Kinh nghiệm dạy giải phương trình bậc cao

  • Số trang: 19 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 34 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ PhÇn I : §Æt vÊn ®Ò I - LÝ do chän ®Ò tµi: To¸n häc lµ m«n khoa häc, lµ nÒn t¶ng cho c¸c m«n khoa häc kh¸c, cã øng dông trong hÇu hÕt c¸c lÜnh vùc cña cuéc sèng. To¸n häc gi÷ vai trß quan träng trong mäi bËc häc, lµm thÕ nµo ®Ó häc ®îc to¸n, häc giái to¸n ®ã lµ vÊn ®Ò ®Æt ra mµ kh«ng ph¶i lóc nµo còng gi¶i quyÕt ®îc mét c¸ch ®Ô dµng. Víi c¬ng vÞ lµ mét gi¸o viªn to¸n, t«i nhËn thÊy cÇn ph¶i ®Çu t suy nghÜ h¬n n÷a ®Ó t×m ra ph¬ng ph¸p tèt nhÊt phï hîp víi tõng ®¬n vÞ kiÕn thøc, gióp c¸c em tiÕp thu kiÕn thøc mét c¸ch chñ ®éng, nhÑ nhµng cã hiÖu qu¶. Trong ch¬ng tr×nh ®¹i sè THCS, viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh chØ dõng l¹i ë ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ ph¬ng tr×nh bËc hai lµ chñ yÕu. Khi gÆp ph¬ng tr×nh bËc cao häc sinh gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n, thËm trÝ kh«ng cã ph¬ng ¸n gi¶i. §iÒu ®ã còng dÔ hiÓu bëi do nhiÒu lÝ do mµ s¸ch gi¸o khoa kh«ng ®a ra c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc. ChÝnh v× vËy viÖc nhËn d¹ng, ph©n lo¹i vµ cã ph¬ng ph¸p gi¶I cho tõng d¹ng ph¬ng tr×nh bËc cao, gióp cho häc sinh ®Þnh híng vµ gi¶i ®¬c c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao lµ hÕt sc cÇn thiÕt. §ã chÝnh lµ lÝ do t«i chän ®Ò tµi nµy. II – nhiÖm vô nghiªn cøu : - Ph©n lo¹i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh bËc cao. - T×m ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh bËc cao. - C¸c vÝ dô minh häa. - C¸c bµi luyÖn tËp. II - §èi tîng nghiªn cøu : Häc sinh líp 9 trêng THCS NghÜa Phóc, huyÖn NghÜa Hng, tØnh Nam §Þnh. III - Ph¹m vi nghiªn cøu: Ph¬ng tr×nh bËc cao mét Èn víi hÖ sè nguyªn. PhÇn II : Néi dung I - Nh÷ng c¬ së lÝ luËn vµ thùc tiÔn: Khi d¹y gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao, phÇn bµi tËp trong SGK vµ SBT§S líp 9 lµ t¬ng ®èi ®¬n gi¶n ®èi víi ®èi tîng häc sinh. Nhng thùc tÕ khi khai th¸c c¸c d¹ng bµi tËp kh¸c ta míi thÊy sù phong phó ®a d¹ng. §Ó gi¶i ®îc c¸c thÓ lo¹i nµy ®ßi hái gi¸o viªn ph¶i cung cÊp cho häc sinh c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng thÓ lo¹i bµi tËp. Qua qu¸ tr×nh d¹y ph¬ng tr×nh bËc cao, t«i m¹nh d¹n ®a ra mét sè ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho c¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n thêng gÆp. 2 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ Theo t«i khi d¹y gi¸o viªn cÇn cung cÊp thªm cho häc sinh vµ yªu cÇu häc sinh n¾m ®îc nh÷ng néi dung kiÕn thøc c¬ b¶n sau: C¸c kh¸i niÖm : Ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, ph¬ng tr×nh bËc hai, ph¬ng tr×nh bËc bËc cao. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh. - - C¸c quy t¾c tÝnh to¸n vÒ c¸c kiÕn thøc ®¹i sè. - §Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng, c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph- ¬ng tr×nh. - C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí. - C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. - HÖ qu¶ ®Þnh lý B¬du. - S¬ ®å Hooc ne. - C¸ch nhÈm nghiÖm mét ph¬ng tr×nh. II - Nh÷ng ph¬ng ph¸p, biÖn ph¸p, gi¶i cô thÓ: A - Néi dung lý thuyÕt c¬ së: 1. Ph¬ng tr×nh, nghiÖm cña ph¬ng t×nh : Cho A( x1,x2,…,xn) vµ B( x1,x2,…,xn)lµ hai biÓu thøc chøa c¸c biÕn x1,x2,…,xn víi c¸c hÖ sè thuéc R. Khi ph¶i t×m phÇn tö (a1,a2,….,an) cña hai biÓu thøc b»ng nhau, tøc lµ : A(a1,a2,….,an) = B(a1,a2,….,an) th× ta viÕt : 3  R sao cho c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ A(x1,x2,…,xn) = B( x1,x2,…,xn) vµ gäi ®¼ng thøc ®ã lµ mét ph¬ng tr×nh. C¸c biÕn x1,x2,…,xn gäi la c¸c Èn cña ph¬ng tr×nh. TËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh: lµ nh÷ng gi¸ trÞ cña biÕn lµm cho mäi biÓu thøc trong ph¬ng tr×nh ®Òu cã nghÜa. Mçi phÇn tö (a1,a2,….,an)  R tháa m·n ®¼ng thøc : A(a1,a2,….,an) = B(a1,a2,….,an) ®îc gäi lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. ViÖc t×m nghiÖm thuéc R ®îc gäi lµ gi¶i ph¬ng tr×nh. - Ph¬ng r×nh bËc nhÊt : Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng : ax + b = 0 ( a 0) Trong ®ã xlµ Èn ; a, b lµ c¸c hÖ sè C¸ch gi¶i : + NÕu a 0 Pt cã nghiÖm duy nhÊt : x =  b a + NÕu a = 0 Pt cã d¹ng : 0x = -b . b 0 => 0x = b . Pt v« nghiÖm. . b = 0 => 0x = 0 . Pt cã v« sè nghiÖm x  R. - Ph¬ng tr×nh bËc hai : Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng : ax2 + bx + c = 0 ( a 0) Trong ®ã xlµ Èn ; a, b,c lµ c¸c hÖ sè C¸ch gi¶i : Theo lîc ®å sau. ax2 + bx + c = 0 ( a0) X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a,b,c TÝnh a + b + c =0 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = 1 ; x2 = =0 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = -1 ; x2 = 0 TÝnh a - b + c . 0 TÝnh <0 >0 =0 Ph¬ng tr×nh cã Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ¬ngph¬ng tr×nh tr×nh sau: VÝ dô.Ph Gi¶i nghiÖm kÐp x1 = ; x2 = v« nghiÖm x = x = a, x2 + 3x - 1 = 0 1 2 Cã : a = 1; b = 3 ; c = -1  = 32 - 4.1.(-1) = 9 + 4 = 13 > 0 . Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt: 2 Ph¬ng tr×nh bËc cao x1 = NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§  3  13 2 ; x2 =  3  13 2 b, 4x2 - 4x + 1 = 0 Cã : a = 4; b = -4; c = 1  = (-2)2 - 4.1 = 4 - 4 = 0. Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x 1 = x2 =  ( 2) 1  4 2 c, 3x2 + 5x + 4 = 0 Cã : a = 3; b = 5; c = 4  = 52 - 4.3.4 = 25 - 48 = -23 < 0 . Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. d, 7x2 + 23x - 30 = 0 Cã a + b + c = 7 + 23 - 30 = 0. Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm : x1 = 1 ; x2 =  30 7 e, x2 - 60x - 61 = 0 Cã: a - b + c = 1 - (-60) - 61 = 0. Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x1 = -1 ; x2 = 61 - Ph¬ng tr×nh bËc cao : lµ pt d¹ng anxn + an - 1x n - 1 + .............. +a1x + a0 = 0 (anxn + an - 1x n - 1 + .............. +a1x + a0 lµ ®a thøc bËc n ( n  3) ) Trong ®ã xlµ Èn ; an,an - 1, ….,a1,a0 lµ c¸c hÖ sè C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao chÝnh lµ néi dung chÝnh cña ®Ò tµi nµy vµ ®îc nghiªn cøu ë phÇn sau. 2. §Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: Hai ph¬ng tr×nh gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp hîp nghiÖm. 3. C¸c ®Þnh lý vÒ biÕn ®æi t¬ng ®¬ng c¸c ph¬ng tr×nh : a, §Þnh lý 1: NÕu céng cïng mét ®a thøc chøa Èn vµo hai vÕ cña ph¬ng tr×nh th× ®îc mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô : x4 - 24x = 32  x4 - 24x + 4x2 + 4 = 32 + 4x2 + 4 ( Céng 4x2 + 4 vµo 2 vÕ ) HÖ qu¶ 1 : NÕu chuyÓn mét h¹ng tö tõ vÕ nµy sang vÕ kia cña mét ph¬ng tr×nh ®ång thêi ®æi dÊu h¹ng tö Êy th× ®îc ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô : 2x - 7 = 4x + 9  2x - 4x = 9 + 7 ( ChuyÓn vÕ ®æi dÊu hai h¹ng tö 4x vµ -7 ) HÖ qu¶ 2 : NÕu xãa hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ®îc ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô : - 4x + x2 -5 = 2x + x2  - 4x -5 = 2x ( Xãa h¹ng tö x2 ë hai vÕ ) 3 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ b, §Þnh lý 2: NÕu nh©n mét sè kh¸c 0 vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ®îc ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho. VÝ dô :  1 2 3 x - 3x = 2 4 2x2 - 12x = 3 ( Nh©n hai vÕ víi 4 ) 4. HÖ qu¶ ®Þnh lÝ B¬du: x =  lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)  f(x) chia hÕt cho nhÞ thøc x -  §Þnh lÝ nµy gióp chóng ta ®a Pt bËc cao vÒ ph¬ng tr×nh tÝch ( quy vÒ gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh cã bËc thÊp h¬n) : Ph¬ng tr×nh : anxn + an - 1x n - 1 + .............. +a1x + a0 = 0 (*) nÕu cã nghiÖm x =  Th× (*) <=> (x - )(anx n - 1+ bnxn-2 + … + b1x + b0) = 0 5. S¬ ®å Hoocne: Gi¶ sö g(x) = bn - 1xn -1 + bn - 2x n - 2 + .............. +b1x + b0 vµ r lµ th¬ng vµ d cña phÐp chia ®a thøc f(x) = anxn + an - 1x n - 1 + ..............+ a1x + a0 cho nhÞ thøc x - . Khi ®ã r vµ c¸c hÖ sè cña g(x) ®îc tÝnh theo s¬ ®å sau: an bn-1 (=an)  an-1 bn-2 (= bn-1 +an-1) an-2 bn-3 (= bn-2 +an-2) ......... …….. a1 b0 (= b1 +a1) a0 r (= b0 +a0) 6. NghiÖm (nÕu cã) cña mét ph¬ng tr×nh: Ph¬ng tr×nh anxn + an - 1x n - 1 + .............. + a1x + a0 = 0 - NghiÖm nguyªn cña Pt ph¶i lµ íc cña a0 - NghiÖm h÷u tû cña Pt cã d¹ng p q ( trong ®ã p lµ íc cña a0; q lµ íc d¬ng cña an). Chó ý : Gäi m lµ tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc ch½n vµ n lµ tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc lÎ + NÕu m + n = 0  Pt cã nghiÖm x = 1 + NÕu m - n = 0  Pt cã nghiÖm x = -1 B - VËn dông lý thuyÕt vµo gi¶ng d¹y thùc tiÔn: - Cung cÊp cho häc sinh nh÷ng néi dung lÝ thuyÕt trªn. - C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao: I. NhÈm nghiÖm cña Pt, ®a Pt vÒ Pt tÝch : a) VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x3 + 5x2 + 3x - 9 = 0 (*) Gi¶i: 4 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ Pt cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 ( 1+5+3-9 =0 ) nªn cã mét nghiÖm nguyªn x = 1. Sö dông s¬ ®å Hoocne cã : 1 5 3 1 1 6 9 (*) <=> (x - 1)(x2 + 6x + 9) = 0. T×m ®îc x1 = 1; x2,3 = -3 -9 0 b, VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3x3 - 14x2 + 4x + 3 = 0 (*) Gi¶i: Ta thÊy Pt cã nghiÖm h÷u tØ x =  1 , nªn khi ph©n tÝch VT cña Pt thµnh nh©n tö, sÏ cã 3 nh©n tö 3x + 1. Khi ®ã ngoµi viÖc sö dông s¬ ®å Hoocne ta cã thÓ dïng c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµm xuÊt hiÖn nh©n tö 3x + 1: (*)  3x3 + x2 - 15x2 - 5x+ 9x + 3 = 0  x2(3x + 1) - 5x(3x + 1) + 3(3x + 1) = 0  (3x + 1)( x2 - 5x+ 3) = 0 . NghiÖm Pt : x1 =  1 ; x2,3 = 5  13 . 3 2 * Bµi luyÖn tËp BT1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a, 2x3 - 5x2 - 3x = 0 b, x3 - 7x + 6 = 0 c, x3 - 5x2 + x + 5 = 0 d, x3 - 13x2 - 42x - 36 = 0 e, x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 f, 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = 0 II. C¸c d¹ng ®Æc biÖt : 1. Ph¬ng tr×nh tam thøc : Ph¬ng tr×nh tam thøc lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng : ax2n + bxn + c = 0 ( a 0) Trong ®ã a,b,c lµ c¸c sè thùc, n nguyªn d¬ng vµ n  2 - NÕu a,b,c ®ång thêi kh¸c 0 vµ n = 2 th× ta cã ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng : ax4 + bx2 + c = 0 . VÝ dô. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 - 4x2 + 3 = 0 §Æt x2 = t . §iÒu kiÖn t  0 Ph¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng : t2 - 4t + 3 = 0 Cã : a + b + c = 1 - 4 +3 = 0. Pt cã hai nghiÖm t1 = 1; t2 = 3 x=1 + Víi t1 = 1 = > x2 = 1  x = -1 x= 3 x=- 3 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm x1 = + Víi t2 = 3 = > x2 = 3  3 5 ; x2 = -1; x3 = 1; x4 = 3 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ - Khi n > 2 . §Æt xn = t , ®Ó t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ta gi¶i hÖ : xn = t at2 + bt + c = 0 VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x6 - 9 x3 + 8 = 0 Gi¶i: §Æt x3 = t , ta cã : t2 - 9 t + 8 = 0 => t1 = 1 => x1 = 1 t2 = 8 => x2 = 2 VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x8 + 6x4 - 7 = 0 Gi¶i: §Æt x4 = t ( t 0) Pt ®· cho cã d¹ng : t2 + 6t - 7 = 0 => t1 = 1 => x = 1 t2 = -7 ( lo¹i). * Bµi luyÖn tËp BT2 . Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a, x4 + 4x2 - 5 = 0 b, x6 - 7x3 - 8 = 0 c, x8 + x4 - 2 = 0 d, x10 - 10x5 + 31 = 0 2. Ph¬ng tr×nh ®èi xøng. Mét ph¬ng tr×nh d¹ng : anxn + an - 1x n - 1 + .............. + a1x + a0 = 0 trong ®ã vÕ tr¸i lµ ®a thøc bËc n ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh ®èi xøng nÕu c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng c¸ch ®Òu sè h¹ng ®Çu vµ sè h¹ng cuèi b»ng nhau, nghÜa lµ : an= a0, an - 1 = a1,……. Tïy theo n lµ sè ch½n hay lÎ mµ ta cã ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n hay bËc lÎ. VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1 = 0 Gi¶i: V× x =0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña Pt nªn chia c¶ hai vÕ cña Pt cho x2 0 ta cã : x2 + 6x+ 11 +  (x2 + §Æt x+ 1 6 + 2 =0 x x 1 1 ) + 6( x+ ) + 11 = 0 2 x x 1 1 1 = t  x2 + 2 + 2 = t2  x2 + 2 = t2 - 2 x x x  Pt cã d¹ng : t2 - 2 + 6t + 11) = 0 => (t + 3)2 = 0 => t = -3 x+ 1 + 3 = 0 => x2 + 3x+1 = 0 . NghiÖm Pt : x1,2 =  3  5 x 2 VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3x6 - 4x5 + 2x4 - 8x3 + 2x2 - 4x + 3 = 0 (*) Gi¶i: V× x =0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña Pt nªn chia c¶ hai vÕ cña Pt cho x2 0 ta cã : 3x3 - 4x2 + 2x - 8 + 4 3 2 - 2 + 3 =0 x x x 6 Ph¬ng tr×nh bËc cao  NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ 3(x3 + 1 1 1 ) - 4( x2 + 2 ) + 2(x+ ) - 8 = 0 3 x x x 1 1 = t  x 2 + 2 = t2 - 2 x x §Æt x+ x3 + 1 = t3 - 3t 3 x Pt ®· cho cã d¹ng : 3 ( t3 - 3t) - 4( t2 - 2) + 2t - 8 = 0  3t3 - 4t2 - 7t = 0  t ( 3t2 - 4t -7) = 0  t ( t + 1) ( 3t - 7) = 0 => (*)  ( x2 + 1) ( x 2 + x +1) ( 3x2 - 7x + 3) = 0. x2 + 1 = 0. Pt v« nghiÖm x 2 + x +1 = 0. Pt v« nghiÖm 3x2 - 7x + 3 = 0. Pt cã 2 ngiÖm: x1,2 = 7  13 6 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1,2 = 7  13 6 VÝ dô 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 (*) §©y lµ ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc lÎ ( bËc 5), ta kh«ng thÓ gi¶i ngay t¬ng tù nh VD1 vµ VD2. Ta nhËn thÊy Pt ®èi xøng bËc lÎ bao giê còng cã mét nghiÖm lµ x = -1 Khi ®ã (*)  (x + 1)( 2x4 + x3 - 6x2 + x + 2) = 0 .  x+1=0 2x4 + x3 - 6x2 + x + 2 = 0 ( Pt ®èi xøng bËc ch½n ®· biÕt c¸ch gi¶i ) Chó ý: NÕu m lµ nghiÖm cña ph¬ng r×nh ®èi xøng th× 1 còng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh m ®ã. * C¸ch chia c¶ hai vÕ cña Pt cho x2  0 còng ®îc sö dông ®èi víi c¸c Pt cã d¹ng : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 trong ®ã e d   a b 2 gäi lµ ph¬ng tr×nh håi quy .§Ó gi¶i Pt d¹ng nµy ta ®Æt Èn phô : t = x + d bx VÝ dô. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 = 0 (*) Gi¶i: V× x =0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña Pt nªn chia c¶ hai vÕ cña Pt cho x2 0 ta cã : 1 1 )+6(x- )+7=0 2 x x 1 1 . §Æt x = t  x 2 + 2 = t2 + 2 x x (x2 + Pt ®· cho cã d¹ng : t2 + 2 + 6t + 7 = 0  ( t2 + 3 )2 = 0 7 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ (*)  ( x2 + 3x - 1)2 = 0. NghiÖm cña Pt (*): x1,2 =  3 7 2 * Bµi luyÖn tËp BT3 . Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a, x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1 = 0 b, x 6 + 3x5 - 30x4 - 29 x3 - 30 x2 + 3x + 1 = 0 c, x5 - 5x4 + 4x3 + 4x2 - 5x + 1 = 0 d, x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1 = 0 e, x4 + 3x3 - 14 x2 - 6x + 4 = 0 3. Ph¬ng tr×nh d¹ng : (ax + m) (bx + n) ( cx + k) ( dx + l) = r (*) trong ®ã a.d = b.c vµ a.l + d.m = b.k + c.n C¸ch gi¶i : (*)  [(ax + m) ( dx + l)][ (bx + n) ( cx + k)] = r  [adx2 + (a.l + d.m)x + ml][ bcx2 + (b.k + c.n)x + nk] = r Do a.d = b.c vµ a.l + d.m = b.k + c.n . Nªn ®Æt adx2 + (a.l + d.m)x = t Khi ®ã Pt cã d¹ng At2 + Bt + C = 0. Gi¶i Pt t×m t . Sau ®ã gi¶i Pt : adx2 + (a.l + d.m)x = t ta t×m ®îc nghiÖm cña Pt ®· cho. VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh : ( 4x + 1) ( 12 x - 1) ( 3x + 2) ( x + 1) = 4 (*) Gi¶i  ( 4x + 1) ( 3x + 2)  ( 12x - 1) ( x + 1) = 4 ( 12x2 + 11x + 2)( 12x2 + 11x - 1) = 4 §Æt 12x2 + 11x = y  ( y + 2) ( y - 1) - 4 = 0 y2 + y - 6 = 0 =>y=2;y=-3 (*)  (12x2 + 11x - 2) (12x2 + 11x + 3) = 0 .Gi¶i tiÕp ta cã nghiÖm : x1,2 =  11  217 24 VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x2 + 5x + 6)(x2 + 9x + 20) = 24 (*) Gi¶i (*)  ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) = 24  [( x + 2) ( x + 5)][ ( x + 3) ( x + 4)] = 24  (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24 = 0 2 2 §Æt x2 + 7x + 11 ( =  x  7 x  10   x  7 x  12  ) = t 2 Pt cã d¹ng : (t - 1)(t + 1) - 24 = 0  t2 = 25  t =  5 8 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ (*)  ( x2 + 7x + 6) ( x2 + 7x + 16) = 0 ( x + 1) ( x + 6) ( x2 + 7x + 16) = 0 . Ta t×m ®îc nghiÖm : x1,2 = -6 ; -1 * Bµi luyÖn tËp BT4 . Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a, x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8 b, (x - 4)(x - 5) (x - 6)(x - 7) = 1680 c, (4x + 3)2 (x + 1) (2x + 1) = 810 d, (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 15 = 0 4. Ph¬ng tr×nh d¹ng : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 trong ®ã a.d = b.c C¸ch gi¶i Nhãm [(x + a)( x + d)][ (x + b)(x + c)] = mx2 råi ®Æt Èn phô t  x  ad x VÝ dô. Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x+ 12) = 4x2 Gi¶i Ta nhãm nh sau : [(x + 2)(x+ 12)][(x + 3)(x + 8)] = 4x2  (x2 + 14x + 24)( x2 + 11x + 24) = 4x2 V× x =0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña Pt nªn chia c¶ hai vÕ cña Pt cho x2 0 ta cã : 24  24  24  = y, ta cã : (y + 14)(y + 11) - 4 = 4  x  14   x  11   = 4. §Æt x  x  x  x   y2 + 25y + 150 = 0 Gi¶i Pt ta ®îc y1 = -10; y2 = -15 Pt cã 4 nghiÖm x1 = -4 ; x2 = -6 ; x3,4 = => x2 +10x +24 = 0 x2 +15x +24 = 0  15  129 2 * Bµi luyÖn tËp BT5 . Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a, 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x+ 12) = 3x2 b, (x - 8) (x - 4) (x - 2) (x - 1) = 4x2 5. Ph¬ng tr×nh d¹ng : (x + a)4 + (x + b)4 = m C¸ch gi¶i §Æt y = x  a b , khi ®ã x + 2 a =y+a 2 b ; x+ b = y - Ta thu ®îc Pt trïng ph¬ng ®· biÕt c¸ch gi¶i. VÝ dô. Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x + 5)4 + (x +3)4 = 2 Gi¶i §Æt x + 4 = y => x + 5 = y + 1; x + 3 = y -1 Pt ®· cho cã d¹ng : (y + 1)4 + (y - 1)4 = 2 9 a b 2 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§  y4 + 4y3 + 6y2 + 4y +1 + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y +1 = 2 y2 = 0 khi ®ã x + 4 = 0. Pt cã nghiÖm x = -4 y2 = -6 5. Vµi d¹ng ph¬ng tr×nh bËc cao kh¸c : y4 + 6y2 = 0  Víi ph¬ng tr×nh bËc 4 : ax4 + bx3 + cx2 + dx +e = 0 5.1 §a VT vÒ d¹ng “hiÖu hai b×nh ph¬ng” => Pt tÝch VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 + 4x3 + 3x2 + 2x -1 = 0 Gi¶i 4 3 2 x + 4x + 3x + 2x -1 = 0  x4 + 4x3 + 4x2 - x2 + 2x -1 = 0  (x2 + 2x)2 - (x - 1)2 = 0 x2 + x + 1 = 0  (x2 + x + 1)( x2 + 3x -1) = 0  x2 + 3x - 1 = 0 Pt ®· cho cã 2 nghiÖm x1,2 =  3  13 2 VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 - 24x = 32 Gi¶i Thªm 4x + 4 vµo 2 vÕ ta ®îc: (x + 4x + 4) - (4x2 + 24x + 36) = 0  (x2 + 2)2 - (2x + 6)2 = 0 2 2 4 2 x + 2x + 8= 0  (x + 2x + 8)( x - 2x - 4) = 0 Pt ®· cho cã 2 nghiÖm x1,2 = 1  2 2  5 x2 - 2x - 4= 0 5.2 Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 + 2x3 - x2 - 2x -15 = 0 Gi¶i x4 + 2x3 - x2 - 2x -15 = 0 x4 + 2x3 + x2- 2x2 - 2x -15 = 0   (x2 + x)2 - 2( x2 + x) - 15 = 0 §Æt x2 + x = t  Pt cã d¹ng : t2 -2t -15 = 0  t = 5 hoÆc t = -3  (x2 + x - 5) (x2 + x + 3) = 0 Pt cã nghiÖm x1,2 =  1  21 2 a) 5.3 Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = 0 (*) Gi¶i (Pt nµy kh«ng thuéc c¸c d¹ng trªn. §Ó gi¶i Pt ta dïng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh ®Ó ®a Pt vÒ Pt tÝch) Gi¶ sö x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = ( x2 + ax + b) ( x2 + cx + d)  x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = x4 + (a+ c)x3 + ( ac + b + d) x2 + ( ad + bc) x + bd §ång nhÊt hÖ sè : a + c = -6 10 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ ac + b + d = 12 ad + bc = -14 bd = 3 XÐt bd = 3. Chän b = 1  d = 3 a + c = -6  ac = 8  3a + c = -14 a = -4 c = -2  (* )  ( x2 - 4x + 1) ( x 2 - 2x + 3) = 0 Pt cã nghiÖm x1,2 = 2 3 2 Híng dÉn hoÆc ®¸p sè : BT1: a, x(x - 3) ( 2x + 1) = 0 => NghiÖm Pt: x1 = 0; x2 = 3; x3 =  1 . b , ( x - 1) ( x - 2) (x + 3 ) = 0 c , ( x + 1)( x2 - 6x + 7) = 0 => NghiÖm Pt: x1 = 1; x2 = 2; x3 = -3. => NghiÖm Pt: x1 = -1; x2,3 = 3  2 d, (x - 3)(x2 - 10x + 12) = 0 e , (x -1)(x + 2)( x2 + x + 6) = 0 => NghiÖm Pt: x1 = 3; x2,3 = 5  => NghiÖm Pt: x1 = 1; x2 = - 2 . f, ( 3x -1) ( x2 - 2x + 5) = 0 => NghiÖm Pt: x = 2 1 . 3 BT2: a, x1 = 1; x2 = - 1. b, §Æt x3 = t => t1 = - 1 => x1 = -1 t2 = 8 => x2 = 2 c, §Æt x4 = t ( t 0) => t1 = 1 => x1 = 1; x2 = - 1 . t2 = - 2 ( Lo¹i) d, §Æt x5 = t => t2 - 10t + 31 = 0. V« nghiÖm BT3: a, ( x2 - 3x + 1) ( x2 - 4x + 1) = 0 b, (x2 + x + 1)( x2 - 5x + 1) ( x2 + 7x + 1) = 0 c, ( x + 1)( x4 - 6 x3 + 10x2 - 6x + 10) = 0. NghiÖm x1 = 1; x2 = -1; x2,3 = d + e, Pt håi quy: d, x1,2 = 2 5 e, §Æt x  ; x3,4 = => t = 3 . NghiÖm : x1,2 = 2 3  1 5 2 2 = t. NghiÖm: x1,2 = 1  3 ; x3,4 =  5  33 x 2 BT4: a, (x2 + 3x)( x2 + 3x + 2) = 8. §Æt x2 + 3x + 1= t  3  17 2 b, [(x - 4) (x - 7)][ (x - 5) (x - 6)] = 1680. §Æt x2 - 11x + 29 = t NghiÖm : x1 = 12 ; x2 = -1. c, (4x + 3)2 (4x + 4) (4x + 2) = 810.8 ( Nh©n c¶ 2 vÕ víi 8) 11 13 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§  (16x2 + 24x + 9) (16x2 + 24x + 8) - 6480 = 0 §Æt 16x2 + 24x + 8 = t. T×m nghiÖm HoÆc ®Æt 4x + 3 = t = > t4 - t2 - 6480 = 0 => t = 9 . NghiÖm x1 = d, ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x + 7) + 15 = 0  [( x + 1)( x + 7)][ ( x + 3) ( x + 5)] + 15 = 0 §Æt x2 + 8x + 11 = t. NghiÖm: x1 = -2 ; x2 = -6; x3,4= -4 BT5: a, 4(x2 + 17x + 60) (x2 + 16x + 60) = 3x2 §Æt x   6 . 60  15 ; x3,4=  35  265  16 = t. NghiÖm: x1 = -8 ; x2 = x 2 4 b, (x2 - 9x + 8) (x2 - 6x + 8) = 4x2 8 x §Æt x   6  t. NghiÖm: x1,2=  7 12 3 ; x2 = -3. 2 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ b) x2 + 4x -12 c) 2x3 - 5x2 - 3x d) x4 + 4x2 - 5 e) x3 - 7x + 6 f) 3x3 - 7x2 + 17x - 5 g) 4x4 - 4x3 + 15x 2 + 3x - 3 3)Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) (x2 + 5x)2 - 2( x2 + 5x) - 24 b)( x2 + 3x + 1) (x2 + 3x + 2) - 6 c) ( x2 + 4x + 8)2 + 3x ( x 2 + 4x + 8) + 2x2 d)x( x + 4) ( x+ 6) ( x+10) + 128 e) 4x( x + y) ( x + y+ z ) ( x + z) + y2z2 f) x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1 g)x 6 + 3x5 - 30x4 - 29 x3 - 30 x2 + 3x + 1 Ph¬ng ph¸p: Dù ®o¸n nh©n tö d¹ng tæng qu¸t , sau ®ã ®ång nhÊt hÖ sè 2 vÕ t×m c¸c hÖ sè cha biÕt. b) x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 c) x5 - 2x4 - 10x3 - 13x2 - 16x + 4 d) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 e) 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1 Mét sè bµi tËp ¸p dông: 6) T×m nghiÖm cña ®a thøc: a) x2 - 7x+ 6 b) x3 + 5x2 + 8x + 4 c) (y + 1) ( 2 - y) + ( y - 2)2 + y2 -4 d) ( x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12 e) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x +1 7) Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) 6x2 - 11x + 3 = 0 b) x3 - 7x - 6 = 0 c) x3 - 9x2 + 6x + 16 = 0 d) x3 - x2 - x = 2 e) 2x3 - x2 + 5x + 3 = 0 f) 27x3 - 27x2 + 18x - 4 = 0 g) (x2 + 8x + 7) ( x2 + 8x + 15) + 15 = 0 h) i) 4 ( x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) - 3x2 = 0 j) ( 12x + 7)2 ( 3x + 2) ( 2x + 1) = 3 8) Rót gän 13 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ 2 a) 3x 2  5 x  2 3x  7 x  2 b) x 4  16 x 4  4 x 3  8x 2  16 x  16 ChØ dÉn hoÆc ®¸p sè : 1) a) (x + 6) ( x - 2) b) x(x - 3) ( 2x + 1) c)(x - 1) ( x + 3)2 d) ( x - 1) ( x + 1) ( x2 + 5) e) ( x - 1) ( x - 2) (x + 3) f) ( 3x -1) ( x2 - 2x + 5) g) ( 2x +1) ( 2x3 - 3x2 + 9x - 3) ®a thøc 2x3 - 3x2 + 9x - 3 bÊt kh¶ quy v× ta t×m ®îc sè p = 3 th¶o m·n tiªu chuÈn Aidenxtain¬ h) (3x+1) ( x2 - 5x + 3) 2) a) Thªm bít 4x2 kÕt qu¶ ( x2 + 2x + 2) ( x2 - 2x + 2) b) ( x2 + 4x + 8) ( 8x2 - 4x + 8) c) ( 8x2 - 4x + 1) ( 8x2 + 4x + 1) d) ( 9x2 - 6x + 2) ( 9x2 + 6x + 2) e )(2x2 + 2x + 1) (2x2 - 2x + 1) f) (8x2 + y2 + 4xy) (8x2 + y2 - 4xy) g)( x2 + 6x + 18) ( x2 - 6x + 18) h) (x2 + x + 1) (x3 - x + 1) i) ( x2 + x + 1) ( x6 - x 4 + x3 - x + 1) k)- (x2 + x +1) ( x5 - x 4 + x3 - x + 1) l) (x 2 + x + 1) (x 2 - x + 1) ( x6 - x 4 + 1) m) (x 2 + x + 1) (x 2 - x + 1) 3) a) §Æt t = x2 + 5x cho kÕt qu¶ t2 - 2t - 24 = ( t + 4) ( t - 6) = (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x - 6) = ( x + 1) ( x + 4) ( x - 1) ( x + 6) b) ( x2 + 3x - 1) ( x2 + 3x + 4) c) §Æt x2 + 4x + 8 = t cã : t2 + 3xt +2x2 = t2 + 2xt + xt + 2x2 = ( 2x + t) ( t + x) =(x2 + 6x + 8) ( x2 + 5x + 8) = ( x + 2) ( x + 4) ( x 2 + 5x + 8) 2 d) (x +2) ( x + 8) ( x + 10x + 8) f) 4 (x2 + xy + xz) ( x2 + xy + xz + yz) + y2 z2 ®Æt x2 + xy + xz = m  4m ( m + yz) + y2 z2 = ( 2m + yz)2 = ( 2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 g) ( x2 - 3x + 1) ( x2 - 4x + 1) g h) (x2 + x + 1)( x2 - 5x + 1) ( x2 + 7x + 1) 4) a) ( x - y) ( x - z) ( z - y) ( xz + yz + xy) b) ( a + b) ( b + c) ( a - c) c) ( b - c) ( c - a) ( a - b) ( a + b + c) d ) ( x - 2z) ( y - 2z) ( x + y) e) (2x - y) ( 2x + z) ( y + z) ( 2x + y - z) f) 3( x2 + y2) (y2+ z2)( x + z) ( x - z) g) ( a - b) ( b - c) ( c - a) h) ( a - b ) ( b - c) ( c - a) ( a + b + c) i) ( a - b)( b - c) ( a - c) 14 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ j) ( a2 - b) ( b2 - c) ( c2 - a) k) D¹ng : xy ( x + y) + xz ( x + z) + yz ( y + z) + 2xyz KÕt qu¶ (x + y) ( y + z) ( x + z) l) 3( x + y) ( y + z) ( x + z) a) b) ( x+ 2) ( x 4 - 4x 3 - 2x 2 - 9x + 2) = ( x+ 2) ( x2 + x + 2) ( x2 - 5x + 1) d) D¹ng ( 3x + ay + b) ( x + cy + d)  kÕt qu¶ ( 3x + y + 5) ( x + 7y + 2) 6) a) x = 1; 6; b) x = -1; -2 c) ( y + 1) ( 2 - y) + ( y - 2) 2 + ( y - 2) ( y + 2) = ( y - 2) ( y -1) y=1;2 2 2 2 d) ( x + x ) + 4 (x + x) - 12 . §Æt x2 + x = t  t = 6 ; -2 Víi t = 6  x2 + x - 6 = 0  x = 2 ; -3 Víi t = -2 ®a thøc x2 + x + 2 kh«ng cã nghiÖm e) ( x + 1)4  x = -1 7) a)x= 1 ; 3 3 2 b) x = -1 : -2 ; 3 c) x = -1; 2 ; 8 d) x = 2 1 2 e) x = f) x = 1 3 g) §Æt x2 + 8x + 11 = t  t = 1 ; -1 Víi t = 1  x2 + 8x + 10 = 0 kh«ng cã nghiªm h÷u tû víi t = -1  x = - 2; -6 h) i) ( x + 8) ( 2x + 5) ( 2x2 + 35x + 120) = 0  x = -8 ; - 5 2 k) Nh©n 2 vÕ víi 24  ( 12x+ 7) 2 ( 12x + 8) ( 12x+ 6) = 72 §Æt 12 x + 7 = y  x = (3 x  1)( x  2) (3 x  1)( x  2) 1 5 ;- . 3 6 x2 x 2 2 ( x  4)( x  2)( x  2) x2 b) = 2 2 ( x  4)( x  2) x 2 8) a) c) = ( x  5)( x 2  2 x  3) 1 = 2 ( x  5)( x 2  2 x  3) 2 x  2x  3 d) ( x + y) ( y + z) ( x + z) ( x  z )( x  z )( x  y )( x  y  z ) ( y  z )( x  z )( x  y ) 3 3 a) x2 + 3x + 3 x=4 2 2 ( x  1)( x  2)( x  1)( x  3) b) = ( x  1)( x 2  3) e) 9) =x+y+z x2 - 3x + 2  - 1 3 x= 4 2 C -KÕt qu¶ thu ®îc: - Gi¸o viªn : HiÓu s©u s¾c h¬n vÒ kiÕn thøc, gi¸o viªn tù tin h¬n trong khi gi¶ng d¹y vµ ®¹t hiÖu qu¶. Häc sinh : + N¾m ®îc c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, ®Þnh híng tèt khi lµm bµi tËp , vËn dông tèt c¸c bµi tËp liªn quan. - 15 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ + KÕt qu¶ cô thÓ : Häc sinh lµm ®îc tÊt c¶ c¸c bµi tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vµ c¸c bµi tËp cã liªn quan trong ®ît thi häc sinh giái huyÖn ®ît I n¨m häc 2003 2004. PhÇn III : KÕt luËn : Qua nghiªn cøu vµ thùc tiÔn gi¶ng d¹y t«i thÊy viÖc d¹y cho häc sinh c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ®a thøc, nhÊt lµ c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ hÕt søc cÇn thiÕt, bëi nã cã tÇm quan träng ®Æc biÖt trong to¸n häc . Tuy nhiªn vÊn ®Ò ®Æt ra lµ cÇn ®a cung cÊp cho häc sinh ë møc ®é nµo, häc thÕ nµo cßn tuú thuéc vµo kh¶ n¨ng nhËn thøc cña häc sinh . §Ò tµi nµy ®îc viÕt tõ nhËn thøc cña b¶n th©n ®îc ®óc kÕt trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt. RÊt mong c¸c thÇy c«, b¹n ®ång nghiÖp gãp ý ®Ó ®Ò tµi ® îc hoµn h¶o cã tÝnh thùc tiÔn h¬n. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Ngêi viÕt ®Ò tµi NguyÔn V¨n Minh 16 Ph¬ng tr×nh bËc cao Tr NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o huyÖn nghÜa hng Trêng THCS NghÜa Phóc *****************&********************* §Ò Tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm Tªn ®Ò tµi : mét sè vÊn ®Ò vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Ngêi thùc hiÖn : NguyÔn V¨n Minh §¬n vÞ : Trêng THCS NghÜa Phóc 17 Ph¬ng tr×nh bËc cao NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§ Môc lôc PhÇn I : §Æt vÊn ®Ò I - LÝ do chän ®Ò tµi II - §èi tîng nghiªn cøu III - Ph¹m vi nhgiªn cøu PhÇn II : Néi dung I - Nh÷ng c¬ së lÝ luËn vµ thùc tiÔn II - Nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ph¸p cô thÓ A - Néi dung lÝ thuyÕt c¬ së B - VËn dông lÝ thuyÕt vµo thùc tiÔn gi¶ng d¹y Ph¬ng ph¸p th«ng thêng Ph¬ng ph¸p ®Æc biÖt Mét sè bµi tËp ¸p dông ChØ dÉn hoÆc ®¸p sè C - KÕt qu¶ thu ®îc PhÇn III - KÕt luËn 18 3 4 6 Trang 3 3 3 4 4 4 6 7 14 15 18 19
- Xem thêm -