Kinh nghiem huong dan dung bat dang thuc cosi nghich dao trong giai toan

  • Số trang: 19 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 17 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

sỞ gi¸o dôc VÀ ĐÀO TẠO tr−êng tHPT SỐ 3 BẢO THẮNG ********* ********* S¸ng kiÕn kinh nghiÖm “Kinh nghiÖm h−íng dÉn häc sinh ph−¬ng ph¸p sö dông bÊt ®¼ng thøc c«-si d¹ng nghÞch ®¶o” ĐÀO KHÁNH LINH Chức vụ : Hiệu trưởng Ng−êi thùc hiÖn : N¨m 2011. A- PhÇn më ®Çu I/ Lý do chän ®Ò tμi: Trong thêi kú ®æi míi cña ®Êt n−íc th× mét trong nh÷ng yªu cÇu cña nÒn gi¸o dôc lµ ph¶i t¹o ra mét líp ng−êi míi, n¨ng ®éng s¸ng t¹o. Hä s½n sµng tiÕp nhËn c¸i míi, nh÷ng tinh hoa tri thøc khoa häc cña nh©n lo¹i, ¸p dông mét c¸ch khoa häc vµo thùc tiÔn ®Êt n−íc. VËy lµm thÕ nµo ®Ó ph¸t huy ®−îc tÝnh chñ ®éng s¸ng t¹o cña häc sinh ®©y lµ mét trong nh÷ng yªu cÇu tr−íc m¾t, nh»m tËp d−ît kh¶ n¨ng s¸ng t¹o cña häc sinh ngay tõ khi cßn ngåi trªn ghÕ nhµ tr−êng. HiÖn nay s¸ch gi¸o khoa m«n to¸n míi ®−îc biªn so¹n theo h−íng ®æi míi, ph−¬ng ph¸p d¹y häc hiÖn nay lµ: TÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh, kh¬i dËy vµ ph¸t triÓn kh¶ n¨ng tù häc, nh»m h×nh thµnh cho häc sinh t− duy tÝch cùc ®éc lËp s¸ng t¹o n©ng cao n¨ng lùc ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò rÌn luyÖn kh¶ n¨ng vËn dông kiÕn thøc vµo thùc tiÔn, t¸c ®éng ®Õn t×nh c¶m, ®em l¹i niÒm vui vµ høng thó häc tËp cho häc sinh. S¸ch gi¸o khoa míi cã nh÷ng bµi to¸n më, môc cã thÓ em ch−a biÕt nh»m kh¬i dËy vµ ®Þnh h−íng cho c¸c em sù s¸ng t¹o. Tuy nhiªn sù h−íng dÉn chØ b¶o tËn t×nh cña ng−êi thµy lµ rÊt cÇn thiÕt. Néi dung kiÕn thøc vÒ bÊt ®¼ng thøc ®−îc tr×nh bµy trong ch−¬ng tr×nh PTTH - §¹i sè 10 . §©y lµ mét phÇn kiÕn thøc hay nh−ng khã ®èi víi häc sinh vÒ BÊt ®¼ng thøc C«-Si . Nh»m giíi thiÖu häc sinh t×m tßi, kh¸m ph¸ vµ sö dông nã. VËy ®Ó gióp c¸c em lµm viÖc nµy th× tr−íc hÕt ng−êi thµy ph¶i nghiªn cøu, h−íng dÉn vÒ mÆt ph−¬ng ph¸p, cung cÊp vµ h−íng dÉn cho häc sinh thùc hiÖn trªn c¸c bµi to¸n ®iÓn h×nh c¬ b¶n t¹o cho häc sinh tiÒn ®Ò ®Ó c¸c em tù häc, tù nghiªn cøu. §øng tr−íc yªu cÇu trªn t«i xin tr×nh bµy mét phÇn nhá trong ch−¬ng tr×nh d¹y vÒ bÊt ®¼ng thøc ®ã lµ: "H−íng dÉn häc sinh mét sè ph−¬ng ph¸p sö dung bÊt ®¼ng thøc C«-Si d¹ng nghÞch ®¶o" 2 II- Môc ®Ých nghiªn cøu: ChØ ra mét sè ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-Si d¹ng nghÞch ®¶o ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m cùc trÞ. H−íng dÉn häc sinh sö dông vµo gi¶i to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ t×m cùc trÞ (®èi víi häc sinh kh¸ giái ) . III- Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu +Chøng minh bÊt ®¼ng thøc C«-Si : Tr−êng hîp víi hai sè kh«ng ©m. +¸p dông ®èi víi hai sè d−¬ng cã d¹ng nghÞch ®¶o. +Ph©n lo¹i mét bµi tËp ®iÓn h×nh vµ x©y dùng ph−¬ng ph¸p gi¶i nhê ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-Si d¹ng nghÞch ®¶o . +Tham kh¶o ý kiÕn ®ång nghiÖp vµ nhµ tr−êng. +¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y cho häc sinh. +Rót kinh nghiÖm tõ thùc tÕ gi¶ng d¹y ®Ó tiÕp tôc hoµn thiÖn vµo c¸c n¨m sau. IV- Ph¹m vi vμ ®èi t−îng nghiªn cøu +Nghiªn cóu bÊt ®¼ng thøc C«-Si d¹ng nghÞch ®¶o vµ c¸c bµi to¸n ¸p dông . +Chän c¸c bµi to¸n thÝch hîp cho viÖc gi¶ng d¹y cho häc sinh líp 10 diÖn kh¸, giái. B - phÇn néi dung I/BÊt ®¼ng thøc C«-Si: 1/BÊt ®¼ng thøc C«-Si (§èi víi hai sè kh«ng ©m) +Víi hai sè kh«ng ©m a vµ b ta cã : a+b ≥ ab 2 (1) BÊt ®¼ng thøc nµy cßn gäi lµ bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n do nhµ to¸n häc C«-Si (Cauchy) ngõêi Ph¸p (1789-1857) nghiªn cøu. +Chøng minh: Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m ta cã : ( a − b )2 ≥ 0 Ù a − 2 ab + b ≥ 0 Ù a + b ≥ 2 ab Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh , dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù a = b . 3 2/BÊt ®¼ng thøc C«-Si d¹ng nghÞch ®¶o +Ta cã : x y + ≥ 2 Víi x.y > 0 y x y x vµ b = lµ hai sè d−¬ng ta cã : y x ThËt vËy : ¸p dông (1) víi a = x y + ≥2 y x x y . =2 y x Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh , dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù *Chó ý: a = x y = Ù x2 = y2 Ù x = y y x (V× x vµ y cïng dÊu ) x y vµ b = lµ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau . y x II/ ¸p dông : §Ó ¸p dông bÊt ®¼ng thøc trªn ta cÇn biÕn ®æi lµm xuÊt hiÖn c¸c biÓu thøc cã d¹ng nghÞch ®¶o " hoμn toμn" hoÆc “ kh«ng hoμn toμn “ tuú thuéc vµo c¸i ®Ých mµ bµi to¸n cÇn ®¹t tíi . VËy biÕn ®æi nh− thÕ nµo ? cã nh÷ng ph−¬ng ph¸p nµo ?. 1/Ph−ong ph¸p biÕn ®æi ®ång nhÊt: a, Mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n ta chØ cÇn thùc hiÖn phÐp tÝnh nh©n hoÆc chia.....lµ xuÊt hiÖn d¹ng nghÞch ®¶o. +Bµi to¸n 1: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng , CM r»ng : a b c (1 + )(1 + )(1 + ) ≥ 8 b c a b c Gi¶i: Ta cã VT = (1 + + c a (1) c a a + )(1 + ) a b c b c b a a b c b a c = 1+ + + + + + +1 a b b a a c c a b c c b = 2+( + )+( + )+( + ) ≥ 2+2 a b a c b c . + 2 . + 2 . = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 = VP b a c a c b Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh, dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù a = b = c . 4 * Víi ph−¬ng ph¸p trªn mêi c¸c em lµm tiÕp bµi to¸n sau: +Bµi to¸n 2: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng , CM r»ng : 1 1 1 (a + b + c)( + + ) ≥ 9 . a b c * Bµi nµy mêi c¸c em tù thùc hiÖn . +Bµi to¸n 3: Cho x lµ sè d−¬ng, t×m GTNN cña : A= x2 + 2x + 4 . x -NhËn xÐt: Víi x d−¬ng ta chØ cÇn thùc hiÖn phÐp chia tö cho mÉu lµ xuÊt hiÖn d¹ng nghÞch ®¶o. -Gi¶i: Cã : A = x2 2x 4 4 + + = x+ +2 x x x x 4 x 4 x Ta cã : x + ≥ 2 x. = 4 x+ Nªn 4 +2≥6 x Hay A ≥ 6 dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù x = 4 x Ù x = 2 (v× x > 0 ) VËy Amin = 6 Ù x = 2. +Bµi to¸n 4: Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d−¬ng tho¶ m·n a + b +c = 1. Chøng minh r»ng: a + bc b + ca c + ab + + ≥ 2. b+c c+a a+b - NhËn xÐt: Cã a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a) T−¬ng tù cã b + ca = (b + a)(b + c) c + ab = (c + a)(c + b) do ®ã ta cã: VT = (a + b)(a + c) (b + a )(b + c) (c + a)(c + b) + + ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si ta cã b+c c+a a+b (a + b)(a + c) (b + a)(b + c) + ≥ 2(a + b) b+c c+a 5 (a + b)(a + c) (c + a)(c + b) + ≥ 2(a + c) b+c a+b (b + a)(b + c) (c + a )(c + b) + ≥ 2(b + c) a+c a+b VËy 2. VT ≥ 4(a + b + c) = 4 hay VT ≥ 2 ⇒ §PCM §¼ng thøc x¶y ra Ù a = b = c = 1 3 * Mêi c¸c em lµm tiÕp bµi to¸n sau: +Bµi to¸n4 : T×m GTNN cña : B= x 2 + 15 x + 16 3x C= 4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356 . x2 + 2x + 5 (víi x d−¬ng ) . Gîi ý : Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc ta ®−îc : C = 4.( x 2 + 2 x + 5) + 256 . x + 2x + 5 2 b, §«i khi chóng ta ph¶i "t¸ch" , "nh©n trén" råi chia míi xuÊt hiÖn ®−îc d¹ng nghÞch ®¶o. +Bµi to¸n5 : T×m GTNN cña : D= ( x 2 + 16 x + 48)( x 2 + 12 x + 27) x2 -NhËn xÐt: NÕu chia ngay th× D = ( x + (víi x lµ sè d−¬ng ) . 48 27 + 16)( x + + 12) Sau ®ã ¸p dung (1) th× x x dÊu b»ng kh«ng thÓ x¶y ra v× x kh«ng ®ång thêi b»ng 48 27 vµ . Nªn ta ph¶i t×m x x c¸ch "cμo b»ng" hai sè 48 vµ 27 . May thay c¶ hai ®a thøc trªn tö ®Òu ph©n tÝch ®−îc thµnh nh©n tö !. -Gi¶i : Ta cã : D= = ( x + 12)( x + 3)( x + 9)( x + 4) x.x ( x 2 + 15.x + 36)( x 2 + 13.x + 36) x.x 6 = (x + 36 36 + 15)( x + + 13) x x ViÖc lµm tiÕp theo lµ rÊt ®¬n gi¶n ! +Bµi to¸n 6 : T×m GTNN cña : E= ( x 2 + 11x + 30)( x 2 + 22 x + 120) (víi x lµ sè d−¬ng ) x2 * Bµi nµy mêi c¸c em tù thùc hiÖn . 2/Ph−¬ng ph¸p thªm bít : a/ Ta cã thÓ thªm vµ bít cïng mét sè vµo biÓu thøc råi biÕn ®æi lµm xuÊt hiÖn d¹ng nghÞch ®¶o. . +Bµi to¸n 1 : T×m GTNN cña : A= x 5 + 1− x x ( Víi 0 < x < 1 ) . NhËn xÐt: §iÒu kiÖn 0 < x < 1 chØ lµm cho A x¸c ®Þnh vµ c¸c h¹ng tö ®Òu d−¬ng. Ph¶i lµm xuÊt hiÖn nh©n tö (1 - x) Trªn tö cña sè h¹ng thø hai Ta cã Gi¶i : Ta cã 5 5(1 − x) −5 = x x Ta cã : A = x 5 + −5+5 1− x x = x 5 − 5x + +5 1− x x x 5(1 − x) x 5(1 − x) + ≥2 . =2 5 1− x x 1− x x Nªn A ≥ 2 5 + 5 dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù x 5(1 − x) = 1− x x Ù x2 = 5( 1 - x )2 ........... Ù x = VËy A min = 2 5 + 5 Ùx= 5− 5 . 4 +Bµi to¸n 2 : T×m GTNN cña : 7 5− 5 4 B= 2 1 + ( Víi 0 < x < 1 ) 1− x x NhËn xÐt: Ph¶i ®ång thêi lµm xuÊt hiÖn nh©n tö x trªn tö vµ nh©n tö (1 - x ) d−íi mÉu. Cã 2 2x −2 = 1− x 1− x Cßn Gi¶i : Ta cã B = = Ta cã 1 1− x −1 = x x 2 1 − 2 + −1+ 3 1− x x 2x 1 − x + +3 1− x x 2x 1 − x 2x 1 − x + ≥2 . =2 2 1− x x 1− x x Nªn cã B ≥ 2 2 + 3 dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù 2x 1− x = 1− x x ......... Ù x = 2 − 1 VËy B min = 2 2 +3 Ù x = 2 −1 . Bµi3: Cho a ; b ; c ; d lµ c¸c sè d−¬ng CM r»ng : 1 1 1 3 + + ≥ a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) abc + 1 +H−íng dÉn: ⎡ abc + 1 ⎤ ⎡ abc + 1 ⎤ ⎡ abc + 1 ⎤ (1) ⇔ ⎢ + 1⎥ + ⎢ + 1⎥ + ⎢ + 1⎥ ≥ 6 ⎣ a(b + 1) ⎦ ⎣ b(c + 1) ⎦ ⎣ c(a + 1) ⎦ ⎡ a +1 b(c + 1) ⎤ ⎡ b + 1 c(a + 1) ⎤ ⎡ c + 1 a(b + 1) ⎤ + +⎢ + ≥6 ⇔⎢ + +⎢ ⎥ ⎥ b + 1 ⎦ ⎣ b(c + 1) c + 1 ⎦ ⎣ c(a + 1) a + 1 ⎥⎦ ⎣ a(b + 1) ⎡ a +1 a(b + 1) ⎤ ⎡ b + 1 b(c + 1) ⎤ ⎡ c + 1 c(a + 1) ⎤ ≥6 +⎢ + +⎢ + ⇔⎢ + ⎥ ⎥ a + 1 ⎦ ⎣ b(c + 1) b + 1 ⎦ ⎣ c(a + 1) c + 1 ⎥⎦ ⎣ a(b + 1) ⇔ ......... 8 *T−¬ng tù häc sinh cã thÓ gi¶i bµi to¸n sau: +Bµi to¸n 4 : T×m GTNN cña : 4 x +1 C = 3x + D= (víi x > - 1 ) 2 x + 2 x −1 ( víi x > 1 ) ⎡ x2 ⎤ E = ( x + 1) + ⎢ + 2⎥ ⎣ x +1 ⎦ 2 2 ⎡ x2 + 2x + 2 ⎤ H−íng dÉn : E = ( x + 1) + ⎢ ⎥ ⎣ x +1 ⎦ ( víi x ≠ −1 ) 2 2 1 ⎤ = ( x + 1) + ⎡⎢( x + 1) + x + 1⎥⎦ ⎣ 2 2 = 2( x + 1) 2 + 1 +2 ( x + 1) 2 b, NhiÒu khi viÖc thªm bít ph¶i dùa trªn viÖc x¸c ®Þnh ®iÓm r¬i (®iÓm cùc trÞ). Bµi1: Cho a ; b ; c ; d lµ c¸c sè d−¬ng CM r»ng : a 2 b2 c2 d 2 + + + ≥ a+b+c+d b c d a NhËn xÐt: NhËn thÊy dÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = d . Khi Êy : Gi¶i : Ta cã T−¬ng tù ta cã a2 =b b : : ........... a2 a2 +b ≥ 2 .b = 2a b b b2 +c ≥ c 2b c2 +d ≥ d 2c d2 +a ≥ a 2d 9 Nh− vËy : Hay a2 b2 c2 d 2 + + + + a + b + c + d ≥ 2(a + b + c + d ) b c d a a 2 b2 c2 d 2 + + + ≥ a+b+c+d b c d a Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh , dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù a = b = c = d . Bµi2: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng CM r»ng : a2 b2 c2 a+b+c . + + ≥ b+c c+a a+b 2 NhËn xÐt : NhËn thÊy dÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c . Gi¶i : Khi Êy : a2 b+c ........ = b+c 4 Ta cã : a2 b+c a2 b + c + ≥2 . =a b+c 4 b+c 4 T−¬ng tù ta cã : VËy cã : Hay : b2 a+c + ≥ a+c 4 b c2 a+b + ≥ a+b 4 c a2 b2 c2 a+b+c + + + ≥ a+b+c b+c a+c a+b 2 a2 b2 c2 a+b+c . + + ≥ b+c c+a a+b 2 Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh , dÊu ®¼ng thøc s¶y ra Ù a = b = c . * B»ng c¸ch trªn mêi c¸c em lµm tiÕp bµi to¸n sau : Bµi3: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng . CM r»ng: a 3 b3 c3 a, + + ≥ ab + ac + bc. b c a b, bc ac ab + + ≥ a+b+c . a b c 10 3, Ph−¬ng ph¸p t¸ch : Ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc ¸p dông cho lo¹i bµi : t−ëng nh− ®· cã thÓ ¸p dông ®−îc (1) ngay, nh−ng dÊu b»ng l¹i kh«ng thÓ x¶y ra. Do vËy tr−íc hÕt chóng ta ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc ®iÓm r¬i ®Õ t¸ch mét c¸ch hîp lý th× míi ¸p dông ®−îc . Lo¹i bµi tËp nµy kh¸ phæ biÕn , ta sÏ dµnh nhiÒu thêi l−îng h¬n cho lo¹i bµi tËp nµy. Bµi 1 : Cho a ≥ 10; b ≥ 100; c ≥ 1000 T×m GTNN cña : 1 a 1 b 1 c A = a+b+c+ + + . NhËn xÐt: Víi GT trªn th× chóng ta ph¶i quan t©m ®Õn vµ "tiªu ho¸" hÕt l−îng 1 1 1 + + a b c Dù ®o¸n ®iÓm r¬i lµ : a = 10 ; b = 100 ; c = 1000 . Khi ®ã : 1 1 1 a 1 b . ; = ; = = a 100 b 10000 c 1000000 HD gi¶i: Cã A = 99a a 1 9999b b 1 999999c c 1 +( + )+ +( + )+ +( + ) 100 100 a 10000 10000 b 1000000 1000000 c ≥ a 1 9999.100 b c 99.10 1 999999.1000 1 . + . + . +2 +2 +2 100 100 a 10000 10000 b 1000000 1000000 c = 99 2 9999 2 999999 2 = ...... + + + + + 10 10 100 100 1000 1000 Bµi 2: Cho x ; y lµ hai sè d−¬ng tho¶ m·n : x + y = 1 . T×m GTNN cña: B = (x 2 + 1 1 )( y 2 + 2 ) . 2 y x NhËn xÐt : Ta cã B = x 2 y 2 + 1 +2 x y2 2 Víi GT trªn ta cÇn tiªu ho¸ hÕt l−îng x2y2 Dù ®o¸n ®iÓm r¬i lµ : x = y = 1 2 11 x2 y2 = Khi ®ã Gi¶i : Ta cã B = ( x 2 y 2 + Cã x 2 y 2 + 1 1 = . 2 2 16 256 x y 255 1 )+ 2 2 256 x 2 y 2 256 x y 1 1 1 ≥ 2 x2 y2. = 2 2 2 2 8 256 x y 256 x y Vµ ( x + y ) 2 ≥ 4 xy Ù 1 8 VËy B ≥ + 1 ≥4 xy Ù 1 ≥ 16 x y2 2 255 .16 + 2 = .... 256 Bµi 3: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng tho¶ m·n : a + b + c ≤ 1 a 1 b 3 T×m GTNN cña: 2 1 c A = a+b+c+ + + . NhËn xÐt: Víi GT trªn th× chóng ta ph¶i quan t©m ®Õn vµ "tiªu ho¸" hÕt l−îng 1 1 1 + + a b c Dù ®o¸n ®iÓm r¬i lµ a = b = c = 1 a 1 b 1 a 1 a 1 2 khi ®ã 1 1 1 = 4a; = 4b; = 4c a b c 1 c Gi¶i : Cã A = (4a + ) + (4b + ) + (4c + ) − 3(a + b + c) Ta cã : 4a + ≥ 2 4a. = 4 T−¬ng tù cã : 4b + ≥ 1 b 4 1 ≥ c 4 4c + Cßn - 3 ( a+b+c ) ≥ − VËy A ≥ Amin = 9 2 15 1 dÊu ®¼ng thøc x¶y ra Ù a = b = c = 2 2 15 2 Ù a=b=c= 1 2 12 Bµi 4: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng tho¶ m·n : 1 a 1 b 1 1 1 + + ≥ 6 T×m GTNN cña: a b c 1 c A = a+b+c+ + + . NhËn xÐt: Víi GT trªn th× chóng ta ph¶i quan t©m ®Õn vµ "tiªu ho¸" hÕt l−îng a + b +c Dù ®o¸n ®iÓm r¬i lµ a = b = c = Gi¶i :Ta cã: T−¬ng tù 1 2 khi ®ã a+ 1 1 ≥ 2 a. =1 4a 4a b+ 1 ≥ 4b 1 c+ 1 ≥ 4c 1 a= 1 1 1 ;c = ;b = 4c 4b 4a 9 3 1 1 1 ( + + )≥ 2 4 a b c Cßn VËy A≥ Amin = 15 1 dÊu ®¼ng thøc x¶y ra Ù a = b = c = 2 2 15 2 1 2 Ù a=b=c= . *NhËn thÊy : Bµi 3 vµ Bµi 4 chØ lµ mét v× víi c¸c sè d−¬ng a ; b ; c ta cã : 1 1 1 (a + b + c)( + + ) ≥ 9 a b c Nªn : a + b + c ≤ 1 1 1 + + ≥6 a b c 3 Ù 2 Tuy nhiªn mçi bµi l¹i ph¶i cã c¸ch t¸ch kh¸c nhau .Ta sÏ cã bµi to¸n míi nÕu ta thay gi¶ thiÕt lµ : a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng tho¶ m·n: a2 + b2 + c2 ≤ 3 4 13 5 ⎧ ⎪2a + 3b ≤ 2 ⎪ 5 ⎪ ⎨2b + 3c ≤ 2 ⎪ 5 ⎪ ⎪2c + 3a ≤ 2 ⎩ HoÆc: HoÆc : 5 ⎧ 2 2 ⎪3a + 2b ≤ 4 ⎪ 5 ⎪ 2 2 ⎨3b + 2c ≤ 4 ⎪ 5 ⎪ 2 2 ⎪3c + 2a ≤ 4 ⎩ Bµi 5 : Cho x ; y lµ hai sè d−¬ng tho¶ m·n : x 2 + y 2 = 1 T×m GTNN cña: 1 y 1 x C = (1 + x)(1 + ) + (1 + y )(1 + ) x y 1 x y x 1 y NhËn xÐt : C = x + y + + + + + 2 Víi GT trªn th× chóng ta ph¶i quan t©m ®Õn vµ "tiªu ho¸" hÕt l−îng : x + y Dù ®o¸n ®iÓm r¬i lµ : x = y = Gi¶i: Ta cã : C = ( x + Cã: x + T−¬ng tù : y + 2 1 1 khi ®ã : x = ; y = 2y 2x 2 1 1 x y 1 1 1 ) + (y + ) + ( + ) + ( + ) + 2 2 x y 2y 2x y x 1 1 ≥ 2 x. = 2 2x 2x 1 ≥ 2y 2 x y + ≥2 y x 1 1 1 1 ( + )≥ = 2 x y xy VËy 1 4 2 x y 2 ≥ 2 = 2 x + y2 2 C ≥ 4 + 3 2 ........ Bµi 5 : Cho x ; y lµ hai sè d−¬ng tho¶ m·n : x + y ≥ 6 6 x D = 3x + 2 y + + T×m GTNN cña: 8 y NhËn xÐt: Víi GT trªn th× chóng ta ph¶i quan t©m ®Õn vµ "tiªu ho¸" hÕt l−îng 6 8 + x y 14 Râ rµng víi x = y = 3 kh«ng gi¶i quyÕt ®−îc vÊn ®Ò, ph¶i ch¨ng x ≠ y ? 6 3 y 8 = x; = x 2 2 y Thö tíi x = 2 ; y = 4 th× æn . Khi ®ã : D= Gi¶i : Ta cã 3 6 y 8 3 ( x + y) + x + + + 2 2 x 2 y 3 6 3 y 8 D ≥ .6 + 2 x. + 2 . = ... = 19 dÊu ®¼ng thøc x¶y ra Ù x = 2 ; y = 4 2 x 2 y 2 VËy Dmin = 19 Ù x = 2 ; y = 4 . Bµi 7: Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh : x2 - 4x +7 - m = 0 (1) víi m lµ tham sè . T×m GTLN cña : P = x1 x 2 − 1 . 7 x2 x2 NhËn xÐt: Tr−íc hÕt ta ph¶i t×m m ®Ó (1) cã nghiÖm , ®ã còng lµ c¬ së ®Ó x¸c ®Þnh ®iÓm r¬i . Gi¶i : Ptr×nh (1) cã nghiÖm Ù Δ ≥ 0 Ù 4−7 + m ≥ 0 Ùm ≥ 3 Khi ®ã theo Vi-et ta cã : x1x2 = 7 - m Nªn : P = 7 − m − Ta cã : m + 1 1 = 7 − (m + ) m m 1 8 1 1 8 1 1 10 = m + ( m + ) ≥ .3 + 2 m. = m 9 9 m 9 9 m 3 dÊu ®¼ng thøc x¶y ra Ù m = 3 ( T/m ®iÒu kiÖn) Nªn P = 7 − m − VËy Pmax = 1 1 10 11 = 7 − (m + ) ≤ 7 − = 3 3 m m 11 Ù m = 3. 3 *T−¬ng tù mêi c¸c em gi¶i c¸c b¹i tËp: Bµi 8: Cho : a ≥ 5; ab ≥ 20; abc ≥ 60 CM r»ng : a, a + b + c ≥ 12 b, a 2 + b 2 + c 2 ≥ 50 Bµi9: Cho :a ; b ; c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tho¶ m·n : 15 a ≥ 5; ab ≥ 20; abc ≥ 60 . CMr»ng : a = 5 ; b = 4 ; c = 3 Bµi 10 : Cho : a ≥ 3; b ≥ 4; abc ≥ 24 CMr»ng : a + b + c ≥ 9 4/ Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: Ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc ¸p dông cho c¸c bµi to¸n ph¶i th«ng qua phÐp ®Æt Èn phô vµ biÕn ®æi míi xuÊt hiÖn d¹ng nghÞch ®¶o. Bµi to¸n 1: Cho a ; b ; c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. t×m GTNN cña: A= Hd : §Æt Khi ®ã 4a 9b 16c + + b+c−a a +c −b a +b−c b + c - a = 2x th× cã : x , y , z d−¬ng vµ a = y + z a + c - b = 2y b=z+x a + b - c = 2z c =x+y 2. A = 4. =( y+z z+x x+ y + 9. + 16. x y z 4 y 9x 4 z 16 x 9 z 16 y )+( + ) + )+( + x y x z y z ≥ ................ Bµi to¸n2: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng . CMr»ng : P= 25a 16b c >8 . + + b+c c+a a+b HDÉn: §Æt : b + c = 2x c + a = 2y a + b = 2z Ta cã : a = -x + y + z ; b = x – y + z ; c = x + y – z vµ x ; y ; z lµ c¸c sè d−¬ng . 25(− x + y + z ) 16( x − y + z ) x + y − z + + 2x 2y 2z 25(− x + y + z ) 16( x − y + z ) x + y − z => 2 P = + + x y z 25 y 16 x 25 z x 16 z y )+( = −42 + ( + + )+( + ) x y x z y z Khi ®ã ta cã : P = > …… Bµi 3: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng . CMr»ng : a b c 3 + + ≤ 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 4 16 H−íng dÉn: §Æt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b th× suy ra: x; y; z lµ c¸c sè d−¬ng vµ: 3x – (y+z) = 4a; 3y – (x+z) = 4b; 3z – (x+y) = 4c. a b c ta cã: + + 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 3x − ( y + z ) 3 y − ( x + z ) 3z − ( x + y) + + 4T = x y z x y x z y z =9−( + )−( + )−( + ) y x z x z y = .............. Tõ ®ã víi T = *B»ng c¸ch t−¬ng tù mêi c¸c em gi¶i bµi to¸n sau: Bµi 4: Cho a ; b ; c lµ c¸c sè d−¬ng . CMr»ng : 3 a b c + + ≥ . b+c c+a a+b 2 III .H−íng khai th¸c më réng: 1/H−íng1: Sö dông c¸c B§T hÖ qu¶ a/ Ta cã : Ù Ù Ù Ù a b + ≥ 2 víi a . b d−¬ng . b a a b +1+ +1 ≥ 4 b a a+b a+b + ≥4 b a 1 1 (a + b)( + ) ≥ 4 a b 1 1 4 (2) + ≥ a b a+b b/ Tæng qu¸t ho¸ bµi to¸n ta cã: 1 a 1 b 1 c + (a + b + c)( + + ) ≥ 9 víi a , b , c lµ c¸c sè d−¬ng. + (a1 + a 2 + ....... + a n )( 1 1 1 + + ....... + ) ≥ n 2 .víi mäi ai > 0 ; i = 1;2;…;n . a1 a 2 an c/¸p dông gi¶i c¸c bµi tËp: Bµi tËp 1: Cho a ; b lµ hai sè d−¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a + b = 1 . 1 1 + 2 . ab a + b 2 2 3 B= + 2 . ab a + b 2 1 2 C= 2 + + 4ab. 2 ab a +b T×m GTNN cña: A = 17 Bµi tËp 2 : Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng . CMr»ng : 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ( + + ). 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 a b c 1 1 1 1 1 1 . b, + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a, Bµi tËp 3:CMr»ng : Víi a ; b ; c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× : 1 1 1 1 1 1 + + ≥ 2( + + ). víi p lµ nöa chu vi . p −a p −b p −c a b c Bµi tËp 4: Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng tho¶ m·n : a + b + c ≤ 3 CMr»ng: 1 1 1 3 + + ≥ . a +1 b +1 c + a 2 1 1 1 3 b, + + ≥ . 1 + ab 1 + bc 1 + ca 2 a, Bµi tËp 5: Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng tho¶ m·n : a + b + c ≤ 1 CMr»ng: 1 1 1 + 2 + 2 ≥ 9. a + 2bc b + 2ca c + 2ab 2 Bµi tËp 6: Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng tho¶ m·n : 1 1 1 + + = 4 CMr»ng: a b c 1 1 1 + + ≤ 1. 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Bµi tËp 7: Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng tho¶ m·n : a 2 + b 2 + c 2 ≤ 3 T×m GTNN: P= 1 1 1 + + 1 + ab 1 + ac 1 + bc Bµi tËp 8: Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng tho¶ m·n : a + b + c = 1 CMr»ng: 3 2 + 2 ≥ 14 ab + ac + bc a + b 2 + c 2 Bµi tËp 9: a) Cho a ≥ 3 . T×m GTNN cña A = a − b) Cho 0 ≤ a ≤ 1 a 3 1 T×m GTNN cña B = 2a + 2 b Bµi tËp 10: Cho a ; b lµ 2 sè d−¬ng tho¶ m·n : a + b = P= 2009 T×m GTNN cña: 2008 2008 1 + 2008 a Bµi tËp 11: Cho a ; b ; c lµ 3 sè d−¬ng tho¶ m·n : T×m GTNN cña: A= a b c b+c c+a a+b + + + + + b+c c+a a+b a b c 18 c/TriÓn khai ®Ò tμi Trong viÖc gi¶ng d¹y bé m«n to¸n, ë mçi ®¬n vÞ kiÕn thøc më , t«i lu«n h−íng dÉn häc sinh theo h−íng : më réng, tæng qu¸t ho¸, t×m h−íng ¸p dông kiÕn thøc . §Æc biÖt trong phÇn kiÕn thøc vÒ bÊt ®¼ng thøc , x¸c ®Þnh ®©y lµ phÇn kiÕn thøc khã ®èi víi häc sinh , nh−ng nã rÊt quan träng trong viÖc rÌn kh¶ n¨ng t− duy s¸ng t¹o , ph¸t triÓn kh¶ n¨ng tù häc tù nghiªn c−ó cho häc sinh .T«i ®· triÓn khai theo tõng b−íc ,®èi víi tõng ®èi t−îng häc sinh . D/KÕt qu¶ ®¹t ®−îc Víi viÖc triÓn khai ®Ò tµi nµy th× b−íc ®Çu t«i ®· thu ®−îc mét sè kÕt qu¶ ®¸ng khÝch lÖ: + Häc sinh ®· tù tin vµ chñ ®éng h¬n trong viÖc häc phÇn kiÕn thøc nµy. + §a sè c¸c em ®· tù gi¶i quyÕt ®−îc c¸c bµi to¸n vÒ B§T vµ c¸c bµi to¸n cã liªn quan trong ch−¬ng tr×nh. + C¸c em ë ®èi t−îng kh¸, giái ®· gi¶i ®−îc c¸c bµi to¸n trong c¸c s¸ch tham kh¶o. + KhÝch lÖ h¬n n÷a kh¶ n¨ng chñ ®éng s¸ng t¹o trong viÖc häc tËp bé m«n. E /KÕt luËn Trong viÖc d¹y vµ häc nhÊt lµ ®èi víi m«n to¸n th× viÖc tæ chøc cho häc sinh chñ ®éng s¸ng t¹o trong viÖc n¾m b¾t vµ vËn dông kiÕn thøc lµ rÊt quan träng .Sau ®ã viÖc h−íng dÉn cho häc sinh tù häc, tù nghiªn cøu lµ rÊt cÇn thiÕt. Cho nªn ë mçi ®¬n vÞ kiÕn thøc nhÊt lµ ®èi víi phÇn kiÕn thøc më tr−íc hÕt ng−êi d¹y ph¶i ®Çu t− thêi gian t×m tßi nghiªn cøu kiÕn thøc, t×m ph−¬ng ph¸p h−íng dÉn cho häc sinh häc tËp mét c¸ch tÝch cùc chñ ®éng. Cã nh− vËy th× viÖc d¹y vµ häc míi ®¹t hiÖu qu¶ cao, vµ tr−íc hÕt lµ rÌn cho häc sinh nh÷ng phÈm chÊt cña ng−êi lao ®éng míi n¨ng ®éng s¸ng t¹o. Tuy nhiªn víi kinh nghiÖm b¶n th©n cßn h¹n chÕ, t«i mong nhËn ®−îc c¸c ý kiÕn ®ãng gãp cña tÊt c¶ c¸c b¹n . T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! Phong H¶i ,ngμy 20/3/2011 Ng−êi thùc hiÖn ®Ò tμi §µo Kh¸nh Linh 19
- Xem thêm -