Tài liệu Khóa luận tốt nghiệp phương trình bậc ba và một số tính chất

--- 1 --- Lêi nãi ®Çu Ph-¬ng tr×nh vµ hµm sè bËc ba trong ch-¬ng tr×nh phæ th«ng chØ xÐt d-íi gãc ®é gi¶i tÝch, nh- t×m nghiÖm, kh¶o s¸t hµm sè, t×m cùc trÞ,...Tuy nhiªn, Ýt ai quan t©m ®Õn viÖc cã hay kh«ng mèi kiªn hÖ gi÷a ph-¬ng tr×nh bËc ba víi c¸c yÕu tè trong h×nh häc vµ l-îng gi¸c. Dùa trªn nhËn xÐt, mét tam gi¸c hoµn toµn ®-îc x¸c ®Þnh bëi ba yÕu tè ®éc lËp (ch¼ng h¹n ba c¹nh cña tam gi¸c), ba yÕu tè nµy cã thÓ ®-îc coi lµ ba nghiÖm cña mét ph-¬ng tr×nh bËc ba t-¬ng øng. Khãa luËn sÏ xoay quanh vÊn ®Ò x©y dùng ph-¬ng tr×nh bËc ba, tõ ®ã khai th¸c c¸c tÝnh chÊt cña ph-¬ng tr×nh bËc ba ®Ó chøng minh c¸c hÖ thøc trong h×nh häc vµ l-îng gi¸c. Khãa luËn ®-îc chia lµm ba ch-¬ng, lêi më ®Çu vµ kÕt luËn. 1. Ch-¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ. Tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc ®Ó lµm râ ch-¬ng 2 vµ ch-¬ng 3. 2. Ch-¬ng 2. Ph-¬ng tr×nh bËc ba vµ c¸c tÝnh chÊt nghiÖm. Tr×nh bµy c«ng thøc nghiÖm vµ tÝnh chÊt nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba . 3. Ch-¬ng 3. X©y dùng ph-¬ng tr×nh bËc ba víi nghiÖm lµ c¸c yÕu tè h×nh häc vµ l-îng gi¸c Ch-¬ng nµy lµ kÕt qu¶ chÝnh cña khãa luËn gåm viÖc x©y dùng ph-¬ng tr×nh bËc ba víi nghiÖm lµ c¸c yÕu tè h×nh häc vµ l-îng gi¸c, tõ ®ã s¸ng t¹o ra nhiÒu hÖ thøc míi, còng nh- øng dông vµo viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n phøc t¹p mµ c¸ch gi¶i sÏ gän gµng vµ logic h¬n nhiÒu so víi c¸c c¸ch gi¶i th«ng th-êng. MÆc dï ®· cã nhiÒu cè g¾ng nh-ng ch¾c ch¾n sÏ kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt v× trong mét thêi gian t-¬ng ®èi ng¾n, víi nh÷ng h¹n chÕ nhÊt Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 2 --- ®Þnh vÒ mÆc kiÕn thøc còng nh- kinh nghiÖm vÒ mÆc thùc tiÔn. RÊt mong quý thÇy c« cïng c¸c b¹n sinh viªn ®ãng gãp ý kiÕn. Nh©n ®©y, em xin ch©n thµnh c¶m ¬n Th.S Phan ThÞ Qu¶n, ng-êi ®· tËn t×nh chØ b¶o, h-íng dÉn em trong suèt qu¸ tr×nh nghiªn cøu ®Ò tµi nµy. Em còng xin c¶m ¬n c¸c c¸c thÇy c« gi¸o trong khoa to¸n ®· truyÒn thô kiÕn thøc vµ gióp ®ì em trong suèt bèn n¨m häc tËp, t¹o ®iÒu kiÖn cho em hoµn thµnh luËn v¨n nµy. §µ N½ng, ngµy 10 th¸ng 6 n¨m 2008 SVTH NguyÔn Thµnh HiÓn Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 3 --- Ch-¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n §Þnh lý 1.1. (VÒ hÖ thøc l-îng trong tam gi¸c th-êng) Gäi c1 = AH vµ a1 = CH lµ h×nh chiÕu cña c¸c c¹nh AB = c vµ BC = a trªn c¹nh AC = b. Khi ®ã 1. NÕu gãc A nhän th× a2 = b2 + c2 − 2bc1 . 2. NÕu gãc A tï th× a2 = b2 + c2 − 2bc1 §Þnh lý 1.2. (§Þnh lý Stewart) NÕu ®-êng th¼ng AD = d thuéc tam gi¸c ABC chia c¹nh BC thµnh nh÷ng ®o¹n BD = m vµ CD = n th× d2 a = b2 m + c2 n − amn. HÖ qu¶ 1.1.1. §-êng trung tuyÕn cña tam gi¸c øng gãc A ®-îc tÝnh theo c«ng thøc p 2(b2 + c2 ) − a2 . ma = 2 HÖ qu¶ 1.1.2. Ph©n gi¸c cña gãc A ®-îc tÝnh theo c«ng thøc p bc.p.(p − a) . la = b+c 2 Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 4 --- HÖ qu¶ 1.1.3. Kho¶ng c¸ch tõ träng t©m G ®Õn t©m vßng trßn ngo¹i tiÕp O ®-îc tÝnh theo c«ng thøc 1p 2 OG = 9R − (a2 + b2 + c2 ). 3 HÖ qu¶ 1.1.4. Kho¶ng c¸ch tõ trùc t©m H ®Õn t©m vßng trßn néi tiÕpI ®-îc tÝnh theo c«ng thøc a3 + b3 + c3 + abc HI = 4R − a+b+c 2 2 HÖ qu¶ 1.1.5. Kho¶ng c¸ch tõ träng t©m G ®Õn t©m I cña ®-êng trßn néi tiÕp ®-îc tÝnh theo c«ng thøc IG = 1p 2 9r − 3p2 + 2(a2 + b2 + c2 ). 3 HÖ qu¶ 1.1.6. Kho¶ng c¸ch tõ t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp O ®Õn t©m ®-êng trßn néi tiÕp I ®-îc tÝnh theo c«ng thøc OI 2 = R2 − abc . a+b+c §Þnh lý 1.3. (§Þnh lý hµm sè sin)Trong tam gi¸c ABC ta lu«n cã b c a = = = 2R. sin A sin B sin C §Þnh lý 1.4. (§Þnh lý hµm sè cosin)Trong tam gi¸c ABC ta lu«n cã a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. b2 = c2 + a2 − 2ca cos B. c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. §Þnh lý 1.5. (§Þnh lý hµm sè tang )Trong tam gi¸c ABC ta lu«n cã A−B a−b A−B C 2 = .tg . = tg A+B a+b 2 2 tg 2 tg Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 5 --- 1.2 C¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch DiÖn tÝch cña tam gi¸c ABC ®-îc tÝnh theo c¸c c«ng thøc sau 1 1 1 S = .a.ha = .b.hb = .c.hc 2 2 2 1 1 abc 1 = bc. sin A = ca. sin B = ab. sin C = 2 2 2 4R p = p.(p − a).(p − b).(p − c) = ra .(p − a) = rb .(p − b) = rc .(p − c) √ a.rb .rc . = r.ra .rb .rc = rb + rc 1.3 B¸n kÝnh ®-êng trßn néi tiÕp, bµng tiÕp tam gi¸c §-êng trßn néi tiÕp, bµng tiÕp cña tam gi¸c ®-îc tÝnh theo c¸c c«ng thøc sau r = (p − a).tg ra = p.tg B C A = (p − b).tg = (p − c)tg 2 2 2 s S A = = 2 p−a p.(p − b).(p − c) . p−a 1.4 C¸c bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè quan träng §Þnh lý 1.6. (BÊt ®¼ng thøc CauChy ) Víi mçi sè thùc d-¬ng a1, a2 , . . . , an ta cã bÊt ®¼ng thøc √ a1 + a2 + . . . + an > n a1.a2 . . . an. n §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a1 = a2 = . . . = an HÖ qu¶ 1.4.1. (BÊt d¼ng thøc CauChy suy réng) Víi c¸c sè thøc d-¬ng a1 , a2, . . . , an vµ x1 , x2 , . . . , xn lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m cã tæng b»ng 1, ta cã a1x1 + a2 x2 + . . . + an xn > ax1 1 .ax2 2 . . . . axnn . Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 6 --- §Þnh lý 1.7. (BÊt ®¼ng thøcBunhiacopxkii) Víi hai d·y sè thùc tïy ý a1, a2 , . . . , an vµ b1 , b2 , . . . bn ta cã lu«n bÊt ®¼ng thøc (a21 + a22 + . . . + a2n ).(b21 + b22 + . . . + b2n ) > (a1b1 + a2b2 + . . . + an bn )2. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi (a1, a2 , . . . , an ) vµ (b1, b2 , . . . , bn ) lµ hai bé tû lÖ . HÖ qu¶ 1.4.2. Víi hai d·y sè thùc a1, a2 , . . . , an vµ b1 , b2 , . . . bn, bi > 0 ∀i = 1, n, ta cã a2n (a1 + a2 + . . . + an )2 a21 a22 + +... + > . b1 b2 bn b1 + b2 + . . . + bn BÊt ®¼ng thøc trªn th-êng ®-îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc Schwarz . HÖ qu¶ 1.4.3. Víi hai d·y sè thùc a1, a2 , . . . , an vµ b1 , b2 , . . . bn , ta cã q p p a21 + b21 +. . .+ a2n + b2n > (a1 + a2 + . . . + an)2 + (b1 + b2 + . . . + bn )2 . §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi (a1, a2 , . . . , an ) vµ (b1, b2 , . . . , bn ) lµ hai bé tû lÖ . §Þnh lý 1.8. (BÊt ®¼ng thøcHolder ) Víi m d·y sè d-¬ng (a1,1, a1,2, . . . , a1,n), . . . , (am,1 , am,2 , . . . , am,n) ta cã m n Y X i=1 j=1 ai,j ! v m um n X Y u m .t ai,j  . >  j=1 i=1 §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi m d·y ®ã t-¬ng øng tû lÖ. BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxkii lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña bÊt ®¼ng thøc Holder víi m = 2. HÖ qu¶ 1.4.4. Víi a, b, c, x, y, z, m, n, p lµ c¸c sè thùc d-¬ng, ta cã (a3 + b3 + c3 )(x3 + y 3 + z 3 )(m3 + n3 + p3 ) > (axm + byn + czp)3 HÖ qu¶ 1.4.5. Víi d·y sè d-¬ng a1, a2 , . . . , an , ta cã (1 + a1 ).(1 + a2) . . . (1 + an ) > (1 + Khãa LuËn Tèt NghiÖp √ n n a1.a2 . . . . .an ) . NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 7 --- 1.5 §Þnh lý c¬ b¶n cña ®a thøc ®èi xøng §Þnh nghÜa 1.1. Mét ®a thøc P (x1 , x2 , . . . , xn ) cña nh÷ng biÕn x1 , x2 , . . . , xn , gäi lµ ®èi xøng, nÕu nã kh«ng thay ®æi khi ta chuyÓn ®æi nh÷ng biÕn gi÷a chóng b»ng mäi c¸ch cã thÓ. §a thøc ®èi xøng s¬ cÊp cña nh÷ng biÕn x1 , x2 , . . . , xn gåm   δ1 = x1 + x2 + ... + xn        δ2 = x1 x2 + x1 x3 + ... + xn−1 xn δ3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ... + xn−2 xn−1 xn     ............     δ = x x ...x n 1 2 n §Þnh lý 1.9. (§Þnh lý c¬ b¶n cña ®a thøc ®èi xøng) Gi¶ sö P (x1, x2 , . . . , xn lµ ®a thøc ®èi xøng cña c¸c biÕn x1 , x2 , . . . , xn . Khi ®ã, tån t¹i mét ®a thøc ϕ(δ1 , δ2 , . . . , δn ) sao cho nÕu trong nã ta thay δ1, δ2 , . . . , δn b»ng nh÷ng ®a thøc ®èi xøng s¬ cÊp t-¬ng øng , th× sÏ nhËn ®-îc P (x1 , x2 , . . . , xn ). Chøng minh.[5] trang 195-196. Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 8 --- Ch-¬ng 2 Ph-¬ng tr×nh bËc ba vµ c¸c tÝnh chÊt nghiÖm 2.1 C«ng thøc Cardano. Ph-¬ng tr×nh bËc ba d¹ng tæng qu¸t a1x3 + b1 x2 + c1 x + d1 = 0. (a1, b1 , c1 , d1 ∈ R, a1 6= 0)(*) Ph-¬ng tr×nh (*) lu«n lu«n ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh bËc ba d¹ng x3 + ax2 + bx + c = 0. (2.1) víi b1 c1 b1 b= c= a1 a1 a1 a B»ng c¸ch ®Æt x = y − th× (2.1) trë thµnh 3 a= y 3 + py + q = 0. víi p = b − (2.2) a2 2.a3 ab − +c vµ q = 3 27 3 NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (2.2) s y= 3 Khãa LuËn Tèt NghiÖp q − + 2 r q2 4 + p3 27 s + 3 q − − 2 r q 2 p3 + 4 27 NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 9 --- ®-îc gäi lµ c«ng thøc Cardano. Gäi z1 , z2 lÇn l-ît lµ s z1 = 3 q − + 2 r q2 4 + p3 27 s z2 = 3 q − − 2 r q 2 p3 + 4 27 Khi ®ã y1 = z1 + z2 y2 = z1  + z2 2 y3 = z1 2 + z2 . √ víi  = − 12 + i. 3 2 lµ 1 c¨n bËc ba cña ®¬n vÞ. 2.2 TÝnh chÊt nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba §Þnh lý 2.1. (§Þnh lý Vieta vÒ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba ) Ph-¬ng tr×nh bËc ba x3 + ax2 + bx + c = 0 (2.3) cã ba nghiÖm ( kÓ c¶ nghiÖm phøc) x1 , x2 , x3 , cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y TÝnh chÊt 2.2.1. T1 = x1 + x2 + x3 = −a. TÝnh chÊt 2.2.2. T2 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = b TÝnh chÊt 2.2.3. T3 = x1 x2 x3 = −c Chøng minh. V× x1 , x2 , x3 lµ ba nghiÖm cña (2.3) nªn x3 + ax2 + bx + c = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) Ph©n tÝch vÕ tr¸i råi sö dông ®ång nhÊt thøc, ta ®-îc ®iÒu ph¶i chøng minh . Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 10 --- NhËn xÐt 1. NÕu x1 , x2 , x3 lµ nghiÖm cña (2.3) th× ph-¬ng tr×nh bËc ba 1 1 1 , , lµ nghiÖm cña x1 x2 x3 1 b a t3 + t2 + t + = 0. c c c NhËn xÐt 2. NÕu x1 , x2 , x3 lµ nghiÖm cña (2.3) th× x21 , x22 , x23 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba

x3 − a2 − 2b .x2 + b2 − 2ac .x − c2 = 0. NhËn xÐt 3. NÕu x1 , x2 , x3 lµ nghiÖm cña (2.3) th× (x1 + x2 ) , (x1 + x3 ) , (x2 + x3 ) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba
x3 + 2.a.x2 + a2 + b .x + (ab − c) = 0 NhËn xÐt 4. NÕu x1 , x2 , x3 lµ nghiÖm cña (2.3) th× (x1 x2 + x2 x3 ) , (x2 x3 + x1 x3 ) , (x1 x3 + x2 x3 ) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba

x3 − 2bx2 + b2 + ac .x + c2 − abc = 0 TÝnh chÊt 2.2.4. T4 = x21 + x22 + x23 = a2 − 2.b Chøng minh. Tõ (2.2.1) vµ (2.2.2) ta cã : x21 + x22 + x23 = (x1 + x2 + x3 )2 − 2. (x1 .x2 + x2 .x3 + x3 .x1 ) = a2 − 2.b TÝnh chÊt 2.2.5. T5 = (x1 + x2 ) . (x2 + x3 ) . (x3 + x1 ) = −ab + c Chøng minh. Ta cã (x1 + x2 ) . (x2 + x3 ) . (x3 + x1 ) = (x1 + x2 + x3 ) . (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) − x1 x2 x3 = −ab + c. TÝnh chÊt 2.2.6. T6 = x31 + x32 + x33 = −a3 + 3.ab − 3c Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 11 --- Chøng minh. Ta cã x31 +x32 +x33−3.x1 .x2 .x3 = (x1 + x2 + x3 ) . x21 + x22 + x23 − x1 x2 − x2 x3 − x3 x1
Suy ra x31 + x32 + x33 = 3.x1 .x2 .x3 + (x1 + x2 + x3 ) . x21 + x22 + x23 − x1 x2 − x2 x3 − x3 x1
= −3c + (−a) . a2 − 2b − b
= −a3 + 3ab − 3c. TÝnh chÊt 2.2.7. T7 = (x1 + x2 − x3 ) . (x2 + x3 − x1 ) . (x3 + x1 − x2 ) = a3 − 4ab + bc Chøng minh. Ta cã T7 = (T1 − 2x1 ) . (T1 − 2x2 ) . (T1 − 2x3 ) = T13 − 2T12 . (x1 + x2 + x3 ) + 4T1 . (x1 .x2 + x2 .x3 + x1 .x3 ) − 8.x1 x2 x3 . = −T13 + 4T1 T2 − 8T3 = a3 − 4ab + 8c. TÝnh chÊt 2.2.8. T8 = x21 .x22 + x22 .x23 + x23 .x21 = b2 − 2ac. Chøng minh. ¸p dông (2.2.1),(2.2.2),(2.2.3) TÝnh chÊt 2.2.9. T10 = sn = xn1 + xn2 + xn3 = −a.sn−1 − b.sn−2 − c.sn−3 .∀n ∈ N N, n ≥ 4. Chøng minh. Sö dông ®¼ng thøc

n−1 n−1 n−2 n−2 n n n (x1 + x2 + x3 ) xn−1 + x + x + x + x + x x + x = x x + 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3

+ xn−2 + xn−2 + x3 x1 xn−2 +x2x3 xn−2 2 3 3 1
n−2 n−2 n n n = x1 + x2 + x3 + (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) xn−2 − + x + x 1 2 3
+ xn−3 + xn−3 −x1 x2 x3 xn−3 1 2 3 ChuyÓn vÕ ta ®-îc sn = −a.sn−1 − b.sn−2 − c.sn−3 . Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 12 --2 2 2 TÝnh chÊt 2.2.10. T11 = (x1 − x2 ) . (x2 − x3 ) . (x3 − x1 ) = −4a3 c + a2b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 . Chøng minh. Khai triÓn biÓu thøc , råi sö dông (2.2.1),(2.2.2),(2.2.3), sÏ ®-îc (2.2.10) TÝnh chÊt 2.2.11. Víi mäi k vµ l, ta cã T12 = (k + lx1 ) . (k + lx2 ) . (k + lx3 ) = k 3 − k 2 la + kl2 b − l3 c. Chøng minh. T12 = (k + lx1 ) . k 2 + lk (x2 + x3 ) + l2 x2 x3
= k 3 + k 2 l (x1 + x2 + x3 ) + l2 k (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) + l3 x1 x2 x3 = k 3 − k 2 l.a + kl2 .b − l3 .c Tõ ®©y suy ra hai hÖ qu¶ quan träng sau HÖ qu¶ 2.2.1. T120 = (1 − t1 ) . (1 − t2 ) . (1 − t3 ) = 1 + a + b + c HÖ qu¶ 2.2.2. T121 = (1 + t1 ) . (1 + t2 ) . (1 + t3 ) = 1 − a + b − c. NhËn xÐt 5. Ta thÊy r»ng Ti (x1 , x2 , x3 ) lµ nh÷ng ®a thøc ®èi xøng (i ∈ N ), trong ®ã T1 , T2 , T3 lµ c¸c ®a thøc ®èi xøng s¬ cÊp . Theo ®Þnh lý c¬ b¶n cña ®a thøc ®èi xøng , viÖc ®-a ra mét tÝnh chÊt vÒ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba chØ lµ vÊn ®Ò t×m c¸c ®a thøc ®èi xøng . Tõ nhËn xÐt trªn, ta suy ra mét sè tÝnh chÊt sau TÝnh chÊt 2.2.12. T13 = 1 1 1 a + + = . x1 x2 x2 x3 x3 x1 c TÝnh chÊt 2.2.13. T14 1 1 1 a2 + b . = + + = x1 + x2 x2 + x3 x3 + x1 −ab + c Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 13 --- TÝnh chÊt 2.2.14. T15 1 1 1 b2 − 2ac = 2+ 2+ 2 = . x1 x2 x3 c2 TÝnh chÊt 2.2.15. 1 1 1 + + x1 (x1 − x2 ) (x1 − x3 ) x2 (x2 − x1 ) (x2 − x3 ) x3 (x3 − x1 ) (x3 − x2 ) 1 =− . c T16 = TÝnh chÊt 2.2.16. T17 = = x21 (x1 1 1 1 + 2 + 2 − x2 ) (x1 − x3 ) x2 (x2 − x1 ) (x2 − x3 ) x3 (x3 − x1 ) (x3 − x2 ) b . c2 TÝnh chÊt 2.2.17. T18 x32 x33 x31 + + = −a. = (x1 − x2 ) (x1 − x3 ) (x2 − x1 ) (x2 − x3 ) (x3 − x1 ) (x3 − x2 ) TÝnh chÊt 2.2.18. T19 x42 x43 x41 + + = a2−b. = (x1 − x2 ) (x1 − x3 ) (x2 − x1 ) (x2 − x3 ) (x3 − x1 ) (x3 − x2 ) §Þnh lý 2.2. NÕu ph-¬ng tr×nh bËc ba a1 .x3 + b1 .x2 + c1 .x + d1 = 0 (2.4) cã hai nghiÖm thùc x1 vµ x2 th× 4a1 c1 − b21 x1 .x2 ≥ . a21 Chøng minh. Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm thùc cña ph-¬ng tr×nh(2.4), khi ®ã a1 .x31 + b1 .x21 + c1 .x1 + d1 = 0. vµ a1 .x32 + b1 .x22 + c1 .x2 + d1 = 0. Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 14 --- Trõ vÕ theo vÕ hai ph-¬ng tr×nh trªn, ta ®-îc

a1 x31 − x32 + b1 x21 − x22 + c1 (x1 − x2 ) = 0
⇔ a1 x21 + x1 x2 + x22 + b1 (x1 + x2 ) + c1 =0 . ⇔ a1 (x1 + x2 )2 + b1 (x1 + x2 ) + c1 − a1x1 x2 = 0. §Ó tån t¹i x1 vµ x2 th× ∆ = b21 − 4a1 (c1 − a1x1 x2 ) ≥ 0. hay 4a1 c1 − b21 x1 .x2 ≥ . a21 HÖ qu¶ 2.2.3. NÕu ph-¬ng tr×nh bËc ba(2.4) cã ba nghiÖm thùc th× 4a1 c1 − b21 x1 .x2 + x2 .x3 + x3 .x1 ≥ 3. . a21 HÖ qu¶ 2.2.4. NÕu ph-¬ng tr×nh bËc ba x3 + ax2 + b.x + c = 0 cã ba nghiÖm thùc th× x1 x2 ≥ 4b − a2 vµ
x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ≥ 3. 4b − a2 . §Þnh lý 2.3. (§Þnh lý Sturm vÒ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba ) Ph-¬ng tr×nh x3 + ax2 + b.x + c = 0. (2.5) Víi c¸c hÖ sè thùc a, b, c cã ba nghiÖm thùc khi chØ khi −4a3 c + a2b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 ≥ 0. Chøng minh. (2.6) NÕu c¶ ba nghiÖm lµ c¸c sè thùc th× theo (2.2.10), bÊt ®¼ng thøc(2.6) hiÓn nhiªn ®óng. Ng-îc l¹i, gi¶ sö (2.6) ®óng nh-ng (2.5) chØ cã mét nghiÖm thùc x1 vµ hai nghiÖm phøc x2 = A + Bi , x3 = A − Bi (B 6= 0) . Ta cã  2 (x1 − x2 ) . (x2 − x3 ) (x3 − x1 ) = 2Bi (x1 − A) + B Khãa LuËn Tèt NghiÖp 2  . NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 15 --- hay 2 2 2 (x1 − x2 ) . (x2 − x3 ) . (x3 − x1 ) = −4B 2  2 (x1 − A) + B 2 2 < 0. v« lý v× theo (2.6).§Þnh lý ®· ®-îc chøng minh. §Þnh lý 2.4. Ph-¬ng tr×nh (2.5) cã ba nghiÖm d-¬ng khi vµ chØ khi ta cã bÊt ®¼ng thøc (2.6) vµ a < 0, b > 0, c < 0. Chøng minh. (2.7) Dùa theo (2.2.1),(2.2.2),(2.2.3), suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. §Þnh lý 2.5. NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (2.5) lµ ®é dµi cña tam gi¸c khi vµ chØ khi ta cã (2.6) , (2.7) vµ a3 − 4ab + 8c > 0. Chøng minh. (2.8) NÕu c¸c nghiÖm cña (2.5) lµ ®é dµi cña tam gi¸c th× chóng lµ nh÷ng sè thùc d-¬ng vµ x1 + x2 − x3 > 0 , x1 + x3 − x2 > 0 , x3 + x1 − x2 > 0, VËy (2.6), (2.7), (2.8) tháa. Ng-îc l¹i ,v× (2.6), (2.7) tháa m·n nªn nghiÖm lµ nh÷ng sè thùc d-¬ng. V× (2.8) tháa nªn dÔ dµng suy ra x1 + x2 − x3 > 0 , x1 + x3 − x2 > 0 , x3 + x1 − x2 > 0, VËy x1 , x2 , x3 lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 16 --- Ch-¬ng 3 X©y dùng ph-¬ng tr×nh bËc ba víi nghiÖm lµ c¸c yÕu tè h×nh häc vµ l-îng gi¸c Trong ch-¬ng nµy, chóng ta sÏ t×m c¸ch x©y dùng c¸c ph-¬ng tr×nh bËc ba víi nghiÖm lµ c¸c yÕu tè nh-: c¹nh tam gi¸c, ®-êng cao,®-êng trung tuyÕn, ®-êng ph©n gi¸c, gãc,. . . Sau ®ã, tõ c¸c tÝnh chÊt nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc bËc ba nªu trong ch-¬ng 2, ta sÏ thiÕt lËp ®-îc nhiÒu c«ng thøc quan träng. 3.1 X©y dùng ph-¬ng tr×nh bËc ba víi nghiÖm lµ c¸c yÕu tè h×nh häc. 3.1.1 Ph-¬ng tr×nh bËc ba cña a, b, c §Þnh lý 3.1. C¸c c¹nh a, b, c cña tam gi¸c lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh
x3 − 2.p.x2 + p2 + r 2 + 4.R.r .x − 4pRr = 0 (3.1) Trong ®ã p, R, r lÇn l-ît lµ chu vi , b¸n kÝnh ®-êng tr×nh ngo¹i tiÕp vµ néi tiÕp tam gi¸c. Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 17 --- Chøng minh 1. Ta cã a = 2.R. sin A = 4.R. sin A A .cos 2 2 A r 2 p − a = A = r. A tg 2 sin 2 cos Chia vÕ theo vÕ, ta ®-îc A cos r 2 = r. p−a = A A tg sin 2 2 Nh©n vÕ theo vÕ, ta ®-îc cos2 A a. (p − a) = . 2 4.R.r Hay a.r a. (p − a) A A + cos2 = + . 2 2 4R. (p − a) 4R.r
Suy ra a3 − 2.a2 p + r 2 + p2 + 4Rr .a − 4Rrp = 0, ®iÒu nµy chøng tá a lµ 1 = sin2 nghiÖm cña (3.1). LËp luËn t-¬ng tù b, c còng lµ nghiÖm cña (3.1). VËy ba c¹nh a, b, c cña tam gi¸c lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (3.1). Chøng minh 2. Tõ c¸c c«ng thøc A 2 , tg A = r , sin A = a sin A = A 2 p−a 2R 1 + tg 2 2 2tg Ta cã r a p−a = . 2R r2 1+ (p − a)2 2. Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 18 --- Hay 2r.(p − a) a = 2R (p − a)2 + r 2
⇔ a. p2 − 2pa + a2 + ar 2 = 4prR − 4rRa
⇔ a3 − 2pa2 + a p2 + r 2 + 4Rr − 4Rrp = 0 ⇔ ®pcm Chøng minh 3. lý Vieta Gi¶ sö a, b, c lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (3.1), theo ®Þnh     a + b + c = 2p (1) ab + bc + ca = r2 + p2 + 4Rr (2)    abc = 4R.r.p (3) −(1) hiÓn nhiªn. abc = pr nªn suy ra (3) − Ta cã S = 4R − BiÕn ®æi t-¬ng ®-¬ng (2) ⇔ ab + bc + ca = (p − a) . (p − b) . (p − c) abc + p2 + p p ⇔ p (ab + bc + ca) = (p − a) . (p − b) . (p − c) + p3 + abc ⇔ p (ab + bc + ca) = p3 − (a + b + c)p2 + (ab + ac + bc)p − abc + p3 + abc ⇔ p (ab + bc + ca) = p3 − 2p3 + p(ab + ac + bc) − abc + p3 + abc VËy (2) ®· ®-îc chøng minh. Tõ nhËn xÐt 1 trong ch-¬ng 2 cho ta hÖ qu¶ sau HÖ qu¶ 3.1.1. 1 1 1 , , lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba a b c x3 − 1 (p2 + r2 + 4.R.r) 2 1 .x + .x − = 0. 4.p.R.r 2.R.r 4.p.R.r (3.2) Tõ nhËn xÐt 2 trongch-¬ng 2 cho ta hÖ qu¶ sau HÖ qu¶ 3.1.2. a2 , b2 , c2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba 3 2 2
2 x − 2. p − r − 4Rr .x + Khãa LuËn Tèt NghiÖp h 2 2 p + r + 4Rr
2 2 i − 16.p .Rr .x − 16.p2 .R2 .r2 = 0. (3.3) NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 19 --- Tõ nhËn xÐt 3 trong ch-¬ng 2 cho ta hÖ qu¶ sau HÖ qu¶ 3.1.3. (a + b) , (a + c) , (b + c) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba

x3 − 4p.x2 + 5p2 + r 2 + 4Rr .x − 2p. p2 + r 2 + 2Rr = 0. (3.4) Tõ nhËn xÐt 4 trong ch-¬ng 2 cho ta hÖ qu¶ sau HÖ qu¶ 3.1.4. (ab + bc) , (bc + ac) , (ac + ab) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba h i

2
x3 − 2 p2 + r2 + 4Rr .x2 + p2 + r2 + 4Rr + 8p2 Rr .x − 8p2 Rr. p2 + r2 + 2Rr = 0. (3.5) HÖ qu¶ 3.1.5. x3 − 1 1 1 , , lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba a+b b+c c+a 1 1 5p2 + r2 + 4Rr 2 2 . 2 .x + 2 .x − = 0. 2 2 2 2p p + r + 2Rr p + r + 2Rr 2p. (p + r2 + 2Rr) HÖ qu¶ 3.1.6. (3.6) 1 1 1 , , lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba ab + ac bc + ba ca + cb
2 2 2 p + r + 4Rr + 8p2 Rr 2 p2 + r2 + 4Rr 1 1

= 0. . .x − 2 x3 − + .x 2 2 2 2 2 2 2 4p Rr p + r + 2Rr 8p Rr p + r + 2Rr 8p Rr p + r2 + 2Rr (3.7) HÖ qu¶ 3.1.7. ba x3 − " 1 1 , , lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 1 2 2 5p + r + 4Rr
2p. p2 + r2 + 2Rr − 2 − 4 2 p2 + r + 2Rr 1 4p2 . p2 + r2 + 2Rr # .x2 + 3p2 − r2 − 4Rr
2 .x 2p2 . p2 + r2 + 2Rr (3.8)
2 = 0. §Þnh lý 3.2. Gäi G(p, r, R) lµ biÓu thøc chøa ba biÕn p, r, R. §Ó cho tiÖn, chóng ta viÕt G thay v× ph¶i viÕt G(p, r, R). §Þnh lý 3.2 ®-îc ph¸t biÓu nhsau 1. (G − a), (G − b), (G − c) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh
 x3 − (3G − 2p) .x2 + p2 + r2 + 3G2 + 4Rr − 4pG .x − G3 − 2pG2 +
 + p2 + r2 + 4Rr G − 4pRr = 0. Khãa LuËn Tèt NghiÖp NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT --- 20 --- 2. (G − a1 ), (G − 1b ), (G − 1c ) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh     p2 + r2 + 4Rr p2 + r2 + 4Rr 1 2 2 .x + 3G + − 2G. .x x − 3G − 4pRr 4pRr   2Rr 2 . 1 p + r2 + 4Rr 2 1 3 .G + .G − =0 − G − 4pRr 2Rr 4pRr 3 3. 4. G.a, G.b, G.c lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh
x3 − 2pG.x2 + p2 + r 2 + 4Rr .G2 .x − 4pRr.G3 = 0. G G G , , a b c lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh
2 2 + r + 4.R.r p G3 G2 3 2 .G.x + .x − = 0. x − 4.p.R.r 2.R.r 4.p.R.r Chøng minh. − Thay x = G − (G − x) vµo (3.1), ta ®-îc [G − (G − x)]3 − 2p.[G − (G − x)]2 + (p2 + r 2 + 4Rr)[G − (G − x)] − 4pRr = 0. §Æt G − x = X , khi ®ã : (G − X)3 − 2p(G − X)2 + (p2 + r2 + 4Rr)(G − X) − 4Rr = 0 ⇔G3 − 3GX(G − X) − X 3 − 2p(G2 − 2GX + X 2 ) + (p2 + r2 + 4Rr)(G − X) − 4Rr = 0 ⇔X 3 − (3G − 2p).X 2 + (p2 + r2 + 3G2 + 4Rr − 4pG).X − [G3 − 2pG2 + (p2 + r2 + 4Rr)G − 4pRr] = 0 − Thay x = G1 . (Gx) vµo (3.1), ta ®-îc (3), thùc hiÖn t-¬ng tù suy ra (4) NhËn xÐt 6. B»ng viÖc thay biÓu thøc G(p, r, R) chøa ba biÕn p, r, R vµo ®Þnh lý 3.2, ta sÏ x©y dùng ®-îc hµng lo¹t ph-¬ng tr×nh bËc ba sau. HÖ qu¶ 3.1.8. (p − a) , (p − b) , (p − c) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba
x3 − p.x2 + r 2 + 4Rr .x − p.r 2 = 0. HÖ qu¶ 3.1.9. (3.9) 1 1 1 , , lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc ba p−a p−b p−c x3 − Khãa LuËn Tèt NghiÖp 4R + r 2 1 1 .x + 2 .x − = 0. pr r p.r 2 (3.10) NguyÔn Thµnh HiÓn - Líp 04TT