Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp toán Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN D Ư Ơ N G M IN H N G Ọ C N G H IỆM T U Ầ N HOÀN C Ủ A PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H Â N TH ƯỜ N G C Ấ P H AI P H I T U Y E N K H Ó A L U Â N T Ô T N G H IÊ P Đ A I H O C Chuyên ngành: Giải tích H À N Ộ I - 20 1 5 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN D Ư Ơ N G M IN H N G Ọ C N G H IỆM T U Ầ N HOÀN CỦ A PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H Â N THƯỜNG C Ấ P H AI P H I T U Y E N K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I H Ọ C Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học T S . T R Ầ N VĂN B Ằ N G H À N Ộ I - 20 1 5 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T S . T rần Văn B ằn g - Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa luận của mình. Dồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khóa luận này. Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điền kiện thời gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho ncn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn. E m xin chân th àn h cảm ơn ! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015 Sinh vicn Dương M inh N gọc LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn tận tình của T S . T rần Văn B ằn g. Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liộu đã ghi trong phần tài liộu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề tài “ N g h i ệ m t u ầ n h o à n c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h vỉ p h â n t h ư ờ n g c ấ p h a ỉ p h ỉ t u y ế n ” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm, 2015 Sinh viên Dương M inh N gọc Mục lục Mở đầu... Chương 1. K iến th ứ c chuẩn bị 3 1 . 1 . Phương trình vi phân cấp hai 3 1 .2 . Ví dụ về lược đồ pha qua phương trình con lắc đơn 4 1.3. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha 7 1.4. Chu trình giới hạn 10 Chương 2. N ghiệm tu ần hoàn, phương pháp tru n g bình 14 2 .1 . Phương pháp cân bằng năng lượng cho chu trình giới hạn 15 2 .2 . Ước lượng bicn độ và tần số trong hộ tọa độ cực 22 2.3. Phương pháp trung bình với đường pha xoắn ốc 29 2.4. Nghiệm tuần hoàn: cân bằng điều hòa 35 2.5. Phương trình tuyến tính tương đương nhờ cân bằng điều hòa 38 Tài liệu th a m khảo 45 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân là một lý thuyết có ứng dụng quan trọng trong thực tiễn, nó xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Do vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng. Trên thực tế việc giải các phương trình vi phân không phải lúc nào cũng thực hiện được thậm chí là phương trình tuyến tính. Khi đó, chúng ta buộc phải nghiên cứu các tính chất định tính của chúng. Đối với phương trình vi phân cấp hai, có một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính chất định tính là sử dụng pha mặt phẵng (xem Chương 1). Ý tưởng chính là chuyển nghiên cứu phương trình vi phân cấp hai autonom: vồ nghicn cứu một hộ phương trình vi phân cấp một: X = y (I) Một cách tự nhicn, chúng ta mở rộng xct hộ tổng quát hơn: (II) Thực tế thì hệ (II) rất phức tạp, nhất là khi X , Y phi tuyến. Khi đó người ta thường xét hệ tuyến tính hóa tương ứng (xem (5], Chương 2). Dối với một số trường hợp hệ tuyến tính hóa không phải là một xấp xỉ K h ó a luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc tốt thì Cần phải có những phương pháp hỗ trợ khác (xcm [5], Chương 3 về các hướng hình học). Dối với một số hệ (phương trình cấp hai tương ứng) có hệ xấp xỉ tuyến tính (có phương trình xấp xỉ tuyến tính) có nghiệm tuần hoàn thì chúng có thể sử dụng phương pháp trung bình hóa để nghiên cứu. Vì vậy, cm đã mạnh dạn chọn đề tài: “N g h i ệ m t u ầ n h o à n c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h v ỉ p h â n t h ư ờ n g c ấ p h a i p h ỉ t u y ế n ”. Nội dung đề cập trong khóa luận được trình bày trong hai chương: Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp hai và khái niệm mặt phang pha, phương trình autonom trong mặt p h ẳ n g p h a , c h u t r ì n h g i ớ i h ạ n c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n ... Chương 2 trình bày về nghiệm tuần hoàn trong mặt phẳng pha X = y ,ỳ = Y ( x , y ), phương pháp trung bình, và phương pháp cân bằng điều hòa. Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc đổ đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn. 2 Chương 1 ^ ? Kiên thức chuân bị 1.1. Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng ( 1.1) F ( x ,y ,y ' ,y " ) = 0, ở đây X là biến độc lập, là hàm chưa biết và y(x) y '(x ),y " (x ) là các đạo hàm của nó. Nếu giải được phương trình (1.1) đối với y", nó có dạng y" = (1.2) Đ ịn h lý 1.1 (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm). X ét phương trình (1.2) Nếu f ( x ì y ì y')ì và liên tục trong một miền D nào đó trong M3 và nếu (xo,yo,y'0) ỉà một điểm, thuộc D thì trong một lân cậ n n à o đó c ủ a đ i ể m X = x 0 , t ồ n tại m ộ t n g h i ệ m d u y n h ấ t y = y(x) của phương trình (1.2) thỏa mẫn các điều kiện ỉ/|ữ; = 3;0 2 / 0 , y u = a:0 Vị) ■ (1.3) Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.3) được gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.2) 3 K h ó a luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là hàm y = ip(xì Ci, ơ 2), trong đó c 1 , Ơ2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn điền kiện sau: (i) Nó thỏa mãn phương trình (1.2) với mọi C i,C 2, (ii) Với mọi (x0, 2/0 j y'ị}) ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định Cị = C ị, c 2 = c {2 sao cho hàm số y = (p(x, C ị, c ị ) thỏa mãn (1.3). Hệ thức $ ( x , ?/, ƠI, c 2) — 0 xác định nghiộm tổng quát của phương trình (1.2) dưới dạng ẫn được gọi là tÁch phần tổng quát của nó. Nghiệm riêng của phương trình (1.2) là một hàm số y = (p(x, C ị, C 2 ) nhận được bằng cách cho c 1 , c 2 trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định cị\ c ị •Hệ thức &(x, y, C 2 ) = 0 được gọi là tích phân riêng. 1.2. Ví dụ về lược đồ pha qua phương trình con lắc đơn Con lắc đơn (xcm Hình 1.2) bao gồm một phần tử p khối lượng m được treo vào một điểm cố định o bởi một sợi dây hay thanh mảnh có độ dài a , dao động trong mặt phang đứng. Nếu bỏ qua ma sát và sức cản thì phương trình chuyển động của con lắc được viết là: X + uj2sin x = 0, trong đó, X là góc nghiêng của dây so với phương thẳng đứng, tốc trọng trường và LJ2 = g /a . 4 (1-4) g là gia K h ó a luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Chúng ta chuyển phương trình (1.4) về dạng có chứa dx dx dx dt dx dt dx\2 Sự biểu diễn đó của X và X như sau: (1.5) ) được gọi là sự biến đổi năng lượng. Phương trình d í 1 (Ỉ1.4D khi đó có dang là: — ( —X 2 + (jú2 s i n x = 0. dx \ 2 ) X H ình 1.1: Con lắc dơn với độ dịch chuyển góc Lấy tích phân phương trình theo biến X, X. ta được: —X 2 — UJ2 C 0 S X — c , ( 1. 6 ) trong đó, c là một hằng số tùy ý. Chú ý rằng, phương trình này biổu diễn luật bảo toàn năng lượng trong mỗi chuyển động vì nếu ta nhân 1 phương trình (1.6) với m a 2 thì ta được: —m a 2x 2 — m g a.cosx = E , trong đó, E là một hằng số tùy ý. Phương trình này có dạng: E = động năng của p + thế năng của p và mỗi giá trị ricng của E tương ứng với một chuyển động tự do ricng. 5 K h ó a luận tốt nghiệp Ta biểu diễn X Dương Minh Ngọc theo X từ (1.6) : X = ±\ /2 (C + cj2cosx)2 (1.7) Dây là một phương trình vi phân cấp 1 đối với X(t). Phương trình này không giải được qua các hàm sơ cấp cơ bản (xem [5]), nhưng ta sẽ chỉ ra rằng ta có thể nhận được các đặc tính cơ bản của nghiệm từ phương trình (1.7) mà không cần phải giải nó. Ta đưa ra một biến mới y, được xác định như sau: y. (1.8a) ± \ / 2 ( ơ + u 2c o s x Y 2 (1 .8 b ) X = Khi đó phương trình (1.7) trở thành: y = Trong hệ tọa độ Đềcac Oxy, gọi là một mặt phẳng ph a, ta vẽ họ các đường cong của (1.8b) với các giá trị khác nhau của c . Ta được Hình 1.2 Nó được gọi là lược đồ pha của bài toán, và các đường cong được gọi là các quỹ đạo pha (hay đường cong pha). Mỗi đường cong pha được xác định bởi một giá trị của c . Các đường cong pha đi qua (—7T,0) v à (7T, 0 ) , ứ n g v ớ i c = UJ2 \ c á c đ ư ờ n g b ê n t r o n g c á c đ ư ờ n g đ ó ứ n g v ớ i —CƯ2 < c < UJ2\ còn các đường bcn ngoài thì ứng với c > UJ2. Phương trình (1.8b) cho thấy sự tuần hoàn với chu kì 27r theo X và được chỉ ra trên Hình L2 Do các điểm 0 , A , B biểu diễn các trạng thái cân bằng vật lý, nên chúng được gọi là các điểm, cân bằng của lược đồ pha. 6 K h ó a luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc H ình 1.2: Lược đồ pha cho phương trìnli con lắc đơn (1.4). 1.3. Phương trình autonom trong m ặt phẳng pha Xét phương trình vi phân cấp hai tổng quát X = Ta phân biột các loại phương trình vi phân (1) Loại au ton om , ứng với f không phụ thuộc tường minh vào t; (2) Loại không au to n o m ứng với f phụ thuộc tường minh vào t. Trong chương này chúng ta chỉ đồ cập tới phương trình autonom, được cho bởi phương trình vi phân X = trong đó t f ( x , x), (1 .9 ) vắng mặt ở vế phải của phương trình. Dẻ nhận được biểu diễn trong mặt phẳng pha, ta đặt X = y ( 1 . 10 ) [ý = ỉ { x , y ) . Dây là một hệ phương trình cấp một, tương đương với (1.9). Trong to mặt phẳng pha bao gồm cặp số với các trục (x(t0), ỉ/(t0)), X và ỉ/, trạng thái tại một thời điểm các giá trị 7 X, y này, tương ứng với một K h ó a luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc điểm p trong mặt phẳng pha, cho ta một điều kiện ban đầu cho hệ phương trình vi phân cấp một (1.10), và vì vậy xác định tất cả các trạng thái, qua đó hệ thực hiện trong một chuyển động riêng.Các trạng thái tiếp theo cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t), (1.11) vạch ra một đường cong qua điổm đầu p : (x(to)ì x (to))ì gọi là đường cong pha hay quỹ đọ,0 pha. Hướng của các quỹ đạo pha nhận được từ quan hệ (1.10). Khi y > 0 thì X > 0, do đó X tăng theo thời gian; gian. Vì vậy, các hướng sẽ từ trái sang v à khi y < phải ở 0, X nửa trên giảm của th e o thờ i mặt phang p ha, và từ phải sang trái ở nửa dưới của mặt phẵng pha. Dế có được mối liên hệ giữa X và t xác định các đường cong pha, ta khử tham số t nhờ (1.10) và công thức: Ế = ÈL X dx Khi đó, phương trình vi phân xác định đường cong ịỵ_ = f ( x , y ) dx pha là: ( 1.12 ) y Một đường cong pha ricng được xác định bằng cách ycu cầu đi qua một điểm cụ thể p : (x ,y ), tương ứng với trạng thái ban đầu (.Tq, 7/o), trong đó 2/0 = y{x o). (1.13) Một hình vẽ đầy đủ về các đường cong pha bao gồm các mũi tên chỉ hướng tạo thành lược đồ đồ đó. pha. Biến thời gian t không xuất hiện trên lược K h ó a luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc Các điểm cân bằng trên lược đồ pha tương ứng với các nghiệm hằng của phương trình (1.9), hoặc của hệ tương đương (1.10). Chúng xảy ra khi đồng thời ỳ bằng 0; do đó là điểm thỏa mãn: X, y = 0, (1.14) và f ( x , 0) = 0. (a) H ìn h 1.3: (a) Điểm biểu diễn p trên ưiột đoạn của đường cong pha. (b) M ột đường cong pha đóng: p đi t.ừ A và trở về A vô hạn lần. Sau đây chúng tôi tóm tắt các tính chất chính của phương trình autonom ỉt = f ( x ì x ) ĩ được biểu diễn trong mặt phẳng pha bởi hệ phương trình [ý = f ( x , y ) (i) Phương trình cho các đường cong pha: dy _ f ( x , y ) dx (ii) Hướng của y đường cong p h a : từ trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên, từ phải sang trái ở nửa mặt phẳng dưới. (iii) Diểm, cân b ằ n g : tạ i đ iểm ( x , 0 ) với X là n g h iệ m f ( x , 0) = 0; đại diộn cho các nghiệm hằng. 9 của p h ư ơ n g trìn h K h ó a luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc (iv) Giao điểm với trục x: các đường cong pha cắt trục X theo các góc vuông, ngoại trừ tại các điểm cân bằng (xem (ii)). (v) Thời gian chuyển: thời gian chuyển của điểm biểu diễn từ điểm A đến điểm D dọc theo một đường cong pha cho bởi tích phân đường (1.17) (vi) Dường cong pha k ín : các đường cong pha kín biểu diễn các nghiệm tuần hoàn theo thời gian. (v ii) Họ các n g h iệ m riên g c ủ a X = tuần /(;x ,x ) h o à n theo thời g i a n : giả sử X ị ( t ) là một nghiệm k h i đ ó , c á c n g h i ệ m X i ( t — t i ) , v ớ i tị b ấ t kỳ, cho cùng một đường cong pha và cùng điểm biểu diễn. 1.4. Chu trình giới hạn Xét hệ autonom X = f(x,x), tr o n g đó / là m ộ t h à m phi tu y ế n , v à / có d ạ n g f ( x , x ) = - h { x , x ) - g{x), khi đó phương trình vi phân, trở thành X + h(x, x) + g(x ) = 10 0 (1.18) K h ó a luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc và hệ phương trình cấp một tương đương xác định các đường cong pha là X= y (1.19) ị i l = —h(x, y) - g(x). Dường tròn trong Hình L4 là một đường cong cô lập kín : ’cô lập’ được hiểu theo nghĩa là không có đường cong kín nào khác trong lân cận của nó. Một đường cong cô lập kín được gọi là một chu trình giới hạn, khi tồn tại, nó luôn luôn là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của hệ vật lý. Chu trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến. Các chu trình giới hạn trong Hình L4 là một chu trình giới hạn ổn định, vì nếu hệ được nhiễu từ trạng thái dao động trên chu trình giới hạn thì nó sẽ sang một đường cong pha mới. H ìn h 1 .4 : Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định X2 + y 2 = 1 sinh bởi hệ X + ( x 2 + X2 — l ) x + X = 0. Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các đường cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình 11 K h ó a luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc giới hạn. Một ví dụ quan trọng về một chu trình giới hạn ổn định là đồng hồ quả lắc. Năng lượng được lưu trữ trong quả lắc luôn bù lại năng lượng trung bình bị thất thoát của hệ, điều này sẽ giúp con lắc đung đưa. Sự cân bằng được tự động thiết lập giữa tỉ lộ năng lượng cung cấp và năng lượng mất mát do ma sát trong trường hợp có chu trình giới hạn ổn định, đảm bảo tính tuần hoàn ngặt, và tự khôi phục từ nhiễu đột ngột bất kì . Phương trình có dạng X = f(x), là hệ bảo toàn, không thể dẫn tới một chu trình giới hạn. Bằng cách sử dụng tọa độ lược đồ pha của phương trình vi phân dạng X + h(:X, x) + g(x) = 0 được thể hiện rõ ràng hơn. Gọi r, 9 là tọa độ cực, trong đó X — r r 2 = .T2 + ỉ/2, cos ỡ , y = r sin ớ, ta có: tan tì = —. X Dạo hàm các phương trình này theo biến thời gian t, 2r r = 2xx + 2y ỳ , 9 sec2 9 xy — xy — Từ đó, ta có ( 1.2 0 ) r = Tiếp theo, chúng ta sõ thay X = r cos ớ, X = 12 y = r sin 9 K h ó a luận tốt nghiệp Dương Minh Ngọc và ỳ (nhận được từ phương trình vi phân ban đầu) vào các biểu thức trên để nhận được hệ phương trình vi phân cấp một trong hệ tọa độ cực. 13 Chương 2 Nghiệm tuần hoàn, phương pháp trung bình Xét phương trình dạng X + eh(x, x) = 0 trong đó £ là nhỏ. Phương trình như vậy hiểu theo một phương diộn nào đó gần với phương trình điều hòa đơn giản X + X = 0 có lược đồ pha gần với các đường tròn có tâm ở gốc tọa độ. Diều đó cho thấy ta có thể xây dựng các nghiệm xấp xỉ: các đường cong gần tròn khi £ đủ nhỏ. Tuy nhiên, phương trình ban đầu nói chung sẽ không có tâm ở gốc tọa độ. Nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác khác nhau một chút trcn một chu trình đơn, nhưng sự khác nhau này có thể khiến các đường cong pha không còn đúng; ngoại trừ các đường đặc biột như chu trình giới hạn. Lược đồ pha nói chung sõ bao gồm các đường xoắn ốc biến đổi chậm, có thể gồm các chu trình giới hạn, và tất cả các đường đều gần tròn. Chúng tôi chỉ ra một vài phương pháp ước lượng bán kính của chu trình giới hạn và tìm tâm. Mỏ rộng của các phương pháp này cho phép ta xác định tính ổn định và chu kì của chu trình giới hạn, dạng của 14