Tài liệu Luận Văn thạc sĩ DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG - Trịnh Ngọc Ẩn (2015)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trịnh Ngọc Ẩn DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trịnh Ngọc Ẩn DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã luôn động viên, tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này. Tôi cũng trân trọng kính lời cảm ơn đến:  PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Vũ Như Thư Hương. Mỗi thầy cô đã tận tình giảng dạy, truyền thụ những tri thức quý báu cho chúng tôi về didactic Toán thật sinh động, cụ thể và đầy ý nghĩa.  Đặc biệt, TS. Vũ Như Thư Hương, sau chuyên đề Hợp đồng Didactic, cô còn dành một buổi làm việc để hướng dẫn cho lớp tôi các kỹ năng cần thiết về tin học khi trình bày một luận văn. Và tôi cũng chân thành biết ơn:  Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập tại đây.  Các bạn trong lớp cao học khóa 24 đã chia sẻ, động viên nhau để hoàn thành luận văn.  Sở GD&ĐT tỉnh Tiền Giang, Ban Giám Hiệu, thầy cô trường THPT Vĩnh Kim – Tiền Giang đã tạo điều kiện về mọi mặt giúp tôi được tham gia khóa học. Đặc biệt, thầy Hồ Quang Đức đã hỗ trợ tôi rất nhiều về mặt chuyên môn.  Thầy cô và học sinh trường THPT Nguyễn Đình Chiểu – Tiền Giang và trường THPT Chợ Gạo – Tiền Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Cuối cùng, tôi không thể quên công ơn của những người thân trong gia đình. Đó là, cha mẹ và hai em tôi đã tạo mọi điều kiện tốt nhất, là hậu phương vững chắc giúp tôi yên tâm hoàn thành khóa học. Trịnh Ngọc Ẩn MỤC LỤC Trang phụ bìa Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các thuật ngữ viết tắt Danh mục các bảng Danh mục các hình vẽ MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 Chương 1. PHÂN TÍCH MỘT GIÁO TRÌNH CALCULUS CỦA MỸ ................ 10 1.1. Lần đầu xuất hiện kí hiệu dy và dx .................................................................. 13 1.2. Tiếp cận định nghĩa vi phân ............................................................................ 14 1.2.1. Hoạt động tiếp cận.................................................................................... 14 1.2.2. Định nghĩa các vi phân ............................................................................. 17 1.3. Phân tích các tổ chức toán học ........................................................................ 20 1.4. Kết luận chương 1 ........................................................................................... 30 Chương 2. PHÂN TÍCH CÁC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN PHỔ THÔNG ....... 34 2.1. Phân tích chương trình .................................................................................... 34 2.2. Phân tích sách giáo khoa ................................................................................. 35 2.2.1. Hoạt động tiếp cận.................................................................................... 35 2.2.2. Định nghĩa vi phân ................................................................................... 36 2.2.3. Ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng .................................................. 39 2.3. Phân tích các tổ chức toán học ........................................................................ 41 2.3.1. Các kiểu nhiệm vụ trong chương trình chuẩn............................................ 41 2.3.2. Các kiểu nhiệm vụ trong chương trình nâng cao ....................................... 45 2.3.3. Các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa Việt Nam tham chiếu với giáo trình Mỹ.................................................................................................. 48 2.4. Kết luận chương 2 ........................................................................................... 52 Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ......................................................... 55 3.1. Đối tượng thực nghiệm và hình thức thực nghiệm ........................................... 55 3.2. Nội dung thực nghiệm ..................................................................................... 55 3.2.1. Thực nghiệm 1 ......................................................................................... 56 3.2.2. Thực nghiệm 2 ......................................................................................... 57 3.3. Phân tích a priori ............................................................................................. 62 3.3.1. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................ 62 3.3.2. Phân tích a priori thực nghiệm 1 ............................................................... 62 3.3.3. Phân tích a priori thực nghiệm 2 ............................................................... 65 3.4. Phân tích a posteriori ....................................................................................... 68 3.4.1. Phân tích a posteriori thực nghiệm 1 ......................................................... 68 3.4.2. Phân tích a posteriori thực nghiệm 2 ......................................................... 80 3.5. Kết luận chương 3 ........................................................................................... 88 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT CT: Chương trình GT_M: Giáo trình Mỹ HS: Học sinh KNV: Kiểu nhiệm vụ SBT: Sách bài tập SGK: Sách giáo khoa SGK_CB: Sách giáo khoa giải tích 11 cơ bản SGK_NC: Sách giáo khoa giải tích 11 nâng cao SGK_VN: Sách giáo khoa Việt Nam SGV: Sách giáo viên THPT: Trung học phổ thông tr. : Trang DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 1.1. Thống kê số lượng nhiệm vụ thuộc vào từng kiểu nhiệm vụ trong GT_M .. 31 Bảng 1.2. Bảng liệt kê ý nghĩa của vi phân qua phân tích tổ chức toán học ................ 32 Bảng 2.1. Bảng tham chiếu việc thống kê số lượng nhiệm vụ thuộc vào từng kiểu nhiệm vụ trong GT_M và SGK_VN ......................................................... 49 Bảng 2.2. Bảng tham chiếu ý nghĩa của vi phân có thể xuất hiện thông qua các tổ chức toán học .................................................................................................... 50 Bảng 3.1. Thống kê các câu trả lời của HS trong câu hỏi 1a ....................................... 69 Bảng 3.2. Thống kê câu trả lời của HS về việc tính 𝑑𝑥 trong câu hỏi 1b .................... 71 Bảng 3.3. Thống kê câu trả lời của HS về việc tính 𝑑𝑦 trong câu hỏi 1b .................... 73 Bảng 3.4. Thống kê câu trả lời của HS về ý nghĩa của 𝑑𝑥 𝑣à 𝑑𝑦 trong câu hỏi 1b ...... 74 Bảng 3.5. Thống kê câu trả lời của HS trong câu hỏi 1c ............................................. 76 Bảng 3.6. Thống kê câu trả lời của HS cho đề về tính gần đúng trong câu hỏi 1c .... .. 77 Bảng 3.7. Thống kê các câu trả lời của HS trong câu hỏi 2 ........................................ 79 Bảng 3.8. Thống kê các chiến lược giải của các nhóm ở pha 1 ................................... 81 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Trang Hình 0. Xây dựng vi phân từ bài toán xác định tiếp tuyến ............................................ 3 Hình 1.1. Qui trình mô hình toán học ......................................................................... 11 Hình 1.2. Minh họa định nghĩa các vi phân ................................................................ 19 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát  Từ các kết quả khoa học luận Theo tác phẩm Giới thiệu lịch sử toán học của Howard Eves (1969) “phép lấy vi phân có thể nói là bắt nguồn từ việc giải bài toán vẽ các tiếp tuyến của các đường cong và tìm các giá trị cực đại và cực tiểu của một hàm số” [5, tr.375]. Theo Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004) “mặc dầu có nhiều nhà toán học dần tiếp cận với các phép tính vi – tích phân, nhưng Newton – Leibniz mới được coi là người phát minh ra phép tính vi – tích phân một cách độc lập” [1, tr.23]. Tiếp tuyến và đạo hàm cổ điển đi đôi với nhau và gắn liền với hai nhà toán học Newton, Leibniz. Tuy nhiên tiến trình xây dựng hai khái niệm này của hai nhà toán học khác nhau: - Newton xây dựng khái niệm đạo hàm từ bài toán vận tốc tức thời và từ khái niệm này, ông giải quyết bài toán tiếp tuyến. - Leibniz xuất phát từ việc giải quyết bài toán tiếp tuyến đã đưa ra khái niệm vi phân và xây dựng đạo hàm theo khái niệm này. Leibniz được cho là người đầu tiên dùng kí hiệu dy để chỉ đạo hàm. dx Chúng tôi tìm được một số nghiên cứu đề cập đến các kết quả tri thức luận liên quan đến mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm: - Khóa luận nghiệp vụ của N.Chaboud và D.Hedde (2000) với nhan đề: Tiếp tuyến và đạo hàm phải chăng là một cặp? - Luận văn thạc sĩ của Bùi Thị Thu Hiền (2007) với nhan đề: Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm. Từ đó các câu hỏi có thể được đặt ra: 2 Đâu là mối liên hệ giữa tiếp tuyến và vi phân? Bài toán tiếp tuyến có thể nảy sinh khái niệm vi phân như thế nào?  Từ các kết quả nghiên cứu thể chế Việt Nam Sách giáo viên Đại số và Giải tích lớp 11 (bộ cơ bản) của tác giả Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) (2010) có đoạn viết như sau: “Theo quy định của chương trình, trong sách giáo khoa khái niệm này chỉ được đưa ra một cách nhẹ nhàng, chủ yếu là để có kí hiệu sử dụng sau này” [6, tr.175]. Như vậy làm sao để giới thiệu vi phân “một cách nhẹ nhàng”? Những ý nghĩa nào học sinh sẽ hình thành với cách tiếp cận “nhẹ nhàng” của SGK về khái niệm này? Khi tìm vi phân của một hàm số y  f  x  , ta chỉ cần áp dụng công thức dy  f '  x  dx một cách hình thức. Như vậy, vi phân và đạo hàm có gì khác nhau? Vi phân là một bài cuối cùng của chương trình 11 và ứng dụng của vi phân là tính gần đúng của hàm. Trong khi đó, hiện nay công cụ máy tính hỗ trợ việc tính gần đúng, như vậy tại sao học sinh phải học vi phân? 1.2. Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài Đầu tiên, chúng tôi xem xét một số nghiên cứu về khái niệm đạo hàm (chủ đề gần với nghiên cứu của chúng tôi) trong một số luận văn thạc sĩ cùng chuyên ngành.  Luận văn thạc sĩ của Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm Trước hết, tác giả nêu đặc trưng khoa học luận về mối quan hệ của tiếp tuyến và đạo hàm qua 4 giai đoạn. Kết quả nghiên cứu của tác giả đã cho thấy Leibniz xây dựng các vi phân từ bài toán xác định tiếp tuyến như sau: 3 Hình 0. Xây dựng vi phân từ bài toán xác định tiếp tuyến Giả sử YY là đường cong tùy ý (hình 0). Y là điểm biến thiên trên đó với hoành độ 𝐴𝑋 = 𝑥 và tung độ YX = y, Leibniz kí hiệu 𝑑𝑥 đơn giản là đoạn thẳng được lấy tùy ý. Nếu YD là tiếp tuyến của đường cong tại điểm Y, thì đoạn thẳng mà tỉ lệ với 𝑑𝑥 cũng như là tung độ y tỉ lệ với XD (tiếp ảnh) được gọi là dy. Như vậy, vi phân của hàm số dy được xác định bởi đẳng thức dy y .  dx XD Sau đó, Leibniz đã đưa ra các quy tắc tính toán liên quan đến việc lấy vi phân của hằng số, tổng, hiệu, tích, thương, căn số. Từ phương trình của đường cong, bằng các qui tắc đó, Leibniz xác định được tỉ số dy , từ đó xác định được tiếp ảnh XD. dx Như vậy, Leibniz quan niệm “tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến và hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số các vi phân dy ” [9, tr.11]. dx Tiếp theo, tác giả phân tích mối quan hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm ở cấp độ tri thức cần giảng dạy thông qua phân tích chương trình SGK Pháp (bộ SGK Déclic Maths – Hachette livre 2002) và SGK_VN (SGK chỉnh lí hợp nhất 2000, SGK thí điểm bộ 2 lớp 11 và SGK thí điểm bộ 2 lớp 12). Cuối cùng, tác giả nghiên cứu thực nghiệm kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết nghiên cứu: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ”.  Luận văn thạc sĩ của Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thông 4 Tác giả nghiên cứu việc xây dựng khái niệm đạo hàm trong một số giáo trình bậc đại học. Tiếp theo, tác giả phân tích chương trình và sách giáo khoa Toán phổ thông của Việt Nam để làm rõ mối quan hệ của thể chế dạy học Việt Nam đối với khái niệm này qua các thời kì: lớp 12 chỉnh lí hợp nhất (năm 2000) và lớp 11, 12 hiện hành để thấy được những ràng buộc của thể chế dạy học Việt Nam trên khái niệm đạo hàm. Bên cạnh đó, chúng tôi còn tìm thấy những kết quả liên quan đến luận văn của chúng tôi, đó là hai kiểu nhiệm vụ sau: Kiểu nhiệm vụ T4: “Tìm vi phân của hàm số y = f(x)”. Kiểu nhiệm vụ T5: “Tính gần đúng một giá trị”. Đối với kiểu nhiệm vụ “tính gần đúng một giá trị”, tác giả nhận xét như sau: Vấn đề tính gần đúng nhờ vi phân chưa thực sự được thể chế quan tâm. SGK_CB đưa ra khái niệm vi phân chỉ nhằm mục đích giới thiệu kí hiệu 𝑑𝑦 và 𝑑𝑥, nhằm phục vụ cho chương tiếp theo là Nguyên hàm và Tích phân. Trong các lời giải mà SGK và SBT đề nghị cũng không nêu rõ cách chọn x0 và x thế nào [13, tr.51]? Chúng tôi sẽ sử dụng lại kết quả này trong phần phân tích các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm vi phân trong chương trình hiện hành.  Luận văn thạc sĩ của Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học Toán và Vật lí ở trường trung học phổ thông - Tác giả đã chỉ ra được hai đặc trưng cơ bản của khái niệm đạo hàm là đặc trưng tốc độ biến thiên và đặc trưng xấp xỉ, cùng với nó là vai trò của hai đặc trưng này trong các ứng dụng của vật lí. - Tác giả đã một lần nữa khẳng định: Theo kết quả nghiên cứu của các tác giả trước thì mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine cũng không được hình thành trong quan hệ cá nhân của học sinh, thế nên nghĩa xấp xỉ cũng không thể xuất hiện. Chúng tôi tìm được một số kết quả liên quan đến luận văn như sau: - Về chứng minh công thức vi phân một tích của Leibniz Leibniz nói rằng: " d ( xy) có thể xem như hiệu của hai tích xy liên tiếp, một cái là xy còn cái kia là ( x  dx)( y  dy) , vậy nên: 5 d ( xy)  ( x  dx)( y  dy)  xy  xdy  ydx  dx.dy Số hạng dx.dy mà theo Leibniz thì “nhỏ không đáng kể so với các số hạng còn lại” nên sẽ được “khử” đi. Vì vậy, ta sẽ có công thức vi phân của một tích là: d ( xy)  xdy  ydx [4, tr.20]. - Về đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm Ý nghĩa hình học của đạo hàm như là hệ số góc của tiếp tuyến lại được trình bày tách rời với đặc trưng xấp xỉ của nó. Công thức f ( x 0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x để tính gần đúng không được xây dựng qua con đường xấp xỉ hình học mà lại đi từ định nghĩa đạo hàm theo giới hạn. Đặc trưng xấp xỉ đồ thị hàm số bởi đường thẳng tiếp tuyến và tương ứng với đó là xấp xỉ hàm số bởi hàm tuyến tính đơn giản hơn không được làm rõ [4, tr.55].  Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Cẩm Trinh (2010), Nghiên cứu didactic về x trong toán học và trong vật lý Sau khi phân tích chương trình và các bộ sách giáo khoa toán học (Đại số và Giải tích 11 ban cơ bản và ban nâng cao, Giải tích 12 ban cơ bản và ban nâng cao của chương trình hiện hành) và bộ SGK vật lý (chương trình cơ bản và nâng cao), tác giả đưa ra hai giả thuyết sau: H1: Trong các bài tập có mặt x, học sinh thao tác x như là một đại lượng phụ thuộc vào x bằng cách dựa vào 2 đẳng thức x = .x x = x - xo H2: Tồn tại các quy tắc R1: x có giá trị vô cùng bé R2: Nếu nằm trong mô hình vật lý, dấu của x là dấu của đại lượng vật lý liên quan. Nếu nằm ngoài mô hình vật lý, dấu của x là dấu dương. Trong thể chế Vật lí, tác giả đưa ra kết luận rằng: x được đưa vào khi học cơ học nghiên cứu các chuyển động của chất điểm, x được dùng để chỉ số gia của một đại 6 lượng nào đó và có thể được định nghĩa x = x2 - x1, x = x – xo. Nói chung, x xuất hiện trong vật lí chủ yếu đóng vai trò kí hiệu. Trong thể chế dạy học toán, tác giả lại chỉ ra: x mặc dù xuất hiện với vai trò công cụ trong việc tính đạo hàm bằng định nghĩa và tính gần đúng bằng vi phân, tuy nhiên vai trò công cụ của x trong toán học là khá mờ nhạt. Bên cạnh đó, tác giả đã chỉ ra được sự hợp lí của kí hiệu ∆𝑥 = 𝑑𝑥 trong vi phân Khi đề cập đến khái niệm vi phân ta lại có x = dx mà dx là kí hiệu viết tắt xuất phát từ tiếng Latin differentia có nghĩa là “hiệu” dùng để chỉ hiệu hai giá trị của biến số x. Do đó, mặc dù việc dùng kí hiệu x trong chương trình trung học phổ thông gây ra một số nhầm lẫn nhưng nó vẫn được sử dụng vì lý do lịch sử và phù hợp với kiến thức đã biết về x trong vật lý. Hơn nữa, kí hiệu này nhấn mạnh số gia đang xét tại điểm x, phù hợp với ý nghĩa của việc đưa vào định nghĩa đạo hàm và trình độ của học sinh phổ thông trung học [14, tr.45].  Luận án của Trần Lương Công Khanh (2006), La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques au lycée: une étude comparative entre la France et le Vietnam. Trong công trình này, tác giả đã thực hiện một nghiên cứu so sánh về dạy học đối tượng tích phân ở Pháp và Việt Nam. Sau đây là một số kết quả mà chúng tôi quan tâm: - Leibniz (1675) đã dùng kí hiệu 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 để chỉ các lượng vô cùng bé của 𝑥 và 𝑦 khi chưa có khái niệm giới hạn và dùng dy để chỉ tỉ số giữa dy và dx, trong đó dy và dx dx là hai lượng vô cùng bé của y và của x. - Việc xem xét một số sách chuyên khảo cho thấy ý nghĩa của các kí hiệu vi phân như sau: + Bourbaki (1949) xem 𝑑𝑥 chính là ∆𝑥 số gia của biến 𝑥. + Fiktengolz (1968) định nghĩa 𝑑𝑥 là vi phân của hàm y  x và 𝑑𝑦 = 𝑦𝑥′ 𝑑𝑥. Các sách giáo khoa hiện hành của Việt Nam định nghĩa vi phân theo cách này. 7 - Sau khi nghiên cứu sách giáo khoa Giải tích 12 của chương trình chỉnh lí hợp nhất (năm 2000), tác giả đã rút ra ba giá trị công cụ và kí hiệu của vi phân dx trong kí hiệu tích phân : + Giá trị kí hiệu của “thừa số đại số”, + Giá trị kí hiệu và công cụ của “chỉ dẫn biến số lấy tích phân”, + Giá trị công cụ của “thừa số vi phân”. Như vậy kết quả của Trần Lương Công Khanh đã cho thấy những vai trò công cụ của vi phân trong phép tính tích phân. Từ đó chúng tôi xác định rõ lại câu hỏi ban đầu của mình theo phương diện toán học và phương diện dạy học toán ở trường phổ thông như sau : - Phương diện tri thức luận: Đâu là sự khác nhau giữa vi phân và đạo hàm? Đâu là mối liên hệ giữa chúng? Bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong có thể làm nảy sinh khái niệm vi phân như thế nào? Vai trò công cụ nào của vi phân ngoài mối liên hệ với phép tính tích phân? - Phương diện dạy và học toán: Học sinh hiểu khái niệm vi phân như thế nào sau khi học? 1.3. Xác định lại vấn đề nghiên cứu Qua tổng hợp các công trình nghiên cứu trên, chúng tôi nhận thấy chưa có luận văn nào nghiên cứu đến khái niệm vi phân. Các luận văn về đạo hàm, tích phân có đề cập đến vi phân nhưng ở một khía cạnh nào đó. Ví dụ như: kí hiệu vi phân, ứng dụng của đạo hàm là công cụ xấp xỉ nhờ vào vi phân. Thêm vào đó, từ những ghi nhận ban đầu trong việc nghiên cứu khoa học luận và thể chế dạy học ở Việt Nam, chúng tôi chọn đề tài Dạy học khái niệm vi phân ở trường trung học phổ thông để thực hiện nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ. Cụ thể chúng tôi nghiên cứu khái niệm vi phân trên hai phương diện: phương diện khoa học luận và phương diện dạy học toán ở bậc trung học phổ thông ở Việt Nam như đã trình bày trên đây. 8 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu trong phạm vi của didactic toán, mà cụ thể là thuyết nhân học trong didactic toán (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân), lý thuyết tình huống. 3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu 3.1. Mục tiêu nghiên cứu - Làm rõ ý nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm vi phân ở cấp độ tri thức bác học. - Tìm hiểu quan niệm của học sinh về khái niệm vi phân. 3.2. Câu hỏi nghiên cứu Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, câu hỏi nghiên cứu của chúng tôi là: CH1 - Về phương diện khoa học luận: Đâu là sự khác nhau giữa vi phân và đạo hàm? Đâu là mối liên hệ giữa chúng? Bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong có thể làm nảy sinh khái niệm vi phân như thế nào? Vai trò công cụ nào của vi phân ngoài mối liên hệ với phép tính tích phân? CH2 - Về phương diện dạy học toán bậc THPT: Đâu là mối quan hệ thể chế của khái niệm vi phân trong thể chế dạy học toán bậc THPT hiện hành? 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp phân tích - tổng hợp : + Phân tích giáo trình James Stewart (2013), Calculus Early Transcendentals (seventh edition) Mỹ để trả lời cho các câu hỏi trong nhóm CH1- Về phương diện khoa học luận. Các kết quả này sẽ được dùng làm tham chiếu để phân tích SGK_VN. + Phân tích sách giáo khoa Việt Nam (Đại số và Giải tích 11, cơ bản và nâng cao) bằng công cụ của thuyết nhân học trong Didactic để trả lời cho câu hỏi CH2. - Phương pháp thực nghiệm: 9 + Với hình thức bộ câu hỏi điều tra quan niệm của học sinh về ảnh hưởng của quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân và xây dựng tình huống để làm nảy sinh nghĩa khái niệm vi phân. Việc xây dựng và phân tích thực nghiệm được thực hiện với các công cụ của lí thuyết tình huống. + Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 12, đã học khái niệm vi phân. 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm 3 phần: Mở đầu, nội dung chính và kết luận Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày: Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cuối cùng là cấu trúc của luận văn. Trong phần nội dung chính của chúng tôi gồm 3 chương: Chương 1. Phân tích một giáo trình Calculus của Mỹ. Trong chương này, chúng tôi phân tích giáo trình Calculus Early Transcendentals (seventh edition, 2013) của James Stewart, nhà xuất bản Cengage Learning, United States (gọi tắt là GT_M) để xác định nghĩa của khái niệm vi phân, mối quan hệ với đạo hàm và các tổ chức toán học tham chiếu xoay quanh khái niệm vi phân. Chương 2. Phân tích các sách giáo khoa toán phổ thông của Việt Nam (Đại số và Giải tích 11 cơ bản và nâng cao của chương trình hiện hành). Chương 3. Xây dựng bộ câu hỏi khảo sát học sinh để nghiên cứu ảnh hưởng của quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân và xây dựng bài toán để làm nảy sinh nghĩa khái niệm vi phân. Phần kết luận, chúng tôi sẽ nêu lên các kết quả đạt được từ luận văn. 10 Chương 1. PHÂN TÍCH MỘT GIÁO TRÌNH CALCULUS CỦA MỸ Mục tiêu của chương Ở chương này, chúng tôi tiến hành phân tích giáo trình James Stewart (2013), Calculus Early Transcendentals (seventh edition) của Mỹ để đi tìm các yếu tố trả lời cho nhóm câu hỏi: CH1 - Về phương diện khoa học luận: Đâu là sự khác nhau giữa vi phân và đạo hàm? Đâu là mối liên hệ giữa chúng? Bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong có thể làm nảy sinh khái niệm vi phân như thế nào? Vai trò công cụ nào của vi phân ngoài mối liên hệ với phép tính tích phân? Các kết quả về phương diện khoa học luận ở chương này được dùng làm cơ sở tham chiếu để chúng tôi phân tích thể chế dạy học ở Việt Nam của chương sau. Lý do chọn giáo trình Chúng tôi chọn giáo trình James Stewart (2013), Calculus Early Transcendentals (seventh edition) của Mỹ để phân tích trong luận văn của mình vì đây là một trong những cuốn giáo trình tiêu biểu của xu hướng dạy học về phép tính vi tích phân hàm một biến bằng mô hình hóa toán học. Quan điểm của tác giả về mô hình hóa toán học như sau: Một mô hình toán học là một mô tả toán học (thường bằng phương tiện của một hàm hoặc một phương trình) của một hiện tượng trong thế giới thực như: kích thước của một dân số, nhu cầu về một sản phẩm, tốc độ rơi của một vật thể, nồng độ của một sản phẩm trong phản ứng hóa học, tuổi thọ của một người từ khi được sinh ra, hoặc chi phí giảm giá trong kinh doanh. Mục đích của mô hình là để hiểu hiện tượng này và có lẽ để đưa ra dự đoán về hành vi trong tương lai [16, tr.23]. Qua mỗi lần tái bản, tác giả cập nhật những ví dụ từ thực tiễn, xây dựng một khái niệm theo hướng mô hình hóa qua sơ đồ minh họa dưới đây: 11 Vấn đề Xây dựng thực tế Mô hình Giải toán học Kết quả Giải thích Dự báo toán học thực tế Kiểm tra Hình 1.1 Qui trình mô hình toán học [16, tr.23] Hình 1.1 tác giả minh họa quá trình mô hình hóa toán học qua bốn giai đoạn: Giai đoạn đầu tiên, tác giả xây dựng một mô hình toán học từ một vấn đề thực tế bằng cách xác định và đặt tên cho các biến độc lập và biến phụ thuộc và làm cho các giả định đơn giản hóa các hiện tượng, đủ để làm cho nó dễ xử lý bằng toán học. Giai đoạn hai, áp dụng các kiến thức toán học đã biết vào mô hình toán học mà tác giả đã xây dựng để rút ra các kết luận toán học. Sau đó khi bước sang giai đoạn ba, tác giả dùng những kết luận toán học đó giải thích chúng như những thông tin ban đầu về hiện tượng trong thế giới thực bằng cách đề nghị những lời giải thích hoặc đưa ra dự đoán. Giai đoạn cuối cùng là kiểm tra những dự đoán với dữ liệu thực tế. Nếu những dự đoán không phù hợp thực tế thì phải cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình mới và bắt đầu lại chu trình. Cuối cùng, tác giả đưa ra nhận xét về một mô hình toán học như sau: Một mô hình toán học không bao giờ là một đại diện hoàn toàn chính xác của một tình huống vật lý – nó chỉ là một sự lý tưởng hóa. Một mô hình tốt giúp đơn giản hóa thực tế nhưng đủ để thực hiện các phép tính toán học chính xác và cũng đủ để cung cấp các kết luận có giá trị. Điều quan trọng là nhận ra những hạn chế của mô hình [16, tr.23]. Bên cạnh đó, chúng tôi chọn giáo trình này vì nó được tác giả soạn theo quan điểm dạy học giúp người học khám phá tri thức: “Nghệ thuật dạy học là nghệ thuật của sự giúp đỡ khám phá” [16, tr.XI]. Tác giả đề cao việc hiểu khái niệm của học sinh và xem nó là mục tiêu chính của nghiên cứu giải tích. Vì vậy tác giả tiếp cận một khái niệm dựa trên ba yếu tố: hình học, số học và đại số. Cụ thể như sau: