Tài liệu Khử phân kỳ trong lý thuyết trường lượng tử bằng phương pháp Pauli - Villars

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- PHẠM VĂN DUY KHỬ PHÂN KỲ TRONG LÍ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ BẰNG PHƢƠNG PHÁP PAULI - VILLARS LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 3 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- PHẠM VĂN DUY KHỬ PHÂN KỲ TRONG LÍ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ BẰNG PHƢƠNG PHÁP PAULI - VILLARS Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giảng viên hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội - 2012 4 MỤC LỤC MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 3 CHƢƠNG 1: CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÒNG ....................................... 6 1.1. S - ma trận và giản đồ Feynman .................................................................. 6 1.2. Hàm Green và hàm đỉnh .............................................................................. 9 1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman ........................................................... 11 CHƢƠNG 2: TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP PAULI-VILLARS ................................................ 18 2.1. Giản đồ phân cực photon ............................................................................. 18 2.2. Giản đồ năng lƣợng riêng của electron ....................................................... 25 2.3. Hàm đỉnh bậc ba .......................................................................................... 29 2.4. Đồng nhất thức Ward –Takahashi ............................................................... 37 CHƢƠNG 3: TÁI CHUẨN HÓA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƢỢNG ELECTRON TRONG QED ............................................................... 40 3.1. Kỳ dị trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử .................................................40 3.2. Tái chuẩn hóa điện tích ............................................................................... 42 3.3. Tái chuẩn hóa khối lƣợng ............................................................................ 46 a. Dịch chuyển Lamb ................................................................................. 52 b. Moment từ dị thƣờng của electron ......................................................... 53 3.4. Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED ............................................... 54 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 58 PHỤ LỤC A ............................................................................................................. 60 PHỤ LỤC B ............................................................................................................. 65 PHỤ LUC C ............................................................................................................. 68 5 MỞ ĐẦU Những thành tựu của điện động lực học lƣợng tử (Quantum Electrodynamics QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phƣơng pháp tái chuẩn hóa khối lƣợng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá tốt với số liệu thu đƣợc từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ của hằng e2 1 = số tƣơng tác theo lý thuyết nhiễu loạn a = . Trong các lý thuyết trƣờng 4p 137 tƣơng tác thì QED là lý thuyết đƣợc xây dựng hoàn chỉnh nhất. Mô phỏng các phƣơng pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED ngƣời ta có thể xây dựng công cụ tính toán cho Sắc động học lƣợng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) – lý thuyết tƣơng tác giữa các hạt quark - gluon, tƣơng tác yếu hay các lý thuyết thống nhất các dạng tƣơng tác nhƣ lý thuyết điện yếu và tƣơng tác mạnh và đƣợc gọi là mô hình chuẩn [6, 7, 13, 18]. Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn ở bậc thấp của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp các tích phân phân kỳ, nhƣng tính các bổ chính lƣợng tử bậc cao cho kết quả thu đƣợc, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lƣợng lớn của các hạt ảo, tƣơng ứng với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo. Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của hạt với chân không vật lý của các trƣờng tham gia tƣơng tác và quan niệm hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích. Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân kỳ phải tiến hành theo cách tính toán nhƣ thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ đƣợc giải thích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu đƣợc cho quá trình vật lý là hữu hạn. Lƣu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trƣờng là nhiệm vụ trọng yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu và giải quyết. 6 Ý tƣởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lƣợng của electron đầu tiên đƣợc Kraumer – Bethe, sau đƣợc các tác giả Schwinger Feynman Tomonaga hiện thực hóa trong QED [13,20]. Cách xây dựng chung S - ma trận và phân loại các phân kỳ do Dyson F đề xuất [10]. Cách chứng minh tổng quát sự triệt tiêu phân kỳ trong các số hạng đƣợc tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn do Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8]. Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lƣợng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ trong tính toán, kết quả ta thu đƣợc là hữu hạn cho các biểu thức đặc trƣng cho tƣơng tác, bao gồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt. Khi so sánh, kết quả thu đƣợc khá phù hợp với số liệu thực nghiệm. Lý thuyết trƣờng lƣợng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc trƣng của các quá trình vật lý, đƣợc gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15]. Các phƣơng pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trƣờng hiện nay bao gồm: phƣơng pháp cắt xung lƣợng lớn [7], phƣơng pháp Pauli – Villars, phƣơng pháp điều chỉnh thứ nguyên và phƣơng pháp R - toán tử do N.N Bogoliubov khởi xƣớng [14]. Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại bằng phƣơng pháp Pauli – Villars trong gần đúng một vòng kín và minh họa quá trình tái chuẩn hóa khối lƣợng và điện tích của electron trong QED ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý. Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chƣơng, phần Kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục. - Chương 1: Các giản đồ phân kỳ một vòng. Chƣơng này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả các quá trình vật lý. Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green của photon, electron, và hàm đỉnh trong QED. Phân tích các bậc phân kỳ trong QED ở bậc thấp nhất đƣợc trình bày ở mục 1.3. 7 - Chương 2: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp Pauli – Villars. Trong chƣơng này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng phƣơng pháp Pauli –Villars trong QED. Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai của photon – giản đồ năng lƣợng riêng của photon. Trong mục 2.2 xem xét giản đồ năng lƣợng riêng của electron . Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh ở bậc thấp nhất. Đồng nhất thức Ward –Takahashi đƣợc đƣợc chứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4. - Chương 3: Tái chuẩn hóa trong QED. Trong chƣơng này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED. Mục 3.1 Khái quát về kỳ dị trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron. Mục 3.3 dành cho việc tái chuẩn hóa khối lƣợng. Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn hóa QED trong gần đúng một vòng. - Phần kết luận tóm tắt các kết quả thu đƣợc trong luận văn và thảo luận khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trƣờng tƣơng tự. Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1 và metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất cả bốn thành r phần véctơ 4 - chiều ta chọn là thực A = A 0, A gồm một thành phần thời gian và ( ) các thành phần không gian, các chỉ số m = (0,1, 2, 3),và theo quy ƣớc ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4 - chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên. 8 Chƣơng 1. Các giản đồ phân kỳ một vòng Trong chƣơng này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. S - ma trận cho tƣơng tác điện từ, quy tắc Feynman, các giản đồ phân kỳ thƣờng gặp trong gần đúng một vòng. 1.1. S - ma trận và giản đồ Feynman Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ đƣợc xác định bằng các yếu tố của S – ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng thái đầu và các trạng thái cuối của quá trình vật lý: ( S = T exp i ò L int (x )d 4x ) (1.1) Trong đó Lint (x ) = N (J m(x )Am(x )) = e0N (y (x )g my (x )Am(x )) là Lagrangian của tƣơng tác điện từ, e 0 là điện tích “trần” của electron. Mỗi đỉnh tƣơng tác sẽ có ba đƣờng vào ra, trong đó có một đƣờng photon, hai đƣờng electron hay positron. Sử dụng phép khai triển hàm mũ ¥ zn z2 e = å = 1+ z + + ... ta có thể viết biểu thức S – ma trận (1.1) dƣới dạng: 2! n= 0 n ! z S = S (0) + S (1) + S (2) + ... = = 1 + iT 4 ò Lint (x )d x + (i )2 T 2! òL int (x )L int (y )d 4xd 4y + ... (1.2) 9 Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn dƣới dạng: 4 < f | S | i > = dfi + i (2p ) d4 (Pf - Pi )M f i (1.3) Ở đây < i | và < f | là các véctơ trạng thái đầu và cuối của hệ, M f i là biên độ xác suất dời chuyển, có ý nghĩa trong việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã hay thời gian sống của hạt. Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn năng xung lƣợng của quá trình vật lý. Thay công thức (1.2) vào < f | S | i > ta có: < f | S | i > = < f | S (0) | i > + < f | S (1) | i > + < f | S (2) | i > + ... = < f | 1 | i > + iT < f | (i )2 + T < f | 2! òL int òL int (x )d 4x | i > + (1.4) (x )L int (y )d 4xd 4y | i > + ... Sử dung khai triển (1.4), cụ thể các hạt ở trạng thái đầu và trạng thái cuối ta có thể viết đƣợc các biểu thức tƣờng minh cho từng số hạng của khai triển nhiễu loạn cho các quá trình nhƣ sau: tán xạ của electron (hay positron) với trƣờng điện từ ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon trên electron, hay sự hủy cặp electron – positron và quá trình tán xạ không đàn tính,..v.v.. Bảng 1. Quy tắc Feynman cho tƣơng tác điện từ trong không gian xung lƣợng: Hạt và trạng thái của nó trận Electron ở trạng thái đầu Thừa số trong yếu tố ma 1 1 3 (2p ) 2 æm ÷ ö2 çç ÷ u r (p ) ÷ ÷ çè p 0 ø 10 Yếu tố giản đồ Electron ở trạng thái cuối Positron ở trạng thái 1 1 3 (2p ) 2 1 1 3 đầu (2p ) 2 Positron ở trạng thái cuối Photon ở trạng thái đầu hay ở trạng thái cuối Thế điện từ ngoài Chuyển động của 2 æm ö çç ÷ ÷ u r (- p ) ÷ ÷ çè p 0 ø 1 1 3 (2p ) 2 2 æm ö çç ÷ ÷ u r (- p ) çè p 0 ÷ ÷ ø 1 1 3 (2p ) 2 2k i S ( p) = 1 = pˆ - m 4 (2p ) positron theo chiều i = 4 (2p ) ngƣợc lại 2 ® 1 ) mn D (k ) = pˆ + m p2 - m 2 g mn 1 k2 4 (2p ) giữa hai đỉnh Đỉnh cùng với chỉ số e ml (k ) 0 Amext (k ) electron từ 1 ® 2 (hay Chuyển động photon æm ÷ ö2 çç ÷ u r (p ) çè p 0 ÷ ÷ ø 4 (4) ie g m (2p ) d lấy tổng m 11 (p 2 - p1 - k ) 1.2. Hàm Green và hàm đỉnh Trong QED các giản đồ Feynman sau đây: - Các phần năng lƣợng riêng của photon - Các phần năng lƣợng riêng của của electron - Các phần đỉnh - Phần tán xạ photon – photon diễn tả sự tƣơng tác của hạt với chân không vật lý. Các giản đồ này liên quan đến việc tính các số hạng bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ thể hơn là tính hàm Green của photon, hàm Green của electron và hàm đỉnh trong lý thuyết tƣơng tác giữa trƣờng electron – positron với trƣờng điện từ. Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của nó là giản đồ liên kết mạnh1 của một hạt. Hàm Green của photon, đƣợc xác định bằng công thức: G mn (x - y ) = i < 0 T éêAm(x )An (y )ù ú0 > ë û (1.5) trong đó | 0 > là véctơ trạng thái chân không của các trƣờng tƣơng tác, còn Am(x ) và An (y ) là các toán tử trƣờng điện từ trong biểu diễn Heisenberg. Giản đồ liên kết mạnh (strong connected diagramms) - chặt một đƣờng không tách thành hai giản đồ đƣợc - Giản đồ này còn gọi là giản đồ tối giản (irreducible diagramms). 1 12 Hàm Green của photon (1.5) có thể đƣợc biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau: i   i   i   i   Hình 1.1. Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không Hàm Green của electron, đƣợc xác định tƣơng tự bằng công thức sau G a b (x - y ) = i < 0 | T éêy a (x )y b (y )ù | 0> ú ë û (1.6) Trong đó y a (x ) , y b (y ) là các toán tử trƣờng electron – positron trong biểu diễn Heisenberg. Hàm Green của electron có thể đƣợc biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:  i i i i Hình 1.2. Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng lƣợng riêng Hàm đỉnh đƣợc cũng đƣợc xác định bằng ( ) Gma b (z , x , y ) = < 0 T Am (z )y a (x )y b (y ) 0 > 13 (1.7) Giản đồ Feynman (1.7) tƣơng ứng  *  Hình 1.3. Đỉnh riêng đầy đủ Gm và sơ đồ xƣơng L *m .Các đƣờng ngoài bị bỏ 1.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lƣợng), theo qui tắc chung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đƣờng xung lƣợng trong của giản đồ. Tất cả các tích phân này đều có dạng: J = ò F ( p , p ,..., p )d 1 2 n 4 p1d 4 p2 ...d 4 pn (1.8) Trong đó: F ( p1, p2,..., pn ) là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số đƣờng xung lƣợng trong. Tƣơng ứng với mỗi đƣờng xung lƣợng trong của fermion 1 - electron ta có hàm truyền S ~ , tƣơng ứng với mỗi đƣờng xung lƣợng trong của p photon ta có hàm truyền D ~ 1 . p2 14 Ta gọi: Fe : số đƣờng xung lƣợng trong của electron. N e : số đƣờng xung lƣợng ngoài của electron. Fp : số đƣờng xung lƣợng trong của photon. N p : số đƣờng xung lƣợng ngoài của photon. v : số đỉnh. Trong mỗi vòng kín (loop) các đƣờng xung lƣợng trong, số các đƣờng trong bằng số đỉnh: n = v , đồng thời lƣu ý hai điểm sau: + Mỗi đỉnh tƣơng ứng với 1 đƣờng photon, nhƣ vậy số đỉnh bằng tổng số đƣờng photon, cũng phải chú ý rằng số đƣờng trong phải đƣợc tính đến hai lần vì nó nối với hai đỉnh v = 2Fp + N p (1.9) + Mỗi đỉnh tƣơng ứng với hai đƣờng xung lƣợng electron, tổng số đỉnh bằng một nửa số đƣờng xung lƣợng electron: 2v = 2Fe + N e (1.10) Từ (1.9) và (1.10) ta thu đƣợc: Fp = 1 1 v - Np 2 2 (1.11) 1 N 2 e (1.12) Fe = v - 15 Số biến lấy tích phân là n, nhƣng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lƣợng vào ra phải tuân theo định luật bảo toàn năng xung lƣợng. Định luật này đƣợc thể hiện ở dạng của hàm delta. Theo tính chất của hàm delta: ò f ( p)d( p0 )d 4 p = f ( p0 ) thì số biến độc lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống. Nếu có n đƣờng trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đƣờng trong sẽ là (n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi. Tổng số đƣờng trong là (Fe + Fp ) . Vậy số các biến độc lập sẽ là: K 1 = (Fe + Fp ) - (n - 1) Do S ~ (1.13) 1 1 và D ~ 2 , bậc luỹ thừa của mẫu sẽ là: p p K 2 = 2Fp + Fe (1.14) Thay (1.11) và (1.12) vào (1.13) và (1.14) ta thu đƣợc: K1 = 1 1 1 v - N p - Ne + 1 2 2 2 (1.15) K 2 = 2v - N p - 1 N 2 e (1.16) Với K 1 là số biến độc lập, K 2 là bậc của mẫu, ta có thể viết định tính: J = (d 4 p) ò ( p )K K1 (1.17) 2 Đƣa vào tham số mới 16 K = K 2 - 4K 1 (1.18) Thay (1.15) và (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu đƣợc: K = 3 N + Np - 4 2 e (1.19) Từ tham số này ta có thể đƣa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.17): + Nếu K > 0 : tích phân này hội tụ. + Nếu K £ 0 : tích phân này phân kỳ. - K = 0 : phân kỳ lôgarit. - K = - 1 : phân kỳ tuyến tính. - K = - 2 : phân kỳ bậc hai. - K = - 3 : phân kỳ bậc ba.... Khi phân tích các giản đồ Feynman trong QED, các giản đồ Feynman tiêu biểu chứa phân kỳ có dạng cho dƣới đây: Hình 1.4. Giản đồ năng lƣợng riêng Hình 1.5. Giản đồ năng lƣợng riêng của electron của photon 17 Hình 1.7. Quá trình tán xạ ánh sáng Hình 1.6. Giản đồ đỉnh bậc 3 – ánh sáng Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên: Hình 1.4: Số đƣờng phôtôn ngoài bằng 0, số đƣờng electron ngoài là 2, bậc phân kỳ là: K = - 1 Þ Phân kỳ tuyến tính. Hình 1.5: Số đƣờng photon ngoài bằng 2, số đƣờng electron ngoài bằng 0, bậc phân kỳ là: K = - 2 Þ Phân kỳ bậc hai. Hình 1.6: Số đƣờng photon ngoài bằng 1, số đƣờng electron ngoài bằng 2, bậc phân kỳ là: K = 0 Þ Phân kỳ loga. Hình 1.7: Số đƣờng photon ngoài bằng 4, số đƣờng electron ngoài bằng 0, bậc phân kỳ là: K = 0 Þ Phân kỳ loga. Các giản đồ này diễn tả sự tƣơng tác của các hạt với chân không. Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tƣơng tác của electron với các dao động không (các thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tƣơng tác với chân không của trƣờng điện từ. Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lƣợng riêng trƣờng điện từ của electron (hiệu ứng tự tƣơng tác). Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tƣơng tác của phôtôn với chân không của trƣờng electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lƣợng riêng của phôtôn. 18 Giản đồ Hình 1.7 diễn tả sự tƣơng tác của phôtôn với chân không của trƣờng electron - positron hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặp electron - positron và sau đó lại hủy cặp này. Đây là một quá trình vật lý đặc biệt của điện động lực học lƣợng tử chúng tôi không xem xét ở đây. Nghiên cứu quá trình này chúng ta sẽ tính đƣợc những bổ chính phi tuyến cho phƣơng trình Maxwell. Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng - ánh sáng không tồn tại vì sự tuyến tính của phƣơng trình Maxwell. Giản đồ Hình 1.6 đƣợc gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta cũng thu đƣợc biểu thức phân kỳ. 19 Bảng 2. Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED: Ví dụ Nhận xét Giản đồ chân không . Giản đồ này có thể không xét. Giản đồ năng lƣợng riêng của electron. Sơ bộ, nó phân kỳ tuyến tính, song thực tế nó phân kỳ loga. Đỉnh phân kỳ loga Giản đồ năng lƣợng riêng của photon. Sơ bộ nó phân kỳ bình phƣơng. Thực tế từ bất biến chuẩn nó phân kỳ loga. Nó bị triệt tiêu với giản đồ cùng với hƣớng ngƣợc lại của electron (Định lý Furry). Giản đồ này có thể không xét. Gồm 4! giản đồ, khác nhau bằng việc hoán vị của các đƣờng ngoài. Thực tế, nó hội tụ từ bất biến chuẩn. 20 Chƣơng 2. Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phƣơng pháp Pauli- Villars Trong chƣơng này, sử dụng phƣơng pháp Pauli- Villars để tách phần phân kỳ và phần hữu hạn của một số giản đồ một vòng bậc thấp nhất của QED 2.1. Giản đồ phân cực photon Giản đồ phân cực của photon sau khi đã điều chỉnh theo phƣơng pháp Pauli-Villars tƣơng ứng với biểu thức Hình 2.1. Giản đồ phân cực photon Re g    k   Sp    m  pˆ    m   pˆ  kˆ  .     m  2   e2 4 2  1 1  2 2 2  p  i M  p  i    4 1 1 . 2  2 d p . 2 2  m  (p  k )  i M  (p  k )  i   (2.1) 1 Sử dụng công thức tham số hóa các tích phân Feynman  i  dteiHt , ta H 0 đƣợc 21  1 i[ m 2  p 2 i ] ;  i d  . e m 2  p 2  i 0   1 i[ M 2  p 2 i ]  i d  . e M 2  p 2  i 0   2 2 2 1 1  2  i  d.e i[ p i ] . e im  e iM 2 2 0 m  p  i M  p  i 2    1 1 i[ m 2  ( p  k ) 2 i ] i[ M 2  ( p  k ) 2 i ] ;  i d  . e  i d  . e m 2  (p  k ) 2  i 0 M 2  (p  k ) 2  i 0 Sau khi tính vết (2.1) , ta thu đƣợc :   Sp   [m  pˆ ] [m  ( pˆ  kˆ)]  4  g  m2  ( g  pk  2 p k )  ( g  p 2  2 p p )  . (2.2) Thay các biểu thức thu đƣợc ở trên vào (2.1) và tách riêng phần phụ thuộc vào biến lấy tích phân theo xung lƣợng p: Re g    k     4e2  2  4   d  d  .e 0      0 .ei .k ....{g  m2  d 4 p.e  g  k . d 4 p.ei[(   ). p  g   d 4 p.ei[(   ). p  2  2  .k , p ] 2 2  2  .k , p ] . p  2k . d 4 p.ei[(   ). p . p 2  2 d 4 p.ei[(   ). p  ở đây kí hiệu : ...  e im  e iM . e im  e iM 2 2 2  i    . p 2  2  .k . p    2 2  2  .k , p ] 2  2  .k , p ] . p p } . p (2.3)  tính các tích phân theo xung lƣợng bốn chiều theo các công thức tích phân đã biết : d 4 p.e  i    . p 2  2  .k . p     2k 2 i 2     ;  i e 2     22