Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp toán Cơ sở Schauder trong không gian Banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: C ơ SỞ SCHAUDER TRONG KHÔNG GIAN BANACH Người hướng dẫn khoa học: TS. BÙI KIÊN CƯỜNG Sinh viên thực hiện: NGUYẺN Tổ: Giải tích, Khoa: Toán thị hải LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Bùi Kiên Cường - người thầy đã luôn quan tâm, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình tôi học tập và thực hiện khóa luận này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích đã trang bị cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt quãng thời gian 4 năm tôi học đại học. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến bố mẹ, các em và những người thân trong đại gia đình của tôi, những người đã luôn bên cạnh, động viên và tiếp thêm sức mạnh cho tôi để tôi có thế học tập và hoàn thành khóa luận một cách tốt nhất. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Hải LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Bùi Kiên Cường. Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn. Những phần sử dụng tài liệu tham khảo trong khóa luận đã được nêu rõ trong phần Tài liệu tham khảo. Các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực, nếu sai tôi xin chịu mọi kỷ luật của khoa và nhà trường đề ra. Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả nào của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Hải Mục lục • • ... 1 2 1 K h ôn g gian tiền Hilbert 12 2 . . . K h ô n s gian Hilbert 1.2.3. Các ví dụ 1 .2 .4 . M ộ t số tính chất cơ b ả n ..................................................................................................................... Chương 2. Cơ sở Schauder trong không gian Banach 10 12 12 2.1 Sự tồn tại của cơ sở và ví dụ .. 2 2 Cơ sở Schauder và đối ngẫu 21 2.3. Các cơ sở vô điều kiện 32 2.4. Các ví dụ của không gian không có cơ sở vô điều kiện 45 Kết luận 53 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán học cơ bản và toán học ứng dụng. Nội dung của nó rất phong phú, đa dạng. Do kiến thức trên lớp với lượng thời gian eo hẹp nên khó có thể đi sâu nghiên cứu một vấn đề nào đó của giải tích hàm. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo - TS. Bùi Kiên Cường, tôi xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết của mình về đề tài: "Cơ sở Schauder trong không gian Banach". 2. Mục đích nghiên cứu Quá trình thực hiện đề tài đã giúp tôi bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm, đặc biệt là tìm hiểu sâu hơn về cơ sở Schauder, cơ sở vô điều kiện trong không gian Banach tổng quát. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật những tính chất đặc trưng của cơ sở Schauder, cơ sở vô điều kiện trong không gian Banach. 4. Phương pháp nghiên cứu Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên cứu lý thuyết, phương pháp giải tích hàm. 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm 2 chương • Kiến thức chuẩn bị. • Cơ sở Schauder trong không gian Banach. Trong suốt quá trình nghiên cứu, được thầy giáo - TS. Bùi Kiên Cường chỉ bảo, giúp đỡ tận tình, tôi đã hoàn thành khóa luận này. Một lần nữa cho tôi được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy. Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên trong khoa đóng góp ý kiến để đề tài này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Hải 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Banach 1.1.1. Không gian định chuẩn Đinh nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian véc tơ trên trường số K (K là trường số thực M hoặc trường số phức c ). M ột ánh xạ ||-|| : X —>M được gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn 4 tiên đề: 1. 11*11 ^ 0 với mọi X € X. 2. ||x|| = 0 khi và chỉ khi X = 0. 3. ||Ằx|| = |Ằ| ||x|| với mọi vô hướng X, với mọi X G X. 4. ||x + y|| ^ ||x|| + \\ỵ\\ với mọi x ,y G X. Không gian véc tơ X cùng với chuẩn 11*11 trong nó, được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn hay không gian định chuẩn. Kí hiệu (X,|| •II) hay đơn giản là X. Đinh nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian định chuẩn. a) M ột dãy các véc tơ {x,;} trong X hội tụ tới X G X nếu lim ||x,; —J t || = 0, 3 nghĩa là, nếu: Ve > 0 , 3N > 0, V/2 ^ N , ||x/z —x|| < £. Trong trường hợp này, ta viết x n —>• X hoặc lim x n = X. n —>°° b) M ột dãy các véc tơ {xn } trong X là dãy Cauchy nếu lim ||x„ —x m 11=0, m , n —>oo nghĩa là, nếu: Ve > 0 .3N > 0, Vra, n ^ N , 11x n x m II 0. b) BỊ chặn trên nếu sup \\xn\\ < c) Chuẩn hóa nếu ||x„|| = 1,V/2. Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian véc tơ X và II*11Ị, ||-||2 là hai chuẩn trên X. Hai chuẩn II‘III và II•II2 gọi là tương đương nếu tồn tại hai số dương oc, p sao cho cc||jc|| I ^ 11*112 ^ p IMIlJ Vx G X . 1.1.2. Không gian Banach và một số ví dụ Ví dụ 1.1.1. Cho / là hàm giá trị phức xác định trên tập E c i Khi đó với 1 ^ p < oo, đặt Ư(E)=ịf:E -> c : Ị \f ( x ) \ pd x < o o ị . Đây là không gian Banach với chuẩn \\f\\Lp = yJ \ f ( x ) \ pd x j Ví dụ 1.1.2. Đặt C(E) là tập gồm các phiếm hàm đi từ tập E vào tập số phức c. Nếu E là tập compact trong M thì mọi phiếm hàm liên tục trên E đều bị chặn. Trong trường hợp này, C(E) là không gian Banach với chuẩn sup: Ví dụ 1.1.3. Với 1 ^ p < c \cn\p < >. Đây là một không gian Banach với chuẩn Ví dụ 1.1.4. Cho không gian véc tơ /2. Đối với vectơ bất kì X = (xn) G ỉ2 ta đặt Khi đó /2 là một không gian Banach. 1.1.3. M ột số khái niệm và định lý cơ bản Đỉnh lý 1.1.1. (Bất đẳng thức Holder) oo Nếu / £ ư (E) và g £ ư ' (E) thì f g £ L ỵ (E) và Với 1 < p < oo , bất đắng thức này tương đương với Up / l/p' Đinh nghĩa 1.1.5. Không gian tuyến tính định chuẩn X gọi là không gian tách được nếu tồn tại một tập đếm được trù mật trong X. Ví dụ 1.1.5. Với 1 ^ p < thì các không gian lp, Ư ( E ) là tách được. Đinh nghĩa 1.1.6. Cho {xn} là một dãy tùy ý trong không gian định chuẩn a) Bao tuyến tính hữu hạn của dãy } là tập hợp tất cả các tô hợp tuyến tính hữu hạn các phần tử của dãy {x„}. K í hiệu span {x„} = anx n, \/N > 0, V« 1 , a 2 i-.-iCin e K > . b) Bao đóng tuyến tính của {x/z} là bao đóng của bao tuyến tính hữu hạn VCI được k í hiệu là span {xn}. c) {*«} là đầy trong X nếu Jpãĩĩ{xn} = X hay span {xn} trù mật trong X. Đinh nghĩa 1.1.7. (Toán tử tuyến tính) Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y trên trường K. M ột ánh xạ A : X —> Y được gọi là toán tử. Nếu Y = K thì toán tử A : X —> K là một phiếm hàm trên X. A là tuyến tính nếu A (cix + by) = aAx + bAy, \/a,b G K.Vx.y G X A là đơn ánh hoặc 1-1 nếu Ax = Ay ^ X = y. Ảnh hay miền giá trị của A là Rang (A) = A (X) = {Ax : Jt GX }. A là toàn ánh hoặc lên nếu Rang (A) = Y . Ánh xạ tuyến tính A được gọi là bị chặn, nếu tồntại hằng số M > 0 sao cho \\Ax\\ < M ||x|| Chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn (chuẩn của toán tử) A là: ||A|| = sup ||T jc||. 11*11= 1 A được gọi là bảo toàn chuẩn hoặc đắng cự nếu 11AJC11F = IIjc||x , Vx € X. 6 Đinh nghĩa 1.1.8. (Không gian liên hợp) Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K. Ta gọi không gian X* các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X. Đinh lý 1.1.2. Không gian liên hợp X* của không gian định chuẩn X là không gian Bcmcich vói chuẩn = sup |(jc,jc*)|. IMIx = i Định lý 1.1.3. Nếu không gian liên hợp X * của không gian định chuẩn X là tách được, thì không gian X là tách được. Đỉnh nghĩa 1.1.9. Khống gian liên hợp của không gian X* gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X, kí hiệu X **. Định lý sau đây nêu lên mối liên hệ giữa không gian định chuẩn X và không gian liên hợp thứ hai X ** của không gian X. Định lý 1.1.4. Tồn tại một ánh xạ đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai X ** của không gian X. Đinh nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ nếu x = x * \ Nhận x é t: Không gian phản xạ là không gian Banach. Sự hội tụ theo chuẩn trong không gian định chuẩn X còn được gọi là hội tụ mạnh. Ngoài ra, còn một số khái niệm về hội tụ, chẳng hạn: Định nghĩa 1.1.11. Giả sử X là không gian Banach. 1. Dãy {x/z} các phần tử của X hội tụ yếu tới điểm X € X nếu : Vx* G X*, lim (xn,x*) = {x,x* ). /z— Khi đó ta viết xn X yếu. 7 2. Dãy {x*} các phiếm hàm của X* hội tụ yếu* tới điểm X*G X* nếu Vx G X . lim (jc*,jc) = (x*,x) • ' n—>0° Trong trường hợp này ta viết X* —>X* yếu* . Chú ý rằng nếu X là không gian phản xạ thì X = X**, do đó X* X* yếu trong X* khi và chỉ khi X* —>X* yếu* trong X*. 1.2. Không gian Hilbert 1.2.1. Không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.2.1. Cho H là không gian tuyến tính trên trường K (K là trường số thực R hoặc trường số phức c ). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian H mọi ánh xạ từ tích Descartes H X H vào trường K, kí hiệu (•,•), thỏa mãn các tiên đề: ỉ. \/x,y € H, (y,x) = (x,ỵ). 2. Vx,y,z G H, (x + y,z) = (x,z) + (y,z>. 3. Vx,y € H, Va € p, {(Xx,y) = cc (jt,y). 4. Vx € H, (x,x) > 0 nếu X Ỷ 0 (kí hiệu 6 là phần tử không), = 0 nếu X = 6. Số (jt,y) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ X và y. Cặp (//,(■,■)) được gọi là không gian tiền Hilbert. Từ định nghĩa ta thấy rằng nếu K là thực thì tích vô hướng (•, •) chính là một dạng song tuyến tính xác định dương trên H . Khi đó H được gọi là không gian tiền Hilbert thực. Định lý 1.2.1. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó 11*11 = y /(x ,x ) xác định một chuẩn trên H. 8 Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với chuẩn trên. 1.2.2. Không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert, xem như không gian định chuẩn, có thế đầy đủ hoặc không đầy đủ. Đinh nghĩa 1.2.2. Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert. Cũng tương tự như trường hợp không gian tiền Hilbert, với trường M thì ta có không gian Hilbert thực. 1.2.3. Các ví dụ Ví dụ 1.2.1. R n là không gian Hilbert thực với tích vô hướng: (x,y) = í * ơ i trong đó x = (xl ì x 2 ĩ...ĩx n) , y = (? 1 , y 2ì Ỉ=1 GM". Ví dụ 1.2.2. Kí hiệu / 2 là không gian vectơ các dãy số phức X = (xn) sao oo cho chuỗi số £ \xn\2 hội tụ. \/x = (jtn) G /2, Vy = (yn) G /2, đ ặ t: n —1 oo (x ơ ) = E x "ỹ" n= 1 thì không gian vectơ /2 cùng với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert. Ví dụ 1.2.3. Ư (E ) là không gian Hilbert khi p = 2 và tích vô hướng được xác định b ở i: (/>«} = / f( x ) g ( x ) d x . E Khi p Ỷ 2 thì ư (E) không là không gian Hilbert. 9 1.2.4. Một số tính chất cơ bản Định lý 1.2.2. Cho H là một không gian Hilbert VÖXJG H. Ta có các bất đẳng thức sau: 1. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ) I(je, v) I ^ 11*11 ||y||. 2. 11*11= sup |(x,y)|. IMI = 1 3. (Đẳng thức hình bình hành) \ịx + y\\2 + \ ị x - y \\ 2 = 2 (ị\x \ị2 + \ịy\ị2) . Mệnh đề 1.2.1. Hai phần tử X, y trong không gian tiền Hilbert H được gọi là trực giao nếu (x, ỳ) = 0, kí hiệu xJ_v. Mệnh đề 1.2.2. M ột tập hợp s = {x/}ỉGr trong không gian tiền Hilbert H được gọi là hệ trực giao nếu các phần tử thuộc s trực giao với nhau từng đôi một. Nếu mọi phần tử của hệ trực giao s có chuẩn bằng 1 thì s được gọi là hệ trực chuẩn. Đinh lý 1.2.3. (Đẳng thức Pythagore) Nếu {X1 ,X2 , ...,xn} là một hệ trực giao trong H thì L x' i=ỉ n = L IN i= 1 Định lý 1.2.4. Giả sử {x„}/ỉ€7- là một hệ trực giao trong không gian Hilbert oo oo ~ ~ 2 H. Khi đó, chuôi £ xn hội tụ khi và chỉ khi chuôi £ \\xn\\ hội tụ n= 1 n= 1 và E xn n= 1 = I \\Xn\\. n= I Chú ý: Nếu {e„}“=1 là hệ trực chuẩn ta có oo n= 1 10 Mệnh đề 1.2.3. H ệ trực chuẩn {en}™= I trong không gian Hilbert được gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu không gian con sinh bởi hệ này là trù mật trong H. Ví dụ 1.2.4. Các ví dụ: 1. Tập hợp { ( 1 ,0 ,0 ) , (0 ,1 ,0 ), (0 ,0 ,1 )} là một cơ sở trực chuẩn trong 2. Dãy { f n : n £ z } với f n (x) = exp(2;rsinx) tạo thành hệ cơ sở trực giao cho không gian các hàm phức L 2 ([0,1]). Mệnh đề 1.2.4. Cho H là một không gian Hilbert. Dãy điểm {x/z} trong H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử X trong H nếu với mọi y G H ta có lim ịx„,y) = ịx,y). « —>•00 K í hiệu: x„ —> X. Định lý 1.2.5. Cho không gian Hilbert H. Dãy điểm {x/z} c H hội tụ yếu khi và chỉ khi dãy đó thỏa mãn các điều kiện: 1. Dãy điểm {x/z} bị chặn theo chuẩn trong không gian H. 2. Dãy số (xn,y) (.n = 1,2 ,...) hội tụ với mỗi y thuộc tập trù mật khắp nơi trong không gian H. 11 Chương 2 Cơ sở Schauder trong không gian Banach 2.1. Sự tồn tại của cơ sở và ví dụ Định nghĩa 2.1.1. M ột dãy {*/7}~=1 trong không gian Banach X được gọi là cơ sở Schauder của X nếu với mọi X G X có duy nhất một dãy các oo vô hướng {a,l}™=ì sao cho X = £ anxn- Dãy {x/z}^=1 mà là một cơ sở n= 1 Schauder của bao tuyến tính đóng của nó thì được gọi là một dãy cơ sở. Trong đây chúng ta sẽ không quan tâm tới bất kỳ kiểu cơ sở nào trong không gian Banach vô hạn chiều bên cạnh cơ sở Schauder. Vì vậy chúng ta sẽ thường xuyên bỏ qua từ Schauder. Bên cạnh cơ sở Schauder ta sẽ chỉ bắt gặp cơ sở đại số trong không gian hữu hạn chiều. Điều này không gây nên bất kỳ sự nhầm lẫn nào, bởi các khái niệm số liên quan trực tiếp tới cơ sở Schauder (giống như hằng số cơ sở được định nghĩa ở dưới) đều có ý nghĩa và cũng sẽ được sử dụng trong phạm vi của cơ sở đại số trong các không gian hữu hạn chiều. Rõ ràng, một không gian X với một cơ sở Schauder {x„}~=1 có thể được xem như một không gian dãy bởi đồng nhất co mỗi X = £ a n xn với duy nhất dãy các hệ số (« 1 , Ũ2 , « 3 ,...). Điều quan trọng n= 1 12 là phải chú ý rằng để mô tả một cơ sở Schauder ta phải xác định các véctơ cơ sở không chỉ như một tập mà còn là một dãy được sắp. Cho ( X ,11-11) là không gian Banach với một cơ sở {x„}~=1 . Với mỗi °° n X = L anx n trong X , biểu thức 11\x\11 = sup £ ciịXi là hữu hạn. Rõ ràng, n=\ n i=\ 111*111 là một chuẩn trên X và ||x|| ^ |||:c|||, Vjc € X . Ta cũng thấy rằng X cũng là đủ đối với chuẩn 111•111 và như vậy, bằng nguyên lý định lý ánh xạ mở, chuẩn 11*11 và 111*111 là tương đương. Những chú ý này chứng minh cho mệnh đề sau đây. Mệnh đề 2.1.1. Cho (X, II•II) là không gian Banach với một cơ sở Schauder K i : =1. Khi đó với mọi n G N*, các phép chiếu pn : X — y X xác định bởi Pn I £ cijXj ) = L aix i là các toán tử tuyến tính bị chặn và sup \\pn II 'í n ì 00 dãy sô < ã ix i f là không giảm. Mọi cơ sở Schauder {x/z};7= I là đơn { i=i ^ J n=1 điệu đối với chuẩn 11|jt| 11 = sup ||P/|Jc|| đã được sử dụng ở trên. Thật vậy, |Pttx|| I = sup \\pmpnx\ sup ||pmx|| ^ \ \\x\ ỉ \ : x n = en- \ •••) ^ c đối với cơ sở này là = (\im a n)xi + (a 1 —\im a n)x2 + (ci2 — \imcin)x 2 H----n n n 14 Ví dụ quan trọng của cơ sở Schauder là hệ Haar trong Lp (0,1), với 1 ^ p < oo. Định nghĩa 2.1.2. Dãy các hàm { ỵ n (/)} “_! xấc định bởi X\ (0 — 1 và với * = 0 , 1 ,2 , .. ., / = 1,2,...,2*. l,n ế u t e [{21 - 2 )2 ~ k~ l ,(21 - l)-2 ~ k~ 1] . 1, n ế u t e [ ( 2 1 - \) 2 ~ k~ l ,2l-2~k~ l] . 0, nếu trái lại. được gọi là hệ Haar. Hệ Haar (theo thứ tự đã cho) là một cơ sở đơn điệu (nhưng rõ ràng không chuẩn hóa) của Lp (0,1) với mọi 1 < p < oo . Thật vậy, vì bao tuyến tính của hệ Haar gồm tất cả các hàm đặc trưng của các khoảng nhị nguyên (tức là, các khoảng có dạng [l-2~k, (/ + \ )-2~k] ), dễ thấy (Ui) được thỏa mãn. Ta chỉ cần kiểm tra (ii) thỏa mãn với K bằng 1. Cho { ß /} ° l1 là dãy các n VÔ hướng bất kì, cho n là số nguyên và cho f ( t ) = £ ữ-Xi{0 i= 1 g{t) = n+ 1 L a -Xi{0* Sự khác biệt duy nhất giữa / và g là trên một vài khoảng nhị i= 1 nguyên /, khi / có giá trị hằng b, thì g có giá trị b + a n + 1 trên nửa thứ nhất của I và b — an+\ trên nửa thứ hai. Khi đó, với mọi p ^ 1, \b + an+\\p + \ b - a n+]\p ^ 2 \ b \ p.,tã nhận được 11/11 ^ ||g||. Bằng cách lấy tích phân hệ Haar hay chính xác hơn bằng cách đặt: (Ọị( 0 - 1 ; t 1 chúng ta thu được cơ sở nổi tiếng và quan trọng khác. Dãy {Ọn}n=i được gọi là hệ Schauder. Hệ Schauder là một cơ sở đơn điệu của c ( 0 , 1). Thật vậy, bao tuyến tính của {

0. Khi đó tồn tại X € X với ||x|| = 1 sao cho ||y|| < (1 + e) IIV+ Ằx|| với mọi y G B và với mọi vô hướng Ằ . Chứng minh. Giả sử e < 1. Lấy {yi}™=l là các phần tử có chuẩn 1 trong B sao cho Vy € B mà \\y\\ = 1, tồn tại ỉ để \\y —J/II < e /2 . Lấy 16 là