Tài liệu Kiến thức toán cơ bản hỗ trợ giải toán vật lý

NGUYỄN HOÀNG HUY KIẾN THỨC TOÁN CƠ BẢN I. LƯỢNG GIÁC 1. ĐƠN VỊ ĐO – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÁC CUNG Từ đây các em hãy lập bảng giá trị lượng giác Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn kém 𝛑 Cung phụ nhau Cung hơn kém π/2 (𝛂; −𝛂) (𝛂; 𝛑 − 𝛂) (𝛂; 𝛑 + 𝛂) (𝛂; 𝛑/𝟐 − 𝛂) (𝛂; 𝛑⁄𝟐 + 𝛂) sin(−α) = − sin α sin(π − α) = sin α sin(π + α) = − sin α sin(π⁄2 − α) = cos α sin(π⁄2 + α) = cos α cos(−α) = cos α cos(π − α) = −cos α cos(π + α) = −cos α cos(π⁄2 − α) = sin α cos(π⁄2 + α) = − sin α tan(−α) = − tan α tan(π − α) = − tan α tan(π + α) = tan α tan(π⁄2 − α) = cot α tan(π⁄2 + α) = − cot α cot(−α) = − cot α cot(π − α) = − cot α cot(π + α) = cot α cot(π⁄2 − α) = tan α cot(π⁄2 + α) = − tan α **) Trục đổi đơn vị (sẽ áp dụng khá nhiều) Cái này hiểu khá đơn giản như vầy nhé +) Đổi từ bé sang lớn thì nó sẽ nhân với số bé vì 1000 chỉ bằng 1/10 10000 thôi VD thế  1012 109 106 103 M K T G Tetra Giga Mega Kilo 10−3 10−6 10−9 10−12 𝛍 p n m mili micro nano pico +) Đổi từ lớn sang bé thì nó sẽ tăng lên nên Ví dụ: 1 m = 10−9 Gm, 1 F = 10−6 μF phải nhân với số lớn Cũng cỏ thế biết thêm: 1Å = 10−10 m Giống như 10.000 = 10 lần 1000 vậy  1 NGUYỄN HOÀNG HUY Một số hằng số vật lý cơ bản: -Số Avogadro: 6,023.1023 mol−1(áp dụng nhiều vào VLý 12 chương VII) -1 hải lí = 1,85.103 m (Sẽ có thể áp dụng vào VLý 12 chương IV) -Hằng số hấp dẫn: G = 6,67.10−11 m3 /(kg. s 2 ) (Sẽ có thể áp dụng vào VLý 12 chương I và IV) -Vận tốc ánh sáng trong chân không: c = 3.108 m/s -Lực Cu-lông: FCL = k e2 2 , với { rn k = 9.109 (Nm2 ⁄C2 ) (áp dụng vào chương VI Vlý 12) e và rn hãy thử tìm hiểu Những hằng số ở trên không cần xem vội, nhưng sẽ có lúc các bạn chắc chắn dùng đến. 2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC sin2 x + cos2 x = 1; tan x cot x = 1; 1 + tan2 x = 1 1 ; 1 + cot 2 x = 2 cos x sin2 x 3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI a) Công thức cộng sin (a±b) = sin a cos b ± cos a sin b ⇒ sin thì sin cos cos sin (nhớ là đều lần lượt a và b) cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b ⇒ cos thi cos cos sin sin dấu trừ tan (a±b) = tan a ± tan b tan tổng bằng tổng các tan trên 1 trừ tan ta tan mình ⇒ { tan hiệu thì ngược lại 1∓ tan a tan b b) Công thức nhân đôi, nhân ba sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x ⟹ "Sin thì 34 cos thì 43 dấu trừ ở giữa phân ra ở đâu có 4 mũ 3 thêm vào” hoặc có thể chứng minh theo cách sin tổng VD: sin3x = sin (2x+x) rồi chứng minh tiếp tục (Có thể chứng mnh tương tự cho Cos 2x,…). c) Công thức hạ bậc: cos2 x = 1 + cos 2x 1 − cos 2x ; sin2 x = ⇒ tan2 x = ? 2 2 d) Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 2 a+b a−b sin a − sin b = 2 cos sin 2 2 sin(a + b) tan a + tan b = cos a cos b a+b a−b cos 2 2 a+b a−b cos a − cos b = −2 sin sin 2 2 sin(a − b) tan a − tan b = cos a cos b sin a + sin b = 2 sin cos a + cos b = 2 cos Sin + sin bằng 2 lần sin cos (Nhớ là TBình cộng trước) Cos + cos bằng 2 lần cos cos Sin - sin bằng 2 lần cos sin Cos – cos bằng -2 lần sin sin Tan a + với tan e bằng sin 2 đứa trên cos mình cos ta Tan a – với tan e thì ngược lại thì tự ngẫm 2 NGUYỄN HOÀNG HUY 4. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN: sin α = sin β ⇒ [ α = β + k2π (k ∈ Z) α = π − β + k2π tan α = tan β ⇒ α = β + kπ (k ∈ Z) cos α = cos β ⇒ [ α = β + k2π (k ∈ Z) α = −β + k2π cot α = cot β ⇒ α = β + kπ (k ∈ Z) II. KHI GIẢI BÀI TẬP CẦN CHÚ Ý MỘT SỐ KIẾN THỨC TOÁN HỌC SAU: 1. Đạo hàm – Nguyên hàm của một số hàm cơ bản sử dụng trong Vật Lý: Hàm số Đạo hàm Nguyên hàm y = sin x cos x −cos x y = cos x −sin x sin x 2. Bất đẳng thức: a. Bất đẳng thức Côsi: a1 + a 2 + ⋯ + a n n ) CTTQ: a1 + a2 + … + an ≥ √a1 a2 …an , a1 a2 …an ≤ ( n dau "=" xay ra khi a1 = a2 = … = an (a + b)min =2√ab +)BĐT Cosi cho hai so khong am ⇒ a + b ≥ 2√ab ⇒ [ a + b 2 ; dau "=" xay ra khi a = b (√ab)max = ( ) 2 b. BĐT Bunhiacopski: n Cho hai dãy số thực (a1 , a2 , … , an ); (b1 , b2 , … , bn ), khi đó ta có: (a1 b1 + a2 b2 + an bn )2 ≤ (a21 + a22 + a2n )(b12 + b22 + ⋯ + b2n ) a1 a 2 an dấu “=” xảy ra khi ai = kbi , i = 1, n, k ∈ R ⇔ = =⋯= b1 b2 bn +)BĐT Bunhiacopski cho 2 biến: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2 )(x 2 + y 2 ); dấu “ = ” xảy ra khi a b = x y 3. Tam thức bậc hai: y = f(x) = ax 2 + bx + c. + a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol. + a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol. + Tọa độ đỉnh: x = − b ∆ ; y=− (∆= b2 − 4ac) 2a 4a + Nếu Δ = 0 thì phương trình y = ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép. + Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b x1 + x2 = − = S a Định lý Viet: } ⇒ x1 , x2 là nghiệm của phương trình x 2 − Sx + P = 0 c x1 x2 = = P a Các em có thời gian cũng có thể tìm hiểu định lý Vi-et cho hàm bậc 3 xem sao. 3 NGUYỄN HOÀNG HUY 4. Hệ thức lượng trong tam giác - Tam giác thường: A a. Định lý hàm số sin: a ̂ sin A = b c = ̂ sin Ĉ sin B b c b. Định lý hàm số cosin: ̂ a2 = b2 + c 2 − 2bc cos A a B C ̂ b2 = a2 + c 2 − 2ac cos B c 2 = a2 + b2 − 2ab cos Ĉ A - Tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A có: b2 = ab′ ; c 2 = ac ′ ; h2 = b′ c ′ ; bc = ah; b 1 1 1 = 2 + 2. 2 h b c B c h b’ H c’ C 5. Tính chất của phân thức: a c a+c a−c a c a+b c+d = = = và = ⇔ = b d b+d b−d b d b d Một tính chất rất cơ bản nhưng cái gì càng dễ dùng thì thường ít người nhớ đến, năm ngoái dựa vào tính chất này đã giải quyết đuọc rất nhiều vấn đề Cực trị trong chương III: DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU và có thể áp dụng vào giải 1 số câu đã thi ĐH trong những nam vừa qua. Có sai sót mong được bỏ qua ! Và đây là lời khuyên của anh dành cho các em Đừng chủ quan...! em có thể bấm máy tính 5-10s để tính xong tính giá trị 1 góc , nhưng khi đi thi có thể cuống không bấm được vì đi thi run là điều hiển nhiên, vì vậy hãy nên học thuộc, nhẩm đc góc lượng giác vì nó sẽ hỗ trợ e suốt 4 chương đầu của Vật Lý 12 và có rất nhiều câu trong đề thi sử dụng số liệu góc đẹp, em cứ nghĩ cứ 1 câu tiet kiem đc 10s bấm máy thì 9, 10 hay 20 câu sẽ có 1 lợi thế không nhỏ. Một, hai hoặc 5 phút trong ¾ thời gian lúc thi sẽ giúp ích đc em rất nhiều. Đừng chủ quan...! em có thể bấm máy tính 5-10s để tính xong tính giá trị 1 góc , nhưng khi đi thi có thể cuống không bấm được vì đi thi run là điều hiển nhiên, vì vậy hãy nên học thuộc, nhẩm đc góc lượng giác vì nó sẽ hỗ trợ e suốt 4 chương đầu của Vật Lý 12 và có rất nhiều câu trong đề thi sử dụng số liệu góc đẹp, em cứ nghĩ cứ 1 câu tiet kiem đc 10s bấm máy thì 9, 10 hay 20 câu sẽ có 1 lợi thế không nhỏ. Một, hai hoặc 5 phút trong ¾ thời gian lúc thi sẽ giúp ích đc em rất nhiều. 4