sỞ gi¸o dôc VÀ ĐÀO TẠO
tr−êng tHPT SỐ 3 BẢO THẮNG
********* *********
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
“Kinh nghiÖm h−íng dÉn häc sinh ph−¬ng ph¸p sö
dông bÊt ®¼ng thøc c«-si d¹ng nghÞch ®¶o”
ĐÀO KHÁNH LINH
Chức vụ : Hiệu trưởng
Ng−êi thùc hiÖn
:
N¨m 2011.
A- PhÇn më ®Çu
I/ Lý do chän ®Ò tμi:
Trong thêi kú ®æi míi cña ®Êt n−íc th× mét trong nh÷ng yªu cÇu cña nÒn
gi¸o dôc lµ ph¶i t¹o ra mét líp ng−êi míi, n¨ng ®éng s¸ng t¹o. Hä s½n sµng tiÕp
nhËn c¸i míi, nh÷ng tinh hoa tri thøc khoa häc cña nh©n lo¹i, ¸p dông mét c¸ch
khoa häc vµo thùc tiÔn ®Êt n−íc. VËy lµm thÕ nµo ®Ó ph¸t huy ®−îc tÝnh chñ ®éng
s¸ng t¹o cña häc sinh ®©y lµ mét trong nh÷ng yªu cÇu tr−íc m¾t, nh»m tËp d−ît
kh¶ n¨ng s¸ng t¹o cña häc sinh ngay tõ khi cßn ngåi trªn ghÕ nhµ tr−êng.
HiÖn nay s¸ch gi¸o khoa m«n to¸n míi ®−îc biªn so¹n theo h−íng ®æi míi,
ph−¬ng ph¸p d¹y häc hiÖn nay lµ: TÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh,
kh¬i dËy vµ ph¸t triÓn kh¶ n¨ng tù häc, nh»m h×nh thµnh cho häc sinh t− duy tÝch
cùc ®éc lËp s¸ng t¹o n©ng cao n¨ng lùc ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò rÌn luyÖn
kh¶ n¨ng vËn dông kiÕn thøc vµo thùc tiÔn, t¸c ®éng ®Õn t×nh c¶m, ®em l¹i niÒm
vui vµ høng thó häc tËp cho häc sinh. S¸ch gi¸o khoa míi cã nh÷ng bµi to¸n më,
môc cã thÓ em ch−a biÕt nh»m kh¬i dËy vµ ®Þnh h−íng cho c¸c em sù s¸ng t¹o.
Tuy nhiªn sù h−íng dÉn chØ b¶o tËn t×nh cña ng−êi thµy lµ rÊt cÇn thiÕt.
Néi dung kiÕn thøc vÒ bÊt ®¼ng thøc ®−îc tr×nh bµy trong ch−¬ng tr×nh
PTTH - §¹i sè 10 . §©y lµ mét phÇn kiÕn thøc hay nh−ng khã ®èi víi häc sinh vÒ
BÊt ®¼ng thøc C«-Si . Nh»m giíi thiÖu häc sinh t×m tßi, kh¸m ph¸ vµ sö dông nã.
VËy ®Ó gióp c¸c em lµm viÖc nµy th× tr−íc hÕt ng−êi thµy ph¶i nghiªn cøu, h−íng
dÉn vÒ mÆt ph−¬ng ph¸p, cung cÊp vµ h−íng dÉn cho häc sinh thùc hiÖn trªn c¸c
bµi to¸n ®iÓn h×nh c¬ b¶n t¹o cho häc sinh tiÒn ®Ò ®Ó c¸c em tù häc, tù nghiªn cøu.
§øng tr−íc yªu cÇu trªn t«i xin tr×nh bµy mét phÇn nhá trong ch−¬ng tr×nh
d¹y vÒ bÊt ®¼ng thøc ®ã lµ: "H−íng dÉn häc sinh mét sè ph−¬ng ph¸p sö dung bÊt
®¼ng thøc C«-Si d¹ng nghÞch ®¶o"
2
II- Môc ®Ých nghiªn cøu:
ChØ ra mét sè ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-Si d¹ng
nghÞch ®¶o ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m cùc trÞ.
H−íng dÉn häc sinh sö dông vµo gi¶i to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m
cùc trÞ (®èi víi häc sinh kh¸ giái ) .
III- Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu
+Chøng minh bÊt ®¼ng thøc C«-Si : Tr−êng hîp víi hai sè kh«ng ©m.
+¸p dông ®èi víi hai sè d−¬ng cã d¹ng nghÞch ®¶o.
+Ph©n lo¹i mét bµi tËp ®iÓn h×nh vµ x©y dùng ph−¬ng ph¸p gi¶i nhê ¸p dông
bÊt ®¼ng thøc C«-Si d¹ng nghÞch ®¶o .
+Tham kh¶o ý kiÕn ®ång nghiÖp vµ nhµ tr−êng.
+¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y cho häc sinh.
+Rót kinh nghiÖm tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y ®Ó tiÕp tôc hoµn thiÖn vµo c¸c n¨m
sau.
IV- Ph¹m vi vμ ®èi t−îng nghiªn cøu
+Nghiªn cóu bÊt ®¼ng thøc C«-Si d¹ng nghÞch ®¶o vµ c¸c bµi to¸n ¸p dông .
+Chän c¸c bµi to¸n thÝch hîp cho viÖc gi¶ng d¹y cho häc sinh líp 10 diÖn kh¸,
giái.
B - phÇn néi dung
I/BÊt ®¼ng thøc C«-Si:
1/BÊt ®¼ng thøc C«-Si (§èi víi hai sè kh«ng ©m)
+Víi hai sè kh«ng ©m a vµ b ta cã :
a+b
≥ ab
2
(1)
BÊt ®¼ng thøc nµy cßn gäi lµ bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh
nh©n do nhµ to¸n häc C«-Si (Cauchy) ngõêi Ph¸p (1789-1857) nghiªn cøu.
+Chøng minh:
Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m ta cã :
( a − b )2 ≥ 0
Ù a − 2 ab + b ≥ 0
Ù a + b ≥ 2 ab Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh , dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù a = b .
3
2/BÊt ®¼ng thøc C«-Si d¹ng nghÞch ®¶o
+Ta cã :
x y
+ ≥ 2 Víi x.y > 0
y x
y
x
vµ b =
lµ hai sè d−¬ng ta cã :
y
x
ThËt vËy : ¸p dông (1) víi a =
x y
+ ≥2
y x
x y
. =2
y x
Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh , dÊu ®¼ng thøc s¶y ra
Ù
*Chó ý: a =
x y
=
Ù x2 = y2 Ù x = y
y x
(V× x vµ y cïng dÊu )
x
y
vµ b =
lµ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau .
y
x
II/ ¸p dông :
§Ó ¸p dông bÊt ®¼ng thøc trªn ta cÇn biÕn ®æi lµm xuÊt hiÖn c¸c biÓu thøc cã
d¹ng nghÞch ®¶o " hoμn toμn" hoÆc “ kh«ng hoμn toμn “ tuú thuéc vµo c¸i ®Ých mµ
bµi to¸n cÇn ®¹t tíi . VËy biÕn ®æi nh− thÕ nµo ? cã nh÷ng ph−¬ng ph¸p nµo ?.
1/Ph−ong ph¸p biÕn ®æi ®ång nhÊt:
a, Mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n ta chØ cÇn thùc hiÖn phÐp tÝnh nh©n hoÆc chia.....lµ
xuÊt hiÖn d¹ng nghÞch ®¶o.
+Bµi to¸n 1: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng , CM r»ng :
a
b
c
(1 + )(1 + )(1 + ) ≥ 8
b
c
a
b
c
Gi¶i: Ta cã VT = (1 + +
c
a
(1)
c
a a
+ )(1 + )
a
b c
b
c
b
a
a
b
c
b
a
c
= 1+ + + + + + +1
a
b
b
a
a
c
c
a
b
c
c
b
= 2+( + )+( + )+( + )
≥ 2+2
a b
a c
b c
. + 2 . + 2 . = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 = VP
b a
c a
c b
Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh, dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù a = b = c .
4
* Víi ph−¬ng ph¸p trªn mêi c¸c em lµm tiÕp bµi to¸n sau:
+Bµi to¸n 2: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng , CM r»ng :
1 1 1
(a + b + c)( + + ) ≥ 9 .
a b c
* Bµi nµy mêi c¸c em tù thùc hiÖn .
+Bµi to¸n 3: Cho x lµ sè d−¬ng, t×m GTNN cña :
A=
x2 + 2x + 4
.
x
-NhËn xÐt: Víi x d−¬ng ta chØ cÇn thùc hiÖn phÐp chia tö cho mÉu lµ xuÊt hiÖn
d¹ng nghÞch ®¶o.
-Gi¶i: Cã : A =
x2 2x 4
4
+
+ = x+ +2
x
x x
x
4
x
4
x
Ta cã : x + ≥ 2 x. = 4
x+
Nªn
4
+2≥6
x
Hay A ≥ 6 dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù x =
4
x
Ù x = 2 (v× x > 0 )
VËy Amin = 6
Ù x = 2.
+Bµi to¸n 4: Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d−¬ng tho¶ m·n a + b +c = 1. Chøng minh
r»ng:
a + bc b + ca c + ab
+
+
≥ 2.
b+c
c+a
a+b
- NhËn xÐt: Cã a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
T−¬ng tù cã b + ca = (b + a)(b + c)
c + ab = (c + a)(c + b) do ®ã ta cã:
VT =
(a + b)(a + c) (b + a )(b + c) (c + a)(c + b)
+
+
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si ta cã
b+c
c+a
a+b
(a + b)(a + c) (b + a)(b + c)
+
≥ 2(a + b)
b+c
c+a
5
(a + b)(a + c) (c + a)(c + b)
+
≥ 2(a + c)
b+c
a+b
(b + a)(b + c) (c + a )(c + b)
+
≥ 2(b + c)
a+c
a+b
VËy 2. VT ≥ 4(a + b + c) = 4 hay VT ≥ 2 ⇒ §PCM §¼ng thøc x¶y ra Ù a = b = c =
1
3
* Mêi c¸c em lµm tiÕp bµi to¸n sau:
+Bµi to¸n4 : T×m GTNN cña :
B=
x 2 + 15 x + 16
3x
C=
4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356
.
x2 + 2x + 5
(víi x d−¬ng ) .
Gîi ý : Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc ta ®−îc :
C = 4.( x 2 + 2 x + 5) +
256
.
x + 2x + 5
2
b, §«i khi chóng ta ph¶i "t¸ch" , "nh©n trén" råi chia míi xuÊt hiÖn ®−îc d¹ng
nghÞch ®¶o.
+Bµi to¸n5 : T×m GTNN cña :
D=
( x 2 + 16 x + 48)( x 2 + 12 x + 27)
x2
-NhËn xÐt: NÕu chia ngay th× D = ( x +
(víi x lµ sè d−¬ng ) .
48
27
+ 16)( x +
+ 12) Sau ®ã ¸p dung (1) th×
x
x
dÊu b»ng kh«ng thÓ x¶y ra v× x kh«ng ®ång thêi b»ng
48
27
vµ
. Nªn ta ph¶i t×m
x
x
c¸ch "cμo b»ng" hai sè 48 vµ 27 . May thay c¶ hai ®a thøc trªn tö ®Òu ph©n tÝch
®−îc thµnh nh©n tö !.
-Gi¶i : Ta cã :
D=
=
( x + 12)( x + 3)( x + 9)( x + 4)
x.x
( x 2 + 15.x + 36)( x 2 + 13.x + 36)
x.x
6
= (x +
36
36
+ 15)( x +
+ 13)
x
x
ViÖc lµm tiÕp theo lµ rÊt ®¬n gi¶n !
+Bµi to¸n 6 : T×m GTNN cña :
E=
( x 2 + 11x + 30)( x 2 + 22 x + 120)
(víi x lµ sè d−¬ng )
x2
* Bµi nµy mêi c¸c em tù thùc hiÖn .
2/Ph−¬ng ph¸p thªm bít :
a/ Ta cã thÓ thªm vµ bít cïng mét sè vµo biÓu thøc råi biÕn ®æi lµm xuÊt hiÖn d¹ng
nghÞch ®¶o.
. +Bµi to¸n 1 : T×m GTNN cña :
A=
x
5
+
1− x x
( Víi 0 < x < 1 ) .
NhËn xÐt: §iÒu kiÖn 0 < x < 1 chØ lµm cho A x¸c ®Þnh vµ c¸c h¹ng tö ®Òu d−¬ng.
Ph¶i lµm xuÊt hiÖn nh©n tö (1 - x) Trªn tö cña sè h¹ng thø hai
Ta cã
Gi¶i :
Ta cã
5
5(1 − x)
−5 =
x
x
Ta cã : A =
x
5
+ −5+5
1− x x
=
x
5 − 5x
+
+5
1− x
x
x
5(1 − x)
x 5(1 − x)
+
≥2
.
=2 5
1− x
x
1− x
x
Nªn A ≥ 2 5 + 5
dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù
x
5(1 − x)
=
1− x
x
Ù x2 = 5( 1 - x )2
........... Ù x =
VËy A min = 2 5 + 5
Ùx=
5− 5
.
4
+Bµi to¸n 2 : T×m GTNN cña :
7
5− 5
4
B=
2
1
+
( Víi 0 < x < 1 )
1− x x
NhËn xÐt: Ph¶i ®ång thêi lµm xuÊt hiÖn nh©n tö x trªn tö vµ nh©n tö (1 - x )
d−íi mÉu.
Cã
2
2x
−2 =
1− x
1− x
Cßn
Gi¶i : Ta cã B =
=
Ta cã
1
1− x
−1 =
x
x
2
1
− 2 + −1+ 3
1− x
x
2x 1 − x
+
+3
1− x
x
2x 1 − x
2x 1 − x
+
≥2
.
=2 2
1− x
x
1− x x
Nªn cã B ≥ 2 2 + 3 dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù
2x
1− x
=
1− x
x
......... Ù x = 2 − 1
VËy B min =
2 2 +3
Ù x = 2 −1 .
Bµi3: Cho a ; b ; c ; d lµ c¸c sè d−¬ng CM r»ng :
1
1
1
3
+
+
≥
a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) abc + 1
+H−íng dÉn:
⎡ abc + 1 ⎤ ⎡ abc + 1 ⎤ ⎡ abc + 1 ⎤
(1) ⇔ ⎢
+ 1⎥ + ⎢
+ 1⎥ + ⎢
+ 1⎥ ≥ 6
⎣ a(b + 1) ⎦ ⎣ b(c + 1) ⎦ ⎣ c(a + 1) ⎦
⎡ a +1
b(c + 1) ⎤ ⎡ b + 1
c(a + 1) ⎤ ⎡ c + 1
a(b + 1) ⎤
+
+⎢
+
≥6
⇔⎢
+
+⎢
⎥
⎥
b + 1 ⎦ ⎣ b(c + 1)
c + 1 ⎦ ⎣ c(a + 1)
a + 1 ⎥⎦
⎣ a(b + 1)
⎡ a +1
a(b + 1) ⎤ ⎡ b + 1
b(c + 1) ⎤ ⎡ c + 1
c(a + 1) ⎤
≥6
+⎢
+
+⎢
+
⇔⎢
+
⎥
⎥
a + 1 ⎦ ⎣ b(c + 1)
b + 1 ⎦ ⎣ c(a + 1)
c + 1 ⎥⎦
⎣ a(b + 1)
⇔ .........
8
*T−¬ng tù häc sinh cã thÓ gi¶i bµi to¸n sau:
+Bµi to¸n 4 : T×m GTNN cña :
4
x +1
C = 3x +
D=
(víi x > - 1 )
2
x
+
2 x −1
( víi x > 1 )
⎡ x2
⎤
E = ( x + 1) + ⎢
+ 2⎥
⎣ x +1 ⎦
2
2
⎡ x2 + 2x + 2 ⎤
H−íng dÉn : E = ( x + 1) + ⎢
⎥
⎣ x +1 ⎦
( víi x ≠ −1 )
2
2
1 ⎤
= ( x + 1) + ⎡⎢( x + 1) +
x + 1⎥⎦
⎣
2
2
= 2( x + 1) 2 +
1
+2
( x + 1) 2
b, NhiÒu khi viÖc thªm bít ph¶i dùa trªn viÖc x¸c ®Þnh ®iÓm r¬i (®iÓm cùc trÞ).
Bµi1: Cho a ; b ; c ; d lµ c¸c sè d−¬ng CM r»ng :
a 2 b2 c2 d 2
+ + +
≥ a+b+c+d
b
c
d
a
NhËn xÐt: NhËn thÊy dÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = d .
Khi Êy :
Gi¶i :
Ta cã
T−¬ng tù ta cã
a2
=b
b
:
:
...........
a2
a2
+b ≥ 2
.b = 2a
b
b
b2
+c ≥
c
2b
c2
+d ≥
d
2c
d2
+a ≥
a
2d
9
Nh− vËy :
Hay
a2 b2 c2 d 2
+
+
+
+ a + b + c + d ≥ 2(a + b + c + d )
b
c
d
a
a 2 b2 c2 d 2
+ + +
≥ a+b+c+d
b
c d
a
Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh , dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù a = b = c = d .
Bµi2: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng CM r»ng :
a2
b2
c2
a+b+c
.
+
+
≥
b+c c+a a+b
2
NhËn xÐt : NhËn thÊy dÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c .
Gi¶i :
Khi Êy :
a2
b+c
........
=
b+c
4
Ta cã :
a2
b+c
a2 b + c
+
≥2
.
=a
b+c
4
b+c 4
T−¬ng tù ta cã :
VËy cã :
Hay :
b2
a+c
+
≥
a+c
4
b
c2
a+b
+
≥
a+b
4
c
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
+
≥ a+b+c
b+c a+c a+b
2
a2
b2
c2
a+b+c
.
+
+
≥
b+c c+a a+b
2
Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh , dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù a = b = c .
* B»ng c¸ch trªn mêi c¸c em lµm tiÕp bµi to¸n sau :
Bµi3: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng . CM r»ng:
a 3 b3 c3
a,
+
+
≥ ab + ac + bc.
b
c
a
b,
bc ac ab
+
+
≥ a+b+c .
a
b
c
10
3, Ph−¬ng ph¸p t¸ch :
Ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc ¸p dông cho lo¹i bµi : t−ëng nh− ®· cã thÓ ¸p dông ®−îc (1)
ngay, nh−ng dÊu b»ng l¹i kh«ng thÓ x¶y ra. Do vËy tr−íc hÕt chóng ta ph¶i x¸c
®Þnh ®−îc ®iÓm r¬i ®Õ t¸ch mét c¸ch hîp lý th× míi ¸p dông ®−îc . Lo¹i bµi tËp
nµy kh¸ phæ biÕn , ta sÏ dµnh nhiÒu thêi l−îng h¬n cho lo¹i bµi tËp nµy.
Bµi 1 : Cho a ≥ 10; b ≥ 100; c ≥ 1000 T×m GTNN cña :
1
a
1
b
1
c
A = a+b+c+ + + .
NhËn xÐt: Víi GT trªn th× chóng ta ph¶i quan t©m ®Õn vµ "tiªu ho¸" hÕt l−îng
1 1 1
+ +
a b c
Dù ®o¸n ®iÓm r¬i lµ : a = 10 ; b = 100 ; c = 1000 .
Khi ®ã :
1
1
1
a 1
b
.
; =
; =
=
a 100 b 10000 c 1000000
HD gi¶i: Cã A =
99a
a
1 9999b
b
1 999999c
c
1
+(
+ )+
+(
+ )+
+(
+ )
100 100 a 10000 10000 b 1000000 1000000 c
≥
a 1 9999.100
b
c
99.10
1 999999.1000
1
. +
. +
.
+2
+2
+2
100
100 a
10000
10000 b
1000000
1000000 c
=
99 2 9999
2
999999
2
= ......
+ +
+
+
+
10 10 100 100
1000
1000
Bµi 2: Cho x ; y lµ hai sè d−¬ng tho¶ m·n : x + y = 1 . T×m GTNN cña:
B = (x 2 +
1
1
)( y 2 + 2 ) .
2
y
x
NhËn xÐt : Ta cã B = x 2 y 2 +
1
+2
x y2
2
Víi GT trªn ta cÇn tiªu ho¸ hÕt l−îng x2y2
Dù ®o¸n ®iÓm r¬i lµ : x = y =
1
2
11
x2 y2 =
Khi ®ã
Gi¶i : Ta cã B = ( x 2 y 2 +
Cã x 2 y 2 +
1
1
= .
2 2
16
256 x y
255
1
)+
2 2
256 x 2 y 2
256 x y
1
1
1
≥ 2 x2 y2.
=
2 2
2 2
8
256 x y
256 x y
Vµ ( x + y ) 2 ≥ 4 xy Ù
1
8
VËy B ≥ +
1
≥4
xy
Ù
1
≥ 16
x y2
2
255
.16 + 2 = ....
256
Bµi 3: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng tho¶ m·n : a + b + c ≤
1
a
1
b
3
T×m GTNN cña:
2
1
c
A = a+b+c+ + + .
NhËn xÐt: Víi GT trªn th× chóng ta ph¶i quan t©m ®Õn vµ "tiªu ho¸" hÕt l−îng
1 1 1
+ +
a b c
Dù ®o¸n ®iÓm r¬i lµ a = b = c =
1
a
1
b
1
a
1
a
1
2
khi ®ã
1
1
1
= 4a; = 4b; = 4c
a
b
c
1
c
Gi¶i : Cã A = (4a + ) + (4b + ) + (4c + ) − 3(a + b + c)
Ta cã : 4a + ≥ 2 4a. = 4
T−¬ng tù cã : 4b + ≥
1
b
4
1
≥
c
4
4c +
Cßn - 3 ( a+b+c ) ≥ −
VËy A ≥
Amin =
9
2
15
1
dÊu ®¼ng thøc x¶y ra Ù a = b = c =
2
2
15
2
Ù a=b=c=
1
2
12
Bµi 4: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng tho¶ m·n :
1
a
1
b
1 1 1
+ + ≥ 6 T×m GTNN cña:
a b c
1
c
A = a+b+c+ + + .
NhËn xÐt: Víi GT trªn th× chóng ta ph¶i quan t©m ®Õn vµ "tiªu ho¸" hÕt l−îng
a + b +c
Dù ®o¸n ®iÓm r¬i lµ a = b = c =
Gi¶i :Ta cã:
T−¬ng tù
1
2
khi ®ã
a+
1
1
≥ 2 a.
=1
4a
4a
b+
1
≥
4b
1
c+
1
≥
4c
1
a=
1
1
1
;c =
;b =
4c
4b
4a
9
3 1 1 1
( + + )≥
2
4 a b c
Cßn
VËy
A≥
Amin =
15
1
dÊu ®¼ng thøc x¶y ra Ù a = b = c =
2
2
15
2
1
2
Ù a=b=c= .
*NhËn thÊy : Bµi 3 vµ Bµi 4 chØ lµ mét v× víi c¸c sè d−¬ng a ; b ; c ta cã :
1 1 1
(a + b + c)( + + ) ≥ 9
a b c
Nªn : a + b + c ≤
1 1 1
+ + ≥6
a b c
3
Ù
2
Tuy nhiªn mçi bµi l¹i ph¶i cã c¸ch t¸ch kh¸c nhau .Ta sÏ cã bµi to¸n míi nÕu ta
thay gi¶ thiÕt lµ : a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng tho¶ m·n:
a2 + b2 + c2 ≤
3
4
13
5
⎧
⎪2a + 3b ≤ 2
⎪
5
⎪
⎨2b + 3c ≤
2
⎪
5
⎪
⎪2c + 3a ≤ 2
⎩
HoÆc:
HoÆc :
5
⎧ 2
2
⎪3a + 2b ≤ 4
⎪
5
⎪ 2
2
⎨3b + 2c ≤
4
⎪
5
⎪ 2
2
⎪3c + 2a ≤ 4
⎩
Bµi 5 : Cho x ; y lµ hai sè d−¬ng tho¶ m·n : x 2 + y 2 = 1 T×m GTNN cña:
1
y
1
x
C = (1 + x)(1 + ) + (1 + y )(1 + )
x
y
1
x
y
x
1
y
NhËn xÐt : C = x + y + + + + + 2
Víi GT trªn th× chóng ta ph¶i quan t©m ®Õn vµ "tiªu ho¸" hÕt l−îng : x + y
Dù ®o¸n ®iÓm r¬i lµ : x = y =
Gi¶i: Ta cã : C = ( x +
Cã: x +
T−¬ng tù : y +
2
1
1
khi ®ã : x = ; y =
2y
2x
2
1
1
x y 1 1 1
) + (y + ) + ( + ) + ( + ) + 2
2 x y
2y
2x
y x
1
1
≥ 2 x.
= 2
2x
2x
1
≥
2y
2
x y
+ ≥2
y x
1
1 1 1
( + )≥
=
2 x y
xy
VËy
1
4
2
x y
2
≥
2
= 2
x + y2
2
C ≥ 4 + 3 2 ........
Bµi 5 : Cho x ; y lµ hai sè d−¬ng tho¶ m·n : x + y ≥ 6
6
x
D = 3x + 2 y + +
T×m GTNN cña:
8
y
NhËn xÐt: Víi GT trªn th× chóng ta ph¶i quan t©m ®Õn vµ "tiªu ho¸" hÕt l−îng
6 8
+
x y
14
Râ rµng víi x = y = 3 kh«ng gi¶i quyÕt ®−îc vÊn ®Ò, ph¶i ch¨ng x ≠ y ?
6 3 y 8
= x; =
x 2 2 y
Thö tíi x = 2 ; y = 4 th× æn . Khi ®ã :
D=
Gi¶i : Ta cã
3
6 y 8
3
( x + y) + x + + +
2
2
x 2 y
3 6
3
y 8
D ≥ .6 + 2
x. + 2 . = ... = 19 dÊu ®¼ng thøc x¶y ra Ù x = 2 ; y = 4
2 x
2 y
2
VËy Dmin = 19 Ù x = 2 ; y = 4 .
Bµi 7: Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh : x2 - 4x +7 - m = 0 (1)
víi m lµ tham sè . T×m GTLN cña : P = x1 x 2 −
1
.
7 x2 x2
NhËn xÐt: Tr−íc hÕt ta ph¶i t×m m ®Ó (1) cã nghiÖm , ®ã còng lµ c¬ së ®Ó x¸c
®Þnh ®iÓm r¬i .
Gi¶i : Ptr×nh (1) cã nghiÖm Ù Δ ≥ 0
Ù 4−7 + m ≥ 0 Ùm ≥ 3
Khi ®ã theo Vi-et ta cã : x1x2 = 7 - m
Nªn : P = 7 − m −
Ta cã : m +
1
1
= 7 − (m + )
m
m
1 8
1
1
8
1 1 10
= m + ( m + ) ≥ .3 + 2 m. =
m 9
9
m
9
9 m
3
dÊu ®¼ng thøc x¶y ra Ù m = 3 ( T/m ®iÒu kiÖn)
Nªn P = 7 − m −
VËy Pmax =
1
1
10 11
= 7 − (m + ) ≤ 7 −
=
3
3
m
m
11
Ù m = 3.
3
*T−¬ng tù mêi c¸c em gi¶i c¸c b¹i tËp:
Bµi 8: Cho : a ≥ 5; ab ≥ 20; abc ≥ 60 CM r»ng :
a, a + b + c ≥ 12
b, a 2 + b 2 + c 2 ≥ 50
Bµi9: Cho :a ; b ; c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tho¶ m·n :
15
a ≥ 5; ab ≥ 20; abc ≥ 60 . CMr»ng : a = 5 ; b = 4 ; c = 3
Bµi 10 : Cho : a ≥ 3; b ≥ 4; abc ≥ 24
CMr»ng : a + b + c ≥ 9
4/ Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô:
Ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc ¸p dông cho c¸c bµi to¸n ph¶i th«ng qua phÐp ®Æt Èn
phô vµ biÕn ®æi míi xuÊt hiÖn d¹ng nghÞch ®¶o.
Bµi to¸n 1: Cho a ; b ; c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. t×m GTNN cña:
A=
Hd : §Æt
Khi ®ã
4a
9b
16c
+
+
b+c−a a +c −b a +b−c
b + c - a = 2x
th× cã : x , y , z d−¬ng vµ a = y + z
a + c - b = 2y
b=z+x
a + b - c = 2z
c =x+y
2. A = 4.
=(
y+z
z+x
x+ y
+ 9.
+ 16.
x
y
z
4 y 9x
4 z 16 x
9 z 16 y
)+( +
)
+ )+( +
x
y
x
z
y
z
≥ ................
Bµi to¸n2: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng . CMr»ng :
P=
25a 16b
c
>8 .
+
+
b+c c+a a+b
HDÉn: §Æt : b + c = 2x
c + a = 2y
a + b = 2z
Ta cã : a = -x + y + z ; b = x – y + z ; c = x + y – z
vµ x ; y ; z
lµ c¸c sè d−¬ng .
25(− x + y + z ) 16( x − y + z ) x + y − z
+
+
2x
2y
2z
25(− x + y + z ) 16( x − y + z ) x + y − z
=> 2 P =
+
+
x
y
z
25 y 16 x
25 z x
16 z y
)+(
= −42 + (
+
+ )+(
+ )
x
y
x
z
y
z
Khi ®ã ta cã : P =
> ……
Bµi 3: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng . CMr»ng :
a
b
c
3
+
+
≤
2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 4
16
H−íng dÉn: §Æt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b th× suy ra:
x; y; z lµ c¸c sè d−¬ng vµ:
3x – (y+z) = 4a; 3y – (x+z) = 4b; 3z – (x+y) = 4c.
a
b
c
ta cã:
+
+
2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b
3x − ( y + z ) 3 y − ( x + z ) 3z − ( x + y)
+
+
4T =
x
y
z
x y
x z
y z
=9−( + )−( + )−( + )
y x
z x
z y
= ..............
Tõ ®ã víi T =
*B»ng c¸ch t−¬ng tù mêi c¸c em gi¶i bµi to¸n sau:
Bµi 4: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng . CMr»ng :
3
a
b
c
+
+
≥ .
b+c c+a a+b 2
III .H−íng khai th¸c më réng:
1/H−íng1: Sö dông c¸c B§T hÖ qu¶
a/ Ta cã :
Ù
Ù
Ù
Ù
a b
+ ≥ 2 víi a . b d−¬ng .
b a
a
b
+1+ +1 ≥ 4
b
a
a+b a+b
+
≥4
b
a
1 1
(a + b)( + ) ≥ 4
a b
1 1
4
(2)
+ ≥
a b a+b
b/ Tæng qu¸t ho¸ bµi to¸n ta cã:
1
a
1
b
1
c
+ (a + b + c)( + + ) ≥ 9 víi a , b , c lµ c¸c sè d−¬ng.
+ (a1 + a 2 + ....... + a n )(
1
1
1
+
+ ....... + ) ≥ n 2 .víi mäi ai > 0 ; i = 1;2;…;n .
a1 a 2
an
c/¸p dông gi¶i c¸c bµi tËp:
Bµi tËp 1: Cho a ; b lµ hai sè d−¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a + b = 1 .
1
1
+ 2
.
ab a + b 2
2
3
B=
+ 2
.
ab a + b 2
1
2
C= 2
+
+ 4ab.
2
ab
a +b
T×m GTNN cña: A =
17
Bµi tËp 2 : Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng . CMr»ng :
1
1
1
1 1 1 1
+
+
≤ ( + + ).
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 a b c
1
1
1
1
1
1
.
b,
+
+
≥
+
+
a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b
a,
Bµi tËp 3:CMr»ng : Víi a ; b ; c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× :
1
1
1
1 1 1
+
+
≥ 2( + + ). víi p lµ nöa chu vi .
p −a p −b p −c
a b c
Bµi tËp 4: Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng tho¶ m·n : a + b + c ≤ 3 CMr»ng:
1
1
1
3
+
+
≥ .
a +1 b +1 c + a 2
1
1
1
3
b,
+
+
≥ .
1 + ab 1 + bc 1 + ca 2
a,
Bµi tËp 5: Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng tho¶ m·n : a + b + c ≤ 1 CMr»ng:
1
1
1
+ 2
+ 2
≥ 9.
a + 2bc b + 2ca c + 2ab
2
Bµi tËp 6: Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng tho¶ m·n :
1 1 1
+ + = 4 CMr»ng:
a b c
1
1
1
+
+
≤ 1.
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
Bµi tËp 7: Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng tho¶ m·n : a 2 + b 2 + c 2 ≤ 3 T×m GTNN:
P=
1
1
1
+
+
1 + ab 1 + ac 1 + bc
Bµi tËp 8: Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng tho¶ m·n : a + b + c = 1 CMr»ng:
3
2
+ 2
≥ 14
ab + ac + bc a + b 2 + c 2
Bµi tËp 9: a) Cho a ≥ 3 . T×m GTNN cña A = a −
b) Cho 0 ≤ a ≤
1
a
3
1
T×m GTNN cña B = 2a +
2
b
Bµi tËp 10: Cho a ; b lµ 2 sè d−¬ng tho¶ m·n : a + b =
P=
2009
T×m GTNN cña:
2008
2008
1
+
2008
a
Bµi tËp 11: Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng tho¶ m·n : T×m GTNN cña:
A=
a
b
c
b+c c+a a+b
+
+
+
+
+
b+c c+a a+b
a
b
c
18
c/TriÓn khai ®Ò tμi
Trong viÖc gi¶ng d¹y bé m«n to¸n, ë mçi ®¬n vÞ kiÕn thøc më , t«i lu«n h−íng
dÉn häc sinh theo h−íng : më réng, tæng qu¸t ho¸, t×m h−íng ¸p dông kiÕn thøc .
§Æc biÖt trong phÇn kiÕn thøc vÒ bÊt ®¼ng thøc , x¸c ®Þnh ®©y lµ phÇn kiÕn thøc
khã ®èi víi häc sinh , nh−ng nã rÊt quan träng trong viÖc rÌn kh¶ n¨ng t− duy s¸ng
t¹o , ph¸t triÓn kh¶ n¨ng tù häc tù nghiªn c−ó cho häc sinh .T«i ®· triÓn khai theo
tõng b−íc ,®èi víi tõng ®èi t−îng häc sinh .
D/KÕt qu¶ ®¹t ®−îc
Víi viÖc triÓn khai ®Ò tµi nµy th× b−íc ®Çu t«i ®· thu ®−îc mét sè kÕt qu¶
®¸ng khÝch lÖ:
+ Häc sinh ®· tù tin vµ chñ ®éng h¬n trong viÖc häc phÇn kiÕn thøc nµy.
+ §a sè c¸c em ®· tù gi¶i quyÕt ®−îc c¸c bµi to¸n vÒ B§T vµ c¸c bµi to¸n cã
liªn quan trong ch−¬ng tr×nh.
+ C¸c em ë ®èi t−îng kh¸, giái ®· gi¶i ®−îc c¸c bµi to¸n trong c¸c s¸ch tham
kh¶o.
+ KhÝch lÖ h¬n n÷a kh¶ n¨ng chñ ®éng s¸ng t¹o trong viÖc häc tËp bé m«n.
E /KÕt luËn
Trong viÖc d¹y vµ häc nhÊt lµ ®èi víi m«n to¸n th× viÖc tæ chøc cho häc sinh
chñ ®éng s¸ng t¹o trong viÖc n¾m b¾t vµ vËn dông kiÕn thøc lµ rÊt quan träng .Sau
®ã viÖc h−íng dÉn cho häc sinh tù häc, tù nghiªn cøu lµ rÊt cÇn thiÕt. Cho nªn ë
mçi ®¬n vÞ kiÕn thøc nhÊt lµ ®èi víi phÇn kiÕn thøc më tr−íc hÕt ng−êi d¹y ph¶i
®Çu t− thêi gian t×m tßi nghiªn cøu kiÕn thøc, t×m ph−¬ng ph¸p h−íng dÉn cho häc
sinh häc tËp mét c¸ch tÝch cùc chñ ®éng. Cã nh− vËy th× viÖc d¹y vµ häc míi ®¹t
hiÖu qu¶ cao, vµ tr−íc hÕt lµ rÌn cho häc sinh nh÷ng phÈm chÊt cña ng−êi lao ®éng
míi n¨ng ®éng s¸ng t¹o.
Tuy nhiªn víi kinh nghiÖm b¶n th©n cßn h¹n chÕ, t«i mong nhËn ®−îc c¸c ý kiÕn
®ãng gãp cña tÊt c¶ c¸c b¹n .
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n !
Phong H¶i ,ngμy 20/3/2011
Ng−êi thùc hiÖn ®Ò tμi
§µo Kh¸nh Linh
19
- Xem thêm -
.PDF 
19 
108 
94 
