Khoá luận tốt nghiệp toán Phụ thuộc nguyên

  • Số trang: 57 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 48 |
  • Lượt tải: 0
tailieuonline

Đã đăng 27372 tài liệu

Mô tả:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN TRÀN THỊ HÒNG PHÚ PHỤ THUỘC NGUYÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • C h u yên ngàn h: Đ ại số N g ư ờ i h ư ớng dẫn k h oa học Th. HÀ NỘI - 2015 s N gu yễn H u y H ư ng LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Th.s Nguyễn Huy Hưngngười đã tận tình hướng dẫn và giúp đờ em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tố Đại số và các thầy cô trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành tốt đề tài khóa luận tốt nghiệp này. Dù đã hết sức cố gắng, nhưng do đây là lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi những sai sót. Em mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của quý thây cô đê cho khóa luận tốt nghiệp được tốt hơn. Em xỉn chân thành cảm 0’n! Hci Nội, tháng 4 năm 2015 Sinh viên thực hiện Trần Thị Hồng Phú LỜI CAM ĐOAN Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn tận tình chỉ bảo của thầy giáo Th.s Nguyễn Huy Hung em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. Em xin cam đoan đề tài khóa luận tốt nghiệp là do bản thân nghiên cứu với sự hướng dẫn của thầy giáo Th.s Nguyễn Huy Hưng không hề trùng với bất cứ đề tài nào. Hci Nội, tháng 4 năm 2015 Sinh viên thực hiện Trần Thị Hồng Phú MỤC LỤC MỞ ĐẦ U.......................................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài....................................................................................................... 1 2. Đối tượng, phạm vi nghiên c ứ u ............................................................................. 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu.............................................................................................. 1 4. Mục đích nghiên cứu................................................................................................1 5. Phương pháp nghiên c ứ u ....................................................................................... 1 6. Cấu trúc khóa luận.................................................................................................. 2 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN B Ị .....................................................3 1.1 .Vành, vành giao hoán, vành có đơn vị................................................................ 3 1.1.1. Định nghĩa....................................................................................................... 3 1.1.2. Tính ch ất......................................................................................................... 4 1.2. Vành con................................................................................................................ 5 1.2.1. Định nghĩa....................................................................................................... 5 1.2.2. Nhận x ét.......................................................................................................... 5 1.2.3. Điều kiện tương đương..................................................................................5 1.2.4. Tính ch ất......................................................................................................... 5 1.3. Một số lớp vành đặc biệt...................................................................................... 6 1.3.1. Miền nguyên................................................................................................... 6 1.3.2. Trường..............................................................................................................7 1.3.3. Trường con...................................................................................................... 7 1.4. Đồng cấu vành....................................................................................................... 8 1.4.1. Định nghĩa....................................................................................................... 8 1.4.2. Tính c h ấ t............................................................................................................8 1.4.3. Định lí cơ bản của đồng cấu vành...................................................................9 1.5. Iđêan........................................................................................................................ 10 1.5.1. Định nghĩa....................................................................................................... 10 1.5.2. Điều kiện tương đương.................................................................................. 10 1.5.3. Tính c h ấ t..........................................................................................................10 1.5.4. Ví dụ..................................................................................................................11 1.6 . Vành thương........................................................................................................... 11 1.7. Một số lớp iđêan đặc biệt......................................................................................11 1.7.1. Iđêan hữu hạn sinh, iđêan chính.................................................................... 11 1.7.2. Iđêan nguyên tố, iđêan cực đ ạ i..................................................................... 12 1.7.3. Phổ của vành và tôpô Zariski.........................................................................14 1.7.4. Mệnh đ ề ...........................................................................................................15 1.7.5.Mở rộng và thu hẹp iđêan................................................................................15 1.8. Tập nhân đóng........................................................................................................16 1.8.1. Định nghĩa........................................................................................................16 1.8.2. Ví dụ................................................................................................................. 16 1.8.3. Mệnh đ ề ...........................................................................................................17 1.9. Vành các thương................................................................................................... 17 1.9.1. Xây dựng..........................................................................................................17 1.9.2. Định nghĩa........................................................................................................18 1 . 1 0 .Vành địa phương.................................................................................................. 18 1.11 .Vành nhân tử hóa................................................................................................. 19 1.12. Môđun.................................................................................................................. 19 1.13. Môđun con...........................................................................................................21 1.14. Môđun hữu hạn sinh.......................................................................................... 22 1.15. Môđun địa phương h ó a....................................................................................... 23 1.16. Môđun phẳng....................................................................................................... 24 1.17. Môđun hoàn toàn phang...................................................................................... 25 1.18. Vành địa phương đầy đủ theotôpô m - adic..................................................... 26 CHƯƠNG 2. PHỤ THUỘC NGUYÊN........................................................................ 28 2.1. Phụ thuộc nguyên..................................................................................................28 2.1.1. Định nghĩa....................................................................................................... 28 2 . 1 .2 .Ví d ụ :................................................................................................................28 2.1.3. Bổ đ ề ............................................................................................................ 29 2.1.4. Mệnh đ ề .......................................................................................................... 29 2.1.5. Hệ q u ả..............................................................................................................30 2.1.6. Hệ q u ả..............................................................................................................31 2.1.7. Ví dụ.................................................................................................................32 2.1.8. Hệ q u ả..............................................................................................................32 2.1.9. Hệ q u ả..............................................................................................................33 2.1.10. Mệnh đ ề ........................................................................................................ 33 2.1.11. Mệnh đ ề ........................................................................................................ 34 2.1.12. Mệnh đ ề ........................................................................................................ 34 2.2. Giới thiệu về định lí Going - up và Going - down............................................35 2.2.1. Bổ đ ề ................................................................................................................37 2.2.2. Chú ý ................................................................................................................38 2.2.3. Ví dụ.................................................................................................................38 2.3. Định lí Going - down và đồngcấu phang........................................................... 39 2.3.1. Định l í ..............................................................................................................39 2.3.2. Chú ý ............................................................................................................... 40 2.4. Định lí Going - up và mở rộng nguyên..............................................................40 2.4.1. Mệnh đ ề .......................................................................................................... 40 2.5. Định lí Going - down và mở rộng nguyên.........................................................44 2.5.1. Định nghĩa....................................................................................................... 44 2.5.2. Ví d ụ :...............................................................................................................44 2.5.3. Mệnh đ ề ...........................................................................................................45 2.5.4. Định nghĩa....................................................................................................... 46 2.5.5. BỔ đ ề ................................................................................................................46 2.5.6. Mệnh đ ề ...........................................................................................................47 2.5.7. Định l í ..............................................................................................................48 KẾT LUẬN...................................................................................................................... 50 MỞ ĐÀU 1. Lí do chọn đề tài Trong hình học đại số cổ điển, các đường cong được nghiên cứu bằng việc chiếu chúng lên một đường thẳng. Điều này tương tự với mối quan hệ giữa một trường số và trường hữu tỉ, hoặc đúng hơn là giữa các vành số nguyên của chúng, với đặc trưng đại số là khái niệm phụ thuộc nguyên. Với sự say mê, yêu thích của mình, cùng với sự hướng dẫn của Th.s Nguyễn Huy Hưng, em đã mạnh dạn chọn đề tài “Phụ thuộc nguyên” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp đại học cho mình. 2. Đối tượng, phạm vi nghiên cún Đối tượng : Phụ thuộc nguyên Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức có liên quan tới phụ thuộc nguyên, định lí Going - up và định lí Going - down. 3. Nhiệm vụ nghiên cún Nghiên cứu phụ thuộc nguyên. 4. Mục đích nghiên cún Chứng minh một số kết quả về phụ thuộc nguyên. Đặc biệt, chứng minh định lí của Cohen - Seidenberg (các định lí Going - up và Going - down) liên quan đến iđêan nguyên tố trong mở rộng nguyên. 5. Phương pháp nghiên cún 1 Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và tài liệu liên quan. 6. Cấu trúc khóa luận Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2. Phụ thuộc nguyên. 2 CHƯƠNG 1. MỘT SÓ KIÉN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, em trình bày một số kiến thức về Đại số nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính cho khóa luận ở chương 2. Ngoài ra, em còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. 1.1.Vành, vành giao hoán, vành có đơn vị 1.1.1. Định nghĩa Cho X là tập hợp tùy ý, X ^ 0 . Trên X trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân (•). Khi đó, X được gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i, X cùng với phép (+) là một nhóm giao hoán. ii, Phép nhân trong X có tính chất kết hợp (hay X cùng với phép nhân là nửa nhóm). iii, Phép nhân phân phối đối với phép cộng. Tức là, với các phần tử tùy ý X, y, z e X ta có: (x+ y)z = xz + yz x(y + z) = xỵ + xz Neu phép nhân trong X có tính chất giao hoán: xy = yx với Vx, y G X thì X được gọi là vành giao hoán. i, Phép nhân trong X có phần tử đơn vị thì X là vành có đơn vị. ii, X là vành giao hoán, có đơn vị nếu phép nhân trong X có tính chất giao hoán, có đơn vị. 3 Chú y: (1) Phần tử không của vành là phần tử đơn vị của phép cộng. (2) Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có), kí hiệu là 1. Ví dụ: (1) z, Q, M,c là vành giao hoán, có đon vị 1 (phép cộngvà nhâncác số thông thường). (2) Cho Z #I = jo ,ĩ,...,JZ—1},/ = {/ + J ư :V /e Z Ị . Trên 7Ln ta trang bị hai X+ y =X+ y phép toán: x.y = x+ y Khi đó, , +, •) là vành giao hoán, có đơn vị 1. 1.1.2. Tính chất i, x.0 = 0.i = 0,V x g X ii, Neu vành X có ít nhất hai phần tử thì ta có: 0 ^ 1 Chứng minh: Neu 0 = 1 thì V i e l ta có: x = x.\ = x.o = 0 nên X = {0} (mâu thuẫn giả thiết X có ít nhất hai phần tử). iii, n(xy) = x(nỵ) = (nx)y, \/n G z , Vx, y G X iv, x ( y - z ) = x z - y z (X - y)z = x z - y z 4 V, ( >’i +•••+)'„ ) x = >\x + - + y„x v >’i ’x e X ( x + y ) n = Ỳ é c n -x " - y " ~ k k=0 Vx,yeX 1.2. Vành con 7.2.Ì. £>///// nghĩa Cho X là vành giao hoán, có đơn vị, A ^ 0 , A cz X . y4 gọi làvành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành. Ví dụ: (1) z là vành con của Q , Q là vành con của R , R là vành con của c . (2) A là vành con của z khi và chỉ khi A = mZ, m e z . 1.2.2. Nhận xét Vành con X của vành giao hoán có đơn vị A cũng là vành giao hoán. 1.2.3. Điều kiện tương đương Cho X là vành giao hoán, có đơn vị, A ^ 0 , A d X . Các điều kiện sau là tương đương: i, A là vành con của X ii, 1 6 Ậ Vjc, y e A thì X - ỵ e A , xỵ e A iii, le A , Vx, ỵ G A thì i + j e Ấ , i } 'e A , - i G A . 1.2.4. Tính chất 5 i, Giao của một họ bất kì các vành con của vành X là vành con của vành X . Chú ý: Hợp của họ tùy ý các vành con của vành X chưa chắc là vành con của vành X . ii, Giả sử u Œ X , X là vành, giao của tất cả các vành con của X chứa ư là vành con của X sinh bởi ư . Kí hiệu ( U ) . 1.3. Một số lóp vành đặc biệt 1.3.1. Miền nguyên Cho X là vành giao hoán, có đơn vị. Cho a,b G X , phần tử a được gọi là ước của b nếu 3 c œ X sao cho b = a c . Cho X là một vành giao hoán, a e X ,a ^ 0 , phần tử a gọi là ước của không nếu 3b G X , b ^ 0 thỏa mãn a b - 0 ( b cũng là ước của không). Ví dụ: Z 6 =|Õ ,...,5|, phần tử không là õ. Các ước của 0 là 2,3,4. Chú ý: Neu vành X không tồn tại phần tử nào là ước của không thì vành X được gọi là vành không có ước của không. Định nghĩa: Miền nguyên là một vành giao hoán, có đơn vị 1, có ít nhất hai phần tử , không có ước của không. Ví dụ: z, Q, R, c là miền nguyên. 6 Nhận xét: Một vành giao hoán có ít nhất hai phần tử 0 ^ 1 là miền nguyên khi và chỉ khi phép nhân trong có luật giản ước, tức là: ab = a c ,a ^ 0 thì b = c hoặc ba = ca(a ^ 0 ) thì b —c. 1.3.2. Truông Phần tử u e X được gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ước của 1, tức là 3v / là đồng cấu vành và / là toàn ánh. iii, / là đẳng cấu o / là đơn cấu và / là toàn cấu. iv, Cho hai vành X , Y . Ta nói, X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu vành f : X —>Y . 1.4.2. Tính chất i, Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành ii, Cho / : X —> Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trường thì / là đồng cấu không hoặc đơn cấu. iii, Cho f : X —>Y là đồng cấu vành 8 +Neu / có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X —»y sao cho g • / = \ x thì / là đơn cấu. + Neu / có nghịch đảo phải, tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X —>Y sao cho / • g = ly thì / là toàn cấu. + Neu / có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì / là đẳng cấu iv, / : X —» Y là đồng cấu vành, A là một vành con của X . B là iđêan nguyên tố của Y thì: f ( A ) là một vành con của Y và f ~ \ B ) là một iđêan của X . Đặc biệt, cho / : X —>V là đồng cấu vành. Hạt nhân của / , kí hiệu là kerf với kerf = ị x e X : f ( x ) = 0 y } . Ảnh của đồng cấu / , kí hiệu là I m f , với /ra/ = f ( X ) = ị f ( x ) g Y I Nhận xét: © / là đơn cấu o kerf = 0y © / là toàn cấu <=>Im f = Y . 1.4.3. Định lí cơ bản của đồng cấu vành Cho / : X —>Y là đồng cấu vành, A, B tương ứng là các iđêan của X và Y sao cho: f ( A ) c z B . Khi đó, tốn tại duy nhất đồng cấu vành f : X / A —»X / B sao cho: / •PA =PB‘f với PA • X —> X / A và PB : Y —» Y Ị B là toàn cấu chính tắc. Đặc biệt, A = kerf; B ={ 0F}. Tức là / • p = f với p : X —» X / k e r f hoặc là toàn cấu chính tắc. 9 1.5. Iđêan 1.5.1. Định nghĩa Cho X là một vành, A là vành con của X . i, A gọi là iđêan trái của X nếu với \ / x e X , \ / a e A thì xa G A ii, A gọi là iđêan phải của X nếu với V* G X, \/a G A thì ax. Tập ư được gọi là tập sinh của ( U ) Đặc biệt, nếu u là hữu hạn thì ( U ) được gọi là hữu hạn sinh. 10 1.5.4. Ví dụ (1) Cho X làmột vành, {0} và X là các iđêan tầm thường của X . (2) z là vành, A là iđêan của z khi và chỉ khi A = nZ. 1.6. Vành thưo’ng Neu A là iđêan của vành X thì: i, Lớp xy + A chỉ phụ thuộc vào các lớp X + A, y + A mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn các phần tử X, y từ các lóp đó. ii, X I A cùng với hai phép toán: (x + A, ỵ + A) I—>X + y + A (x + A, ỵ + A) I—>xỵ + A là vành, gọi là vành thương của X trên A . Kí hiệu X / A. 1.7. Một số lóp iđêan đặc biệt 1.7.1. Iđêan hĩm hạn sinh, Iđêan chỉnh Cho X là vành giao hoán, A là iđêan hữu hạn sinh của X nếu tập sinh của A có hữu hạn phần tử. Giả sử u ={w, ,w2,...,w } là tập sinh của A. Khi đó: Ẩ = (u],...,ur) = {Ỵ^XịUị -.XịEX} i=1 Đặc biệt, nếu u = {a} thì A = (a) = Iax:x e x } = xA = Ax gọi là iđêan chính. 11 1.7.2. Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại Cho X là vành giao hoán có đơn vị, A là iđêan của X . Ta gọi: © A gọi là iđêan nguyên sơ nếu A ^ X và, xy g A, i ể ấ thì 3n e N * thỏa mãn y" e A . © A là iđêan nguyên tố của X nếu A ^ X và jcy G A thì l ẽ Ẩ hoặc y e A . © A là iđêan cực đại của X nếu A ^ X và nếu tồn tại iđêan B của X mà £ = > A ,ổ * A th ì B = x . Ví dụ: Vì tập hợp số nguyên là vô hạn nên vành z có vô số iđêan nguyên tố. Mệnh đề 1.7.2: Cho X là vành giao hoán, có đơn vị. i, A là iđêan nguyên tố của X o X / A là miền nguyên. ii, A là iđêan cực đại của X o X / A là một trường. Chứng minh: i, [=>] Giả sử A là iđêan nguyên tố của X thì X Ỉ A có ít nhất hai phần tử. Vì X là vành giao hoán, có đơn vị 1 nên X I A là vành giao hoán , có đơn vị 1+ A. \/x + A ,ỵ + A e X / A , mà (x + A)(y + A) = 0 + A = A ta suy ra: xy + A = A nên JC>’e A (vì x + A = A và xA = A n ê n ^ e A ). [<=]: Giả sử X / A là miền nguyên thì X I Acó ít nhất hai phần tử nên X ^ A. 12 Vxy G A ta có: xy + A = A <=> (x + A)(y + A) = A <=> X ŒA v y ] Giả sử A là iđêan cực đại của X , thì A ^ X nên X / A có ít nhất hai phần tử. Vì X là vành giao hoán, có đơn vị 1 nên X I A là vành giao hoán, có đơn vị 1+ A \/x + A ^ A ( A là phần tử không) t h ì Ể A . Xét A + (x) = ja + xy : y G X }. Ta có A + (x) là iđêan của X với A + (x) ID A, A + (je) 7^ A . Vi A là iđêan cực đại của X nên A + = X hay le ;4 + (x ). Suy ra 3a G A, x G X sao cho \ = a + xy . Suy ra a + xy + A = ì + A hay xy + A = ì + A. Do đó, (x + A)(J + A) = 1+ A . Vậy x + A có nghịch đảo 1ầ y + A nên X / A là một trường. [<=] Giả sử X I A là một trường, ta phải chứng minh A là iđêancực đại của X . Thật vậy, X I A có ít nhất hai phần tử nên A ^ X . Giả sử tồn tại iđêan B của X mà B ZDA, B =£ A thì luôn zk 0 e BI A . Suy ra, x0 + A ^ A (vì x0 <£A ) nên luôn + A & x ! A thỏa mãn: (Xq + A)(y + Æ)= 1+ Á o x0y + A = l + A Nên x0ỵ - l e A suy ra 3a G A sao cho : xữy -1 = a hay 1= x0y - a e B . Do đó, B = X . Vậy A là iđêan cực đại. 13
- Xem thêm -