Tài liệu Không gian sobolev phụ thuộc thời gian

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC T…Y BC É VI˜T Y–N KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P KHÆNG GIAN SOBOLEV PHÖ THUËC THÍI GIAN Chuy¶n ng nh: Gi£i t½ch Ng÷íi h÷îng d¨n: TS. Vô Trång L÷ïng Sìn La, th¡ng 5 n«m 2013 Líi c£m ìn Thíi gian træi qua thªt nhanh, chîp m­t m  em ¢ ho n th nh bèn n«m ¤i håc. Nhî ng y n o, ¦u khâa håc bè mµ cán ÷a ¸n tr÷íng g°p tr÷íng lîp mîi, th¦y cæ mîi, b¤n b± mîi vîi bao bï ngï v  lo l­ng. Vªy m  cuèi còng em công tr£i qua bèn n«m håc. Bèn n«m håc tªp vîi bi¸t bao khâ kh«n, v§t v£, câ nhúng v§p ng¢ em t÷ðng nh÷ m¼nh khæng thº v÷ñt qua. Nh÷ng mong muèn ÷ñc l m khâa luªn khi tèt nghi»p ¢ thóc ©y em ph§n §u nhi·u trong håc tªp. Cuèi còng vîi k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc trong c¡c n«m ¦u, em ¢ ÷ñc õ i·u ki»n l m khâa luªn d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y Vô Trång L÷ïng. ÷ñc l m khâa luªn l  mët ni·m vui, ni·m vinh dü lîn èi vîi em. Nh÷ng b¶n c¤nh â công câ khæng ½t néi lo v  khæng ½t khâ kh«n, n o l  khan hi¸m t i li»u, thíi gian h¤n hµp, ki¸n thùc th¼ mîi v  t÷ìng èi khâ,...Nh÷ng vîi ki¸n thùc m  em ¢ ÷ñc th¦y cæ bë mæn trang bà trong c¡c n«m qua còng vîi sü h÷îng d¨n nhi»t t¼nh cõa th¦y Vô Trång L÷ïng, công nh÷ sü ëng vi¶n, gióp ï cõa gia ¼nh v  b¤n b± cuèi còng khâa luªn công ÷ñc ho n th nh. Em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t ¸n th¦y h÷îng d¨n, c¡c th¦y cæ kh¡c trong bë mæn, còng gia ¼nh v  b¤n b±. Sìn la, th¡ng 5 n«m 2013 Sinh vi¶n é Vi¸t Y¶n 2 Möc löc Mð ¦u 0.1 Lþ do chån khâa luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 èi t÷ñng, ph÷ìng ph¡p, ph¤m vi nghi¶n cùu . . . . . 0.2.1 èi t÷ñng nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . 0.2.2 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu. . . . . . . . . . . . . 0.2.3 Ph¤m vi nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 Möc ½ch, nhi»m vö v  nhúng âng gâp cõa khâa luªn. 0.3.1 Möc ½ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.2 Nhi»m vö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.3 Nhúng âng gâp cõa khâa luªn . . . . . . . . . 1 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Khæng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Khæng gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 D¤ng Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 T½ch væ h÷îng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Khæng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Khæng gian C k (Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Khæng gian Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian Wpk (Ω) . . . . . . . 1.3.4 ¤o h m suy rëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Khæng gian Sobolev Wpk (Ω), (1 ≤ p < ∞), (k ∈ Z+.) ◦ 1.3.6 Khæng gian Wpk (Ω), (1 ≤ p < ∞) . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 8 8 9 9 11 12 12 13 19 21 25 30 1.3.7 X§p x¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.8 ành l½ th¡c triºn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.3.9 Khæng gian h m H −1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2 Khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian 2.1 2.2 2.3 2.4 Khæng gian Lp(0, T ; X) . . . . . . . . . . . Khæng gian C([0, T ]; X) . . . . . . . . . . ¤o h m y¸u trong khæng gian L1(0, T ; X) Khæng gian Sobolev Wp1(0, T ; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 48 48 48 49 K¸t luªn 57 T i li»u tham kh£o 58 4 Mð ¦u 0.1 Lþ do chån khâa luªn Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ra íi v o kho£ng th¸ k¿ thù 17, do nhu c¦u cì håc v  cõa nhi·u ngh nh khoa håc kh¡c. Nâ ng y c ng câ vai trá quan trång v  ÷ñc ùng döng rëng r¢i trong khoa håc v  cæng ngh». Ng y nay, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng trð th nh bë mæn to¡n håc cì b£n vøa mang t½nh l½ thuy¸t cao, vøa mang t½nh ùng döng rëng r¢i. Tr÷îc sü ph¡t triºn m¤nh m³ cõa khoa håc v  cæng ngh», ch­c ch­n r¬ng ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng cán ph¡t triºn m¤nh m³ hìn núa trong t÷ìng lai, mð ra mët con ÷íng cho nhúng ai y¶u th½ch nghi¶n cùu To¡n håc ùng döng. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ¢ v  ang ph¡t triºn r§t m¤nh m³ ð tr¶n th¸ giîi, nh÷ng ð n÷îc ta th¼ v¨n cán h¤n ch¸ s¡ch nâi v· bë mæn n y, n¶n nâ v¨n l  v§n · cán mîi m´, v  b½ ©n k½ch th½ch sü kh¡m ph¡ cõa nhúng ai y¶u th½ch nâ. Hìn núa, trong qu¡ tr¼nh håc tªp ÷ñc th¦y cæ giîi thi»u, h÷îng d¨n, tæi c£m th§y r§t câ hùng thó vîi bë mæn n y. Ch½nh v¼ vªy, nh¬m gâp ph¦n cho nhúng ai y¶u th½ch bë mæn n y nâi chung v  b£n th¥n t¡c gi£ nâi ri¶ng hiºu s¥u hìn v· bë mæn n y tæi m¤nh d¤n t¼m hiºu · t i: "Khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian ". 0.2 èi t÷ñng, ph÷ìng ph¡p, ph¤m vi nghi¶n cùu 0.2.1 èi t÷ñng nghi¶n cùu èi t÷ñng nghi¶n cùu l  khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian. 5 0.2.2 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu. V§n · ÷ñc nghi¶n cùu trong khâa luªn l  v§n · cán mîi m´ so vîi sinh vi¶n bªc ¤i håc, v¼ vªy ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu sû döng chõ y¸u l  nghi¶n cùu l½ thuy¸t cö thº l  khæng gian Sobolev. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu gçm câ s÷u t¦m t i li»u, åc hiºu t i li»u tr¶n cì sð â ph¥n t½ch, têng hñp, di¹n gi£i, l m rã v  tr¼nh b y th nh mët h» thèng º gi£i quy¸t c¡c v§n · °t ra cõa khâa luªn. 0.2.3 Ph¤m vi nghi¶n cùu Ph¤m vi nghi¶n cùu cõa khâa luªn l  nhúng ành ngh¾a, t½nh ch§t, ành l½, v  c¡c v§n · li¶n quan cõa khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian, bao gçm khæng gian Lp(0, T ; X), khæng gian C([0, T ]; X), ¤o h m y¸u trong khæng gian Lp(0, T ; X), v  khæng gian Sobolev Wp1(0, T ; X). 0.3 Möc ½ch, nhi»m vö v  nhúng âng gâp cõa khâa luªn. 0.3.1 Möc ½ch Möc ½ch cõa khâa luªn l  l m rã c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t, ành l½,...trong khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian. âng gâp th¶m t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n v  t§t c£ nhúng ai y¶u th½ch, quan t¥m ¸n bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. 0.3.2 Nhi»m vö Vîi möc ½ch °t ra nhi»m vö nghi¶n cùu cõa khâa luªn l  n¶u ra v  chùng minh c¡c v§n · li¶n quan ¸n khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian. 0.3.3 Nhúng âng gâp cõa khâa luªn âng gâp nêi bªt cõa khâa luªn l  l m rã r ng, chi ti¸t hìn h» thèng tri thùc mîi, chuy¶n s¥u v· bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hi»n ¤i. â 6 l  c¡c kh¡i ni»m ki¸n thùc mîi nh÷: ành ngh¾a ¤o h m y¸u, ¤o h m suy rëng, khæng gian Sobolev ngo i ra ta bi¸t c¡c t½nh ch§t v  v§n · li¶n quan cõa khæng gian Sobolev,...°c bi»t khâa luªn cung c§p th¶m mët ph¦n ki¸n thùc cõa bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hi»n ¤i, â l  nâi v· khæng gian Sobolev phö thuëc thíi gian v  c¡c v§n · li¶n quan. 7 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan 1.1 Khæng gian Banach Cho E l  khæng gian tuy¸n t½nh thüc. ành ngh¾a 1.1. Gi£ sû E l  khæng gian vectì tr¶n tr÷íng væ h÷îng c¡c sè thüc R hay sè phùc C. H m ρ x¡c ành tr¶n E gåi l  mët chu©n tr¶n E n¸u ρ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau i. ρ(x) ≥ 0 vîi ∀x ∈ E v  ρ(x) = 0 th¼ x = 0 ii. ρ(λx) = |λ| ρ(x) iii. ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) vîi ∀λ ∈ K v  ∀x ∈ E vîi ∀x, y ∈ E Khæng gian vectì E còng vîi mët chu©n ρ tr¶n nâ gåi l  khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n hay ng­n gån l  khæng gian ành chu©n. M»nh · 1.1. N¸u ρ l  mët chu©n tr¶n E th¼ cæng thùc d(x, y) := ρ(x − y), (∀x, y ∈ E) (1.1) x¡c ành mët kho£ng c¡ch tr¶n E thäa m¢n   d(x + y, y + z) = d(x, y)  d(λx, λy) = |λ| d(x, y) vîi ∀x, y, z ∈ E, ∀λ ∈ K. Kho£ng c¡ch d x¡c ành bði cæng thùc (1.1) ÷ñc gåi l  kho£ng c¡ch sinh bði chu©n ρ. 8 ành ngh¾a 1.2. Khæng gian ành chu©n E l  mët khæng gian metric vîi kho£ng c¡ch sinh bði chu©n x¡c ành bði d(x, y) := kx − yk, vîi x, y ∈ E ành ngh¾a 1.3. i. D¢y {uk }∞k=1 ⊂ E ÷ñc gåi l  d¢y Cauchy trong E n¸u vîi måi  > 0, ∃N > 0 sao cho kuk − ul k < , vîi k, l ≥ N. ii. l  ¦y õ n¸u méi d¢y Cauchy trong E ·u hëi tö, câ ngh¾a l  vîi ∞ {uk }∞ k=1 ⊂ E l  d¢y Cauchy, tçn t¤i u ∈ E sao cho {uk }k=1 hëi tö ¸n u. E iii. Khæng gian Banach E l  khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n ¦y õ. ành ngh¾a 1.4. Khæng gian metric E ÷ñc gåi l  khæng gian metric ¦y (hay õ) n¸u måi d¢y Cauchy trong E ·u hëi tö. ành ngh¾a 1.5. Khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n E ÷ñc gåi l  khæng gian Banach metric ¦y. n¸u E còng vîi metric sinh bði chu©n tr¶n E l  mët khæng gian ành ngh¾a 1.6. Khæng gian ành chu©n E gåi l  kh£ ly n¸u E câ mët tªp con ¸m ÷ñc trò mªt trong E. E kh£ li n¸u tçn t¤i mët d¢y {xn }n∈N c¡c ph¦n tû cõa E sao cho vîi méi x ∈ E ·u câ ½t nh§t mët d¢y con {xn }n∈N hëi tö ¸n x. ∗ k ∗ ành ngh¾a 1.7. Ta nâi r¬ng d¢y {uk }∞k=1 ⊂ E hëi tö ¸n u ∈ E n¸u lim kuk − uk = 0 k→∞ Ta cán vi¸t, uk → u khi k → ∞. 1.2 Khæng gian Hilbert. 1.2.1 D¤ng Hermite. ành ngh¾a 1.8. Cho E l  khæng gian vectì (phùc). D¤ng Hermite tr¶n E l  ¡nh x¤ ϕ : E × E −→ C thäa m¢n 9 i. ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y), ∀x1 , x2 , y ∈ E ii. ϕ(λx, y) = λϕ(x, y), ∀x, y ∈ E; ∀λ ∈ C iii. ϕ(x, y) = ϕ(x, y), ∀x, y ∈ E ành ngh¾a 1.9. D¤ng Hermite ϕ tr¶n E gåi l  d÷ìng v  vi¸t ϕ ≥ 0 n¸u ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E Bê · 1.1. (B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwartz) Gi£ sû ϕ l  d¤ng hermite d÷ìng tr¶n khæng gian vectì E. Khi â |ϕ(x, y)|2 ≤ ϕ(x, x).ϕ(y, y), ∀x, y ∈ E °t a = ϕ(x, x), b = ϕ(x, y), c = ϕ(y, y). Chó þ r¬ng a, c l  c¡c sè thüc khæng ¥m, v  b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh l  |b|2 ≤ ac. Vîi måi λ ∈ C ta câ: Chùng minh. 0 ≤ ϕ(x + λy, x + λy) = ϕ(x, x) + λϕ(x, y) + λϕ(y, x) + λλϕ(y, y) a + λb + λb + λλc ≥ 0 vîi måi λ∈C (1.2) N¸u mët trong c¡c sè a ho°c c d÷ìng, ch¯ng h¤n c > 0 ta thay λ = − cb v o (1.2) ð tr¶n ta câ b bb bb b 0 ≤ a − b − b + 2c = a − c c c c hay |b|2 ≤ a.c N¸u a = c = 0 ta thay λ = −b, a = c = 0 v o (1.2) ta ÷ñc −2|b|2 ≥ 0 do â b = 0 v  ta v¨n thu ÷ñc |b|2 ≤ a.c. Tâm l¤i, trong måi tr÷íng hñp ta ·u câ |b|2 ≤ a.c. ành l½ ÷ñc chùng minh. Bê · 1.2. (B§t ¯ng thùc Minkowski.) N¸u ϕ l  d¤ng Hermite d÷ìng tr¶n khæng gian vectì E th¼ q ϕ(x + y, x + y) ≤ q ϕ(x, x) + 10 q ϕ(y, y) vîi måi x, y ∈ E Chùng minh. Bði v¼ ϕ(x + y, x + y) = ϕ(x, x) + ϕ(x, y) + ϕ(x, y) + ϕ(y, y) = ϕ(x, x) + 2Reϕ(x, y) + ϕ(y, y) Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz ta câ: q Reϕ(x, y) ≤ |ϕ(x, y)| ≤ ϕ(x, x)ϕ(y, y). Suy ra q ϕ(x + y, x + y) ≤ ϕ(x, x) + 2 ϕ(x, x)ϕ(y, y) + ϕ(y, y) q 2 = ϕ(x, x) + ϕ(y, y) Vªy q ϕ(x + y, x + y) ≤ q ϕ(x, x) + q ϕ(y, y) vîi måi x, y ∈ E ành l½ ÷ñc chùng minh. 1.2.2 T½ch væ h÷îng T½ch væ h÷îng tr¶n khæng gian vectì E l  d¤ng Hermite d÷ìng tr¶n E v  thäa m¢n th¶m i·u ki»n ϕ(x, x) = 0 ⇒ x = 0. N¸u ϕ l  t½ch væ h÷îng tr¶n E th¼ chóng ta k½ hi»u ϕ(x, y) bði < x, y > v  ta gåi < x, y > l  t½ch væ h÷îng cõa hai vectì x v  y. Khæng gian vectì E còng vîi mët t½ch væ h÷îng h., .i tr¶n nâ gåi l  khæng gian ti·n Hilbert. p Cæng thùc kxk = (x, x); ∀x ∈ E x¡c ành mët chu©n tr¶n E do â khæng gian ti·n Hilbert l  khæng gian ành chu©n vîi chu©n sinh bði t½ch væ h÷îng â. ành ngh¾a 1.10. N¸u khæng gian ti·n Hilbert E ¦y vîi metric sinh bði t½ch væ h÷îng tr¶n E ÷ñc gåi l  khæng gian Hilbert. ành ngh¾a 1.11. Cho mët khæng gian tuy¸n t½nh E. Mët h m sè f (x) x¡c ành tr¶n E v  l§y g½ trà l  sè (thüc hay phùc, tòy theo E l  khæng gian thüc hay phùc) gåi l  mët phi¸m h m tr¶n E. Phi¸m h m â gåi l  tuy¸n t½nh n¸u 11 1. f (x + y) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ E. 2. f (αx) = αf (x) vîi måi x ∈ E v  måi sè α. V  f ÷ñc gåi l  bà ch°n n¸u câ mët h¬ng sè C > 0 º cho (∀x ∈ E) |f (x)| ≤ Ckxk. ành ngh¾a 1.12. (hëi tö y¸u) Ta nâi d¢y {uk }∞k=1 ⊂ E hëi tö y¸u ¸n u ∈ E n¸u < u∗, uk >−→< u∗, u > vîi måi phi¸m h m tuy¸n t½nh bà ch°n u∗ ∈ E∗ v  k½ hi»u l  uk * u. (E∗ l  tªp hñp t§t c£ c¡c phi¸m h m tuy¸n t½nh bà ch°n tr¶n E, v  gåi l  khæng gian èi ng¨u cõa E.) D¹ d ng kiºm tra r¬ng: N¸u uk → u, th¼ uk * u. v  ta công câ mët d¢y hëi tö y¸u th¼ bà ch°n. Tø â, n¸u uk * u th¼ kuk ≤ k→∞ lim inf kuk − uk Bê · 1.3. N¸u d¢y {uk }∞k=1 hëi tö y¸u tîi u trong khæng gian Hilbert H, th¼ kuk ≤ lim kuk k k→∞ hìn núa v¸ ph£i cõa ¯ng thùc l  húu h¤n. Bê · 1.4. Gi£ sû H l  khæng gian Hilbert kh£ ly. Khi â tø mët d¢y con bà ch°n trong H câ thº tr½ch ra mët d¢y con hëi tö y¸u trong H. 1.3 Khæng gian Sobolev 1.3.1 Khæng gian C k (Ω). Gi£ sû x = (x1, x2, ..., xn) l  mët iºm cõa khæng gian Euclid n-chi·u Rn. Khi â - C(Ω) l  tªp hñp t§t c£ c¡c h m li¶n töc ÷ñc x¡c ành tr¶n Ω. l  tªp hñp c¡c h m tr¶n Ω sao cho ¤o h m ¸n c§p k tçn t¤i v  li¶n töc. C k (Ω) C ∞ (Ω) l  tªp hñp t§t c£ c¡c h m kh£ vi væ h¤n l¦n. 12 - Cc (Ω) l  tªp hñp c¡c h m li¶n töc v  câ gi¡ compact trong Ω. Gi£ sû Ω l  mët tªp mð trong Rn, u ∈ C ∞(Ω). Ta k½ hi»u {x ∈ Ω |u(x) 6= 0} l  gi¡ cõa h m u, v  k½ hi»u l  supp u. N¸u supp u compact th¼ h m u(x) ÷ñc gåi l  câ gi¡ compact. Ta câ: - l  tªp hñp t§t c£ c¡c h m câ t½nh ch§t thuëc C(Ω) sao cho gi¡ cõa chóng compact v  thuëc v o Ω. ◦ C (Ω) ◦ ◦ C k (Ω) = C k (Ω) ∩ C (Ω) ◦ ∞ ◦ C (Ω) = C ∞ (Ω) ∩ C (Ω) 1.3.2 Khæng gian Lp(Ω) ành ngh¾a 1.13. Cho Ω l  mët tªp o ÷ñc Lebesgue trong Rk v  µ l  ë o Lebesgue tr¶n σ- ¤i sè F c¡c tªp o ÷ñc Lebesgue tr¶n Rk . Vîi méi p ≥ 1, k½ hi»u Lp (Ω) l  tªp t§t c£ c¡c h m kh£ t½ch (Lebesgue) bªc p tr¶n Ω Lp (Ω) = {f : Ω −→ R o ÷ñc : R |f |p dµ < +∞} Ω ành lþ 1.1. Khæng gian Lp(Ω) vîi 1 ≤ p < +∞ l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n õ (khæng gian Banach). vîi chu©n x¡c ành bði kf kp = Z p  p1 |f | dµ Ω ành lþ 1.2. Gi£ sû Ω l  mët mi·n trong Rn. Tªp hñp Cc(Ω) trò mªt trong khæng gian Lp (Ω), p > 1. Bê · 1.5. N¸u p, q > 1 vîi p1 + 1q = 1 th¼ vîi måi α, β ∈ R+ ta câ α.β ≤ αp p + βq q Tr÷îc h¸t, n¸u α = 0 ho°c β = 0 th¼ bê · hiºn nhi¶n óng. Gi£ sû α > 0 v  β > 0, x²t h m sè Chùng minh. 13 f (t) = tp p + t−q q , (t > 0) Do f 0(t) = t−q−1(tp+q − 1) = 0 khi t = 0 v  f 0(t) < 0 tr¶n kho£ng (0; 1) f 0 (t) > 0 tr¶n kho£ng (1; +∞) n¶n f câ gi¡ trà cüc tiºu l  f (1) = p1 + 1q = 1. Nh÷ vªy t t p + q ≥ 1 vîi måi t > 0 thay t = α .β v o b§t ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc −q p 1 q −1 p q p α q .β −1 β p .α−1 + ≥1 p q Nh¥n hai v¸ cõa b§t ¯ng thùc tr¶n vîi αβ vîi l÷u þ r¬ng q p + 1 = q, ta ÷ñc p q +1 = p v  αp β q α.β ≤ + p q Bê · 1.6. (B§t ¯ng thùc Hölder) Gi£ sû p, q > 1 sao cho p1 + 1q = 1. Khi â vîi måi f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lq (Ω), ta câ Z Ω |f.g| dµ ≤ Z |f |p dµ Ω  p1  Z |g|q dµ  1q Ω hay ta cán vi¸t kf gk1 ≤ kf kp kgkq N¸u kf k = 0 ho°c kgk = 0 th¼ f = 0 ho°c g = 0 h.k.n. Suy ra f.g = 0 h.k.n v  do â kf gk1 = 0. Vªy b§t ¯ng thùc óng trong tr÷íng hñp n y. X²t tr÷íng hñp kf kp > 0, kgkq > 0. Vîi méi x ∈ Ω ¡p döng bê · 1.5 vîi |f (x)| |g(x)| α= v  β= kf kp kgkq ta ÷ñc p q Chùng minh. |f (x)g(x)| 1 |f (x)| 1 |g(x)| ≤ + kf kp kgkq p kf kpp q kgkqq 14 L§y t½ch ph¥n 2 v¸ theo ë o µ ta câ 1 kf kp kgkq hay Suy ra Z Ω 1 |f (x)g(x)| dµ ≤ p kf kpp Z Ω 1 |f (x)| dµ+ q kgkqq p p Z |g(x)|q dµ Ω q 1 kf kp 1 kgkq 1 1 kf gk1 ≤ + =1 p + q = kf kp kgkq p kf kp q kgkq p q kf gk1 ≤ kf kp kgkq Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian L (Ω), p > 1. a) T½nh kh£ ly p ành lþ 1.3. Gi£ sû p ≥ 1 v  Ω l  mët mi·n thuëc Rn. Tçn t¤i mët tªp con ¸m ÷ñc c¡c ph¦n tû cõa khæng gian Lp (Ω), sao cho bao tuy¸n t½nh cõa nâ trò mªt trong Lp (Ω). Gi£ sû R l  mët sè húu t¿ n o â, x ∈ Rn. K½ hi»u Q(x, R) l  h¼nh hëp Chùng minh.  Q(x, R) = y ∈ Rn : |yi − xi | < R, i = 1, n gi£ sû f ∈ Lp(Ω) v   > 0. °t f (x) = 0 vîi x 6= Ω, v  x²t nh÷ mët h m thuëc Lp(Rn). Chån R l  mët sè nguy¶n õ lîn sao cho |f (x)|p dx < εp R Khi â Rn \Q(0,R) Z |f (x) + g(x)|p dx < εp Q(0,R+1) V¼ h m gR li¶n töc tr¶n Q(0, R + 1) n¶n nâ li¶n töc ·u tr¶n Q(0, R). Do vªy ∃δ > 0 sao cho −n |gR (x) − gR (y)| < εR p ; x, y ∈ Q(0, R), |x − y| < δ 15 l§p δ = R√n2−N vîi N l  mët sè nguy¶n n o â º δ õ nhä. Chia h¼nh hëp Q(0, R) th nh c¡c h¼nh hëp nhä khæng giao nhau câ ë d i c¤nh l  R2− N v  x²t tªp hñp S bao gçm c¡c h m °c tr÷ng Xj (x) cõa h¼nh hëp n y vîi måi N °t X h(x) = gR (xj )Xj (x) j trong â xj l  t¥m cõa c¡c h¼nh hëp nhä. Khi â |gR (x) − h(x)| = |gR (x) − gR (xj )| < εR −n p N¸u x phö thuëc v o h¼nh hëp vîi t¥m xj . Ta câ Z |gR − h|p dx < εp Q(0,R) °t: gR (x) = 0, h(x) = 0 èi vîi x ∈ Rn \Q(0, R) ta ÷ñc      R p 1 p |f (x) − h(x)| dx ≤ Rn 1 p p R |f (x) − h(x)| dx + R ≤ |f (x) − gR (x)|p dx + R ≤ |gR (x) − h(x)|p dx R !1 p + !1 p |f (x) − gR (x)|p dx + Q(0,R+1) |f (x)| dx R |f (x)|p dx R !1 p Rn \Q(0,R) Q(0,R) Q(0,R)  p1 Rn \Q(0,R) Q(0,R) !1 p p R !1 p |gR (x) − h(x)|p dx + R !1 p |f (x)|p dx Rn \Q(0,R) Q(0,R) ≤ 3ε Do vªy tªp hñp c¡c tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c h m Xj , trò mªt trong Lp(Ω). ành l½ ÷ñc chùng minh. b) T½nh li¶n töc to n cöc cõa c¡c h m thuëc L (Ω) p Mët trong nhúng ùng döng quan trång cõa c¡c h m thuëc khæng gian Lp (Ω), p ≥ 0 l  t½nh li¶n töc to n cöc cõa nâ. ành lþ 1.4. Gi£ sû Ω l  mët mi·n thuëc Rn, f ∈ Lp(Ω), p ≥ 1, f (x) = 0 b¶n ngo i Ω. Khi â vîi méi  > 0 tçn t¤i mët sè δ > 0, sao cho Z |f (x) − f (x + y)|p dx < ε Ω 16 vîi måi y thäa m¢n |y| < δ . ành ngh¾a 1.14. Mët mi·n Ω thuëc Rn ÷ñc gåi l  mi·n sao èi vîi iºm x0 , n¸u vîi méi iºm x ∈ Ω, o¤n th¯ng nèi x0 vîi x công thuëc v o mi·n Ω. Tr÷íng hñp °c bi»t, mi·n lçi l  mi·n sao èi vîi måi iºm thuëc mi·n â. D÷îi ¥y l  mët ành l½ v· t½nh li¶n töc to n cöc trong mi·n h¼nh sao cõa mët h m thuëc khæng gian Lp(ω). ành lþ 1.5. Gi£ sû Ω l  mët mi·n h¼nh sao èi vîi gèc tåa ë v  f ∈ Lp (Ω), p ≥ 1, f (x) = 0 b¶n ngo i Ω. Khi â, vîi måi  > 0, sao cho Z |f (x) − f (λx)|p dx < , Ω n¸u, |λ − 1| < δ. Bði v¼ f (λx) = f (x + (λ − 1)x). Do Ω l  mi·n sao èi vîi gèc tåa ë, n¶n (λ − 1)x ∈ Ω. Tø ¥y v  tø ành l½ 1.4 suy ra k¸t luªn cõa ành l½. ành l½ ÷ñc chùng minh. Chùng minh. c) Trung b¼nh hâa. ành ngh¾a 1.15. Gi£ sû θ(x) l  mët h m thüc thuëc lîp C ∞(Rn) sao cho ◦ θ(x) = θ(−x), θ(x) ≥ 0, θ(x) = 0 n¸u |x| > 1 v  R H m θ(x) ÷ñc gåi l  nh¥n trung b¼nh hâa. R n θ(x) = 1. N¸u u ∈ Lp(Ω), p ≥ 1, th¼ h m −n Z uh (x) = h θ( x−y )u(y)dy h Ω ÷ñc x¡c ành trong Rn v  trìn væ h¤n. Nâ ÷ñc gåi l  trung b¼nh hâa hay h m trung b¼nh cõa h m u. ành lþ 1.6. N¸u u ∈ Lp(Ω), p ≥ 1 th¼ h→0 lim kuh − ukL (Ω) = 0 p 17 Chùng minh. °t u(x) = 0 èi vîi x ∈ Rn\Ω. Khi â, uh (x) = h−n Z x−y )u(y)dy = θ( h Z θ(z)u(x + hz)dz Rn Ω Bði vªy uh (x) − u(x) = Z θ(z) [u(x + hz) − u(x)] dz Rn Z p |uh (x) − u(x)| ≤ C [u(x + hz) − u(x)]p dz |z|<1 Sau khi l§y t½ch ph¥n ¯ng thùc n y theo x v  êi thù tü l§y t½ch ph¥n nhí ành l½ Fubini ta nhªn ÷ñc Z Z p |uh (x) − u(x)| dx ≤ C Ω Z dz [u(x + hz) − u(x)]p dz Ω |z|<1 Theo ành l½ t½nh li¶n töc to n cöc, t½ch ph¥n sau còng d¦n ¸n khæng khi h → 0. ành l½ ÷ñc chùng minh. ành lþ 1.7. N¸u f, g ∈ L1(Ω), th¼ Z Z fh (x)g(x)dx = Ω Chùng minh. Z Ω f (x)gh (x)dx. Ω Theo ành ngh¾a trung b¼nh hâa, ta câ:   x − h fh (x)g(x)dx = h−n θ f (y)dy g(x)dx y Ω Ω  Z Z  x−h −n =h f (y)dy θ g(x)dx y Ω Z Ω = f (x)gh (x)dx ành l½ ÷ñc chùng minh. Z Z  Ω ành lþ 1.8. N¸u f ∈ L1(Ω) v  R f (x)ϕ(x)dx = 0 vîi måi ϕ ∈ C ∞(Ω) th¼ ◦ f = 0. Ω 18 1.3.3 ¤o h m y¸u trong khæng gian Wpk (Ω) ành ngh¾a 1.16. Gi£ sû u, v ∈ L1loc(U ) v  α l  mët a ch¿ sè. Ta nâi r¬ng v l  ¤o h m y¸u c§p α cõa u n¸u Z uDα φdx = (−1)α U Z vφdx U óng vîi måi h m thû φ ∈ Cc∞(U ). K½ hi»u: Dα u = v. Trong â: αα = (α1α, α2, ..., αn), |α| = α1 + α2 + ... + αn = k, v  Dαφ = ∂x∂ α ... ∂x∂ 1 1 1 n n αn Bê · 1.7. (T½nh duy nh§t cõa ¤o h m y¸u.) Mët ¤o h m y¸u c§p α cõa u n¸u tçn t¤i th¼ ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t (sai kh¡c tr¶n tªp câ ë o khæng). Chùng minh. Gi£ sû v1, v2 ∈ L1loc(U ) l  ¤o h m y¸u cõa u ta chùng minh h.k.n. Thªt vªy, do v1, v2 ∈ L1loc(U ) l  ¤o h m y¸u cõa u n¶n theo ành ngh¾a th¼ ta câ Z Z Z v1 = v2 uDα φdx = (−1)α U v1 φdx = (−1)α U U vîi måi h m thû φ ∈ Cc∞(U ). Khi â Z v2 φdx (v1 − v2 )φdx = 0 U vîi måi φ ∈ Cc∞(U ), khi â v1 − v2 = 0 h.k.n . i·u ph£i chùng minh. Sau ¥y ta ÷a v½ dö º ch¿ sü tçn t¤i ¤o h m y¸u cõa mët h m: V½ dö 1.1. Cho n = 1, U = (0, 2) v  u(x), v(x) ÷ñc x¡c ành bði u(x) =   x  1 n¸u 0 < x ≤ 1 n¸u 1 < x < 2 19