Tài liệu Luận án toán học-hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc [tt]

§¹i häc huÕ Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m ph¹m thÞ cóc HÖ nh©n tö trong nhãm ph¹m trï ph©n bËc Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè M· sè: 62. 46. 05. 01 luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc HuÕ - 2014 LuËn ¸n ®­îc hoµn thµnh t¹i: Tr­êng §¹i häc s­ ph¹m, §¹i häc HuÕ Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: 1. PGS. TS. NguyÔn TiÕn Quang 2. GS. TS. Lª V¨n ThuyÕt Ph¶n biÖn 1: Ph¶n biÖn 2: Ph¶n biÖn 3: LuËn ¸n sÏ ®­îc b¶o vÖ t¹i Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp §¹i häc HuÕ häp t¹i: Vµo håi ... giê ... ngµy ... th¸ng ... n¨m 2014 Cã thÓ t×m hiÓu luËn ¸n t¹i: - Trung t©m häc liÖu - §¹i häc HuÕ - Th­ viÖn Tr­êng §¹i häc s­ ph¹m - §¹i häc HuÕ Më ®Çu Sau khi kh¸i niÖm ph¹m trï monoidal (hay ph¹m trï tenx¬) ®­îc ®Ò xuÊt bëi J. BÐnabou, S. Mac Lane, G. M. Kelly, ... vµo ®Çu nh÷ng n¨m 60 cña thÕ kû tr­íc, nã ®· ®­îc nhiÒu ng­êi quan t©m nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn kh¸ nhanh. Ph¹m trï monoidal ®­îc "mÞn hãa" ®Ó trë thµnh ph¹m trï víi cÊu tróc nhãm khi bæ sung thªm kh¸i niÖm vËt kh¶ nghÞch. Trong tr­êng hîp ph¹m trï nÒn lµ mét groupoid (nghÜa lµ mäi mòi tªn trong ph¹m trï ®Òu lµ ®¼ng cÊu) th× ta thu ®­îc kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï. Trong tr­êng hîp nhãm ph¹m trï cã thªm rµng buéc giao ho¸n th× ta thu ®­îc kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï ®èi xøng (hay ph¹m trï Picard. Nh÷ng t¸c gi¶ ®Çu tiªn nghiªn cøu vÒ nhãm ph¹m trï mµ ta cã thÓ kÓ ®Õn lµ N. Saavedra Rivano, H. X. SÝnh, M. L. Laplaza, ... Trong luËn ¸n cña m×nh n¨m 1975, H. X. SÝnh ®· m« t¶ cÊu tróc cña nhãm ph¹m trï vµ ph¹m trï Picard vµ ph©n líp chóng bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu 3 cña c¸c nhãm. KÕt qu¶ nµy ®· cho phÐp x¸c lËp mèi liªn hÖ gi÷a lý thuyÕt nhãm ph¹m trï, ®èi ®ång ®iÒu nhãm vµ bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn cña Schreier - Eilenberg - Mac Lane. Sau ®ã, lý thuyÕt nhãm ph¹m trï víi tÝnh kh¸i qu¸t cña nã ngµy cµng cã nhiÒu øng dông. C¸c nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc ®­îc giíi thiÖu lÇn ®Çu tiªn bëi A. Frohlich vµ C. T. C. Wall (1974). Vµo n¨m 2002, A. M. Cegarra vµ c¸c céng sù ®· chøng minh ®Þnh lý ph©n líp chÝnh x¸c cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï ph©n bËc vµ c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn chiÒu thø 3. Sau ®ã, c¸c kÕt qu¶ nµy ®· ®­îc ¸p dông ®Ó ®­a ra lêi gi¶i thÝch hîp cho bµi to¸n më réng ®¼ng biÕn cña nhãm víi h¹t nh©n kh«ng aben. Nhãm ph¹m trï bÖn ®­îc xÐt tíi lÇn ®Çu bëi A. Joyal vµ R. Street (1993) nh­ mét më réng cña ph¹m trï Picard, trong ®ã c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ®· ®­îc ph©n líp bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu aben 3 Hab (M, N ). Bµi to¸n ph©n líp ®ång lu©n cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc, vµ tr­êng hîp riªng cña nã lµ ph¹m trï c¸c ph¹m trï Picard ph©n bËc ®· ®­îc A. M. Cegarra vµ E. Khmaladze gi¶i quyÕt vµo n¨m 2007. Vµo n¨m 2010, N. T. Quang ®· giíi thiÖu mét c¸ch tiÕp cËn kh¸c cho bµi to¸n ph©n líp ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï 1 Γ-ph©n bËc dùa trªn ph­¬ng ph¸p hÖ nh©n tö (hay gi¶ hµm tö theo nghÜa cña A. Grothendieck). Ph­¬ng ph¸p nµy cã nhiÒu triÓn väng trong viÖc ¸p dông cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn Γ-ph©n bËc. NÕu nh­ nhãm ph¹m trï ®­îc xem nh­ lµ mét phiªn b¶n ph¹m trï cña cÊu tróc nhãm th× vµo n¨m 1988 N. T. Quang ®· ®­a ra kh¸i niÖm Ann-ph¹m trï, xem nh­ mét ph¹m trï hãa cña kh¸i niÖm vµnh, víi nh÷ng ®ßi hái vÒ tÝnh kh¶ nghÞch cña c¸c vËt vµ cña c¸c mòi tªn trong ph¹m trï nÒn. §Æc biÖt, líp c¸c Ann-ph¹m trï chÝnh quy (rµng buéc ®èi xøng tháa m·n ®iÒu kiÖn cX,X = id ®èi víi mäi vËt X ) ®· ®­îc N. T. Quang ph©n líp bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu cña 3 ®¹i sè kÕt hîp HShu (R, M ) theo nghÜa cña Shukla. Sau ®ã, bµi to¸n ph©n líp c¸c Ann-hµm tö ®· ®­îc N. T. Quang vµ D. D. Hanh (2009) gi¶i quyÕt nhê c¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu thÊp cña ®èi ®ång ®iÒu vµnh Mac Lane, vµ chØ ra mèi liªn hÖ gi÷a bµi to¸n më réng vµnh vµ lý thuyÕt c¶n trë cña c¸c Ann-hµm tö. GÇn ®©y nhÊt (2013), bµi to¸n ph©n líp c¸c Ann-ph¹m trï trong tr­êng hîp tæng qu¸t ®· ®­îc N. T. Quang gi¶i quyÕt trän vÑn. M«®un chÐo cña c¸c nhãm ®­îc J. H. C. Whitehead ®­a ra vµo n¨m 1949 trong c«ng tr×nh nghiªn cøu cña «ng vÒ biÓu diÔn 2-d¹ng ®ång lu©n mµ kh«ng cã sù trî gióp cña lý thuyÕt ph¹m trï. Vµo n¨m 1976, R. Brown vµ C. Spencer ®· chØ ra r»ng mçi m«®un chÐo ®Òu x¸c ®Þnh mét G -groupoid (nghÜa lµ, mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ) vµ ng­îc l¹i, do ®ã m«®un chÐo cã thÓ ®­îc nghiªn cøu bëi lý thuyÕt ph¹m trï. KÕt qu¶ nµy cho phÐp x¸c lËp mèi liªn hÖ gi÷a lý thuyÕt nhãm ph¹m trï víi m«®un chÐo, mét kh¸i niÖm c¬ b¶n vµ cã nguån gèc tõ t«p« ®¹i sè. Bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo, mét d¹ng kh¸i qu¸t cña bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn, ®­îc P. Dedeker giíi thiÖu n¨m 1964 ®· ®­îc R. Brown vµ O. Mucuk gi¶i quyÕt (1994), trong ®ã c¸c t¸c gi¶ ®· gi¶i thÝch vµ chøng minh ®Þnh lý vÒ sù tån t¹i vµ ph©n líp c¸c më réng lo¹i nµy b»ng c¸ch sö dông ph­¬ng ph¸p phøc chÐo, t­¬ng tù nh­ ph­¬ng ph¸p phøc xÝch trong ®¹i sè ®ång ®iÒu. Mét d¹ng kh¸i qu¸t kh¸c cña bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn lµ bµi to¸n më réng nhãm ®¼ng biÕn ®· ®­îc A. M. Cegarra vµ c¸c ®ång t¸c gi¶ gi¶i quyÕt cã sö dông kÕt qu¶ cña lý thuyÕt nhãm ph¹m trï ph©n bËc. Kh¸i niÖm m«®un chÐo cña c¸c nhãm cña J. H. C. Whitehead (1949) còng ®· ®­îc tæng qu¸t hãa theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Vµo n¨m 2002, H. -J. Baues ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c 2 k-®¹i sè (k lµ tr­êng). Sau ®ã, H. -J. Baues vµ T. Pirashvili (2004) ®· thay thÕ tr­êng vµ gäi c¸c m«®un chÐo trªn c¸c K-®¹i sè lµ k bëi vµnh giao ho¸n K song m«®un chÐo. §Æc biÖt, víi K = Z th× thu ®­îc kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn c¸c vµnh. Kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c nhãm cã thÓ ®­îc x¸c ®Þnh trªn vµnh theo mét c¸ch kh¸c, mµ chóng t«i gäi lµ E-hÖ. Tr­êng hîp ®Æc biÖt cña E-hÖ, E-hÖ chÝnh quy, trïng víi kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh, vµ do ®ã kh¸i niÖm E-hÖ lµ yÕu h¬n kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn vµnh. T­¬ng tù nh­ m«®un chÐo trªn c¸c nhãm, chóng t«i biÓu diÔn c¸c E-hÖ chÝnh quy th«ng qua c¸c Ann-ph¹m trï chÆt chÏ, vµ tõ ®ã ph©n líp ph¹m trï c¸c E-hÖ chÝnh quy. §ång thêi, chóng t«i ®­a ra vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh quy, xem nh­ lµ mét øng dông cña kh¸i niÖm E-hÖ còng nh­ cña lý thuyÕt Ann-ph¹m trï. Mét phiªn b¶n kh¸c cña kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c nhãm lµ kh¸i niÖm m«®un chÐo Γ-®¼ng biÕn (hay Γ-m«®un chÐo). Kh¸i niÖm nµy ®· ®­îc B. Noohi ®­a ra vµo n¨m 2011 khi so s¸nh c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó ®Þnh nghÜa ®èi ®ång ®iÒu nhãm víi c¸c hÖ tö trong mét m«®un chÐo. Víi kh¸i niÖm nµy, chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ ®Ó biÓu diÔn c¸c kiÓu Γ-m«®un chÐo, ph¸t biÓu vµ gi¶i bµi to¸n më réng nhãm ®¼ng biÕn Γ-m«®un chÐo. Ngoµi c¸c phÇn më ®Çu vµ kÕt luËn, luËn ¸n gåm 5 ch­¬ng nh­ sau. Ch­¬ng 1, Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ, tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ ®· biÕt cña lý thuyÕt ph¹m trï víi cÊu tróc sÏ ®­îc sö dông cho c¸c ch­¬ng sau. Ch­¬ng 2, Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f ) vµ øng dông, bao gåm mét sè néi dung sau. Tr­íc hÕt, chóng t«i m« t¶ vÒ c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï kiÓu (Π, A), tr×nh bµy lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp cho c¸c hµm tö lo¹i nµy. Tõ ®ã chøng minh ®Þnh lý ph©n líp cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï vµ ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn, ®ång thêi giíi thiÖu mét øng dông ®¹i sè cña lý thuyÕt c¶n trë cña c¸c hµm tö monoidal liªn quan ®Õn bµi to¸n më réng nhãm. Còng trong Ch­¬ng 2 nµy, chóng t«i chøng minh ®Þnh lý ph©n líp cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc b»ng ph­¬ng ph¸p hÖ nh©n tö. Ch­¬ng 3, Nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo, nghiªn cøu vÒ mèi liªn hÖ gi÷a m«®un chÐo, nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ bµi 3 to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo. Chóng t«i chØ ra mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu m«®un chÐo víi c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï chÆt chÏ liªn kÕt víi c¸c m«®un chÐo ®ã, tõ ®ã thu ®­îc ®Þnh lý ph©n líp cho ph¹m trï c¸c m«®un chÐo lµ më réng mét kÕt qu¶ ®· biÕt cña R. Brown vµ C. Spencer. Chóng t«i còng sö dông lý thuyÕt nhãm ph¹m trï chÆt chÏ ®Ó thu l¹i ®­îc kÕt qu¶ cña bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo cña R. Brown vµ c¸c céng sù. Ch­¬ng 4, Nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ vµ më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo, tr×nh bµy lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo, mét kh¸i qu¸t chung cho c¶ hai lý thuyÕt më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo cña R. Brown vµ lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn cña A. M. Cegarra. Chóng t«i còng biÓu diÔn c¸c Γ-m«®un chÐo qua c¸c nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ ®Ó tõ ®ã ph©n líp c¸c Γ-m«®un chÐo. Ch­¬ng 5, Ann-ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh quy, nghiªn cøu vÒ E-hÖ, mèi liªn hÖ cña chóng víi mét sè kh¸i niÖm liªn quan ®· biÕt vµ t×m kiÕm øng dông liªn quan ®Õn bµi to¸n më réng. Chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm E-hÖ vµ E-hÖ chÝnh quy nh­ lµ mét phiªn b¶n cña m«®un chÐo trªn c¸c nhãm cho vµnh, trong ®ã c¸c E-hÖ chÝnh quy ®­îc biÓu diÔn th«ng qua c¸c Ann-ph¹m trï chÆt chÏ, ®ång thêi c¸c E-hÖ chÝnh quy chÝnh lµ c¸c song m«®un chÐo trªn vµnh. Chóng t«i ®­a ra vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n më réng vµnh kiÓu E-hÖ chÝnh quy, xem nh­ lµ mét øng dông cña kh¸i niÖm E-hÖ còng nh­ cña lý thuyÕt Ann-ph¹m trï. ViÖc ®¸nh sè c¸c ch­¬ng, môc, ®Þnh lý, mÖnh ®Ò, ... trong b¶n tãm t¾t nµy ®­îc gi÷ nguyªn nh­ ë trong luËn ¸n. C¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n ®­îc viÕt thµnh 5 bµi b¸o, trong ®ã cã 4 bµi ®· ®­îc ®¨ng (víi 3 bµi trªn 3 t¹p chÝ quèc tÕ thuéc danh môc MathSciNet), 1 bµi ë d¹ng tiÒn c«ng bè. 4 Ch­¬ng 1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch­¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ c¬ b¶n nhÊt liªn quan ®Õn nhãm ph¹m trï, nhãm ph¹m trï ph©n bËc, nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc vµ Ann-ph¹m trï. 1.1 1.1.1 Nhãm ph¹m trï (bÖn) ph©n bËc Nhãm ph¹m trï Mét nhãm ph¹m trï (G, ⊗, I, a, l, r) lµ mét ph¹m trï monoidal trong ®ã tÊt c¶ c¸c vËt ®Òu kh¶ nghÞch (theo nghÜa víi mçi vËt X ®Òu tån t¹i mét vËt Y sao cho X ⊗ Y ' I ' Y ⊗ X ) vµ ph¹m trï nÒn lµ mét groupoid, nghÜa lµ tÊt c¶ c¸c mòi tªn ®Òu lµ ®¼ng cÊu. NÕu víi mçi vËt X ®Òu tån t¹i mét vËt Y sao cho X ⊗ Y = I = Y ⊗ X vµ c¸c rµng buéc kÕt hîp a, c¸c rµng buéc ®¬n vÞ l, r ®Òu lµ c¸c phÐp ®ång nhÊt th× G lµ mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ. 1.1.2 Nhãm ph¹m trï thu gän vµ c¸c t­¬ng ®­¬ng chÝnh t¾c Mçi nhãm ph¹m trï G x¸c ®Þnh hoµn toµn ba bÊt biÕn: mét nhãm Π, mét Π-m«®un tr¸i A vµ mét 3-®èi chu tr×nh k ∈ Z 3 (Π, A). Khi ®ã, ta x©y dùng ®­îc mét nhãm ph¹m trï SG t­¬ng ®­¬ng monoidal víi nhãm ph¹m trï G nhê c¸c t­¬ng ®­¬ng monoidal chÝnh t¾c, vµ SG ®­îc gäi lµ mét thu gän cña nhãm ph¹m trï G. Ta nãi SG cã kiÓu (Π, A, k), hoÆc ®¬n gi¶n lµ kiÓu (Π, A). 1.1.3 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc Mét ph¹m trï monoidal i) mét ph¹m trï Γ-ph©n bËc G = (G, gr, ⊗, I, a, l, r) bao gåm: Γ-ph©n bËc æn ®Þnh (G, gr), c¸c hµm tö Γ-ph©n bËc ⊗ : 5 G ×Γ G → G vµ I : Γ → G, ii) c¸c ®¼ng cÊu tù nhiªn bËc 1 aX,Y,Z ∼ ∼ : (X ⊗ Y ) ⊗ Z → X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : ∼ I ⊗ X → X, rX : X ⊗ I → X tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn khíp cña mét ph¹m trï monoidal. Mét nhãm ph¹m trï ph©n bËc lµ mét ph¹m trï monoidal ph©n bËc G trong ®ã mäi vËt ®Òu kh¶ nghÞch vµ mäi mòi tªn ®Òu lµ ®¼ng cÊu. 1.1.4 Nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc Mét nhãm ph¹m trï bÖn G lµ mét nhãm ph¹m trï ®­îc trang bÞ thªm mét rµng buéc bÖn t­¬ng thÝch víi c¸c rµng buéc ®¬n vÞ vµ kÕt hîp. Mét nhãm ph¹m trï bÖn Γ-ph©n bËc (G, gr) lµ mét ph¹m trï monoidal Γ-ph©n bËc tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn khíp cña mét nhãm ph¹m trï bÖn. 1.2 1.2.1 Ann-ph¹m trï Ann-ph¹m trï Ann-ph¹m trï lµ líp ph¹m trï m« pháng cÊu tróc cña vµnh ®­îc N. T. Quang ®­a ra vµo n¨m 1988, ®ã lµ mét ph¹m trï A cïng víi hai song hµm tö ⊕, ⊗ : A × A → A tháa m·n mét sè tiªn ®Ò t­¬ng tù nh­ ®èi víi mét vµnh. §Æc biÖt, khi tÊt c¶ c¸c rµng buéc ®èi víi hai phÐp to¸n ⊕, ⊗ ®Òu lµ ®ång nhÊt th× ta thu ®­îc kh¸i niÖm Ann-ph¹m trï chÆt chÏ. 1.2.2 Ann-hµm tö Mét Ann-hµm tö lµ mét hµm tö F gi÷a hai Ann-ph¹m trï sao cho F võa lµ mét hµm tö monodial ®èi xøng ®èi víi phÐp to¸n monoidal ®èi víi phÐp to¸n 1.2.3 ⊕, võa lµ mét hµm tö ⊗ vµ t­¬ng thÝch víi c¸c rµng buéc ph©n phèi. Ann-ph¹m trï thu gän N. T. Quang ®· chØ ra r»ng mçi Ann-ph¹m trï x¸c ®Þnh hoµn toµn ba bÊt 3 R, mét R-song m«®un M vµ mét phÇn tö h ∈ ZM acL (R, M ). Tõ ®ã, x©y dùng ®­îc mét Ann-ph¹m trï thu gän SA = (R, M, h) t­¬ng ®­¬ng víi A, gäi lµ Ann-ph¹m trï kiÓu (R, M ). biÕn: mét vµnh 6 Ch­¬ng 2 Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f ) vµ øng dông Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i m« t¶ kiÓu cña c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï thu gän vµ tr×nh bµy mét vµi øng dông cña chóng. 2.1 Ph©n líp ®èi ®ång ®iÒu c¸c hµm tö monoidal kiÓu (ϕ, f ) MÖnh ®Ò d­íi ®©y ®­îc ®­a ra bëi H. X. SÝnh (1975). MÖnh ®Ò 2.1. Gi¶ sö (F, Fe) : G → G0 lµ mét hµm tö monoidal. Khi ®ã (F, Fe) c¶m sinh cÆp ®ång cÊu nhãm 0 F0 : π0 G → π0 G , [X] 7→ [F X], 0 F1 : π1 G → π1 G , u 7→ γF−1I (F u), tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bëi: F1 (su) = F0 (s)F1 (u), trong ®ã ®¼ng cÊu γX (u) ®­îc cho γX (u) = lX ◦ (u ⊗ id) ◦ l−1 X . Tr­íc hÕt, chóng t«i lµm m¹nh MÖnh ®Ò 2.1 bëi MÖnh ®Ò 2.4 khi kh¼ng ®Þnh r»ng mçi hµm tö monoidal (F, Fe) : G → G0 c¶m sinh mét hµm tö monoidal SG → SG0 . Chóng t«i cÇn tíi hai bæ ®Ò sau: ⊗-ph¹m trï G, G0 víi c¸c rµng buéc t­¬ng øng lµ (I, l, r) 0 0 0 e, F∗ ) : G → G0 lµ mét ⊗-hµm tö t­¬ng thÝch víi c¸c vµ (I , l , r ). Gi¶ sö (F, F −1 −1 rµng buéc ®¬n vÞ. Khi ®ã, γF I (F u) = F∗ F (u)F∗ . Bæ ®Ò 2.2. Cho hai Bæ ®Ò 2.3. Víi c¸c gi¶ thiÕt cña Bæ ®Ò 2.2, ta cã F γX (u) = γF X (γF−1 F u). I S, S0 lÇn l­ît lµ c¸c nhãm ph¹m trï kiÓu (Π, A, h) vµ (Π, A, h0 ). Mét hµm tö F : S → S0 ®­îc gäi lµ hµm tö kiÓu (ϕ, f ) nÕu Cho F (x) = ϕ(x), F (x, a) = (ϕ(x), f (a)), 7 ϕ : Π → Π0 , f : A → A0 lµ mét cÆp ®ång cÊu nhãm tháa m·n f (xa) = ϕ(x)f (a) víi x ∈ Π, a ∈ A. víi (F, Fe) : G → G0 c¶m sinh mét (ϕ, f ), víi ϕ = F0 , f = F1 . H¬n MÖnh ®Ò 2.4. Mçi hµm tö monoidal tö monoidal SF : SG → SG0 SF = G0 F H, víi H, G0 kiÓu hµm n÷a, lµ nh÷ng t­¬ng ®­¬ng chÝnh t¾c. MÖnh ®Ò 2.5. Mçi hµm tö monoidal (F, Fe) : S → S0 lµ mét hµm tö kiÓu (ϕ, f ). Ký hiÖu Hom(ϕ,f ) [S, S0 ] lµ tËp c¸c líp ®ång lu©n cña c¸c hµm tö monoidal (ϕ, f ) tõ S = (Π, A, h) vµo S0 = (Π, A0 , h0 ). Ta gäi hµm k = ϕ∗ h0 − f∗ h lµ mét c¶n trë cña hµm tö F kiÓu (ϕ, f ). kiÓu F : S → S0 (ϕ, f ) lµ mét hµm tö monoidal nÕu vµ 3 0 chØ nÕu c¸i c¶n trë k triÖt tiªu trong H (Π, A ). Khi ®ã tån t¹i c¸c song ¸nh: i) Hom(ϕ,f ) [S, S0 ] ↔ H 2 (Π, A0 ), §Þnh lý 2.6. Hµm tö kiÓu ii) Aut(F ) ↔ Z 1 (Π, A0 ). 2.2 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï Ký hiÖu CG lµ ph¹m trï cã vËt lµ c¸c nhãm ph¹m trï, c¸c mòi tªn lµ c¸c hµm tö monoidal gi÷a chóng. Ký hiÖu H3Gr lµ ph¹m trï cã vËt lµ bé ba (Π, A, h) h ∈ H 3 (Π, A), mòi tªn (ϕ, f ) : (Π, A, h) → (Π0 , A0 , h0 ) lµ cÆp (ϕ, f ) sao cho tån t¹i g : Π2 → A0 ®Ó (ϕ, f, g) lµ mét hµm tö monoidal (Π, A, h) → (Π0 , A0 , h0 ). víi §Þnh lý 2.7 (§Þnh lý ph©n líp). Tån t¹i mét hµm tö ph©n líp: d: CG → H3Gr G 7→ (π0 G, π1 G, hG ) (F, Fe) 7→ (F0 , F1 ) cã c¸c tÝnh chÊt sau: i) dF lµ mét ®¼ng cÊu khi vµ chØ khi F lµ mét t­¬ng ®­¬ng. ii) d lµ mét toµn ¸nh trªn tËp c¸c vËt. iii) d lµ ®Çy ®ñ nh­ng kh«ng trung thµnh. Víi (ϕ, f ) : dG → dG0 song ¸nh d : Hom(ϕ,f ) [G, G0 ] → H 2 (π0 G, π1 G0 ). 8 th× cã mét Cho nhãm Π vµ Π-m«®un A. Ta nãi nhãm ph¹m trï G cã tiÒn ®Ýnh kiÓu (Π, A) nÕu tån t¹i cÆp ®¼ng cÊu nhãm p : Π → π0 G, q : A → π1 G t­¬ng thÝch víi t¸c ®éng cña m«®un q(su) = p(s)q(u), víi s ∈ Π, u ∈ A. Ký hiÖu CG[Π, A] lµ tËp c¸c líp t­¬ng ®­¬ng cña c¸c nhãm ph¹m trï tiÒn ®Ýnh kiÓu (Π, A). Ta thu ®­îc kÕt qu¶ sau. §Þnh lý 2.8. Tån t¹i mét song ¸nh: Γ : CG[Π, A] → H 3 (Π, A), [G] 7→ q∗−1 p∗ hG . 2.3 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn Cho nhãm ph¹m trï bÖn B = (B, ⊗, I, a, l, r, c). T­¬ng tù nh­ ®èi víi nhãm ph¹m trï, ta x©y dùng ®­îc nhãm ph¹m trï bÖn thu gän SB = (M, N, h, η) (η lµ hµm ®­îc c¶m sinh bëi rµng buéc bÖn). HÖ qu¶ 2.9. Mçi hµm tö monoidal bÖn trong ®ã (F, Fe) : S → S0 lµ mét bé ba (ϕ, f, g), ϕ∗ (h0 , η 0 ) − f∗ (h, η) = ∂ab (g). H3BGr lµ ph¹m trï mµ vËt cña nã lµ c¸c bé ba (M, N, (h, η)), víi 3 (h, η) ∈ Hab (M, N ), vµ BCG lµ ph¹m trï cã vËt lµ c¸c nhãm ph¹m trï bÖn. Ký hiÖu §Þnh lý 2.10. [§Þnh lý ph©n líp] Tån t¹i mét hµm tö ph©n líp d: BCG → H3BGr B 7→ (π0 B, π1 B, (h, η)B ) (F, Fe) 7→ (F0 , F1 ) cã c¸c tÝnh chÊt sau: i) dF lµ mét ®¼ng cÊu khi vµ chØ khi F ii) d lµ mét toµn ¸nh trªn tËp c¸c vËt. lµ mét t­¬ng ®­¬ng. iii) d lµ ®Çy ®ñ nh­ng kh«ng trung thµnh. Víi (ϕ, f ) : dB → dB0 0 HomBr (ϕ,f ) [B, B ] th× 2 ∼ (π0 B, π1 B0 ), = Hab Br 0 trong ®ã Hom(ϕ,f ) [B, B ] lµ tËp c¸c líp ®ång lu©n cña c¸c hµm tö monoidal 0 bÖn tõ B ®Õn B c¶m sinh cÆp (ϕ, f ) . Ký hiÖu BCG[M, N ] lµ tËp c¸c líp t­¬ng ®­¬ng cña c¸c nhãm ph¹m trï bÖn tiÒn ®Ýnh kiÓu (M, N ). Ta thu ®­îc kÕt qu¶ t­¬ng tù nh­ §Þnh lý 2.8. 9 §Þnh lý 2.11. Tån t¹i mét song ¸nh 3 Γ : BCG[M, N ] → Hab (M, N ), [B] 7→ q∗−1 p∗ (h, η)B . 2.4 Ph©n líp c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc bëi hÖ nh©n tö Kh¸i niÖm hÖ nh©n tö ®­îc A. Grothendieck ®­a ra vµo n¨m 1971 sau ®ã ®· ®­îc nhiÒu t¸c gi¶ ph¸t triÓn (A. M. Cegarra, N. T. Quang, ...). Víi mçi nhãm Γ vµ mét ph¹m trï C, ta gäi Psd(Γ, C) lµ ph¹m trï cña c¸c hÖ nh©n tö (chuÈn t¾c) tõ Γ ®Õn C, vµ gäi Γ BCG lµ ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn Γ-ph©n bËc. §Þnh lý 2.13. Víi mçi nhãm Γ, tån t¹i mét ®¼ng cÊu: Γ BCG ' Psd(Γ, BCG). 2.5 2.5.1 ¸p dông vµo bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn Nhãm ph¹m trï cña mét h¹t nh©n trõu t­îng Mét h¹t nh©n trõu t­îng lµ mét bé ba (Π, G, ψ), víi ψ : Π → AutG/InG lµ (Π, G, ψ) lµ mét phÇn tö k ∈ H 3 (Π, ZG). Chóng ta x©y dùng ®­îc mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ AutG , mµ c¸c vËt lµ c¸c phÇn tö cña nhãm c¸c tù ®¼ng cÊu AutG vµ c¸c mòi tªn ®­îc cho bëi Hom(α, β) = {c ∈ G|α = µc ◦ β}. Nhãm ph¹m trï nµy cã ba bÊt biÕn lÇn l­ît mét ®ång cÊu nhãm. C¸i c¶n trë cña lµ: Aut G/InG, ZG vµ ψ ∗ h, trong ®ã ψ ∗ h cïng líp ®èi ®ång ®iÒu víi k. Sö dông kÕt qu¶ nµy ta chøng minh ®­îc r»ng mçi nhãm ph¹m trï ®Òu t­¬ng ®­¬ng víi mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ. §©y lµ ph­¬ng ph¸p chøng minh hoµn toµn kh¸c víi phÐp chøng minh cña H. X. SÝnh (1978). 2.5.2 Hµm tö monoidal vµ bµi to¸n më réng nhãm Trong tiÓu môc nµy, chóng t«i ®· sö dông c¸c kÕt qu¶ cña lý thuyÕt nhãm ph¹m trï ®Ó thu l¹i ®­îc c¸c kÕt qu¶ vÒ bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn. 10 Ch­¬ng 3 Nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i biÓu diÔn kÕt qu¶ vÒ sù t­¬ng ®­¬ng cña ph¹m trï c¸c m«®un chÐo vµ ph¹m trï c¸c G -groupoid qua ng«n ng÷ cña nhãm ph¹m trï chÆt chÏ, vµ do ®ã thu ®­îc ®Þnh lý ph©n líp c¸c m«®un chÐo lµ më réng mét kÕt qu¶ ®· biÕt cña R. Brown vµ C. Spencer (1976). 3.1 Nhãm ph¹m trï liªn kÕt víi mét m«®un chÐo . Mét m«®un chÐo lµ mét bé bèn §Þnh nghÜa d M = (B, D, d, θ) (hay B → D, B → D), trong ®ã d : B → D, θ : D → AutB lµ c¸c ®ång cÊu nhãm tháa m·n c¸c hÖ thøc sau: C1 . θd = µ, C2 . d(θx (b)) = µx (d(b)), trong ®ã x ∈ D, b ∈ B , µx lµ tù ®¼ng cÊu trong sinh bëi x. MÖnh ®Ò 3.1. Cho m«®un chÐo M = (B, D, d, θ). Khi ®ã: i) Kerd ⊂ Z(B), ii) Imd lµ nhãm con chuÈn t¾c trong D, iii) ®ång cÊu θ c¶m sinh ®ång cÊu ϕ : D → Aut(Kerd) cho bëi ϕx = θx |Kerd , iv) Kerd lµ Cokerd-m«®un tr¸i víi t¸c ®éng sa = ϕx (a), a ∈ Kerd, x ∈ s ∈ Cokerd. Víi mçi m«®un chÐo (B, D, d, θ) chóng t«i x©y dùng ®­îc mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ PB→D := P gäi lµ nhãm ph¹m trï liªn kÕt víi m«®un chÐo, vµ ng­îc l¹i. 11 3.2 Ph©n líp c¸c m«®un chÐo Chóng t«i thu ®­îc c¸c kÕt qu¶ d­íi ®©y vÒ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu m«®un chÐo vµ c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï liªn kÕt t­¬ng øng. Bæ ®Ò 3.2. Cho ®ång cÊu gi÷a c¸c m«®un chÐo (f1 , f0 ) : (B, D, d, θ) → (B 0 , D0 , d0 , θ0 ). Gäi P, P0 lµ hai nhãm ph¹m trï liªn kÕt lÇn l­ît víi c¸c m«®un 0 0 0 0 chÐo (B, D, d, θ) vµ (B , D , d , θ ). Khi ®ã: F : P → P0 x¸c ®Þnh bëi F (x) = f0 (x), F (b) = f1 (b), víi x ∈ ObP, b ∈ MorP. ii) §¼ng cÊu tù nhiªn Fex,y : F (x)F (y) → F (xy) cïng víi F lµ mét hµm tö ex,y = ϕ(x, y) víi ϕ ∈ Z 2 (Coker d, Ker d0 ). monoidal khi vµ chØ khi F i) Tån t¹i mét hµm tö Ký hiÖu Cross lµ ph¹m trï cã vËt lµ c¸c m«®un chÐo, cßn mòi tªn lµ c¸c bé ba (f1 , f0 , ϕ), trong ®ã (f1 , f0 ) lµ mét ®ång cÊu m«®un chÐo vµ ϕ ∈ Z 2 (Cokerd, Kerd0 ). e) : P → P0 ®­îc gäi lµ chÝnh quy nÕu: Hµm tö monoidal (F, F S1 . F (x) ⊗ F (y) = F (x ⊗ y), víi x, y ∈ ObP. S2 . F (b) ⊗ F (c) = F (b ⊗ c), víi b, c ∈ MorP. P vµ P0 lµ hai nhãm ph¹m trï chÆt chÏ lÇn l­ît liªn kÕt víi 0 0 0 0 e) : P → P0 lµ mét hµm tö c¸c m«®un chÐo (B, D, d, θ) vµ (B , D , d , θ ), (F, F monoidal chÝnh quy. Khi ®ã, bé ba (f1 , f0 , ϕ), trong ®ã Bæ ®Ò 3.3. Gi¶ sö f1 (b) = F (b), f0 (x) = F (x), ϕ(x, y) = Fex,y , víi b ∈ B, x ∈ D, x ∈ Coker d, lµ mét mòi tªn trong ph¹m trï Cross. Ký hiÖu Grstr lµ ph¹m trï cã c¸c vËt lµ c¸c nhãm ph¹m trï chÆt chÏ vµ mòi tªn lµ c¸c hµm tö monoidal chÝnh quy. Ta thu ®­îc ®Þnh lý sau ®©y vÒ sù ph©n líp ph¹m trï c¸c m«®un chÐo. §Þnh lý 3.4 (§Þnh lý ph©n líp). Tån t¹i mét t­¬ng ®­¬ng Φ : Cross → Grstr, (B → D) 7→ PB→D (f1 , f0 , ϕ) 7→ (F, Fe) trong ®ã F (x) = f0 (x), F (b) = f1 (b), Fex,y = ϕ(x, y), víi x, y ∈ D, b ∈ B . 12 3.3 Bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo: lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp §Þnh nghÜa. d Cho M = (B → D) lµ mét m«®un chÐo vµ Q lµ mét nhãm. Mét më réng cña B bëi Q kiÓu M lµ mét biÓu ®å c¸c ®ång cÊu nhãm E: / 0 B B trong ®ã dßng trªn lµ khíp, hÖ j d / / E  p / Q / 1, ε D (B, E, j, θ0 ) lµ mét m«®un chÐo víi θ0 lµ phÐp lÊy liªn hîp, vµ (idB , ε) lµ mét ®ång cÊu cña c¸c m«®un chÐo. Mçi më réng nh­ vËy c¶m sinh mét ®ång cÊu ψ : Q → Coker d. Môc ®Ých cña chóng t«i lµ nghiªn cøu tËp ExtB→D (Q, B, ψ) c¸c líp t­¬ng ®­¬ng c¸c më réng cña B bëi Q kiÓu m«®un chÐo B → D, c¶m sinh ψ : Q → Cokerd. Ký hiÖu Dis Q lµ nhãm ph¹m trï kiÓu (Q, 0, 0) (vµ còng chÝnh lµ nhãm ph¹m trï liªn kÕt víi m«®un chÐo (0, Q, 0, 0)). Bæ ®Ò d­íi ®©y cho chóng ta thÊy c¸c hµm tö monoidal Dis Q → P lµ hÖ d÷ liÖu phï hîp ®Ó x©y dùng c¸c më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo. Bæ ®Ò 3.5. Cho m«®un chÐo B → D vµ ®ång cÊu nhãm ψ : Q → Coker d. Víi (F, Fe) : Dis Q → P tháa m·n F (1) = 1 vµ c¶m cÆp (ψ, 0) : (Q, 0) → (Cokerd, Kerd), tån t¹i më réng EF cña B bëi Q m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ . mçi hµm tö monoidal §Þnh lý 3.6 sinh kiÓu (Lý thuyÕt Schreier cho c¸c më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo). Cã mét song ¸nh Ω : Hom(ψ,0) [DisQ, PB→D ] → ExtB→D (Q, B, ψ). Gi¶ sö P = PB→D lµ nhãm ph¹m trï chÆt chÏ liªn kÕt víi m«®un chÐo B → D. Do π0 P = Coker d vµ π1 P = Ker d nªn nhãm ph¹m trï thu gän SP cã d¹ng SP = (Cokerd, Kerd, k), k ∈ H 3 (Cokerd, Kerd). Khi ®ã, ®ång cÊu ψ : Q → Cokerd c¶m sinh mét c¶n trë ψ ∗ k ∈ Z 3 (Q, Kerd). Vµ ta thu ®­îc ®Þnh lý vÒ sù tån t¹i vµ ph©n líp c¸c më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo. (B, D, d, θ) vµ ®ång cÊu nhãm ψ : Q → Cokerd. 3 Khi ®ã sù triÖt tiªu cña ψ ∗ k trong H (Q, Kerd) lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån t¹i më réng nhãm cña B bëi Q kiÓu m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ . H¬n n÷a, khi ψ ∗ k triÖt tiªu th× tËp c¸c líp t­¬ng ®­¬ng cña c¸c më réng nh­ vËy lµ §Þnh lý 3.7. Cho m«®un chÐo song ¸nh víi H 2 (Q, Kerd). 13 Ch­¬ng 4 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc chÆt chÏ vµ më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï chÆt chÏ ®Ó biÓu diÔn kh¸i niÖm Γ-m«®un chÐo, tõ ®ã ph©n líp c¸c Γ-m«®un chÐo vµ tr×nh bµy lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo. 4.1 Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®¼ng biÕn cña Cegarra Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu nhãm ®¼ng biÕn cña A. M. Cegarra vµ c¸c ®ång t¸c gi¶ (2002) sÏ ®­îc chóng t«i sö dông ®Ó chøng minh kÕt qu¶ ph©n líp c¸c hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ) vµ ph©n líp c¸c më réng ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo. C¸c nhãm ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn ®­îc ký hiÖu bëi HΓi (Π, A), i = 1, 2, 3. 4.2 Nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän vµ hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ) Trong tiÓu môc nµy, chóng t«i x©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän cña mét nhãm ph¹m trï ph©n bËc cho tr­íc, vµ ph©n líp c¸c hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ). 4.2.1 X©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän th«ng qua ph¹m trï khung Tõ mét nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc G, A. M. Cegarra vµ c¸c céng sù ®· R x©y dùng ®­îc mét nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc, ký hiÖu Γ (Π, A, h), vµ kh¼ng 14 ®Þnh (kh«ng chøng minh) r»ng nã t­¬ng ®­¬ng monoidal víi G. Chóng t«i ®· chøng minh kÕt qu¶ nµy b»ng mÖnh ®Ò d­íi ®©y. MÖnh ®Ò 4.1. R e Γ , id) : (Π, A, h) → G x¸c ®Þnh bëi Γ-hµm tö (HΓ , H Γ    H (s) = Xs   Γ γ̂Xs (a)◦Υ(r,σ) (a,σ) H (r → s) = (X − −−−−−−→ Xs ) Γ r    (H e ) = i−1 , Γ r,s víi Xr ⊗Xs σr = s, lµ mét t­¬ng ®­¬ng monoidal Γ-ph©n bËc. 4.2.2 X©y dùng nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän b»ng ph­¬ng ph¸p hÖ nh©n tö Trong tiÓu môc nµy, sö dông ph­¬ng ph¸p hÖ nh©n tö ®· ®­îc N. T. Quang giíi thiÖu (2010) chóng t«i chØ ra r»ng víi mçi nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc G, cã thÓ x©y dùng ®­îc mét nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc, ký hiÖu ∆F , t­¬ng ®­¬ng monoidal víi G. H¬n n÷a, nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc ∆F chÝnh lµ nhãm ph¹m trï Γ (Π, A, h). R 4.2.3 Ph©n líp c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ) KÕt qu¶ vÒ sù tån t¹i vµ ph©n líp c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc kiÓu (ϕ, f ) ®­îc tæng kÕt trong mÖnh ®Ò d­íi ®©y. MÖnh ®Ò 4.5. Cho G, G0 , S = (Π, A, h), S0 = (Π0 , A0 , h0 ) lµ c¸c nhãm ph¹m Γ-ph©n bËc. Khi ®ã: i) Mçi Γ-hµm tö monoidal (F, Fe) : G → G0 thÓ hiÖn mét Γ-hµm SF : SG → SG0 kiÓu (ϕ, f ), víi ϕ = F0 , f = F1 ®­îc cho bëi trï tö monoidal 0 F0 : π0 G → π0 G , [X] 7→ [F X], 0 F1 : π1 G → π1 G , u 7→ γ̂F−1I (F u). SF = G0Γ F HΓ , víi HΓ , G0Γ lµ nh÷ng Γ-t­¬ng ®­¬ng chÝnh t¾c. ii) Mçi Γ-hµm tö monoidal (F, Fe) : S → S0 lµ mét Γ-hµm tö kiÓu (ϕ, f ). iii) Γ-hµm tö F : S → S0 kiÓu (ϕ, f ) cã thÓ hiÖn lµ mét Γ-hµm tö monoidal nÕu 3 0 vµ chØ nÕu c¸i c¶n trë ξ triÖt tiªu trong HΓ (Π, A ). Khi ®ã tån t¹i song ¸nh H¬n n÷a, Hom(ϕ,f ) [S, S0 ] ↔ HΓ2 (Π, A0 ). 15 (4.1) 4.3 Γ-m«®un chÐo vµ nhãm ph¹m trï ph©n bËc liªn kÕt . Cho B, D lµ c¸c Γ-nhãm. Mét Γ-m«®un chÐo lµ mét bé bèn M = (B, D, d, θ) trong ®ã d : B → D, θ : D → AutB lµ c¸c Γ-®ång cÊu §Þnh nghÜa tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: C1 . θd = µ, C2 . d(θx (b)) = µx (d(b)), C3 . σ(θx (b)) = θσx (σb), trong ®ã σ ∈ Γ, x ∈ D, b ∈ B, µx lµ tù ®¼ng cÊu trong sinh bëi x. Kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ ®­îc ®Þnh nghÜa d­íi ®©y nh»m biÓu diÔn c¸c Γ-m«®un chÐo. Tr­íc hÕt, mét hÖ nh©n tö F = (G, F σ , η σ,τ ) trªn Γ víi c¸c hÖ tö trong nhãm ph¹m trï G ®­îc gäi lµ chÝnh quy nÕu η σ,τ = id vµ F σ lµ hµm tö monoidal chÝnh quy, víi mäi σ, τ ∈ Γ. §Þnh nghÜa. Nhãm ph¹m trï ph©n bËc (P, gr) ®­îc gäi lµ chÆt chÏ nÕu: i) Ker P lµ mét nhãm ph¹m trï chÆt chÏ, ii) P c¶m sinh mét hÖ nh©n tö chÝnh quy F trªn Γ víi c¸c hÖ tö trong nhãm ph¹m trï Ker P. Chóng t«i ®· chØ ra r»ng tõ mét Γ-m«®un chÐo M cho tr­íc cã thÓ dùng ®­îc mét nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ liªn kÕt PM := P, vµ ng­îc l¹i. 4.4 Ph©n líp c¸c Γ-m«®un chÐo C¸c bæ ®Ò d­íi ®©y nãi lªn mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®ång cÊu Γ-m«®un chÐo vµ c¸c hµm tö monoidal gi÷a c¸c nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc liªn kÕt. 0 Bæ ®Ò 4.7. Cho ®ång cÊu (f1 , f0 ) : M → M cña c¸c Γ-m«®un chÐo. Khi e) : PM → PM0 sao cho F (x) = ®ã, tån t¹i mét Γ-hµm tö monoidal (F, F f0 (x), F (b, 1) = (f1 (b), 1) nÕu vµ chØ nÕu f = p∗ ϕ, víi ϕ ∈ ZΓ2 (Coker d, Ker d0 ), vµ p : D → Coker d lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c. Ký hiÖu Γ Cross lµ ph¹m trï cã vËt lµ c¸c Γ-m«®un chÐo, cßn mòi tªn lµ c¸c bé ba (f1 , f0 , ϕ), trong ®ã (f1 , f0 ) : M → M0 lµ mét ®ång cÊu Γ-m«®un chÐo vµ ϕ ∈ ZΓ2 (Coker d, Ker d0 ). e) : P → P0 gi÷a hai nhãm ph¹m trï Hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc (F, F Γ-ph©n bËc chÆt chÏ ®­îc gäi lµ chÝnh quy nÕu: S1 . F (x ⊗ y) = F (x) ⊗ F (y), 16 S2 . F (b ⊗ c) = F (b) ⊗ F (c), S3 . F (σb) = σF (b), S4 . F (σx) = σF (x), víi x, y ∈ Ob P, vµ b, c lµ nh÷ng mòi tªn bËc 1 trong P. Ký hiÖu p : D → Coker d lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c, ta cã: 0 Bæ ®Ò 4.8. Gi¶ sö P, P lµ hai nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ, lÇn l­ît 0 e) : P → P0 lµ mét hµm tö liªn kÕt víi c¸c Γ-m«®un chÐo M, M , vµ (F, F Γ-ph©n bËc chÝnh quy. Khi ®ã, bé ba (f1 , f0 , ϕ), trong ®ã i) f0 (x) = F (x), (f1 (b), 1) = F (b, 1), σ ∈ Γ, b ∈ B, x, y ∈ D, ii) p∗ ϕ = f , monoidal lµ mét mòi tªn trong ph¹m trï Γ Cross. Ký hiÖu ph¹m trï cña c¸c nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ vµ c¸c hµm tö monoidal ph©n bËc chÝnh quy bëi Γ Grstr, ta thu ®­îc kÕt qu¶ sau ®©y. [§Þnh lý ph©n líp] Tån t¹i t­¬ng ®­¬ng §Þnh lý 4.9. Φ : Γ Cross → (B → D) 7→ (f1 , f0 , ϕ) 7→ trong ®ã Γ Grstr, PB→D (F, Fe) F (x) = f0 (x), F (b, 1) = (f1 (b), 1), vµ (0,σ) F (x → σx) = (ϕ(px, σ), σ), Fex,y = (ϕ(px, py), 1), x, y ∈ D, b ∈ B, σ ∈ Γ. víi 4.5 Bµi to¸n më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo: lý thuyÕt c¶n trë vµ ®Þnh lý ph©n líp Trong phÇn nµy, chóng t«i tr×nh bµy lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo, lµ më réng cña c¶ hai lý thuyÕt më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo cña P. Dedeker - R. Brown vµ lý thuyÕt më réng nhãm ®¼ng biÕn cña A. M. Cegarra. §Þnh nghÜa. ®¼ng biÕn Cho d Γ-m«®un chÐo B → D vµ mét Γ-nhãm Q. Mét cña nhãm B bëi nhãm Q kiÓu 17 Γ-m«®un chÐo d më réng B → − D lµ mét biÓu ®å c¸c Γ-®ång cÊu E 0 / B B j / d / E  p / Q / 1, ε D trong ®ã dßng trªn lµ khíp, hÖ (B, E, j, θ 0 ) lµ mét Γ-m«®un chÐo víi θ 0 lµ phÐp lÊy liªn hîp, vµ (id, ε) lµ mét ®ång cÊu cña c¸c Γ-m«®un chÐo. Mçi më réng nh­ vËy c¶m sinh mét Γ-®ång cÊu ψ : Q → Cokerd. Môc Γ tiªu cña chóng t«i lµ nghiªn cøu tËp ExtB→D (Q, B, ψ) c¸c líp t­¬ng ®­¬ng c¸c më réng ®¼ng biÕn cña B bëi Q kiÓu Γ-m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ : Q → Cokerd. Gäi DisΓ Q lµ nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc chÆt chÏ liªn kÕt víi Γ-m«®un chÐo (0, Q, 0, 0). Bæ ®Ò d­íi ®©y cho thÊy c¸c hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc DisΓ Q → PB→D lµ hÖ d÷ liÖu phï hîp ®Ó x©y dùng c¸c më réng nh­ vËy. d Bæ ®Ò 4.10. Cho B → D lµ mét Γ-m«®un chÐo vµ ψ : Q → Coker d lµ mét Γ-®ång cÊu. Cho hµm tö monoidal Γ-ph©n bËc (F, Fe) : DisΓ Q → PB→D , sao F (1) = 1 vµ c¶m sinh cÆp Γ-®ång cÊu (ψ, 0) : (Q, 0) → (Coker d, Ker d). Khi ®ã, tån t¹i më réng ®¼ng biÕn EF cña B bëi Q kiÓu Γ-m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ . cho §Þnh lý 4.11. [Lý thuyÕt Schreier cho c¸c më réng ®¼ng biÕn kiÓu Γ-m«®un chÐo] Cã mét song ¸nh Ω : Hom(ψ,0) [DisΓ Q, PB→D ] → ExtΓB→D (Q, B, ψ). Ta thu ®­îc hÖ qu¶ sau ®èi víi c¸c më réng nhãm ®¼ng biÕn. HÖ qu¶ 4.12. §èi víi c¸c Γ-nhãm B, Q, tån t¹i mét song ¸nh HomΓ [DisΓ Q, HolΓ B] → ExtΓ (Q, B). Do nhãm ph¹m trï ph©n bËc thu gän cña PB→D lµ SP = (Cokerd, Kerd, h), h ∈ ZΓ3 (Cokerd, Kerd), nªn Γ-®ång cÊu ψ : Q → Cokerd c¶m sinh mét c¶n ∗ 3 trë ψ h ∈ ZΓ (Q, Kerd). Víi kh¸i niÖm c¶n trë nµy, ta cã: Γ-m«®un chÐo (B, D, d, θ) vµ Γ-®ång cÊu ψ : Q → Cokerd. 3 Khi ®ã sù triÖt tiªu cña ψ ∗ h trong HΓ (Q, Kerd) lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tån t¹i më réng ®¼ng biÕn cña B bëi Q kiÓu Γ-m«®un chÐo B → D c¶m sinh ψ . §Þnh lý 4.13. Cho H¬n n÷a, khi ψ∗h triÖt tiªu th× tËp c¸c líp t­¬ng ®­¬ng cña c¸c më réng nh­ vËy lµ song ¸nh víi HΓ2 (Q, Kerd). 18