Tài liệu Khung gabor trong l2 (z)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 BÙI THỊ THU KHUNG GABOR TRONG l2(Z) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 BÙI THỊ THU KHUNG GABOR TRONG l2(Z) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. Nguyễn Quỳnh Nga HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với cô, người đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, đã trang bị kiến thức và phương pháp nghiên cứu để tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Nam Tiền Hải, toàn thể cán bộ giáo viên trong bộ môn Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình cao học. Và cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K18 (đợt 1)-trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 6 năm 2016 Tác giả Bùi Thị Thu Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Khung Gabor trong l2 (Z)" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga và bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất. Hà Nội, tháng 6 năm 2016 Tác giả Bùi Thị Thu Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Một số không gian, phép biến đổi Fourier và chuỗi Fourier . 4 1.2. Khung tổng quát trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Khung Gabor trong L2 (R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát trong L2 (R). . . . . . . 28 Chương 2. Khung Gabor trong l2 (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1. Phép tịnh tiến và phép biến điệu trong l2 (Z) . . . . . . . . . . . . . 42 2.2. Các hệ Gabor rời rạc thông qua lấy mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3. Các khung Gabor trong CL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4. Các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát trong l2 (Z) . . . . . . . . 60 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong khi nghiên cứu các không gian véctơ, một trong những khái niệm quan trọng nhất là khái niệm cơ sở, nhờ đó mỗi véctơ trong không gian có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở. Tuy nhiên, điều kiện để trở thành cơ sở là khá chặt: không có sự phụ thuộc tuyến tính giữa các phần tử trong cơ sở. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí là không tìm được các cơ sở thỏa mãn một số điều kiện bổ sung. Đây là lý do để chúng ta đi tìm một công cụ khác linh hoạt hơn và khung chính là một công cụ như vậy. Khung cho một không gian Hilbert cho phép ta biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung nhưng không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung. Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [5] trong khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh của chuỗi Fourier không điều hòa. Năm 1986, khi bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] ra đời, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan tâm rộng rãi. Khung có nhiều ứng dụng trong xử lí tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữ liệu [4]... Khung Gabor là một khung có cấu trúc đặc biệt được tạo thành từ một hàm duy nhất qua các phép tịnh tiến và biến điệu. Nó là công cụ 1 2 để phân tích và xử lý các tín hiệu như giọng nói và âm nhạc... Với mong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung và khung Gabor nói riêng, tôi quyết định chọn “Khung Gabor trong l2 (Z)” làm đề tài luận văn cao học. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan về khung Gabor trong l2 (Z). 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nắm vững các kiến thức cơ bản về lý thuyết khung tổng quát trong không gian Hilbert, khung Gabor trong L2 (R), các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát trong L2 (R); - Nghiên cứu về khung Gabor trong l2 (Z), phép tịnh tiến và biến điệu trên l2 (Z), hệ Gabor rời rạc qua lấy mẫu, khung Gabor trong CL , các hệ dịch chuyển bất biến tổng quát trong l2 (Z). 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Khung Gabor trong l2 (Z); - Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến khung Gabor trong l2 (Z). 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề; - Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 3 6. Đóng góp mới của luận văn Luận văn hy vọng sẽ là một tài liệu tổng quan về khung Gabor trong l2 (Z). Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số không gian, phép biến đổi Fourier và chuỗi Fourier Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm, ký hiệu và kết quả cơ bản sẽ được dùng trong các phần sau. Nội dung của mục được tham khảo trong tài liệu [1]. Z p +∞ L (R) := {f : R → C| f đo được và |f (x)|p dx < +∞}, 1 ≤ p < ∞. −∞ Lp (R) với 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach với chuẩn  +∞ 1/p Z kf k =  |f (x)|p dx −∞ Đặc biệt, L2 (R) là không gian Hilbert với tích vô hướng Z+∞ hf, gi = f (x) g (x)dx, f, g ∈ L2 (R) −∞ và chuẩn  +∞  21 Z kf k =  |f (x)|2 dx với f ∈ L2 (R) . −∞ L2 (a, b) :=   Zb f : (a, b) → C|f đo được và  a   2 |f (x)| dx < +∞ .  2 L (a, b) là không gian Hilbert với tích vô hướng Zb hf, gi = f (x) g (x)dx,f, g ∈ L2 (a, b) a 4 5 và chuẩn  Zb kf k =   21 |f (x)|2 dx với f ∈ L2 (a, b). a Bổ đề 1.1.1. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân)  b 2  b  b  Z  Z Z    f (x) g (x)dx ≤  |f (x)|2 dx  |g (x)|2 dx , f, g ∈ L2 (a, b) .     a a a   1 Xét không gian L2 0, trong đó b > 0. Các hàm b √ ek (x) = be2πikbx , k ∈ Z     1 1 tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L2 0, . Do đó mọi f ∈ L2 0, b b có khai triển X f= ck ek (1.1) k∈Z trong đó 1 b √ Z ck = hf, ek i = b f (x) e−2πikbx dx (1.2) 0 Khai triển (1.1) được gọi là chuỗi Fourier của f và các số ck được gọi là các hệ số Fourier. Bổ đề 1.1.2. Cho f, g ∈ L2 (0, 1/b) với b > 0 và cho các chuỗi Fourier f= X k∈Z ck e k , g = X dk ek , k∈Z với ek (x) = b1/2 e2πikbx , k ∈ Z. Khi đó hf, gi = P ck dk . k∈Z Phiên bản rời rạc của L2 (R) là l2 (I) trong đó I là tập đếm được ( ) X l2 (I) := {xk } ⊂ C| |xk |2 < ∞ . k∈I 6 l2 (I) là không gian Hilbert với tích vô hướng h{xk } , {yk }i = X xk yk . k∈I Bổ đề 1.1.3. (Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho tổng)  2 X  X X   2 |yk |2 , {xk }k∈I , {yk }k∈I ∈ l2 (I) . x |x | ≤ y  k k k   k∈I k∈I k∈I Cho f ∈ L1 (R), biến đổi Fourier fˆ được định nghĩa bởi Z+∞ fˆ (γ) := f (x) e−2πixγ dx, γ ∈ R −∞ Ta cũng thường ký hiệu biến đổi Fourier của f là F f .
Nếu L1 ∩ L2 (R) được trang bị chuẩn L2 (R), biến đổi Fourier là một
phép đẳng cự từ L1 ∩ L2 (R) đến L2 (R). Nếu f ∈ L2 (R) và {fk }∞ k=1 là
một dãy của các hàm trong L1 ∩ L2 (R) và hội tụ đến f trong không n o∞ 2 gian L (R) thì dãy fˆk cũng hội tụ trong L2 (R), tới một giới hạn k=1 độc lập với lựa chọn của {fk }∞ k=1 . Bằng cách định nghĩa fˆ := lim fˆk k→∞ ta có thể mở rộng biến đổi Fourier thành một ánh xạ Unita từ L2 (R) lên L2 (R). Ta sẽ dùng ký hiệu tương tự để ký hiệu mở rộng này. Đặc biệt ta có đẳng thức Plancherel D E ˆ f , ĝ = hf, gi , ∀f, g ∈ L2 (R) và ˆ f = kf k . 7 Định lí 1.1.4. Nếu f, g ∈ L1 (R) và α, β ∈ C, a, b, ω ∈ R thì 1) F (αf + βg) = αF (f ) + βF (g) ; 2) F (Ta f ) (ω) = e−2πiaω fˆ (ω) ; 3) F (Eb f ) (ω) = fˆ (ω − b) ; trong đó Ta f (t) := f (t − a) , Eb f (t) := e2πibt f (t). Trong luận văn chúng tôi cũng sử dụng không gian Schwartz các hàm giảm nhanh trên R, được định nghĩa như sau S = {f ∈ C ∞ (R)| sup |xm f (n) (x)| < ∞, ∀m, n ∈ N0 } x∈R trong đó f (n) ký hiệu là đạo hàm cấp n của f và N0 = N ∪ {0}. 1.2. Khung tổng quát trong không gian Hilbert Vào năm 1952, khung được giới thiệu bởi Duffin và Schaeffer trong một bài báo quan trọng của họ [5]; họ đã sử dụng khung như một công cụ trong việc nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa, nghĩa là, chuỗi thiết  lập từ eiλn x n∈Z , ở đây {λn }n∈Z là một họ các số thực hoặc số phức. Cộng đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của khái niệm này, và phải mất gần 30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Young đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung vào năm 1980. Ở đó khung lại được sử dụng trong ngữ cảnh của chuỗi Fourier không điều hòa. Sau đó vào năm 1986 khi bắt đầu kỉ nguyên sóng nhỏ, Daubechies, Grossmann, Meyer [4], đã quan sát thấy rằng các khung có thể được sử dụng để tìm ra khai triển chuỗi của các hàm trong L2 (R) tương tự như việc khai triển sử dụng cơ sở trực chuẩn. Đây là thời điểm khi nhiều nhà toán học đã bắt đầu nhận thấy tiềm năng của khung. Điều 8 này trở nên rõ ràng hơn qua bài báo quan trọng [2] của Daubechies, cuốn sách của bà [3] và bài báo trình bày tổng quan của Heil và Walnut [6]. Trong không gian Hilbert H, đặc trưng chủ yếu của một cơ sở là mỗi phần tử f ∈ H có thể biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính (vô hạn) của các phần tử fk trong cơ sở f= ∞ X ck (f ) fk (1.3) k=1 với hệ số ck (f ) là duy nhất. Khung là một dãy các phần tử {fk }∞ k=1 trong H mà cũng cho phép mỗi phần tử f ∈ H được viết như công thức ở (1.3). Tuy nhiên, hệ số tương ứng không nhất thiết là duy nhất.Vì vậy một khung có thể không phải là cơ sở. Định nghĩa 1.2.1. Một dãy {fk }∞ k=1 của các phần tử trong H là một khung cho H nếu tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho 2 Akf k ≤ ∞ X |hf, fk i|2 ≤ Bkf k2 , ∀f ∈ H (1.4) k=1 Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng không phải duy nhất. Cận khung trên tối ưu là cận dưới đúng trên tất cả các cận khung trên, và cận khung dưới tối ưu là cận trên đúng trên tất cả các cận khung dưới. Một khung được gọi là chặt nếu chúng ta có thể chọn A = B như các cận khung. Nếu A = B = 1 thì khung được gọi là khung Parseval. Trong trường hợp không gian Hilbert H là hữu hạn chiều thì dãy m {fk }m k=1 là khung cho H khi và chỉ khi span {fk }k=1 = H. Thật vậy, giả sử {fk }m k=1 là khung cho H, tức là tồn tại các hằng số 9 A, B > 0 sao cho 2 Akf k ≤ m X |hf, fk i|2 ≤ Bkf k2 , ∀f ∈ H. k=1 Giả sử phản chứng rằng span {fk }m k=1 ⊂ H. Khi đó tồn tại f khác không + trong H sao cho hf, fk i = 0, với mọi k = 1, ..., m. Từ bất đẳng thức vế trái bên trên ta suy ra Akf k2 = 0. Do đó A = 0 và mâu thuẫn này chứng tỏ span {fk }m k=1 = H. Bây giờ giả sử span {fk }m k=1 = H. Sử dụng bất đẳng thức CauchySchwarz ta được m X |hf, fk i|2 ≤ k=1 m X kf k2 .kfk k2 = k=1 Do đó ta có thể chọn B = m P m X ! kfk k2 .kf k2 . k=1 kfk k2 làm cận khung trên. k=1 Giả sử không phải tất cả các fk đều bằng không. Đặt W := span {fk }m k=1 và xét ánh xạ liên tục. φ : W →, φ (f ) := m X |hf, fk i|2 . k=1 Do mặt cầu đơn vị trong W là compact nên ta có thể tìm g ∈ W với kgk = 1 sao cho A := m X |hg, fk i|2 = inf ( m X k=1 ) |hf, fk i|2 :f ∈ W, kf k = 1 . k=1 Rõ ràng là A > 0. Với f ∈ W, f 6= 0 ta có: 2 m m  X X   f 2 2   |hf, fk i|2 = , f  kf k k  kf k ≥ Akf k . k=1 k=1 Vậy {fk }m k=1 là một khung cho H. 10 T 2 Ví dụ 1. Lấy H = R , e1 = (0, 1) , e2 = √ 3 1 2 ,2 T , e3 = √ 3 1 2 , −2 T . 3 Khi đó {e1 , e2 , e3 } là một khung chặt với cận khung là . 2 T Thật vậy, với x = (x1 , x2 ) ∈ H bất kỳ, ta có !2 !2 √ √ 3 X 1 1 3 3 |hx, ej i|2 = x22 + x1 + x2 + x1 − x2 2 2 2 2 j=1 =
3 3 2 x1 + x22 = kxk2 . 2 2 Ví dụ 2. Giả sử {ek }∞ k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H. (i) {ek }∞ k=1 là khung Parseval; (ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek }∞ k=1 hai lần ta thu được ∞ {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...}. Khi đó {fk }k=1 là khung chặt với cận khung A = 2. Thật vậy, ta có ∞ X 2 |hf, fk i| = 2 k=1 ∞ X |hf, ek i|2 = 2kf k2 , với mọi f ∈ H. k=1 Nếu chỉ e1 được lặp lại ta thu được {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...} . Khi đó {fk }∞ k=1 là khung với cận A = 1, B = 2. Thật vậy, ta có ∞ X 2 2 |hf, fk i| = |hf, e1 i| + k=1 ∞ X |hf, ek i|2 k=1 ≤ ∞ X 2 |hf, ek i| + k=1 ∞ X =2 k=1 ∞ X |hf, ek i|2 k=1 |hf, ek i|2 = 2kf k2 . 11 Mặt khác, 2 |hf, e1 i| + ∞ X 2 |hf, ek i| ≥ 2 kf k ≤ ∞ X |hf, ek i|2 = kf k2 . k=1 k=1 Do đó ∞ X |hf, ek i|2 ≤ 2kf k2 , ∀f ∈ H. k=1 Vì vậy {fk }∞ k=1 là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận khung trên là 2. iii) Giả sử   1 1 1 1 1 {fk }∞ k=1 := e1 , √ e2 , √ e2 , √ e3 , √ e3 , √ e3 , ... 2 2 3 3 3 1 √ ek được lặp lại k lần. nghĩa là, {fk }∞ là dãy mà mỗi vectơ k=1 k Khi đó với mỗi f ∈ H ta có  2 ∞ ∞ X X   1 2 |hf, fk i| = k  f, √ ek  =kf k2 . k k=1 k=1 Vì thế {fk } là một khung chặt của H với cận khung A = 1. Định nghĩa 1.2.2. Một dãy {fk }∞ k=1 trong H được gọi là một dãy Bessel nếu tồn tại một hằng số B > 0 sao cho ∞ X |hf, fk i|2 ≤ Bkf k2 với mọi f ∈ H. k=1 Khi đó B được gọi là một cận Bessel của dãy Bessel {fk }∞ k=1 . ∞ Định lí 1.2.3. Giả sử {fk }∞ k=1 là một dãy trong H. Khi đó {fk }k=1 là một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi ∞ X ∞ T : {ck }k=1 → ck fk k=1 là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ l2 (N) vào H và √ kT k ≤ B. 12 Chứng minh. Trước hết, giả thiết {fk }∞ k=1 là dãy Bessel với cận Bessel là B. ∞ 2 Giả sử {ck }∞ k=1 ∈ l (N). Ta phải chỉ ra T {ck }k=1 là hoàn toàn xác định, ∞ P ck fk là hội tụ. tức là k=1 Xét n, m ∈ N, n > m. Khi đó n m n X X X ck fk k ck fk k = k ck fk − k k=1 k=m+1 k=1 n X = sup |h kgk=1 ck fk , gi| k=m+1 n X ≤ sup |ck hfk , gi| kgk=1 k=m+1 ≤( n X 2 |ck | ) sup ( ≤ B( n X 1 |hfk , gi|2 ) 2 kgk=1 k=m+1 k=m+1 √ 1 2 n X 1 |ck |2 ) 2 . k=m+1  ∞ n P 2 là dãy Cauchy trong C. Do {ck }∞ |ck |2 k=1 ∈ l (N), ta biết rằng k=1  n ∞ n=1 P Tính toán trên chỉ ra rằng ck fk là một dãy Cauchy trong H k=1 n=1 và do đó hội tụ. Vậy T {ck }∞ k=1 là hoàn toàn xác định. Rõ ràng, T là tuyến tính. Từ ∞ kT {ck }∞ k=1 k = sup |hT {ck }k=1 , gi| . kgk=1 Tính toán tương tự như trên chỉ ra rằng T bị chặn và kT k ≤ √ B. Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T là hoàn toàn xác định, tuyến √ tính, bị chặn từ l2 (N) vào H và kT k ≤ B. 2 Gọi {ej }∞ j=1 là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của l (N), tức là ej là dãy có phần tử thứ j bằng 1, còn lại tất cả các phần tử khác bằng 0. Khi đó 13 theo định nghĩa của toán tử T , T (ej ) = fj với mọi j ∈ N. Ta có hT ∗ f, ej i = hf, T ej i = hf, fj i với mọi j ∈ N Từ đó T ∗ f = {hf, fj i}∞ j=1 và ∞ X |hf, fk i|2 = kT ∗ f k2 ≤ kT ∗ k2 kf k2 = kT k2 kf k2 ≤ Bkf k2 , ∀f ∈ H. k=0 Do đó {fk }∞ k=1 là dãy Bessel với cận Bessel B.  Hệ quả 1.2.4. Nếu {fk }∞ k=1 là một dãy trong H và ∞ P ck fk hội tụ với k=1 ∞ 2 mọi dãy {ck }∞ k=1 ∈ l (N) thì {fk }k=1 là một dãy Bessel. Định nghĩa 1.2.5. Chuỗi ∞ P fk trong không gian Banach X được gọi k=1 là hội tụ không điều kiện nếu chuỗi ∞ P fσ(k) hội tụ đến cùng một phần k=1 tử với mọi hoán vị σ. Hệ quả 1.2.6. Nếu {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel trong H thì ∞ P ck fk hội k=1 2 tụ không điều kiện với mọi dãy {ck }∞ k=1 ∈ l (N). Do một khung {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel nên toán tử 2 T : l (N) → H, T {ck }∞ k=1 = ∞ X ck fk (1.5) k=1 bị chặn theo Định lí 1.2.3. T được gọi là toán tử tổng hợp. Toán tử liên hợp được cho bởi công thức T ∗ : H → l2 (N) , T ∗ f = {hf, fk i}∞ k=1 . (1.6) T ∗ được gọi là toán tử phân tích. Bằng việc kết hợp T và T ∗ chúng ta có toán tử khung ∞ X ∗ S : H → H, Sf = T T f = hf, fk ifk . k=1 (1.7) 14 Chú ý rằng nếu {fk }∞ k=1 là dãy Bessel thì chuỗi xác định S hội tụ không điều kiện cho tất cả f ∈ H. Bổ đề sau cho ta một số tính chất quan trọng của toán tử khung S. Bổ đề 1.2.7. Cho {fk }∞ k=1 là một khung với toán tử khung S và các cận khung A, B. Khi đó ta có (i) S là bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp, và dương (tức là hSf, f i ≥ 0 với mọi f ∈ H);  ∞ (ii) S −1 fk k=1 là một khung với các cận B −1 , A−1 . Nếu A, B là các cận  −1 ∞ −1 −1 tối ưu của {fk }∞ thì các cận B , A là các cận tối ưu của S fk k=1 . k=1  ∞ Toán tử khung của S −1 fk k=1 là S −1 . Chứng minh. (i) S là bị chặn do là hợp của 2 toán tử bị chặn, kSk = kT T ∗ k = kT k kT ∗ k = kT k2 ≤ B. Từ S ∗ = (T T ∗ )∗ = T T ∗ = S, toán tử S là tự liên hợp. Bất đẳng thức (1.4) có nghĩa là Akf k2 ≤ hSf, f i ≤ Bkf k2 , ∀f ∈ H, hoặc, nói một cách tương đương, AI ≤ S ≤ BI, vì vậy S là dương. Hơn nữa, 0 ≤ I − B −1 S ≤ B−A I B và hệ thức 
 I − B −1 S = sup  I − B −1 S f, f  ≤ B − A < 1, B kf k=1 15 Do đó S là khả nghịch. (ii) Lưu ý rằng với f ∈ H, ∞ ∞ X X  −1     S f, fk 2 ≤ B S −1 f 2 ≤ B S −1 2 kf k2 .  f, S −1 fk 2 = k=1 k=1 ∞ Nghĩa là, S −1 fk k=1 là một dãy Bessel. Từ đó suy ra toán tử khung  ∞ của S −1 fk k=1 là hoàn toàn xác định. Theo định nghĩa, nó tác động  lên f ∈ H bằng công thức ∞ X −1  −1 f, S fk S fk = S −1 ∞ X  f, S −1 fk fk k=1 k=1 = S −1 SS −1 f = S −1 f. (1.8)  ∞ Điều này chỉ ra rằng toán tử khung cho S −1 fk k=1 bằng S −1 . Toán tử S −1 giao hoán với cả S và I, vì vậy chúng ta có thể “nhân các bất đẳng thức” AI ≤ S ≤ BI với S −1 sẽ tạo thành A−1 I ≤ S −1 ≤ B −1 I, tức là  B −1 kf k2 ≤ S −1 f, f ≤ A−1 kf k2 , ∀f ∈ H. Thông qua (1.8), ∞ X  −1 2  B kf k ≤ S fk , f  ≤ A−1 kf k2 , ∀f ∈ H. −1 2 k=1  ∞ Do đó S −1 fk k=1 là một khung với các cận khung B −1 , A−1 . Để chứng minh tính cực trị của các cận khung, giả sử A là cận dưới tối ưu cho  −1 ∞ 1 {fk }∞ và giả sử cận trên tối ưu cho S fk k=1 là C < . Bằng việc k=1 A−1 ∞ áp dụng những điều chúng ta đã chứng minh cho khung S fk k=1 có n o∞
∞ −1 −1 −1 −1 toán tử khung S , chúng ta thấy rằng {fk }k=1 = S S fk  k=1 ∞ 1 −1 có cận dưới C > A, nhưng điều này là mâu thuẫn. Vì vậy S fk k=1 1 có cận trên tối ưu . Các lập luận về cận dưới tối ưu là tương tự.  A