Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
PhÇn I : §Æt vÊn ®Ò
I - LÝ do chän ®Ò tµi:
To¸n häc lµ m«n khoa häc, lµ nÒn t¶ng cho c¸c m«n khoa häc kh¸c, cã øng dông
trong hÇu hÕt c¸c lÜnh vùc cña cuéc sèng. To¸n häc gi÷ vai trß quan träng trong mäi bËc
häc, lµm thÕ nµo ®Ó häc ®îc to¸n, häc giái to¸n ®ã lµ vÊn ®Ò ®Æt ra mµ kh«ng ph¶i lóc nµo
còng gi¶i quyÕt ®îc mét c¸ch ®Ô dµng. Víi c¬ng vÞ lµ mét gi¸o viªn to¸n, t«i nhËn thÊy cÇn
ph¶i ®Çu t suy nghÜ h¬n n÷a ®Ó t×m ra ph¬ng ph¸p tèt nhÊt phï hîp víi tõng ®¬n vÞ kiÕn
thøc, gióp c¸c em tiÕp thu kiÕn thøc mét c¸ch chñ ®éng, nhÑ nhµng cã hiÖu qu¶.
Trong ch¬ng tr×nh ®¹i sè THCS, viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh chØ dõng l¹i ë ph¬ng tr×nh
bËc nhÊt vµ ph¬ng tr×nh bËc hai lµ chñ yÕu. Khi gÆp ph¬ng tr×nh bËc cao häc sinh gÆp rÊt
nhiÒu khã kh¨n, thËm trÝ kh«ng cã ph¬ng ¸n gi¶i. §iÒu ®ã còng dÔ hiÓu bëi do nhiÒu lÝ do
mµ s¸ch gi¸o khoa kh«ng ®a ra c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc. ChÝnh v× vËy viÖc
nhËn d¹ng, ph©n lo¹i vµ cã ph¬ng ph¸p gi¶I cho tõng d¹ng ph¬ng tr×nh bËc cao, gióp cho
häc sinh ®Þnh híng vµ gi¶i ®¬c c¸c ph¬ng tr×nh bËc cao lµ hÕt sc cÇn thiÕt. §ã chÝnh lµ lÝ do
t«i chän ®Ò tµi nµy.
II – nhiÖm vô nghiªn cøu :
- Ph©n lo¹i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh bËc cao.
- T×m ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh bËc cao.
- C¸c vÝ dô minh häa.
- C¸c bµi luyÖn tËp.
II - §èi tîng nghiªn cøu :
Häc sinh líp 9 trêng THCS NghÜa Phóc, huyÖn NghÜa Hng, tØnh Nam §Þnh.
III - Ph¹m vi nghiªn cøu:
Ph¬ng tr×nh bËc cao mét Èn víi hÖ sè nguyªn.
PhÇn II : Néi dung
I - Nh÷ng c¬ së lÝ luËn vµ thùc tiÔn:
Khi d¹y gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao, phÇn bµi tËp trong SGK vµ SBT§S líp 9 lµ t¬ng
®èi ®¬n gi¶n ®èi víi ®èi tîng häc sinh. Nhng thùc tÕ khi khai th¸c c¸c d¹ng bµi tËp kh¸c ta
míi thÊy sù phong phó ®a d¹ng. §Ó gi¶i ®îc c¸c thÓ lo¹i nµy ®ßi hái gi¸o viªn ph¶i cung
cÊp cho häc sinh c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng thÓ lo¹i bµi tËp. Qua qu¸ tr×nh d¹y ph¬ng
tr×nh bËc cao, t«i m¹nh d¹n ®a ra mét sè ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho
c¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n thêng gÆp.
2
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
Theo t«i khi d¹y gi¸o viªn cÇn cung cÊp thªm cho häc sinh vµ yªu cÇu häc sinh
n¾m ®îc nh÷ng néi dung kiÕn thøc c¬ b¶n sau:
C¸c kh¸i niÖm : Ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, ph¬ng tr×nh bËc hai,
ph¬ng tr×nh bËc bËc cao. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
-
-
C¸c quy t¾c tÝnh to¸n vÒ c¸c kiÕn thøc ®¹i sè.
-
§Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng, c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph-
¬ng tr×nh.
-
C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.
-
C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
-
HÖ qu¶ ®Þnh lý B¬du.
-
S¬ ®å Hooc ne.
-
C¸ch nhÈm nghiÖm mét ph¬ng tr×nh.
II - Nh÷ng ph¬ng ph¸p, biÖn ph¸p, gi¶i cô thÓ:
A - Néi dung lý thuyÕt c¬ së:
1. Ph¬ng tr×nh, nghiÖm cña ph¬ng t×nh :
Cho A( x1,x2,…,xn) vµ B( x1,x2,…,xn)lµ hai biÓu thøc chøa c¸c biÕn x1,x2,…,xn víi
c¸c hÖ sè thuéc R. Khi ph¶i t×m phÇn tö (a1,a2,….,an)
cña hai biÓu thøc b»ng nhau, tøc lµ :
A(a1,a2,….,an) = B(a1,a2,….,an) th× ta viÕt :
3
R sao cho c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
A(x1,x2,…,xn) = B( x1,x2,…,xn) vµ gäi ®¼ng thøc ®ã lµ mét ph¬ng tr×nh.
C¸c biÕn x1,x2,…,xn gäi la c¸c Èn cña ph¬ng tr×nh.
TËp x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh: lµ nh÷ng gi¸ trÞ cña biÕn lµm cho mäi biÓu thøc trong
ph¬ng tr×nh ®Òu cã nghÜa.
Mçi phÇn tö (a1,a2,….,an) R tháa m·n ®¼ng thøc :
A(a1,a2,….,an) = B(a1,a2,….,an) ®îc gäi lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
ViÖc t×m nghiÖm thuéc R ®îc gäi lµ gi¶i ph¬ng tr×nh.
- Ph¬ng r×nh bËc nhÊt : Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng : ax + b = 0 ( a 0)
Trong ®ã xlµ Èn ; a, b lµ c¸c hÖ sè
C¸ch gi¶i : + NÕu a 0 Pt cã nghiÖm duy nhÊt : x =
b
a
+ NÕu a = 0 Pt cã d¹ng : 0x = -b
. b 0 => 0x = b . Pt v« nghiÖm.
. b = 0 => 0x = 0 . Pt cã v« sè nghiÖm x R.
- Ph¬ng tr×nh bËc hai : Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng : ax2 + bx + c = 0 ( a 0)
Trong ®ã xlµ Èn ; a, b,c lµ c¸c hÖ sè
C¸ch gi¶i : Theo lîc ®å sau.
ax2 + bx + c = 0 ( a0)
X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a,b,c
TÝnh a + b + c
=0
Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
x1 = 1 ; x2 =
=0
Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm
x1 = -1 ; x2 =
0
TÝnh a - b + c
.
0
TÝnh
<0
>0
=0
Ph¬ng tr×nh cã
Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
¬ngph¬ng
tr×nh tr×nh sau:
VÝ dô.Ph
Gi¶i
nghiÖm kÐp
x1 = ; x2 =
v«
nghiÖm
x
=
x
=
a, x2 + 3x - 1 = 0
1
2
Cã : a = 1; b = 3 ; c = -1
= 32 - 4.1.(-1) = 9 + 4 = 13 > 0 . Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt:
2
Ph¬ng tr×nh bËc cao
x1 =
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
3 13
2
;
x2 =
3 13
2
b, 4x2 - 4x + 1 = 0
Cã : a = 4; b = -4; c = 1
= (-2)2 - 4.1 = 4 - 4 = 0. Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :
x 1 = x2 =
( 2) 1
4
2
c, 3x2 + 5x + 4 = 0
Cã : a = 3; b = 5; c = 4
= 52 - 4.3.4 = 25 - 48 = -23 < 0 . Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
d, 7x2 + 23x - 30 = 0
Cã a + b + c = 7 + 23 - 30 = 0. Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm : x1 = 1 ; x2 =
30
7
e, x2 - 60x - 61 = 0
Cã: a - b + c = 1 - (-60) - 61 = 0. Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x1 = -1 ; x2 = 61
- Ph¬ng tr×nh bËc cao : lµ pt d¹ng anxn + an - 1x n - 1 + .............. +a1x + a0 = 0
(anxn + an - 1x n - 1 + .............. +a1x + a0 lµ ®a thøc bËc n ( n 3) )
Trong ®ã xlµ Èn ; an,an - 1, ….,a1,a0 lµ c¸c hÖ sè
C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao chÝnh lµ néi dung chÝnh cña ®Ò tµi nµy vµ ®îc nghiªn cøu ë
phÇn sau.
2. §Þnh nghÜa hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: Hai ph¬ng tr×nh gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng
cã cïng tËp hîp nghiÖm.
3. C¸c ®Þnh lý vÒ biÕn ®æi t¬ng ®¬ng c¸c ph¬ng tr×nh :
a, §Þnh lý 1: NÕu céng cïng mét ®a thøc chøa Èn vµo hai vÕ cña ph¬ng tr×nh th× ®îc
mét ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô :
x4 - 24x = 32
x4 - 24x + 4x2 + 4 = 32 + 4x2 + 4 ( Céng 4x2 + 4 vµo 2 vÕ )
HÖ qu¶ 1 : NÕu chuyÓn mét h¹ng tö tõ vÕ nµy sang vÕ kia cña mét ph¬ng tr×nh ®ång
thêi ®æi dÊu h¹ng tö Êy th× ®îc ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô : 2x - 7 = 4x + 9
2x - 4x = 9 + 7 ( ChuyÓn vÕ ®æi dÊu hai h¹ng tö 4x vµ -7 )
HÖ qu¶ 2 : NÕu xãa hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ®îc ph¬ng tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô :
- 4x + x2 -5 = 2x + x2
- 4x -5 = 2x ( Xãa h¹ng tö x2 ë hai vÕ )
3
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
b, §Þnh lý 2: NÕu nh©n mét sè kh¸c 0 vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ®îc ph¬ng
tr×nh míi t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô :
1 2
3
x - 3x =
2
4
2x2 - 12x = 3 ( Nh©n hai vÕ víi 4 )
4. HÖ qu¶ ®Þnh lÝ B¬du:
x = lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) f(x) chia hÕt cho nhÞ thøc x -
§Þnh lÝ nµy gióp chóng ta ®a Pt bËc cao vÒ ph¬ng tr×nh tÝch ( quy vÒ gi¶i c¸c ph¬ng
tr×nh cã bËc thÊp h¬n) :
Ph¬ng tr×nh : anxn + an - 1x n - 1 + .............. +a1x + a0 = 0 (*) nÕu cã nghiÖm x =
Th× (*) <=> (x - )(anx n - 1+ bnxn-2 + … + b1x + b0) = 0
5. S¬ ®å Hoocne:
Gi¶ sö g(x) = bn - 1xn -1 + bn - 2x n - 2 + .............. +b1x + b0 vµ r lµ th¬ng vµ d cña phÐp
chia ®a thøc f(x) = anxn + an - 1x n - 1 + ..............+ a1x + a0 cho nhÞ thøc
x - .
Khi ®ã r vµ c¸c hÖ sè cña g(x) ®îc tÝnh theo s¬ ®å sau:
an
bn-1
(=an)
an-1
bn-2
(= bn-1 +an-1)
an-2
bn-3
(= bn-2 +an-2)
.........
……..
a1
b0
(= b1 +a1)
a0
r
(= b0 +a0)
6. NghiÖm (nÕu cã) cña mét ph¬ng tr×nh:
Ph¬ng tr×nh anxn + an - 1x n - 1 + .............. + a1x + a0 = 0
-
NghiÖm nguyªn cña Pt ph¶i lµ íc cña a0
-
NghiÖm h÷u tû cña Pt cã d¹ng
p
q
( trong ®ã p lµ íc cña a0; q lµ íc d¬ng cña an).
Chó ý : Gäi m lµ tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc ch½n
vµ n lµ tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc lÎ
+ NÕu m + n = 0 Pt cã nghiÖm x = 1
+ NÕu m - n = 0 Pt cã nghiÖm x = -1
B - VËn dông lý thuyÕt vµo gi¶ng d¹y thùc tiÔn:
- Cung cÊp cho häc sinh nh÷ng néi dung lÝ thuyÕt trªn.
- C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao:
I. NhÈm nghiÖm cña Pt, ®a Pt vÒ Pt tÝch :
a)
VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x3 + 5x2 + 3x - 9 = 0 (*)
Gi¶i:
4
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
Pt cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 ( 1+5+3-9 =0 ) nªn cã mét nghiÖm nguyªn x = 1. Sö dông s¬
®å Hoocne cã :
1
5
3
1
1
6
9
(*) <=> (x - 1)(x2 + 6x + 9) = 0. T×m ®îc x1 = 1; x2,3 = -3
-9
0
b, VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3x3 - 14x2 + 4x + 3 = 0 (*)
Gi¶i:
Ta thÊy Pt cã nghiÖm h÷u tØ x =
1
, nªn khi ph©n tÝch VT cña Pt thµnh nh©n tö, sÏ cã
3
nh©n tö 3x + 1. Khi ®ã ngoµi viÖc sö dông s¬ ®å Hoocne ta cã thÓ dïng c¸c ph¬ng ph¸p ph©n
tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµm xuÊt hiÖn nh©n tö 3x + 1:
(*) 3x3 + x2 - 15x2 - 5x+ 9x + 3 = 0 x2(3x + 1) - 5x(3x + 1) + 3(3x + 1) = 0
(3x + 1)( x2 - 5x+ 3) = 0 . NghiÖm Pt : x1 =
1
; x2,3 = 5 13 .
3
2
* Bµi luyÖn tËp
BT1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh :
a, 2x3 - 5x2 - 3x = 0
b, x3 - 7x + 6 = 0
c, x3 - 5x2 + x + 5 = 0
d, x3 - 13x2 - 42x - 36 = 0
e, x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0
f, 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = 0
II. C¸c d¹ng ®Æc biÖt :
1. Ph¬ng tr×nh tam thøc :
Ph¬ng tr×nh tam thøc lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng : ax2n + bxn + c = 0 ( a 0)
Trong ®ã a,b,c lµ c¸c sè thùc, n nguyªn d¬ng vµ n 2
- NÕu a,b,c ®ång thêi kh¸c 0 vµ n = 2 th× ta cã ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng :
ax4 + bx2 + c = 0 .
VÝ dô. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 - 4x2 + 3 = 0
§Æt x2 = t . §iÒu kiÖn t 0
Ph¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng : t2 - 4t + 3 = 0
Cã : a + b + c = 1 - 4 +3 = 0. Pt cã hai nghiÖm t1 = 1; t2 = 3
x=1
+ Víi t1 = 1 = > x2 = 1 x = -1
x= 3
x=- 3
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm x1 = + Víi t2 = 3 = > x2 = 3
3
5
; x2 = -1; x3 = 1; x4 =
3
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
- Khi n > 2 . §Æt xn = t , ®Ó t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ta gi¶i hÖ :
xn = t
at2 + bt + c = 0
VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x6 - 9 x3 + 8 = 0
Gi¶i:
§Æt x3 = t , ta cã : t2 - 9 t + 8 = 0 => t1 = 1 => x1 = 1
t2 = 8 => x2 = 2
VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x8 + 6x4 - 7 = 0
Gi¶i:
§Æt x4 = t ( t 0) Pt ®· cho cã d¹ng : t2 + 6t - 7 = 0 => t1 = 1 => x = 1
t2 = -7 ( lo¹i).
* Bµi luyÖn tËp
BT2 . Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh :
a, x4 + 4x2 - 5 = 0
b, x6 - 7x3 - 8 = 0
c, x8 + x4 - 2 = 0
d, x10 - 10x5 + 31 = 0
2. Ph¬ng tr×nh ®èi xøng.
Mét ph¬ng tr×nh d¹ng : anxn + an - 1x n - 1 + .............. + a1x + a0 = 0
trong ®ã vÕ tr¸i lµ ®a thøc bËc n ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh ®èi xøng nÕu c¸c hÖ sè cña c¸c sè
h¹ng c¸ch ®Òu sè h¹ng ®Çu vµ sè h¹ng cuèi b»ng nhau, nghÜa lµ :
an= a0, an - 1 = a1,…….
Tïy theo n lµ sè ch½n hay lÎ mµ ta cã ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n hay bËc lÎ.
VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1 = 0
Gi¶i:
V× x =0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña Pt nªn chia c¶ hai vÕ cña Pt cho x2 0 ta cã :
x2 + 6x+ 11 +
(x2 +
§Æt x+
1
6
+ 2 =0
x
x
1
1
) + 6( x+ ) + 11 = 0
2
x
x
1
1
1
= t x2 + 2 + 2 = t2 x2 + 2 = t2 - 2
x
x
x
Pt cã d¹ng : t2 - 2 + 6t + 11) = 0 => (t + 3)2 = 0 => t = -3
x+
1
+ 3 = 0 => x2 + 3x+1 = 0 . NghiÖm Pt : x1,2 = 3 5
x
2
VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3x6 - 4x5 + 2x4 - 8x3 + 2x2 - 4x + 3 = 0 (*)
Gi¶i:
V× x =0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña Pt nªn chia c¶ hai vÕ cña Pt cho x2 0 ta cã :
3x3 - 4x2 + 2x - 8 +
4
3
2
- 2 + 3 =0
x
x
x
6
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
3(x3 +
1
1
1
) - 4( x2 + 2 ) + 2(x+ ) - 8 = 0
3
x
x
x
1
1
= t x 2 + 2 = t2 - 2
x
x
§Æt x+
x3 +
1
= t3 - 3t
3
x
Pt ®· cho cã d¹ng :
3 ( t3 - 3t) - 4( t2 - 2) + 2t - 8 = 0
3t3 - 4t2 - 7t = 0
t ( 3t2 - 4t -7) = 0
t ( t + 1) ( 3t - 7) = 0
=> (*) ( x2 + 1) ( x 2 + x +1) ( 3x2 - 7x + 3) = 0.
x2 + 1 = 0.
Pt v« nghiÖm
x 2 + x +1 = 0. Pt v« nghiÖm
3x2 - 7x + 3 = 0. Pt cã 2 ngiÖm: x1,2 =
7 13
6
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1,2 = 7 13
6
VÝ dô 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 (*)
§©y lµ ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc lÎ ( bËc 5), ta kh«ng thÓ gi¶i ngay t¬ng tù nh VD1 vµ VD2.
Ta nhËn thÊy Pt ®èi xøng bËc lÎ bao giê còng cã mét nghiÖm lµ x = -1
Khi ®ã (*) (x + 1)( 2x4 + x3 - 6x2 + x + 2) = 0 .
x+1=0
2x4 + x3 - 6x2 + x + 2 = 0 ( Pt ®èi xøng bËc ch½n ®· biÕt c¸ch gi¶i )
Chó ý: NÕu m lµ nghiÖm cña ph¬ng r×nh ®èi xøng th×
1
còng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
m
®ã.
* C¸ch chia c¶ hai vÕ cña Pt cho x2 0 còng ®îc sö dông ®èi víi c¸c Pt cã d¹ng :
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 trong ®ã
e d
a b
2
gäi lµ ph¬ng tr×nh håi quy .§Ó gi¶i Pt d¹ng nµy ta ®Æt Èn phô : t = x +
d
bx
VÝ dô. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 = 0 (*)
Gi¶i:
V× x =0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña Pt nªn chia c¶ hai vÕ cña Pt cho x2 0 ta cã :
1
1
)+6(x- )+7=0
2
x
x
1
1
. §Æt x = t x 2 + 2 = t2 + 2
x
x
(x2 +
Pt ®· cho cã d¹ng : t2 + 2 + 6t + 7 = 0 ( t2 + 3 )2 = 0
7
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
(*) ( x2 + 3x - 1)2 = 0. NghiÖm cña Pt (*): x1,2 =
3 7
2
* Bµi luyÖn tËp
BT3 . Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh :
a, x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1 = 0
b, x 6 + 3x5 - 30x4 - 29 x3 - 30 x2 + 3x + 1 = 0
c, x5 - 5x4 + 4x3 + 4x2 - 5x + 1 = 0
d, x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1 = 0
e, x4 + 3x3 - 14 x2 - 6x + 4 = 0
3. Ph¬ng tr×nh d¹ng : (ax + m) (bx + n) ( cx + k) ( dx + l) = r (*)
trong ®ã a.d = b.c vµ a.l + d.m = b.k + c.n
C¸ch gi¶i : (*) [(ax + m) ( dx + l)][ (bx + n) ( cx + k)] = r
[adx2 + (a.l + d.m)x + ml][ bcx2 + (b.k + c.n)x + nk] = r
Do a.d = b.c vµ a.l + d.m = b.k + c.n . Nªn ®Æt adx2 + (a.l + d.m)x = t
Khi ®ã Pt cã d¹ng At2 + Bt + C = 0. Gi¶i Pt t×m t .
Sau ®ã gi¶i Pt : adx2 + (a.l + d.m)x = t ta t×m ®îc nghiÖm cña Pt ®· cho.
VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh : ( 4x + 1) ( 12 x - 1) ( 3x + 2) ( x + 1) = 4 (*)
Gi¶i
( 4x + 1) ( 3x + 2) ( 12x - 1) ( x + 1) = 4
( 12x2 + 11x + 2)( 12x2 + 11x - 1) = 4
§Æt 12x2 + 11x = y ( y + 2) ( y - 1) - 4 = 0
y2 + y - 6 = 0
=>y=2;y=-3
(*) (12x2 + 11x - 2) (12x2 + 11x + 3) = 0 .Gi¶i tiÕp ta cã nghiÖm :
x1,2 = 11 217
24
VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x2 + 5x + 6)(x2 + 9x + 20) = 24 (*)
Gi¶i
(*) ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) = 24
[( x + 2) ( x + 5)][ ( x + 3) ( x + 4)] = 24
(x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24 = 0
2
2
§Æt x2 + 7x + 11 ( = x 7 x 10 x 7 x 12 ) = t
2
Pt cã d¹ng : (t - 1)(t + 1) - 24 = 0 t2 = 25 t = 5
8
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
(*) ( x2 + 7x + 6) ( x2 + 7x + 16) = 0
( x + 1) ( x + 6) ( x2 + 7x + 16) = 0 . Ta t×m ®îc nghiÖm : x1,2 = -6 ; -1
* Bµi luyÖn tËp
BT4 . Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh :
a, x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8
b, (x - 4)(x - 5) (x - 6)(x - 7) = 1680
c, (4x + 3)2 (x + 1) (2x + 1) = 810
d, (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 15 = 0
4. Ph¬ng tr×nh d¹ng : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2
trong ®ã a.d = b.c
C¸ch gi¶i
Nhãm [(x + a)( x + d)][ (x + b)(x + c)] = mx2
råi ®Æt Èn phô t x
ad
x
VÝ dô. Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x+ 12) = 4x2
Gi¶i
Ta nhãm nh sau : [(x + 2)(x+ 12)][(x + 3)(x + 8)] = 4x2
(x2 + 14x + 24)( x2 + 11x + 24) = 4x2
V× x =0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña Pt nªn chia c¶ hai vÕ cña Pt cho x2 0 ta cã :
24
24
24
= y, ta cã : (y + 14)(y + 11) - 4 = 4
x 14 x 11 = 4. §Æt x
x
x
x
y2 + 25y + 150 = 0
Gi¶i Pt ta ®îc y1 = -10; y2 = -15
Pt cã 4 nghiÖm x1 = -4 ; x2 = -6 ; x3,4 =
=>
x2 +10x +24 = 0
x2 +15x +24 = 0
15 129
2
* Bµi luyÖn tËp
BT5 . Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh :
a, 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x+ 12) = 3x2
b, (x - 8) (x - 4) (x - 2) (x - 1) = 4x2
5. Ph¬ng tr×nh d¹ng : (x + a)4 + (x + b)4 = m
C¸ch gi¶i
§Æt y = x
a b
, khi ®ã x +
2
a =y+a
2
b
; x+ b = y -
Ta thu ®îc Pt trïng ph¬ng ®· biÕt c¸ch gi¶i.
VÝ dô. Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x + 5)4 + (x +3)4 = 2
Gi¶i
§Æt x + 4 = y => x + 5 = y + 1; x + 3 = y -1
Pt ®· cho cã d¹ng : (y + 1)4 + (y - 1)4 = 2
9
a b
2
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
y4 + 4y3 + 6y2 + 4y +1 + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y +1 = 2
y2 = 0
khi ®ã x + 4 = 0. Pt cã nghiÖm x = -4
y2 = -6
5. Vµi d¹ng ph¬ng tr×nh bËc cao kh¸c :
y4 + 6y2 = 0
Víi ph¬ng tr×nh bËc 4 : ax4 + bx3 + cx2 + dx +e = 0
5.1 §a VT vÒ d¹ng “hiÖu hai b×nh ph¬ng” => Pt tÝch
VÝ dô 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 + 4x3 + 3x2 + 2x -1 = 0
Gi¶i
4
3
2
x + 4x + 3x + 2x -1 = 0
x4 + 4x3 + 4x2 - x2 + 2x -1 = 0
(x2 + 2x)2 - (x - 1)2 = 0
x2 + x + 1 = 0
(x2 + x + 1)( x2 + 3x -1) = 0
x2 + 3x - 1 = 0
Pt ®· cho cã 2 nghiÖm x1,2 =
3 13
2
VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 - 24x = 32
Gi¶i
Thªm 4x + 4 vµo 2 vÕ ta ®îc: (x + 4x + 4) - (4x2 + 24x + 36) = 0
(x2 + 2)2 - (2x + 6)2 = 0
2
2
4
2
x + 2x + 8= 0
(x + 2x + 8)( x - 2x - 4) = 0
Pt ®· cho cã 2 nghiÖm x1,2 = 1
2
2
5
x2 - 2x - 4= 0
5.2 Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 + 2x3 - x2 - 2x -15 = 0
Gi¶i
x4 + 2x3 - x2 - 2x -15 = 0
x4 + 2x3 + x2- 2x2 - 2x -15 = 0
(x2 + x)2 - 2( x2 + x) - 15 = 0
§Æt x2 + x = t Pt cã d¹ng :
t2 -2t -15 = 0
t = 5 hoÆc t = -3
(x2 + x - 5) (x2 + x + 3) = 0
Pt cã nghiÖm x1,2 =
1 21
2
a)
5.3 Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = 0 (*)
Gi¶i
(Pt nµy kh«ng thuéc c¸c d¹ng trªn. §Ó gi¶i Pt ta dïng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh ®Ó ®a
Pt vÒ Pt tÝch)
Gi¶ sö
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = ( x2 + ax + b) ( x2 + cx + d)
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = x4 + (a+ c)x3 + ( ac + b + d) x2 + ( ad + bc) x + bd
§ång nhÊt hÖ sè :
a + c = -6
10
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
ac + b + d = 12
ad + bc = -14
bd = 3
XÐt bd = 3. Chän b = 1 d = 3
a + c = -6
ac = 8
3a + c = -14
a = -4
c = -2
(* ) ( x2 - 4x + 1) ( x 2 - 2x + 3) = 0
Pt cã nghiÖm x1,2 =
2 3
2
Híng dÉn hoÆc ®¸p sè :
BT1:
a, x(x - 3) ( 2x + 1) = 0
=> NghiÖm Pt: x1 = 0; x2 = 3; x3 = 1 .
b , ( x - 1) ( x - 2) (x + 3 ) = 0
c , ( x + 1)( x2 - 6x + 7) = 0
=> NghiÖm Pt: x1 = 1; x2 = 2; x3 = -3.
=> NghiÖm Pt: x1 = -1; x2,3 = 3 2
d, (x - 3)(x2 - 10x + 12) = 0
e , (x -1)(x + 2)( x2 + x + 6) = 0
=> NghiÖm Pt: x1 = 3; x2,3 = 5
=> NghiÖm Pt: x1 = 1; x2 = - 2 .
f, ( 3x -1) ( x2 - 2x + 5) = 0
=> NghiÖm Pt: x =
2
1
.
3
BT2:
a, x1 = 1; x2 = - 1.
b, §Æt x3 = t => t1 = - 1 => x1 = -1
t2 = 8 => x2 = 2
c, §Æt x4 = t ( t 0) => t1 = 1 => x1 = 1; x2 = - 1 .
t2 = - 2 ( Lo¹i)
d, §Æt x5 = t => t2 - 10t + 31 = 0. V« nghiÖm
BT3:
a, ( x2 - 3x + 1) ( x2 - 4x + 1) = 0
b, (x2 + x + 1)( x2 - 5x + 1) ( x2 + 7x + 1) = 0
c, ( x + 1)( x4 - 6 x3 + 10x2 - 6x + 10) = 0. NghiÖm x1 = 1; x2 = -1; x2,3 =
d + e, Pt håi quy: d, x1,2 =
2 5
e, §Æt x
; x3,4 =
=> t = 3 . NghiÖm : x1,2 =
2 3
1 5
2
2
= t. NghiÖm: x1,2 = 1 3 ; x3,4 = 5 33
x
2
BT4:
a, (x2 + 3x)( x2 + 3x + 2) = 8. §Æt x2 + 3x + 1= t
3 17
2
b, [(x - 4) (x - 7)][ (x - 5) (x - 6)] = 1680. §Æt x2 - 11x + 29 = t
NghiÖm : x1 = 12 ; x2 = -1.
c, (4x + 3)2 (4x + 4) (4x + 2) = 810.8 ( Nh©n c¶ 2 vÕ víi 8)
11
13
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
(16x2 + 24x + 9) (16x2 + 24x + 8) - 6480 = 0
§Æt 16x2 + 24x + 8 = t. T×m nghiÖm
HoÆc ®Æt 4x + 3 = t = > t4 - t2 - 6480 = 0 => t = 9 . NghiÖm x1 =
d, ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x + 7) + 15 = 0
[( x + 1)( x + 7)][ ( x + 3) ( x + 5)] + 15 = 0
§Æt x2 + 8x + 11 = t. NghiÖm: x1 = -2 ; x2 = -6; x3,4= -4
BT5:
a, 4(x2 + 17x + 60) (x2 + 16x + 60) = 3x2
§Æt x
6
.
60
15
; x3,4= 35 265
16 = t. NghiÖm: x1 = -8 ; x2 =
x
2
4
b, (x2 - 9x + 8) (x2 - 6x + 8) = 4x2
8
x
§Æt x 6 t. NghiÖm: x1,2=
7
12
3
; x2 = -3.
2
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
b)
x2 + 4x -12
c)
2x3 - 5x2 - 3x
d)
x4 + 4x2 - 5
e)
x3 - 7x + 6
f)
3x3 - 7x2 + 17x - 5
g)
4x4 - 4x3 + 15x 2 + 3x - 3
3)Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) (x2 + 5x)2 - 2( x2 + 5x) - 24
b)( x2 + 3x + 1) (x2 + 3x + 2) - 6
c) ( x2 + 4x + 8)2 + 3x ( x 2 + 4x + 8) + 2x2
d)x( x + 4) ( x+ 6) ( x+10) + 128
e) 4x( x + y) ( x + y+ z ) ( x + z) + y2z2
f) x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1
g)x 6 + 3x5 - 30x4 - 29 x3 - 30 x2 + 3x + 1
Ph¬ng ph¸p: Dù ®o¸n nh©n tö d¹ng tæng qu¸t , sau ®ã ®ång nhÊt hÖ sè 2 vÕ t×m c¸c hÖ sè
cha biÕt.
b) x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
c) x5 - 2x4 - 10x3 - 13x2 - 16x + 4
d) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1
e) 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1
Mét sè bµi tËp ¸p dông:
6) T×m nghiÖm cña ®a thøc:
a) x2 - 7x+ 6
b) x3 + 5x2 + 8x + 4
c) (y + 1) ( 2 - y) + ( y - 2)2 + y2 -4
d) ( x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12
e) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x +1
7) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a) 6x2 - 11x + 3 = 0
b) x3 - 7x - 6 = 0
c) x3 - 9x2 + 6x + 16 = 0
d) x3 - x2 - x = 2
e) 2x3 - x2 + 5x + 3 = 0
f) 27x3 - 27x2 + 18x - 4 = 0
g) (x2 + 8x + 7) ( x2 + 8x + 15) + 15 = 0
h)
i) 4 ( x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) - 3x2 = 0
j) ( 12x + 7)2 ( 3x + 2) ( 2x + 1) = 3
8) Rót gän
13
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
2
a) 3x 2 5 x 2
3x 7 x 2
b)
x 4 16
x 4 4 x 3 8x 2 16 x 16
ChØ dÉn hoÆc ®¸p sè :
1) a) (x + 6) ( x - 2)
b) x(x - 3) ( 2x + 1)
c)(x - 1) ( x + 3)2
d) ( x - 1) ( x + 1) ( x2 + 5)
e) ( x - 1) ( x - 2) (x + 3)
f) ( 3x -1) ( x2 - 2x + 5)
g) ( 2x +1) ( 2x3 - 3x2 + 9x - 3) ®a thøc 2x3 - 3x2 + 9x - 3 bÊt kh¶ quy v× ta t×m
®îc sè p = 3 th¶o m·n tiªu chuÈn Aidenxtain¬
h) (3x+1) ( x2 - 5x + 3)
2) a) Thªm bít 4x2 kÕt qu¶ ( x2 + 2x + 2) ( x2 - 2x + 2)
b) ( x2 + 4x + 8) ( 8x2 - 4x + 8)
c) ( 8x2 - 4x + 1) ( 8x2 + 4x + 1)
d) ( 9x2 - 6x + 2) ( 9x2 + 6x + 2)
e )(2x2 + 2x + 1) (2x2 - 2x + 1)
f) (8x2 + y2 + 4xy) (8x2 + y2 - 4xy)
g)( x2 + 6x + 18) ( x2 - 6x + 18)
h) (x2 + x + 1) (x3 - x + 1)
i) ( x2 + x + 1) ( x6 - x 4 + x3 - x + 1)
k)- (x2 + x +1) ( x5 - x 4 + x3 - x + 1)
l) (x 2 + x + 1) (x 2 - x + 1) ( x6 - x 4 + 1)
m) (x 2 + x + 1) (x 2 - x + 1)
3) a) §Æt t = x2 + 5x cho kÕt qu¶ t2 - 2t - 24 = ( t + 4) ( t - 6)
= (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x - 6)
= ( x + 1) ( x + 4) ( x - 1) ( x + 6)
b) ( x2 + 3x - 1) ( x2 + 3x + 4)
c) §Æt x2 + 4x + 8 = t cã : t2 + 3xt +2x2 = t2 + 2xt + xt + 2x2
= ( 2x + t) ( t + x)
=(x2 + 6x + 8) ( x2 + 5x + 8)
= ( x + 2) ( x + 4) ( x 2 + 5x + 8)
2
d) (x +2) ( x + 8) ( x + 10x + 8)
f) 4 (x2 + xy + xz) ( x2 + xy + xz + yz) + y2 z2 ®Æt x2 + xy + xz = m
4m ( m + yz) + y2 z2 = ( 2m + yz)2 = ( 2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
g) ( x2 - 3x + 1) ( x2 - 4x + 1)
g
h) (x2 + x + 1)( x2 - 5x + 1) ( x2 + 7x + 1)
4)
a) ( x - y) ( x - z) ( z - y) ( xz + yz + xy)
b) ( a + b) ( b + c) ( a - c)
c) ( b - c) ( c - a) ( a - b) ( a + b + c)
d ) ( x - 2z) ( y - 2z) ( x + y)
e) (2x - y) ( 2x + z) ( y + z) ( 2x + y - z)
f) 3( x2 + y2) (y2+ z2)( x + z) ( x - z)
g) ( a - b) ( b - c) ( c - a)
h) ( a - b ) ( b - c) ( c - a) ( a + b + c)
i) ( a - b)( b - c) ( a - c)
14
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
j) ( a2 - b) ( b2 - c) ( c2 - a)
k) D¹ng : xy ( x + y) + xz ( x + z) + yz ( y + z) + 2xyz KÕt qu¶ (x + y) ( y + z)
( x + z)
l) 3( x + y) ( y + z) ( x + z)
a)
b) ( x+ 2) ( x 4 - 4x 3 - 2x 2 - 9x + 2) = ( x+ 2) ( x2 + x + 2) ( x2 - 5x + 1)
d) D¹ng ( 3x + ay + b) ( x + cy + d) kÕt qu¶ ( 3x + y + 5) ( x + 7y + 2)
6) a) x = 1; 6;
b) x = -1; -2
c) ( y + 1) ( 2 - y) + ( y - 2) 2 + ( y - 2) ( y + 2) = ( y - 2) ( y -1)
y=1;2
2
2
2
d) ( x + x ) + 4 (x + x) - 12 . §Æt x2 + x = t t = 6 ; -2
Víi t = 6 x2 + x - 6 = 0 x = 2 ; -3
Víi t = -2 ®a thøc x2 + x + 2 kh«ng cã nghiÖm
e) ( x + 1)4 x = -1
7)
a)x=
1
; 3
3
2
b) x = -1 : -2 ; 3
c) x = -1; 2 ; 8
d) x = 2
1
2
e) x = f) x =
1
3
g) §Æt x2 + 8x + 11 = t t = 1 ; -1
Víi t = 1 x2 + 8x + 10 = 0 kh«ng cã nghiªm h÷u tû víi t = -1 x = - 2; -6
h)
i) ( x + 8) ( 2x + 5) ( 2x2 + 35x + 120) = 0 x = -8 ; -
5
2
k) Nh©n 2 vÕ víi 24 ( 12x+ 7) 2 ( 12x + 8) ( 12x+ 6) = 72
§Æt 12 x + 7 = y x = (3 x 1)( x 2)
(3 x 1)( x 2)
1
5
;- .
3
6
x2
x 2
2
( x 4)( x 2)( x 2)
x2
b)
=
2
2
( x 4)( x 2)
x 2
8)
a)
c)
=
( x 5)( x 2 2 x 3)
1
= 2
( x 5)( x 2 2 x 3) 2
x 2x 3
d) ( x + y) ( y + z) ( x + z)
( x z )( x z )( x y )( x y z )
( y z )( x z )( x y )
3
3
a) x2 + 3x + 3
x=4
2
2
( x 1)( x 2)( x 1)( x 3)
b)
=
( x 1)( x 2 3)
e)
9)
=x+y+z
x2 - 3x + 2 -
1
3
x=
4
2
C -KÕt qu¶ thu ®îc:
-
Gi¸o viªn : HiÓu s©u s¾c h¬n vÒ kiÕn thøc, gi¸o viªn tù tin h¬n trong khi gi¶ng d¹y vµ
®¹t hiÖu qu¶.
Häc sinh :
+ N¾m ®îc c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n
tö, ®Þnh híng tèt khi lµm bµi tËp , vËn dông tèt c¸c bµi tËp liªn quan.
-
15
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
+ KÕt qu¶ cô thÓ : Häc sinh lµm ®îc tÊt c¶ c¸c bµi tËp ph©n tÝch ®a thøc thµnh
nh©n tö vµ c¸c bµi tËp cã liªn quan trong ®ît thi häc sinh giái huyÖn ®ît I n¨m häc 2003 2004.
PhÇn III : KÕt luËn :
Qua nghiªn cøu vµ thùc tiÔn gi¶ng d¹y t«i thÊy viÖc d¹y cho häc sinh c¸c kiÕn thøc
c¬ b¶n vÒ ®a thøc, nhÊt lµ c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ hÕt søc cÇn
thiÕt, bëi nã cã tÇm quan träng ®Æc biÖt trong to¸n häc . Tuy nhiªn vÊn ®Ò ®Æt ra lµ cÇn ®a
cung cÊp cho häc sinh ë møc ®é nµo, häc thÕ nµo cßn tuú thuéc vµo kh¶ n¨ng nhËn thøc cña
häc sinh .
§Ò tµi nµy ®îc viÕt tõ nhËn thøc cña b¶n th©n ®îc ®óc kÕt trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y,
kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt. RÊt mong c¸c thÇy c«, b¹n ®ång nghiÖp gãp ý ®Ó ®Ò tµi ® îc
hoµn h¶o cã tÝnh thùc tiÔn h¬n.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Ngêi viÕt ®Ò tµi
NguyÔn V¨n Minh
16
Ph¬ng tr×nh bËc cao
Tr
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o huyÖn nghÜa hng
Trêng THCS NghÜa Phóc
*****************&*********************
§Ò Tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Tªn ®Ò tµi :
mét sè vÊn ®Ò
vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
Ngêi thùc hiÖn : NguyÔn V¨n Minh
§¬n vÞ : Trêng THCS NghÜa Phóc
17
Ph¬ng tr×nh bËc cao
NguyÔn V¨n Minh - THCS NghÜa Phóc - NH - N§
Môc lôc
PhÇn I : §Æt vÊn ®Ò
I - LÝ do chän ®Ò tµi
II - §èi tîng nghiªn cøu
III - Ph¹m vi nhgiªn cøu
PhÇn II : Néi dung
I - Nh÷ng c¬ së lÝ luËn vµ thùc tiÔn
II - Nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ph¸p cô thÓ
A - Néi dung lÝ thuyÕt c¬ së
B - VËn dông lÝ thuyÕt vµo thùc tiÔn gi¶ng d¹y
Ph¬ng ph¸p th«ng thêng
Ph¬ng ph¸p ®Æc biÖt
Mét sè bµi tËp ¸p dông
ChØ dÉn hoÆc ®¸p sè
C - KÕt qu¶ thu ®îc
PhÇn III - KÕt luËn
18
3
4
6
Trang
3
3
3
4
4
4
6
7
14
15
18
19
- Xem thêm -