Tài liệu Luận văn dao động uốn của dầm ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động [tt]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Thị Vân Hương DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM ỨNG SUẤT TRƯỚC DƯỚI TÁC DỤNG CỦA VẬT THỂ DI ĐỘNG Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62520101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội – 2016 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Phong Điền Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi …….. giờ, ngày ….. tháng ….. năm ……… Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư việnTạ Quang Bửu- Trường ĐHBK Hà Nội 2. Thư viện Quốc gia Việt Nam   DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 1. Nguyễn Thị Vân Hương, Ngô Quang Tuấn (2013) Xác định lực căng dây cáp theo mô hình dầm ứng suất trước hai đầu ngàm. Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 9, NXB Bách khoa, Tập 1, Tr. 254-266 2. Nguyen Thi Van Huong, Nguyen Phong Dien (2014) On the natural frequency and mode shape of a cracked and prestressed beam.Journal of Science and Technology, 103, pp. 47-52 3. Nguyễn Thị Vân Hương (2015) Khảo sát ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng dao động uốn của dầm ứng suất trước trên mô hình lý thuyết. Tạp chí Kết cấu và Công nghệ xây dựng, Số 16, Tr. 31-40 4. Nguyen Thi Van Huong, Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien (2015) Dynamic response of a cracked and prestressed beam under the action of a moving body. Journal of Science and Technology 106, pp. 58-62 5. Nguyễn Phong Điền, Nguyễn Thị Vân Hương (2016) Khảo sát ảnh hưởng của ứng suất trước và vết nứt đến tần số riêng uốn của dầm hai đầu ngàm. Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Tập 2, Tr. 7381 6. Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thị Vân Hương, Nguyễn Đức Phong (2016) Về vận tốc tới hạn của ô tô khi qua cầu. Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Tập 54 (3), Tr. 415-425 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Dao động uốn của dầm dưới tác động của các vật thể di động là một trong những bài toán quan trọng của động lực học công trình. Lịch sử nghiên cứu về dao động của dầm dưới tác dụng của tải trọng di động đã kéo dài hơn 150 năm với nhiều kết quả nghiên cứu. Có hàng nghìn bài báo khoa học về dao động của dầm không có ứng suất trước được công bố trong các tạp chí khoa học và nhiều sách chuyên khảo được xuất bản. Ngày nay trong các ngành giao thông vận tải, xây dựng và chế tạo cơ khí người ta hay sử dụng các loại dầm bê tông cốt thép dự ứng lực (có ứng suất trước) hoặc dầm thép có ứng suất trước. Việc tính toán các loại dầm này trước đây ở nước ta mới chỉ ở mức độ tính toán tĩnh. Các nghiên cứu về dao động của dầm có ứng suất trước tuy rất cần thiết cho công tác thiết kế và kiểm định công trình nhưng chưa có nhiều kết quả nghiên cứu được công bố ở trong nước. Do đó, luận án này tập trung vào việc nghiên cứu tính toán dao động uốn của dầm có ứng suất trước dưới tác dụng của hoạt tải khai thác. Mục tiêu nghiên cứu - Mục tiêu thứ nhất của luận án nhằm đề xuất và áp dụng phương pháp thiết lập mô hình lý thuyết mô tả dao động uốn của dầm giản đơn có ứng suất trước dưới tác dụng của một vật thể di động; phát triển thuật toán và chương trình tính toán các đặc trưng dao động của dầm như tần số riêng, dạng dao động riêng và độ võng động lực. - Mục tiêu thứ hai là xác định sự ảnh hưởng của ứng suất trước đến độ võng động và ứng suất động tại các mặt cắt ngang của dầm liên tục có ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động bằng mô hình lý thuyết và các kết quả tính toán số dao động. - Mục tiêu thứ ba nhằm đề xuất phương pháp xây dựng mô hình lý thuyết và phương pháp tính toán xác định các đặc trưng dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm có ứng suất 1 trước với nhiều vết nứt; xác định sự ảnh hưởng của ứng suất trước, số lượng và độ lớn của các vết nứt đến tần số riêng, dạng dao động riêng và đáp ứng động lực của dầm dưới tác dụng của vật thể di động. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là dao động của dầm giản đơn có ứng suất trước với các điều kiện biên khác nhau và dầm liên tục có ứng suất trước. Dầm giản đơn là dầm chỉ có liên kết ở hai đầu, dầm liên tục là dầm có các gối đỡ trung gian. Trong đó mô hình dao động được giới hạn trong những giả thiết sau: - Mô hình hóa dầm có ứng suất trước dựa trên lý thuyết dầm Euler-Bernoulli - Biến dạng tỷ đối ban đầu tạo ra ứng suất trước được coi là hằng số theo chiều dài dầm - Vật thể di chuyển trên dầm được mô hình hóa bởi một một hệ dao động đơn giản một bậc tự do - Mô hình hóa vết nứt dựa trên giả thiết về điều kiện tương thích tại vị trí vết nứt đối với chuyển vị, mômen uốn và lực cắt đã được sử dụng trong nhiều kết quả nghiên cứu trước đây. Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng kết hợp giữa các phương pháp giải tích và các phương pháp số để thực hiện mục tiêu nghiên cứu. - Các phương pháp cơ bản của cơ học kỹ thuật như nguyên lý d'Alembert, phương pháp tách cấu trúc, phương pháp ma trận truyền đã được áp dụng để thiết lập các phương trình vi phân dao động của hệ dầm - vật thể di động. Phương pháp RitzGalerkin được áp dụng để biến đổi hệ phương trình có dạng hỗn hợp về hệ các phương trình vi phân thường. - Phương pháp số với các thuật toán như Runge-KuttaNyström đã được sử dụng để giải gần đúng hệ các phương trình vi phân thường bằng số. Các chương trình tính toán được xây dựng trên phần mềm tính toán đa năng MATLAB. Một số kết quả tính toán số đã được so sánh với kết quả thực nghiệm để 2 kiểm chứng độ chính xác. Các dữ liệu thiết kế và thông số kỹ thuật của dầm cầu được sử dụng cho các thí dụ áp dụng được lấy từ các nguồn đáng tin cậy. Bố cục của luận án Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm có năm chương nội dung. Chương một giới thiệu một cách tổng quan về dầm bê tông cốt thép dự ứng lực và tình hình nghiên cứu tính toán dao động của dầm có ứng suất trước. Chương hai trình bày việc thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli có ứng suất trước và nghiên cứu bài toán xác định trị riêng và dạng dao động riêng của dầm giản đơn có ứng suất trước. Nội dung của chương ba là các kết quả nghiên cứu dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli giản đơn có ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động. Chương bốn trình bày việc tính toán dao động uốn của dầm liên tục có ứng suất trước dưới tác dụng của nhiều vật thể di động. Chương năm trình bày phương pháp tính toán và các kết quả mô phỏng số dao động uốn tự do của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt và dao động cưỡng bức của dầm loại này dưới tác dụng của vật thể di động. Đóng góp của luận án - Xây dựng cơ sở lý thuyết nghiên cứu tương tác động lực của hệ cầu và xe. Trong đó cầu được mô hình hóa bởi dầm giản đơn và dầm liên tục ứng suất trước, xe ô tô được mô hình hóa bởi các hệ dao động di chuyển trên dầm. Mô hình toán học của hệ cầu và xe trong trường hợp dầm liên tục là hệ bao gồm phương trình đạo hàm riêng, các phương trình vi phân thường và các phương trình đại số phi tuyến. - Xây dựng các thuật toán biến đổi hệ phương trình hỗn hợp gồm phương trình đạo hàm riêng, các phương trình vi phân thường và các phương trình đại số phi tuyến về hệ phương trình vi phân thường. Xây dựng các chương trình tính toán số các đặc trưng dao động của dầm có ứng suất trước (tần số riêng, dạng dao động riêng) và đáp ứng động lực của dầm có ứng suất 3 trước (không có và có các vết nứt) dưới tác dụng của vật thể di động. - Đưa ra nhiều kết quả tính toán số dao động dựa trên số liệu của một số công trình cầu tại Việt Nam. Một số kết quả tính toán lý thuyết đã được so sánh với kết quả đo đạc thực nghiệm và cho thấy sự phù hợp. Các kết quả tính toán số đã chỉ ra sự ảnh hưởng của ứng suất trước đến tần số riêng và đáp ứng động lực của dầm. - Các chương trình tính toán của luận án có thể sử dụng để tính toán dự báo dao động của các công trình như cầu dầm dưới tác dụng của hoạt tải khai thác, hỗ trợ cho công tác thiết kế và kiểm định. - Đề xuất một phương pháp tính toán vận tốc tới hạn của ô tô khi qua cầu, trong đó có tính đến hiện tượng cộng hưởng tham số của dao động uốn. CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM ỨNG SUẤT TRƯỚC Chương 1 giới thiệu sơ lược về các tính chất cơ học của dầm bê tông cốt thép dự ứng lực, sau đó trình bày tổng quan về kết quả nghiên cứu dao động uốn của dầm ứng suất trước và dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt. Kết cấu ứng suất trước, điển hình là dầm bê tông cốt thép ứng suất trước (dầm bê tông dự ứng lực) được ứng dụng rộng rãi tại hầu hết các nước từ hơn 50 năm nay do có khả năng chịu tải trọng lớn hơn kết cấu bê tông thông thường. Nguyên tắc chung của các biện pháp tạo ứng suất trước là tìm cách nào đó tạo ra ứng suất kéo trong các cốt thép cường độ cao rồi sau đó lợi dụng tính dính bám của các cốt thép đó với bê tông hoặc dùng các mấu neo để truyền ứng lực kéo trong cốt thép vào bê tông, tạo thành dự ứng lực nén trước cho bê tông. Trên thế giới, các công trình nghiên cứu về dao động của dầm ứng suất trước được bắt đầu nghiên cứu vào những năm 60 của thế kỷ 20. Các nghiên cứu về dao động của dầm ứng suất 4 trước chủ yếu dựa trên các mô hình lý thuyết, trong đó nhiều tác giả đã nghiên cứu ảnh hưởng của ứng suất trước đến tần số riêng và dạng dao động riêng của dầm. Hiệu ứng "làm mềm dầm bằng nén trước" biểu thị sự suy giảm tần số riêng uốn của dầm do nén trước đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm. Các công bố khoa học về dao động uốn cưỡng bức của dầm giản đơn có ứng suất trước và có vết nứt, chịu tác dụng của tải trọng di động còn khá ít ỏi, cho thấy còn một số vấn đề cần nghiên cứu sâu hơn về cơ sở lý thuyết, phương pháp tính toán và khả năng áp dụng vào thực tế, góp phần làm phong phú thêm những kiến thức và hiểu biết về tính toán dao động của dầm ứng suất trước. - Vấn đề thứ nhất là xây dựng mô hình lý thuyết và đề xuất áp dụng một phương pháp tin cậy để thiết lập phương trình dao động của dầm giản đơn có ứng suất trước, chịu tác dụng của vật thể di động; đưa ra các kết quả khảo sát ảnh hưởng của ứng suất trước đến tần số riêng và đáp ứng động lực của dầm. - Vấn đề thứ hai là xây dựng mô hình lý thuyết, thiết lập phương trình dao động và đề xuất phương pháp tính toán đáp ứng động lực của dầm liên tục với nhiều gối cứng trung gian, có ứng suất trước, chịu tác dụng của nhiều vật thể di động. Đây là một bài toán khá phức tạp và hiện tại hầu như chưa có kết quả nghiên cứu về vấn đề này được công bố. - Vấn đề thứ ba là xây dựng mô hình lý thuyết, thiết lập phương trình dao động và đề xuất phương pháp tính toán đáp ứng động lực của dầm giản đơn có ứng suất trước với nhiều vết nứt hở dưới tác dụng của một vật thể di động; đưa ra các kết quả khảo sát ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng và đáp ứng động lực của dầm. Vấn đề này hiện chưa được nghiên cứu rộng rãi và có rất ít công bố khoa học. - Vấn đề thứ tư là việc xây dựng các chương trình tính toán trên cơ sở các kết quả nghiên cứu lý thuyết và áp dụng chương trình này tính toán cho nhiều thí dụ từ số liệu của một số công trình cầu tại Việt Nam nhằm tính toán dự báo dao động của các 5 công trình như cầu dầm dưới tác dụng của phương tiện vận tải, phục vụ cho công tác thiết kế và kiểm định công trình. CHƯƠNG 2. TẦN SỐ RIÊNG VÀ DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA DẦM ỨNG SUẤT TRƯỚC Nội dung của chương này đề cập tới việc xây dựng mô hình cơ học và mô hình toán của dầm có ứng suất trước. Một phương pháp xác định tần số riêng và dạng dao động riêng của dầm ứng suất trước với các điều kiện biên khác nhau được trình bày chi tiết. Cuối chương trình bày các công thức thực nghiệm và các công thức tính toán gần đúng đã biết để xác định lực căng dây cáp của cầu treo trên cơ sở đo các tần số dao động riêng và một số kết quả tính lực căng dây cáp cho các cầu treo dây văng ở Việt Nam là cầu Bính và cầu Bãi Cháy. 2.1 Mô hình cơ học và phương trình dao động Dao động uốn của dầm được khảo sát theo mô hình dầm Euler-Bernoulli (bỏ qua quán tính quay và biến dạng trượt). Ký hiệu w(x,t) là độ võng của dầm tại mặt cắt x. Áp dụng nguyên lý d'Alembert, phương trình vi phân dao động mô tả dao động uốn của dầm có ứng suất trước được thiết lập dưới dạng: 2  2 w  2 2 w      p  x, t  (2.19) EI x  x EA x w  A x         0    x 2  x 2  x 2  t 2 trong đó E là mô đun đàn hồi, I là mô men quán tính thiết diện của dầm,  là khối lượng riêng (mật độ khối) của dầm, A( x) là diện tích thiết diện mặt cắt ngang của dầm,  0 ( x ) là biến dạng dài tỷ đối ban đầu tại ở mặt cắt A(x), nếu dầm bị nén trước thì  0  0 , dầm bị kéo trước  0  0. Đối với dầm đồng chất thiết diện không đổi và ứng suất trước đều tại mọi mặt cắt, từ (2.19) ta suy ra phương trình dao động tự do của dầm ứng suất trước 4 w 2w 2w EI 4   0 EA 2   A 2  0 (2.21) x x t 6 2.2 Tần số riêng và dạng dao động riêng Áp dụng phương pháp Bernoulli, ta tìm nghiệm của phương trình dao động tự do của dầm (2.21) dưới dạng (2.23) w( x, t )  X  x  .T  t  Ta đưa phương trình (2.21) về dạng X  IV   x   2 X   x    2 X  x   0 (2.31) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2.31) có dạng: X  x   C1 cos  x  C2 sin  x  C3 cosh  x  C4 sinh  x (2.38) trong đó các hằng số C1 , C2 , C3 , C4 được xác định từ các điều kiện biên. Đối với dầm hai đầu bản lề có ứng suất trước, ta thiết lập được phương trình đặc trưng dưới dạng sin  l  0 (2.47) trong đó l là chiều dài dầm, các ký hiệu  2   2 EI , 2   0 A I   2 2   ,    2  2   . Dựa trên phương trình (2.47) và sau một số biến đổi toán học, ta thiết lập được công thức xác định tần số riêng của dầm hai đầu bản lề có ứng suất trước  4 EI 2 E k 2  k 4 4  k 2 2  0 ,  k  1, 2,... (2.49) l  l  Đối với dầm hai đầu ngàm có ứng suất trước, phương trình đặc trưng có dạng: f ( )  2  sin  ( )l  sinh  ( )l  (2.58)  2 1  cos  ( )l cosh  ( )l   0 Giải phương trình (2.58) ta xác định được các nghiệm  k và tính được tần số riêng thứ k của dầm hai đầu ngàm có ứng suất trước k . Đối với dầm đồng chất, thiết diện không đổi    A  const và EI  const, theo (2.38) dạng dao động riêng của dầm ứng 7 suất trước được biểu diễn dưới dạng X  x   C1 cos  x  C2 sin  x  C3 cosh  x  C4 sinh  x (2.61) Ta suy ra các các hàm riêng của dầm hai đầu ngàm theo công thức  cos( k l )   k cosh( k l ) X k ( x)  k cos( k x)  cosh( k x)  k sin( k l )   k sinh( k l ) (2.67) k k  1, 2, 3,...  sin( k x)  sinh( k x), k 2.3 Xác định lực căng dây cáp từ tần số dao động riêng Việc xác định lực căng dây cáp bằng cách đo tần số dao động riêng của dây cáp là bài toán có ý nghĩa trong việc xây dựng và bảo dưỡng các cầu dây xiên. Về mặt lý thuyết, việc xác định lực căng dây cáp trên cơ sở đo tần số riêng không phải là vấn đề khó khăn. Tuy nhiên, việc thiết lập một công thức có dạng giải tích tương đối đơn giản để tính toán lực căng dây cáp theo tần số riêng một cách thuận tiện lại là một vấn đề khá phức tạp. Trước đây khi tính toán lực căng dây cáp trong cầu dây xiên người ta thường bỏ qua ảnh hưởng của độ cứng chống uốn của dây, EI  0 , và xem dây cáp là mô hình dây có ứng suất trước, hai đầu ngàm chặt. Khi đó công thức xác định tần số riêng và lực căng dây có dạng 4w( f1l ) 2 N (2.69) g trong đó ta sử dụng ký hiệu trọng lượng trên một đơn vị dài của dây cáp là w   g . Ngoài công thức (2.69) còn có một số công thức thực nghiệm khác đang được sử dụng. Nếu ta coi dây cáp là một dầm có ứng suất trước (bị kéo nén) hai đầu ngàm chặt, ta sẽ thu được các công thức gần đúng xác định quan hệ giữa lực căng dây cáp và tần số riêng 8 N  2 EI  k 2 2  EI     1 4 (2.78)       l N  2  Nl 2  Lực căng của dây được xác định nhờ công thức (2.78) với dữ liệu đo đạc tần số dao động riêng của dây. Công thức này đã được áp dụng để tính toán lực căng dây cáp của cầu Bãi Cháy và cầu Bính. Lực căng dây cáp tính theo công thức lý thuyết (2.78) và theo các công thức thực nghiệm cho thấy phù hợp. fk  k 2l 2.4 Kết luận của chương 2 Chương này đã trình bày cơ sở lý thuyết xây dựng mô hình, thiết lập phương trình dao động tự do và xây dựng các biểu thức tính toán tần số riêng, dạng dao động riêng của dầm có ứng suất trước. Khác với dầm không ứng suất trước phương trình đặc trưng của các phương trình vi phân xác định dạng dao động riêng của dầm ứng suất trước là phương trình trùng phương dạng tổng quát. Trong khi phương trình tương ứng của dầm không ứng suất trước là phương trình trùng phương dạng đặc biệt, không có số hạng bậc hai. Do đó việc tính toán tần số riêng và dạng dao động riêng của dầm ứng suất trước phức tạp hơn nhiều. Trên cơ sở phân tích dạng dao động riêng của dầm ứng suất trước hai đầu ngàm, trong [34] đã trình bày một công thức giải tích gần đúng xác định lực căng dây cáp trên cơ sở đo các tần số dao động riêng của dây. Công thức này đã được áp dụng để tính toán lực căng dây cáp của cầu Bãi Cháy, cầu Bính và cho thấy kết quả tính toán phù hợp với các công thức thực nghiệm hiện đang sử dụng trong tính toán thiết kế. CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM GIẢN ĐƠN CÓ ỨNG SUẤT TRƯỚC DƯỚI TÁC DỤNG CỦA VẬT THỂ DI ĐỘNG Chương này trình bày việc thiết lập phương trình dao động uốn của dầm có ứng suất trước chịu tác dụng của vật thể di động, thuật toán và chương trình tính. 9 3.1 Phương trình dao động uốn của dầm Xét dầm giản đơn chiều dài l có ứng suất trước. Vật thể chuyển động trên dầm với vận tốc v không đổi là một vật rắn có khối lượng m đặt trên một hệ lò xo - giảm chấn, độ cứng lò xo là k, hệ số cản là d. Gọi z là toạ độ tuyệt đối của vật theo phương thẳng đứng và vị trí của vật thể xác định bởi   vt . z v m k d x   vt l w Hình 3.1 Mô hình dầm dưới tác dụng của vật thể di động Bằng phương pháp tách cấu trúc, trước hết ta thiết lập phương trình dao động của vật thể theo z, sau đó thiết lập phương trình dao động uốn cưỡng bức của dầm ứng suất trước bằng nguyên lý d'Alembert. Các phương trình biểu diễn dao động uốn của dầm có ứng suất trước chịu tác dụng của vật thể di động là một hệ hỗn hợp phương trình đạo hàm riêng và phương trình vi phân thường  4w  2w 5w  w  2w EI  4  bi 4     2  b e  EA   p  x, z , t   0 x t  t  x 2  x  t (3.17) mz  dz  kz  mg  L(t )dw  L(t )kw (3.18) trong đó ta sử dụng hàm tín hiệu logic L(t) t0  t  T 1 khi L(t )   0 khi t  t0 , t  T Để giải các phương trình này ta cần biết thêm các điều kiện biên và các điều kiện đầu. Áp dụng phương pháp Ritz-Galerkin 10 ta tìm nghiệm của các phương trình (3.17), (3.18) dưới dạng n r x (3.23) w( x, t )   qr (t ) sin l r 1 trong đó qr (t ) là các hàm cần tìm. Sử dụng dạng nghiệm (3.23) và sau một số biến đổi toán học, ta có thể biến đổi hệ các phương trình hỗn hợp (3.17) và (3.18) về hệ các phương trình vi phân thường cấp 2 tuyến tính dưới dạng ma trận:  = B(t )q + C(t )q + f (t ) q (3.33) trong đó ta sử dụng các ký kiệu: q   q1 , q2 ,..., qn , z  , B(t ) và T C(t ) là các ma trận vuông cấp n+1 với các hệ số là hàm theo thời gian. Véctơ f (t ) có dạng f   f1 , f 2 , f n 1  T với f s  0 ( s  1,.., n); f n 1 (t )  g . Một chương trình tính có tên VIBEAM01-BKHN đã được xây dựng trên phần mềm MATLAB để tính toán dao động uốn của cầu dầm dưới tác dụng của vật thể di động. 3.2 Tính toán dao động uốn của cầu Đông Hà và cầu Bùng Cầu Đông Hà là một loại cầu bê tông cốt thép dự ứng lực được xây dựng ở Đông Hà, tỉnh Quảng Trị. Thí dụ này nhằm tính toán dao động uốn của cầu Đông Hà dưới tác dụng của một ô tô hiệu MITSUBISHI PAJERO. Sử dụng chương trình VIBEAM 01-BKHN ta tính toán dao động uốn của cầu Đông Hà với nhiều chế độ nén trước (  0 từ - 0,0002 đến -0,001) và các vận tốc qua cầu khác nhau. Từ kết quả tính toán độ võng động lực cho thấy biên độ dao động lớn nhất tại mặt cắt giữa cầu xảy ra khi ô tô qua cầu với v  0.28vth  174.5  km / h  , trong đó vth là vận tốc tới hạn tính theo công thức cổ điển: vth   2 EI E  0 2 l   (3.38) 11 Hình 3.8 Dao động tại mặt cắt giữa cầu Đông Hà với vận tốc v= 20 km/h và  0  0, 0004 Kết quả tính toán trên hình 3.8 cho biết độ võng động của dầm theo thời gian ứng với các giá trị khác nhau của ứng suất trước. Ngoài ra, ta có thể tính toán và dự báo được dao động tại một mặt cắt bất kỳ của dầm khi xe đã thoát khỏi cầu. Tương tự như thí dụ trước với cầu Đông Hà, từ các kết quả tính toán số cho cầu Bùng, một loại cầu bê tông cốt thép dự ứng lực được xây dựng ở tỉnh Nghệ An, ta thấy: Khi hệ số ứng suất trong dầm càng âm (nén trước nhiều hơn) thì biên độ dao động lại mặt cắt giữa dầm càng lớn. Dầm có độ võng động lực lớn nhất khi vận tốc ô tô qua cầu là v  0.12vth  87.27  km / h  . 3.3 Xác định vận tốc tới hạn của ô tô khi qua cầu Chương trình VIBEAM01-BKHN được sử dụng để xác định vận tốc tới hạn của Cầu Đông Hà và cầu Bùng. Trước hết, ta tính độ võng động tại giữa dầm của hai cầu này ứng với một số loại ô tô khác nhau và chuyển động trên cầu với các vận tốc khác nhau. Từ kết quả tính, ta xác định được độ võng động lớn nhất và vận tốc xe tương ứng. Ta gọi vận tốc này là vận tốc tới hạn vth* (tính theo mô hình chính xác hơn) để phân biệt với vận 12 4.1 Mô hình cơ học và việc thiết lập phương trình dao động Xét mô hình dầm liên tục chiều dài l, tựa trên K gối cứng trung gian, J gối đỡ đàn hồi tuyến tính trung gian có độ cứng cj ( j  1,..., J ), chịu tác dụng của N vật thể di động. tốc tới hạn cổ điển vth (theo lý thuyết cũ). Từ các kết quả tính toán, ta có thể rút ra một số kết luận sau: - Vận tốc tới hạn thực tế của ô tô nhỏ hơn vận tốc tới hạn cổ điển khoảng 10% đến 40%. Vận tốc tới hạn này phụ thuộc vào chiều dài của cầu và các tham số động lực khác như độ cứng chống uốn, khối lượng đơn vị chiều dài của dầm, vv. - Từ các kết quả tính toán số ta có thể nhận thấy ứng suất trước có ảnh hưởng lớn đến độ võng động của dầm ở lân cận giá trị vận tốc tới hạn. Khi xa vận tốc tới hạn, ảnh hưởng của ứng suất trước không đáng kể. G1sin(1t+1) v1 m1   k1 Gisin(it+i) vi m GNsin(Nt+N) vN mN i ki d1 kN di dN x j k ak i bj 3.4 Kết luận của chương 3 l - Hệ hỗn hợp gồm phương trình đạo hàm riêng và phương trình vi phân thường mô tả chuyển động của hệ đã được thiết lập bằng phương pháp tách cấu trúc. Sau đó, hệ phương trình hỗn hợp được biến đổi về hệ phương trình vi phân thường bằng phương pháp Ritz-Galerkin. Khi vận tốc ô tô qua cầu là hằng số, ta nhận được hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn. Đây là điểm khác biệt của nghiên cứu này so với nhiều công trình khác đã công bố. - Các kết quả tính toán số cho thấy vận tốc tới hạn của ô tô khi qua cầu thấp hơn nhiều so với vận tốc tới hạn tính theo các công thức cổ điển. w Hình 4.1 Mô hình dao động của dầm liên tục chịu tác dụng của nhiều vật thể di động Mô hình vật thể thứ i ( i  1,..., N ) có các giả thiết giống chương 2, ngoài ra chịu lực điều hòa Gi sin(i t   i ) theo phương thẳng đứng. Sử dụng phương pháp tách cấu trúc, ta tách hệ thành N+1 các cấu trúc con bao gồm N vật thể và dầm (hình 4.2).   Gi sin(it   i ) 13 vi mi CHƯƠNG 4. DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM LIÊN TỤC CÓ ỨNG SUẤT TRƯỚC DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỀU VẬT THỂ DI ĐỘNG Trong thực tế, các dầm bê tông cốt thép dự ứng lực thường là các dầm liên tục có ứng suất trước trên nhiều gối cứng trung gian. Đây là một bài toán phức tạp hơn nhiều so với bài toán dầm giản đơn chịu tác dụng của lực di động đã được nhiều tác giả giải quyết trước đây. Fi F1 FN x zi ki a) di Fi N1 F1dh w Nk Fjdh NK FJdh b) Hình 4.2 Các cấu trúc con a) vật thể di động, b) dầm liên tục Hệ phương trình mô tả chuyển động uốn của dầm liên tục có ứng suất trước chịu tác dụng của nhiều vật thể di động gồm: (i) Một phương trình đạo hàm riêng: 14  4 w  2 w 5 w  w  2 w  EI  4   4     2   EA   0 x t  t  x 2  x  t N zi  ( x  i )   Li (t )  mi g  Gi sin i  mi  (4.20) i 1 J K j 1 k 1   c j w(b j , t )  ( x  b j )   N k (t )  ( x  ak ) (ii) N phương trình vi phân thường: Li (t )  mi  zi  di zi  ki zi   Li (t )(mi g  Gi sin i  di wi  ki wi ) (4.22) (iii) K phương trình đại số: (4.23) w( ak , t )  0 (k = 1,…,K) Bốn điều kiện biên tại hai đầu của dầm có dạng như sau  2 w  0, t  x  0 : w  0, t   0, 0 (4.24) x 2 2 w l, t  x  l : w  l , t   0, 0 (4.25) x 2 Áp dụng phương pháp Ritz-Galerkin và chú ý đến điều kiện biên (4.24), (4.25) ta tìm nghiệm của hệ các phương trình (4.20), (4.22) dưới dạng (3.23). Sau một số biến đổi toán học, hệ các phương trình (4.20)-(4.23) có thể đưa về hệ các phương trình vi phân thường và được biểu diễn dưới dạng ma trận  y  B(t ) y  C(t ) y  f (t ) (4.57) với q   q1 , q2 ,..., qn  và z   z1 , z2 ,..., z N  , các ma trận hệ số B và C có các phần tử là hàm theo thời gian. Chương trình VIBEAM02-BKHN đã được xây dựng để giải hệ phương trình (4.57) và tính toán dao động của dầm liên tục. 4.2 Tính toán dao động uốn của dầm cầu Phả Lại T Hình 4.7 Độ võng động lực ở giữa dầm cầu Phả Lại (một ô tô chuyển động trên cầu với vận tốc 20 km/h) (a) kết quả đo đạc thực nghiệm và (b) kết quả tính toán số T Số liệu đầu vào là thông số của một liên nhịp chính cầu Phả Lại, một trong những công trình cầu lớn và quan trọng, được xây dựng bằng bê tông cốt thép dự ứng lực. 15 Hình 4.8 Kết quả tính toán độ võng động lực ở giữa dầm cầu Phả Lại (một ô tô chuyển động trên cầu với vận tốc 30 km/h) Trên hình 4.7b là độ võng động lực tại mặt cắt giữa nhịp của dầm liên tục, còn trên hình 4.7a là kết quả đo độ võng được thực hiện bởi một đề tài nghiên cứu khác tại Trường ĐH Giao thông vận tải. Trên các hình 4.8 và 4.11 là kết quả tính toán độ võng động lực với vận tốc xe khác nhau. 16 CHƯƠNG 5. DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM ỨNG SUẤT TRƯỚC CÓ VẾT NỨT Chương này trình bày các kết quả khảo sát dao động uốn của dầm ứng suất trước có số vết nứt tùy ý trên mô hình lý thuyết. 5.1 Mô hình dao động của dầm ứng suất trước có vết nứt Xét dầm Euler - Bernoulli ứng suất trước, đồng chất, thiết diện không đổi, mặt cắt của dầm là hình chữ nhật chiều cao h, chiều rộng b với điều kiện biên tùy ý. b 1 i  i 1 h  n ai Hình 4.11 Kết quả tính toán độ võng động lực ở dầm cầu Phả Lại (ba ô tô chuyển động trên cầu với vận tốc 20 km/h, thời điểm xuất phát: 0, 10, 20 giây) x0  0 4.3 Kết luận của chương 4 Giả sử trên dầm xuất hiện N  n  1 vết nứt, ta mô hình hóa các vết nứt bằng các lò xo xoắn với độ mềm không thứ nguyên được xác định theo công thức thực nghiệm (hình 5.1). Với vết nứt thứ i, ta ký hiệu độ sâu vết nứt là ai và đưa vào ký hiệu độ - Bằng phương pháp tách cấu trúc, thiết lập được một hệ phương trình hỗn hợp mô tả dao động uốn của dầm liên tục ứng suất trước dưới tác dụng của nhiều vật thể di động, bao gồm một phương trình đạo hàm riêng, nhiều phương trình vi phân thường và phương trình đại số phi tuyến. - Đề xuất một thuật toán giải hệ phương trình chuyển động và xây dựng một chương trình tính VIBEAM02-DHBK để tính toán số dao động uốn của dầm liên tục ứng suất trước chịu tác dụng của nhiều vật thể di động. - Thực hiện hai thí dụ tính toán số dao động uốn của hai cầu dầm liên tục là cầu dầm Phả Lại và cầu dầm Hiền Lương. Do chỉ có số liệu đo đạc của cầu Phả Lại, nên kết quả tính toán lý thuyết đã được so sánh với kết quả đo đạc của cầu này. Các kết quả tính toán phù hợp tốt với kết quả đo đạc và đã chỉ rõ sự ảnh hưởng của ứng suất trước đến độ võng động lực của dầm. 17 x1 xi1 xi xi xi1 xn1 xn x Hình 5.1 Mô hình lý thuyết dầm có n-1 vết nứt lớn vết nứt không thứ nguyên i  ai / h. Ta ký hiệu xi và xi là các tọa độ của điểm ngay trước và sau vết nứt thứ i. Phương trình dao động tự do của phần dầm thứ i có dạng  4 wi  2 wi  2 wi (5.1) EI   EA   A  0 , xi1  x  xi 0 x 4 x 2 t 2 Ta chấp nhận giả thiết về điều kiện tương thích tại vị trí vết nứt x  xi về chuyển vị, mômen uốn và lực cắt; điều kiện không liên tục về góc xoay tại vị trí vết nứt. 5.2 Tần số riêng và dạng dao động riêng Sử dụng phương pháp tách biến, ta đưa phương trình đạo hàm riêng (5.1) về dạng 18 X i( IV ) ( x)  2 X i( x)   2 X i ( x)  0 , x i1  xi  xi (5.13) Nghiệm tổng quát của phương trình (5.13) có dạng X i ( x)  Ai sin  ( x  xi1 )  Bi cos ( x  xi1 )  Ci sinh  ( x  xi1 )  Di cos h  ( x  xi1 ) , xi1  x  xi , i  1,.., n (5.14) trong đó các hằng số tích phân Ai , Bi , Ci , Di liên quan đến đoạn thứ i (i =1,.., n) có quan hệ dưới dạng:  Ai 1   Ai  B     i 1   T  Bi  (5.40) i  Ci 1   Ci       Di 1   Di  với ma trận truyền Ti cỡ 4  4 có các hệ số là hàm của  và  . 32 =0 % 30 =10 % 1 [rad/s] 28 =20 % 26 24 Hình 5.14 Biến thiên của hai tần số riêng của dầm hai đầu ngàm theo số lượng vết nứt và độ lớn vết nứt, số lượng vết nứt tăng dần theo trục dầm, biến dạng tỷ đối ban đầu  0  0.001 =30 % 22 20 18 16 =40 % 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 So vet nut N 10 11 12 13 14 15 Hình 5.6 Biến thiên của tần số riêng thứ nhất của dầm hai đầu bản lề theo số vết nứt phân bố đều theo chiều dài dầm, biến dạng tỷ đối ban đầu  0  0.002. 19 Bằng phương pháp ma trận truyền, phương trình đặc trưng của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt với hai điều kiện biên khác nhau (hai đầu bản lề, hai đầu ngàm) đã được thiết lập. Giải phương trình đặc trưng bằng phương pháp số ta sẽ xác định được các tần số riêng. Dạng dao động riêng thứ k của đoạn dầm thứ i được xác định bởi công thức X i( k ) ( x)  Ai( k ) sin  k ( x  xi1 )  Bi( k ) cos  k ( x  xi1 ) (5.60)  Ci( k ) sinh  k ( x  xi1 )  Di( k ) cosh  k ( x  xi1 ) 20 (5.105) và tính toán độ võng động lực của dầm. Một số kết quả tính toán số được biểu diễn trên các hình từ 5.17 và 5.20. -3 2 -2 5.3 Dao động uốn của dầm ứng suất trước có vết nứt dưới tác dụng của vật thể di động Áp dụng phương pháp tách cấu trúc, ta có thể biểu diễn dao động uốn của dầm và dao động của vật thể di động trên dầm giản đơn có ứng suất trước có N = n-1 vết nứt bằng các phương trình sau 4 w 2w w 2 w EI 4   2  be   0 EA 2 x t t x (5.80) n (i ) (i ) (i )   L (t )[k ( z  w )  d ( z  w )] ( x  vt ) (5.81) i 1 trong đó w = w(x,t) là độ võng động lực của dầm, w( i ) là độ võng của dầm tại điểm vật thể tiếp xúc với dầm trong đoạn dầm thứ i. Áp dụng phương pháp khai triển theo các dạng riêng, sau một số biến đổi toán học, ta đưa được hệ phương trình dao động (5.80) và (5.81) về dạng   B(t )q  C(t )q  f (t ) q (5.105) trong đó các ma trận hệ số B và C cùng cỡ K+1 với các phần tử là hàm của biến thời gian t. Chương trình tính VIBEAM03BKHN đã được xây dựng để tìm nghiệm q của phương trình 21 -6 -8 =0 =10% =20% =30% =40% -12 -14 0 2 4 6 8 Thoi gian [s] 10 12 Hình 5.17 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=5 m/s, dầm có một vết nứt giữa dầm -3 5 x 10 0 Do vong w [m] mz  dz  kz  mg   L(i ) (t )(dw(i )  kw(i ) ) -4 -10 i 1 n x 10 0 Do vong w [m] Kết quả tính toán tần số riêng đầu tiên được biểu diễn trên hình 5.6, trong đó các đường cong thể hiện sự biến thiên trị số của tần số riêng đối với số lượng vết nứt (từ 1 đến 15 vết nứt phân bố đều trên dầm và có độ lớn như nhau). Tần số riêng suy giảm khi số lượng vết nứt tăng lên. Độ lớn vết nứt càng tăng thì mức độ suy giảm của tần số riêng càng lớn. Tương tự như cách thực hiện tính toán đối với dầm hai đầu bản kề, các đồ thị trên hình 5.14 đã cho thấy sự ảnh hưởng của ứng suất trước, số vết nứt và độ lớn vết nứt đến tần số riêng của dầm hai đầu ngàm. -5 =0 =10% =20% =30% =40% -10 -15 0 1 2 3 4 Thoi gian [s] 5 6 Hình 5.20 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=10 m/s, dầm có ba vết nứt phân bố đều 22 5.4 Kết luận của chương 5 Vấn đề mô hình hóa và tính toán dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt là bài toán còn đang được quan tâm nghiên cứu hiện nay. Đây là một vấn đề phức tạp do phải tính đến cả hai yếu tố ảnh hưởng đến dao động của dầm: Ứng suất trước và các vết nứt. - Thiết lập phương trình đạo hàm riêng mô tả dao động uốn tự do và dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt dưới tác dụng của vật thể di động, xây dựng một thuật toán số tính toán dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt. - Một số kết quả tính toán số đã cho thấy sự ảnh hưởng của của độ lớn của vết nứt và số lượng vết nứt đến tần số riêng và độ võng động lực của dầm dưới tác dụng của vật thể di động. KẾT LUẬN Luận án này là một công trình nghiên cứu về dao động của dầm ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động. Các kết quả chính của luận án gồm các điểm sau đây: 1. Thiết lập phương trình dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm giản đơn ứng suất trước bằng nguyên lý d’Alembert. Luận án đã vận dụng một công thức gần đúng tính toán lực căng dây cáp trên cơ sở đo tần số dao động riêng của dây cáp; đã tính toán lực căng dây cáp cầu Bãi cháy và cầu Bính. Kết quả tính toán phù hợp với kết quả tính toán bằng các công thức thực nghiệm. 2. Áp dụng phương pháp tách cấu trúc để thiết lập phương trình dao động uốn của dầm giản đơn dưới tác dụng của vật thể di động. Trong đó vật thể di động là một hệ dao động đơn giản. Luận án đã xây dựng thuật toán giải các phương trình dao động uốn của dầm ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động với chương trình tính VIBEAM01ĐHBK trên phần mềm tính toán đa năng MATLAB để tính 23 toán dao động uốn của cầu dầm ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động. Khi các vật thể di động trên dầm với vận tốc không đổi, các phương trình vi phân mô tả dao động của hệ là các phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn. Chương trình VIBEAM01-ĐHBK được sử dụng để tính toán vận tốc tới hạn của ô tô qua cầu Đông Hà và cầu Bùng. Kết quả tính cho thấy vận tốc tới hạn thấp hơn nhiều so với kết quả tính toán vận tốc tới hạn dựa trên lý thuyết dao động cưỡng bức trước đây. 3. Áp dụng phương pháp tách cấu trúc thiết lập phương trình dao động uốn của dầm liên tục (dầm có gối đỡ trung gian) ứng suất trước dưới tác dụng của nhiều vật thể di động. Các phương trình dao động là một hệ phương trình hỗn hợp gồm một phương trình đạo hàm riêng, nhiều phương trình vi phân thường, nhiều phương trình đại số phi tuyến. Phương pháp Ritz-Galerkin đã được áp dụng để biến đổi hệ phương trình hỗn hợp nêu trên về một hệ phương trình vi phân thường. Trên cở sở đó, chương trình tính VIBEAM02-ĐHBK đã được xây dựng và sử dụng để tính toán dao động uốn của cầu Phả Lại và cầu Hiền Lương. Các kết quả tính toán bằng chương trình này phù hợp với các kết quả đo đạc thực tế. 4. Áp dụng phương pháp ma trận truyền để thiết lập phương trình xác định các tần số riêng của dầm ứng suất trước có vết nứt. Phương pháp tách cấu trúc được sử dụng để thiết lập phương trình dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt dưới tác dụng của vật thể di động. Trên cơ sở các kết quả lý thuyết và thuật toán, chương trình tính VIBEAM03ĐHBK đã được xây dựng và áp dụng để tính toán và đưa ra các kết quả mô phỏng số nhiều thí dụ cụ thể. Chương trình này cũng được sử dụng để tính toán và cho kết quả để so sánh với kết quả tính toán trong một bài báo của tác giả nước ngoài khi ứng suất trước bằng 0, cho thấy hai kết quả khá phù hợp với nhau. 24