Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp Nhóm abel hữu hạn sinh và phân tích nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ===£o£Boa=== NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH VÀ PHÂN TÍCH NHÓM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin trân trọng bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới cô giáo - TS Nguyễn Thị Kiều Nga. Cô đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số và toàn thể các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý, cộng tác, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận. Do trình độ chuyên môn còn hạn chế , thời gian nghiên cứu eo hẹp nên khóa luận này còn tồn tại nhiều thiếu sót. Em kính mong nhận được sự phê bình góp ý của các thầy cô cùng toàn thể các bạn để khóa luận này trở nên hoàn thiện hơn . Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 nẵm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo - TS Nguyễn Thị Kiều Nga. Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất cứ công trình nào khác. Hà Nội, thảng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Phương MỤC LỤC LỜI M Ở Đ Ầ U ..............................................................................................................1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẤN B Ị ..............................................................3 1.1. Nhóm, nhóm con............................................................................................... 3 1.2. Tập sinh của nhóm ............................................................................................5 1.3. Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm.................................................5 1.4. Định lí L agrange............................................................................................... 6 1.5. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương.............................................................. 6 1.6 . Đồng cấu nhóm ................................................................................................. 7 1.7. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các n h ó m ............................................. 9 CHƯƠNG 2. NHÓM ABEL HŨXJ HẠN SINH................................................11 2.1. Nhóm Abel tự do..............................................................................................11 2.2. Nhóm Abel hữu hạn sin h ...............................................................................19 2.3. Một số nhóm Abel hữu hạn sinh đặc b iệ t...................................................24 CHƯƠNG 3. SỤ PHÂN TÍCH N H Ó M .............................................................28 3.1. Định nghĩa nhóm phân tích được, nhóm không phân tích đ ư ợ c .......... 28 3.2. Sự phân tích n h ó m ......................................................................................... 28 3.3. Sự phân tích các nhóm xyclic....................................................................... 31 3.4. Sự phân tích nhóm Abel hữu hạn sinh......................................................35 3.5. Bài tậ p .............................................................................................................. 42 KÉT L U Ậ N ............................................................................................................... 52 TÀI LIỆU THAM K H Ả O ..................................................................................... 53 LỜI M Ở ĐÀU Có thể nói rằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều cần tới các cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biết sâu sắc các cấu trúc này. Sở dĩ vì hai đặc trung cơ bản nhất của toán học là trừu tượng và tính tổng quát, mà hai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số. Đối tượng chủ yếu của cấu trúc đại số là nhóm, vành, trường. Trong đó nhóm là một trong những đối tượng cơ bản và cổ điển nhất của toán học. Nhóm Abel hũu hạn sinh và phân tích nhóm là hai vấn đề quan trọng trong lí thuyết nhóm và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như phương trình đạo hàm riêng, hàm giải tích, đại số tuyến tính... Với tất cả các ý nghĩa trên và lòng yêu thích chuyên ngành Đại số, mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về một số vấn đề của Đại số hiện đại, cùng với sự gợi ý và hướng dẫn tận tình của cô giáo - TS Nguyễn Thị Kiều Nga em mạnh dạn chọn đề tài “ Nhóm Abel hữu hạn sinh và phân tích nhóm ”để làm khóa luận tốt nghiệp của mình. Mục đích và nhiệm vụ chính của đề tài là cung cấp một số kiến thức cơ bản về nhóm Abel hữu hạn sinh và sự phân tích nhóm. Nội dung của đề tài được cấu trúc thành ba chương : Chưong 1: Kiến thức chuẩn bị; Chương 2: Nhóm Abel hữu hạn sinh; Chương 3: Phân tích nhóm. Trong đó, qua các định lí 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3 ta có thể thấy được sự đẹp đẽ về cấu trúc của nhóm Abel hữu hạn sinh. 1 Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song do chưa có kinh nghiệm, thời gian cũng như năng lực còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. 2 CHƯƠNG 1 KIÉN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Nhóm, nhóm con 1.1.1. Nhóm a. Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho X một tập họp khác rỗng, (.) là phép toán hai ngôi trên X. X được gọi là một nhóm nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i) (xy)z = x(yz), với mọi X, y,z e X . ii) Tồn tại phần tử e e X có tính chất: xe = ex = X , với mọi xeX . iii) Với mọi x eX , tồn tại phần tử x ’ e X sao cho xx’= x ’x = e. Chú ỵ • Phần tử e thỏa mãn điều kiện ii) gọi là phần tử đơn vị của nhóm X. • Phần tử x ’ thỏa mãn điều kiện iii) gọi là phần tử nghịch đảo của X, thường kí hiệu là x~' . Định nghĩa 1.1.2 Nhóm X gọi là nhóm giao hoán ( hay nhóm A b e l) nếu xy = yx với mọi x,yeX . Định nghĩa 1.1.3 Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn (vô hạn) nếu tập X có hữu hạn (vô hạn) phần tử. b. Tính chất Cho X là một nhóm, với e là phần tử đơn vị. Khi đó: • Phần tử e của X tồn tại duy nhất. • Mỗi phần tử X của X tồn tại duy nhất một phần tử nghịch đảo x"1. 3 Đặc biệt e '- e ;(x '')'l=x ; (xy ) 1 = у "1x"1, với mọi • X, y GX Trong nhóm có luật giản ước, tức là với mọi x,y,zeX : xy = xz thì y = z. yx = xz thì y = z. • Với mọi a, b £ X, các phương trình ax = b và y a = b có nghiệm duy nhất trong X. • C h o x e X , khi đó: x n = x.x...... X tì x-n = (x -')n x nx m = x n+m (xn)m = xnm Quy ước x° = e, với e là đơn vị của X Neu X là nhóm Abel thì (xy)n = xnyn, với mọi x,yeX . 1.1.2. Nhóm con a. Định nghĩa Cho X cùng với phép toán hai ngôi (.) là nhóm , A là một bộ phận ổn định của X .Khi đó, A được gọi là nhóm con của nhóm X nếu A cùng phép toán cảm sinh lập thành một nhóm. b. Điều kiện tương đương Một tập con A của nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: i) Với mọi x ,y eA thì xyeA . ii) ее A, với e là phần tử đơn vị của X. iii) Với mọi Xe A thì x 'e A Hệ quả. Cho X là một nhóm, A -f- 0, AczX. Các điều kiện sau là tương đương i) A là nhóm con của X. 4 ii) Với mọi x,y eA thì xyeA , x "1 eA . iii) Với mọi x,ye A thì xy ' 1 e A. c. Tính chất Giao của một họ khác rỗng các nhóm con của một nhóm X là một nhóm con của X. 1.2. Tập sinh của nhóm Định nghĩa Giả sử G là một bộ phận của nhóm X. Giao của tất cả các nhóm con của X chứa G là nhóm con của X chứa G gọi là nhóm con sinh bởi G, kí hiệu : < G > . Trong trường hợp < G > = X ta nói rằng G là một tập sinh của X hay X được sinh ra bởi G. Neu G ={a} thì ta viết X = < a> Neu X không được sinh bởi một tập con thực sự nào của G thì ta nói G là tập sinh cực tiều của X. 1.3. Cấp của nhóm, cấp của phần tử trong nhóm Định nghĩa Cấp của một nhóm X, kí hiệu IXI, là số phần tử của X nếu X có hữu hạn phần tử, là 00 neu X có vô hạn phần tử. Cấp của phần tử a e X là cấp của nhóm xyclic sinh bởi a, kí hiệu ord(a). Chú ý i) Cấp của a bằng 1 khi và chỉ khi a = e. ii) Cấp của a bằng 00 khi và chỉ khi với mọi m e Z *, a m ( hay mọi m ,neZ , m Ỷ n thì a m ì a n). Cấp của a bằng m hữu hạn nếu m là số nguyên dương bé nhất thỏa m ãnam = e. 5 1.4. Định lí Lagrange Cho X là nhóm hữu hạn, A là nhóm con của X. Khi đó cấp của nhóm A là ước cấp nhóm X. Hệ quả • Cho X là một nhóm hữu hạn cấp n thì mọi phần tử a e X ta cóan = e. • Neu X có cấp nguyên tố thì X là nhóm xyclic sinh bởi một phần tử a e X , a^e. • Neu p là số nguyên tố, a là số bất kì thì ap — a chia hết cho p. 1.5. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương 1.5.1. Nhóm con chuẩn tắc a) Định nghĩa Một nhóm con A của một nhóm X gọi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu x~'ax e A với mọi a e A, x e X . b) Ví dụ i) Mọi nhóm X với đơn vị e có ít nhất hai nhóm con chuẩn tắc tầm thường là X và {e}. ii) Mọi nhóm con của nhóm Abel là nhóm con chuẩn tắc. c) Điều kiện tương đương nhóm con chuấn tắc Giả sử A là nhóm con của nhóm X, các điều kiên sau tương đương: i) A là chuẩn tắc. ii) xA = Ax v ớ im ọ ix e X . 1.5.3. Nhóm thương Định nghĩa Cho X là một nhóm, A là nhóm con chuẩn tắc của X. Khi đó, X/ A ={xAI V x sX ) 6 cùng với phép toán hai ngôi (xA)(yA)= xyA là một nhóm, gọi là nhỏm thưong của X trên A. Nhân xét Neu X là nhóm Abel thì xỵA cũng là nhóm Abel. 1.6. Đồng cấu nhóm 1.6.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.6.1 Cho X, Y là hai nhóm, cùng với các phép toán hai ngôi tương ứng là (*) và (.). Một đồng cấu nhóm từ X đến Y là một ánh xạ f : X —>Y sao cho: f(a*b) = f(a).f(b) với mọi a ,b £ X. Neu X=Y thì đồng cấu f gọi là một tự đong cấu của X Một đồng cấu nhóm và là đon ánh thì gọi là một đơn cấu, một đồng cấu nhóm và là toàn ánh gọi là một toàn cấu, một đồng cấu nhóm và là song ánh gọi là một đẳng cấu. Neu X=Y thì một đẳng cấu nhóm từ X đến Y gọi là tự đẳng cấu nhóm X. Định nghĩa 1.6.2 Giả sử f : X -> Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, các phần tử đơn vị của X và Y được kí hiệu theo thứ tự là ex, ey . Ta kí hiệu: Im f = f (X) Kerf = Ịx e X I f(x) = ey } = f '( e y) và gọi Imf là ảnh của đồng cấu f , Kerf là hạt nhân của đồng cấu f . 1.6.2. Ví dụ a) Giả sử A là một nhóm con của một nhóm X. Đơn ánh chính tắc : f : A —>X CL I—» a là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc. 7 b) Ánh xạ đồng nhất của một nhóm X là một đồng cấu gọi là tự đẳng cấu đồng nhất của X. c) Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X. Ánh xạ: h :X ^ % X h-> xA là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm thương Hơn nữa h còn là toàn cấu và gọi là toàn cấu chính tắc. d) Neu f : X —►Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y thì ánh xạ ngược f 1 : Y —►X cũng là một đẳng cấu. Ta nói hai nhóm X và Y đẳng cấu với nhau và ta viết X = Y , nếu có một đẳng cấu từ nhóm này đến nhóm kia. 1.6.3. Tính chất a) Tính chất 1 Giả sử X,Y,Z là các nhóm và f: X—» Y và g :Y ^ z là những đồng cấu. Thế thì ánh xạ tích: go f : x ^ z cũng là một đồng cấu. Đặc biệt tích hai đẳng cấu là một đẳng cấu. b) Tính chất 2 Giả sử f : X —» Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y . Khi đó : i) f (ex ) = ey ii) f (x"1) = [f(x)-‘] với mọi x e X . c) Tính chất 3 Giả sử f : X—» Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A là một nhóm con của X và В là một nhóm con chuẩn tắc của Y. Khi đó: i) f(A) là một nhóm con của Y ii) f '(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X 8 d) Tính chất 4 Giả sử f : X—» Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Khi đó: i) f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf = Y ii) f là đơn ánh nếu và chỉ nếu Kerf = {ex} e) Tính chất 5 Giả sử f : X —»Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, p: là toàn cấu chính tắc. Khi đó: f i) Tồn tại duy nhất đồng cấu nhóm / : sao cho f = f o p . ii) Đồng cấu / là một đơn cấu và Imf = f(X). Hệ quả: Với mọi đồng cấu f : X^>Y từ một nhóm X đến một nhóm Y, ta có Đặc biệt nếu f: X—»Y là một toàn cấu thì x/ v r = Y / Ken 1.7. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của các nhóm 1.7.1. Định nghĩa a) Giả sử (Gj )iei là một họ các nhóm với phép toán (.). trên tập tích : ]”[G, = {(aOieil aịeG i, i e l ) Ta định nghĩa một phép toán nhân như sau : (&i)iel(bi)iel — jei Khi đó ]^[ơ là một nhóm và gọi là tích trục tiếp của họ nhóm Ị Gi) iei b) Tổng trực tiếp của họ nhóm {Gi }ieI kí hiệu © ơ , là nhóm con của nhóm Ỵ ịG gồm tất cả các phần tử ( a j ) j eI sao cho của nhóm Gị 9 CL\ = Ế, hầu hết, với et là đơn vị C hú ý: Neu tập chỉ số I hữu hạn thì tổng trục tiếp và tích trục tiếp là trùng nhau, tức là icĩ ®ơ.= T ịAG' ' X 1.7.2. Tính chất Cho А, В, С là các nhóm. (1) AxB = BxA (2) ( AxB)xC= Ax(BxC) (3) Có thể đồng nhất A (tương ứng B) với nhóm con A xỊ eH }( tương ứng với { eA }xB ) của AxB nhờ đơn cấu sau: A —»AxB ( B ^ A x B n а\-^(а,ев) [ъ (ел,£ )у (4) Từ tính chất (3) suy ra mỗi phần tử của A giao hoán với mọi phần tử của В trong nhóm AxB: ab = (a, efí)(eA , b) = (a,b) = (eA , b)( a, efí) = ba, V ae A; b e B. (5) Trong nhóm AxB thì АПВ = {e}. ( 6) Nhóm AxB được sinh bởi tập AUB tức là AxB = . (7) А, В là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm A xB . 10 CHƯƠNG 2 NHÓM ABEL HÜXJ h ạ n s in h Trong chương này phép toán trên nhóm Abel được viết theo lối cộng và phần tử không luôn được kí hiệu là 0. Truớc hết ta đi tìm hiểu về nhóm Abel tự do. 2.1. Nhóm Abel tự do 2.1.1. Nhóm tự do a) Định nghĩa Giả sửX là một tập hợp tùy ý cho trước. Ta gọi nhóm tự do trên tập X một nhóm F cùng với một ánh xạ / : X —» F sao cho với mọi ánh xạ g:X—»G, tồn tại một đồng cấu duy nhất h : F—>• G sao cho biểu đồ sau giao hoán: f G tức là g =ho f b) Tính chất Định lý 1 Neu một nhóm F cùng với một ánh xạ f : X —»F là một nhóm tự do trên tập X thì f là đơn ánh và f ( X ) sinh ra F. Chứng minh * Giả sử F ứng với ánh x ạ / : X —>F là một nhóm tự dotrên tập X. Giả sử a, b e X, a * b. Ta chứng minhf (a) ^ f (b). Thật vậy, chọn g : X —» G với g (a) ^ g (b). Vì (F,f) là nhóm tự do trên X nên tồn tại duy nhất đồng cấu h : F G sao cho g=ho f 11 Vìh [ f (a) ] = g (a) * g (b) = h [ f(b) ] nên f (a) * f (b). Vậy f là đơn ánh. * f ( X ) sinh ra F. Thật vậy: Giả sử A là tập con của F , A = < f ( X ) ''> Khi đo anh Xâf x&c đinh một ánh xạ g : X —» A vởiỉ° g = f , trong đó i : A —» F. Theo định nghĩa nhóm tự do, tồn tại duy nhất một đồng cấu h : F —» A sao cho ho f = g . Xét biểu đồ : F Trong đó j là tự đồng cấu đồng nhất và k = i°h VI ta có : j o f = f k o f = ( i 0 h ) o f = i 0 g = f vì f là đơn ánh nên ta suy ra rằng : i o h = k = j Vì j là tự đồng cấu đồng nhất nên i o h là toàn cấu,do đói là toàn cấu. Như vậy A = F tức F được sinh ra bởi f ( X). Định lý được chứng minh. Định lý 2 ( Định lý về tính c h ấ t) Neu ( F, f ) và ( F ’, f ) là nhóm tự do trên cùng mộttập X thì có một đắng cấu duy nhất j : F —» F ’ sao cho j 0 f = f . Chúng minh Vì ( F, f ) là một nhóm tự do trên tập X nên tồn tại một đồng cấu duy nhất 12 j : F —> F ’ sao cho j o f= , tức biểu đồ sau giao hoán: F’ Tương tự tồn tại một đồng cấu duy nhất k : F ’ —» F sao cho k Qf = f trong biểu đồ sau: F Bây giờ ta xét h = k j và tự đồng cấu đồng nhất i của F. Trong biểu đồ: o t a c ó : h 0 f = ( k 0 j ) 0 f = k 0 f = f ; i 0 f = f , tức (kj)f = if nên từ tính duy nhất trong định nghĩa ta suy ra rằng k j = h = i. o Vì i là đẳng cấu nên k o j là đơn cấu, do đó j là đơn cấu. Tương tự ta chứng minh được j o k là tự đẳng cấu đồng nhất trên F ’, từ đó j k là một toàn cấu nênj là một toàn cấu. Vậy j là một đắng cấu. Định lý được chứng minh. 13 o Định lý 3 ( Định lý về sự tồn t ạ i ) Cho X là một tập bất kì. Khi đó luôn tồn tại một nhóm tự do trên X. Chúng minh Xét tích Descartes T = X X { 1; - 1 }. Với mỗi a e X , kí hiện a 1 = ( a, 1); ã 1 = ( a, -1) Định nghĩa khái niệm “chữ” như sau : chữ w là tích hình thức hữu hạn những phần tử của T, tức là códạng a^aị2...aet;1 ; dị e X,Vi = 1,n , cácữi có thể trùng nhau, Sj e { 1,-1 },i = ì , n .Chữ w được gọi là rút gọnnếutrong biểu diễn của w không có trường họp ả đứng cạnh ã \ a eX . Kí hiệu e thay cho “chữ rỗng”, tức là chữ “không có phần tử nào của X ”. Kí hiệu F là tập tất cả các chữ rút gọn và phần tử e. Trên F xác định phép toán hai ngôi như sau: Giả sử u vàv là hai phần tử tùy ý củaF. - Neu u = e thì u.v = V - Neu V = e thì u.v = u - Neu u ^ e, V ^ e thì u.v được viết thành tích hình thức như trên, trong ILV ta xóa đi các tích hình thức dạng a'a~' = a~'a' nếu có mặt, suy ra u.v là chữ rút gọn, nếu xóa hết thì coi u.v = e. Khi đó F cùng với phép toán trên lập thành một nhóm. Xác định ánh xạ f : X —>>F a I—> a 1 Ta sẽ chứng minh ( F, f ) là nhóm tự do. Thật vậy, giả sử X là nhóm bất kì, g : X —» Y là ánh xạ bất kì. Xác định qui tắc: h:F->Y e I—» h (e) = 1 Y 14 Chứng minh tính duy nhất của h. Thật vậy, Giả sử tồn tại đồng cấu k : F —> Y sao cho k o f = g. Khi đó: Vcoe F, giả sử w = dị'dị2...cộ , ta có k o f = g £(w ) = [fc(a,ỵp [* (ạ ,ỵ p ...[* (a n) J ’ [ k ự( ữl) ] f [k\f(a2) ì f . . . [ k ự ( a „ ) ] J [g(a, ) f [g(a2) P ...[g (a„)J" =h( w) Suy ra k = h. Nhận xét D o / : X —>F là một đon ánh nên đồng nhất X với f ( X )khi đó ta có: X c= Fvà F =< X > Mọi ánh xạ g : X —>>Y đều mở rộng thành đồng cấu h : F —» Y. Khi đó ta gọi F là nhóm tự do sinh bởi tập X . Định lý 4 Mọi nhóm đều đẳng cấu với một nhóm thương của một nhóm tự do. Chứng minh Giả sử X là một nhóm tùy ý cho trước. Khi đó luôn tồn tại s CZ Xđể X =< s >, chẳng hạn s = X. Giả sử F là nhóm tự do sinh bởi s. Phép nhúng g : s —> Xmở rộng ra thành một nhóm đồng cấu h : F —» X ,ta có h( F ) cz X 15 Mặt khác s = g( s ) cz h( s X do h là mở rộng của g). Do đó h là toàn F/ cấu. Theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm ta có: / Kerh =x Nhận xét F/r Giả sử K erf =< R >, F =< s >. Khi đó / ^erh được xác định bởi tập s và R. Ta gọi các phần tử của s là các phần tử sinh của X, các phần từ của R gọi là các hệ thức cửa X. Như vậy, nhómX bất kì được xác định bởi tập sinh s và tập hệ thứcR, do đ ó x không còn tự do nữa; nhóm tự do F được xác định chỉ bởi tập s. 2.1.2. Nhóm Abel tự do a) Định nghĩa Giả sử tập s là s là một tập họp tùy ý cho trước. Ta gọi nhóm Abel tự do trên một nhóm Abel F cùng với một ánh xạ f : s —>>F sao cho với mọi ánh xạ g : s —» X từ tập s vào nhóm Abel X, tồn tại một đồng cấu duy nhất h : F —» X sao cho biểu đồ sau giao hoán: X Tức là g - h° f . b) Tính chất Tương tự như nhóm tự do, ta có • Định lý 1 f:s — >F là một nhóm Abel tự do trên tập s thì f là đơn ánh và ảnh của nó f ( s ) sinh ra F . Neu một nhóm F cùng với một ánh xạ 16