PHẦN I. HÀM SỐ
1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1.1. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
y f x
xác định trên
K ta có:
Hàm số
được gọi là đồng biến (tăng) trên K
y f x
nếu:
x1, x2 K , x1 x2 f x1 f x2
Hàm số
y f x
được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:
x1, x2 K , x1 x2 f x1 f x2
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K
* Nhận xét:
đồng biến trên K
f x
Hàm số
1
x2 x1
Hàm số
của hàm số đi lên từ trái sang phải.
f x
0 x , x
f x2 f x1
2
K , x1 x2.
Khi đó đồ thị
0 x , x
f x2 f x1
x2 x1
nghịch biến trên K
1
2
K , x1 x2.
Khi đó đồ
thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Nếu
Nếu
f x 0, x a; b
Nếu
Nếu
Nếu
f x 0, x a;b
hàm số
hàm số
đồng biến trên khoảng a;b .
f x
nghịch biến trên khoảng a;b .
f x
f x 0, x a;b
f x
a;b .
hàm số
không đổi trên khoảng
đồng biến trên khoảng a;b f x 0, x a;b .
f x
nghịch biến trên khoảng a;b f x 0, x a;b .
f x
Nếu tha� đổi khoảng
giả thiết “hàm số
a;b
bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sunng thêm
liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
f x
1.2. Quny tắc và công thức tính đạo hàm
Quy tắc tính đạo hàm: Cho
u u x ; v v x ; C :
là hằng số .
Trang 1
u v u v.
Tổng, hiệu:
Tích:
uv. u.v v.u C .u C .u.
u u.v v.u
C
C .u
,
v
0
v
v2
u2
u
Thương:
Đạo hàm hàm hợp: Nếu
y f u , u u x yx yu.ux
.
1.3. Bảng công thức tính đạo hàm
Đạo hàm của hàm sơ cấp
C 0
(C là hằng số).
Đạo hàm của hàm hợp
x .x 1
x .x
u . u
1
1
2 (x 0)
x
x
1
u
2 u 0
u
u
1
x
1
2 x
1
.u
u 2uu u 0
x 0
sinx cosx
cosx sin x
sinu u.cosu
cosu u.sinu
tanx cos1 x
tanu cosu u
cot x sin1 x
cot u sinu u
e e
a a .lna
ln x x1
e u.e
a u.a .lna
ln u uu
log x x ln1 a
u
log u u.ln
a
2
2
2
x
2
x
x
u
x
u
u
a
u
a
1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức
ax b
ad bc
.
2
cx
d
cx d
ax2 bx c
2
dx ex f
a b 2
a c
b c
x 2
x
d e
d f
e f
dx2 ex f
2
.
Trang 2
1.5. Đạo hàm cấp 2
1.5.1. Định nghĩa
f x f x
1.5.2. Ý nghĩa cơ học
Gia tốc tức thời của chu�ển động
s f t
tại thời điểm
t0
là:
a t0 f t0 .
1.5.3. Đạo hàm cấp cao
f
n
x f x , n , n 2
.
n 1
* Một số chú ý:
f x
Nếu hàm số
f x g x
đối với hiệu
Nếu hàm số
và
gx
cũng đồng biến (nghịch biến) trên K . Tính chất nà� có thể không đúng
.
f x gx
f x
K thì hàm số
gx
và
f x .g x
là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên
cũng đồng biến (nghịch biến) trên K . Tính chất nà� có thể
không đúng khi các hàm số
Cho hàm số
xác định với
cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số
f x ,g x
không là các hàm số dương trên K .
, xác định với x a;b
u u x
x a;b
và
. Hàm số
u x c;d
f u x
cũng
.
Ta có nhận xét saun:
Giả sử hàm số
với
đồng biến với x a;b . Khi đó, hàm số
u u x
x a;b f u
Giả sử hàm số
biến với
đồng biến với
u u x
x a; b f u
u c; d
nghịch biến với
nghịch biến với
f u x
đồng biến
.
x a; b
. Khi đó, hàm số
f u x
nghịch
.
u c;d
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
f ' x 0
với mọi x K và
chỉ tại một số hữu hạn điểm
x K thì hàm số f đồng biến trên K .
Nếu
f ' x 0
f ' x 0
với mọi x K và
chỉ tại một số hữu hạn điểm
x K thì hàm số f nghịch biến trên K .
Nếu
f ' x 0
Chú ý:
Trang 3
y
* Đối với hàm phân thức hữu tỉ
đạo hàm y không xả� ra.
ax b
d
x
cx d
c
thì dấu " " khi xét dấu
y f x ax3 bx2 cx d f x 3ax2 2bx c.
Giả sử
Hàm số đồng biến trên
Hàm số nghịch biến trên
a 0
0
f x 0; x a 0 .
b 0
c 0
a 0
0
f x 0; x a 0 .
b 0
c 0
Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a b c 0thì
f x d
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)
* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ
dài bằng l ta giải như sau:
Bước 1: Tính
y f x;m ax2 bx c.
x ;x y 0 có 2 nghiệm phân biệt
1
Bước 2: Hàm số đơn điệu trên
2
0
a 0
*
Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l
x1 x2 l x1 x2
Bước 4: Giải
*
và giao với
2
4x1x2 l 2 S2 4 P l 2
* *
* * để su� ra giá trị m cần tìm.
2. CỰC TRỊ HÀM SỐ
2.1. Định nghĩa
x K
Giả sử hàm số f xác định trên tập K và 0
. Ta nói:
a; b chứa x0 sao cho
x0 là điểm cực tiểun của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
a; b K và f x f x , x a;b \ x . Khi đó f x
0
0
0
được gọi là giá trị cực tiểun
của hàm số f .
Trang 4
a;b
x
là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
chứa 0 sao cho
x0
a; b K và f x f x , x a;b \ x . Khi đó f x
0
0
0
được gọi là giá trị cực đại
của hàm số f .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực
trị phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm
số.
x ; f x0
Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm 0
đồ thị hàm số f .
được gọi là điểm cực trị của
* Nhận xét:
Giá trị cực đại (cực tiểu)
nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)
f x0
của
f x0
hàm số f trên tập D;
chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một
khoảng
a;b
nào đó chứa
tại khoảng (a;b) chứa
khoảng
x0
x0
ha� nói cách khác khi
sao cho
x0
điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn
là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f
f x0
trên
a;b .
Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K . Hàm số có thể
không có cực trị trên một tập cho trước.
2.2. Điềun kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1:
Giả sử hàm số
x0
thì
đạt cực trị tại điểm x . Khi đó, nếu y f x
y f x
0
có đạo hàm tại điểm
f x0 0.
Chú ý:
Đạo hàm
x0
f x
có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm
.
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc
tại đó hàm số không có đạo hàm.
2.3. Điềun kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2:
Trang 5
x
x
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm 0 thì
f ' x0 0
.
Nếu
f x 0
trên khoảng
x
0
f x 0
trên khoảng
và
f x 0
trên khoảng
x ;x
0
0
h
thì
x0
là
thì
x0
là
f x .
một điểm cực đại của hàm số
Nếu
h;x0
x
0
một điểm cực tiểu của hàm số
h;x0
và
f x 0
trên khoảng
x ;x
0
0
h
f x .
2.4. Quny tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
Bước 2: Tìm các điểm
xi
f x .
i 1;2;...
mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số
liên tục nhưng không có đạo hàm.
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu
thì hàm số đạt cực trị tại
xi
. Nếu f x
f x
đổi dấu khi đi qua
.
Định lí 3:
Giả sử
y f x
Nếu
Nếu
có đạo hàm cấp 2 trong khoảng
x
0
h;x0 h
với h 0. Khi đó:
x.
thì hàm số f đạt cực đại tại 0
x.
thì hàm số f đạt cực tiểu tại 0
f x0 0, f x0 0
f x0 0, f x0 0
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
Bước 2: Tìm các nghiệm
Bước 3: Tính
Nếu
Nếu
f x
f x .
xi i 1;2;...
và tính
của phương trình
f xi .
x.
thì hàm số f đạt cực đại tại điểm i
thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi .
f xi 0
f xi 0
f x 0.
3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
3
2
3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y ax bx cx d.
3.1.1. Tìm điềun kiện để hàm số có cực đại, cực tiểun thỏa mãn hoành độ cho trước
Bài toán tổng uát:
Trang 6
xi
Cho hàm số
đại, cực tiểu tại
y f x;m ax3 bx2 cx d.
x1, x2
Tìm tham số m để hàm số có cực
thỏa mãn điều kiện K cho trước?
Phương pháp:
Bước 1:
Tập xác định: D .
2
2
Đạo hàm: y 3ax 2bx c Ax Bx C
Bước 2:
Hàm số có cực trị (ha� có hai cực trị, hai cực trị phân biệt ha� có cực đại và
cực tiểu)
y 0 có hai nghiệm phân biệt và y đổi dấu qua 2 nghiệm đó
phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt
A 3a 0
2
2
y B 4AC 4b 12ac 0
Bước 3:
Gọi
x1, x2
a 0
m D1.
2
b 3ac 0
là hai nghiệm của phương trình y 0.
B
2b
x1 x2
A
3a .
C
c
x .x
1 2
A 3a
Khi đó:
Bước 4:
Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được
m D2.
Bước 5:
Kết luận các giá trị m thỏa mãn:
* Chú ý: Hàm số bậc ba:
m D1 D2.
y ax3 bx2 cx d a 0 .
2
Ta có: y ' 3ax 2bx c.
Điều kiện
Kết luận
Hàm số không có cực trị.
b 3ac 0
2
Hàm số có hai điểm cực trị.
b 3ac 0
Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.
2
Hàm số có 2 cực trị trái dấu
phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu
AC
. 3ac 0 ac 0.
Hàm số có hai cực trị cùng dấu
phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
Trang 7
y 0
C
P x1.x2 0
A
Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương
phương trình y 0 có hai nghiệm dương phân biệt
y 0
B
S x1 x2
0
A
P x .x C 0
1 2
A
Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm
phương trình y 0 có hai nghiệm âm phân biệt
y ' 0
B
S x1 x2
0
A
P x .x C 0
1 2
A
x1, x2
Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị
thỏa mãn:
x1 x2
x1 x2
x1 x2
Hai cực trị
x1, x2
thỏa mãn
x1 x2
x1 x2 0 x1.x2 x1 x2 2 0
Hai cực trị
x1, x2
thỏa mãn
x1 x2
x x 0
2
1
x
x
2
2
1
Hai cực trị
x1, x2
thỏa mãn
x x 0
2
1
x
x
2
2
1
x .x x x 2 0
1 2
1
2
x x2 2
1
x1 x2
x .x x x 2 0
1 2
1
2
x x2 2
1
Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng
x
khi có 1 nghiệm là
b
3a , có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là
d
a .
3.1.2. Tìm điềun kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểun nằm cùng phía, khác
x
3
phía so với một đường thẳng
Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:
Trang 8
Cho 2 điểm
Nếu
ax
A
A xA ;yA , B xB ;yB
và đường thẳng : ax by c 0.
byA c axB byB c 0
thì hai điểm A, B nằm về
hai phía so với đường thẳng .
Nếu
ax
A
byA c axB byB c 0
thì hai điểm A, B nằm cùng
.
phía so với đường thẳng
Một số trương hợp đặc biêṭ :
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy
hàm số có 2 cực trị cùng dấu
phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy
hàm số có 2 cực trị trái dấu
phương trình y 0 có hai nghiệm trái dấu
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox
phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT 0
Đặc biệt:
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox
yC Đ .yCT 0
y yCT 0
phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và C Đ
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox
yC Đ .yCT 0
y yCT 0
y
0
phương trình
có hai nghiệm phân biệt và C Đ
Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT 0
(áp dụng khi không nh̉m được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)
Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
phương trình hoành độ giao điểm f x 0 có 3 nghiệm phân biệt (áp
dụng khi nh̉m được nghiệm)
3.1.3. Phương trình đường thẳng quna các điểm cực trị
2c 2b2
bc
y.y
y.y
g x
x d
g x y
g
x
y
.
9a
3y
3 9a
18a hoặc
hoặc
3.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là
Trang 9
4e 16e3
b2 3ac
AB
e
a
9a
với
3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
y ax4 bx2 c,
a 0
3.2.1. Một số kết qunả cần nhớ
Hàm số có một cực trị ab 0.
Hàm số có ba cực trị ab 0.
a 0
b 0 .
Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu
a 0
b 0 .
Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại
a 0
b 0 .
Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại
a 0
b 0 .
Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại
3.2.2. Một số công thức tính nhanh
b
,C
A(0;c), B
;
4
2
2
a
4
a
y
ax
bx
c
Giả sử hàm số
có 3 cực trị:
tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện: ab 0
b
;
2
a
4
a
·
Đặt: BAC = a
b3
cot
2 8a
2
Tổng quát:
Dữ kiện
Công thức
thỏa mãn ab 0;c 0
Tam giác ABC vuông cân tại A
Tam giác ABC đều
S
S0
Tam giác ABC có diện tích ABC
max(S0)
Tam giác ABC có diện tích
b3 8a
b3 24a
32a3(S0)2 b5 0
Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội
tiếp
rABC r0
S0
r
b5
32a3
b2
b3
4 a 1 1
8a
Trang 10
Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại
tiếp
R
RABC R
BC m0
Tam giác ABC có độ dài cạnh
AB AC n0
Tam giác ABC có độ dài
Tam giác ABC có cực trị B,C Ox
Tam giác ABC có 3 góc nhọn
b3 8a
8a b
am02 2b 0
16a2n02 b4 8ab 0
b2 4ac
b(8a b3) 0
Tam giác ABC có trọng tâm O
b2 6ac
Tam giác ABC có trực tâm O
b3 8a 4ac 0
Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình 2
b 2ac
thoi
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội 3
b 8a 4abc 0
tiếp
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại 3
b 8a 8abc 0
tiếp
Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC
b3.k2 8a(k2 4) 0
Trục hoành chia tam giác ABC thành
b2 4 2 ac
hai phần có diện tích bằng nhau
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục 2
b 8ac
hoành
C : y ax
Đồ thị hàm số
4
bx2 c
cắt trục
100
2
Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số b 9 ac
cộng
Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ
36
C : y ax4 bx2 c
b2 ac
thị
và trục hoành có
5
diện tích phần trên và phần dưới bằng nhau.
Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là:
2
2
x2 y2
c y c
0
b 4a
b 4a
4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
4.1. Định nghĩa.
Cho hàm số
y f x
xác định trên tập D.
f (x) M , x D
x D, f (x0) M
y f x
Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
trên D nếu: 0
. Kí
hiệu:
M max f ( x)
xD
.
Trang 11
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
hiệu:
m minf (x)
xD
y f x
trên D nếu:
f (x) m, x D
x0 D, f (x0) m . Kí
.
4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
f x
Bước 1: Tính
và tìm các điểm
x1, x2,..., xn D
mà tại đó
f x 0
hoặc hàm số
không có đạo hàm.
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó su� ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số.
4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Bước 1:
Hàm số đã cho
Tìm các điểm
y f x
x1, x2,..., xn
a;b .
xác định và liên tục trên đoạn
trên khoảng
a;b , tại đó f x 0 hoặc f x
không xác
định.
f a , f x1 , f x2 ,..., f xn , f b .
Bước 2: Tính
Bước 3: Khi đó:
max f x max f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b .
a,b
min f x min f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b .
a,b
4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Bước 1: Tính đạo hàm f (x) .
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm
i (a;b)
xi (a;b)
của phương trình f (x) 0 và tất cả các điểm
làm cho f (x) không xác định.
Bước 3. Tính
A lim f (x) B lim f (x) f (x ) f( )
i ,
i .
x a
x b
,
,
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận
M maxf (x) m minf (x)
(a;b)
(a;b)
,
.
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Chú ý:
min f x f a
a;b
f x f b
max
y f x
a;b
a;b
Nếu
đồng biến trên
thì
.
min f (x) f b
a;b
.
max
f
(
x
)
f
a
y f x
a;b
a;b
Nếu
nghịch biến trên thì
Trang 12
Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
trên khoảng đó.
5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
5.1. Đường tiệm cận ngang
a; , ;b
Cho hàm số y f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng
hoặc
; ). Đường thẳng y y
0
là đường tiệm cận ngang (ha� tiệm cận ngang) của đồ
thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f (x) y0, lim f (x) y0
x
x
5.2. Đường tiệm cận đứng
x x0
Đường thẳng
được gọi là đường tiệm cận đứng (ha� tiệm cận đứng) của đồ thị
hàm số y f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f (x) , lim f (x) , lim f ( x) , lim f ( x)
x x0
x x0
x x0
x x0
y
Với đồ thị hàm phân thức dạng
ax b
c 0; ad bc 0
cx d
luôn có tiệm cận
Lưu ý:
y
ngang là
a
d
x .
c và tiệm cận đứng
c
6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
6.1.1. Hàm số bậc ba
y ax3 bx2 cx d
TRƯỜNG HỢP
/
Phương trình y 0 có
a0
a 0
a0
2 nghiệm phân biệt
/
Phương trình y 0 có
nghiệm kép
Trang 13
/
Phương trình y 0 vô
nghiệm
6.1.2. Hàm số trùng phương
a0
TRƯỜNG HỢP
y ax4 bx2 c
a 0
a0
/
Phương trình y 0
có
3 nghiệm phân biệt
(ab<0)
/
Phương trình y 0
có
1 nghiệm.
6.1.3. Hàm số nhất biến
D ad bc 0
y
ax b
cx d
c 0, ad bc 0
D ad bc 0
6.2. Một số phép biến đổi đồ thị
6.2.1. Dạng 1
Từ đồ thị
C : y f x
su� ra đồ thị
C : y f x .
Trang 14
f x
y f x
f x
Ta có:
và
y f x
* Cách vẽ
khi x 0
khi x 0
là hàm chẵn nên đồ thị
C
nhận Oy làm trục đối xứng.
C từ C :
Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị
Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của
Ví dụ: Từ đồ thị
su� ra đồ thị
C : y f x x
C : y x
3
3x
C : y f x .
C , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.
3
3x
C : y x
3
3x
.
C :
Biến đổi
Bỏ phần đồ thị của
C
giữ ngu�ên
Oy,
C
bên trái
C : y x
bên phải Oy.
3
Lấ� đối xứng phần đồ thị được
giữ qua Oy .
6.2.2. Dạng 2
Từ đồ thị
C : y f x
su� ra đồ thị
f x
y f x
f x
Ta có:
* Cách vẽ
C : y f x .
f x 0
khi f x 0
khi
C từ C :
Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):
.
y f x
Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
C : y f x x
Ví dụ: Từ đồ thị
3
3x
C : y x
3
su� ra đồ thị
Biến đổi
y x 3x
3
3x
.
C :
Bỏ phần đồ thị của
Ox , giữ ngu�ên C
Ox.
C
dưới
C : y x
3
3x
phía trên
Trang 15
3x
Lấ� đối xứng phần đồ thị bị
bỏ qua Ox .
Chú ý với dạng:
yf x
ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị
C : y f x x
Ví dụ: Từ đồ thị
3
y f x
và
yf x
3x
C : y x
3
3
3x
y x 3x
su� ra đồ thị
C
. Biến đổi
C : y x
để được đồ thị
C : y x
Biến đổi
C : y x
3
3
3x
.
ta được đồ
3x
thị
6.2.3. Dạng 3
Từ đồ thị
3x
3
.
C : y u x .v x
su� ra đồ thị
C : y u x .v x .
u x .v x f x
y u x .v x
u x .v x f x
Ta có:
* Cách vẽ
khi u x 0
khi u x 0
C từ C :
Giữ nguyên phần đồ thị trên miền
Bỏ phần đồ thị trên miền
u x 0
u x 0
của
của đồ thị
C : y f x .
C , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ
Ví dụ
C : y f x 2x
a) Từ đồ thị
su� ra đồ thị
3
3x2 1
C : y x 1 2x2 x 1
b) Từ đồ thị
ra đồ thị
C : y f x x x 1
su�
C : y x x 1
f x
x
khi x 1
khi x 1;
y x 1 2x2 x 1
x
x
1
f
x
khi
x
1
y
.
x 1 x
khi x ;1
x 1
Đồ thị (C’):
Giữ ngu�ên (C) với x 1 .
Đồ thị (C’):
Bỏ (C) với x 1. Lấ� đối xứng
C
Bỏ phần đồ thị của
với
phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
x 1, giữ ngu�ên C
với
Trang 16
qua Ox.
x 1.
Lấ� đối xứng phần đồ thị bị bỏ
qua Ox.
Nhận xét: Trong quá trình thực hiện
phép su� đồ thị nên lấy đối xứng các điểm
Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì
đặc biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy, nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để
CĐ, CT…
thực hiện phép su� đồ thị một cách
tương đối chính xác.
7. TIẾP TUYẾN
7.1. Tiếp tunyến
Cho hàm số
dạng:
y f x
, có đồ thị (C). Tiếp tunyến của đồ thị (C) tại điểm
y f x0 x x0 y0
M 0 x0;y0 (C )
có
.
Trong đó:
Điểm
M 0 x0;y0 (C )
được gọi là tiếp điểm. ( với
) và k f ' x là hệ số góc của
y0 f x0
0
tiếp tu�ến.
7.2. Điềun kiện tiếp xúc
O
Cho hai hàm số
C : y f x
và
C ' : y g x . Đồ thị C
và C tiếp xúc nhau khi chỉ
f x g x
/
f x g/ x
khi hệ phương trình:
có nghiệm.
8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
(C )
Cho hàm số y f (x) có đồ thị 1 và y g(x) có đồ thị (C 2 ) .
Phương trình hoành độ giao điểm của
(C 1)
f (x) g(x) 1
và (C2 ) là
. Khi đó:
(C )
1
Số giao điểm của (C1 ) và 2 bằng với số nghiệm của phương trình .
x0
Nghiệm
của phương trình
Để tính tung độ
y0
1 chính là hoành độ x
của giao điểm, ta tha� hoành độ
0
x0
của giao điểm.
vào
y f x
hoặc
Trang 17
.
y g x
Điểm
M x0 ; y0
là giao điểm của
(C 1)
và
(C 2)
.
9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
(C )
Xét họ đường cong m có phương trình y f (x, m) , trong đó f là hàm đa thức theo biến
x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ
đường cong khi m tha� đổi?
Phương pháp giải:
Bước 1: Đưa phương trình y f ( x , m) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau:
Am B 0 hoặc Am2 Bm C 0 .
Bước 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:
A 0
A 0
B 0
B 0 hoặc C 0 .
Bước 3: Kết luận:
- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong
(C m )
không có điểm cố định.
- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của
(C m )
.
9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ ngunyên
Cho đường cong (C ) có phương trình y f (x) (hàm phân thức). Hã� tìm những điểm có
tọa độ ngu�ên của đường cong?
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là
số nguyên.
Phương pháp giải:
Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.
Bước 2: Lập luận để giải bài toán.
9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng
Cho đường cong (C ) có phương trình y f (x) . Tìm những điểm đối xứng nhau qua một
điểm, qua đường thẳng.
C : y Ax
Bài toán 1: Cho đồ thị
nhau qua điểm
I (xI ,yI )
3
Bx2 Cx D
trên đồ thị
C
tìm những cặp điểm đối xứng
.
Phương pháp giải:
Gọi
M a;Aa3 Ba2 Ca D , N b;Ab3 Bb2 Cb D
là hai điểm trên
xứng nhau qua điểm I .
Trang 18
C
đối
a b 2xI
A(a3 b3) B a2 b2 C a b 2D 2yI
Ta có
.
Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toạ độ M, N.
Bài toán 2: Cho đồ thị
C : y Ax
3
Bx2 Cx D
C
. Trên đồ thị
tìm những cặp điểm đối
xứng nhau qua gốc tọa độ.
Phương pháp giải:
M a, Aa3 Ba2 Ca D , N b, Ab3 Bb2 Cb D
Gọi
là hai điểm trên
C
đối
xứng nhau qua gốc tọa độ.
a b 0
A(a3 b3) B a2 b2 C a b 2D 0
Ta có
.
a,b
Giải hệ phương trình tìm được
từ đó tìm được toạ độ M , N .
C : y Ax
Bài toán 3: Cho đồ thị
3
Bx2 Cx D
d : y A1x B1
nhau qua đường thẳng
trên đồ thị
C
tìm những cặp điểm đối xứng
.
Phương pháp giải:
M a; Aa 3 Ba 2 Ca D , N b; Ab 3 Bb 2 Cb D
Gọi
là hai điểm trên
C
đối xứng
nhau qua đường thẳng d .
I d
(1)
MN .ud 0 (2)
Ta có:
(với I là trung điểm của MN và u d là vectơ chỉ phương của
đường thẳng d ).
Giải hệ phương trình tìm được M, N.
9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách
9.4.1. Lý thunyết:
Cho hai điểm
Cho điểm
M x0;y0
h M ;d
là
A x1;y1 ;B x2;y2 AB
x
2
x1
2
y
2
y1
2
và đường thẳng d : Ax By C 0 , thì khoảng cách từ M đến d
Ax0 By0 C
A2 B 2
y
Cho hàm phân thức:
.
ax b
cx d tiếp tu�ến tại M cắt TCĐ, TCN ở A và B thì M là
trung điểm của AB. Thì diện tích tam giác MAB không đổi:
SMAB
2
ad bc
c2
.
9.4.2. Các bài toán thường gặp
Trang 19
ax b
c 0, ad bc 0
C
cx d
Bài toán 1: Cho hàm số
có đồ thị
. Hãy tìm trên (C ) hai điểm
A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.
y
Phương pháp giải:
d
c do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai
có tiệm cận đứng
phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số , là hai số dương.
x
C
Nếu A thuộc nhánh trái:
xA
Nếu B thuộc nhánh phải:
d
d
d
xA
c
c
c ; yA f (xA ) .
xB
d
d
d
xB
c
c
c ; yB f (xB ) .
Sau đó tính:
AB 2 xB xA
2
y
B
yA
2
2
2
a a yB yA
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauch� sẽ tìm ra kết quả.
C
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số
có phương trình y f (x) . Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) để
tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Gọi
và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì d x y .
M x;y
Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên
trục hoành, trên trục tung.
Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ
hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo
hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d .
Bài toán 3: Cho đồ thị (C ) có phương trình y f ( x) . Tìm điểm M trên (C ) sao cho khoảng cách từ
M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trụcOy .
Phương pháp giải:
f x kx
y kx
y k x
f x kx
y kx
Theo đầu bài ta có
.
ax b
y f ( x)
c 0, ad bc 0
(
C
)
cx d
Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số
có phương trình
. Tìm tọa độ
điểm M trên (C ) sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).
Phương pháp giải:
x
Tiệm cận đứng
d
a
y
c ; tiệm cận ngang
c.
d a
I
;
c
c của hai tiệm cận.
Ta tìm được tọa độ giao điểm
Trang 20
- Xem thêm -