Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp toán Dãy số và các bài toán liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHỎ ATOÁN NINH TH Ị HẠNH DẢY SO VA CÀC BAI TOAN LIEN QUAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 ’ KHÒATOÁN* NINH TH Ị HẠNH DẢY SO VẢ CAC BẢI TOÀN LIEN QUAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP • • ĐẠI • HỌC • Chuyên ngành: Giải tích Ngưòi hưóng dẫn khoa học ThS. PHÙNG ĐỨC THẮNG HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Phùng Đức Thắng người đã trục tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán- Truông Đại học sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện giúp em hoàn thành tốt bài khoá luận này. Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, vì điều kiện thời gian do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cún khoa học cho nên khoá luận không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy em kính mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn. Em xỉn chân thành cảm ơn ! Hà nội, thảng 05 năm 2015 Sinh viên Ninh Thị Hạnh LỜI CAM ĐOAN Khoá luận này là kết quả của bản thân trong quá trình học tập và nghiên cứu.Bên cạnh đó em nhận được sự quan tâm và giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Ths. Phùng Đức Thắng. Trong khi nghiên cún khoá luận này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định két quả đề tài “Dãy số và các bài toán liên quan ” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà nội, thảng 05 năm 2015 Sinh viên Ninh Thị Hạnh MỤC LỤC MỞ ĐẦU.................................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài............................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên CÚ11 .......................................................................................1 3. Nhiệm vụ nghiên CÚ01...................................................................................... 1 4. Đối tương và phạm vi nghiên cứu.................................................................. 1 5. Phương pháp nghiên cún..............................................................................1 Chương 1. CẤP SỐ CỘNG, CẤP SÓ NHÂN, CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY............................................................................................................... 2 1.1. Khái niệm cơ b ả n ........................................................................................ 2 1.1.1. Cấp số cộng......................................................................................... 2 1.1.2. Cắp số nhân.......................................................................................... 2 1.1.3. Cồng thức tống quát của dãy.............................................................. 3 1.1.4. Cách xác định dãy s ố .......................................................................... 4 ỉ. ỉ.5 Dãy so đơn điệu tăng........................................................................ 4 1.1.6 Dãy số bị chặn..................................................................................... 4 1. Ì.7• Dãy số tuần hoàn........................................................................ 4 ỉ. 1.8• Dãy số dừng......................................................................................... 5 1 .2 .Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhânđể xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số đặc biệt...............................................................................5 1.3. Các bài toán về cấp số cộng, cấp sốnhân............................................. 22 Chương 2. GIỚI HẠN DÃY................................................................................32 2.1. Khái niệm cơ b ả n ...................................................................................... 32 2.2. Một số phương pháp tính giới hạn dãy....................................................33 2.2.1. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của dãy, chuyến qua giới hạn.......................................................................................................... 33 2.2.2. Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp................................................ 39 2.2.3. Phương pháp sử dụng thế ỉượng giác...............................................42 2.3.4 Phương pháp so sảnh giới hạn dãy....................................................46 2.3.5 Phương pháp sử dụng tỉnh đơn điệu của hàm số đế tìm giới hạn dãy........................................................................................................... 48 Chương 3. CÁC DẠNG BÀI TOÁN KHÁC VỀ DÃY S Ố ............................. 52 3.1 Bài toán về số học của dãy s ố ................................................................... 52 3.2 ứ ng dụng dãy số vào bài toán tính tổng các số hạng...............................57 3.3 ứ ng dụng dãy số vào bài toán phép đếm ................................................. 58 3.4 Bài toán về bất đẳng thức dãy s ố ..............................................................60 KẾT LUẬN........................................................................................................... 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 64 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán THPT. Các bài toán liên quan đến dãy số thường là những bài toán khó, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh, thành phố, quốc gia, khu vực và quốc tế. Với mục tiêu là hệ thống lại một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số, chứng minh sự tồn tại giới hạn của dãy số, tìm giới hạn của dãy số, ứng dụng của dãy số trong việc giải một số bài toán liên quan thông qua các ví dụ minh hoạ và tổng quát hoá các kết quả đon giản. Được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thạc sỹ Phùng Đức Thắng, tôi đã chọn đề tài:“Dãy số và các bài toán liên quan 2. Mục đích nghiên cứu Cung cấp cho học sinh, sinh viên các kiến thức về dãy số, ban đầu là dãy số đơn giản như cấp số cộng, cấp số nhân,định nghĩa giới hạn của dãy số và một số phương pháp để giải các bài toán liên quan đến dãy số như: tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm giới hạn dãy số và các dạng bài toán khác về dãy số. Qua đó củng cố kiến thức về dãy số cho học sinh, sinh viên. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nhắc lại kiến thức cơ bản về dãy số. Giúp học sinh nắm chắc khái niệm cấp số cộng, cấp số nhân, định nghĩa giới hạn của dãy số, từ đó vận dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số. 4. Đối tương và phạm vi nghiên cửu + Đối tượng nghiên cứu: sinh viên và học sinh THPT + Phạm vi nghiên cứu: dãy số và các bài toán liên quan. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các khái niệm, định nghĩa, tính chất cơ bản về dãy số, một số phương pháp giải quyết các bài toán có liên quan đến dãy số. 1 ChưoTig 1 CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN, CÔNG THỨC TỐNG QUÁT CỦA DÃY 1.1. Khái niệm cơ bản 1.1.1. Cấp số cộng Định nghĩa l.c ấ p số cộng là một dãy số(hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d , nghĩa là: (un) là cấp số cộng <£=> V/Î > 2 ,un = +d Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Định lý 1.1 .Nếu cấp số cộng (un)có số hạng đầưUị và công sai d thì số hạng tong quát иnđược xác định bởi công thức’. un = U\ + (n - Ý)d ,(Vn > 2). Định lý 1.2.Trong một cap so cộng, mỏi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: uk = k> 2. Định lý 1.3 .Cho cấp số cộng(un), đặtS;ì =Uị+u2+ ... + un.Khi đó: ( ịịị + 4 > [ У М 2 Ф 2 1.1.2. Cấp số nhân Định nghĩa 2.cấp số nhân là một dãy số(hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đúng ngay trước nó và một số không đổi q , nghĩa là: (w;ỉ) là cấp số nhân < ^ > \ / n > 2 , u n = u n_J. q Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. 2 Định lý 1.4 .Neu cấp số nhân có so hạng đầu и ị và công bội q thì so hạng tông quátunđược xác định bởi công thức : un = W|.CỊn~], Định lý 1.5.7Vỡflg > 2. cấp số nhân, bình phương của môi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề trước nó, nghĩa là\ uk ~ uk-\ 'Uk+]Д —2 hay Iu k I = у / и к_ л . u k+x . Định lý 1.6 .Cho cấp số nhân (w;ỉ ) với công bội q ф 1 Đ ătSn = щ + и 2+ ... + un. Khi đó Sn = —-------\-q * Chú V :Neuq = 1 thì cấp số nhân là: 5n =MpM1...,Mp... Khi đó Sa = П.Щ. 1.1.3.Công thức tổng quát của dãy Định nghĩa l.Mỗi hàm số и xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn(gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u: N* —> R n |-> m(w) Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là số hạng của dãy số. Uị = и ( l ) được g ọ i là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu). un = w(и )được gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát của dãy). Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển: Mỗi hàm số и xác định trên tập M = với mỗi m GN*được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u x, là số hạng đầu, umlà số hạng cuối. 3 , . . . , Urn. Trong đó Uị 1.1.4. Cách xác định dãy số Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát. ^2_Ị VD: Cho dãy số ịun) với u n = -------. v nỉ n 3n + \ Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay cho dãy số bằng quy nạp). VD : Cho dãy số(w ) : \ 1 v n) \ u = 2 u n_x+ \ , \ / n > 2. 1.1.5. Dãy số đơn điệu tăng Dãy số{un) được gọi là dãy đơn điệu tăng nếuun+ì >ип,\/п> 1. Dãy số{un) được gọi là dãy đơn điệu không giảm nếuw,ỉ+1 > un, Vw > 1. Dãy số (un) được gọi là dãy đơn điệu giảm nếu Un+Ị <ип,\/п > 1. Dãy số (un) được gọi là dãy đơn điệu không tăng nếu Un+Ị \ . 1.1.6. Dãy số bị chặn Dãy số (w„ ) được gọi là bị chặn khi và chỉ khi tồn tại M > Osao cho: \un\ < м у п G N*. Dãy số {un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu: 3 M & Ш:ип < M ,V w > 1. Dãy số{un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu: Зга g ! : m ;ỉ > m , \ / n > 1 . 1.1.5. Dãy số tuần hoàn Dãy số (un) được gọi là dãy số tuần hoàn với chu kì k nếu: 4 1.1.6. Dãy số dừng Dãy sò{un) được gọi là dãy số dừng nếu: 3 n 0 G N : u n = c, \ f n > n0 Trong đó с là hằng số, gọi là hằng số dùng. 1.2. Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số đặc biệt. Ví dụ 1.1. Xác định cô n g thức tổng quát của dãy (un) cho bởi : «, = —2 = 3w„_! —l,Vw > 2. Giải: Trong bài toán trên ta gặp khó khăn vì dãy (u„) không phải cấp số cộng hay cấp số nhân để ta áp dụng trụ'c tiếp công thức tìm số hạng tổng quát. Nếu không có “ 1 xuất hiện ở vế trái thì ta thấy dãy {un) là một cấp số nhân với công bội Я - 3. Ta sẽ tìm cách làm mất số nhân. Ta có: un - k = 3(w7ỉ_j —k)<^>un = 3w7ỉ_j + к - 3k => —\ = k —3 k o k = — 2 => un - — 2 =3 Ọ u n -\ 2 У Đặt: 5 và chuyển dãy (w„ ) về cấp V, = -Vп = и п ------2 л = 3 v „ _ ,,w > 2 . Dãy (v,,) là một cấp số nhân với công bội => = V, y . 3"-' и = V + — = — .3"“' + — n n 2 2 2 ~2^п ~ ^ Vậy công thức tổng quát của dãy(M„) là:wn Bài toán 1.1. Xác định công thứctổng quát của dãy {un) cho í \ \ Uị ~ x° í \ K ): _ . w . 0 (a,b*0 . \u 7 ^ /2 = a.u /I—1 + b,■V« > 2 v Giải: Trường họp 1: а = 1 thì dãy (w;ỉ) là cấp số cộngcó công sai d —b Nên un ~ u\ + ( n - \ ) d = x0 + ( n - \ ) b . Trường hợp 2 \ а ф \ Ta đặt un —k = a (w;ỉ_, - к ) <^> un = a u n_x + k - a k . Ta phân tích b b b = k - a k o k = ------ => 0 = \-a \-a ab a-\ Khi đỏ:4n =ciMn_] + Đặt:. v_ vn = u.n b a-\ ab 1- = *0 + -Ị a-\ b a-\ а -1 >11 H — -— = a a-\ b b а ab а —1 = Я-V i Dãy (vn) là cấp số nhân có công bội q = a 6 + а -1 bởi: / => ^ n = ^ n~ì = Suyra: u \ b XQ+ au -- 1 l y V .a n- 1 b _( b \ b _ un = vn - ^ - = x0 + - ^ - L a ---- íl- = x0.a a -1 V a -ly a -1 1 + z>------ — a -1 Vậy công thức tổng quát của dãy ịun) là: /ỉ-1 1 un = x 0.an~i + b —------- ,Vft > 1. a -1 Ví dụ 1.2. Xác định công thức tổng quát của dãy (í/7ỉ) cho bởi: u, =2 = 2.un_] + 3n —1, V/ĩ > 2. Giải: Để tìm công thức tổng quát của dãy số trên ta tìm cách làm mất 3 /2 - 1 để chuyển dãy số về cấp số nhân. Đặt un —(an + z?) = 2 —a ( n —l) —b~ị => un =2un_} + an + b - 2 ^ a ( n - \ ) + b^ => 3 w -l = íưỉ + z ? - 2 [ ữ ( f t- l) + z?]. Cho 77 = \,n = 2 ta có hê í <2 —b = 2 { }-b = 5 í;ỉ + 3/ĩ + 5 —2[w;ỉ_j + 3(n —1^ + 5 j. Đặt: va = u n +3n + 5 í Vj = 10 => 1 K = 2V p V/^ 2- Dãy (v7ỉ) là cấp số nhân với công bội q - 2 vn = V, . qìl 1 = 1 0 . 2 n 1, \ / n > 1. Suy ra un = vn —3n —5=10.2" 1 —3n —5 1 Vậy công thức tổng quát của dãy(vn) là: u =10.2" 1- 3 n - 5 , \ / n > \ . Ví dụ 1.3. Tìm công thức tổng quát của dãy (un) cho bởi: Giải: Xét / (rc) = 2n + 1 là đa thức bậc 1đối với n . Đ ặ t u n - g ( n ) = uíĩ_ì - g ( n - \ ) . Suy ra / ( n) = g (n) - g (n - 1). trong đó g (ft) là đa thức bậc 2 đối với n có hệ số tự do bằng 0 . Từ đó, ta có g ( n ) = a n 2 + b n . Dãy ( vn) là cấp số nhân với công bội q = \. => vn =Vị.qn~ì = Vj = -1 ,V/7 > 1. Suy ra un =vn +{n2 + 2n} = n 2 +2n —\,\/n> 1. Vậy công thức tổng quát của dãy (ỉ/n) là: un - n + 2 w -l,V w > l. Bài toán 1.2. Xác định công thức tổng quát của dãy(M„) cho bởi: 8 u ị = x {) W : un = a.un_x + f { n \ \ f n > 2 . Trong đó / (n) là một đa thức bậc к theo n . Giải: Đặt: un - g ( n ) = a \ u n_ , - g ( n - 1)]. f(n) = g ( n ) - a . g ( n - 1). (*) Ta v iết với f ( n ) cũng là một đa thức theo n. Khi đó: u„ = a.un_t + g ( n ) - a . g ( n - \ ) => M„ - g (и) = я [íí„_, - g (n - 1 )]. ™ <л\ — \ v\ = u\ - ê ( ì ) = x0 - s ( ì ) Đặt: v „ = n . - g ( l ) => 1 v'' '° v„ =a.vn_], \ f n > 2 . Dãy (v7ỉ) là cấp số nhân với công bội q = a. => vn = v\4'~' =[jc 0 - g ( l ) ] í ỉ " 'l,V w > l. Suy ra un = v „ + g (« ) = [x „ -g (l)]a " 4 + g ( n ) , V n > \ . Vậy công thức tổng quát của dãy (un) là: u n = [ x<,“ g ( 1) ] ữ ""' + g { n ) , \ / n > ì . Như vậy trong lời giải bài toán trên chỉ cần xác định được đa thức g(n) là bài toán được giải quyết trọn vẹn. Đa thức g (n ) được xác định như sau: Nếu а = 1 thì g (?z) —a . g ( n — l ) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g (я) một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tụ' do của g ( n ), mà f ( n ) là đa thức bậc k nên để có (*) ta chọn g (и ) là đa thức bậc к + 1, có hệ số tự do bằng 0. Khi đó ta được hệ gồm к + 1 phương trình, giải hệ này ta tìm được g (я) . Neu а ф 1 thì g (гс) - a.g (п - 1) là một đa thức cùng bậc với g (я) nên ta 9 chọn g (ft) là đa thức b ậ c k , trong đẳng thức (*), ta cho k + 1 giá trị n bất k ì , ta được hệ gồm k + 1 phương trình, giải hệ này ta tìm được g (ft). Ví dụ 1.4. Tìm công thức tổng quát của dãy (w„) cho bởi: Giải: Ta đưa dãy (un) về cấp số nhân với công bội q - 3 bằng cách viết un —k .2” = 3 ịu n_x —k .2” ]^j=>un = 3un_x + k.2'1—3k.2n 1 => 2" = k .2n —3k.2n~]. Cho n = 2 thì 4 = 4&-6& =>k = -2. + 2.2” = 3 ị u n_} + 2.2 /ỉ_1 Khi đó Đăt: V k=5 = un + 2.2" => í K = 3 . V i ,V h >2. Dãy (vn) là cấp số nhân với công bội <7 = 3. z=>vn = v xjqn- x = 5 3 n- \ V n > 1. Suy ra ^ = v„ - 2.2" = 5 .3 "-' - 2.2". Vậy công thức tổng quát của dãy [un) là: un —5.3 ,ỉ_1 —2 .2 ”, \ f n > 1. Bài toán 1.3. Xác định công thức tổng quát của dãy {un) cho bởi: Giải: Ta thấy cách giải của bài toán then chốt ở chỗ ta phân tích được biểu thức 10 b.an, sau đó chuyển dãy(«;ỉ) về cấp số nhân là bài toán được giải xong. Ta xét các trường hợp sau Trường họp 1: a = cc thì un = cc.un_{ + b . a n. Ta phân tích: a n —njOLn - a ( n - \ ) a n~]. Khi đó: un = a .u n_ị + b n a n - b a ( n - \ ) a n~x =>w7i - b n a n = a ị u lì_ỉ - b { n - \ ) a n~xJ. Dãy (v;!) là cấp số nhân với công bội q = cc. => vn = v ưqn~ì = (jt0 - b ấ ) a nA,Vft >1. Suy ra: un = vn + b n a n = (x 0 —b a ) a n 1+ b n a n = X{)a n~x + b ( n — > 1. Vậy công thức tổng quát của dãy (í/7ỉ) là: un = x 0a n~] + b { n —\ ) a n > 1. Trường hợp 2 : a ^ cc. Ta phân tích a n = k . a n —a k a n~]. ^> a = k a - a k ^ > a = k ( a - a ) ^ > k = a . a-a Khi đó: un =a.un_] + b a n - a . u n_x + b k a n - a b k a n 1 => un - b k a n = a ị u n_] - b k a n~'Ỵ 11 v] = X —b k a Đặt: vn = u n - b k a n vn = a v n_ „ \ / n > 2 . Dãy (vn) là cấp số nhân với công bội q = a. vn = vr q n~] = ( x Q- b k a ) a n' \ \ f n > 1 => Suy ra un = v n + b k a n = (x 0 —b k a ^ a n~] + b k a ỉl ba a /7 — 1 . b c c n j H----- —— a , V« > 1. a —a Vậy công thức tổng quát của dãy (w„) là: í ba u. = a n -\ ba a —a ■ a \V n > \ Ví dụ 1.5. Tìm công thức tổng quát của dãy ịun) cho bởi: u, = - 2 k ): un = 5 + 2.3" - 6.7" + 1 2 , V n > 2. Giải: Đặt un ~ ( k 3 n + I . T + ữ ) = 5[íí„_, - { k 3 n~' +l.T~' + a ) \ => M„ =5«„_, +(*3" +1.1" +a)-5(k.3"~' +1.7"-' +a => K„ = 5«„_, + (*3" - 5k.3"~') + (/.7" - 5/.7"~') + a - Suy ra : 12 = —5 a + a a = —3. 2.3" = £.3" -5 & .3 "“1. Cho ra = 1 => Ả: = —3. -6 .7 “ = -5l.7"~' +1.7'. Cho n = 1 => / = -2 1 . => M„ + 3.3" + 2 1 .7" + 3 = 5(m„_, + 3.3"-' + 2 1 .7"-' + 3 ). 12 „ , Đ ặt v „ = « „ + 3 . 3 " + 2 1 . 7 " + 3 ^ fv, = 157 1 Dãy(vn)là cấp số nhân với công bộiq =5. => v„ = V| .q"~' = 157.5'1"1, Vrc > 1. Suy ra u n = vn - (3 .3 " + 2 1 .7 ” + 3 ) = 1 5 7 .5 "-' - (3 .3 " + 2 1 .7 " + 3 ). Vậy công thức tổng quát của đăy(«„) là: = 1 5 7 .5 " -' - ( 3 . 3 " + 2 1 .7 " + 3 ) , V « > 1. Ví dụ 1.6. Tìm công thức tổng quát của dãy («„) cho bởi: Giải: Từ giả thiết ta có: un —5un_} + 6 u n_2 = 0 Đặt un =a.x[l +b.x 2 ^>un_x =a.x"~i +b.X2 ~ \u n_0 =a.x[l~2 + b x =>2 (x ,2 —5x, + ó) + b.x 2 2 ^ 2 —5x 2 + ó) = 0 Ta chọn Xj, x 2 là nghiệm của phương trình X2 - 5x + 6 = 0 x2 = 3 Suy ra W77 —ữ .2 /7 + b . y \ ịun =a.2° +b.3° ị a + b = un = -1 fỐZ= —6 Mặt khác ị => <; <^> < = <3 .2 ' + z?.3' [2a + 3b = Uị=3 [£> = 5 Vậy công thức tổng quát của dãy (un) là: un = —6 .2 ” + 5.3”, \ /n > 0. 13 Bài toán 1.4. Xác định công thức tổng quát của dãy {un) cho bởi: / \ 1Mo = ứ0>W1= ữ1 ’ 1 un - aun + bun_2 = 0 , V7? > 2 . Trong đó a, b e ]R và <22 - 4 b > 0 , ta làm như sau: Giải: Gọi Xị,x2 là nghiệm của phương trình X2 - a x + b = 0 (đây là đặc trưng của dãy). Nếu X, ^ x 2 thì un - k . x \ + /jc", trong đó k,l là nghiệm của hệ I k+l =u X ịk Neu xt = x 2 = a + x2l = M ị . thì un =(kn + ỉ')an~ì, trong đó k,ỉỉầ nghiệm của hệ [/ = a.u0 \k + ỉ = uì. Ví dụ 1.7. Tìm công thức tổng quát của dãy («;ỉ) cho bởi: u 0 = \,Uị = 2 k ) :j «»+1= 4«„+M„_1,V n > l. Giải: (Ta áp dụng kết quả bài toán 1.4) Xét phương trình đặc trung: X - 4x -1 = 0 <^> X, =2 + \Í5 x2 = 2 - yj5 Đặt un =k.{2 + V5 j +/.^2 —>/5^ . Do u0 = 1,íếj = 2 nên &,/ là nghiệm của hệ 'k + ỉ = l J ị2 + - j 5 y + ị 2 - - j 5 ỳ = 2 ^ k = l = 2' Vậy công thức tổng quát của dãy (un) là: u n = — " 2 (2 + n/5)" + ( 2 - > / 5 )" 14 , V n > 0.