Liên phân số và xấp xỉ tốt

  • Số trang: 53 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 102 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Đã đăng 27609 tài liệu

Mô tả:

Liên phân số (Continued fractions) và (and) Xấp xỉ tốt (good approxmations) Trần Thị Thu Hiền ĐH Thái Nguyên-ĐHKH Ngày 15 tháng 04 năm 2015 Mục lục 1 Nhắc lại vành Z 1.1 Vành chính Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Phép chia với dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Số nguyên tố và Định lý cơ bản của số học . . . . . . . 2 Liên phân số-Continued fractions 2.1 Liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Liên phân số từ hai dãy số cho trước . . . . . 2.1.2 Liên phân số hữu hạn . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Liên phân số vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Biểu diễn qua liên phân số hữu hạn . . . . . . . . . . 2.2.1 Phương trình ax + by + c = 0 . . . . . . . . . 2.2.2 Biểu diễn dãy truy hồi . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Biểu diễn tổng hữu hạn qua liên phân số . . . 2.2.4 Biểu diễn liên phân số hữu hạn qua định thức 2.3 Biểu diễn chuỗi qua liên phân số vô hạn . . . . . . . 2.4 Một vài vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 9 9 9 13 15 21 21 22 27 32 33 40 Lời nói đầu Trong thực tế, khi làm việc với một số vô tỷ thì người ta thường phải dùng phân số gần đúng với nó để sử dụng. Chẳng hạn để tính toán với số π, các nhà toán học thời xưa đã dùng những phân số gần đúng 355 22 hoặc . trong tính toán, chẳng hạn: 7 113 Vấn đề đặt ra: Có thể tìm ra các phân số gần đúng khác nữa đối với số π mà mẫu số nằm trong một khoảng nào đó hay không ? Nên dùng phân số nào mà mẫu số và tử số không vượt quá số điều kiện nào đấy mà sai số với π lại là đủ nhỏ? Thông thường, người ta chỉ xét các phân số với tử số là số nguyên, còn mẫu số là một số nguyên dương. Ta gọi khoảng cách giữa số vô tỷ p p α với phân số trên trục số là sai số tuyệt đối của đối với α và ký q q p hiệu − α . Thông thường khi chọn phân số có mẫu số càng lớn thì q sai số của nó càng nhỏ, nhưng điều đó không phải lúc nào cũng đúng. Do vậy, nên chọn những sai số gần đúng theo tiêu chuẩn nào có sai số nhỏ hơn trong nhiều phân số đã biết? Những câu hỏi như vậy, đòi hỏi phải xây dựng khái niệm mới là phân số gần đúng tốt nhất và để tìm nó cần xét đến phân số này kề trước phân số kia. Chính vì những lý do như trên, việc nghiên cứu liên phân số là cần thiết. Vấn đề mà tác giả tập trung nghiên cứu là liên phân số và xấp xỉ tốt. Ngoài phần mở đầu và kết luận cùng tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia làm hai chương với 7 mục. Chương một tập trung nghiên cứu về vành chính Z, gồm ba mục. Mục 1.1 nhắc lại khái niệm vành Z và một vài tính chất. Mục 1.2 tập trung trình bày lại phép chia hết. Mục 1.3 trình bày kết quả về số nguyên tố và định lý cơ bản của số học. 2 3 Chương hai tập trung trình bày về liên phân số và xấp xỉ tốt, gồm 4 mục . Mục 2.1 được trình bày lý thuyết về liên phân số ,Mục 2.2 Trình bày biểu diễn qua liên phân số hữu hạn , Mục 2.3 Biểu diễn chuỗi qua liên phân số vô hạn và cuối cùng là Mục 2.4 một vài ứng dụng về liên phân số Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Đàm Văn Nhỉ . Qua đây tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn chân thành đối với thầy hướng dẫn , người đã tận tình chỉ bảo quan tâm động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này . Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô các cán bộ khoa toán và các cán bộ quản lý khoa học - Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên đã hết lòng giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu . Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh, chị các bạn lớp cao học Toán K7Q của trường Đại học Khoa học Thái Nguyên đã động viên tinh thần, chia sẻ những khó khăn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 04 năm 2015 Tác giả Trần Thị Thu Hiền Chương 1 Nhắc lại vành Z 1.1 Vành chính Z Ta bắt đầu bằng khái niệm vành Euclide. Định nghĩa 1.1.1. Cho miền nguyên R. Ánh xạ δ : R∗ → N, x 7→ δ(x), từ tập các phần tử khác 0 của R đến tập các số tự nhiên N thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (1) Với mọi a, b ∈ R∗ và a|b thì δ(a) 6 δ(b). (2) Với mọi a, b ∈ R, b 6= 0, có tồn tại q, r ∈ R sao cho a = qb + r với r = 0 hoặc δ(r) < δ(b) khi r 6= 0 được gọi là một ánh xạ Euclide. Định nghĩa 1.1.2. Miền nguyên R được gọi là một vành Euclide nếu có một ánh xạ Euclide tác động lên tập R∗ . Định nghĩa 1.1.3. Miền nguyên R được gọi là một vành chính nếu mỗi iđêan của R đều là một iđêan chính. Bổ đề 1.1.4. Mọi vành Euclide đều là vành chính. Chứng minh: Giả sử R là vành Euclide với ánh xạ Euclide δ : R∗ → N. Vì R là vành Euclide nên nó là một miền nguyên. Giả sử I là một iđêan của R. Nếu I = 0 thì I = (0) là một iđêan chính. Nếu I 6= 0 thì có phần tử a ∈ I, a 6= 0. Đặt I ∗ = I \ {0}. Vì δ(I ∗ ) ⊂ N nên có a0 ∈ I ∗ thỏa mãn δ(a0 ) 6 δ(x) với mọi x ∈ I ∗ . Vì a0 ∈ I nên iđêan (a0 ) ⊆ I. 4 5 Bây giờ ta chỉ ra I = (a0 ). Thật vậy, giả sử a ∈ I. Do a0 6= 0 và R là vành Euclide nên tồn tại q, r ∈ R sao ch a = qa0 + r với r = 0 hoặc δ(r) < δ(a0 ). Nếu r 6= 0 thì r ∈ I ∗ và δ(r) < δ(a0 ) : mâu thuẫn. Vậy r = 0 và a = qa0 . Từ đây suy ra a ∈ (a0 ). Do a được lấy tùy ý nên I = (a0 ) và như vậy R là một vành iđêan chính. Hệ quả 1.1.5. Vành Z là một vành chính. Chứng minh: Vành Z là một miền nguyên. Ánh xạ δ : Z∗ → N, n 7→ |n|, là một ánh xạ Euclide. Do vậy, vành Z là một vành Euclide. Theo Bổ đề 1.1.4, vành Z là một vành iđêan chính. 1.2 Phép chia với dư Định nghĩa 1.2.1. Cho hai số nguyên a, b ∈ Z, b 6= 0. Số a được gọi là chia hết cho số b hay b chia hết a nếu có c ∈ Z thỏa mãn a = bc. . Trong nhiều trường hợp, thay cho việc nói a chia hết cho b ta viết a .. b hoặc nói b chia hết a và viết b|a. Khi a = bc thì b được gọi là một ước của a. Các tính chất cơ bản sau đây về quan hệ chia hết là hiển nhiên. (1) 1 | a với mọi a ∈ Z. (2) a | a với mọi a ∈ Z, a 6= 0. (3) Nếu a | b và b | c thì a | c với mọi a, b, c ∈ Z, a, b 6= 0. (4) Nếu a | b thì |a| 6 |b| với mọi a, b ∈ Z, a, b 6= 0. (5) Nếu a | bi với a, bi ∈ Z, i = 1, . . . , n, thì a | n P bi xi với xi ∈ Z. i=1 (6) Nếu a | b và b | a thì a = b hoặc a = −b với a, b ∈ Z, a, b 6= 0. Hiển nhiên, quan hệ chia hết trong Z có tính phản xạ, nhưng không . . có tính bắc cầu, chẳng hạn 0 .. 5, nhưng 5 6 .. 0 và không có tính phản đối xứng, chẳng hạn 5 | −5, −5 | 5, nhưng 5 6= −5. Do đó quan hệ chia hết không phải là quan hệ tương đương, cũng không phải là quan hệ thứ tự trong Z. 6 Định lý 1.2.2. Với mỗi cặp số nguyên a, b ∈ Z, b 6= 0, luôn luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q, r ∈ Z sao cho a = qb + r, trong đó 0 6 r < |b|. Chứng minh: Sự tồn tại: Đặt T = {n|b| sao cho n|b| 6 a, n ∈ Z}. Vì |b| > 1 nên −|a||b| 6 −|a| 6 a. Do đó −|a||b| ∈ T. Vậy T 6= ∅. Vì T là tập bị chặn trên nên T có một số lớn nhất m|b|. Từ m|b| 6 a ta suy ra r = a − m|b| > 0 và r ∈ Z. Ta lại có (m + 1)|b| = m|b| + |b| > m|b|. Do tính lớn nhất của m|b| trong T nên (m + 1)|b| > a. Như vậy |b| > a − m|b| = r và ta có a = qb + r với 0 6 r < |b|. Tính duy nhất: Giả sử có hai sự biểu diễn a = qb + r với 0 6 r < |b| và a = q1 b + r1 với 0 6 r1 < |b|. Trừ vế cho vế, ta có r − r1 = b(q1 − q). Từ |r − r1 | < |b| ta suy ra |q1 − q||b| < |b|. Vậy q = q1 và hiển nhiên r = r1 . Biểu diễn a = qb + r, 0 6 r < |b|. Nếu r = 0 thì q được gọi là thương của a chia cho b. Nếu r 6= 0 thì q gọi là thương hụt, còn r là số dư trong phép chia a cho b. 1.3 Số nguyên tố và Định lý cơ bản của số học Định nghĩa 1.3.1. Số tự nhiên p > 1 không có một ước số dương nào khác 1 và chính nó được gọi là một số nguyên tố. Số tự nhiên q > 1 có ước số dương khác 1 và chính nó được gọi là một hợp số. Nếu có số tự nhiên d để n = d2 thì n được gọi là một số chính phương. Hiển nhiên ta có định lý sau đây: Định lý 1.3.2. Cho số nguyên tố p và các số nguyên m, a, b. Khi đó ( p nếu p | m (1) (m, p) = 1 nếu p - m. (2) Mọi số m > 1 đều có ước nguyên tố. (3) Nếu p | ab thì p | a hoặc p | b. 7 Ta sẽ thấy luôn luôn tồn tại những khoảng bao gồm các số nguyên liên tiếp với độ dài tùy ý không có số nguyên tố nào. Tuy vậy, định lý sau đây chỉ ra tập các số nguyên tố là một tập vô hạn. Định lý 1.3.3. [Euclid] Tập tất cả các số nguyên tố là tập vô hạn. Chứng minh: Ký hiệu P là tập tất cả các số nguyên tố và giả sử P là một tập hữu hạn, chẳng hạn P = {p1 , . . . , ps }. Xét số nguyên s Q dương q = pi + 1 > 1. Mọi ước nguyên tố của q đều khác các pi vì i=1 1 không chia hết cho pi . Vậy có một số nguyên tố mới không thuộc P. Điều đó chứng tỏ P là một tập vô hạn. Định lý 1.3.4. Tồn tại nhiều vô hạn các số nguyên tố dạng 4n − 1 với n ∈ N. Tương tự, tồn tại nhiều vô hạn các số nguyên tố dạng 4n + 1 với n ∈ N. Chứng minh: Giả sử chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố p1 , . . . , ps s Q dạng 4n − 1. Đặt q = 4 pi − 1 > 1. Khi đó q là số lẻ. Nhận xét (*) i=1 : Sử dụng quy nạp theo r ta dễ dàng chỉ ra tích r Q (4ni + 1) các số i=1 nguyên dương dạng 4h + 1 cũng là một số nguyên dương dạng 4m + 1. Nếu mọi ước nguyên tố của q đều có dạng 4k + 1 thì q phải có dạng 4m + 1. Vì q có dạng 4m − 1 nên q phải có một ước nguyên tố p dạng 4k − 1. Từ điều giả sử ta suy ra p = pi với i nào đó. Vậy p |(−1). Điều này không thể được. Như vậy có nhiều vô hạn số nguyên tố dạng 4n − 1. Định lý 1.3.5. Với số nguyên dương n đều tồn tại số nguyên tố lớn hơn n. Chứng minh: Xét số n!+1. Khi chia số này cho các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n đều cho số dư là 1. Do vậy mọi ước nguyên tố của n! + 1 đều không thuộc tập {1, 2, . . . , n} và như thế nó phải lớn hơn n. 8 Định lý 1.3.6. [Định lý cơ bản của số học] Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành một tích hữu hạn các thừa số nguyên tố và sự phân tích là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các thừa số. Chứng minh: Xét tập F gồm tất cả các số nguyên dương không biểu diễn được thành tích một số hữu hạn các thừa số nguyên tố. Ta chỉ cần chỉ ra F = ∅. Thật vậy, giả sử F 6= ∅. Ta thấy nếu m ∈ F thì m > 2, vì vậy F là tập bị chặn dưới. Khi đó có số nguyên dương nhỏ nhất m thuộc F. Vì m ∈ F nên m phải là hợp số. Khi đó có hai số nguyên dương q1 , q2 > 1 để m = q1 q2 . Vì q1 , q2 < m nên q1 , q2 ∈ / F. Như vậy ta có sự phân tích q1 = t1 t2 . . . th , q2 = u1 u2 . . . uk , ở đó ti , uj đều là các số nguyên tố. Khi đó m = q1 q2 = t1 t2 . . . th u1 u2 . . . uk . Điều này mâu thuẫn với giả thiết m ∈ F. Như vậy F phải là tập rỗng. Khi phân tích số tự nhiên q > 1 thành tích các thừa số nguyên tố, có thể một số nguyên tố xuất hiện nhiều lần. Nếu các số nguyên tố p1 , . . . , ps xuất hiện theo thứ tự α1 , . . . , αs lần, thì ta viết q = pα1 1 pα2 2 . . . pαs s và ta gọi tích này là dạng phân tích chính tắc hay dạng phân tích tiêu chuẩn của q. Khi hai số a, b có dạng phân tích chính tắc a = pα1 1 pα2 2 . . . pαs s q1u1 . . . qrur , b = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβs s tv11 . . . tvhh , trong đó các thừa số nguyên tố qi chỉ ở trong a, còn các thừa số nguyên tố tj chỉ có trong b. Ta có min(α ,β ) 2 2 (a, b) = p1 min(α1 ,β1 ) p2 . . . ps min(αs ,βs ) [a, b] = p1 max(α1 ,β1 ) p2 max(α2 ,β2 ) . . . ps max(αs ,βs ) q1 u1 . . . qr ur t1 v1 . . . th vh . p Chú ý 1.3.7. Q là tập tất cả các số dạng với p, q là hai số nguyên q và q 6= 0. Với phép cộng và phép nhân, tập Q lập thành một trường. Các phần tử thuộc Q được gọi là các số hứu tỷ. Những số thực không phải là số hữu tỷ được gọi là những số vô tỷ. Chương 2 Liên phân số-Continued fractions 2.1 2.1.1 Liên phân số Liên phân số từ hai dãy số cho trước Định nghĩa 2.1.1.1. Cho hai dãy số {ai } = a0 , a1 , a2 , a3 , . . ., {bi } = b0 , b1 , b2 , b3 , ... với ai , bi > 0 khi i > 0. Dãy các biểu thức N0 = a0 , N1 = b0 b0 , ..., được gọi là các giản phân, còn biểu a0 + , N2 = a0 + b1 a1 a1 + a2 thức b0 a0 + b1 a1 + b2 a2 + b3 a3 + .. . an−2 + bn−1 an−1 + . .. được gọi là một liên phân số của hai dãy số cho trước {ai }, {bi }. Hiển nhiên các biểu thức Ni đều tồn tại. Với hai dãy số đã cho {ai } và {bi } ta xây dựng hai dãy số P−1 , P0 , P1 , P2 , . . . và Q−1 , Q0 , Q1 , Q2 , . . . như sau: ( ( ( P−1 = 1 P 0 = a0 Pn+1 = an+1 Pn + bn Pn−1 Q−1 = 0 Q0 = 1 Qn+1 = an+1 Qn + bn Qn−1 , n > 0. 9 10 Pn Định lý dưới đây chỉ ra rằng Nn = thỏa mãn cho mọi số tự nhiên Qn n. Định lý 2.1.1.2. Cho mọi số tự nhiên n ta luôn luôn có hệ thức b0 Pn a0 + = . b1 Qn a1 + b2 a2 + b3 a3 + .. . an−2 + bn−1 an−1 + an Chứng minh: Ta chứng minh định lý bằng phương pháp qui nạp theo n. Với n = 0, 1 kết quả đúng. Giả sử định lý đúng cho n. Khi đó ta có Pn b0 = , (1). a0 + b1 Qn a1 + b2 a2 + b3 a3 + .. . an−2 + bn−1 an−1 + an Biểu thức b0 a0 + =I b1 a1 + b2 a2 + b3 a3 + .. . an−2 + bn−1 an−1 + bn an + an+1 bn . Vì Pn , Qn không phụ có được từ (1) bằng cách thay an bởi an + an+1 Pn an Pn−1 + bn−1 Pn−2 thuộc vào bn , an+1 nên từ công thức truy hồi = Qn an Qn−1 + bn−1 Qn−2 11 ta suy ra bn )Pn−1 + bn−1 Pn−2 (an an+1 + bn )Pn−1 + an+1 bn−1 Pn−2 an+1 = . I= bn (an an+1 + bn )Qn−1 + an+1 bn−1 Qn−2 )Qn−1 + bn−1 Qn−2 (an + an+1 (an + Do đó I = hay I = an+1 (an Pn−1 + bn−1 Pn−2 ) + bn Pn−1 an+1 Pn + bn Pn−1 = an+1 (an Qn−1 + bn−1 Qn−2 ) + bn Qn−1 an+1 Qn + bn Qn−1 Pn+1 . Điều này chứng tỏ hệ thức đúng cho mọi n. Qn+1 Định lý 2.1.1.3. Ta có hệ thức an+1 + bn bn−1 an + bn−2 an−1 + bn−3 an−2 + ... + · · · a1 + = Pn+1 Pn b0 a0 khi biểu thức có nghĩa. Chứng minh: Bằng qui nạp ta có ngay kết quả. Định lý 2.1.1.4. Với ký hiệu như trên, các hệ thức sau đây luôn thỏa mãn: (1) Pn Qn+1 − Qn Pn+1 = (−1)n+1 b0 . . . bn . (2) Pn Qn+2 − Qn Pn+2 = (−1)n+1 b0 . . . bn an+2 . Pn+1 Pn (−1)n b0 . . . bn Pn+2 Pn (−1)n b0 . . . bn an+2 (3) − = , − = . Qn+1 Qn Qn+1 Qn Qn+2 Qn Qn+2 Qn (4) P2n b0 . . . b2n P2n+2 P2n b0 . . . b2n a2n+2 P2n+1 , − = − = Q2n+1 Q2n Q2n+1 Q2n Q2n+2 Q2n Q2n+2 Q2n P2n+1 P2n−1 −b0 . . . b2n−1 a2n+1 − = . Q2n+1 Q2n−1 Q2n+1 Q2n−1 và 12 n (−1)i b . . . b P Pn+1 0 i (5) = a0 + . Qn+1 Qi+1 Qi i=0 n Q Chứng minh: (1) Đặt δn = Pn Qn+1 −Qn Pn+1 . Ta chỉ ra δn = (−1)n+1 i=0 Với n = 0, δ0 = P0 Q1 − Q0 P1 = a0 a1 − a0 a1 − b0 = −b0 : công thức đúng. Với n > 0, từ δn = Pn Qn+1 − Qn Pn+1 = Pn (an+1 Qn + bn Qn−1 ) − Qn (an+1 Pn + bn Pn−1 ) ta suy ra δn = bn (Pn Qn−2 − Qn−1 Pn ) = −bn δn−1 . Do vậy δn = (−1)n+1 b0 . . . bn theo giả thiết qui nạp. (2) được chứng minh tương tự (1). (3) được suy ra từ (1) và (2); còn (4) được suy ra từ (3). n P n (−1)i b . . . b P P Pn+1 Pi i+1 0 i (5) Ta có = [ − ] + a0 = a0 + . Qn+1 i=0 Qi+1 Qi Qi+1 Qi i=0 Bây giờ giả thiết tất cả các bi = 1, các aj , j > 1, là những số nguyên dương. Hệ quả 2.1.1.5. Ta luôn có: (1) Pn Qn+1 − Qn Pn+1 = (−1)n+1 . Pn (−1)n Pn+1 − = . (2) Qn+1 Qn Qn+1 Qn (3) Pn+2 Pn (−1)n an+2 − = . Qn+2 Qn Qn+2 Qn Pn . n→∞ Qn (4) Tồn tại giới hạn lim (5) (6) P2n+2 P2n P2n+1 P2n−1 > và < . Q2n+2 Q2n Q2n+1 Q2n−1 1 2Qn+1 Qn <| Pn+2 Pn 1 − |< . Qn+2 Qn Qn+1 Qn Chứng minh: (1), (2) và (3) được suy ra từ Định lý 2.1.1.4. (4) Vì Q0 = 1, Q1 = a1 > 1 và Qn+1 = an+1 Qn + Qn−1 nên dễ dàng Pn+1 Pn 1 1 suy ra Qn > n. Ta có | − |= 6 . Vậy, với Qn+1 Qn Qn+1 Qn n(n + 1) bi . 13  > 0 nhỏ tùy ý cho trước, cho k > n và n đủ lớn sao cho 1 <  ta có n đánh giá sau: k k X Pi+1 X Pk 1 1 Pn Pi 1 | = − < . − |6 | − |6 Qk Qn Qi+1 Qi i(i + 1) n k i=n i=n Pn . n→∞ Qn Từ đây suy ra được sự tồn tại của giới hạn lim (5) được suy ra từ Định lý 2.1.1.4 (4). P P Pn an+2 Pn n+2 n+2 (6) Từ − ta suy ra − = < Qn+2 Qn (an+2 Qn+1 + Qn )Qn Qn+2 Qn P an+2 1 1 n+2 Pn . Vì − > nên > Qn+1 Qn Qn+2 Qn (an+2 Qn+1 + an+2 Qn )Qn 2Qn+1 Qn P Pn 1 n+2 − . > Qn+2 Qn 2Qn+1 Qn Chú ý 2.1.1.6. Giả thiết các ai , bi > 0 khi i > 0 để đảm bảo sự tồn tại các kết quả. Ta vẫn đạt được các kết quả ấy, khi chúng tồn tại, trong trường hợp ai , bi tùy ý. 2.1.2 Liên phân số hữu hạn Cho hai số nguyên a, b ∈ Z, b > 0. Để tìm ước số chung lớn nhất của a và b ta thực hiện thuật toán Euclide như sau : a = q0 b + r1 với 0 < r1 < b, b = q1 r1 + r2 với 0 < r2 < r1 r1 = q2 r2 + r3 với 0 < r3 < r2 ... rn−2 = qn−1 rn−1 + rn với 0 < rn < rn−1 rn−1 = qn rn , qn > 1. ( q0 , q1 , . . . , qn Khi đó (a, b) = rn . Qua thuật toán này, ta có hai dãy số 1, 1, . . . , 1. 14 Với hai dãy q0 , q1 , . . . , qn và 1, 1, . . . , 1 ta có các giản phân N0 = q0 = 1 1 [q0 ], N1 = q0 + = [q0 ; q1 ], N2 = q0 + = [q0 ; q1 , q2 ], ..., và hai dãy 1 q1 q1 + q2  ( ( Ps = qs Ps−1 + Ps−2 P 0 = q0 P 1 = q1 q0 + 1  truy hồi(Pi ), (Qi ) với Qs = qs Qs−1 + Qs−2  Q0 = 1 Q 1 = q1  2 6 s 6 n. Từ Định lý 2.1.1.2 và Định lý 2.1.1.4 ta suy ra kết quả sau : Hệ quả 2.1.2.1. Với các ký hiệu như trên, ta luôn có các kết quả dưới đây: (1) Nj = Pj với mọi j = 0, . . . , n. Qj (2) Pn Qn+1 − Qn Pn+1 = (−1)n+1 . Tiếp theo, ta sẽ biểu diễn số hữu tỷ a qua liên phân số như sau: b 1 1 a = q0 + = q0 + 1 b b q 1 + r1 r1 r2 1 = ··· = q0 + 1 q1 + 1 q2 + r2 r3 1 = q0 + 1 q1 + 1 q2 + 1 q3 + qn−2 + . .. . qn−1 + 1 qn Như vậy, mỗi số hữu tỷ đều biểu diễn được thành một dạng liên phân 15 số. Liên phân số của hai dãy số ở trên được viết trong dạng 1 q0 + 1 q1 + 1 q2 + 1 q3 + .. . qn−2 + 1 qn−1 + qn và được gọi là liên phân số hữu hạn, với q0 là số nguyên, còn q1 , . . . , qn là những số nguyên dương, qn > 1. Số n được gọi là độ dài liên phân số hữu hạn. Để cho đơn giản, ta thường ký hiệu liên phân số hữu hạn a ở trên dưới dạng [q0 ; q1 , . . . , qn ]. Do đó có biểu diễn = [q0 ; q1 , . . . , qn ] b và kết quả sau: Định lý 2.1.2.2. Mỗi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng một liên phân số hữu hạn. 143 −231 Ví dụ 2.1.2.3. = [5; 3, 2, 1, 2], = [−20; 1, 3]. 27 12 Định lý 2.1.2.4. Biểu diễn mỗi số hữu tỉ thành một liên phân số hữu hạn dạng [q0 ; q1 , . . . , qn ] là duy nhất. a a Chứng minh: Cho số hữu tỉ . Giả sử [q0 ; q1 , . . . , qn ] = = [p0 ; p1 , . . . , pm ]. b b Bằng qui nạp theo n, ta chỉ ra m = n và qi = pi với i = 0, . . . , n. Nếu n = 0, thì q0 = [p0 ; p1 , . . . , pm ]. Vì p0 là phần nguyên của q0 , nên m = 0, q0 = p0 . Nếu n > 0, ta giả sử kết luận là đúng cho mỗi liên phân số hữu hạn có độ dài nhỏ hơn n. Nếu [q0 ; q1 , . . . , qn ] = [p0 ; p1 , . . . , pm ] thì q0 = p0 , vì đều là phần nguyên của cùng một số hữu tỉ. Khi đó a ta suy ra [0; q1 , . . . , qn ] = − q0 = [0; p1 , . . . , pm ]. Do đó [q1 ; . . . , qn ] = b [p1 ; . . . , pm ]. Theo giả thiết qui nạp, ta có n − 1 = m − 1 và qi = pi với mọi i = 1, . . . , n. 2.1.3 Liên phân số vô hạn Bây giờ ta áp dụng các kết quả đã đạt được ở Mục 2.1.1 để nghiên cứu về liên phân số vô hạn. 16 Cho số thực α ∈ / Q. Số [α] được định nghĩa là số nguyên với tính 1 chất [α] 6 α < [α] + 1. Đặt α0 = α = q0 + , q0 = [α] ∈ Z, α1 > 1. α1 1 Vì α ∈ / Q nên α1 không nguyên. Ta biểu diễn α1 = q1 + , q1 = α2 ∗ [α1 ] ∈ N , α2 > 1. Lặp lại quá trình này, đến bước thứ n + 1 ta có 1 1 αn = q n + , qn = [αn ] hay αn+1 = > 1. Do α ∈ / Q nên αn+1 αn − q n αn+1 không là số hữu tỉ và quá trình này kéo ra vô tận. Đặt 1 α = q0 + q1 + 1 , 1 πn = q0 + 1 q2 + . .. 1 q1 + 1 q2 + q3 + . .. 1 ... qn−1 + 1 qn cho n = 0, 1, . . . . α được gọi là liên phân số liên tục hay liên phân số vô hạn, còn các πi được gọi là các liên phân số hữu hạn của liên phân số vô hạn α. Đôi khi ta còn viết α = [q0 ; q1 , q2 , . . .]. Dễ dàng chỉ ra, nếu hai liên phân số vô hạn mà bằng nhau [q0 ; q1 , q2 , . . .] = [p0 ; p1 , p2 , . . .] thì pi = qi , i = 0, 1, . . . . Với hai dãy {qi }, {1} ta có hai dãy truy hồi vô hạn {Pi }, {Qi }, i = 0, 1, . . . , với ( ( ( P0 = q 0 P1 = q 1 q 0 + 1 Pn = qn Pn−1 + Pn−2 Q0 = 1 Q1 = q1 Qn = qn Qn−1 + Qn−2 , n > 2. Các kết quả sau được suy ra từ Hệ quả 2.1.1.5. Định lý 2.1.3.1. Giữ nguyên các ký hiệu ở trên, ta luôn có các kết quả sau: (1) πi = Pi với mọi i = 0, 1, . . . . Qi (2) Pn−1 Qn − Qn−1 Pn = (−1)n với mọi n > 1. (3) Pn , Qn là nguyên tố cùng nhau hay πn là tối giản. 17 (4) πn − πn−1 (−1)n+1 = với mọi n > 1. Qn−1 Qn (5) Pn−2 Qn − Qn−2 Pn = (−1)n−1 qn với mọi n > 2. (6) πn − πn−2 (−1)n = qn với mọi n > 2. Qn−2 Qn (7) π0 < π2 < π4 < . . . < π2n < · · · . (8) π1 > π3 > π5 > . . . > π2n+1 > · · · . (9) α = (10) Pn−1 αn + Pn−2 với mọi n > 2. Qn−1 αn + Qn−2 1 1 < |Qn α − Pn | < . 2Qn+1 Qn+1 (11) lim πn = α. n→∞ (12) π2n < α < π2m+1 với mọi m, n > 0. Hệ quả 2.1.3.2. Ta có |α − πn | < |α − πn−1 | với mọi n > 1. Chứng minh: Theo Định lý 2.1.3.1 (xi) có số thực α = Pn−1 αn + Pn−2 ,n > Qn−1 αn + Qn−2 Pn−2 ). Từ hệ thức này ta suy 2. Vậy αn (αQn−1 − Pn−1 ) = −Qn−2 (α − Qn−2 ra Pn−1 Qn−2 Pn−2 |α − |= |α − |. Qn−1 αn Qn−1 Qn−2 Pn−1 Pn−2 Vì αn > 1 và Qn−2 < Qn−1 nên |α − | < |α − | và thế n bởi Qn−1 Qn−2 n + 1. Hệ quả 2.1.3.3. Ta có là một số vô tỉ. 1 Ph 1 < |α− | < và [a0 ; a1 , a2 , . . .] 2Qh Qh+1 Qh Qh+1 Qh 18 Chứng minh: Theo Định lý 2.1.3.1 (xii), số thực α nằm giữa Pn−1 . Do đó Qn−1 |α − Pn và Qn Pn Pn−1 Pn Pn−1 1 | + |α − |=| − |= . Qn Qn−1 Qn Qn−1 Qn Qn−1 Pn Pn−1 Pn−1 1 Pn−1 | < |α− | nên |α− |< < 2|α− |. Với Qn Qn−1 Qn−1 Qn Qn−1 Qn−1 1 Ph h = n − 1, từ hai bất đẳng thức này ta suy ra < |α − |< 2Qh Qh+1 Qh 1 . Qh+1 Qh Nếu α là số hữu tỉ thì có các số nguyên không âm p, q và q 6= 0 để p p Ph 1 q α = . Vậy 0 < | − |< hay 0 < |pQh − Ph q| < . q q Qh Qh+1 Qh Qh+1 Như chứng minh trên ta có Qh+1 > h + 1. Ta chọn h để Qh+1 > q và như thế 0 < |pQh − Ph q| < 1. Điều này mâu thuẫn với hiệu pQh − Ph q là số nguyên. Vậy α là số vô tỉ. Vì |α− Hệ quả 2.1.3.4. Nếu α là số vô tỷ > 0 và n > 1 thì tối thiểu một trong Pn 1 hai liên phân số hữu hạn liên tiếp của nó thỏa mãn |α − |< . Qn 2Q2n Pn Pn+1 1 Ph |+|α− |= . Nếu |α− | > Qn Qn+1 Qn Qn+1 Qh 1 1 1 1 Qn Qn+1 + 6 hay + 6 cho h = n, n + 1 thì 2Q2h 2Q2n 2Q2n+1 Qn Qn+1 Qn+1 Qn 2. Từ bất đẳng thức này ta suy ra Qn = Qn+1 : mâu thuẫn. Chứng minh: Ta có |α− Hệ quả 2.1.3.5. Nếu α là số vô tỷ thì tồn tại vô số cặp số nguyên a 1 (a, b) để |α − | < 2 . b b Ph 1 Chứng minh: Theo Hệ quả 2.1.3.3 ta có |α − | < với mọi Qh Qh+1 Qh Ph 1 a Ph h. Vì Qh+1 6 Qh nên |α − | < 2 . Chọn = ta có điều phải Qh Qh b Qh chứng minh. 19 p với q > 0 được gọi là xấp xỉ tốt nhất q x p x của số thực α nếu với mọi phân số , 0 < y 6 q, và 6= ta đều có y q y p x |α − | < |α − |. q y Pn Định lý 2.1.3.7. Mỗi , n = 1, 2, . . . , đều là một xấp xỉ tốt nhất Qn của α. Định nghĩa 2.1.3.6. Số hữu tỉ Chứng minh: Theo Hệ quả 2.1.3.3 và Hệ quả 2.1.3.4 có ngay các bất đẳng thức Ph−1 1 Ph |α − |> > |α − |. Qh−1 Qh Qh+1 Qh p Ph Ph p Giả sử 6= , 0 < q 6 Qh , ta sẽ chứng minh |α − | < |α − |. Ta q Qh Qh q p Ph−1 có thể giả thiết 6= , vì nếu dấu bằng xẩy ra thì bất đẳng thức q Qh−1 p Ph−1 |pQh−1 − qPh−1 | 1 trên là hiển nhiên. Từ | − |= > = q Qh−1 qQh−1 Qh Qh−1 p Ph−1 Ph Ph Ph−1 − | ta suy ra ở ngoài khoảng xác định bởi và . Do | Qh Qh−1 q Qh Qh−1 p Ph Ph α ở trong khoảng đó, nên có thể xẩy ra hoặc |α− | = |α− |+| − q Qh Qh p Ph−1 p Ph Ph−1 Ph p |+| − | > |α− |. Như | > |α− |, hoặc |α− | = |α− q Qh q Qh−1 Qh−1 q Qh p Ph vậy ta luôn có |α − | > |α − | và định lý đã được chứng minh. q Qh Kết quả này cho ta một cách tính gần đúng số vô tỉ α qua một số hữu tỉ. √ 3 Ví dụ 2.1.3.8. Ta có 2 = [1; 2, 2, 2, . . .]. Khi đó π0 = 1, π1 = , π2 = 2 √ 7 17 41 99 99 1 1 , π3 = , π4 = , π5 = , . . . , và | 2 − | < < . 5 12 29 70 70 70.169 10000 Chú ý rằng, ta cũng có thể xấp xỉ một số vô tỉ bằng nhiều cách khác 1 nhau. Chẳng hạn, với 1 < a1 < 2, an+1 = 1 + an − a2n , n > 1, ta có 2 √ −n |an − 2| < 2 thỏa mãn với mọi n > 3.
- Xem thêm -