Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 1 BÁT XÁT
----
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM
KHI GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH THPT
Họ và tên:
Chức vụ:
Chuyên môn:
Đơn vị:
NGUYỄN DUY LONG
Phó Hiệu trưởng
Toán học
Trường THPT số 1 Bát Xát
Bát Xát, tháng 6 năm 2014
Sáng kiến kinh nghiệm
0
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
MỤC LỤC
NỘI DUNG
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. CỞ SỞ LÝ LUẬN
2.1.1. Yêu cầu đối với lời giải một bài toán
2.1.2. Các căn cứ tìm lời giải
2.1.3. Kiểm tra lời giải
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
2.2.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng
2.2.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt
2.2.3. Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học
2.2.4. Sai lầm liên quan đến sử dụng định lý
2.2.6. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng12
TRANG
2
3
3
3
3
3
3
3
7
9
11
2.2.5. Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy
2.2.7. Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức
2.2.8. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
2.2.9. Sai lầm liên quan đến suy luận
2.3. CÁC GIẢI PHÁP
2.3.1. Quan điểm 1
2.3.2. Quan điểm 2
2.3.3 Quan điểm 3
2.4. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI
3. KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
14
15
16
19
20
20
21
21
22
24
25
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện nay, thực tế cuộc sống nói chung và toán học nói riêng đang đòi hỏi
chúng ta về tốc độ và độ chính xác cao. Trong toán học, muốn giải được một bài
toán trước hết phải có nhận định đúng đắn về bài toán đó. Tuy nhiên, thực tiễn
cho thấy năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều
sai lầm. Có nhiều nguyên nhân dẫn tới tình trạng này, trong đó phải kể đến việc
học sinh không chịu khó đào sâu suy nghĩ và thầy cô giáo kịp thời phát hiện và
Sáng kiến kinh nghiệm
1
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
khắc phục các nhận định sai lầm cho học sinh. Vì điều này nên ở học sinh nhiều
khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.
Từ những sự phân tích trên đây, cùng với kinh nghiệm 10 năm giảng dạy
tại trường THPT số 1 Bát Xát, tôi nghiên cứu đề tài:
“Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh
THPT”
nhằm giúp các em học sinh nhà trường khắc phục được các sai lầm của mình,
đặc biệt là các em học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp, Cao đẳng-Đại học năm
2014.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự cộng tác và giúp đỡ của các thầy cô giáo
trong nhà trường, đặc biệt là các thầy cô trong nhóm Toán trong thời gian
nghiên cứu và tiến hành áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này. Dù bản thân tác giả
đã hết sức cố gắng bằng việc tham khảo một lượng lớn kiến thức từ các tài liệu
mới và cũ nhưng chắc chắn đề tài nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót bởi
kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế. Tác giả rất mong nhận được những góp ý
quý báu của quý đồng nghiệp.
Bát Xát, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Duy Long
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2. 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Mỗi loại bài toán có các cách giải khác nhau, nhưng con đường tìm đến
kết quả thì hầu hết đều phải đảm bảo những điều cơ bản sau:
2.1.1 Yêu cầu đối với lời giải một bài toán:
- Kết quả chính xác.
- Lập luận lôgíc và có căn cứ chính xác.
Sáng kiến kinh nghiệm
2
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Ngoài ra, đối với những bài toán có nhiều cách giải thì phải nêu được cách
giải ngắn gọn, trình bày hợp lý và dễ hiểu nhất.
2.1.2 Các căn cứ tìm lời giải:
- Bài toán thuộc dạng nào đã biết.
- Giả thiết và kết luận của bài toán.
- Các kiến thức cơ bản và kiến thức liên quan để giải bài toán.
2.1.3 Kiểm tra lời giải.
- Sau khi có lời giải, phải tiến hành kiểm đáp án, lời giải. Sau đó tìm hướng
khác giải bài toán và so sánh với lời giải vừa tìm được về tính chính xác, tính
ngắn gọn và dễ hiểu.
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Với thời gian giảng dạy 10 năm tại trường THPT số 1 Bát Xát, tôi thấy có
nhiều sai lầm của học sinh phổ biến từ khóa này đến khóa khác. Cụ thể như sau:
2.2.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng.
Học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải những
bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp.
2.2.1.1 Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của
cụm từ “giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m”. Khi
giải biện luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh
quy về tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm.
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: x 1 2 x m .
Sai lầm: Có học sinh giải như sau: với x �1 nghiệm của phương trình là
x m 1 ; với x < 1 nghiệm của phương trình là x
m 1
.
3
Lời bình: Học sinh này dù đã nắm được khái niệm giá trị tuyệt đối nhưng
vẫn chưa ý thức được rằng, tham số được xem như là những số đã biết nhưng
chưa rõ cụ thể là bao nhiêu, bởi vậy không chắc gì m – 1 đã lớn hơn hoặc bằng
1;
m 1
đã nhỏ hơn 1.
3
Sáng kiến kinh nghiệm
3
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình: m(x – m + 3) �m(x - 2) + 6.
Sai lầm: Bất phương trình � mx - m2 + 3m �mx - 2m +6 � m2 – 5m +
6 �0 � 2 �m �3. Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2 �m �3.
Lời bình: Thực ra 2 �m �3 chỉ là điều kiện để bất phương trình có
nghiệm chứ không phải là nghiệm của bất phương trình. Khi m nằm ngoài [2; 3]
thì bất phương trình sẽ vô nghiệm và ta vẫn phải đề cập đến trường hợp này
trong khâu biện luận.
2.2.1.2 Không ý thức được sự suy biến của tham số, áp dụng thuật giải
một cách máy móc vào những trường hợp không thuộc hệ thống.
Ví dụ 3: Giải và biện luận bất phương trình:
x 2 3 x 2a �x 2 2ax 5
Sai lầm: Có học sinh giải như sau: bất phương trình tương đương với:
2a 5
x2 – 3x + 2a �x2 + 2ax + 5 � x(2a + 3) �2a -5 � x �
2a 3
Lời bình: Với cách giải như trên cho thấy học sinh chưa nắm vững khái
niệm giá trị tuyệt đối, mặt khác chưa nắm vững điều kiện để thực hiện được các
phép biến đổi tương đương cơ bản trên các bất phương trình.
2.2.1.3 Nắm không chính xác về điều kiện để có thể thực hiện phép
biến đổi tương đương.
Ví dụ 4: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất:
lg(x2 + 2mx) - lg(x - 1) = 0 (1)
Sai lầm: (1) � lg(x2 + 2mx) = lg(x - 1) � x2 + 2mx = x – 1 (2)
� x2 + x(2m - 1) + 1 = 0.
Phương trình này có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi = 0 � m
hoặc m
1
2
3
.
2
Sáng kiến kinh nghiệm
4
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Lời bình: Thực ra phương trình (1) đã cho chỉ tương đương với phương
�x 2 2mx 0
trình: x + 2mx = x – 1 (2) với điều kiện �
, hay nói gọn hơn là,
�x 1 0
2
phương trình (1) tương đương với phương trình (2) với điều kiện x > 1.
Do đó đáng lẽ phải nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có duy nhất
0
�
�
một nghiệm x > 1, rồi từ đó chuyển về xét hai trường hợp: � b
và
1
�
� 2a
0
�
thì học sinh lại chỉ nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có
�
x
1
�
x
�2
1
nghiệm duy nhất.
2.2.1.4 Không biết tìm ra tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia.
Ví dụ 5: Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình:
x a x 2a x 3a
(1)
Sai lầm: Gặp bài toán này, học sinh hầu như không biết nên phân chia
tham số a thành những trường hợp nào. Nhiều học sinh cứ ngỡ rằng 3 số: a, 2a,
3a thì dĩ nhiên 3a là lớn nhất, do đó điều kiện của bất phương trình chỉ là x > 3a
và biến đổi:
(1) �
x a x 2a x 3a � 4a x 2
x 2a x 3a
3a �x 4a
�
3a �x 4a
�
�
�� 2
� �a 6 2 3
a 62 3
2
3 x 12ax 8a 0
�
x
�
6
6
�
Lời bình:
TH 1: Nếu a = 0, bất phương trình (1) vô nghiệm.
TH 2: Nếu a > 0, điều kiện của x là x �3a, khi đó bất phương trình tương
đương với 4a - x >
x 2a x 3a
Sáng kiến kinh nghiệm
(2), vì a > 0 nên
5
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
3a �x 4a
�
(2) � � 2
3 x 12ax 8a 2 0
�
� 3a x
a(6 2 3)
.
6
TH 3: Nếu a < 0, điều kiện của x là x ≥ a, khi đó (1) tương đương với 4a –
x >2
x 2a x 3a .
Vì a < 0 và x ≥ a nên 4a x 3a (a x) 0 , do đó
bất phương trình này vô nghiệm.
Việc phân chia 3 trường hợp a = 0; a < 0; a > 0 căn cứ một phần quan
trọng vào việc tìm điều kiện chung để thay thế cho 3 điều kiện: x �a ; x �2a ;
x �3a . Phần sau của đề tài sẽ trở lại vấn đề này.
2.2.1.5 Do hiểu sai yêu cầu của bài toán nên phân chia thiếu trường
hợp.
2
2
Ví dụ 6: Tìm m sao cho phương trình: x (2m 1) x m 0 chỉ có một
nghiệm thỏa mãn x > 3.
Sai lầm: Có nhiều học sinh lập luận: yêu cầu của bài toán tương đương
với phương trình có nghiệm kép lớn hơn 3.
1
�
0
m
�
�
�
�
4
� �S
��
.
3 � 5
�
m
�2
� 2
Không tồn tại m.
Lại có những học sinh lập luận rằng: phương trình có hai nghiệm phân
biệt thỏa mãn điều kiện một nghiệm lớn hơn 3:
af (3) �0
�
5
�
� m �3 3 là điều kiện cần tìm.
x1 ≤ 3 < x2 � �S
2
3
�
�2
Lời bình: Theo kiểu thứ nhất học sinh phiên dịch sai yêu cầu của bài
toán, với cụm từ “chỉ có một nghiệm lớn hơn 3”, học sinh đồng nhất với “có hai
nghiệm bằng nhau lớn hơn 3”. Theo kiểu thứ 2 học sinh đã gộp hai trường hợp
x1 3 x2 và 3 x1 x2 thành một trường hợp x1 �3 x2 . Tuy nhiên đã viết
điều kiện bỏ sót trường hợp x1
Sáng kiến kinh nghiệm
S
�3 x2 .
2
6
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Ngoài các sai lầm trên thì, trong phân chia trường hợp riêng, học sinh còn
mắc nhiều sai lầm khác, chẳng hạn, trong quá trình phân chia có thể bỏ sót các
trường hợp; phân chia trồng chéo; trùng lặp hoặc mắc phải sai lầm trong biến
đổi và tính toán.
2.2.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt.
Học sinh thường mắc phải các kiểu sai lầm ngôn ngữ phổ biến sau:
2.2.2.1
Sai lầm về cú pháp và ngữ nghĩa.
Không ít học sinh đã cho rằng:
a a;
2
m
a. a
n
m.n
a;
a b
2
a
2
b
2
a b;
log c a.b log c a.log c b ; (-x)n = - xn (không cần chú ý tới n chẵn, n lẻ);
2
1
1
cos
2x
4
f ( x)
; cos x =
, ...
f ( x)
2
1
Có những hiện tượng học sinh biến đổi đúng những chưa chắc đã nắm
được kiến thức một cách thực thụ.
Ví dụ 7: Nhiều công thức phát biểu một cách rất “vần” như “lim của một
tổng bằng tổng các lim; lim của tích bằng tích các lim; đạo hàm của một tích
bằng tích các đạo hàm; tích của các hàm số đồng biến là hàm đồng biến”; “cos
đối, sin bù, phụ chéo”... học sinh chỉ nắm kiến thức theo kiểu hành văn chứ
không hiểu bản chất Toán học.
Ví dụ 8: Dấu “=” có rất nhiều hình thái sử dụng như chỉ sự đồng nhất,
toàn đẳng, chỉ sự thay đổi, chỉ một hành động cần tiến hành, ... Trong trường
hợp này nói riêng ta nói tới dấu “=” trong nguyên hàm. Vì mang một phong
cách rất “vần” nên học sinh dễ nhớ được
f ( x )dx �
g ( x)dx �
f ( x) g ( x)dx ,
�
nhưng ít học sinh hiểu được bản chất của dấu “=” đó. Trong hoàn cảnh này học
sinh nắm cú pháp một cách hình thức nhưng không hiểu được ngữ nghĩa cho nên
học sinh không hiểu vì sao I = 1 + I ?
Sáng kiến kinh nghiệm
7
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
dx
dx
Chẳng hạn, khi tính �
, có học sinh giải như sau: Kí hiệu I = �
.
x.ln x
x.ln x
Đặt u =
1
dx
dx
� du
� dv .
2 ; v = lnx
ln x
x(ln x)
x
udv uv �
vdu ta có
Theo công thức nguyên hàm từng phần I = �
I=
� 1 �
1
.ln x �
ln x.�
dx
2 � , suy ra I = 1+ I (?)
ln x
� x(ln x) �
Đã có sự vô lí, bởi lẽ dấu “=” trong hoàn cảnh này chỉ sự bằng nhau giữa
hai tập hợp: I là tập hợp của các hàm, mà I + 1 cũng là tập hợp của các hàm.
Hơn nữa với cách giải trên không đi đến kết quả gì.
Trong thực tế dạy học, ta đã bắt gặp hiện tượng, một bài toán tìm nguyên
hàm nhưng với hai cách giải đúng khác nhau đã cho ra kết quả có vẻ rất khác
nhau, nên đã dẫn đến sự hoài nghi về một trong hai kết quả. Khi hai người chọn
hai kết quả F(x) + C và G(x) + C, tuy G(x) và F(x) mang hình thức khác nhau
nhưng giữa chúng có thể chỉ sai khác một hằng số. Điều này rất hay gặp ở các
hàm lượng giác ngược. Có nhiều học sinh “nắm được” cú pháp một cách hình
thức nhưng không hẳn hiểu được ngữ nghĩa của kí hiệu toán học.
2.2.2.2 Lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và đối tượng dùng để
chỉ đối tượng ấy.
k
Ví dụ 9: Học sinh thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là Cn ”, hoặc,
k
“Chỉnh hợp chập k của n là An ”; “mặt phẳng (P) là Ax + By + Cz + D = 0”.
2.2.2.3 Áp đặt những tính chất liên quan đến khái niệm này cho khái
niệm khác có những từ gần giống.
Ví dụ 10: Học sinh nghĩ: “Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn” do
bắt chước tính chất “Tổng của hai số lẻ là một số chẵn”, hoặc xuất phát từ tính
chất mỗi số nguyên không chẵn thì lẻ, nên nghĩ rằng chẳng có hàm nào vừa
không chẵn, vừa không lẻ.
2.2.2.4 Lạm dụng thuật ngữ và kí hiệu Toán học để thay thế một số từ
của ngôn ngữ tự nhiên.
Ví dụ 11: a. Đa thức có hệ số bậc 3 < 0 (đa thức có hệ số bậc ba âm).
8
Sáng kiến kinh nghiệm
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
b. Giá trị của hàm số f(x) tại x = - 2 = 3 (f(- 2) = 3).
c. ngày như ngày (một ngày như mọi ngày).
2.2.2.5 Ảnh hưởng của thói quen ngôn ngữ không đúng đắn.
Ví dụ 12: Không chú ý tới dấu của x nên học sinh viết
còn cho rằng
x 2 x ; học sinh
36 �6 .
Ở lớp 9 học sinh biết rằng mỗi số a > 0 có hai căn bậc hai và đọc là căn,
nhưng khi dùng dấu căn thì phải quan niệm rằng đó là căn bậc hai số học, nghĩa
là chỉ giá trị dương trong hai giá trị ấy thôi. Đáng lẽ ra, khi viết dấu căn, giáo
viên đọc một cách đầy đủ rằng căn bậc hai số học của 36 bằng 6. Tuy nhiên theo
thói quen giáo viên thường chỉ nói vắn tắt căn của 16 bằng 4.
2.2.2.6 Đồng nhất ngôn ngữ có nội dung gần giống nhau.
Ví dụ 13: Lẫn lộn cụm từ “điểm cực trị” ; “cực trị” và “giá trị cực trị”, do
đó dễ sai lầm khi giải Toán chẳng hạn, bài toán: Tìm a, b để các cực trị của hàm
số y =
5 2 3
5
a x ax 2 9 x b là những số dương và x0 là các điểm cực trị.
3
9
Học sinh dễ mắc mớ rằng, tại sao các cực trị là những số dương lại còn thêm giả
thiết điểm cực trị mang giá trị âm, phải chăng đề không đúng?
2.2.3. Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học
Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc
không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu
không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Mặt khác, nhiều khái
niệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không
nắm và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không
có biểu tượng đúng về khái niệm mới.
Sai lầm về các khái niệm Toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu có
tính chất nền tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán. Vì vậy có thể nói sự
“mất gốc” của học sinh về kiến thức Toán học trước hết coi là sự “mất gốc” về
các khái niệm. Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn tới sự nhận thức
khái niệm Toán học một cách hình thức biểu hiện ở:
Sáng kiến kinh nghiệm
9
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
+ Học sinh không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nên
nhận dạng và thể hiện khái niệm sai.
+ Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt và
vận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán, khi
suy luận chứng minh).
Ví dụ 14: Không nắm vững sự mở rộng khái niệm góc hình học sang khái
niệm góc lượng giác dẫn đến nắm sai bản chất các hàm lượng giác dẫn tới sai
lầm kế tiếp biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn đơn vị, khi kết hợp nghiệm
của phương trình, bất phương trình lượng giác thường thiếu, thừa nghiệm hoặc
khi viết nghiệm của hệ phương trình thì viết một họ nghiệm dẫn tới thiếu
nghiệm, chẳng hạn, khi giải phương trình tích các hàm lượng giác đều viết các
họ nghiệm chung kí hiệu nên dẫn đến thu hẹp tập nghiệm:
Khi giải phương trình sin2x.sin3x.sinx = 0, học sinh cho kết quả: x=
k
k
; x=
;
3
2
x= k . .
Trong đơn vị đo góc lượng giác là radian và độ, học sinh không hiểu đây
là hai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm viết nghiệm của các phương trình
sin 2 x 1 sin x 3 là x = 4 + k3600 hoặc x = 600 -
2
k 3600 .
3
Không nắm vững khái niệm nghiệm của phương trình và bất phương trình
nên khi giải phương trình x 1 x 1 2 � 1 �x �1 học sinh không thừa
nhận kết quả trên là nghiệm, do lâu nay học sinh nghĩ rằng nghiệm của phương
trình là các giá trị rời rạc, đơn lẻ mà không phải là một khoảng, một đoạn.
Học sinh không hiểu khái
niệm nguyên hàm, dẫn tới việc chứng minh hệ thức giữa các nguyên hàm bằng
cách chứng minh “đạo hàm hai vế bằng nhau”. Lẽ ra phải hiểu rằng nguyên hàm
,
của hàm số f(x) là một tập hợp các hàm F(x) sao cho F ( x) f ( x) nên chứng
minh hai nguyên hàm bằng nhau, tức là phải theo nguyên tắc chứng minh hai tập
hợp bằng nhau.
Sáng kiến kinh nghiệm
10
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Do không nắm vững khái niệm đường cong trên mặt phẳng tọa độ và đồ
thị hàm số nên học sinh xem parabol trong hình học giải tích có phương trình y 2
= x là đồ thị của hàm số ngược của hàm số y = x 2 , hoặc khi tìm tiếp tuyến của
đường cong như đường tròn có phương trình x a y b R 2 đã không
2
2
xét trường hợp tiếp tuyến vuông góc với Ox là x = a �R mà chỉ xét tiếp tuyến
có dạng y = ax + b như trong đồ thị hàm số nên đã thiếu trường hợp. Ta biết
rằng đồ thị hàm số là một đường cong trên mặt phẳng tọa độ nhưng không hẳn
bất cứ đường cong nào trên mặt phẳng tọa độ cũng đều là đồ thị hàm số. Căn cứ
vào định nghĩa hàm số ta có: trong mặt phẳng tọa độ một đường cong (C) là đồ
thị hàm số y = f(x) khi chỉ với mỗi x0 thuộc tập xác định của hàm số thì đường
thẳng x = x0 song song với Oy chỉ cắt (C) tại một điểm duy nhất.
Nắm khái niệm hàm số; khái niệm giới hạn hàm số một cách hình thức
nên không ít học sinh cho rằng kí hiệu f(x) là kí hiệu của tích hai đại lượng fx,
xem � � 0 ; 0.� 0; 1� 1 .
2.2.4 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí.
Cấu trúc thông thường của định lí có dạng A � B trong đó A là giả thiết
của định lí, B là kết luận của định lí. Sai lầm phổ biến khi học định lí do xem
thường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận sai
lầm: không có A vẫn suy ra B; không có A suy ra không có B; sử dụng định lí
tương tự chưa đúng. Không nắm vững kết luận B nên sử dụng B mà không nhớ
A; có B suy ra có A; có A nhưng suy ra không phải B, mà chỉ chú trọng tới
phương pháp giải Toán. Do đó trong quá trình áp dụng vào giải Toán học sinh
hay áp dụng thiếu điều kiện hoặc sử dụng đúng nhưng không chính xác; sử dụng
định lí như định nghĩa. Đặc biệt là những định lí học sinh bị “mất gốc” hoặc
không hiểu bản chất nên khi sử dụng định lí không hiểu rõ phạm vi sử dụng của
định lí.
2
Ví dụ 15: Tính tích phân I =
Sáng kiến kinh nghiệm
dx
�
x 1
2
2
11
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
2
2
dx
d ( x 1)
4
2
2 Sai lầm: I = �
�
2 x 1
2 x 1
3
Lời bình: Ta thấy rằng hàm số y
1
2; 2
2 gián đoạn tại x = -1 �
x 1
nên không sử dụng được công thức Niutơn – Lepnít để tính tích phân trên. Giả
thiết của công thức Niutơn – Lapnít là hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nên
cách giải trên thiếu việc kiểm tra điều kiện áp dụng định lí. Thực ra tích phân
trên không tồn tại.
1�
2
n 1 �
sin
sin
...
sin
Ví dụ 16: Tìm giới hạn: I = lim
n ��
n�
n
n �
� n
�
2
n 1
sin
sin
Sai lầm: Ta có lim
.
n 0 , ..., lim
n 0, ..., lim
n
0
n ��
n ��
n ��
n
n
n
sin
Nên I = 0 + 0 + ...+ 0 = 0.
Lời bình: Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các dãy chỉ phát
biểu cho một số hữu hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng học sinh
đã áp dụng cho tổng vô hạn.
1�
2
n 1 �
sin sin
... sin
Lời giải đúng là: Đặt An �
,
n� n
n
n �
�
ta có:
2
�
2sin sin 2sin .sin
... 2sin .sin
�
2nAn .sin
2n
n
2n
n
2n
n =�
n 1 �
n �
�
� 2n 3
3 � � 3
5 �
2n 1 �
�
cos cos � �
cos
cos � ... �
cos
cos
=�
�=
2n � � 2 n
2n �
2n
2n
� 2n
�
�
= 2sin
n 1
2n
Nên
n 1
2n � lim A lim 2 . 2n .sin n 1 2 .1.sin 2 ,
An
n �� n
n ��
sin
2n
2
2n.sin
2n
2n
12
Sáng kiến kinh nghiệm
Nguyễn Duy Long
2sin
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
chứ không phải là 0 như lời giải sai trên đây của học sinh.
2.2.5 Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy
Ví dụ 16: Chứng minh bất đẳng thức:
a 2 b 2 c 2 d 2 e2 �a b c d e (1) với a, b, c, d, e�R .
Xin nêu hai cách giải cho bài toán này trước hết không phải vì mục đích
tìm cho ra nhiều lời giải, mà với mỗi cách giải sẽ gợi lên một phương hướng
tổng quát hóa bài toán:
2
2
2
2
2
Cách 1: Ta có a b c d e a b c d e �0
2
2
2
2
�a
� �a
� �a
� �a
�
� � b �+ � c � � d � � e ��0 .
�2
� �2
� �2
� �2
�
2
2
2
2
2
Cách 2: Xét hiệu f(a) = a a b c d e b c d e là một tam thức
2
2
2
2
bậc hai đối với a có b c d e 4 b c d e .
2
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được: �0 , từ đó suy ra đpcm.
Học sinh có thể tổng quát hóa bài toán từ cách giải 2 như sau: Do a là một số cố
định nên mở rộng cho n số hạng tiếp theo ta được:
a 2 a12 a22 ... an2 �a a1 a2 ... an với a, a1 , a2 ..., an �R
Lời bình: Với cách giải tương tự
2
2
2
2
Xét hiệu: f(a) = a a1 a2 ... an a a1 a2 ... an
2
2
2
2
= a a a1 a2 ... an a1 a2 ... an
Đây là một tam thức bậc hai đối với a. Muốn tam thức này luôn không âm
2
2
2
thì �0 � a1 a2 ... an 4 a1 a2 ... an �0 (1)
2
Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì:
2
2
2
2
2
2
(1) � 1 1 ... 1 a1 a2 ... an � a1 a2 ... an
2
� n a12 a22 ... an2 � a1 a2 ... an .
2
� n a12 a22 ... an2 a1 a2 ... an �0
2
2
2
2
Nếu n �4 � a1 a2 ... an 4 a1 a2 ... an �
2
Sáng kiến kinh nghiệm
13
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
� a1 a2 ... an n a12 a22 ... an2 �0 � (1) luôn được thỏa mãn
2
ai .
Nhưng với n > 4, nếu chọn a1 a2 ... an 1 thì n 2 4n 0 nên tồn
tại những giá trị của a làm cho giá trị của tam thức f(a) âm, cụ thể ta có thể lấy
2
n2
n
n
�n � n
a thì khi đó f(a) = f � � n 4 n . 0 (vì n > 4) nên bất
2
4
2
�2 � 4
đẳng thức tổng quát hóa không đúng.
Vậy bài toán tổng quát như thế nào? Ta trở lại với cách giải 1 vì vế trái có
2
�a �
2
� �lặp lại bốn lần và cộng lại thì bằng a . Nhưng nếu số hạng ở vế trái nhiều
�2 �
hơn hay ít hơn thì sự phân tích trên không đúng nữa, nếu tăng số hạng lên n số
2
�a �
thì cần phải có n lần � �có tổng bằng a2, khi đó với cách viết tương tự ta
�n�
2
2
2
�a
� �a
�
�a
�
được: � a1 � � a2 � … � an ��0 .
�n
� �n
�
�n
�
Vậy bất đẳng thức được tổng quát đúng là:
a 2 a12 a22 ... an2 �
2
a a1 a2 ... an .
n
2.2.6 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng
Khi làm những bài toán có liên quan đến tư duy hàm, học sinh hay sai lầm
trong việc phát hiện, thiết lập sự tương ứng giữa các đối tượng tham gia trong
bài toán, đặc biệt nổi bật trong các bài toán về hàm số, phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình có chứa tham số, hoặc cần đặt ẩn phụ.
Ví dụ 17: Tìm m điều kiện để phương trình sau có nghiệm:
x 1 3 x
x 1 3 x
m
(1)
Sai lầm: Bài toán có nhiều hướng giải, tuy nhiên nếu chọn ẩn phụ:
Sáng kiến kinh nghiệm
14
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
t=
x 1 3 x với x � 1; 3 , thì bài toán trở thành: tìm m để phương trình
t 2 2t 2m 2 0 có nghiệm. Vì thế cần phải đặt điều kiện cho ẩn phụ. Học
sinh có thể lí giải như sau:
+) Do t là tổng hai căn bậc hai nên t ≥ 0.
�x �1
+) Do �
thay vào t ta có:
�x �3
�
t� 2
�
.
�
t� 2
�
+) Do t �0 , áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được t �2 nên điều
kiện của t là t � 0; 2 .
Lời bình: Với cả ba phương án điều kiện ẩn phụ như trên, học sinh đều
có sai lầm vì không nhận thấy sự tương ứng giữa ẩn t và ẩn x. Lẽ ra điều kiện
�
của t là t��
� 2; 2 �.
2.2.7 Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức”
3
2
Ví dụ 18: Tìm m để hàm số y x m 1 x 2m 3 x 3 đồng biến
với mọi x > 3.
Sai lầm: Bài toán trở thành tìm m để :
y , f ( x) 3x 2 2 x m 1 2m 3 �0 với mọi x > 3.
Ta có , m 2 4m 10 0 với mọi m nên tam thức f(x) có hai nghiệm
,
phân biệt x1 < x2. Vậy y �0 � x � �; x1 � x2 ; � , mặt khác theo giả thiết
3. f (3) 0
�
�
cứ hễ x > 3 là có f(x) �0 nên ta suy ra x1 x2 3 � �S
.
3
�
�2
Lời bình: Thực tiễn dạy học cho thấy: nếu học sinh không nắm được lược
đồ giải dạng bài toán trên, nếu giáo viên không làm nổi rõ lí do tại sao vị trí
tương đối giữa x1; x1; ; là thế này, thế khác, thì dù có được giáo viên làm
mẫu một số bài đến lượt học sinh, chỉ cần thay đổi một chút thôi, ví như lúc làm
mẫu là 3; � còn bây giờ là 3; � họ vẫn có thể gặp sai lầm!
Sáng kiến kinh nghiệm
15
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Vì sao họ sai lầm? đơn giản là vì họ nghĩ rằng: Với bài 3; � thì
x1 < x2 �3 , bây giờ với bài 3; � không còn dấu “=” nữa, thế thì cũng phải bỏ
dấu “=” ở x1 < x2 �3 để thành x1 < x2 < 3 (!?).
Thực ra, nếu nắm vững kiến thức về tập hợp lôgíc, nếu thông thạo cách
biểu diễn tập nghiệm trên trục số, thì học sinh dễ nhận thức được rằng: trong
trường hợp bây giờ, ta có �; x1 � x2 ; � chứa 3; � , thế thì biểu diễn
trên trục số:
3
x1
x2
ta vẫn có x1 < x2 �3 (bởi, cho dù x2 = 3 thì x2 ; � vẫn cứ chứa 3; � ).
Lẽ ra có thể giải bài toán như sau: Ta có , m 2 4m 10 , ta thấy , 0
m �R thế thì f(x) có hai nghiệm phân biệt, kí hiệu hai nghiệm đó là x 1, x2 với
x1 < x2. Theo Định lí thuận thì f(x) �0 tương đương với x� �; x1 � x2 ; � ,
mặt khác theo giả thiết thì cứ hễ x �3 là có f(x) �0, cho nên cứ hễ x � 3; �
là x� �; x1 � x2 ; � . Bằng sự minh họa của trục số, ta suy ra x1 < x2 �3
3
x1
x2
3. f (3) �0
�
�
15
� �S
� m �
3
4
�
�2
2.2.8 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
2.2.8.1 Do đặt điều kiện của ẩn phụ.
Khi đặt ẩn phụ thường lãng quên đặt điều kiện của ẩn phụ, và cho rằng,
phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình g(t) = 0 có nghiệm,
trong đó g(t) là biểu thức thu được từ f(x) thông qua một phép đặt ẩn phụ
t ( x) nào đó. Nói cách khác, nếu phương trình xuất phát có dạng f[g(x)] thì
học sinh thường đặt t = g(x) để đưa về phương trình f(t) = 0, và quan niệm rằng,
phương trình f[g(x)] = 0 có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = 0 có nghiệm.
Sáng kiến kinh nghiệm
16
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Ví dụ 19: Tìm m để phương trình: 4 x 2 x 2 m.2 x 2 x3 3m 2 0 vô
2
2
nghiệm.
Sai lầm: Đặt t = 2 x 2 x 2 . Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương
2
trình : f(t)= t 2 2mt 3m 2 0 (*) vô nghiệm � , 0 � 1 m 2 .
Lời bình: Học sinh không đặt điều kiện cho ẩn phụ t dẫn đến xét thiếu
trường hợp. Điều kiện của t là t �2 nên bài toán trở thành tìm m để (*) không có
nghiệm thỏa mãn t �2 .
TH 1: , 0 � 1 m 2
�
�
, �0
�
a. f (2) >
0
TH 2: f(t) có nghiệm t1 ≤ t2 < 2 � �
�S
� 2
�2
m 1.
Vậy với m < 2 thì phương trình vô nghiệm.
Khi đặt ẩn phụ, mặc dù có đặt điều kiện, nhưng điều kiện quá hẹp hoặc
quá rộng không sát, đặt ẩn phụ t = ( x) để đưa phương trình về ẩn t, tuy nhiên
học sinh chỉ đưa ra một điều kiện cần đối với t, chứ không phải là điều kiện cần
và đủ.
2.2.8.2 Do không nắm vững các phép biến đổi tương đương.
Ví dụ 20: Giải bất phương trình x 2 3 x . 2 x 2 3 x 2 �0 .
Sai lầm: Bất phương trình trên tương đương với:
1
x �3
�
2 x 2 3 x 2 �0 �
�
2 x
�x �ڣ
�
��
2�
�2
1
�
x �
x
3
x
�
0
�
�
3 x 0
�x �ڣ
�
2
Lời bình:
Phép biến đổi đã bỏ sót nghiệm x = 2.
Sáng kiến kinh nghiệm
17
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
Bất phương trình đã cho tương đương với:
x 2 �x 3
�
�x 2 3x 2 x 2 3x 2 0 �
�
�
�
1
2
2
x 3 �x
�
�x 3x 2 x 3x 2 0 �
�
2
Trong dạy học biến đổi phương trình, học sinh hay sai lầm khi lũy thừa
hai vế của những biểu thức có chứa căn bậc chẵn, dường như căn bậc lẻ không
có điều gì phải bàn thêm. Nhưng thực tế không như vậy. Xét ví dụ sau:
2.2.8.3 Sai lầm do chuyển đổi sai đối tượng toán học
Ví dụ 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) =
x 2 x 1 x 2 3x 1 mọi x�R
2
Sai lầm: f(x) =
2
2
2
3 � �1 �
� 1� �3� �
� � �
�x � � � �x
� 2 � �2 � � 2 � �2 �
�1 3 � � 3 1 �
Trong hệ trục tọa độ 0xy, xét các điểm A � ;
�, B � ; �; M (x; 0)
2
2
�
� �2 2 �
thì f(x) = MA + MB. Theo bất đẳng thức tam giác thì MA + MB ≥ AB,
mà AB =
2
. Nên minf(x) = 2
3 1
2
.
3 1
2
Lời bình: Sai lầm khi chuyển đổi từ bài toán đại số sang hình học, học
�1 3 �
sinh không ý thức được vị trí tồn tại của M. Nên chọn điểm A � ;
�, B
�2 2 �
�3 1�
� ; �là hai điểm cùng phía so với trục hoành. Đoạn thẳng AB không cắt
�2 2 �
trục x ' Ox chứa 0x nên bất đẳng thức MA + MB ≥ AB không xẩy ra do đó
không tồn tại điểm M 0 �0 x sao cho: M0A + M0B = AB.
Để tránh sai lầm trên khi chuyển đổi bài toán sang sử dụng công cụ tọa độ
thì cần phải lưu ý: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B và đường thẳng d đi qua
M. Khi đó: Nếu A, B cùng phía so với d thì MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M
18
Sáng kiến kinh nghiệm
Nguyễn Duy Long
Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT
là giao điểm của AB1 với đường thẳng d, trong đó B1 là điểm đối xứng với B qua
d, khi đó MA + MB = AB1. Nếu A, B khác phía so với đường thẳng d thì
MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB với d.
�1 3 � � 3 1 �
Bài toán trên phải được giải là: chọn A � ;
�; B � ; �và C (x; 0),
2
2
2�
�
� �2
2
2
�3 1� �1
3�
ta có f(x) = MA + MB ≥ AB 1, trong đó AB1 � � �
� 2
2
2
2
2
�
� �
�
nên f(x) � 2 , dấu bằng xẩy ra khi x = 3 1.
2.2.9. Những sai lầm liên quan đến suy luận.
Suy luận là một trong những hình thức của tư duy. Suy luận là một quá
trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã cho.
Một suy luận thường có cấu trúc logic A � B , trong đó A là tiền đề, B là kết
luận. Cấu trúc logic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận. Học
sinh thiếu kiến thức về logic, sử dụng mệnh đề sai hoặc ngộ nhận là mệnh đề
đúng, đánh tráo luận đề sẽ mắc sai lầm trong suy luận. Sai lầm trong suy luận
khi giải Toán có các kiểu sai lầm sau:
2.2.9.1 Sai lầm về luận cứ.
Sai lầm thuộc loại này là do trực giác: dựa vào các mệnh đề sai do ngộ
nhận, hoặc mệnh đề chưa được chứng minh là đúng, hoặc dựa vào mệnh đề
tương đương với mệnh đề cần chứng minh.
2
Ví dụ 22 : Tìm m để f(x) = m 1 x 2 m 1 x 3m 3 �0 x
a0
�
x
Sai lầm: Để f(x) ≥ 0 �۳
�,
�0
�
m 1.
Lời bình: Kết quả trên tuy đúng nhưng là đúng một cách ngẫu nhiên. Về
nguyên tắc ta phải xét riêng trường hợp hệ số bậc 2 bằng 0. Chỉ khi nó khác 0 ta
mới được dùng mệnh đề trên.
2.2.9.2 Sai lầm về luận đề.
Sáng kiến kinh nghiệm
19
Nguyễn Duy Long
- Xem thêm -