Tài liệu Khóa luận tốt nghiệp toán các dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp, ngoài sự cố gắng của bản thân em đã nhận được sự khích lệ, quan tâm rất nhiều của nhà trường, thầy cô, gia đình và bạn bè. Em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy, cô giáo trường Đại học Quảng Bình đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho chúng em trong thời gian học tập tại trường. Đặt biệt, em xin chân thành cảm ơn ThS.Trần Hồng Nga – người trực tiếp hướng dẫn em trong quá trình thực hiện đề tài. Cảm ơn tập thể lớp Cao đẳng Sư phạm Toán K54, bạn bè và gia đình đã luôn động viên em trong học tập cũng như cuộc sống. Xin trân trọng cảm ơn! Người thực hiện Lê Thị Minh Hằng 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ........................................................................................... 1 PHẦN 1. MỞ ĐẦU................................................................................... 3 I. Lí do chọn đề tài .................................................................................... 3 IV. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................ 4 V. Phương pháp nghiên cứu...................................................................... 4 VI. Bố cục khóa luận tốt nghiệp ............................................................... 4 PHẦN 2. NỘI DUNG ............................................................................... 5 Chương I - KIẾN THỨC CƠ SỞ.............................................................. 5 1.1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ...................................................... 5 1.1.1. Khái niệm ........................................................................................ 5 1.1.3. Dấu hiệu nhận biết đường tròn ngoại tiếp tam giác......................... 6 1.2. Tứ giác nội tiếp .................................................................................. 7 1.2.1. Khái niệm........................................................................................ 7 Chương II - CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC, TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN ....................................... 9 2.1. Các dạng bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác.......................... 9 2.2. Các dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp ..................................... 18 PHẦN 3. KẾT LUẬN............................................................................. 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... 59 2 PHẦN 1. MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài Mục tiêu của việc dạy môn Toán là dạy cho học sinh các kiến thức Toán, cách giải bài tập, rèn luyện kỹ năng giải toán.Từ đó, yêu cầu được đặt ra là giáo viên phải dạy cho học sinh phương pháp giải, chứng minh các dạng toán. Chương trình Toán trung học cơ sở ở hai lĩnh vực đại số và hình học có rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Đặc biệt, phần hình học có rất nhiều dạng toán như chứng minh các tam giác đồng dạng, chứng minh các tam giác bằng nhau, bài toán quỹ tích và dựng hình và các dạng toán về chứng minh đa giác nội tiếp,....Các bài toán về chứng minh đa giác nội tiếp rất phong phú, phạm vi nghiên cứu rất rộng. Và đó là một trong những dạng toán được quan tâm nhiều trong các kỳ thi học kỳ, kỳ thi chuyển cấp và trong các kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi ở cấp trung học cơ sở. Tuy nhiên, Sách giáo khoa chưa có sự hệ thống các phương pháp chứng minh một cách cụ thể dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh đa giác nội tiếp một đường tròn. Việc cung cấp cho học sinh phương pháp giải các dạng bài toán về đa giác nội tiếp là cần thiết. Để giải các bài toán này đòi hỏi học sinh không những cần nắm chắc lý thuyết mà còn phải biết vận dụng kiến thức một cách hợp lý, linh hoạt. Để giúp cho học sinh thấy được điều thiết thực của Toán học đồng thời tạo nên sự thích thú cho học sinh trong quá trình giải toán. Đó là lí do em chọn đề tài “ Các dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp”. Đề tài đã hệ thống lại các dạng toán về chứng minh đa giác nội tiếp ở bậc trung học cơ sở, cụ thể là các dạng toán chứng minh tam giác nội tiếp, tứ giác nội tiếp một đường tròn thông qua nghiên cứu đề tài “ Các dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp”. 3 II. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của khóa luận này là giới thiệu cho học sinh các dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp để học sinh hệ thống được các bài toán và giải toán tốt hơn. Để học sinh thấy được tính thiết thực cũng như các ứng dụng trong chứng minh đa giác nội tiếp nói riêng và của Toán học nói chung trong cuộc sống. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy khi giải các bài toán hình học. III. Đối tượng nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu các dạng toán về chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác, tứ giác nội tiếp một đường tròn. IV. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các phần hình học ở chương trình lớp 6, 7, 8, 9. V. Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình nghiên cứu em sử dụng các phương pháp sau: - Nghiên cứu lý luận: Em đã đọc sách, phân tích đối chiếu các tài liệu Toán học, lý luận dạy học môn Toán, các tài liệu hướng dẫn giảng dạy. - Phương pháp rút kinh nghiệm:Tổng kết kinh nghiệm của bản thân,bạn bè,anh chị để hệ thống lại kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức khóa luận. VI. Bố cục khóa luận tốt nghiệp Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa luận được chia làm 2 chương. Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở liên quan đến các khái niệm, tính chất, định lý về đường tròn ngoại tiếp tam giác và tứ giác nội tiếp đường tròn. 4 Chương 2 trình bày các dạng toán chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác và tứ giác nội tiếp đường tròn. PHẦN 2. NỘI DUNG Chương I - KIẾN THỨC CƠ SỞ Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đườn tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác này là đa giác nội tiếp đường tròn. Ở trường trung học cơ sở ta đã được học về đường tròn ngoại tiếp tam giác và tứ giác nội tiếp đường tròn. 1.1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác 1.1.1. Khái niệm A O B C Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Khi đó, tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn. 1.1.2. Định lí 1.1.2.1. Định lí 1 Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng cạnh huyền. 1.1.2.2. Định lí 2 5 Trong một tam giác có một đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông. 1.1.2.3. Định lí 3 Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh: Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực ứng với cạnh AB và AC của ∆ABC. Ta sẽ chứng minh O cũng nằm trên đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác đó và OA = OB = OC. A O B C Vì O nằm trên đường trung trực b của đoạn thẳng AC nên: OA = OC (1) Vì O nằm trên đường trung trực c của đoạn thẳng AB nên: OA = OB (2) Từ (1) và (2) suy ra: OB = OC (= OA) Do đó điểm O nằm trên đường trung trực của cạnh BC (theo tính chất đường trung trực). Vậy ba đường trung trực của ∆ABC cùng đi qua điểm O và ta có: OA = OB = OC. 1.1.3. Dấu hiệu nhận biết đường tròn ngoại tiếp tam giác - Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường trung trực. - Tam giác có ba đỉnh cách đều một điểm (ta xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. 6 1.2. Tứ giác nội tiếp 1.2.1. Khái niệm B A C O D Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (Gọi tắt là tứ giác nội tiếp). 1.2.2. Định lí 1.2.2.1. Định lí 1 Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800. 1.2.2.2. Định lí 2 Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. 1.2.3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp -Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800. -Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. -Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn tứ giác nội tiếp. 7 -Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α. 8 Chương II - CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC, TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN 2.1. Các dạng bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác 2.1.1. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác a)Phương pháp A O B C - Xét bài toán: Giả sử tam giác ABC có: OA = OB = OC = r (như hình vẽ). Khi đó, tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. b)Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và O là trung điểm của cạnh huyền BC. Hãy xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: B O A C Ta có: AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Suy ra, OA = OB = OC = BC.Tức là A, B, C cách đều điểm O. Nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 9 Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm O của cạnh huyền BC. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC là đường kính của đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC vuông. Giải: A B C O Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Khi đó, OA = OB = OC (1) Mặt khác, BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là trung điểm của BC. Do đó, OB = OC = BC (2) Từ (1) và (2) suy ra, OA = OB = OC = BC. Vậy tam giác ABC vuông tại A. Ví dụ 3: (Đề thi tốt nghiệp THCS Huế - 2003) Cho hình vuông ABCD , M là một điểm trên cạnh BC (M khác B và C).Đường tròn đường kính AM cắt đoạn thẳng BD tại B và N. a) Chứng minh tam giác ANM là tam giác vuông cân. b) Chứng minh N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC. Giải: 10 B C M 45 I O N D A a) Ta có: = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AM) = (Góc nội tiếp cùng chắn cung AN) Mặt khác, ABCD là hình vuông nên BD là phân giác của = 450 => . = 450 ANM vuông tại N, có = 450 nên là tam giác vuông cân tại N. Vậy tam giác ANM vuông cân. b) ANM vuông cân tại N => NA = NM. BD là trung trực của AC (ABCD là hình vuông) N thuộc BD => NA = NC => NA = NM = NC Do đó, N là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AMC. 2.1.2. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn a)Phương pháp Để chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta thực hiện theo các bước sau đây: Bước 1: Chọn ra ba điểm, chẳng hạn A1,A2,A3 tạo thành một tam giác nội tiếp. Bước 2: Tiếp tục chọn ra ba điểm khác nhau, chẳng hạn A1,A2,A4 tạo thành một tam giác nội tiếp. 11 Cứ tiếp tục như trên, ta được các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đều chung nhau 2 điểm A1,A2. Do đó, các đường tròn đó phải trùng nhau suy ra A1, A2, A3,...,An cùng thuộc một đường tròn. b)Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh A, B, C cùng thuộc một đường tròn? Giải: C O A B Gọi O là trung điểm của AC => BO là đường trung tuyến. Mà ABC vuông tại B. Suy ra, OA = OB = OC = . Suy ra, tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AC. Vậy ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M ,N ,P theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,BC,CA. Chứng mih các điểm B, M, P, C cùng thuộc một đường tròn? Giải: A M P O C B N 12 BMC vuông tại M (M là trung điểm của AB) Ta có: M thuộc đường tròn đường kính BC (1) Lại có: BPC vuông tại P (M là trung điểm của AB) P thuộc đường tròn đường kính BC (2) Từ (1) và (2) suy ra: B, M, P, C cùng thuộc đường tròn tâm N, đường kính BC. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH tại D. Chứng minh B, C thuộc đường tròn đường kính AD. Giải: A B O H D C ACD vuông tại C nên C thuộc đường tròn đường kính AD. Xét ACD và ABD, ta có: AB = AC ( ABC cân tại A) Cạnh AD chung = Vậy (AH là đường cao cũng là đường phân giác) ACD = ABD (c.g.c) Suy ra tam giác ABD vuông tại B nên B thuộc đường tròn đường kính AD. Do đó, B và C thuộc đường tròn đường kính AD. 13 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông ở B. Gọi D là điểm đối xứng của B qua AC. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn? Giải: B C O A D Theo đề bài, D đối xứng với B qua AC nên: DA = BA, DC = BC. Xét ADC và ABC, có: AC chung DA = BA, DC = BC ADC = = ABC (c.c.c) = 900 Gọi O là trung điểm của AC. Tương tự ví dụ 1 ta sẽ chứng minh được: OA = OB = OC = OD Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. 2.1.3. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định a) Phương pháp Để chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định rõ các yếu tố cố định đã biết. 14 Bước 2: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác liên quan đến đường thẳng cố định. Bước 3: Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác di chuyển trên đường thẳng cố định. b)Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A,B cố định. Một đường thẳng quay quanh A cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng cố định? Giải: B C A I O M N Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. Gọi C là giao điểm của AB và (I). Khi đó: PA/(I)= Suy ra: . = . = PA/(O) (không đổi vì A, (O) cố định) = Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thực trên ta có C cố định. Suy ra I thuộc đường trung trực của BC. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R) có: AB = AC = R a) Tính độ dài của BC theo R. b) M là điểm đi động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D. Chứng tỏ tích AM.AD luôn luôn là hằng số. 15 c) Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên một đường cố định khi M di động trên cung nhỏ AC. Giải: A B M x O I C D a) Ta có: AB = AC cung AB = cung AC = 900 cung BAC = 1800 Do đó, BC là một đường kính của đường tròn (O; R): BC = 2R. b) Vì ∆ACM ∾ ∆ACD = AC2 = 2R2, không đổi. Vậy AM.AD = 2R2. c) Hệ thức: AM.AD = AC2 chứng tỏ AC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (I) ngoại tiếp MCD IC vuông góc với AC. AC cố định do đó I nằm trên đường thẳng Cx vuông góc với AC tại C. 16 Ví dụ 3: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi (CD không trùng với AB). Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn (O) tại B. Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q. a) Chứng minh rằng tứ giác CPQD là một tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD c) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADP. Chứng minh E lưu động trên một đường cố định khi đường kính CD thay đổi . A C O P D J I Q d B d` E Giải: a) Ta có: Mà: + 1 + = 1 1 = 900 1 = 1800 đó, tứ giác CPQD nội tiếp. b) Gọi J là giao điểm của AI và CD. Ta có: 2 + 1 = 900 + 1 = 900 17 = 2 Mà: = 2 + + 1 1 = 900 = 900 = 900 Vậy AI vuông góc với CD. nên E là tâm của đường tròn ngoại c) E là tâm đường tròn ngoại tiếp tiếp tứ giác CPDQ. E là giao điểm của các đường trung trực của CD và PQ. EO vuông góc vói CD; EI vuông góc với PQ. Tứ giác AOEI là một hình bình hành. Ta có: IE vuông góc với (d) và IE = AO = R. Do đó, khi CD quay quanh O, I chạy trên tiếp tuyến (d) của (O) tại điểm cố định B thì E chạy trên đường thẳng (d’) một đoạn bằng R và nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là (d) và không chứa (O). 2.2. Các dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp 2.2.1. Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 a) Phương pháp: 18 D A C B Nếu tứ giác ABCD có: + = 1800 hoặc = 1800 suy ra tứ giác ABCD nội tiếp một đường + tròn. D A C B Đặc biệt hóa bài toán: Tứ giác ABCD có: Suy ra: + = 900 = = 900 + 900 = 1800 Vậy tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. b) Một số ví dụ Ví dụ 1:.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lướt tại M, N, P. Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn. Giải: A N E P F H - B O 19 C D M Xét tứ giác CEHD ta có : = 900 (Vì BE là đường cao) = 900 (Vì AD là đường cao) => Mà + và = 900 + 900 = 1800 là hai góc đối nhau của tứ giác CEHD nên tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn. Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F, tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. Giải: X I F M H E K A Ta có: O = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => = 900 (Vì hai góc kề bù) 20 B