Tài liệu Kiến thức và bài tập số phức ( full version)

TITU ANDREESCU DORIN ANDRICA Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN) BÀI TẬP SỐ PHỨC (98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI) Bài tập số phức LỜI GIỚI THIỆU Như tên sách, ‘’Complex Numbers from A to Z’’, nội dung nguyên bản phủ hầu khắp các vấn đề liên quan số phức: từ xây dựng trường số phức, số phức dạng lượng giác, đến hình học phức... Người dịch chỉ chọn lọc một số vấn đề lý thuyết, bài tập cơ bản, nâng cao của số phức để giới thiệu bằng tiếng Việt, ngõ hầu phục vụ đối tượng bạn đọc là học sinh trung học phổ thông, sinh viên, người không chuyên làm toán với số phức. Trong khả năng có thể, người dịch cố gắng dùng những thuật ngữ phổ biến nhất hiện nay. Tuy nhiên không thể không dùng những thuật ngữ nếu thiếu nó thì khó lòng diễn đạt các vấn đề về số phức. Mọi việc dù muốn hay không, cũng có thể gây ra thiếu, sót (hạn chế sai, lầm). Mong các em học sinh, sinh viên và quý vị thông cảm. Người dịch. Lê Lễ Page 2 Bài tập số phức Mục lục1 Mục lục............................................................................................................................................. 3 1. Dạng đại số của số phức .................................................................................................................. 5 1.1 Định nghĩa số phức................................................................................................................. 5 1.2 Tính chất phép cộng ................................................................................................................ 5 1.3 Tính chất phép nhân ............................................................................................................... 5 1.4 Dạng đại số của số phức .......................................................................................................... 6 1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i .......................................................................................................... 8 1.6 Số phức liên hợp .................................................................................................................... 8 1.7 Môđun của số phức............................................................................................................... 10 1.8 Giải phương trình bậc hai ...................................................................................................... 14 1.9 Bài tập............................................................................................................................... 17 1.10 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 22 2. Biểu diễn hình học của số phức ....................................................................................................... 25 2.1 Biểu diễn hình học của số phức................................................................................................ 25 2.2 Biểu diễn hình học của Môđun ................................................................................................ 26 2.3 Biểu diễn hình học các phép toán ............................................................................................. 26 2.4 Bài tập............................................................................................................................... 29 2.4 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 30 3 Dạng lượng giác của số phức .......................................................................................................... 31 3.1 Tọa độ cực của số phức ......................................................................................................... 31 3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức ............................................................................................. 33 3.2 Các phép toán trên dạng lượng giác số phức............................................................................... 37 3.4 Biểu diễn hình học của tích hai số phức ..................................................................................... 40 3.5 Bài tập ............................................................................................................................... 41 3.6 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 44 4 Căn bậc n của đơn vị .................................................................................................................... 45 4.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức ............................................................................................ 45 4.2 Căn bậc n của đơn vị ............................................................................................................ 47 4.3 Phương trình nhị thức ........................................................................................................... 51 4.4 Bài tập............................................................................................................................... 52 4.5 Đáp số và hướng dẫn .................................................................................................................. 53 1 Có thể click chuột lên tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng Lê Lễ Page 3 Bài tập số phức Lê Lễ Page 4 Bài tập số phức 1. Dạng đại số của số phức 1.1 Định nghĩa số phức Xét R2 R R {( x, y) | x, y R} . Hai phần tử ( x1 , y1 ) và ( x2 , y2 ) bằng nhau ⇔ x1 x2 y1 y2 . ∀ ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ ℝ2: Tổng z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ∈ ℝ2. Tích z1.z2 ( x1 , y1 ).( x2 , y2 ) ( x1 x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y1 ) ∈ ℝ2. Phép toán tìm tổng hai số phức gọi là phép cộng. Phép toán tìm tích hai số phức gọi là phép nhân. Ví dụ 1. a) z1 ( 5,6), z2 (1, 2) z1 z2 ( 5,6) (1, 2) ( 4, 4) . z1 z2 ( 5,6)(1, 2) ( 5 12,10 6) (7,16) . 1 1 1 b) z1 ( ,1), z2 ( , ) 2 3 2 1 1 1 5 3 z1 z2 ( ,1 ) ( , ) 2 3 2 6 2 1 1 1 1 1 7 z1z2 ( , ) ( , ) 6 2 4 3 3 12 Định nghĩa. Tập ℝ2, cùng với phép cộng và nhân ở trên gọi là tập số phức ℂ . Phần tử (x,y)∈ℂ gọi là một số phức. 1.2 Tính chất phép cộng (1) Giao hoán: z1 z2 z2 z1, z1, z 2 C . (2) Kết hợp: ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ), z1 , z2 , z3 C . (3) Tồn tại phần tử không: 0 (0,0) C , z 0 0 z z , z C . z C : z ( z) ( z) z 0 . (4) Mọi số có số đối: z C , Số z1 z2 z1 ( z2 ) : hiệu của hai số z1 , z2 . Phép toán tìm hiệu hai số gọi là phép trừ, z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ∈ ℂ. 1.3 Tính chất phép nhân (1) Giao hoán: z1.z2 z2 .z1 , z1 , z2 C . Lê Lễ Page 5 Bài tập số phức (2) Kết hợp: ( z1.z2 ).z3 z1.( z2 .z3 ), z1 , z2 , z3 C . (3) Tồn tại phần tử đơn vị: 1 (0,1) C , z.1 1.z z, z C . (4) Mọi số khác 0 có số nghịch đảo: z C* , z 1 C : z.z 1 z 1.z 1 . Giả sử z ( x, y) C* , để tìm z 1 ( x ', y ') , xx yy 1 . Giải hệ, cho ta ( x, y).( x ', y ') (1, 0) yx xy 0 x y . Vậy x' , y x2 y 2 x2 y 2 1 x y z1 ( 2 , 2 ) 2 z x y x y2 Thương hai số z1 ( x1 , y1 ), z ( x , y ) ∈ ℂ*là z1 x y x x y y x y y1x z1.z 1 ( x1, y1 ).( 2 , 2 ) ( 1 2 12 , 12 ) C. 2 2 z x y x y x y x y2 Phép toán tìm thương hai số phức gọi là phép chia. Ví dụ 2. a) Nếu z (1,2) thì 1 2 1 2 z1 ( 2 , ) ( , ). 1 22 12 22 5 5 b) Nếu z1 (1,2), z2 (3,4) thì z1 3 8 4 6 11 2 ( , ) ( , ). z2 9 16 9 16 25 25 * Lũy thừa số mũ nguyên của số phức: z∈ ℂ , z 0 1; z1 z; z 2 z.z; z n  z.z. z , n nguyên dương. n n 1 z ( z ) n , n nguyên âm. 0 n 0 , mọi n nguyên dương. (5) Tính phân phối của phép nhân với phép cộng: z1.( z2 z3 ) z1.z2 z1.z3 , z1 , z2 , z3 C Những tính chất trên của phép nhân và cộng, chứng tỏ ℂ cùng hai phép toán cộng và nhân là một trường. 1.4 Dạng đại số của số phức Dạng đại số của số phức được nghiên cứu sau đây: Lê Lễ Page 6 Bài tập số phức Xét song ánh2 f :R R {0}, f ( x) ( x,0) . Hơn nữa ( x,0) ( y,0) ( x y,0) ; ( x,0).( y ,0) ( xy ,0) . Ta đồng nhất (x,0)=x. Đặt i=(0,1) z ( x, y ) ( x,0) (0, y ) ( x,0) ( y,0).(0,1) x yi ( x,0) (0,1)( y,0) x iy . Định lý . Số phức bất kỳ z=(x,y) được biểu diễn duy nhất dạng z=x+yi, x,y∈ ℝ , trong đó i2=-1. Hệ thức i2=-1, được suy từ định nghĩa phép nhân : i 2 i.i (0,1).(0,1) ( 1,0) 1 . Biểu thức x+yi gọi là dạng đại số của số phức z=(x,y). Do đó: C {x yi | x R, y R, i 2 1} . x=Re(z): phần thực của z. y=Im(z): phần ảo của z. Đơn vị ảo là i. (1) Tổng hai số phức z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C . Tổng hai số phức là một số phức , mà phần thực ( phần ảo) của nó bằng tổng hai phần thực (phần ảo) của hai số đã cho. (2) Tích hai số phức z1.z2 ( x1 y1i ).( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 ) ( x1 y2 x2 y1 )i C . (3) Hiệu hai số phức z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C . Hiệu hai số phức là một số phức , mà phần thục ( phần ảo) của nó bằng hiệu hai phần thực(phần ảo) của hai số phức đã cho. Khi thực hành cộng, trừ , nhân số phức thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu ý i2 1 là đủ. Ví dụ 3. 5 6i, z2 1 2i a) z1 z1 z2 ( 5 6i ) (1 2i) 4 4i . z1 z2 ( 5 6i )(1 2i ) 5 12 (10 6)i 7 16i . 1 1 1 b) z1 i , z2 i 2 3 2 2 f là một đẳng cấu Lê Lễ Page 7 Bài tập số phức z1 z2 z1z2 1 i) ( 2 1 1 ( i)( 2 3 ( 1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i i 0 1; i1 i; i 2 4 3 5 1 1 i) 3 2 1 1 i) 2 6 1; i3 4 i 2 .i 6 5 1 1 1 5 3 (1 )i i 2 3 2 6 2 1 1 1 1 7 ( )i i. 2 4 3 3 12 i, 7 6 . i i .i 1; i i .i i; i i .i 1; i i .i i Bằng quy nạp được : i 4n 1; i 4n 1 i; i 4n 2 1; i 4n 3 i, ∀ n∈ ℕ* Do đó i n { 1,1, i, i}, ∀ n∈ ℕ . Nếu n nguyên âm , có 1 i n (i 1 ) n ( ) n ( i) n . i Ví dụ 4. a) i105 i 23 i 20 i 34 i 4.26 1 i 4.5 3 i 4.5 i 4.8 2 i i 1 1 2 . b) Giải phương trình : z3 18 26i, z x yi, x, y Z . Ta có ( x yi)3 ( x yi)2 ( x yi) ( x2 y 2 2xyi)( x yi) ( x3 3xy 2 ) (3x2 y y3 )i 18 26i. Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau, được: x3 3xy 2 18 3x 2 y y 3 26 Đặt y=tx, 18(3x2 y y3 ) 26( x3 3xy 2 ) ( cho ta x≠ 0 và y≠ 0) ⇒ 18(3t t 3 ) 26(1 3t 2 ) ⇒ (3t 1)(3t 2 12t 13) 0. Nghiệm hữu tỷ của phương trình là t=1/3. Do đó x=3, y=1⇒ z=3+i. 1.6 Số phức liên hợp Cho z=x+yi. Số phức z x yi gọi là số phức liên hợp của z. Định lý. (1) z z z R, (2) z z , (3) z.z là số thực không âm, Lê Lễ Page 8 Bài tập số phức (4) z1 z2 (5) z1.z2 (7) (8) (1) (2) (3) z2 , z1.z2 , (z ) 1 , z C* , 1 (6) z z1 z1 z2 z1 , z2 C* , z2 z z z z Re( z ) , Im(z)= 2 2i Chứng minh. z z x yi x yi. Do đó 2yi=0⇒ y=0⇒ z=x∈ ℝ . z x yi, z x yi z. z.z ( x yi)( x yi) x2 y 2 (4) z1 z2 ( x1 (5) z1.z2 ( x1 x2 ) ( y1 y1i) ( x2 ( x1x2 y2i) 1 1 1 ( z. ) 1 z z 1 tức là ( z ) ( z ) 1. (6) z. z1 x2 ) ( y1 y2 )i z2 . x2 y1 ) ( x1x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 ) z1 z2 . 1 z .( ) 1, z 1 1 1 z1 ) z1.( ) z1. . z2 z2 z2 z2 (8) z z ( x yi ) ( x yi) 2 x. z z ( x yi ) ( x yi ) 2 yi. z z z z Do đó: Re( z ) , Im(z)= 2 2i Lưu ý. a) Việc tính số nghịch đảo của số phức khác 0, được tiến hành: 1 z x yi x y i 2 2 2 2 2 z z.z x y x y x y2 b) Tính thương hai số phức: z1 z1.z2 ( x1 y1i )( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 ) x1 y2 x2 y1 i 2 2 2 2 z2 z2 .z2 x2 y2 x2 y2 x22 y22 (7) Lê Lễ z1 z2 y2 )i ( x1 y1 y2 ) i( x1 y2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) 0 ( z1. Page 9 Bài tập số phức Khi thực hành tìm số nghịch đảo, tìm thương thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu 1 là đủ. ý i2 Ví dụ 5. a) Tìm số nghịch đảo của z 10 8i . z b) Tính z 1 (10 8i) 1 1 10 8i 2 i 41 10 8i 5 164 82 5 5i 20 . 3 4i 4 3i (5 5i)(3 4i) z 9 16i 2 c) Cho z1 , z2 C . Chứng tỏ E E z1 z2 1(10 8i) (10 8i)(10 8i) z1z2 20(4 3i) 5 35i 16 9i 2 25 75 25i 3 i. 25 z1.z2 z1.z2 là một số thực z1z2 z1.z2 E 1.7 Môđun của số phức Số | z | x 2 y 2 gọi là Môđun của số phức z=x+yi. Ví dụ 6. Cho z1 4 3i, z2 3i, z3 | z1 | 42 32 5, | z2 | 02 ( 3)2 E 10 8i 102 82 80 60i . 25 R. 2, 3, | z3 | 22 2. Định lý. (1) | z | Re( z ) | z |, | z | Im( z ) | z | . z 0. (2) | z | 0,| z | 0 (3) | z | | z | | z | . (4) z.z z 2 . (5) | z1 z2 | | z1 || z2 | . (6) | z1 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | . (7) | z 1 | z (8) | 1 | z2 (9) | z1 | Lê Lễ | z | 1 , z C* | z1 | , z2 C * . | z2 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | . Page 10 Bài tập số phức Chứng minh Dễ kiểm tra (1)-(4) đúng (5) | z1.z2 |2 ( z1.z2 )( z1z2 ) ( z1.z1 )( z2 z2 ) | z1 |2| z2 |2 | z1 z2 | | z1 || z2 | . (6) | z1 z2 |2 ( z1 Bởi vì z1 z2 z1 z2 z1 z2 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) | z1 |2 z1 z2 z1 z2 | z2 |2 z1z2 , kéo theo z1z2 2 e( z1 z2 ) 2 | z1 z2 | 2 | z1 || z2 | 2 | z1 || z2 | . Do đó | z1 z2 |2 (| z1 | | z2 |)2 . Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | . Bất đẳng thức bên trái có được do: | z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 | | z2 | | z1 z2 | 1 1 1 1 1 | z |. 1 (7) z. . z z z |z| Nên | z 1 | | z | 1 , z C* . z1 1 | z1 | . | z1 | | z1z2 1 | | z1 || z2 1 | | z1 || z2 | 1 z2 z2 | z2 | (9) | z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | . Mặt khác | z1 z2 | | z1 ( z2 ) | | z1 | | z2 | | z1 | | z2 | . (8) Bất đẳng thức | z1 z2 | | z1 | | z2 | là đẳng thức Re( z1 z2 ) | z1 || z2 | , tức là z1 tz2 , t là số thực không âm. Bài tập 1. Chứng minh | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ) . Lời giải. Sử dụng tính chất (4), | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) | z1 |2 z1 z2 z2 z1 | z2 |2 | z1 |2 z1 z2 z2 z1 | z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ) . z z Bài tập 2. Chứng minh nếu | z1 | | z2 | 1, z1 z2 1 thì 1 2 là số thực. 1 z1 z2 Lời giải. Sử dụng tính chất (4), Lê Lễ Page 11 Bài tập số phức 1 . z1 z1 z1 | z1 |2 1, z1 Tương tự, z2 1 , đặt số trên là A, z2 1 z1 1 z2 1 1 1 z1 z2 z1 z2 1 z1 z2 A z1 z2 1 z1 z2 A. Vậy A là số thực. Bài tập 3. Cho a là số thực dương và đặt 1 | a . z Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z∈ M0. Lời giải. 1 2 1 1 z2 z 2 1 2 2 a |z | (z )( z ) |z| 2 z z z |z| | z |2 | z |4 ( z z ) 2 2 | z |2 1 . | z |2 Do đó | z |4 | z |2 (a2 2) 1 ( z z )2 0. M0 2 |z| [ a2 z C * ,| z a4 2 2 a 4a 2 a 2 ; a4 2 4a 2 2 ] a2 4 a a2 4 |z| [ ; ]. 2 2 a a2 4 a a2 4 max | z | ,min | z | . 2 2 z M,z z. Bài tập 4. Chứng minh mọi số phức z, 1 , hoặc | z 2 1 | 1. | z 1| 2 Lời giải. Phản chứng 1 và | z 2 1 | 1. | z 1| 2 2 2 2 Đặt z=a+bi⇒ z a b 2abi. Lê Lễ Page 12 Bài tập số phức 1 , 2 b2 ) 4a 1 0. (1 a 2 b 2 ) 2 4a 2b 2 1,(1 a) 2 b2 (a2 b2 )2 2(a2 b2 ) 0,2(a2 Cộng các bất đẳng thức được (a2 b2 )2 (2a 1)2 0. Mâu thuẫn Bài tập 5. Chứng minh 7 7 |1 z | |1 z z 2 | 3 , ∀ z, |z|=1. 2 6 Lời giải. Đặt t |1 z | [0;2] . t2 2 t 2 (1 z )(1 z ) 2 2 Re( z ) Re( z ) . 2 Khi đó | 1 z z 2 | | 7 2t 2 |. Xét hàm số f :[0;2] R, f (t ) t | 7 2t 2 |. Được f( 7 ) 2 7 2 t | 7 2t 2 | f( 7 7 ) 3 . 6 6 Bài tập 6. Xét H {z C , z x 1 xi, x R} . Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số phức z H ,| z | | w |, w H . Lời giải. Đặt y 1 yi, y R. Là đủ nếu chứng minh được ,tồn tại số thực duy nhất x sao cho Lê Lễ Page 13 Bài tập số phức ( x 1)2 x2 Nói cách khác , x là điểm cực tiểu hàm số f :R R, f ( y ) ( y 1) 2 ( y 1)2 y2 2 y2 y 2 , ∀ y∈ R. 2 y 1 2( y Do đó điểm cự tiểu là 1 2 ) 2 1 , 2 1 1 1 z i. 2 2 2 Bài tập 7. Cho x,y,z là các số phức phân biệt sao cho y tx (1 t ) z , t (0;1). Chứng minh rằng | z| | y| | z| | x| | y| | x| . |z y| | z x| | y x| Lời giải. Từ hệ thức y tx (1 t ) z , z y t ( z x). Bất đẳng thức | z| | y| | z| | x| . |z y| | z x| trở thành | z | | y | t (| z | | x |), hay | y | (1 t ) | z | t | x | . Vận dụng bất đẳng thức tam giác cho y (1 t ) z tx , ta có kết quả. Bất đẳng thức thứ hai , được chứng minh tương tự, bởi y tx (1 t ) z tương đương với y x (1 t )( z x). x 1.8 Giải phương trình bậc hai Phương trình bậc hai với hệ số thực ax2 bx c 0, a 0 b 2 4ac âm. vẫn có nghiệm phức trong cả trường hợp biệt thức Phân tích vế trái b 2 a[( x ) ] 0 2a 4a 2 Lê Lễ Page 14 Bài tập số phức hay ( x b 2 2 ) i ( )2 2a 2a 0. b i b i , x2 . 2a 2a Rõ ràng hai nghiệm là hai số phức liên hợp và phân tích nhân tử được ax2 bx c a( x x1 )( x x2 ) trong cả trường hợp Δ<0. Bây giờ xét phương trình bậc hai với hệ số phức az 2 bz c 0, a 0 Sử dụng phân tích như trên , được b 2 a[( z ) ] 0 2a 4a 2 b 2 ⇒ (z hay ) 2a 4a 2 (2az b)2 , Đặt y=2az+b, phương trình trở thành y2 u vi, u,v∈ℝ Phương trình có nghiệm r u r u y1,2 ( ( sgnv) i). 2 2 Do đó x1 ở đây r=|Δ| và sgnv là dấu của v.Vậy nghiệm phương trình ban đầu là 1 z1,2 ( b y1,2 ) . 2a Quan hệ nghiệm và hệ số b c z1 z2 , z1z2 , 2a a Và luôn có phân tích nhân tử az 2 bz c a( z z1 )( z z2 ) . Bài tập 8. Giải phương trình hệ số phức z 2 8(1 i) z 63 16i 0. Lời giải. (4 4i)2 (63 16i) 63 16i Lê Lễ Page 15 Bài tập số phức r | 632 162 | 65 . Phương trình y2 65 63 ) (1 8i) . Kéo theo 2 z1,2 4 4i (1 8i). Do đó z1 5 12i, z2 3 4i Ta có thể dùng cách khác để giải phương trình bậc hai trên. (4 4i)2 (63 16i) 63 16i Tìm hai căn bậc hai của 63 16i , tức là tìm z x yi, z 2 63 16i x 1 x2 y 2 63 2 2 x y 2 xyi 63 16i . y 8 xy 8 Δ’ có hai căn bậc hai là 1-8i, -1+8i. Phương trình có hai nghiệm z1 4(1 i ) (1 8i) 5 12i, Có nghiệm y1,2 ( 65 63 2 63 16i i z2 4(1 i ) (1 8i ) 3 4i Bài tập 9. Cho p, q là hai số phức , q≠ 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm phương trình bậc p hai x2 px q 0 có Môđun bằng nhau, thì là một số thực q Lời giải. gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình và r | x1 | | x2 | . Khi đó p 2 ( x1 x2 ) 2 q2 x1 x2 Là số thực. Hơn nữa x1 x2 Re( x1 x2 ) x2 x1 2 x1 x2 r2 | x1 x2 | x2 x1 r2 r 2 , do đó 2 2 p2 q2 2 Re( x1 x2 ) r2 0. p là một số thực. q Bài tập 10. Cho a,b,c là ba số phức khác 0 phân biệt với |a|=|b|=|c|. a) Chứng minh rằng nếu một nghiệm phương trình az 2 bz c 0 có Môđun bằng 1 thì b2=ac. b) Nếu mỗi phương trình az 2 bz c 0, bz 2 cz a 0 có một nghiệm có Môđun bằng 1 thì |a-b|=|b-c|=|c-a|. Vậy Lê Lễ Page 16 Bài tập số phức Lời giải. a) gọi z1 , z2 là các nghiệm phương trình với |z1|=1. Từ z2 c 1 |. 1. Bởi vì z1 a | z1 | đương với | z2 | | ( z1 z2 )( z1 ( z1 b) Theo câu a) b2 z2 )2 ac, c2 b ,| a | | b |, ta có | z1 a z2 z2 ) 1 , tức là ( z1 z2 )( 1 z1 c 1 . a z1 kéo theo z2 |2 1. Hệ thức tương 1 ) 1. z2 b 2 c ⇒ b 2 ac . ) a a ab . Nhân các hệ thức được b2c 2 a 2bc a 2 b 2 c 2 ab bc ca. z1z2 , hay ( a2 bc. Do đó Hệ thức tương đương với (a b)2 (b c)2 (c a)2 0, Tức là (a b)2 (b c)2 2(a b)(b c) (c a)2 2(a b)(b c). Kéo theo (a c)2 (a b)(b c) . Lấy giá trị tuyệt đối, được 2 , 2 2 | b c |, | c a |, | a b | . Tương tự được ở đây . Cộng , các hệ thức, được 2 Tức là ( )2 ( )2 ( 1.9 Bài tập 1. Cho các số phức z1 1 2i, z2 a) z1 z2 z3 , b) z1 z2 z2 z3 z3 z1 , c) z1 z2 z3 , 2 2 )2 0 . Do đó α=β=γ. 2 3i, z3 1 i . Tính d) z12 z e) 1 z2 z22 z32 , z2 z3 , z3 z1 z12 z22 f) 2 . z2 z32 2. Giải phương trình a) z 5 7i 2 i; Lê Lễ Page 17 Bài tập số phức 5 i; b) 2 3i z c) z (2 3i) 4 5i ; z d) 3 2i . 1 3i 3. Trong C, giải phương trình sau a) z 2 z 1 0; b) z 3 1 0. n z k , tùy theo số nguyên dương n . 4. Cho z=i. Tính k 0 5. Giải phương trình 1 3i; a) z (1 2i) b) (1 i) z 2 1 7i. 6. Cho z=a+bi. Tính z 2 , z 3 , z 4 . 7. Cho z0 a bi. Tìm z∈ C sao cho z 2 8. Cho z=1-i. Tính z n , n nguyên dương. 9. Tìm các số thực x, y sao xho a) (1 2i) x (1 2 y)i 1 i; x 3 y 3 b) i; 3 i 3 i c) (4 3i ) x 2 (3 2i ) xy 4 y2 z0 . 1 2 x 2 (3xy 2 y 2 )i. 10. Tính a) (2 b) (2 1 c) ( 1 i )( 3 2i )(5 4i ); 4i)(5 2i ) (3 4i)( 6 i); i 16 1 i 8 ) ( ); i 1 i 1 i 3 6 1 i 7 6 d) ( ) ( ); 2 2 3 7i 5 8i e) . 2 3i 2 3i 11. Tính a) i 2000 i1999 i 201 i82 i 47 ; b) En 1 i i 2 i3 i n ; n≥ 1; c) i1.i 2 .i3. i 2000 ; Lê Lễ Page 18 Bài tập số phức d) i 5 ( i) 7 ( i)13 i 12. Giải phương trình a) z 2 i; b) z 2 i; 1 2 c) z 2 i ; 2 2 13. Tìm các số phức z≠ 0 sao cho z 14. Chứng minh rằng a) E1 (2 i 5)7 19 7i b) E2 9 i 15. Chứng minh a) | z1 z2 |2 | z2 b) |1 z1 z2 |2 n | z1 100 ( i)94 ; 1 z R (2 i 5)7 20 5i 7 6i z3 |2 | z3 R; n R. z1 |2 | z1 |2 | z2 |2 | z3 |2 | z1 z3 |2 ; z2 |2 (1 | z1 |2 )(1 | z2 |2 ); c) |1 z1 z2 |2 | z1 z2 |2 (1 | z1 |2 )(1 | z2 |2 ); d) | z1 z2 z3 |2 | z1 z2 z3 |2 | z1 z2 z3 |2 | z1 4(| z1 |2 | z2 |2 | z3 |2 )2 . 1 1 | 2. Chứng minh | z | 2. 16. Cho z C * , | z 3 3 z z 17. Tìm tất cả các số phức z sao cho | z | 1,| z 2 z 2 | 1 . 18. Tìm tất cả các số phức z sao cho 4z 2 8 | z |2 8. 19. Tìm tất cả các số phức z sao cho z 3 z . 20. Xét z∈ ℂ , Re(z)>1. Chứng minh 1 1 1 | | . z 2 2 1 3 21. Cho các số thực a,b và i . Tính 2 2 (a b c 2 )(a b 2 c ) . 22. Giải phương trình a) | z | 2 z 3 4i; Lê Lễ z2 z2 z3 |2 Page 19 Bài tập số phức b) | z | z 3 4i; c) z3 2 11i, z x yi, x, y Z d) iz 2 (1 2i) z 1 0; e) z 4 6(1 i) z 2 5 6i 0; f) (1 i)z 2 2 11i 0. 23. Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình z3 (3 i) z 2 3z (m i) 0 Có ít nhất một nghiệm thực. 24. Tìm tất cả các số phức z sao cho z ' ( z 2)( z i ) là số thực. 1 25. Tìm tất cả số phức z sao cho | z | | | . z 26. Cho z1 , z2 C , sao cho | z1 z2 | 3,| z1 | | z2 | 1 . Tính | z1 z2 | . 27. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 1 i 3 n 1 i 3 n ( ) ( ) 2. 2 2 28. Cho số nguyên n>2. Tìm số nghiệm phương trình z n 1 iz . 29. Cho z1 , z2 , z3 là ba số phức | z1 | | z2 | | z3 | R 0 . Chứng minh | z1 z2 || z2 z3 | | z3 z1 || z1 z2 | | z2 z3 || z3 z1 | 9R2 . v(u z ) 30. Cho u,v,w là ba số phức | u | 1,| v | 1, w . Chứng minh | w | 1 | z | 1 . u .z 1 31. Cho z1 , z2 , z3 là ba số phức sao cho z1 z2 z3 0,| z1 | | z2 | | z3 | 1. Chứng minh z12 z22 z32 0 . 32. Cho các số phức z1 , z2 , , zn sao cho | z1 | | z2 | | zn | r 0 Chứng tỏ ( z1 z2 )( z2 z3 ) ( zn 1 zn )( zn z1 ) E là số thực. z1 z2 zn 33. Cho các số phức phân biệt z1 , z2 , z3 sao cho Lê Lễ Page 20