Tài liệu Luận văn báo cáo Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh thpt trong dạy học đại số và giải tích

1 MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1. Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nước và ngành Giáo dục nước ta. Có thể dẫn ra một vài văn bản đã được ban hành trong những năm qua như sau: - Luật Giáo dục (1998) quy định: “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”. - Dự thảo chương trình (1989) môn Toán nêu rõ: “...Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư duy biện chứng, tư duy hàm…; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo…”. Tuy nhận thức rõ được tầm quan trọng và định hướng đổi mới phương pháp đã được nêu ra ở trên nhưng thực tế dạy học hiện nay vẫn còn chịu ảnh hưởng nhiều của quan niệm và phương pháp dạy học xưa cũ. Nhận định về vấn đề này đã có không ít nhà nghiên cứu đưa ra những ý kiến, đặt ra nhiều vấn đề cho ngành Giáo dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ. Sau đây là một số ý kiến như vậy: - Ý kiến của GS. Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo; chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt và chán chường". 2 - Ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn: “Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhưng, hiện nay trong nhà trường tư duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức". 1.2. Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung dạy học. Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt động nào đó nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững chắc. Ngược lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìm thấy những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giải quyết các tình huống trong thực tiễn và trong khoa học. Chủ đề phương trình và bất phương trình có vị trí quan trọng trong chương trình môn Toán THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất phương trình còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình học giải tích. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường THPT. Kiến thức hàm số có vai trò quan trọng trong toàn bộ chương trình môn Toán phổ thông. Điều này được khẳng định không chỉ ở nước ta mà còn được đề cập đến trong nhiều ý kiến của các nhà khoa học nước ngoài. Ta có thể thấy được điều này qua các ý kiến được trích từ [16] sau đây: - Ý kiến của Kơlanh khi khởi xướng phong trào cải cách việc dạy học Toán ở trường phổ thông đầu thế kỷ XX đã đề nghị: Đưa cái mới vào giáo trình toán phổ thông, lấy tư tưởng hàm số và biến hình làm tư tưởng quan trọng nhất.Kiến nghị của Hội nghị Quốc tế về giáo dục quốc dân họp tại Giơnevơ (tháng 7 3 năm 1956) gửi các vị Bộ trưởng Giáo dục các nước nêu rõ: Nên xây dựng chương trình sao cho việc dạy Toán dựa trên các cơ sở hàm số ... - Ý kiến của GS. Papy tại Hội nghị Quốc tế các nhà toán học họp tại Matxcơva (tháng 8 năm 1966) đề nghị: Chương trình toán Trung học (cấp II và II) phải bao gồm: Tập hợp, Quan hệ, Đồ thị, Nhóm, Không gian vectơ, Các yếu tố của phép tính vi phân và tích phân. ở Việt Nam, chương trình môn Toán trong cải cách giáo dục và các chương trình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số. Trong [24], GS. Nguyễn Bá Kim đã cho rằng "Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số" là một trong "những tư tưởng cơ bản" của chương trình môn Toán bậc THPT. Khi phân tích tư tưởng cơ bản này tác giả đã nhấn mạnh: - Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ xuyên suốt chương trình bậc Phổ thông Trung học; - Phần lớn chương trình Đại số và Giải tích dành cho việc trực tiếp nghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số; - Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số đối số tự nhiên; - Lượng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lượng giác còn phần công thức được giảm nhẹ; Phương trình và bất phương trình được trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm số. 1.3. Gắn bó chặt chẽ với tư tưởng hàm số, tư tưởng biến hình, tư tưởng về sự tương ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tượng là vấn đề tư duy hàm. Những đặc trưng về tư duy hàm được các tác giả Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn Thường chỉ ra trong [25]. Phát triển tư duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lượng dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán. Việc dạy học các kiến thức môn Toán được trình bày theo tư tưởng hàm số có tác dụng 4 tốt trong việc phát triển tư duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển tư duy hàm. 1.4. Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lượng dạy học nội dung Phương trình, bất phương trình. Nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các chủ đề kiến thức cụ thể. Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập trung xét vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình cho học sinh trong sự phối hợp hữu cơ với vấn đề phát triển tư duy hàm. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích ". 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xác định mối quan hệ tương hỗ giữa việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT. 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh. 3.2. Hệ thống hoá các kỹ năng giải toán phương trình, bất phương trình cần rèn luyện cho học sinh THPT. 3.3. Hệ thống hoá các thành tố của tư duy hàm và quan điểm phát triển tư duy hàm cho học sinh trong dạy học toán. 3.4. Đề xuất quan điểm rèn luyện các kỹ năng giải toán phương trình, bất phương trình trong sự phối hợp với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT thông qua dạy học Đại số và Giải tích. 3.5. Thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả áp dụng. 4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 5 Trên cơ sở dạy học đúng chương trình quy định, áp dụng các phương pháp dạy học và sử dụng các phương tiện hiện có, nếu trong quá trình dạy học giáo viên quan tâm phối hợp giữa việc rèn luyện kỹ năng giải toán với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh thì chất lượng dạy học môn Toán (thể hiện qua khả năng giải toán phương trình, bất phương trình của học sinh) được cải thiện. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo dục học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục ... có liên quan đến đề tài. 5.2. Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra ... 5.3. Thực nghiệm sư phạm. 6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN 6.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài. 6.2. Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm. 7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương: Chương 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài 1.1. Một số đổi mới về nội dung và phương pháp dạy học 1.1.1. Một số đổi mới về nội dung 1.1.2. Đổi mới về phương pháp dạy học 1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh 1.2.1. Khái niệm kỹ năng 1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh 1.3. Tư duy hàm và vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh 1.3.1. Tư duy hàm 1.3.2. Vấn đề phát triển tư duy hàm thông qua dạy học phương trình 6 1.4. Kết luận chương 1 Chương 2: Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT 2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phương trình trong môn Toán THPT 2.1.1. Về chủ đề phương trình, bất phương trình 2.1.2. Các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi giải toán phương trình 2.2. Rèn kỹ năng giải toán phương trình dựa vào các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm 2.2.1. Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phương trình mẫu 2.2.2. Rèn kỹ năng biến đổi phương trình 2.2.3. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị các biểu thức thành phần 2.2.4. Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán 2.2.5. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên của hàm số 2.3. Phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua giải toán phương trình 2.3.1. Tìm miền xác định của tương ứng hàm thông qua giải toán phương trình, bất phương trình 2.3.2. Tìm giá trị vào, giá trị ra của một tương ứng thông qua giải toán phương trình 2.3.3. Xét tính chất của tương ứng hàm thông qua giải toán phương trình, bất phương trình 2.3.4. Định hướng sử dụng phương trình, bất phương trình trong quá trình lợi dụng tương ứng hàm để giải quyết vấn đề. 2.4. Kết luận chương 2 Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 7 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm CHƯƠNG 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 1.1. MỘT SỐ ĐỔI MỚI VỀ NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC 1.1.1. Một số đổi mới về nội dung Chương trình sách giáo khoa (SGK) mới hiện nay đã có những thay đổi về nội dung và cách trình bày như: - Đưa thêm vào một số nội dung Toán học cho hoàn chỉnh chương trình THPT, như Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất… Sắp xếp nội dung chương trình theo hệ thống để dễ dạy, dễ học hơn như phần toạ độ trong mặt phẳng ở chương trình lớp 12 được đưa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần các đường cônic. Đồng thời nhấn mạnh liên hệ giữa các phần khác nhau của chương trình Toán ở các cấp, các lớp, giữa các môn học. Chẳng hạn đưa phần Đạo hàm xuống lớp 11 để giúp kịp thời cho dạy và học môn Vật lý ở đầu lớp 12. - Cách viết SGK như từ trước đến nay còn mang tính hàn lâm: Thông báo kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đưa ra nhiều các bài toán khó nên còn thiếu tính sư phạm. SGK chưa thể hiện được phương pháp dạy học tích cực. Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ đơn thuần là một tài liệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạy thường được viết cô đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tính chất và chứng minh, rồi các định lý và chứng minh, cuối cùng là các ví dụ và các bài toán. Theo định hướng đổi mới, SGK phải trình bày và hướng dẫn như thế nào đó để cho nếu không có thầy giáo, học sinh cũng có thể tự học được, cố nhiên là khó khăn và vất vả hơn. 8 SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề ra nhiều hoạt động tại lớp mà giáo viên có thể thay đổi cho thích hợp để phát huy tính tích cực học tập của học sinh, học sinh được suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn. Nhiều câu hỏi đặt ra nhằm giúp học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để định hướng cho những suy nghĩ của họ… Các câu hỏi này nói chung là dễ, vì thế không đưa ra câu trả lời trong SGK. SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức tạp, giảm bớt những suy luận quá hình thức, quá trừu tượng, giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lý. Một số tính chất quá hiển nhiên không nêu ra, các định lý chứng minh quá phức tạp thì chỉ nêu những trường hợp cụ thể để kiểm chứng mà không cần phải chứng minh. SGK theo tinh thần mới tăng cường những nội dung thực tiễn, thiết thực, những điều gần gũi với cuộc sống của học sinh trong trường hợp có thể. Chẳng hạn, trong phần véctơ, có thể đưa thêm những ứng dụng trong Vật lý: Tổng hợp lực, phân tích lực… Ngoài ra, SGK mới còn đưa thêm các phần như: Có thể em chưa biết, em có biết, bài đọc thêm, để nói thêm những chi tiết hay, thú vị gây hứng thú học tập cho học sinh. SGK mới đã chỉ ra các hoạt động tại từng thời điểm để thầy, trò xem xét và giải quyết. Những hoạt động này rất đa dạng, có thể là ôn lại kiến thức cũ, đặt vấn đề cho kiến thức mới, qua các ví dụ cụ thể gợi ý phương pháp giải quyết vấn đề hay bài toán đặt ra, thực hành áp dụng trực tiếp các công thức nêu trong lý thuyết. Cách thức thực hiện các hoạt động này cũng rất đa dạng: Có thể thầy làm hoặc cho học sinh thực hiện, hoặc nêu thành vấn đề để cả lớp cùng thảo luận tìm cách giải quyết. Tóm lại so với sách giáo khoa cũ thì sách giáo khoa lần này không phải thay đổi nhiều về nội dung mà chủ yếu thay đổi cách trình bày để học sinh học tập một cách tích cực hơn. Những sự thay đổi trên của sách giáo khoa hiện nay đã tạo điều kiện để học sinh học tập một cách tích cực hơn, từ đó giáo viên có thể phối hợp 9 rèn luyện kỹ năng với việc phát triển tư duy hàm cho học sinh qua dạy học Toán nói chung và dạy học chủ đề phương trình nói riêng. 1.1.2. Đổi mới phương pháp dạy học Thực tế dạy học Toán lâu nay cho thấy, chúng ta chỉ coi trọng đến mục đích truyền thụ tri thức, thường thì giáo viên đưa ra các định lý, tính chất rồi giải thích cho học sinh thông hiểu chứng minh, vận dụng định lý, tính chất. Phương pháp dạy học được sử dụng phổ biến trong nhà trường là phương pháp thuyết trình tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức áp đặt, dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, trò tiếp thu thụ động. Đa số giáo viên chỉ nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ, dạy nội dung gì chứ chưa nghĩ đến cách dạy như thế nào? Phần lớn khi giảng dạy họ coi mọi đối tượng học sinh là như nhau nên giảng cùng một nội dung, cùng một phương pháp và tự cho là hoàn thành nhiệm vụ. Ngoài ra kiểu đánh giá và thi cử đã ảnh hưởng rõ rệt tới phương pháp giảng dạy, đánh giá và thi cử như thế nào thì sẽ có lối dạy tương ứng đối phó như thế ấy, dạy và học theo kiểu "Thi gì - học nấy". Về thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định: “Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để tính toán, chứng minh…”. GS. Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản …". Tóm lại, với kiểu dạy học như vậy tạo thói quen "Thầy giảng - Trò ghi", thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nói được coi là tuyệt đối đúng, những gì thầy giảng thường không có sự tranh luận giữa thầy và trò, không có sự phản hồi, thông tin ngược từ phía học sinh trong bài giảng. Kiểu giảng dạy "một chiều" như vậy làm giảm hiệu suất tiếp 10 thu kiến thức cũng như hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh; không kiểm soát được việc học. Do đó việc đổi mới phương pháp dạy học được xác định là một trong những nội dung chủ yếu trong đổi mới giáo dục ở nước ta hiện nay. Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học bao gồm sự đổi mới trên các phương diện: cách dạy, cách học, cách tổ chức và cách kiểm tra đánh giá. Cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm, làm cho học sinh suy nghĩ nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn trong một tiết học. Thay vì lối dạy truyền thống truyền thụ một chiều, thuyết trình, giảng giải các kiến thức sẵn có, giáo viên cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc điểm từng học sinh; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, tạo được sự hứng thú học tập cho học sinh, tận dụng được công nghệ mới nhất áp dụng trong dạy và học. Dạy học theo quan điểm mới giáo viên không chỉ đơn giản cung cấp kiến thức mà còn phải thiết kế, tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động để học sinh tích cực tham gia vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo. Từ đó tự lực khám phá kiến thức mình chưa biết chứ không phải tiếp thu thụ động những kiến thức sẵn có. Giáo viên cần cài đặt những tình huống thực tế để học sinh trực tiếp quan sát, làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theo cách riêng của bản thân, từ đó học sinh lĩnh hội được kiến thức mới. Như vậy, chức năng và vai trò của giáo dục ngày nay đã được "chuyển sang vai trò nhà tổ chức giáo dục", phương pháp dạy học mới đã chú trọng đến việc phát huy tối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phương pháp tự học, "chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục". Xóa bỏ cách học cũ không kích thích được học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí thông minh, chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi. "Để phát huy tối đa tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt 11 những tình huống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2006). Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ đổi mới cách dạy, cách học, cách tổ chức hoạt động mà còn đổi mới cả cách kiểm tra đánh giá. Nội dung kiểm tra, đánh giá phải toàn diện, bao gồm cả kiến thức, kỹ năng và phương pháp có trong chương trình học, khắc phục tình trạng "học tủ" đối phó với thi cử, ra đề kiểm tra nặng về tính toán, mẹo vặt như trước đây. Việc đổi mới phương pháp dạy học dựa trên những thành tựu của Tâm lý học hiện đại, Lý luận dạy học cho rằng, nhân cách của học sinh được hình thành và phát triển thông qua các hoạt động chủ động, có ý thức. Do đó để đạt được mục đích dạy học thì cần phải đặt học sinh vào vị trí của chủ thể hoạt động trong quá trình dạy học, thông qua hoạt động tích cực của bản thân mà nắm được kiến thức mới, kỹ năng mới đồng thời nắm được phương pháp "làm ra" những kiến thức, kỹ năng đó, không theo những khuôn mẫu có sẵn, bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo. Qua hoạt động học sinh không những chiếm lĩnh được kiến thức mới mà còn hình thành và phát triển năng lực. Tuy nhiên, cần phải nói thêm rằng đổi mới phương pháp dạy học không có nghĩa là gạt bỏ, phủ nhận hoàn toàn các phương pháp truyền thống mà cần kế thừa, phát triển các mặt tích cực của hệ thống phương pháp dạy học quen thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phương pháp mới, theo quan điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở từng vùng, từng miền ở nước ta. 1.2. KỸ NĂNG VÀ VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN HỌC CHO HỌC SINH 1.2.1. Khái niệm kỹ năng Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [19, tr.131]. Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát 12 hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[31, tr.149]. Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[44, tr. 426]. Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm vụ mới. Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp...) vào giải quyết các bài tập cụ thể. Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng. Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định. Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra thu được thông tin mới). Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức (hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho. Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng của các yếu tố sau: Nội dung của bài toán đặt ra, được tách ra một cách rõ ràng hay che đậy quan hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hướng tư duy. Ví dụ 1: Giải phương trình: 1 1 9 3 1  cos4 x  cos2 x   cos4 x  cos2 x  16 2 16 2 2 Mới nhìn dễ gây cho học sinh tâm lý hoảng sợ vì nghĩ là phương trình vô tỉ lượng giác nhưng chịu khó suy nghĩ, xem xét các biểu thức dưới dấu căn, xét thấy các biểu thức dưới căn là các bình phương đúng: 13 2 1 1 1   cos4 x  cos2 x   cosx   16 2 4  2 9 3 3   cos4 x  cos2 x   cosx   16 2 4  Như vậy, tính chất vô tỉ trong bài toán chỉ là cái áo ngụy trang, bởi vì 2 A  A 2 , phương trình đã cho có dạng: cos x  1 3 1  cos2 x   . Việc 4 4 2 lột bỏ hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán. Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh chỉ nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm toàn bộ những yếu tố có mặt trong bài toán. Ví dụ 2: Giải phương trình:  26  15 3  x  2 7 4 3  x  2 22 3  x 1 Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phương trình, từ đó mới phát hiện được mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó là:  7  4 3   2  3  26  15 3    2  3   2  3  1  2  3 x 2x x 3x x x Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình thành kỹ năng. Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng. Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ dàng hình thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học tập. Thói quen tâm lý là một trở ngại thường gặp trong học tập. Nguyên nhân chủ yếu hình thành thói quen tâm lý đó là tư duy của con người có tính phương 14 hướng. Một loại kiến thức hoặc phương pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng sâu làm cho học sinh không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới. Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài toán cụ thể. 2  2x  1  x  2 Ví dụ 3: Giải phương trình: 1 0 2 Nếu chỉ quan sát trên bề mặt thông thường học sinh sẽ chỉ nghĩ đến việc khai triển rồi đơn giản đưa ra phương trình bậc hai:   4 2x 2  4 2  1 x  2  1  0 và tìm nghiệm theo công thức quen 2 thuộc rất cồng kềnh, phức tạp: x12     4 2 1   2 1  4 2  1  4.4 2  2   ... 2   2.4 2 Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm bài toán thấy giữa các hệ số hình thành tỉ lệ, thực hiện biến đổi đơn giản các hệ số đưa phương trình về dạng: a  x  b   x  c   0 : 2  2x  1  2 1  2x  1  0 2  2x  1  0 1    2x  1  2  2x  1    0    2  2x  1  1  0 2   2 Như vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho tư duy trở nên cứng nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh. 1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn 15 thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức về một mặt nào đó sẽ không được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như vào các ngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động tương ứng. Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều này đã được nhiều tác giả đề cập như: “ Suy nghĩ tức là hành động” ( J. Piaget) “ Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant) “ Học để hành, học và hành phải đi đôi” ( Hồ Chí Minh) Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập. Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho học sinh ( Nguyễn Cảnh Toàn). Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh. Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể. Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đường khác nhau như: Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan theo mức độ tăng dần. Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó. 16 Con đường thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức. Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần được tiến hành trên các bình diện khác nhau. - Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dưới dạng giải bài tập toán. - Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như vật lý, hoá học. - Kỹ năng vận dụng vào đời sống. Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau: * Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán. Ví dụ 1: Giải bất phương trình    x 1    2x  3   50  3x  12 (1) Nếu giải bài toán này theo phương pháp thông thường, tức dùng biến đổi tương đương, thì sẽ tương đối phức tạp. Ta nhận thấy, tổng các bình phương các căn thức ở vế trái là một số không đổi:  x 1   2  2x  3   2  50  3x  2  48 Và vế trái của (1) có dạng a1b1 + a2b2 + a3b3 trong bất đẳng thức Bunhiakốpxki. 17 Từ đó, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiakốpxki để giải quyết bài toán: Nếu ta xem a1  1  x; a 2  2x  3; a 3  50  3x; b1  b 2  b 3  1 thì ta có:  1.   1 1  x  1. 2x  3  1. 50  3x  2   12  12 48 1  x  2x  3  50  3x  12 Tức là (1) luôn đúng. Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho chính là điều kiện cho các căn 3 50 thức có nghĩa:  x  2 3 * Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại. * Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng. Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hướng thú cho học sinh, khắc phục ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau: + Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức. + Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán Ví dụ 2: Giải bất phương trình    x 1     2x  3  Nếu để ý mối liên hệ:  50  3x  12   2 x 1  2x  3   2  50  3x  2  48 là một hằng số; làm ta liên hệ tới tích vô hướng. Có thể xem vế trái là tích của hai véc tơ còn vế phải là tích các độ dài của chúng. Với hướng suy nghĩ này, lời giải bài toán khá độc đáo.   x  1  3 3 50  x Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là:  x  2 2 3  50  x   3 Đặt: 18 r u x  1, 2x  3, 50  3x r v  1, 1, 1 rr u.v  x  1  2x  3  50  3x r u   x  1   2x  3    50  3x   48 r v  3 r r u . v  12   Từ góc độ hình học để hiểu bất phương trình thì vấn đề trở nên rõ ràng. rr r r u.v  u . v . Đây là một bất đẳng thức đúng Bài toán chuyển về chứng minh với tích vô hướng của hai véc tơ. Vậy nghiệm của bất phương trình là những giá trị của x mà bất phương trình có nghĩa tức là: 3 50  x . 2 3 Như vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từng bài. Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm ẩn sâu trong bài toán. + Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. Học sinh không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương pháp và các bước làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phương pháp sẵn. Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo. Ví dụ 3: Giải phương trình: (x2 – 5x + 3)(2x2 + 5x – 1) = (x2 + 5x + 3)(2x2 – 5x -1) Khi gặp bài toán này, thông thường học sinh nhân các số hạng với nhau, sau đó đơn giản rồi giải, như vậy sẽ rất phiền phức. Chăm suy nghĩ, chú ý đến đặc điểm phương trình, các hệ số có mặt ở hai vế phương trình, nghĩ tới cách học cấp phương trình,dùng phương pháp xác định hệ số để giải. Đặt a = x2 - 5x + 3; b = 2x2 + 5x -1. Phương trình trở thành: ab = ( a + 10x)(b – 10x) Rút gọn được: - 100x2 + 10x(b – a) = 0 19 x  2 2 Suy ra : x = 0; b – a = 10x  x  4  0   x  2 Hoặc cũng có thể đặt a = x2 + 3; b = 2x2 – 1. Không dừng lại ở cách giải này, tiếp tục suy nghĩ, xem xét phân tíchđặc điểm phương trình. Phương trình cho ở dạng tích nên có thể biến đổi thành dạng tỉ lệ: x 2  5x  3 2x 2  5x  1  x 2  5x  3 2x 2  5x  1 (2) Vậy có thể dùng tính chất tỉ lệ thức để giải phương trình này được không? Với hướng suy nghĩ này, ta có lời giải bài toán khá độc đáo: Áp dụng tính chất tỉ lệ thức: 2 2 2 2 ab cd b c 2x  6 4x  2 x  3 2x 1     a  d  b  a  c  d  được   10x 10x x x Giải được: x  0; x  2; x  2 Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh. 1.3. TƯ DUY HÀM VÀ VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH 1.3.1. Tư duy hàm Trước hết hãy bàn về thuật ngữ tư duy hàm, tư duy hàm tất nhiên không phải là thuật ngữ toán học, tư duy là một khái niệm Tâm lý còn hàm là một khái niệm toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể là một sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó. Cho đến nay vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất, chính thức về tư duy hàm. Theo Koliagin định nghĩa tư duy hàm như sau: Tư duy hàm là một loại hình tư duy đặc trưng bởi việc nhận thức được tiến trình những sự tương ứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học hay giữa các tính chất của chúng (kể cả kỹ năng vận dụng chúng) [30]. 20 Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: Tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một, hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó, trong sự vận động của chúng. Nguyễn Bá Kim thì thay vì đưa ra định nghĩa tư duy hàm, đã đưa ra các hoạt động đặc trưng cho nó, ông quan niệm tư duy hàm đặc trưng bởi các hoạt động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tương ứng. Như vậy, tư duy hàm là hoạt động trí tuệ liên quan đến sự nghiên cứu những quy luật của sự vật, trong sự biến đổi sinh động của chúng, trong sự phụ thuộc lẫn nhau của chúng. Với cách hiểu này, tư duy hàm không chỉ cần đối với nhà khoa học mà nó cũng rất cần thiết đối với người lao động, nó là yếu tố quan trọng trong văn hoá Toán học giúp người lao động tìm ra quy luật trong tự nhiên, xã hội và tư duy. Chẳng hạn như sản phẩm của tư duy hàm thể hiện qua câu ca dao “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm” thể hiện sự tương ứng giữa độ cao và thời tiết. 1.3.2. Vấn đề phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học phương trình Trong dạy học toán học ở trường việc phát triển tư duy hàm cho học sinh không có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về tư duy hàm. Nhiệm vụ tư duy hàm không tồn tại độc lập so với nhiệm vụ truyền thụ kiến thức. Muốn phát triển tư duy hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy định, trong và trên cơ sở đó tìm ra giải pháp phát triển tư duy hàm cho học sinh, phát triển tư duy hàm là mục đích kép. Thực tiễn giáo dục tư duy hàm cho học sinh phổ thông gặp nhiều khó khăn như : Trình độ học sinh còn hạn chế, không đồng đều, khối lượng kiến thức nhiều trong khi số tiết dành cho bộ môn Toán lại không nhiều. Những tri thức về hoạt động tư duy hàm không được qui định rõ ràng trong chương trình nên không được giảng dạy một cách tường minh. Mặt khác, hầu hết giáo viên phổ thông nắm về tư duy hàm chưa đầy đủ và cũng chưa thấy được tầm