Tài liệu Kinh nghiệm giải bài toán tìm độ dài thông qua giải phương trình bậc hai

Kinh nghiÖm gi¶i bµi to¸n t×m ®é dµi ®o¹n th¼ng th«ng qua ph¬ng tr×nh bËc hai ***** A. ®Æt vÊn ®Ò. §èi víi ph©n m«n h×nh häc, viÖc tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng lµ mét trong nh÷ng yªu cÇu thêng xuyªn vµ c¨n b¶n. Ngay tõ ®Çu cÊp THCS, häc sinh ®· ph¶i t×m ®é dµi ®o¹n th¼ng mét c¸ch trùc tiÕp th«ng qua ®o ®¹c. TiÕp ®Õn c¸c líp trªn khi häc sinh ®îc tiÕp cËn ngµy cµng nhiÒu c¸c kh¸i niÖm h×nh häc, n¾m ®îc ngµy cµng v÷ng ch¾c tÝnh chÊt vµ mèi quan hÖ gi÷a c¸c h×nh th× viÖc t×m ®é dµi ®o¹n th¼ng th«ng qua c¸c thao t¸c vËt chÊt gi¶m dÇn. Thay vµo ®ã viÖc t×m ®é dµi ®o¹n th¼ng mét c¸ch gi¸n tiÕp ngµy cµng t¨ng. §Æc biÖt khi c¸c em häc ®Õn líp 9, thêi ®iÓm tÝch luü vèn kiÕn thøc vÒ ph©n m«n h×nh häc t¬ng ®èi phong phó th× viÖc t×m ®é dµi ®o¹n th¼ng, h¬n bao giê hÕt ph¶i ®ßi hái sù tæng hîp kiÕn thøc t¬ng ®èi cao. ë ®ã viÖc t×m ®é dµi ®o¹n th¼ng kh«ng chØ thuÇn tuý h×nh häc mµ cßn sö dông t¬ng ®èi nhiÒu kiÕn thøc tõ ®¹i sè ch¼ng h¹n nh ; tØ lÖ thøc, tÝnh chÊt ®¼ng thøc, bÊt ®¼ng thøc…, qua ®ã ta cã thÓ thÊy r»ng bµi tËp vÒ t×m ®é dµi ®o¹n th¼ng lµ t¬ng ®èi ®a d¹ng. §Ó c¸c em ®ì lóng tóng vµ linh ho¹t h¬n tromg t duy khi gÆp lo¹i to¸n t×m ®é dµi ®o¹n th¼ng, cã lÏ ta nªn gióp c¸c em n¾m ®îc mét sè d¹ng cña lo¹i to¸n nµy. ChÝnh v× lÝ do ®ã mµ t«i ®· tËp hîp vµ ph©n lo¹i díi d¹ng to¸n Sau ®©y t«i giíi thiÖu kinh nghiÖm gi¶i bµi to¸n “ T×m ®é dµi ®o¹n th¼ng th«ng qua ph¬ng tr×nh bËc hai” cho häc sinh líp 8,9. Qua s¸ng kiÕn nµy t«i hy väng nhËn ®îc sù trao ®æi quý b¸u tõ c¸c b¹n ®ång nghiÖp. B. gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. I - §iÒu tra thùc tr¹ng tríc khi nghiªn cøu. N¨m häc 2006 – 2007 trë vÒ tríc khi cha ph©n lo¹i vµ dang to¸n: t×m ®é dµi ®o¹n th¼ng th«ng qua ph¬ng tr×nh bËc hai th× c¸c em häc sinh líp 9 gi¶i bµi tËp lo¹i nµy thêng ®¹t hiÖu qu¶ kh«ng cao. BiÓu hiÖn cô thÓ ; häc sinh thêng mÊt nhiÒu thêi gian cho viÖc t×m lêi gi¶i vµ viÖc tr×nh bÇy th× cha thËt hîp lý. II – kiÕn thøc ®îc sö dông. . Ph©n m«n ®¹i sè : tÝnh chÊt cña ®¼ng thøc, tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc, biÕn ®æi ph¬ng tr×nh bËc hai ..., §Æc biÖt trong s¸ng kiÕn nµy quan t©m nhiÒu ®Õn c¸c c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai. 4 + Ph¬ng ph¸p : ®a hai vÕ cña ph¬ng tr×nh vÒ hai luü thõa cïng bËc. + Ph¬ng ph¸p : vËn dông viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®Ó biÒn ®æi ph¬ng tr×nh bËc hai vÒ ph¬ng tr×nh tÝch. + Ph¬ng ph¸p : nhÈm nghiÖm, t×m nghiÖm theo c«ng thøc. . Ph©n m«n h×nh häc : Mçi bµi to¸n sö dông mét c¸ch riªng lÎ hoÆc sù tæng hîp nhiÒu kiÕn thøc tõ líp 6 ®Õn líp 9. §Æc biÖt trong s¸ng kiÕn nµy quan t©m nhiÒu ®Õn quan hÖ ®ång d¹ng cña tam gi¸c, ®Õn ®êng trßn, ®Õn diÖn tÝch cña mét sè h×nh mµ häc sinh ®· häc. III – nh÷ng c«ng viÖc ®· lµm. 1) Tam gi¸c ®ång d¹ng vµ ph¬ng tr×nh bËc hai. Häc sinh THCS tiÕp cËn tam gi¸c ®ång d¹ng tõ líp 8 vµ kiÕn thøc ®ã ®îc bæ sung vµ sö dông t¬ng ®èi nhiÒu trong qu¸ tr×nh häc tËp sau nµy cña c¸c em. Tõ sù ®ång d¹ng cña tam gi¸c ta suy ra quan hÖ vÒ ®é dµi gi÷a c¸c ®o¹n th¼ng hay nãi kh¸c ®i ta cã thÓ thiÕt lËp ®îc ph¬ng tr×nh vÒ ®é dµi ®o¹n th¼ng. * Chó ý : TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c, mét sè hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng ®îc x©y dùng nhê sù ®ång d¹ng cña tam gi¸c. *Bµi tËp 1. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH, AB = 20cm, HC = 9cm. TÝnh ®é dµi AH? Bµi gi¶i : A 20 ? x B 9 H C * §Æt BH = x cm ( 0 < x < 20 ) nªn BC = x +9 cm XÐt ABC vµ  ABH cã �  AHB �  90 0 BAC � chung B � ABC : HBA(g.g ) AB BC  BH AB � AB2 = BH .BC Thay sè : 202 = (x + 9)x � x2 + 9x – 400 = 0 � ( x+ 25 ) ( x - 16) = 0 � x = - 25 hoÆc x =16 Do ( 0 < x < 20 ) nªn chØ cã x =16 lµ tho¶ m·n VËy AH = 16 5 � *Bµi tËp 2. Cho tam gi¸c ABC , ®êng ph©n gi¸c trong vµ ngoµi cña gãc A c¾t BC theo thø tù ë D vµ E . Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓm A kÎ tia Dx sao cho vµ gãc ADx b»ng gãc ADB Tõ A kÎ AH vu«ng gãc víi Dx( H thuéc Dx). BiÕt DH = 27 cm ,AD = 45 cm ,BC = 40 cm . TÝnh ®é dµi DB,DC Bµi gi¶i : §Æt DB = x , DC = y ( 0 < x ,y < 40) V× AD lµ ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c ABC vµ AE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c ABC nªn gãc DAE b»ng 900 (gãc hîp bëi hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï lµ gãc vu«ng ) XÐt  ADE vµ  ADH cã : �  AHD �  900 EAH �  ADH � ( gt ) ADB � EAD : AHD AD DH �  DE AD (gg) AD2 = DE.DH AD 2 452 = 75 � DE =  DH 27 - Theo tÝch chÊt ®êng ph©n gi¸c trong vµ ngoµi cña tam gi¸c ta cã : DB EB x 75  x  �  DC EC y 75  y (1) MÆt kh¸c x + y = 40 thay y = 40 – x vµo (1) vµ rót gän ta cã : x2 – 115x + 1500 = 0 � (x2 – 15x) – (100x – 1500) = 0 � (x – 15)(x – 100) = 0 * Do 0 < x < 40 nªn chØ cã x = 15 lµ tho¶ m·n. * VËy DB = 15cm, DC = 25cm. *Lêi gi¶i hai bµi to¸n trªn ¸p dông cho häc sinh líp 8 ,cßn häc sinh líp 9 lêi gi¶i ®¬n gi¶n h¬n *Bµi tËp 3. 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, trªn c¸c c¹nh AB, BC, CA lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm K, M, H sao cho AKMH lµ h×nh vu«ng. BiÕt BC = 15cm , h×nh vu«ng c¹nh ®ã cã ®é dµi 1cm.TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng AB ? Bµi gi¶i : B M C H K A *§Æt AB = x , AC = y , (1 < x < 15 , 1 < y < 15 ) * XÐt tam gi¸c vu«ng ABC ta cã : x2+ y2 = 15 *Do AHMK lµ h×nh vu«ng MK / / CH suy ra tam gi¸c KBM ®ång d¹ng víi tam gi¸c HMC , do dã BK MK x 1 1  �  MH CH 1 y 1 � xy = x +y (1) §Æt x + y = m ( m > 2 ) , ta cã : x2 + y2 = 15 2 2 � x + y +2xy – 2xy = 15 � (x + y ) 2 - 2 ( x+y) =15 � m2 – 2m +1 = 16 � ( m - 1)2 = ( � 4) 2 Trêng hîp 1 : m – 1 = 4 � m=5 Trêng hîp 2: m-1 = -4 m =-3 Do m > 2 nªn chØ cã m =5 lµ tháa m·n * Víi m = 5 � x + y = 5 � y = 5 – x , thay vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã x( 5 –x ) = x + 5 - x � x2 – 5 x + 5 = 0 � � (x - 5 2 )2 = � (x - 5 2 )2 = (� 5 )2 2 5 = 5 ; x1  5  5 2 2 2 5  5 §Òu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x2  2 7 Trêng hîp 1 : x HoÆc 5 4 VËy AB = 5  5 cm hoÆc AB = 5  5 cm 2 2 2) §èi víi ®êng trßn vµ ph¬ng tr×nh bËc hai. §Õn líp 9 häc sinh ®îc t×m hiÓu vÒ ®êng trßn mét c¸ch hÖ thèng h¬n . Trong ®ã tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn , quan hÖ gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y cung , quan hÖ gi÷a gãc vµ ®êng …, ®îc ®Ò cËp mét c¸ch thêng xuyªn h¬n . ChÝnh tõ nh÷ng vÊn ®Ò ®ã lµm n¶y sinh sù ®ång d¹ng , sù vu«ng gãc vµ nh vËy quan hÖ bËc hai vÒ ®é dµi xuÊt hiÖn ngµy cµng nhiÒu h¬n .  Bµi tËp 1 . Cho nöa ®êng trßn t©m 0 ®êng kÝnh AD .C¸c ®iÓm B,C,thuéc nöa ®êng trßn sao cho AB = BC = 2 5 cm , CD = 6 cm . TÝnh b¸n kÝnh cña ®êng trßn Bµi gi¶i * Gäi giao ®iÓm cña AC vµ OB lµ H . * Do AB = BC , OA = OC nªn OB lµ ®êng trung trùc cña AC suyra OB  AC vµ AH = HC mÆt kh¸c ta cã OH lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c ACD Do ®ã OH = 1 1 CD = 3 ( cm ) vµ HC = AC 2 2 * Gäi b¸n kÝnh cña ®êng trßn cã ®é dµi lµ x (cm) ( x> 3 ) * Tam gi¸c ADC vu«ng ë C nªn ta cã : AC 2 = AD 2 – DC 2 ( §Þnh lý Pitago ) � 1 2 1 1 AC  (2 x )2  .62 4 4 4 1 � AC 2  x 2  9 4 � HC2 = x2 – 9 * Tam gi¸c BCH vu«ng ë H nªn ta cã : HC2 = BC2 – BH2 � HC2 = (2 5 )2 – (OB – HO)2 � HC2 = 20 – (x – 3)2 * Tõ (1) vµ (2) ta cã ph¬ng ttr×nh : 8 (1) (2) x2 – 9 = 20 – (x – 3)2 � x2 – 3x – 10 = 0 � (x – 5)x + (x – 5)2 = 0 � (x – 5)(x + 2) = 0 * Do x > 3 nªn chØ cã x = 5 lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. * VËy b¸n kÝnh cã ®é dµi lµ 5cm.  Bµi tËp 2 Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, ®êng kÝnh AB, h×nh thang ABCD néi tiÕp trong ®êng trßn ®ã vµ ngo¹i tiÕp ®îc mét ®êng trßn kh¸c. TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng CD ? Bµi gi¶i D x C y I A E O B F * §Æt DC = x, BC = y ( 0 < x, y < 2.R ) * Gäi I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp h×nh thang ABCD , suy ra c¸c c¹nh cña h×nh thang ®Òu lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (I ) tõ ®ã dÔ dµng chøng minh ®îc DC + AB = AD + BC � x + 2R = 2y � y= x +R 2 (1) * Do tam gi¸c ABC vu«ng ë C nªn ta cã : AC2 = AB2 – BC2 ( §Þnh lý Pitago ) � AC2 = 4R2 – y2 (2) * KÎ DE, CF vu«ng gãc víi AB ( E ,F thuéc AB ), tõ ®ã ta suy ra ®îc OE = OF = x 2 * Tam gi¸c ABC vu«ng ë C ®êng cao CF nªn : AC2 = AF .AB � AC2 = (R + x ).2R 2 � AC2 = 2R2 + Rx * Tõ (1), (2), (3) ta cã ; 9 (3) 2R2 + Rx = 4R2 – ( � x + R)2 2 x2 + 2 Rx - R2 = 0 4 � x2 + 8Rx – 4R2 = 0  ’ = 16R2 + 4R2 = 20R2 x1 = - 4R + 2 5 R ( tho¶ m·n). x2 = - 4R - 2 5 R ( lo¹i). * VËy CD = 2R( 5 - 2) ( ®¬n vÞ ®é dµi)  Bµi tËp 3. (Bé ®Ò «n thi TNTHCS vµ thi vµo THPT n¨m 2001 – 2002 ) Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R ®êng kÝnh AB, M lµ mét ®iÓm thuéc ®êng trßn sao cho MA < MB. Qua B vÏ ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi AB. TiÕp tuyÕn tai M c¾t d ë N vµ c¾t AB t¹i K. §êng th¼ng d c¾t ®êng th¼ng MO t¹i H. §êng th¼ng AM c¾t HK ë C. BiÕt MNOC lµ b×nh hµnh. TÝnh OH theo R. Bµi gi¶i d Bµi gi¶i N M K A B O C §Æt OH = x ( x > 0 ) Ta cã tam gi¸c OBH ®ång d¹ng víi tam gi¸c NMH � BH OH  � BH.NH = OH.MH MH NH � BH (BN + BH ) = OH ( R + OH ) � BH . BN + BH 2 = OH .R + OH 2 H BH . BN + x2 – R2 = R x + x2 BH . BN = R ( R + x) (1 ) * Do N giao cña hai tiÕp tuyÕn NB , NM suy ra BN = MN , mÆt kh¸c tø gi¸c MNOC lµ h×nh b×nh hµnh nªn MN = OC , tõ ®ã ta cã : BN = OC ( 2 ) * Tõ ( 1 ) , ( 2) ta cã BH . OC = R ( R + x ) � BH 2 . OC2 = R 2 ( R + x )2 (3) Do tø gi¸c MNOC lµ h×nh b×nh hµnh nªn MN // OC mµ MN  MH nªn OC  MH Do BK  NH , MH  KN � O lµ trùc t©m cña tam gi¸c KNH � ON  HK 10 MÆt kh¸c MC // ON ( do tø gi¸c MNOC lµ h×nh b×nh hµnh ) suy ra MC  HK. Tam gi¸c MHC vu«ng ë C ®êng cao OC nªn : OC 2 = OM. OH (4) Tõ ( 3 ) vµ ( 4 ) ta suy ra : BH 2 . MO . OH = R 2 ( R + x)2 � (x2 – R2) R .x = R 2 ( R + x)2 � (x–R )x=R(R+x) � x2 – 2R x - R 2 = 0 2 2 2  ' = R + R = 2R x 1 = R – R 2 ( lo¹i ) x 2 = R + R 2 (tho¶ m·n ) VËy OH = R ( 1 + 2 ) ®¬n vÞ ®é dµi 3) DiÖn tÝch vµ ph¬ng tr×nh bËc hai. Riªng vÒ c¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch , xÐt vÒ ph¬ng diÖn ®¹i sè: chóng lµ c¸c hµm sè bËc hai vÒ ®é dµi. Do ®ã nÕu cho quan hÖ diÖn tÝch gi÷a c¸c h×nh th× cã thÓ lµm xuÊt hiÖn ph¬ng tr×nh bËc hai . Bµi tËp 1 ( Ph¸t triÓn tõ bµi tËp 83 – 84 h×nh häc SGK to¸n 9) Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm C . VÔ trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®êng th¼ng AB hai nöa ®êng trßn cã ®êng kÝnh lÇn lît lµ AB, AC cßn trªn nöa mÆt ph¼ng ®èi vÏ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BC . AB = 8 cm ®Æt S lµ diÖn tÝch cña h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba ®êng trßn nãi trªn vµ AC = x . T×m x ®Ó S b»ng diÖn tÝch cña nöa dêng trßn ®êng kÝnh AC Bµi gi¶i DiÖn tÝch cña nöa ®êng trßn dêng kÝnh AB lµ : 1 8 2  ( )  8 ( cm2) 2 2  DiÖn tÝch cña nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AC lµ : 1 x 2 1 2  ( )   x ( cm2) 2 2 8  DiÖn tÝch cña nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BClµ : 1 8 x 2 1 2 ( )    8  x  ( cm2) 2 2 8 1 1 2 DiÖn tÝch S lµ 8   x 2    8  x   2  8  x  8 8 11 ( cm2) §Ó S b»ng diÖn tÝch cña nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AC th× : 1 2  x  2  8  x  8 � x2 + 16 x – 128 =0  ’ = 64 + 128 = 192 x1 = - 8 - 8 3 < 0 ( lo¹i ) x2 = - 8 + 8 3 > 0 ( tho¶ m·n ) * Khi x = 8 3 - 8 cm th× S b»ng diÖn tÝch cña nöa h×nh trßn ®êng kÝnh AC. * Bµi tËp 2 ( Ph¸t triÓn tõ bµi tËp h×nh häc trong SGK – SBT to¸n 8 ) Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh 4cm. Gäi M, N, E, F lÇn lît lµ c¸c ®iÓm di ®éng trªn c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CE = DF. TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng MF ®Ó diÖn tÝch cña tø gi¸c MNEF b»ng 5 diÖn tÝch h×nh vu«ng ABCD. 8 Bµi gi¶i D E C N F B A M * V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn AB = BC = CD = DA mµ AM = BN = CE = DF � AB – AM = BC – BN = CD – CE = DA – DF � MB = NC = DE = AF tõ ®ã suy ra ;  AMF =  BMN =  CEN =  DFE � MF = NM = EN = EF (1) �  BNM � AMF �  BMN �  BNM �  BMN �  90 0 vµ � AMF �  90 0 � NMF (2) * Tõ (1) vµ (2) suy ra MNEF lµ h×nh vu«ng. * §Æt AM = y ( 0 < y < 4 ). Ta cã ; S AMF = S BNM = S CEN = S DFE = 1 y(4 – y) 2 S MNEF = S ABCD - 4S AMF = 42 – 2y(4 – y) 12 * Theo gi¶ thiÕt diÖn tÝch cña tø gi¸c MNEF b»ng ABCD nªn : 42 – 2y(4 – y) = � y2 – 4y +3 = 0 5 diÖn tÝch h×nh vu«ng 8 5 2 .4 8 Ta cã a+b+c=0 y1 = 1 (tho¶ m·n) y2 = 3 (tho¶ m·n) - Víi AM = 1 � AF = 4 – 1 = 3 khi ®ã MF = 32  12  10 - Víi AM = 3 � AF = 4 – 3 = 1 khi ®ã MF = 32  12  10 - VËy MF = 10 cm * Bµi tËp 3 ( Ph¸t triÓn tõ bµi tËp trong SGK toµn 8). Cho c¸c ®iÓm A, B thuéc c¹nh MP, c¸c ®iÓm C, D lÇn lît thuéc c¸c c¹nh NP, MN cña tam gi¸c NMP sao cho ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt. BiÕt MP = 30cm, chiÒu cao NH = 10cm (H thuéc MP), h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 63cm2 .TÝnh c¸c kÝch thíc cña h×nh ch÷ nhËt. Bµi gi¶i n d m a i h c b p * §Æt BC = x ( 0 < x < 10 ), CD = y ( 0 < y < 30 ). Gäi I lµ giao ®iÓm NH vµ DC. * Do tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt nªn DC // MP suy ra tam gi¸c NDC NI DC ®ång d¹ng tam gi¸c NMP �  NH � MP NH  HI DC 10  x y  �  NH MP 10 30 � 3(10 – x) = y * V× h×nh ch÷ nhËt ABCD cã diÖn tÝch lµ 63cm2 nªn ; xy = 63 � 3x(10 – x) = 63 � x2 – 10x + 21 = 0  ’ = 25 – 21 = 4 13 x1 = 5 – 2 = 3 (tho¶ m·n). x2 = 5 + 2 = 7 (tho¶ m·n). - Víi x = 3 � y = 21 - Víi x = 7 � y = 9 VËy h×nh ch÷ nhËt cã kÝnh thíc lµ 3cm ,21 cm hoÆc 7 cm ,9cm . 4) Mét sè bµi tËp bæ sung. Bµi tËp 1 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. Tia ph©n gi¸c gãc HAC c¾t HC ë D. Gäi K lµ h×nh chiÕu cña D trªn AC……….? DK = 6cm. TÝnh ®é dµi AB Bµi tËp 2 Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh 5cm. TÝnh c¹nh cña tam gi¸c ®Òu AEF cã E thuéc c¹nh CD vµ F thuéc c¹nh BC ? Bµi tËp 3 Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng ph©n gi¸c BD. Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BD t¹i I. BiÕt BI = 10 5 cm, ID = 5 5 cm. TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng DC ? Bµi tËp 4 Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, gäi I lµ giao diÓm cña ®êng ph©n gi¸c. BiÕt AB = 5cm, IC = 6cm. TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng BC ? Bµi tËp 5 Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, gäi I lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng ph©n gi¸c. BiÕt IA = 2 5 cm, IB = 3cm. TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng AB ? Bµi tËp 6 Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, ®êng cao AD, H lµ trùc t©m. TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng AD ? BiÕt AH = 14cm, BH = HC = 30cm. Bµi tËp 7 Cho nöa ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh 5cm, ®êng kÝnh AB, M lµ ®iÓm thuéc cung AB, H lµ mét ®iÓm chÝnh gi÷a cung AM, tia BH c¾t tiÕp tuyÕn Ax t¹i K. T×m vÞ trÝ cña M ®Ó MK vu«ng gãc víi Ax ? Bµi tËp 8 Tam gi¸c vu«ng cã mét c¹nh gãc vu«ng lµ 12cm. TØ sè gi÷a b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp vµ ngo¹i tiÕp tam gi¸c vu«ng ®ã lµ 2 : 5. TÝnh ®é dµi b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp ? 14 Bµi tËp 9 Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, ®iÓm A cè ®Þnh trªn ®êng trßn. KÎ tiÕp tuyÕn Ax, ®iÓm M tuú ý trªn Ax, kÎ tiÕp tuyÕn thø hai MB víi ®êng trßn (B lµ tiÕp ®iÓm ). I lµ trung ®iÓm cña MA, BI c¾t ®êng trßn t©m O ë K, tia MK c¾t ®êng trßn (O) ë C. a) Chøng minh tam gi¸c MIK ®ång d¹ng tam gi¸c BIM vµ BC // MA. b) T×m vÞ trÝ cña M trªn tia Ax ®Ó tø gi¸c AMBC lµ h×nh b×nh hµnh ? 5) Chó ý. Trong ba phÇn ; tam gi¸c ®ång d¹ng, ®êng trßn, diÖn tÝch, mçi phÇn chuyªn ®Ò xÐt ba bµi tËp. Bµi 1; Møc ®é kiÕn thøc võa ph¶i, häc sinh cã lùc häc trung b×nh trë lªn ®Òu cã thÓ lµm ®îc. Bµi 2, 3; ®ßi hái sù vËn dông nhiÒu ®¬n vÞ kiÕn thøc h¬n, sù v©n dông linh ho¹t h¬n, s¸ng t¹o h¬n, c¸c phÇn nµy häc sinh cã lùc häc kh¸ vµ giái cã thÓ lµm ®îc. tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng th«ng qua ph¬ng tr×nh bËc 2 a. Môc tiªu. - Hs biÕt tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng th«ng qua p ,tr×nh bËc 2 mét c¸ch thµnh th¹o. - VËn dông linh ho¹t vµo gi¶i bµi tËp. B - RÌn kü n¨ng vÏ h×nh, tr×nh bÇy tÝnh to¸n. B. ChuÈn bÞ cña GV vµ HS. - Hs häc kü c¸ch tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng th«ng qua ph¬ng h tr×nh bËc 2....., - Gv so¹n bµi, ®äc bµi, phÊn mµu. C. Ho¹t ®éng cña thµy vµ trß. 1- KiÓm tra bµi cò. 15 c A - Cho  ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH, AC = 15cm, HB = 16cm . TÝnh ®é dµi AH. Bµi gi¶i. - §Æt HC = x ( 0 < x < 15 ) XÐt  HAC :  ABC (gg) � AC HC �  BC AC � � � AC2 = BC.HC 152 = (x + 16)x x2 + 16x – 225 = 0 (x – 9)(x + 15) = 0 V× 0 < x < 20 nªn x = 9 nhËn 2- Bµi gi¶ng. * Bµi tËp 1; §iÓm M n»m trªn c¹nh huyÒn cña mét tam gi¸c vu«ng. DiÖn tÝch 100cm2 vµ cã kho¶ng c¸ch ®Õn 2c¹nh gãc vu«ng b»ng 4cm vµ 8cm. TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh gãc vu«ng. Bµi gi¶i. Gv giíi thiÖu néi dung bµi häc. - Gv :Ta kh«ng thÓ dïng c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh th«ng thêng vµo ®Ó tÝnh ®îc c¸c c¹nh AB, AC. Hái : Em nµo t×m ®îc c¸ch tÝnh. HS suy nghÜ tr¶ lêi. - Gv: nãi vµ ghi lªn b¶ng. §Æt BH = x, KC = y. - Gäi  MKC ®ång d¹ng víi tam gi¸c nµo ? - GV : cho Hs lªn b¶ng lµm. T×m ra xem xy = ? (1) - Gv theo ®Ò bµi diÖn tÝch  ABC vu«ng ë A b»ng 100cm2 nªn ta cã PT nµo. - HS: (x + y)(y + 4) 200 (2) - GV: KÕt hîp (1), (2) mét Hs lªn t×m x hoÆc y. - Hs lªn b¶ng tr×nh bµy - VÏ MH  AC, MK  AB. §Æt BH = x, KC = y, x > 0, y > 0. V×  BHM :  MKC (gg). Nªn BH HM hay x 4   8 y MK KC � xy = 32 (1) Ta cã tø gi¸c AHMK lµ h×nh ch÷ nhËt nªn MH = AK = 4cm, MK = AH = 8cm Mµ AB.AC = 2 S ABC � (x + 8)(y + 4) = 200 - Gv gäi Hs nhËn xÐt lêi gi¶i cña -Tõ bµi to¸n. � xy + 4x + 8y + 32 = 200 � BH 32 + 24x +cao 8y cña + 32h×nh = 200 - Gäi thang c©n ABCD. �lµy®êng (1), (2)4x – 17y + 16 = 0 � + 8y==136 (2)huyÒn gãc nhän)  ADK Ta BHC (c¹nh � cã(y – 1)(y – 16) = 0 � DK = HC y ABHK 1 � Vµ tø/g lµ h×nh ch÷ nhËt nªn AB = HK � y  16 � � AB  DC � 2DH = 2DC(nhËn – HC � DH = 2 - Víi yMµ = 1diÖn th× xtÝch = 3. Ta cã AC lµ = 12cm 1 + 4 2= 5 cm h×nh thang 2 AB = 32 +8= = x, 40 (0 cm< x < 25) nªn DH.BH = 12cm (1). §Æt BH - Víi y = 16 th× x = 2. Ta cã AC = 20 cm 2 � y = 25  x = 2vµ + 8(2)= ta 10cã cm: (2). AB Tõ (1) - VËy AC = 5 cm, AB = 40 cm, hoÆc AC = 20 cm, 25  x 2 = 12 � x4 – 25x2 + 144 = 0 x cm. AB = 10 * Bµi tËp 2;TÝnh chiÒu cao mét h×nh§Æt thang x2 =c©n t cã(t diÖn 0) tÝch b»ng 12 cm2,®êng chÐo 5 cm. � t2 – 25t + 144 = 0 Bµi � gi¶i. (t – 16)(tA– 9) = 0 B t  16 - GV cho Hs chÐp bµi, ghi gi¶ thiÕt, � � (nhËn) � vÏ h×nh, kÕt luËn cña bµi to¸n. t  9 � - Gv : V× h×nh thang ABCD c©n, 16 y D K x H C ®êng cao BH, AK, - T×m quan hÖ BH víi AB, DC. - Hái : Hs DH = AB  DC 2 - Gv : §Æt BH = x � DH = ? - Hs DH= 25  x 2 - Gv ; DiÖn tÝch h×nh thang 12cm2 ta cã PT nµo ? - Hs lªn b¶ng tr×nh bµy - Gv cïng Hs nhËn xÐt bµi lµm cña b¹n. - Gv chèt l¹i kÕt luËn cña bµi toµn. - Víi t = 16 � x = 4 (v× x > 0) - Víi t = 16 � x = 4 ( v× x> 0 ) - Víi t = 9 � x = 3 (v× x > 0) - §êng cao cña h×nh thang b»ng 4cm hoÆc 3cm. * Bµi tËp 3; Cho 2 ®êng trßn (O1), (O2) cã cïng b¸n kÝnh R c¾t nhau t¹i M, N. Vµ OD1 = R, H×nh vu«ng ABCD cã A, D n»m trªn cung nhá MN cña (O2) vµ B, C n»m trªn cung nhá MN cña (O1). T×nh c¹nh h×nh vu«ng theo R. Bµi gi¶i. - Gäi c¹nh h×nh vu«ng lµ x, (x > 0) M AB = BC = CD = DA = x - Gv cho Hs ®äc ®Ò, ph©n tÝch ®Ò, vÏ h×nh, ghi gi¶ thiÕt, kÕt luËn cña bµi to¸n - Gäi E, F lÇn lît lµ giao ®iÓm cña O1O2 víi AD vµ (O2). - Gv : Em nµo cã c¸ch lµm bµi tËp nµy. Ta cã AD  O1O2 O1E.EF = EA.ED (1) - Gv : Gäi c¹nh h×nh vu«ng lµ x vµ E, F Rx O1E = (2) lµ giao ®iÓm cña O1O2 víi AD vµ (O2) 2 N 3R  x EF = (3) 2 - Gv: T¹i sao AD  O1O2 vµ O1E.EF = EA.ED , O1E = Rx 3R  x ; EF = 2 2 - Tõ (1), (2), (3) ta cã : 2 � x � R  x 3R  x - Gv; ta cã PT nµo ? �2 � 2 . 2 � � 2 � - Gäi Hs lªn b¶ng tr×nh bµy. C¸ch gi¶i cña 2x + 2Rx – 3R2 = 0 (4) bµi to¸n nµy.  ’ = R2 + 6R2 = 7R2 �  '  R 7 x1 =  R  R 7 ; x2 =  R  R 7 17 2 2 - V× x > 0 nªn chØ x1 tho¶ m·n - Gv cïng Hs nhËn xÐt bµi lµm cña b¹n d. cñng cè. - RÌn kü n¨ng tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng rÊt quan träng nã gióp chóng ta gi¶i c¸c bµi tËp trong h×nh häc. - V× vËy c¸c em ®äc kü ®Çu bµi, kü n¨ng thµnh th¹o t×m ®é dµi ®o¹n th¼ng. e. híng dÉn. - VÒ nhµ tù lµm l¹i c¸c bµi ®· ch÷a. - Lµm c¸c bµi tËp bæ xung trong s¸ng kiÕn nµy, (Gv photocopy ®a Hs bµi tËp). IV ) KÕt qu¶ Sau mét thêi gian ¸p dông nh÷ng biÖn ph¸p trªn vµo thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i thÊy Høng thó häc tËp cña häc sinh ®îc n©ng lªn râ rÖt ë c¸c ®èi tîng häc sinh . Tríc ®©y mét bé phËn kh«ng nhá häc sinh sî ,ng¹i häc m«n to¸n . Nhng sau khi ¸p dông c¸c biÖn ph¸p trªn c¸c em trë lªn tin tëng h¬n ,v÷ng vµng h¬n ,say mª h¨ng h¸i häc m«n to¸n . §iÒu ®ã chøng tá nÕu cã c¸ch gi¶i phï hîp cho mét bµi to¸n ,víi tõng ®èi tîng häc sinh th× ch¾c ch¾n kÕt qu¶ thu ®îc cña gi¸o viªn rÊt tèt hiÖu qu¶ gi¸o dôc ®îc n©ng lªn. §èi víi häc sinh kh¸ , giái “ T×m ®é dµi ®o¹n th¼ng th«ng qua ph¬ng tr×nh bËc hai” cßn ¸p dông víi nhiÒu lo¹i to¸n kh¸c .Ph¸t huy ®îc trÝ tuÖ th«ng minh cña häc sinh. * KÕt qu¶ kh¶o s¸t líp 9 A. Khi cha ¸p dông s¸ng kiÕn. Khi ¸p dông s¸ng kiÕn. Giái Kh¸ SL % SL % SL % SL % 10 17 23,8 40,5 12 16 13 8 7 1 28,6 38,1 Trung/b 30,9 19 YÕu 16,7 2,4 * KÕt qu¶ häc sinh thi vµo cÊp 3 cña trêng ®ç tØ lÖ cao so víi c¸c trêng kh¸c trong huyÖn. * KÕt qu¶ kh¶o s¸t qua c¸c ®éi tuyÓn. NhiÒu n¨m kÕt qu¶ häc sinh giái cña trêng ®· ®¹t kÕt qu¶ cao . KÕt qu¶ ®éi tuyÓn häc sinh giái líp 9 n¨m häc 2007- 2008 do t«i phô 18 tr¸ch xÕp thø 3 trªn 26 trêng trong huyÖn cã 1 em ®îc gäi vµo båi dìng ®éi tuyÓn ®Ó thi häc sinh giái cÊp tØnh V) §iÒu kiÖn ¸p dông s¸ng kiÕn . S¸ng kiÕn “ T×m ®é dµi ®o¹n th¼ng th«ng qua ph¬ng tr×nh bËc hai” ®îc ¸p dông cho häc sinh líp 9 sau khi c¸c em häc hÕt ch¬ng tr×nh h×nh häc ph¼ng. Tuy nhiªn khi häc xong mçi ch¬ng tr×nh h×nh häc 9 th× häc sinh cã thÓ lµm ®îc mét sè bµi tËp cña chuyªn ®Ò. S¸ng kiÕn “T×m ®é dµi ®o¹n th¼ng th«ng qua ph¬ng tr×nh bËc hai” thÝch hîp nhÊt cho ®èi tîng häc sinh cã lùc häc kh¸, giái. MÆc dï vËy häc sinh cã häc lùc trung b×nh cã thÓ lµm ®îng mét sè bµi ®¬n gi¶n trong chuyªn ®Ò. VI ) Nh÷ng §Ò xuÊt vµ kiÕn nghÞ Trong thêi gian tíi rÊt mong c¸c cÊp l·nh ®¹o c¸c tæ chuyªn m«n quan t©m tæ chøc c¸c chuyªn ®Ò , ngo¹i khãa ®Ó c¸c ®ång nghiÖp cè thÓ cè thÓ trao ®æi häc hëi kinh nghiÖn lÉn nhau nhiÒu h¬n .Häc sinh høng thó h¨ng say häc tËp gãp phÇn ngµy cµng n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc . C. kÕt luËn. D¹y häc gi¶i c¸c bµi to¸n th«ng qua c¸c ph¬ng ph¸p lµ mét nghÖ thuËt ®Ó gióp c¸c em n¾m ®îc bµi ,hiÓu bµi vµ cã høng thó ,kü n¨ng .NhÊt lµ bµi tËp khã trong giê luyÖn tËp ,båi dìng häc sinh giái 19 D¹y häc c¸c ph¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i c¸c bµi to¸n cã ý nghÜa rÊt quan träng ®ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i cã sù say mª l¬ng t©m nghÒ nghiÖp sÏ ®¹t ®îc kÕt qu¶ mong muèn Tuy nhiªn kh«ng ph¶i ®èi víi tÊt c¶ häc sinh chóng ta ®Òu ph¶i truyÒn t¶i néi dung trªn .Mµ cÇn x¸c ®Þnh ®óng ®èi tîng ®Ó cung cÊp nh÷ng bµi phï hîp víi häc sinh . Cung cÊp cho häc sinh hÖ thèng tõ bµi dÔ ®Õn bµi khã ®Ó t¹o tiÒn ®Ò cho häc sinh cã t duy s¸ng t¹o trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n n©ng cao Khi ®îc tiÕp cËn d¹ng to¸n nµy, häc sinh gi¶i lo¹i to¸n t×m ®é dµi ®o¹n th¼ng ®¹t hiÖu qu¶ cao h¬n nh ; thêi gian gi¶i to¸n ®îc gi¶m bít, sè lîng bµi tËp lµm ®îc ngµy cµng nhiÒu, kü n¨ng tr×nh bµy ®îc n©ng lªn, ngoµi ra häc sinh thªm phÇn tù tin trong gi¶i to¸n. TÊt c¶ nh÷ng ®iÒu ®ã gãp phÇn lµm cho ngµy cµng nhiÒu häc sinh say mª m«n to¸n. Qua s¸ng kiÕn nµy, t«i hy väng ®îc ®ång nghiÖp ñng hé vµ rÊt mong ®îc sù trao ®æi quý b¸u c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó s¸ng kiÕn “ T×m ®é dµi ®o¹n th¼ng th«ng qua ph¬ng tr×nh bËc hai” ngµy mét hoµn thiªn h¬n. C¸c tµi liÖu tham kh¶o 1. S¸ch gi¸o khoa To¸n 8. NXB Gi¸o dôc. 2. S¸ch bµi tËp To¸n 8. NXB Gi¸o dôc. 3. S¸ch gi¸o khoa Toµn 9. NXB Gi¸o dôc. 4. S¸ch bµi tËp To¸n 9. NXB Gi¸o dôc. 5.Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn To¸n 8. Vò H÷u B×nh. 6.Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn To¸n 9. Vò H÷u B×nh. 7. Bé ®Ò «n thi TNTHCS vµ thi vµo THPT n¨m 2001 – 2002. (Së GD-§T H¶i D¬ng) 20 21