Không gian các dãy và ma trận kothe

  • Số trang: 95 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 27 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Sáu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Sáu Chuyên ngành Mã số : Toán Giải Tích : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS . TS . LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC ........................................................................................ 3 BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG ................................... 4 MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1 CHƯƠNG 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN . 5 1.1. Bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Minkowski [3] ....................... 5 1.2. Không gian vectơ ...................................................................................... 8 1.2.1. Định nghĩa: Không gian Bannach địa phương .......................................8 1.2.2. Định nghĩa không gian metric tuyến tính ................................................9 1.2.3. Sự bổ sung đầy đủ của không gian metric ...............................................9 1.3. Không gian vectơ tôpô ............................................................................. 9 1.4. Không gian lồi địa phương .................................................................... 12 1.5. Đối ngẫu của các không gian định chuẩn, không gian Banach ...... 14 1.6. Đối ngẫu của không gian tôpô............................................................... 15 CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN CÁC DÃY ................................... 16 2.1. Không gian l p (0 < p ≤ ∞) [5] ..................................................................... 16 p 2.2. Không gian λ ( A) (1 ≤ p ≤ ∞) , c0 ( A) ......................................................... 26 CHƯƠNG 3: VÀI LỚP KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG ĐẶC BIỆT ...................................................................................... 46 3.1. Các kiến thức cơ bản của chương.[ 2 ] ................................................. 46 3.2. Không gian Schwartz ............................................................................. 54 3.3. Không gian Montel ................................................................................. 56 3.4. Không gian Frechet ................................................................................ 58 CHƯƠNG 4: MA TRẬN KOTHE............................................... 64 4.1. Ma trận Kothe ........................................................................................ 64 4.2. Cơ sở Schauder ....................................................................................... 86 KẾT LUẬN .................................................................................... 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................ 89 BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG K Tập các số thực  hoặc phức  .  Tập các số tự nhiên. * =  \{0} . E' Không gian đối ngẫu của không gian E . E" Không gian đối ngẫu thứ hai của không gian E . l p , ( p > 0) ∞  = ( xi )i , xi ∈ K : ∑ xi i =1  p  < ∞  - Không gian các dãy có  tổng lũy thừa p hữu hạn. l∞ Không gian các dãy bị chặn. c0 Không gian các dãy hội tụ về 0. A = ( a j ,k ) λ p ( A) ( j , k )∈ 2 Ma trận Kothe.   = = x    ∞ ( x j ) j ∈ K  : x k=:  ∑ x j a j ,k  j =1 p 1  p   < ∞, ∀k ∈      Không gian các dãy nhân với mỗi cột của ma trận Kothe A tạo thành một dãy thuộc l p . λ ∞ ( A) Không gian các dãy nhân với mỗi cột của ma trận Kothe A tạo thành một dãy thuộc l∞ . c0 ( A ) Không gian các dãy nhân với mỗi cột của ma trận Kothe A tạo thành một dãy thuộc c0 . ⋅ p .k Chuẩn trên không gian l p . Nửa chuẩn của không gian λ p ( A) . Nk Tập hợp các chỉ số dòng mà có phần tử trên cột k (của ma trận A ) khác 0. N bp   −1  x ∈ K : ( x j b j ) j∈  span( B) , Span B , < B > Bao tuyến tính của tập B . .B Hàm cỡ - Phiếm hàm Minkowski của tập B . EB Không gian định chuẩn sinh bởi B ( < B >, . B ) lp  ≤ 1 , b ∈ l∞ .  với B ⊂ E - lồi địa phương. jB Ánh xạ nhúng từ EB → E , E - lồi địa phương. Im ( f ) Ảnh của ánh xạ f . Ker ( f ) Nhân của ánh xạ f . Ek ; l p ( N k , ak ) Không gian Banach địa phương theo nửa chuẩn ∧   , .k . .k-  E . Ker k   Ep Không gian Banach địa phương theo nửa chuẩn ( p- E ). ∧ Ker ( p ) ,. p jn Ánh xạ nhúng từ En → E . ιk Ánh xạ chính tắc theo nửa chuẩn . k từ không gian vectơ E vào Ek . Π n∈ En Tích trực tiếp của các không gian En . ⊕i∈I Ei Tổng trực tiếp của các không gian Ei . dim E Số chiều của không gian E . L ( E, F ) Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. ιmk : Em → Ek Ánh xạ tuyến tính liên tục từ Em vào Ek . M0 Pôla của tập M . λ '; λ×    p ( y j ) j∈ ∈ K : ∑ x j y j < ∞, ∀ ( x j ) j∈ ∈ λ =λ ( A )  . j∈   Uk = {x ∈ λ : U k0 = { y ∈ λ : y ( x ) ≤ 1, ∀x ∈U } - pôla của U λU' Tập U k0 của λ ' . 0 k . b , b ∈ λ ∞ ( A) ; . k ' k k . Hàm cỡ của U k0 . * y b , b ∈ λ ∞ ( A) ; y x k ≤ 1} , ∀k ∈  . * k 1 q  q  p  p =  ∑ y jbj = < ∞, q :   λ λ ( A ) ,1 < p= . p −1   j∈   ΓA Bao tuyệt đối lồi của tập A . ( jn : En → E )n∈ Hệ qua nạp. ind n→ En Giới hạn quy nạp của hệ quy nạp ( jn : En → E )n∈ .  Kết thúc chứng minh . 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Trong giải tích nói chung và giải tích hàm nói riêng, không gian Vectơ tôpô và vài lớp không gian lồi địa phương đặc biệt là những kiến thức mà tôi đã được học và tìm hiểu. Tuy vậy, Ma trận Kothe và không gian λ p ( A) , c0 ( A) là kiến thức liên quan đến mảng trên mà tôi chưa có dịp tìm hiểu, mặt khác nó là kiến thức tôi thích và quan tâm. Chúng tôi chọn đề tài này để tìm hiểu sâu về “Không gian các dãy và ma trận Kothe”. 2. Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu mối liên hệ giữa ma trận Kothe và không gian các dãy. 3. Đối tượng nghiên cứu: “Không gian các dãy và ma trận Kothe”. 4. Phạm vi nghiên cứu: Giải tích hàm. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu: Luận văn sẽ là một tài liệu để hiểu sâu thêm về ma trận Kothe và mối liên hệ với các không gian hàm. 6. Cấu trúc luận văn: Kết cấu của luận văn bao gồm phần mở đầu và bốn chương. Chương 1. Các định nghĩa và khái niệm cơ bản. Chương 2. Không gian các dãy. Chương 3. Một vài không gian lồi địa phương đặc biệt. Chương 4. Ma trận Kothe. Kết thúc luận văn là một vài kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Sau đây là phần giới thiệu cho từng chương. 2 Chương 1: Chúng tôi đưa ra các định nghĩa, các định lý cần thiết cho các chương sau. Chương 2: Mở đầu chương 2 chúng tôi nêu một số tính chất của không gian l p . Sau đó, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất, định lý liên quan đến không gian các dãy tựa như không gian l p đó là các không gian λ p ( A) , c0 ( A) . Nó bao gồm không gian các dãy ( xi )i có ∞ ∑x i =1 i p < ∞ , tức là không gian l p , mặt khác nó còn là không gian các dãy ( xi )i mà khi nhân với mỗi cột của ma trận đặc biệt - ma trận Kothe A = ( ai , j ) i , j∈ thì ta lại được một dãy ( xi ai , j )i∈ , j = 1, 2,.. thuộc l p . Từ 2.2.4 đến 2.2.7 chúng tôi chứng minh λ p ( A) , c0 ( A) là không gian vectơ; không gian khả metric đầy đủ và là không gian lồi địa phương. Từ đó dẫn tới định lý 2.2.8: khẳng định rằng λ p ( A) , c0 ( A) là không gian Frechet. Định lý 2.2.11 khẳng định λ p ( A)(1 < p < ∞ ) là không gian phản xạ và là không gian thùng. Mục 2.2.14.1 là các chứng minh của định lý 2.2.14.2. Định lý này cho ta biết không gian đối ngẫu của không gian λ p ( A)(1 ≤ p < ∞ ) . Định lý 2.2.15.2 xác định hàm cỡ của một tập trong λ p ( A)  . ' Kết thúc chương 2 là định lý cho ta biết c0 ( A ) = λ ∞ ( A ) . " Chương 3: Giới thiệu một số không gian lồi địa phương đặc biệt, đó là: Không gian Schwartz, Không gian Montel, Không gian Frechet. Mối quan hệ giữa không gian Schwartz và không gian Montel. 3 Chương 4: Trình bày định nghĩa ma trận Kothe, mối quan hệ giữa ma trận Kothe với các không gian lồi địa phương đặc biệt đã nêu ở chương 3. Mở đầu chương 4 là định nghĩa ma trận Kothe, kế sau đó là bổ đề 4.1.1. Bổ đề này dùng để chuẩn bị cho chứng minh trong định lý trọng tâm của chương là định lý Dieudonne- Gomes. Định lý này nói về điều kiện của ma trận Kothe để λ p ( A) là không gian Montel. Tiếp theo đó là định lý 4.1.3 nói về điều kiện của ma trận Kothe để λ p ( A) là không gian Schwartz. Phần cuối của chương chúng tôi trình bày định nghĩa cơ sở Schauder và mối liên hệ giữa cơ sở này với không gian λ 1 ( A) . Trong luận văn, kí hiệu  được dùng để kết thúc chứng minh. Về mặt hình thức chúng tôi đánh số các bổ đề, định lý, hệ quả, định nghĩa, chú ý, nhận xét bằng thứ tự của chương, mục và tiểu mục mà chúng có mặt ( ví dụ: Định lý 4.1.6.5 có nghĩa là Định lý này nằm ở chương 4, mục 1, nhóm tiểm mục 6, tiểu mục 5 ). Sau các mục, tiểu mục, hoặc định lý, bổ đề, kí hiệu [n]: chẳng hạn: “2.1. Không gian l p (0 < p ≤ ∞) [5] “ nghĩa là mục 2.1 được tham khảo trong tài liệu số [5]. Nếu không chú thích gì thêm thì nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa theo tài liệu tham khảo số [6] và một phần dựa vào các tài liệu tham khảo còn lại. Trong khi trình bày, những vấn đề nào được trích dẫn sẽ nêu kết qủa và có thể có chứng minh. Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các tác giả có tài liệu mà chúng tôi trích dẫn trong luận văn. 4 Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của: PGS. TS. Đậu Thế Cấp, PGS. TS. Lê Hoàn Hóa. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng sâu sắc và lòng biết ơn chân thành đến các quý Thầy. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các quý Thầy cô phản biện đã đọc kĩ luận văn và giúp tác giả nhiều ý kiến quý báu. Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn qúy Thầy Cô ở Khoa toán Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy chúng tôi trong nhiều năm học cao học, và chân thành cảm ơn các Thầy cô Phòng Sau Đại Học, Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã động viên giúp đỡ, tạo mọi thuận lợi cho tác giả trong suốt qúa trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng tác giả xin gửi lời tri ân đến gia đình và bạn bè – những người đã luôn ở bên quan tâm và động viên tác giả trong suốt quá trình học và làm luận văn. Sự giúp đỡ của họ đã góp phần không nhỏ vào việc hoàn thành luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 1 tháng 10 năm 2011 Đặng Thị Sáu 5 CHƯƠNG 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Minkowski [3] 1 p 1 q Với p, q ∈ , p > 1, q > 1: + = 1, n ∈  , xi , yi ( i = 1, 2,..., n ) có thể thực hoặc phức, ta chứng minh : 1 1 n  n p p  q q a. ∑ xi yi ≤  ∑ xi  .  ∑ yi  (Bất đẳng thức Holder); =i 1 = i1=  i1  n 1 1 1  n  n  n p p p p p p b.  ∑ xi + yi  ≤  ∑ xi  +  ∑ yi  (Bất đẳng thức Minkowski), = = i1   i 1=  i1  và mở rộng cho trường hợp tổng vô hạn. Chứng minh a) Xét hàm số ϕ ( t ) = tp 1 t ) t p −1 − 1 và + − t , t ≥ 0 . Ta có: ϕ ' (= p p tại t 1,= ϕ (1) 0 . Suy ra : ϕ ( t ) ≥ 0 với ϕ ' ( t ) = 0 ⇔ t = 1 . Hàm ϕ đạt cực tiểu = t ≥ 0 . Hay t < tp 1 u p vq (*). = t u.v −1/( p −1) , u ≥ 0, v ≥ 0 , ta có : u.v ≤ + , ∀t ≥ 0 . Thay + p p p q Đặt 1 1  n  n p p q q , x p = x y y = ∑ ∑ i i    . q =  i 1=  i1  Giả sử x p > 0, y q xi . yi x p y Lấy tổng ta có: xi ,v = x p = u > 0 với ≤ q xi p x p p p + yi q y yi , i 1, 2,...n , ta có : = y p q q q ,i = 1, 2,..., n. 6 n n ∑ xi . yi x y =i 1 p ≤ ∑ i −1 + p p x q n p xi ∑y =i 1 q y p q i = 1 .(1) q q Suy ra : 1 n ∑ i= 1 1 n  n p p  q q xi . yi ≤  ∑ xi   ∑ yi  = x p y q.  i −1   i= 1  Bất đẳng thức Holder trường hợp chuỗi Nếu= x ( xi )i ∈ l p và= y ( yi )i ∈ lq thì đặt 1 1  ∞  ∞ p p q q x p = xi  , y q  ∑ yi  . = ∑ =  i 1=  i1  xi ,v = x p Giả sử x p > 0, y q > 0 với = u xi . yi x p y xi ≤ yi , i 1, 2,... , khi đó (*) trở thành: = y p p p x q p + q yi q q y p ,i = 1, 2,... q Với mọi n ∈  , do (1) ta có: n n ∑ x .y i i=1 x p i y ≤ ∑x i i −1 p x q n p p + ∑y i i=1 q y p ∞ q q ≤ ∑x i i −1 p p x q ∞ p p + ∑y i=1 q y q i q = 1 q ∞ Do chuỗi số thực không âm có dãy tổng riêng phần bị chặn nên ∑ x .y i i =1 x p i y tụ và ∞ ∑ x y =i 1 ∞ ∑ i= 1 ∞ xi . yi p q ≤ ∑ i −1 xi p x 1 ∞ p p p + ∑y =i 1 q y q i q = 1. q 1 ∞  ∞ p p  q q xi . yi ≤  ∑ xi   ∑ yi  = x p yq  i −1   i= 1  q hội 7 b. Ta có n ∑ n ∑ xi + yi = p =i 1 =i 1 xi + yi p −1 n xi + yi ≤ ∑ xi + yi =i 1 p −1 n . xi + ∑ xi + yi =i 1 p −1 . yi Áp dụng bất đẳng thức Holder cho mỗi số hạng: 1 1 n  n p p ( p −1) q  q  . . x y x x y x + ≤ + ∑ i i i i ∑ i  ∑ i  =i 1 =  i 1=  i1  n p −1 1 n ∑ =i 1 1 n  n p q  p p xi + yi . xi ≤  ∑ xi + yi  .  ∑ xi  ( do ( p − 1) q = p ) =  i 1=  i1  p −1  . y ≤ ∑ x + y  n    n 1 q  p .  ∑ yi    n p −1 ( p −1) q i i i i i =i 1 =i 1 =i 1 ∑x +y 1 n ∑ =i 1 1 p 1 n  n p q  p p xi + yi . yi ≤  ∑ xi + yi  .  ∑ yi  ( do ( p − 1) q = p ) =  i 1=  i1  p −1 1 1 1 1 n n  n  n p q  p p p q  p p Suy ra : ∑ xi + yi ≤  ∑ xi + yi  .  ∑ xi  +  ∑ xi + yi  .  ∑ yi  1 i 1 =i =  i 1=  =   i 1=  i1  n p n ∑ =i 1 1 1 1  n  n  n   p q p p p p  xi + yi ≤  ∑ xi + yi  .  ∑ xi  +  ∑ yi   = = i 1   i 1 =  i1     p 1 Giả sử n ∑x +y i =1 i i p 1 1  n p q > 0. Chia cả hai vế cho  ∑ xi + yi  và do 1 − = , ta q p  i =1  được: 1 p 1 p 1 p    p p p  ∑ xi + yi  ≤  ∑ xi  +  ∑ yi  (2) = = i1   i 1=  i1  n n n Hay x + y p ≤ x p + y p . Bất đẳng thức Minkowski trường hợp chuỗi Cho ( xi )i , ( yi )i là hai dãy số có thể thực hoặc phức thỏa mãn: ∞ ∑x p ∞ < ∞, ∑ yi i =i 1 =i 1 p < ∞, p > 1 . 8 Ta chứng minh: 1 1 1  ∞  ∞  ∞ p p p p p p x y x + ≤ + i ∑ i   ∑ i   ∑ yi  . = = i1   i 1=  i1  Với mọi n ∈  , do (2) ta có 1 1 1 1 1  n  n  n  ∞  ∞ p p p p p p p p p p x y x y x + ≤ + ≤ + i ∑ i  ∑ i  ∑ i   ∑ i   ∑ yi  . = = i1   i 1=   i 1=   i 1=  i1  Do chuỗi số thực không âm có dãy tổng riêng phần bị chặn nên ∞ ∑x +y i =1 i p i hội tụ và 1 p 1 p 1 p    p p p  ∑ xi + yi  ≤  ∑ xi  +  ∑ yi  , p > 1 . = = i1   i 1=  i1  ∞ ∞ ∞ 1.2. Không gian vectơ 1.2.1. Định nghĩa: Không gian Bannach địa phương Cho E là không gian vectơ và p là nửa chuẩn trên E . Dễ thấy 0} là không gian vectơ con của E và Kerp := Np = {x ∈ E : p ( x ) = x + Np p := p ( x) là một chuẩn trên E Np , khi đó  E N , . p  là không p   ∧ gian định chuẩn chưa đầy đủ. Kí hiệu E p :=  E N , . p  là không gian p   Bannach bổ sung đầy đủ của không gian  E N , . p  . Ta gọi E p là p   không gian Bannach địa phương theo nửa chuẩn p . Kí hiệu ι p : E → E p , x  x + N p là ánh xạ chính tắc. Ta có ι p ( x= ) p p ( x ) , ∀x ∈ E . 9 1.2.2. Định nghĩa không gian metric tuyến tính Một không gian vectơ cùng với một metric có phép cộng liên tục đều và phép nhân vô hướng liên tục gọi là một không gian metric tuyến tính. 1.2.3. Sự bổ sung đầy đủ của không gian metric Cho trước một không gian metric X bất kì, bao giờ cũng tồn tại một không gian metric X ' đầy đủ thỏa mãn hai điều kiện sau: a. X đẳng cự với một bộ phận của X ' b. X trù mật trong X ' ( X = X ' ) 1.3. Không gian vectơ tôpô 1.3.1. Định nghĩa Cho X là một tập, họ τ các tập con của X gọi là tôpô trên X nếu họ τ có tính chất: a) ∅ ∈τ ; X ∈τ ; b) U i ∈τ , i ∈ I thì U i ∈τ ; i∈I c) U ,V ∈τ thì U ∩ V ∈τ . Tập X cùng với tôpô τ được gọi là không gian tôpô X = (X, τ ) 1.3.2. Định nghĩa Cho X là một không gian tôpô. Tập con U của X được gọi là một lân cận của điểm a ∈ X nếu tồn tại tập mở G sao cho a ∈ G ⊂ U. Họ U các lân cận của điểm a được gọi là một cơ sở lân cận của a nếu mọi lân cận U của a đều tồn tại V ∈ U sao cho V ⊂ U. 1.3.3. Định nghĩa 10 Cho E là không gian vectơ trên trường K. Một tôpô trên E gọi là tương thích nếu phép cộng : + : E × E  E , (x, y)  x+ y là liên tục và phép nhân vô hướng : K × E  E , (λ, x)  λx là liên tục. Ta gọi một không gian vectơ E cùng một tôpô tương thích trên nó là một không gian vectơ tôpô. 1.3.4. Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là Hausdorff nếu mọi cặp điểm khác nhau x, y ∈ X, tồn tại hai lân cận không giao nhau U, V của x , y. ( Nói cách khác hai điểm khác nhau bao giờ cũng có thể tách được bởi hai lân cận rời nhau. Vì vậy không gian Hausdorff còn được gọi là không gian tách và tôpô của nó được gọi là tôpô tách hay tôpô Hausdorff ) 1.3.5. Định nghĩa Cho tập con A của không gian vectơ E. Khi đó, a) A được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y thuộc A ta có λx + (1- λ)y thuộc A với mọi λ thuộc [0; 1]. b) A được gọi là tập cân nếu với mọi x thuộc A thì λx thuộc A với mọi λ thuộc [-1; 1]. c) A được gọi là tập tuyệt đối lồi nếu A vừa là tập lồi vừa là tập cân. n  n  d) ΓA ∑ λ j x j : λ j ∈ K , x j ∈ A,1 ≤ j ≤ n, ∑ λ j ≤ 1, n ∈   = =  j 1 =j 1  e) A được gọi là tập hút nếu E =  n A. n∈ 1.3.6. Định nghĩa Hàm cỡ Cho không gian vectơ E trên trường K và một tập con tuyệt đối lồi A của E , định nghĩa phiếm hàm Minkowski hay hàm cỡ, 11 . A : E →  ∪ {∞} bởi x A= inf {λ > 0 : x ∈ λ A} , với inf ∅ :=∞ và = λA: {λ a : a ∈ A} . 1.3.7. Bổ đề Nếu A là tập tuyệt đối lồi của K không gian vectơ E , và bao tuyến tính của A (Span( A ) := < A > - Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A - Không gian con sinh bởi A .) bằng E thì  A là một nửa chuẩn trên E . 1.3.8. Định nghĩa EB và jB Cho E là không gian lồi địa phương, kí hiệu B ( E ) là tập tất cả các tập con tuyệt đối lồi và bị chặn của E . Nếu B thuộc B ( E ) thì . B là một chuẩn trên < B >. Định nghĩa EB := (< B >, . B ). Vì B bị chặn trong E nên ánh xạ nhúng jB : EB  E là liên tục. 1.3.9. Định nghĩa không gian khả metric Không gian vectơ tôpô E gọi là khả metric nếu có metric sinh ra tôpô của E. Không gian vectơ tôpô E gọi là khả metric đầy đủ nếu có metric sinh ra tôpô của E và với metric đó E là đầy đủ. 1.3.10. Định lý 1.3.10.1. Cho E là không gian vectơ tôpô đồng thời Hausdorff. E là khả metric nếu và chỉ nếu E có một cơ sở lân cận đếm được của 0. 1.3.10.2. Không gian vectơ E có một họ đếm được các nửa chuẩn { pn }n∈I và tách (nghĩa là mọi phần tử x khác không trong E, tồn tại một nửa chuẩn pn trong họ nửa chuẩn đã cho, sao cho pn ( x ) > 0). Khi đó E là không gian vectơ tôpô lồi địa phương khả metric với metric d cảm sinh ra tôpô trên E là : 12 d ( x, y ) = max n∈ cn pn ( x − y ) với ( cn )n là dãy số dương hội tụ về 0. 1 + pn ( x − y ) 1.3.11. Lưu ý: Khi khảo sát về không gian vectơ tôpô, thường ta xét không gian đó là Hausdorff , nên ta thống nhất khi nhắc đến không gian vectơ tôpô, nghĩa là không gian vectơ tôpô đó thỏa Hausdorff. 1.3.12. Định nghĩa Không gian vectơ tôpô E gọi là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E đều hội tụ. 1.4. Không gian lồi địa phương 1.4.1. Định nghĩa Không gian vectơ tôpô (Hausdorff) E được gọi là không gian lồi địa phương nếu mỗi x thuộc E có cơ sở lân cận (của 0) gồm các tập lồi. Một tôpô τ làm cho không gian E thành không gian lồi địa phương được gọi là tôpô lồi địa phương (trên E). 1.4.2. Nhận xét Không gian lồi địa phương E khả metric nếu và chỉ nếu có một cơ sở lân cận đếm được, tuyệt đối lồi của 0. 1.4.3. Phương pháp xác định tôpô lồi địa phương Giả sử {Ρα }α∈Ι là một họ các nửa chuẩn trên không gian vectơ E. Kí hiệu ε ( Ι ) là họ các tập con hữu hạn khác rỗng của I. Với mọi M thuộc ε ( Ι ) , đặt Ρ M ( x=) maxα∈M Ρα ( x ) . Họ các tập có dạng U M ,ε ( a ) = { x ∈ E : Ρ M ( x − a ) < ε } 13 =  { x ∈ E : Ρα ( x − a ) < ε } α ∈M =  Uα ε ( a ), ∀M ∈ ε ( Ι ) , ε > 0, a ∈ E α ∈M , là cơ sở một tôpô trên E. Với tôpô này, E là không gian vectơ tôpô có một cơ sở lân cận lồi nhưng có thể không Hausdorff. Tôpô này là tôpô tương thích yếu nhất trên E để mọi nửa chuẩn {Ρα }α∈Ι liên tục, gọi là tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn {Ρα }α∈Ι . Nếu họ nửa chuẩn trên có thêm tính chất với mọi x thuộc E, x khác 0 tồn tại α ∈ Ι : Pα ( x ) > 0 ( hay ta gọi họ nửa chuẩn {Ρα }α∈Ι có tính chất tách) thì tôpô xác định theo cách trên là tôpô lồi địa phương được gọi là tôpô lồi địa phương sinh bởi họ nửa chuẩn đã cho. Nhận xét: Mọi không gian định chuẩn đều là không gian lồi địa phương. 1.4.4. Định nghĩa hệ cơ bản các lân cận của 0 của không gian lồi địa phương. Cho E lồi địa phương. Họ U các lân cận của 0 trong E được gọi là hệ cơ bản các lân cận của 0, nếu mỗi lân cận U của 0 tồn tại lân cận V thuộc U và ε > 0 sao cho εV ⊂ U. 1.4.5. Định nghĩa hệ cơ bản các nửa chuẩn Họ ( . α )α∈A các nửa chuẩn liên tục trên không gian lồi địa phương E được gọi là hệ cơ bản các nửa chuẩn, nếu các tập Uα = {x ∈ E : x α < 1} , ∀α ∈ A là hệ cơ bản các lân cận của 0. 1.4.6. Định nghĩa tập bị chặn trong không gian lồi địa phương Tập con B của không gian lồi địa phương E được gọi là tập bị chặn nếu với mỗi lân cận U của 0 tồn tại ε > 0 : ε B ⊂ U . 14 1.4.7. Định nghĩa hệ cơ bản các tập bị chặn Một hệ B các tập bị chặn của E- lồi địa phương được gọi là hệ cơ bản các tập bị chặn nếu với mỗi tập bị chặn A của E tồn tại một B thuộc B và λ > 0 : A ⊂ λ B 1.4.8. Định lý E là không gian lồi địa phương có ( . α )α∈A là hệ cơ bản các nửa chuẩn. B con E là bị chặn nếu và chỉ nếu sup x∈B x α ≤ ∞, ∀α ∈ A . 1.5. Đối ngẫu của các không gian định chuẩn, không gian Banach 1.5.1. Không gian đối ngẫu Cho X là một không gian định chuẩn trên trường K . Không gian liên hợp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X , ký hiệu X ' := L ( X , K ) là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X . Với định nghĩa trên, ta có thể kiểm chứng được rằng X ' là một không gian vectơ với các phép toán thông thường. Ngoài ra, với mỗi phần tử f thuộc X ' , đặt f = sup x∈X , x = f ( x ) thì X ' trở 1 thành một không gian định chuẩn. Hơn nữa X ' còn là không gian Banach. Vì X ' là một không gian định chuẩn nên đến lượt nó cũng có không gian liên hiệp, ký hiệu X " = ( X ' ) và ta còn gọi X " là ' không gian đối ngẫu (hay không gian liên hợp) thứ hai của X . Về mặt không gian định chuẩn, mối liên hệ giữa X và X ' không rõ ràng lắm, trừ trường hợp X có số chiều hữu hạn. Tuy nhiên, mối liên hệ giữa X và X " chặt chẽ hơn: X được xem
- Xem thêm -