Tài liệu luận án tốt nghiệp môn Vật lý.

lêi c¶m ¬n Sau mét thêi gian t×m hiÓu vµ nghiªn cøu, khãa luËn tèt nghiÖp víi ®Ò tµi “ Mét sè hµm ®Æc biÖt trong vËt lý” ®· ®îc hoµn thµnh víi sù nç lùc cña b¶n th©n vµ sù gióp ®ì tËn t×nh, chu ®¸o cña c« gi¸o - TS. Lu ThÞ Kim Thanh cïng c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong tæ VËt lý lÝ thuyÕt vµ c¸c b¹n sinh viªn khãa K29 Trêng §¹i Häc S ph¹m Hµ Néi 2. Em xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh ®Õn c¸c quÝ thÇy gi¸o, c« gi¸o vµ c¸c b¹n vÒ sù gióp ®ì quý b¸u ®ã. §Æc biÖt lµ c« gi¸o - TS. Lu ThÞ Kim Thanh, ngêi ®· hÕt lßng gióp ®ì, chØ b¶o em trong suèt qu¸ tr×nh em hoµn thiÖn ®Ò tµi nghiªn cøu cña m×nh. §ång thêi em còng göi lêi c¶m ¬n s©u s¾c ®Õn c¸c thÇy c« gi¸o trong ban qu¶n lÝ Th viÖn trêng §¹i Häc S ph¹m Hµ Néi 2 ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn tèt ®Ó em cã thÓ hoµn thµnh tèt ®Ò tµi nghiªn cøu cña m×nh mét c¸ch thuËn lîi. Tuy nhiªn do kh¶ n¨ng, tr×nh ®é cña b¶n th©n vµ ®Æc biÖt lµ thêi gian nghiªn cøu vµ t×m hiÓu cßn cã h¹n; h¬n thÕ n÷a, b¶n th©n l¹i lµ mét sinh viªn ®ang bíc ®Çu lµm quen víi viÖc nghiªn cøu khoa häc nªn ®Ò tµi cña em kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng h¹n chÕ vµ thiÕu sãt. ChÝnh v× vËy mµ em rÊt mong sÏ nhËn ®îc nhiÒu ý kiÕn ®ãng gãp cña quÝ thÇy c« vµ c¸c b¹n ®Ó ®Ò tµi nghiªn cøu cña em ®îc hoµn thiÖn h¬n, trë thµnh mét tµi liÖu thùc sù bæ Ých vµ cÇn thiÕt cho c¸c b¹n sinh viªn khi nghiªn cøu vµ häc tËp. Em xin ch©n thµnh c¶m ¬n! PhÇn mét: më ®Çu Nh chóng ta ®· biÕt, cho ®Õn thÕ kØ XIX th× mét chuyªn ngµnh vËt lÝ míi ®· ra ®êi, ®¸nh dÊu mèi quan hÖ s©u s¾c gi÷a vËt lý häc vµ to¸n häc, ®ã chÝnh lµ “ VËt lý lÝ thuyÕt”. Chuyªn ngµnh vËt lý lÝ thuyÕt ra ®êi ®· n©ng cao vµ kh¸i qu¸t nh÷ng ®Þnh luËt VËt lý thµnh nh÷ng quy luËt, nh÷ng häc thuyÕt hÕt søc tæng qu¸t vµ cã ý nghÜa to lín trong khoa häc, ®êi sèng vµ kü thuËt .B»ng nh÷ng ph¬ng ph¸p to¸n häc hiÖn ®¹i, ph¸t triÓn cao, VËt lý lÝ thuyÕt cßn t×m ra nh÷ng quy luËt míi cha hÒ ®îc t×m ra b»ng thùc nghiÖm vµ tiªn ®o¸n trø¬c ®îc mèi quan hÖ gi÷a c¸c hiÖn tîng vËt lý. Trong suèt qu¸ tr×nh ph¸t triÓn, VËt lý lÝ thuyÕt ®· kh¼ng ®Þnh râ ®îc chøc n¨ng, nhiÖm vô cña m×nh. §ã lµ: Thø nhÊt, diÔn t¶ c¸c quy luËt VËt lý díi d¹ng c¸c h×nh thøc ®Þnh lîng vµ thµnh lËp mèi quan hÖ néi t¹i gi÷a c¸c sù kiÖn quan s¸t ®îc trong thùc nghiÖm; x©y dùng nh÷ng thuyÕt bao gåm vµ gi¶i thÝch ®îc mét ph¹m vi réng r·i nhiÒu hiÖn tîng vËt lý. Thø hai, dïng ph¬ng ph¸p tæng hîp ®Ó t×m ra nh÷ng quy luËt míi, nh÷ng qui luËt cã tÝnh kh¸i qu¸t h¬n. Nh ®· ®Ò cËp, vËt lý lÝ thuyÕt, dïng c¸c dông cô to¸n häc ®Ó nghiªn cøu vµ kh¸i qu¸t c¸c hiÖn tîng, qui luËt. Nh÷ng ph¬ng ph¸p to¸n häc dïng trong vËt lý lÝ thuyÕt nãi chung, trong vËt lý häc hiÖn ®¹i nãi riªng rÊt phong phó, ®a d¹ng; bao gåm mét khèi lîng lín c¸c kiÕn thøc thuéc c¸c lÜnh vùc kh¸c nh: hµm thùc, hµm biÕn phøc, c¸c ph¬ng tr×nh vi phËn, c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n, ®¹i sè tuyÕn tÝnh… Trong qu¸ tr×nh t×m nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng b»ng ph¬ng ph¸p t¸ch biÕn, sÏ gÆp c¸c ph¬ng tr×nh vi ph©n th«ng thêng mµ nghiÖm cña chóng lµ c¸c hµm ®Æc biÖt nh hµm Delta, hµm Gamma, hµm Bessel, hµm cÇu,… Tuy nhiªn, trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu cña b¶n th©n còng nh cña rÊt nhiÒu c¸c b¹n sinh viªn cïng khãa, ®Ó hiÓu ®îc mét c¸ch ®Çy ®ñ vµ s©u s¾c vÒ c¸c hµm ®Æc biÖt kh«ng ph¶i lµ viÖc lµm ®¬n gi¶n, dÔ dµng. H¬n n÷a, c¸c hµm ®Æc biÖt cßn cã tÇm quan träng ®Æc biÖt khi nghiªn cøu mét sè c¸c m«n häc kh¸c nh: C¬ häc lîng tö, ®iÖn ®éng lùc häc, lÝ thuyÕt trêng, vËt lÝ thèng kª, vËt lÝ chÊt r¾n,… Do ®ã, ®Ó rÌn luyÖn kÜ n¨ng gi¶i c¸c bµi tËp, hiÓu vµ n¾m ®îc c¸c c«ng thøc phøc t¹p còng nh phÇn lÝ thuyÕt tr×nh bµy trong gi¸o tr×nh C¬ häc lîng tö, ®iÖn ®éng lùc häc, lÝ thuyÕt trêng,… mét c¸ch kÜ cµng vµ ch¾c ch¾n h¬n th× tríc hÕt ph¶i hiÓu s©u s¾c vµ n¾m ch¾c ®îc c¸c hµm ®Æc biÖt. Tõ ®ã mµ vÊn ®Ò ®Æt ra lµ ph¶i t×m hiÓu vµ n¾m v÷ng néi dung c¸c hµm ®Æc biÖt. §Ó gi¶i quyÕt ®îc vÊn ®Ò nµy mét c¸ch triÖt ®Ó, chóng ta kh«ng chØ ®¬n thuÇn lµ n¾m ®îc nh÷ng kh¸i niÖm, nh÷ng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña c¸c hµm nµy mµ ph¶i kÕt hîp mét c¸ch phï hîp vµ nhuÇn nhuyÔn víi c¸c c«ng cô to¸n häc, biÕt vËn dông chóng vµo c¸c bµi tËp liªn quan mét c¸ch linh ho¹t. Tõ nh÷ng suy nghÜ trªn, em ®Æt ra môc ®Ých lµ ph¶i nghiªn cøu vÒ mét sè hµm ®Æc biÖt trong vËt lÝ ®Ó lµm ®Ò tµi nghiªn cøu cho luËn v¨n tèt nghiÖp cña m×nh. LuËn v¨n nµy sÏ tæng hîp ®îc nhiÒu kiÕn thøc tõ nhiÒu tµi liÖu kh¸c nhau, ®ång thêi nã còng sÏ lµ mét tµi liÖu tham kh¶o bæ Ých cho c¸c b¹n sinh viªn khi häc tËp vµ nghiªn cøu. Sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi nghiªn cøu “ Mét sè hµm ®Æc biÖt trong vËt lÝ”, b¶n th©n em ®· hiÓu s©u s¾c vµ chi tiÕt h¬n vÒ c¸c hµm ®Æc biÖt thêng dïng trong vËt lÝ vµ c¸ch vËn dông chóng ®Ó gi¶i quyÕt vµ biÓu diÔn kÕt qu¶ cña c¸c bµi tËp vÒ vËt lÝ thèng kª, ®iÖn ®éng lùc häc, c¬ häc lîng tö, lÝ thuyÕt trêng, vËt lÝ chÊt r¾n,… Néi dung cña luËn v¨n gåm ba ch¬ng: Ch¬ng 1: Hµm Delta Ch¬ng 2: Hµm Gamma Ch¬ng3: Hµm Bessel. PhÇn hai: Ch¬ng 1: Néi dung Hµm DELTA 1. Hµm Delta: 1.1. §Þnh nghÜa: Trong vËt lý häc cæ ®iÓn vµ lîng tö hiÖn ®¹i, ta thêng gÆp c¸c chÊt ®iÓm cã khèi lîng c¸c ®iÖn tÝch, c¸c lìng cùc… V× vËy ®Ó vÉn gi÷ nguyªn c¸c kh¸i niÖm vÒ mËt ®é cña chóng, n¨m 1926 P. §irac ®· ®a ra hµm Delta  , sau ®ã S.L. Xobolev vµ L. Schwartz x©y dùng vÒ mÆt to¸n häc. Hµm Delta  ®îc §irac ®a ra ®Ó miªu t¶ kh¸i niÖm vËt lý trõu tîng nh: mËt ®é vËt chÊt ®iÓm, mËt ®é ®iÖn tÝch ®iÓm… C¸c gi¸ trÞ cña hµm Delta kh«ng ph¶i ®îc x¸c ®Þnh theo c¸c gi¸ trÞ cña ®èi sè nh c¸c hµm th«ng thêng mµ b»ng biÓu thøc ®Þnh nghÜa ( cho hµm Delta mét biÕn) nh sau:   0, x  0  (x)   Víi   xdx  1. (I.1)  , x  0   Hµm Delta  (x  x 0 ) b»ng 0 ë tÊt c¶ c¸c ®iÓm trõ ®iÓm x= x 0, t¹i ®ã nã tiÕn ®Õn v« cïng sao cho tÝch ph©n hµm nµy theo toµn miÒn lµ h÷u h¹n vµ b»ng ®¬n vÞ:  (I.2)   (x  x0 )dx  1  Khi ®ã hµm Delta  sÏ liªn hÖ ch¼ng h¹n víi mËt ®é ®iÖn tÝch  cña mét nguån ®iÓm ®Æt t¹i gèc täa ®é b»ng hÖ thøc ®¬n gi¶n:  (x)  e (x) §èi víi ®o¹n [a, b], thay cho (I.2) ta cã. 1;a  x  b b  0  (x  x )dx    0 a  0; x 0  a, x 0  b (I.3) §èi víi mét hµm f(x) liªn tôc trong miÒn ®ang xÐt, ta cã hÖ thøc:  f (x );a  x  b b  0 0 f (x)  (x  x )dx    0 a  0; x 0  a, x 0  b (I.4) ThËt vËy, ¸p dông ®Þnh lÝ trung b×nh tÝch ph©n ta cã: x  b 0 f (x)  (x  x )dx  f (x   )    (x  x 0 )dx trong ®ã   1,   0. 0 0 a x  0 Sö dông (I.3) vµ cho   0 , ta ®îc ( I.4) Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy: ®å thÞ cña hµm Delta kh«ng ®îc x¸c ®Þnh, tuy vËy cã thÓ biÓu diÔn nã b»ng mét ®êng cong bÊt kú cã chiÒu cao v« cïng lín vµ chiÒu réng v« cïng hÑp, sao cho diÖn tÝch giíi h¹n bëi ®êng cong vµ trôc hoµnh b»ng ®¬n vÞ. 1.2. TÝnh chÊt c¬ b¶n: Tõ ®Þnh nghÜa, ta dÔ dµng rót ra c¸c tÝnh chÊt sau cña hµm Delta: (2.1)  (x)   (x) (2.2) x (x)  0 (2.3)  ( x)  (2.4)   f (x) (x  a)dx  f (a)  ( Hµm Delta lµ hµm ch½n) 1  (x)  (2.5)  ' (x)   ' (x) ( §¹o hµm cña hµm Delta lµ mét hµm lÎ)  (x  x ) i   (x)    d    (2.6) i  dx   x x i Víi xi lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh  (x)  0 1  (2.7)  (x)  exp(iqx)dq ( Khai triÓn Furie cña hµm Delta) 2  (§©y lµ mét trong nhiÒu c¸ch biÓu diÔn têng minh cña hµm Delta) 2. C¸c bµi to¸n liªn quan: 2.1. Dïng hµm Delta ®Ó biÓu diÔn ý nghÜa vËt lÝ cña nghiÖm c¬ b¶n cña ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt mét chiÒu trong thanh dµi v« h¹n. B»ng ph¬ng ph¸p Fourier ta ®· t×m ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt mét chiÒu trong thanh dµi v« h¹n. 2 ( x)   1 2 u(x, t)   f ( )U(x, t,  )d   f ( )e 4a t d 2a  t   Víi U(x, t,  )  1 2 ( x) e 4a 2t d (I.5) (I.6) 2a  t §Ó t×m ý nghÜa cña nghiÖm c¬ b¶n, ta gi¶ sö nhiÖt ®é trªn thanh ®ang b»ng 0 vµ ®óng lóc t = 0 ta truyÒn cho thanh mét nhiÖt lîng Q, lµm cho nhiÖt ®é cña kho¶ng (x 0  h, x 0  h) t¨ng lªn ®Õn u0, cßn nhiÖt ®é ë ngoµi khaáng ®ã vÉn b»ng 0. VËy nhiÖt ®é trong thanh lóc t=0 ®îc cho bëi : u  u ; x  (x  h, x  h) t 0 ®îc m« t¶ nh h×nh H.1. 0 0 0  0; x (x 0  h, x 0 h)  f (x)   f(x) u0 O x0 -h x0 +h x H×nh 1: Ta cã: Q  2hc u 0 , trong ®ã c lµ nhiÖt dung ,  lµ mËt ®é. Theo c«ng thøc (I.5), nhiÖt ®é trong thanh lóc t > 0 ®îc cho bëi : ( x)2 x h x h ( x)2  0 1 Q 1 0 u(x, t)   u e 4a 2t d  . e 4a 2t d  0 c 2a  t 2h x h x h 2a  t 0 0 ¸p dông ®Þnh lÝ vÒ gi¸ trÞ trung b×nh vµo tÝch ph©n ë vÕ ph¶i, ta ®îc: u(x, t)  Q 1 . c 2a  t 2 ( x) e 4a2t Trong ®ã x 0  h    x 0  h . B©y giê Q kh«ng ®æi, cho h dÇn tíi 0, tøc lµ ta truyÒn nhiÖt lîng kh«ng ®æi Q vµo kho¶ng (x 0 -h, x0+h) ngµy cµng thu hÑp ®Õn ®iÓm x0 . Ta nãi r»ng cã mét nguån nhiÖt ®iÓm tøc thêi cêng ®é Q ®Æt t¹i ®iÓm x = x0 ë thêi ®iÓm t = 0. Díi t¸c dông cña nguån nhiÖt ®iÓm tøc thêi ®ã, ph©n bè nhiÖt ®é trong thanh lóc t > 0 ®îc cho bëi: 2 ( x) Q 1 Q u(x, t)  . exp 4a2t  V(x, t; x ) 0 c 2a  t c V× lóc h  0 th×   x 0 . VËy nghiÖm c¬ b¶n (I.6) cho ta thÊy ph©n bè nhiÖt trong thanh lóc t > 0 nÕu lóc t = 0 cã mét nguån nhiÖt ®iÓm tøc thêi cêng ®é Q  c ®Æt t¹i ®iÓm x   . Ngêi ta gäi hµm biÓu diÔn ph©n bè nhiÖt ®é nhiÖt ®é lóc ®Çu t = 0 trong thanh nÕu lóc ®ã cã mét nguån nhiÖt ®iÓm tøc thêi cêng ®é Q  c ®Æt t¹i ®iÓm x = x0 lµ hµm Delta cña §irac vµ kÝ hiÖu nã lµ  (x  x 0 ) . Cã thÓ ®Þnh nghÜa nã mét c¸ch h×nh thøc nh sau:  0; x  x 0 1)  (x  x )   0   ; x  x  0 ( §iÒu nµy lµ do u 0   khi h  0 )  2)   (x  x )dx 1 0    f (x)dx 2hu 0  1 )  Thùc ra hµm Delta kh«ng ph¶i lµ mét hµm theo nghÜa th«ng thêng cña gi¶i tÝch mµ nã lµ mét hµm ®Æc biÖt cña vËt lý. ( ®iÒu nµy lµ do §å thÞ cña nghiÖm c¬ b¶n (I.6) víi  cè ®Þnh ë c¸c thêi ®iÓm kh¸c nhau ®îc vÏ ë h×nh H.2 . C¸c ®å thÞ nµy ®Òu nhËn ®êng x =  lµm trôc ®çi xøng ®¹t 1 c¸c cùc ®¹i t¹i x = 1 vµ cùc ®¹i ®ã b»ng . DiÖn tÝch giíi h¹n bëi trôc 2a  t Ox vµ ®å thÞ cña nghiÖm c¬ b¶n y  v(x, t,  ) b»ng: 2   x (x  )  S víi 1 1  S2 2 4a t e d  dS  1 2a t   e    2a  t v (1) (2) (3) (4) x  O H×nh. 2 §iÒu ®ã cã nghÜa lµ nhiÖt lîng Q  c truyÒn cho thanh do nguån nhiÖt ®iÓm tøc thêi lóc t = 0 lµ kh«ng ®æi theo thêi gian. Trªn H×nh.2 , c¸c ®êng cong (1) , (2) , (3) , (4) t¬ng øng víi c¸c thêi ®iÓm 0 < t1 < t2 < t3 0 trong thanh díi t¸c dông cña nguån nhiÖt ®iÓm tøc thêi Êy ®îc cho bëi: dQ 1 v(x, t,  )  f ( )d c 2a  t 2 ( x) e 4a2t Do ®ã nÕu nhiÖt ®é trong thanh lóc t = 0 ®îc cho bëi hµm f ( ) th× nhiÖt ®é trong thanh lóc t > 0 ®îc cho bëi hµm: 2 ( x) f ( )e 4a 2t d  1 u(x, t)    2a  t 2.2. VËn dông trong lÝ thuyÕt trêng ®Ó nghiªn cøu trêng v« híng tù do. Bµi to¸n: Chøng minh biÓu thøc cña n¨ng xung lîng qua ¶nh Fourie u r ur a(k) vµ a*(k) lµ: ur u r ur dk P  dxT   k  a*(k)a(k) 0 2 ur Lêi gi¶i. u r u r dk ikx ur 1 dk ikx * ur  (x)  e a(k)  e a (k)   Ta cã: 3 2 3 2 (2 ) 2 (2 ) 2 1 §Ó t×m ®îc biÓu thøc P tríc hÕt ta tÝnh T00 mµ 1 m2 2 T     p   00 2 2 Ta lÇn lît tÝnh:    1 u r ur u r u r   dk dk  ikx ikx * (  ik )e a(k)  (ik )e a (k)   2   3  2  (2 ) 2     uu r uu r uu r uu r   ' 1  dk dk ' ' ikx * '  '  ikx '  (ik  )e a(k )   (ik  )e a (k )  3  2 ' 2 '   (2 ) 2 uu r uu r   ur u r 1  dk ikx dk ' ikx * '   e a(k)   e a (k )  3  2 2 '   (2 ) 2 uu r uu r uu r uu r   ' 1  dk ikx ' dk ' ikx * '   e a(k )   e a (k )  3 2 ' 2 '  2 (2 ) VËy: +  r r uu uu r  u ')x ur 1  dkdk '  i(k  k ' T  (k  k  )e a(k)a(k ') + 00 2(2 )3  4 '  r r u r uu u r uu uu r ' u r dkdk dkdk ' i(k k')x i(k k')x 4 (k k ' )e '   a(k)a*(k ' ) +  r u r uu 4 (k k ' )e '   uu r u r a*(k)a(k ' ) uu r ' ur + dkdk (k k ' )ei(k k')x a*(k)a*(k ' ) +   4 ' + uu r uu r  ur ' m  dkdk i(k k')x ur e a(k)a(k ' )  3 ' 2(2 )  4 r u r uu + r u r uu uu r ' ur + dkdk ei(k k')x a(k)a*(k ' ) 4 ' r u r uu uu r  ' i(k k')x ur dkdk * * ' dkdk ' i(k k')x * ur e a (k)a (k )  e a (k)a(k ' ) +   ' 4 4 '  uu r u r uu r r ' u r uu dk dk 2 ' ' )ei(k k')x +  = (m  k k )a(k)a(k     2(2 )3 2 2 '  1 uu r u r + ( m2  k k ' )a(k)a*(k ' )ei(k k')x +   uu r u r + ( m2  k k ' )a*(k)a(k' )ei(k k')x +   uu r ur '  + ( m2  k  k' )a* (k)a*(k ' )ei(k k )x   Thay vµo biÓu thøc cña P0 ta cã: ur u r uu r dk dk ' P0 = T00dx =   2(2 )3 2 2 ' 1 r u r uu   2 ' ' i(k k')x dxur +  (m  k  k  )a(k)a(k ) e  uu r u r ' ur 2 ' *  + (m  k  k  )a(k)a (k ' ) ei(k k )x dx  + r u r uu ' ur 2 ' *  + (m  k  k  )a (k)a(k ' ) ei(k k )x dx  + uu r u r ' ur 2 ' * *  + (m  k  k  )a (k)a (k ' ) ei(k k )x dx    uu r u r MÆt kh¸c cã: k  k '  k k '  kk ' nªn ta cã: 0 0 ' )x ')x ur i(k0 k0 ')x ur i(k0 k0' )x  i(k  k  i(k  k dx  e dx  e (2 )3 (k  k ' ) e e V× theo mét trong c¸c c¸ch biÓu diÔn têng minh cña hµm Delta:  (k)  1  ikx e dx . Do vËy ta cã: 2  u r uu r r i(k k ')x ' u r uu P  1 dk dk (m2  k k ' )a(k)a(k ' )e 0 0  (k  k ' ) + 0     2 2 2 '  uu r ' u r + (m2  k k ' )a(k)a *(k ' )ei(k0 k0 )x (k  k ' ) +   r i(k k ')x u r uu ' )e 0 0  (k  k ' ) + + (m2  k k ' )a*(k)a(k   uu r i(k k ')x  u r 2 ' * * + (m  k  k  )a (k)a (k ' )e 0 0  (k  k ' )    BiÓu thøc nµy chØ h÷u h¹n khi k  k '  0  k  k ' vµ k  k '  0  k  k ' . uu r uur u r Khi k  k '  k  k '  k k '  kk '  k 2  k 2 0 0 0 uur  m2  k  k '  m 2  k 2  k 2  2k 2 0 0 uu r uur u r 2  k k '  m2  k k '  kk '  m2  k 2  k 2  0 '  m k  k   0 0 0 uur V× k  k 2  m2 . vµ cã k  k ' ,    ' 0 0 0 Thay vµo biÓu thøc cña P0 ta cã: ur ur u r u r u r ur 1 dk P   (4k 2a(k)a*(k) =  dk k a(k)a*(k) 0 2 4 2 0 2 0 ur XÐt trêng hîp   i , ta cã P  T dx i oi Mµ ta biÕt Toi   0 i , ta lÇn lît tÝnh: ur uu r u r  dk  ikx a(k)    ik e  ik eikx a*(k ' )    0 0 0 3 2   2 (2 ) 1 uu r     uu r uu r  ' ' dk '    ik ' eik x a(k ' )  ik ' eik x a*(k ' )    i i i 3 2 '   2 (2 ) VËy ta cã: 1     r u r uu uu r uu r uu r uu r ' ' dkdk '  T  (k k ' )ei(k k )x a(k)a(k ' )  (k k ' )ei(k k )x a(k)a*(k ')    0 i oi (2 )3 4 '  0 i 1 uu r uu r uu r uu r ' '  + (k k ' )ei(k k )x a*(k)a(k ' )  (k k ' )ei(k k )x a*(k)a*(k ' )  0 i 0 i  Suy ra: r u r uu r ' ' uu r uu 1 dkdk ' ' ) e i(kk )x dxur + Pi = Toidx   (  k k )a(k)a(k   (2 )3 4 '  0 i ur uu r uu r ' ' uu r uu r + (k k ')a(k)a*(k ' ) e i(kk )x dxur + (k k ' )a*(k)a(k ' ) e i(kk )x dxur + 0 i 0 i uu r uu r i(kk')x ur  ' * * dx  + (k 0k )a (k)a (k ' ) e i  = r u r uu  r r uu i(k k ')x  uu dkdk ' ' 3 0 0  (k  k ') + (k k ) a(k)a(k )(2 ) e   0 i  (2 )3 4 ' 1 uu r ' uu r + a(k)a *(k ' )(2 )3ei(k0 k0 ) (k  k ') + + uu r uu r i(k k ') + * * a (k)a (k ' )(2 )3e 0 0  (k  k ' ) uu r  uu r i(k k ') * * + a (k)a (k ' )(2 )3e 0 0  (k  k ' )    r u r uu r i(k k ')x ' uu r uu 0 0  (k  k ') + = dkdk (k k ) a(k)a(k ' )e 0 i '  4 uu r i(k k ') uu r ' uu r + uur * ' i(k0 k0 ) + a*(k)a + ' * (k ' )e 0 0  (k  k ' ) a(k)a (k )e  (k  k ) uu r i(k k ')  uu r * * + a (k)a (k ' )e 0 0  (k  k ' )    BiÓu thøc cña pi chØ cã nghÜa khi k = - k ' , k = k ' v× theo tÝnh chÊt cña  hµm Delta :  (k  k ')    0  '  (k  k )    0 Do k = k ' nªn u r khi khi khi khi uu r  k  k';   (k  k ' )dk  1  k  k '  k  k ';   (k  k ' )dk  1  k  k' uu r u r uu r uu r *(k ' ) = dk *(k ' ) P   2k k a(k)a k a(k)a 2 i i 0 i ' 4 dk Tõ biÓu thøc cña P0 vµ Pi ta cã biÓu thøuc cña n¨ng xung lîng qua ¶nh u r ur Founer a(k) vµ a*(k) nh sau: u r u r ur dk P  dxTo   k  a*(k)a(k) 2 2.3. Bµi to¸n trong c¬ häc lîng tö: 3.1 Bµi to¸n chuÈn hãa c¸c hµm sè ( dïng cho c¸c hµm øng víi phæ liªn tôc) * Bµi to¸n : ChuÈn hãa hµm sè sau: ur i  p  A exp  Px  , (   p   ) vÒ  - hµm , víi p  R vµ trong trêng h  i urr  hîp tæng qu¸t puur  A exp  Pr  . h * Lêi gi¶i: Do p lµ thùc vµ p  ( ,  ) nªn p øng víi phæ liªn tôc. Vµ do ®ã ta chuÈn hãa vÒ  - hµm , tøc lµ: * '  'pdx   (p  p ) p XÐt tÝch ph©n :  *  2 i ' )  dx  A 2h exp i(p  p' ) x d( x ) =   dx  A exp (p  p        h h   p' p   h = A2 2 h (p  p' ) Tõ ®iÒu kiÖn chuÈn hãa (1) ta cã: A2 2 h (p  p' )   (p  p' )  A  1 2 h VËy hµm p sau khi ®îc chuÈn hãa vÒ  - hµm cã d¹ng. 1 1  exp  Px  , p  ( ,  ) h 2 h Trong trêng hîp tæng qu¸t: p  rr i u ChuÈn hãa hµm puur  A exp  pr  ,p  ( ,  ) vÒ  - hµm h Ta cã thÓ viÕt l¹i: r r ur r ur  u r i puur  A exp  (Px i  Py j  Pz k)(xi  yy  zk)  = h r i  = A exp  (xPx  yPy  zPz )  víi r  (x, y,z) h Do p lµ thùc vµ p  ( ,  ) nªn puur t¬ng øng víi phæ liªn tôc, v× vËy chuÈn hãa vÒ  - hµm cã d¹ng: ur r u r * '  puurdr   (p  p ) p' uuuur XÐt tÝch ph©n:  * r  2 r ur' r  r i u   puurdr   A exp  h (p  p )r  dr   p'   uuuur  i   i   i   A2  exp  (Px  P'x )x  dx  exp  (Py  P'y )y  dy  exp  (Pz  P'z )z  dz h h    h ur = A2 (2 h)3 (pur  p' ) KÕt hîp víi (2) suy ra: ur ur u r u r  A A2 (2 h)3 (p  p' ) =  (p  p' ) 1 (2 h)3 3.2 Chøng minh c¸c hÖ hµm lµ trùc giao: * Bµi to¸n : Chøng minh r»ng hÖ c¸c hµm i  A exp  Px  , P ( ,  ) lµ c¸c hÖ trùc giao h Lêi gi¶i: i  §Æt  p = A exp  Px  , P ( ,  ) vµ h  = A exp  i P'x  , ' P  ( ,  ) Chó ý r»ng P  P' p' h    i  i  ( , )   A exp   P'x A exp  Px  dx = h P' P   h   x x i  = A2  exp  (P  P' )x  dx  A 2h  exp  i(P  P' ) d( ) h h    h MÆt kh¸c ta cã hÖ thøc: 1  x x ' = exp  i(P  P' ) d( )  (P  P )  2  h h  Do ®ã ta cã: XÐt: ( , )  A 2 2 h (P  P' ) P' P V× P  P' nªn  (P  P' )  0 hay ( P' , P )  0 i  VËy hÖ c¸c hµm  p = A exp  Px  lµ hÖ c¸c hµm trùc giao. h 3.3. T×m hµm sãng cña h¹t. * Bµi to¸n: T×m hµm sãng cña h¹t trong xung lîng biÓu diÔn ®èi víi h¹t ë tr¹ng th¸i trong täa ®é biÓu diÔn d¹ng iP x 1  (x)  e h 0 2 h Lêi gi¶i: Tãan tö xung lîng trong täa ®é biÓu diÔn lµ: P  ih HÖ hµm riªng cña to¸n tö P� : 1 i  p  Px  2 h  h Khi ®ã h¸m sãng trong xung lîng biÓu diÔn lµ: p  P   *  (x)dx P(x) Khi  (x)  1 i  exp  Px  ta cã: 2 h h i 2  i (PP )x  1  1 1 h(PP0 )x = 0 h p   dx  2 e dx  e 2 h  2  2 h  PP 1 0 )   (P  P ) 2 ( 0 h 2 h VËy hµm sãng cña h¹t trong xung lîng biÓu diÔn lµ: = P   (P  P ) 0 Ch¬ng 2: Hµm GAMAMA 1. Hµm gamma: 1.1. §Þnh nghÜa: Hµm Gamma lµ tÝch ph©n EUler lo¹i 2, ®îc kÝ hiÖu  (  ) vµ x¸c ®Þnh ( ®èi víi nh÷ng ®¹i lîng d¬ng cña biÕn ®éc lËp  ) b»ng tÝch ph©n suy réng:  ( )   ex x 1dx ( Víi   0 ) 0 1.2. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n: 2.1. DÔ thÊy r»ng tÝch ph©n (II.1) héi tô víi mäi   0 . (II.1) 1 ThËt vËy: Víi 0  x  1 ta cã x 1ex  x 1 mµ tÝch ph©n  x 1dx 0 1 héi tô nÕu  1  1 hay   0 . VËy tÝch ph©n  x 1e x dx héi tô khi   0 . 0 1 VËy tÝch ph©n  x 1e x dx héi tô khi   0 . 0 NÕu lÊy   1 , ta cã: x 1ex : x   x 1 e x  0 khi x   . VËy víi x d¬ng, kh¸ lín, ta cã x 1e x  Cx  , trong ®ã C lµ mét h»ng sè nµo ®ã. Nhng tÝch ph©n    x dx héi tô víi mäi   1 , vËy tÝch ph©n 1   1 x e dx héi tô víi mäi  . Nãi tãm l¹i tÝch ph©n (II.1) héi tô víi mäi  x 1  0. H¬n n÷a tÝch ph©n ( II.1) héi tô ®Òn ®èi víi   a,A  , trong ®ã ,  xa 1;0  x  1   1  x e   a  0,a   , v× ta cã x  x A1ex ;1  x    A1 x 1 a 1 e dx ®Òu héi tô. mµ c¸c tÝch ph©n  x dx ,  x 1 0 2.2. V× tÝch ph©n (II.1) héi tô ®Òu ®èi víi   a,A  , a  0,A   nªn hµm T( ) liªn tôc víi mäi 0     . 2.3. Còng cã thÓ chøng minh ®îc r»ng hµm ( ) cã ®¹o hµm mäi cÊp. 2.4. C«ng thøc truy håi toµn ®èi víi hµm Gamma ( c«ng thøc c¬ b¶n thø (II.2) ( )  (  1)! ThËt vËy, b»ng tÝch ph©n tõng phÇn ta cã:    T( )  x 1ex   (  1)x 2exdx  (  1)  x 2exdx 0 0 0 Hay ( )  ( 1)(  1) (II.3) nhÊt): ¸p dông lÇn lît  lÇn c«ng thøc (II.3), ta ®îc: ( )  (  1)(  1) = (  1)(  2)(  2)  ....  (  1)(  2)....2.1(1) .  Nhng (1)   exdx  1 . VËy ta cã: 0 ( )  (  1)(  2)....2.1  (  1)!  (n  1) n! ¸p dông:  e xxn dx  n1  n1   0 2.5 C«ng thøc truy håi toµn c¬ b¶n thø hai cña hµm Gamma: 1 (2n  1)!!  §èi víi c¸c  b¶n nguyªn: (n  )  2 2n ThËt vËy: Thay x = t2 vµo (II.1) ta cã:   2 ( )   e k x 1dx 2  et t 2 1dt 0 0 1 Víi    t 2 1  1 2  2 1 1 Suy ra: ( )  2  et dt  2.    ( Theo tÝch ph©n Poisson). 2 2 0 Tõ ®ã víi mét sè  b¸n nguyªn bÊt kú ta cã: 1)  (n  1 )  (n  1 )(n  3 )... 1 ( 1 )  1.3.5...(2n n 2 2 2 2 2 2 (2n  1)!!  ( Víi n = 1, 2, …, ) = 2n 2.6. Hµm Gamma ( ) ®· ®îc ®Þnh nghÜa bëi tÝch ph©n (II.1) víi   0 . NÕu   0 , ta ®Þnh nghÜa nã bëi c«ng thøc (II.3), cô thÓ lµ ( ) = (  1)  Ch¼ng h¹n: (2,2) 1 (1,2) (3, 2)    3,2 3,2 2,2  1 (0,2) 1 (0,8)   0,6891 3,2.2,2 1,2 3,2.2,2.1,2 0,2 2.7. Khi  dÇn tíi 0 hoÆc tíi mét sè nguyªn ©m th× ( ) dÇn tíi v« cïng. ThËt vËy, víi mäi  ta cã: (  1)  Khi   0, (  1)  (1)  1 . VËy ( )   , ta viÕt (0)   Ta l¹i cã víi n nguyªn d¬ng (n  1) 1 (1)n (n)   ...  (0)  (0)   n (n)(n  1)...(1) n! ( ) = 2. C¸c bµi to¸n liªn quan: øng dông hµm Gamma vµo viÖc gi¶i bµi tãan cña vËt lý thèng kª. Bµi tãan: TÝnh lîng hiÖu chØnh vµo ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i cña chÊt khÝ lo·ng mµ c¸c ph©n tö cña nã t¬ng t¸c víi nhau theo ®inh luËt. a (r)  n víi a > 0 . r Lêi gi¶i: Ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i cña khÝ lo·ng, mét c¸ch gÇn ®óng cã thÓ coi lµ ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i cña khÝ lý tëng: kNT N (1)  kT V V Tuy nhiªn, do c¸c ph©n tö cña khÝ lo·ng cã t¬ng t¸c víi nhau theo ®Þnh P luËt a (r)  n víi a > 0 nªn biÓu thøuc cña ¸p suÊt khÝ lóc n©ng cã d¹ng chÝnh r x¸c lµ: P  N N2      kT   V  V 2V2   (2)  Víi  x¸c ®Þnh theo biÓu thøc: (r)   1  kT Tõ (1) vµ (2) ta suy ra lîng hiÓu chØnh cña ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i cña chÊt khÝ lo·ng lµ:   4 f(r)r 2dr trong ®ã: f(r)  exp   N2  N2  Ptt  kT  kT 4 f(r)r 2dr  2V2 2V2 0 (3) (r)  a   1 víi (r)  n vµo (3) ta cã r  kT  Thay f(r)  exp   2 (r)   2 = N    Ptt  2 kT     xep  n   1r dr V  0   kTr  2  2  a n   N   2 = 2 kT     r dr   r e kTr dr  = V  0  0  2   a n   kT  (n1) r 3  a n   N   r3  1  e kTr   r e kTr dr  = 2 kT     3  0 na 0 V   3      NÕu nh c¸c lùc t¬ng t¸c lµ c¸c lùc t¸c dông ®ñ ng¾n ( cã b¸n kÝnh t¸c dông nhá) , thµnh thö n > 3 th× thµnh phÇn  an r3  1  e kTr  3 0  sÏ bÞ triÖt  tiªu vµ khi ®ã biÓu thøc cña Ptt sÏ chØ cßn l¹i lµ: a N 2 na  1  kTrn Ptt  2 kT( ) e dr V 3kT 0 r n2 §Õn ®©y ta ®Æt x  a na kT n1  dx  dr  dr   r dx n na kTr kTr n1