Không gian phân thớ và một vài tính chất
Trêng ®¹i häc T©y Nguyªn
Khoa Khoa häc tù nhiªn vµ c«ng nghÖ
Bé m«n To¸n
Lª Ngäc S¬n
Kh«ng gian ph©n thí vµ
Mét vµi tÝnh chÊt
Ngµnh: S ph¹m To¸n
BMT - 2011
Trêng ®¹i häc T©y Nguyªn
Khoa Khoa häc tù nhiªn vµ c«ng nghÖ
Bé m«n To¸n
Lª Ngäc S¬n
Khãa luËn tèt nghiÖp
Kh«ng gian ph©n thí vµ
Mét vµi tÝnh chÊt
GVDH: Ts. Ng« §×nh Quèc
BMT - 2011
Lêi c¶m ¬n
§Ó hoµn thµnh luËn v¨n tèt nghiÖp nµy, t«i ®· nhËn ®îc rÊt nhiÒu sù
quan t©m tõ thÇy c«, gia ®×nh còng nh b¹n bÌ.
Víi t×nh c¶m ch©n thµnh vµ lßng biÕt ¬n s©u s¾c t«i xin c¶m ¬n TS. Ng«
§×nh Quèc, ngêi ®· dµnh rÊt nhiÒu thêi gian quý b¸u vµ t©m huyÕt ®Ó gióp
®ì t«i trong qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n.
T«i xin c¶m ¬n toµn thÓ thÇy c« gi¸o trêng §¹i häc T©y Nguyªn - nh÷ng
ngêi b¹n ®êng trªn hµnh tr×nh ®i t×m tri thøc, nh÷ng ngêi ®· nhiÖt t×nh
d¹y dç vµ truyÒn ®¹t cho t«i nh÷ng kiÕn thøc quý b¸u trong suèt qu¸ tr×nh
häc tËp t¹i trêng.
Xin c¶m ¬n tËp thÓ líp S ph¹m To¸n K2007 ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn tèt
nhÊt cho t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n nµy.
Cuèi cïng t«i xin c¶m ¬n bè mÑ vµ c¸c em t«i ®· lu«n ®éng viªn, gióp
®ì t«i trong nh÷ng n¨m th¸ng häc ®¹i häc còng nh trong qu¸ tr×nh t«i thùc
hiÖn luËn v¨n nµy.
T¸c gi¶
2
Môc lôc
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Trang phô b×a
Lêi c¶m ¬n
Môc lôc
Danh s¸ch h×nh
Më ®Çu
0.1
TÝnh cÊp thiÕt, môc tiªu cña ®Ò tµi
. . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
0.1.1
TÝnh cÊp thiÕt
0.1.2
Môc tiªu cña ®Ò tµi
. . . . . . . . . . . . . . . . .
5
0.2
Tæng quan tµi liÖu nghiªn cøu . . . . . . . . . . . . . . . .
5
0.3
C¸ch tiÕp cËn, ph¬ng ph¸p nghiªn cøu, ph¹m vi nghiªn
cøu, néi dung nghiªn cøu
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
0.3.1
C¸c tiÕp cËn, ph¬ng ph¸p nghiªn cøu . . . . . . .
6
0.3.2
Ph¹m vi vµ néi dung nghiªn cøu . . . . . . . . . .
7
Ch¬ng 1 :
1.1
8
KiÕn thøc chuÈn bÞ
Kh«ng gian t«p« vµ
T2 −
kh«ng gian
. . . . . . . . . . . .
8
1.2
¸nh x¹ liªn tôc trªn kh«ng gian t«p«
. . . . . . . . . . . .
10
1.3
Lý thuyÕt ph¹m trï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4
§a t¹p kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5
CW-phøc
18
Ch¬ng 2 :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Kh«ng gian ph©n thí vµ mét vµi tÝnh chÊt
2.1
Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí (ph©n thí) vµ mét sè vÝ dô
20
2.2
Nh¸t c¾t cña ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3
CÊu x¹ cña ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4
TÝch ph©n thí vµ thí tÝch
26
2.5
Sù h¹n chÕ (thu hÑp) cña ph©n thí, ph©n thí c¶m sinh
. .
29
2.6
TÝnh chÊt ®Þa ph¬ng cña ph©n thí . . . . . . . . . . . . .
35
2.7
Sù më réng cña nh¸t c¾t . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
KÕt luËn
39
Tµi liÖu tham kh¶o
40
3
Danh s¸ch h×nh
1.1
H×nh 1: B¶n ®å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2
H×nh 2: Elip
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3
H×nh 3: B¶n ®å phï hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4
H×nh 4: Elip
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1
H×nh 5: Ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2
H×nh 6: D¶i Mobius
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3
H×nh 7: Ph©n thí tiÕp xóc, ph©n thí chuÈn t¾c . . . . . . .
22
2.4
H×nh 8: Nh¸t c¾t ph©n thí . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4
Më ®Çu
0.1 TÝnh cÊp thiÕt, môc tiªu cña ®Ò tµi
0.1.1
TÝnh cÊp thiÕt
Ph©n thí vect¬ lµ c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu h×nh häc-t«p«.
§Ó bíc vµo nghiªn cøu H×nh häc th× b¾t buéc nhµ nghiªn cøu ph¶i n¾m
v÷ng nh÷ng kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí vµ ph©n thí
vect¬. Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí lÇn ®Çu tiªn xuÊt hiÖn kho¶ng nh÷ng
n¨m 1922 - 1925 trong c¸c c«ng tr×nh cña E.Cartan vÒ lÝ thuyÕt liªn th«ng
[2]. Nh÷ng ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ ®Çu tiªn vÒ ph©n thí ®îc H.Whitney,
H.Hopf vµ E.Stiefel nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh cña m×nh trong kho¶ng
1935 - 1940 [2].
KÓ tõ ®ã lÝ thuyÕt kh«ng gian ph©n thí trë thµnh mét
trong nh÷ng ®èi tîng nghiªn cøu quan träng cña t«p« ®¹i sè, vµ lµ mét
c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu h×nh häc vi ph©n.
§Ó tËp nghiªn cøu vµ bæ sung c¸c kiÕn thøc ban ®Çu vÒ chuyªn ngµnh
h×nh häc t«i ®· chän nghiªn cøu ®Ò tµi:
tÝnh chÊt.
0.1.2
+
Kh«ng gian ph©n thí vµ mét vµi
Môc tiªu cña ®Ò tµi
§Ò tµi tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm ban ®Çu vÒ kh«ng gian ph©n thí, nªu
mét sè vÝ dô vÒ kh«ng gian ph©n thí.
+
Tr×nh bµy c¸ch chøng minh mét sè tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí.
0.2 Tæng quan tµi liÖu nghiªn cøu
Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí lÇn ®Çu tiªn xuÊt hiÖn kho¶ng nh÷ng
n¨m 1922 - 1925 trong c¸c c«ng tr×nh cña E.Cartan vÒ lÝ thuyÕt liªn th«ng
[2]. Nh÷ng ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ ®Çu tiªn vÒ ph©n thí ®îc H.Whitney,
5
6
H.Hopf vµ E.Stiefel nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh cña m×nh trong kho¶ng
1935 - 1940 [2]. KÓ tõ ®ã lÝ thuyÕt kh«ng gian ph©n thí trë thµnh mét trong
nh÷ng ®èi tîng nghiªn cøu quan träng cña t«p« ®¹i sè, vµ lµ mét c«ng cô
quan träng trong nghiªn cøu h×nh häc vi ph©n. N¨m 1950, Steenrod ®· hÖ
thèng l¹i c¸c nghiªn cøu vÒ ph©n thí trong giai ®o¹n ®ã [4]. N¨m 1955,
Milnor ®a ra cÊu tróc chung cña ph©n thí cho mét nhãm t«p« bÊt k× [4].
Tõ 1950-1955, Hirzebruch ®· lµm s¸ng tá kh¸i niÖm líp ®Æc trng cña ph©n
thí vµ sö dông nã ®Ó chøng minh ®Þnh lÝ Riemann-Roch cho ®¹i sè ®a t¹p
[4]. VÊn ®Ò ®ã ®· ®îc xuÊt b¶n trong cuèn Ergebnisse Monograph cña
«ng ta. Nh÷ng n¨m ®Çu thËp kû 1960 Grothendieck, Atiyah vµ Hirzebruch
®· ph¸t triÓn K -lý thuyÕt, mét lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu tæng qu¸t ®îc x¸c
®Þnh bëi c¸c líp æn ®Þnh cña ph©n thí vect¬.
§Þnh lÝ tuÇn hoµn Bott ®·
®îc chøng minh nh mét ®Þnh lÝ trong K - lý thuyÕt vµ Adams ®· gi¶i
quyÕt vÊn ®Ò trêng vect¬ trªn qu¶ cÇu b»ng c¸ch sö dông K -lý thuyÕt [4].
0.3 C¸ch tiÕp cËn, ph¬ng ph¸p nghiªn cøu, ph¹m vi nghiªn
cøu, néi dung nghiªn cøu
0.3.1
+
C¸c tiÕp cËn, ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
Su tÇm tµi liÖu trong vµ ngoµi níc cã liªn quan ®Õn ®Ò tµi ë c¸c th
viÖn, mua s¸ch b¸o ë c¸c nhµ xuÊt b¶n, c¸c t¹p chÝ trªn internet...
+
Nghiªn cøu tµi liÖu, t×m c¸ch tr×nh bµy c¸c chøng minh kh¸c c¸c tÝnh
chÊt ®· cã hoÆc cha thÊy chøng minh ë ®©u.
+
Sö dông c¸c ph¬ng ph¸p nghiªn cøu to¸n häc, ph¬ng ph¸p nghiªn
cøu lý thuyÕt.
7
0.3.2
+
Ph¹m vi vµ néi dung nghiªn cøu
Tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm cña kh«ng gian ph©n thí (®Ò tµi chØ xÐt ph©n
thí tæng qu¸t) vµ mét sè tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí.
+
Tr×nh bµy chøng minh kh¸c c¸c tÝnh chÊt cña kh«ng gian ph©n thí.
Ch¬ng 1
KiÕn thøc chuÈn bÞ
1.1
Kh«ng gian t«p« vµ
§Þnh nghÜa
T2 −
kh«ng gian
X.
T
c¸c tËp con cña
X
®îc gäi lµ mét kh«ng gian t«p«. C¸c tËp hîp thuéc
T
1.1. ([1]-Tr.56) Cho tËp hîp
Hä
®îc gäi lµ mét t«p« nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau:
(T1 )
∅, X ∈ T
(T2 ) NÕu
Gα ∈ T , α ∈ I
S
th×
Gα ∈ T
α∈I
(T3 ) NÕu
G1 , G2 ∈ T
Khi ®ã cÆp
(X, T )
th×
G1 ∩ G2 ∈ T
®îc gäi lµ c¸c tËp më trong
VÝ dô
X
®èi víi t«p«
T,
hay
T -më.
1.1. ([1]-Tr.56,57)
1. Gi¶ sö
X
lµ mét tËp tïy ý,
T = {X, ∅}.
vµ nã ®îc gäi lµ t«p« th« trªn
Khi ®ã
X , (X, T )
T
lµ mét t«p« trªn
X,
®îc gäi lµ kh«ng gian t«p«
th«.
2. Gi¶ sö
X = R.
KÝ hiÖu
T =
(
[
)
(ai , bi )|ai , bi ∈ R, ai ≤ bi
i∈I
Khi ®ã
T
lµ mét t«p« trªn
t«p« tù nhiªn) trªn
3. Cho
X ).
X
X,
vµ ®îc gäi lµ t«p« th«ng thêng (hay
X.
T = P(X)(tËp tÊt c¶ c¸c tËp con cña
lµ mét tËp bÊt k×. KÝ hiÖu:
Khi ®ã
T
lµ mét t«p« trªn
X
t«p« rêi r¹c.
8
vµ
(X, T )
®îc gäi lµ kh«ng gian
9
con
U
U
cña kh«ng gian t«p«
X
TËp
A nÕu trong
Ta hiÓu mét l©n cËn cña phÇn tö
x∈X
lµ
{x}
l©n cËn cña tËp con
1.3. ([1]-Tr.57) TËp con
lµ tËp ®ãng nÕu phÇn bï cña
VÝ dô
®îc gäi lµ mét l©n cËn cña tËp
A.
cã mét tËp con më chøa
§Þnh nghÜa
(X, T ), A ⊂ X .
1.2. ([1]-Tr.57) Cho kh«ng gian t«p«
§Þnh nghÜa
A
trong
A
X
cña kh«ng gian t«p«
X
®îc gäi
lµ tËp më.
1.2. ([1]-Tr.57,58)
1. XÐt kh«ng gian t«p« th«
X.
Khi ®ã ta cã tËp
X
vµ
∅
®ång thêi võa lµ
tËp ®ãng, võa lµ tËp më.
2. XÐt
R
víi t«p« tù nhiªn th× mçi kho¶ng
mét tËp më, mçi ®o¹n
§Þnh nghÜa
Khi ®ã hä
U
(a, b) = {x : a < x < b}
[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}
1.4. ([1]-Tr.98) Cho
(X, T )
®îc gäi lµ t«p« c¶m sinh bëi t«p«
T
trªn
lµ mét t«p« trªn
Y.
gäi lµ kh«ng gian con cña kh«ng kh«ng gian t«p«
§Þnh nghÜa
1.5. ([1]-Tr.91) Kh«ng gian t«p«
gian (hay kh«ng gian Hausdorff) nÕu víi mäi
c¸c l©n cËn
VÝ dô
Ux
cña
x
vµ
Vy
cña
y
lµ mét tËp ®ãng.
lµ mét kh«ng gian t«p«,
U = {U ⊂ Y : U = Y ∩ V, V ∈ T }
sao cho
lµ
Kh«ng gian
Y ⊂ X.
Y.
T«p«
(Y, U)
®îc
(X, T ).
X
®îc gäi lµ
x, y ∈ X
mµ
T2 −kh«ng
x 6= y
tån t¹i
Ux ∩ Vy = ∅.
1.3.
1. Mäi kh«ng gian metric ®Òu lµ kh«ng gian Hausdorff.
ThËt vËy, gi¶ sö
Khi ®ã ta cã
X
lµ mét kh«ng gian metric bÊt k× vµ
d(a, b) = > 0.
XÐt c¸c h×nh cÇu më
G ∩ H = ∅.
d(b, p) <
3.
a, b ∈ X, a 6= b.
G = S(a, 3 ), H = S(b, 3 ).
ThËt vËy, nÕu tån t¹i
p∈G∩H
Ta cÇn chøng minh
th× ta cã
d(a, p) <
3 vµ
10
MÆt kh¸c ta cã
d(a, b) ≤ d(a, p) + d(b, p)
Suy ra
2
+ =
3 3
3
≤
VËy
X
(
V« lÝ
)
lµ kh«ng gian Hausdorff.
2. ([1]-Tr.92) Kh«ng gian t«p« rêi r¹c lµ kh«ng gian Hausdorff.
¸nh x¹ liªn tôc trªn kh«ng gian t«p«
1.2
§Þnh nghÜa
Mét ¸nh x¹
f
W
f
f −1 (W )
th×
Chøng minh.
x∈X
liªn tôc t¹i
X, Y
f (V ) ⊂ W ,
Khi ®ã do
suy ra
cña
x0
sao cho
nÕu
f (V ) ⊂ W .
®îc gäi lµ liªn tôc trªn X.
lµ hai kh«ng gian t«p«,
x∈X
f : X −→ Y .
khi vµ chØ khi víi mçi l©n cËn
W
cña
x.
lµ l©n cËn cña
f (x).
f
th×
([1]-Tr.80) Gi¶ sö
mét l©n cËn cña
sao cho
f (x0 ) tån t¹i l©n cËn V
1.1. ([1]-Tr.80) Cho
Khi ®ã ¸nh x¹
f (x)
cña
liªn tôc víi mäi
§Þnh lÝ
lµ hai kh«ng gian t«p«.
f : (X, T ) −→ (Y, U) ®îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0 ∈ X
víi mçi l©n cËn
NÕu
(X, T ), (Y, U)
1.6. ([1]-Tr.79) Cho
f : X −→ Y
f
liªn tôc t¹i
V ⊂ f −1 (W ),
liªn tôc t¹i
x∈X
vµ
x nªn tån t¹i l©n cËn V
do ®ã
f −1 (W )
W
lµ
cña
x
lµ mét l©n cËn cña
x.
Ngîc l¹i, gi¶ sö
mét l©n cËn cña
§Æt
§Þnh lÝ
f
f (x).
Theo gi¶ thiÕt
f −1 (W )
lµ
Khi ®ã
V
lµ mét l©n cËn cña
x
vµ
f (V ) ⊂ W
nªn
f
x.
1.2. ([1]-Tr.80) Cho
f : X −→ Y .
(a)
lµ mét l©n cËn cña
x.
V = f −1 (W ).
liªn tôc t¹i
x¹
W
(X, T ), (Y, U)
lµ hai kh«ng gian t«p« vµ ¸nh
Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
lµ ¸nh x¹ liªn tôc;
11
(b) NghÞch ¶nh cña mçi tËp më lµ tËp më;
(c) NghÞch ¶nh cña mçi tËp ®ãng lµ tËp ®ãng;
(d)
∀A ∈ X ⇒ f (A) ⊂ f (A);
(e)
∀B ∈ Y ⇒ f −1 (B 0 ) ⊂ (f −1 (B))0 .
Chøng minh.
(a) ⇒ (b)
ta cã
([1]-Tr.81)
Gi¶ sö
G
lµ mét tËp më trong
f (x) ∈ G,
do
f
liªn tôc nªn tån t¹i l©n cËn
G ⇒ x ∈ V ⊂ f −1 (G),
do ®ã
f −1 (G)
l©n cËn cña mäi ®iÓm thuéc nã nªn
(b) ⇒ (c)
cã
F
f (A) ⊂ f (A)
(d) ⇒ (e)
A ∈ X,
Víi mäi
nªn
Víi mäi
(c)
B ∈Y,
Y.
ta cã
A ⊂ f −1 (f (A)).
theo
(d)
cña
x
x ∈ f −1 (G)
sao cho
f (V ) ⊂
x ⇒ f −1 (G)
lµ
(b)
ta
lµ tËp më.
Ta cã
lµ tËp më. Do ®ã
theo
V
Víi mçi
lµ mét l©n cËn cña
f −1 (G)
lµ mét tËp ®ãng trong
f −1 (Y \F ) = X\f −1 (F )
(c) ⇒ (d)
do
XÐt
Y , G 6= ∅.
Y \F
f −1 (F )
f −1 (f (A))
Do ®ã
lµ tËp më, theo
lµ tËp ®ãng.
lµ tËp ®ãng. MÆt kh¸c
f (A) ⊂ f (A).
ta cã
f (f −1 (B)) ⊂ f (f −1 (B)) ⊂ B
Suy ra
f −1 (B) ⊂ f −1 (B).
Do ®ã
∀B ∈ Y
ta cã:
X\f −1 (B) = f −1 (Y \B) ⊂ f −1 (Y \B)
Suy ra
f −1 (B 0 ) = X\f −1 (Y \B) ⊂ X\X\f −1 (B) = (f −1 (B))0
(e) ⇒ (a)
Víi mçi
x ∈ X,
gäi
W
lµ l©n cËn më cña
f (x).
cã:
x ∈ f −1 (W ) = f −1 (W 0 ) ⊂ (f −1 (W ))0
Theo gi¶ thiÕt ta
12
§Æt
V = (f −1 (W ))0 ,
liªn tôc tai
§Þnh lÝ
suy ra
f
lµ mét l©n cËn cña
liªn tôc trªn
1.3. ([1]-Tr.82) Cho
x
vµ
f (V ) ⊂ W .
Do ®ã
f
X.
(X, TX ), (Y, TY ), (Z, TZ )
f : X −→ Y, g : Y −→ Z
t«p«,
Z
x,
V
ta cã
lµ c¸c kh«ng gian
lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã
g◦ f : X −→
lµ ¸nh x¹ liªn tôc.
f
Do
liªn tôc nªn
§Þnh nghÜa
f : X −→ Y
liªn tôc vµ
G ∈ TZ .
([1]-Tr.82) Víi mäi
Chøng minh.
f −1 (g −1 (G)) ∈ TX .
1.7. ([1]-Tr.83) Cho
Do
Cho nªn
X, Y
g
liªn tôc nªn
g◦ f
liªn tôc.
lµ hai kh«ng gian t«p«.
®îc gäi lµ mét phÐp ®ång ph«i nÕu
f −1
g −1 (G) ∈ TY .
f
¸nh
lµ mét song ¸nh,
x¹
f
liªn tôc.
Khi ®ã hai kh«ng gian
X
vµ
Y
®îc gäi lµ ®ång ph«i víi nhau hay lµ
t¬ng ®¬ng t«p«.
§Þnh nghÜa
Y.
Khi ®ã,
trong
1.3
X
th×
f
X, Y
1.8. ([1]-Tr.82) Cho
lµ hai kh«ng gian t«p«,
f : X −→
A
më (®ãng)
®îc gäi lµ ¸nh x¹ më (®ãng) nÕu víi mäi tËp
f (A)
më (®ãng) trong
Y.
Lý thuyÕt ph¹m trï
§Þnh nghÜa
1.9. ([5]-Tr.8,9) Mét ph¹m trï
(I) Mét líp c¸c ®èi tîng cña
lµ mét vËt cña
(II) Hai vËt
C
kÝ hiÖu
C
®îc cho bëi:
Ob(C).
Mçi phÇn tö cña
Ob(C)
C.
A, B ∈ Ob(C)
lu«n x¸c ®Þnh ®îc mét tËp hîp
®îc gäi lµ c¸c cÊu x¹ tõ
c¸c cÆp vËt cña
C
mµ
A
vµo
B
tháa m·n: nÕu
(A, B) 6= (C, D)
th×:
M orC (A, B) ∩ M orC (C, D) = ∅
M orC (A, B)
(A, B), (C, D)
lµ
13
(III) Víi mçi bé ba
(A, B, C) ∈ Ob(C)
lu«n x¸c ®Þnh ®îc mét ¸nh x¹:
M orC (B, C) × M orC (A, B) −→ M orC (A, C)
(β, α) 7−→ βα
®îc gäi lµ phÐp nh©n cÊu x¹, tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau:
(i)
∀α ∈ M orC (A, B), β ∈ M orC (B, C), γ ∈ M orC (C, D)
ta cã:
γ(βα) = (γβ)α
(ii)
∀A ∈ Ob(C), ∃IdA ∈ M orC (A, A)
g ∈ M orC (C, A)
sao cho
∀f ∈ M orC (A, B),
ta cã:
(f )IdA = f, IdA (g) = g
Ta kÝ hiÖu
S
M or(C) =
M orC (A, B)
A,B∈Ob(C)
VÝ dô
1.4. ([5]-Tr.9,10)
1. Ph¹m trï tËp hîp, kÝ hiÖu
Set, bao gåm:
mçi vËt lµ mét tËp hîp, mçi
cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh
x¹.
2. Ph¹m trï kh«ng gian t«p«, kÝ hiÖu
Top bao gåm: mçi vËt lµ mét kh«ng
gian t«p«, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ
phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹.
3. Ph¹m trï kh«ng gian Vect¬, kÝ hiÖu
Vect bao gåm: mçi vËt lµ mét kh«ng
gian vect¬, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹
lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹.
4. Ph¹m trï tËp hîp víi ®iÓm c¬ së bao gåm: mçi vËt lµ mét cÆp
(A, x0 ), x0 ∈
A, mét cÊu x¹ gi÷a hai vËt (A, x0 ) vµ (B, y0 ) lµ mét ¸nh x¹ f : A −→ B
14
tháa m·n
f (x0 ) = y0 ,
phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh
x¹.
1.4
§a t¹p kh¶ vi
§Þnh nghÜa
1.10. ([7]-Tr.6)(§a t¹p t«p«) Mét kh«ng gian t«p«
®îc gäi lµ mét ®a t¹p t«p«
n
chiÒu nÕu
X
lµ Hausdorff, tháa m·n tiªn ®Ò
®Õm ®îc thø hai vµ ®ång ph«i ®Þa ph¬ng víi
§Þnh nghÜa
1.11. ([7]-Tr.7) Cho
M
Rn .
lµ mét ®a t¹p t«p«
®å ®Þa ph¬ng (hoÆc hÖ täa ®é ®Þa ph¬ng) cña
U
lµ mét tËp më kh¸c rçng trong
φ(U )
trong
M, φ
M
n
chiÒu. Mét b¶n
lµ mét cÆp
lµ mét ®ång ph«i tõ
U
Rn .
H×nh
1.1: B¶n ®å
x2 y 2
VÝ dô 1.5. XÐt elip (E) :
+
= 1 (a > b > 0)
a2 b 2
§Æt U = {A(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U = (−a, a). XÐt
¸nh x¹:
ϕ : U −→ U
A(x, y) 7−→ x
Khi ®ã ta cã
(U, ϕ)
lµ mét b¶n ®å cña
(E).
(X, T )
ThËt vËy, ta cã
(U, φ)
víi
tíi tËp më
15
H×nh
(+) Râ rµng
(+)
U
më trong
(E)
ϕ
lµ ®ång ph«i
ϕ
lµ ®¬n ¸nh: Víi mäi
vµ
U
1.2: Elip
më trong
R
A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ∈ U
mµ
ϕ(A) = ϕ(B),
ta
cã
b
x1 = x2 ⇒ y1 =
a
ϕ
lµ toµn ¸nh: Víi mäi
q
q
b
2
a2 − x1 =
a2 − x22 = y2 ⇒ A ≡ B
a
t ∈ U,
xÐt
bp 2
A(t,
a − t2 ) ∈ U .
a
Ta cã
ϕ(A) = t
ϕ, ϕ−1
liªn tôc: Ta cã
tôc. Ngoµi ra
VËy
(U, ϕ)
§Þnh nghÜa
hîp,
vµ
ϕ−1
ϕ lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø nhÊt nªn liªn
bp 2
: t 7−→ (t,
a − t2 ) liªn tôc.
a
lµ mét b¶n ®å cña
(E).
1.12. ([7]-Tr.7) Hai b¶n ®å
(U, φ), (V, ψ) ®îc gäi lµ C k −phï
k ∈ (N\{0})∪{∞}, nÕu U ∩V = ∅ hoÆc φ◦ ψ −1 := ψ(U ∩V ) −→ Rn
ψ◦ φ−1 := φ(U ∩ V ) −→ Rn
thuéc líp
Ck.
16
H×nh
VÝ dô
1.6. XÐt elip
1.3: B¶n ®å phï hîp
x2 y 2
(E) : 2 + 2 = 1 (a > b > 0)
a
b
H×nh
§Æt
1.4: Elip
U1 = {A(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U 1 = (−a, a).
ϕ1 : U1 −→ U 1
A(x, y) 7−→ x
XÐt ¸nh x¹
17
§Æt
U2 = {A(x, y) ∈ (E)|x > 0}, U 2 = (−b, b).
XÐt ¸nh x¹
ϕ2 : U2 −→ U 2
A(x, y) 7−→ y
Chøng minh t¬ng tù vÝ dô 1.5 ta cã
(U1 , ϕ1 )
vµ
(U2 , ϕ2 )
lµ c¸c b¶n ®å cña
(E).
§Æt
W = U1 ∩ U2 = {A(x, y)|x > 0, y > 0}, W1 = ϕ1 (W ) = (0, a), W2 =
ϕ2 (W ) = (0, b).
XÐt ¸nh x¹:
f : W1 −→ W2
bp 2
a − x2
x 7−→ f (x) = ϕ2 ◦ ϕ1 (x) =
a
Râ rµng
f
lµ vi ph«i. Do ®ã ta cã
§Þnh nghÜa
t«p«
n
A
A = {(Ui , φi )}i∈I
lµ mét phñ cña
M,
(ii) Hai b¶n ®å bÊt k× cña
§Þnh nghÜa
kh¶ vi cÊp
vµ
(U2 , ϕ2 )
phï hîp.
1.13. ([7]-Tr.7) (Atlas trªn mét ®a t¹p) Cho
chiÒu. Mét Atlas kh¶ vi cÊp
c¸c b¶n ®å
(i)
(U1 , ϕ1 )
trªn
lµ mét ®a t¹p
M
lµ mét líp
tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau:
M=
tøc lµ
A
k ∈ (N\{0}) ∪ {∞}
M
lµ
C k −phï
1.14. ([7]-Tr.7) Cho
k ∈ (N\{0}) ∪ {∞}
S
M
trªn
i∈I
Ui .
hîp.
lµ mét ®a t¹p
M
n
lµ mét Atlas cùc ®¹i trªn
Mét ®a t¹p t«p« ®îc trang bÞ mét cÊu tróc kh¶ vi cÊp
®îc gäi lµ mét ®a t¹p kh¶ vi cÊp
chiÒu, mét cÊu tróc
M.
k ∈ (N\{0}) ∪ {∞}
k.
x2 y 2
+
= 1 (a > b > 0) lµ mét ®a t¹p kh¶ vi.
VÝ dô 1.7. Ta cã (E) :
a2 b 2
vËy, ®Æt:
ThËt
- Xem thêm -