
k=0 (η − z0 )
và chuỗi này hội tụ đều trên γr . Theo định lý về tích phân đường (Định lý 1, §1,
ch 4, [1]) ta có
1
2πi
f (η)
1
dη =
2πi
γr (η − z)
Z
(z − z0 )k
]dη
f (η)[ ∑
k+1
k=0 (η − z0 )
∞
Z
γr
∞
1
= ∑ (z − z0 )
2πi
k=0
k
f (η)
dη.
k+1
γr (η − z0 )
Z
Chú ý rằng
1
Ck =
2πi
f (k) (z0 )
f (η)
dη =
, k = 0, 1, 2, · · ·
k+1
k!
γr (η − z0 )
Z
không phụ thuộc vào r, 0 < rR. Vậy ta có
1
f (z) =
2πi
∞
f (η)
dη = ∑ Cn (z − z0 )n .
γr η − z
n=0
Z
Hệ quả 1.3.3. Hàm f (z) xác định trên miền Ω là chỉnh hình khi và chỉ khi với
mọi z0 ∈ Ω hàm f có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa theo z − z0 mà nó hội
tụ tới f (z) với bán kính hội tụ R ≥ d(z0 , ∂ D).
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Nhận xét: Định lý Taylor không đúng trong tường hợp khả vi thực. Chẳng
hạn hàm ϕ xác định trên đoạn thẳng thực bởi
1
e− x2 nếu x 6= 0
ϕ (x) =
0
nếu x = 0
khả vi vô hạn với ϕ (n) (0) = 0 với n = 0,1,2, . . .
Điều đó có nghĩa chuỗi Taylor của ϕ tại 0 bằng 0, song ϕ không đồng nhất
bằng không trong bất cứ lân cận nào của 0.
1.4.
Không gian Hardy
1.4.1.
Không gian L p
Ta ký hiệu T là đường tròn đơn vị phức và L 1 (p = 1) là không gian
tuyến tính các hàm khả tích Lebesgue trên T với phép cộng điểm và nhân vô
hướng, đặt
N =
f ∈L1 :
1
2π
Z2π
0
| f | dθ = 0 .
2π
1 R
| f |dθ . Dễ
Ký hiệu L1 là không gian thương L N với chuẩn k[ f ]k1 = 2π
0
thấy đây là một chuẩn trên
L1 ,
ta kiểm tra tính đầy đủ của nó.
1
Thật vậy, lấy {[ fn ]}∞
n=1 là một dãy trong L thỏa mãn
∞
∑ k[ fn]k1 6 M < ∞.
n=1
N
Chọn đại diện fn của mỗi [ fn ], thì dãy ∑ | f |∞
N=1 là một dãy tăng, các hàm đo
n=1
được không âm có tính chất sau
1
2π
Z2π
0
N
!
∑ | fn |
N
dθ =
n=1
∑ k[ fn]k1 6 M
n=1
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
∞
theo bổ đề Fatou hàm h = ∑ | fn | là khả tích. Do đó dãy
n=1
∞
hội tụ
∑ fn
n=1
hầu khắp nơi tới một hàm khả tích k trong L 1 .
∞
n=1
Cuối cùng ta đánh giá
Z2π ∞
N
N
1
∑ fn − ∑ fn dθ 6
[k] − ∑ [ fn ]
=
2π n=1
n=1
n=1
1
∞
1
6 ∑
n=N+1 2π
0
Z2π
∞
| fn |dθ 6
∑
k[ fn ]k1 .
n=N+1
0
∞
Do đó ∑ [ fn ] = [k]. Vậy L1 là không gian Banach.
n=1
Với 1 < p < ∞ ký hiệu
2π
Z
1
p
p
1
| f | dθ < ∞ và N
L = f ∈L :
2π
p
= N ∩ L p.
0
Khi đó không gian thương L p = L p N
1
k[ f ]k p =
2π
p
là một không gian Banach với chuẩn
Z2π
1
p
| f | p dθ .
0
Trường hợp p = ∞ ta ký hiệu L ∞ là không gian con của L 1 là tập hợp các
hàm bị chặn cốt yếu f thỏa mãn tập hợp {x ∈ T : | f (x)| > M} có độ đo 0 với
M đủ lớn và ký hiệu k f k∞ là số M nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên. Tương tư
như trên, đặt N ∞ = N ∩ L ∞ , khi đó L∞ = L ∞ N ∞ . Ta thấy với f ∈ L ∞ ta
có k f k∞ = 0 nếu và chỉ nếu f ∈ N ∞ . Do đó k f k∞ là một chuẩn trên L∞ , ta sẽ
kiểm tra L∞ là không gian Banach.
∞
∞
Thật vậy, chọn {[ fn ]}∞
n=1 là dãy trong L thỏa mãn ∑ k[ f n ]k∞ 6 M < ∞, ta
n=1
∞
chứng minh ∑ [ fn ] hội tụ.
n=1
Chọn fn đại diện cho mỗi [ fn ] thỏa mãn | fn | bị chặn hầu khắp nơi bởi k[ fn ]k∞ .
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Khi đó
∞
∑ | fn | 6 M < ∞
n=1
∞
hầu khắp nơi trên T. Khi đó hàm h (x) = ∑ fn (x) đo được và bị chặn hầu khắp
n=1
N
∞
= 0. Vậy L∞ là không
nơi bởi M. Do đó h ∈ L và dễ thấy lim
[h]
−
[
f
]
∑
n
N→∞
gian Banach.
n=1
∞
Ký hiệu C là tập hợp các hàm liên tục trên T, dễ thấy C ⊂ L∞ ⊂ Lr ⊂ Ls ⊂
L1 với 1 < s 6 r < ∞
1.4.2.
Không gian Hardy
Định nghĩa 1.4.1. Với 1 6 p 6 ∞. Khi đó H p = { f ∈ L p : fn = 0, ∀n < 0} được
gọi là không gian Hardy.
Nhận xét:
• H p là không gian con đóng của L p và H ∞ ⊂ H r ⊂ H s ⊂ H 1 với 1 6 s 6
r 6 ∞.
• Khi nói f ∈ H p ta hiểu là f xác định trên cả đĩa đơn vị D = {z ∈ C : |z| < 1}.
• H ∞ là đại số Banach.
• H 2 là không gian Hilbert và f ∈ H 2 nếu và chỉ nếu ∑ | fn |2 < ∞. Tập
hợp các đơn thức
1.4.3.
{zn , n
∈ Z+ } là cơ sở trực giao của
n∈Z+
H 2.
Tính đối ngẫu của không gian H p
Với 1 6 p 6 ∞ ký hiệu
Zπ
p
p
iθ
H (0) = f ∈ H :
f e dθ = 0 = zH p .
−π
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 1
Định lý 1.4.2. Nếu 1 < p < ∞ và + = 1 thì Lq H q có đối ngẫu là H p (0)
p q
và H p có đối ngẫu là Lq H q (0)
Chứng minh. (1) Gọi Λ là hàm tuyến tính bị chặn trên Lq H q . Khi đó ta xây
dựng được hàm tuyến tính trên Lq như sau
e ( f ) := Λ ( f + H p ) .
Λ
Do đối ngẫu của
Lq
là
Lp
nên tồn tại L
Zπ
e(f) =
Λ
∈ L p,
e
với kLk p =
Λ
sao cho
f eiθ L eiθ dθ .
−π
e (g) = 0 nếu f ∈ H q , ta có
Theo tính chất Λ
Zπ
f eiθ L eiθ dθ = 0 , n = 0, 1, 2, · · ·
−π
Khi đó L có thể khai triển Fourier có dạng
∞
∑ Aneinθ ,
n=1
do đó L ∈ H p (0).
Ngược lại, với L ∈ H p (0) ta xây dựng được hàm tuyến tính trên Lq H q tương
tự như trên. Vậy H p (0) là đối ngẫu của Lq H q .
(2) Với [L] ∈ Lq H q (0) , g ∈ H p ta xây dựng hàm tuyến tính trên H p như sau
Λ (g) =
Zπ n
iθ
L e
o
+ f eiθ g eiθ dθ .
(1.4.1)
−π
Biểu thức (1.4.1) hoàn toàn xác định, vì với mọi f1 ∈ H p , f2 ∈ H p thì
Zπ n
o
iθ
f1 e − f2 eiθ g eiθ dθ = 0.
−π
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -