Tài liệu Khoá luận tốt nghiệp một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng phương trình lagrange loại ii

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THÚY AN MỘT s ố BÀI TẬP c ơ LÝ THUYẾT GIẢI BẰNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết HÀ NỘI - 2015 • TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THÚY AN MỘT s ố BÀI TẬP c ơ LÝ THUYẾT GIẢI BẰNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã quan tâm chỉ bảo và nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày 13 thảng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thúy An LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài: “Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng phương trình Lagrange loại II” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan. Tôi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của bất kì một tác giả nào. Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 13 thảng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thúy An M ỤC LỤC MỎ ĐÀU 1. Lí do chọn đề tài.....................................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu............................................................................................. 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứ u............................................................................................ 1 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.......................................................................2 5. Phương pháp nghiên cứu......................................................................................2 6 . Nội dung của khóa luận........................................................................................2 7. Phạm vi nghiên cứu.............................................................................................. 2 NỘI DUNG Chương 1: Những khái niệm cơ bản 1.1: Khái niệm về liên k ế t........................................................................................ 3 1.1.1: Số bậc tự do- liên k ế t..................................................................................... 3 1.1.2: Dịch chuyển ảo và dịch chuyển khả d ĩ ........................................................5 1.2: Tọa độ suy rộng..................................................................................................5 1.3: Liên kết lý tưởng................................................................................................6 1.4: Hàm Lagrange................................................................................................. 6 1.5: Hàm Ham inton................................................................................................. 10 ChưoTig 2: Phưong trình Lagrange 2.1: Phương trình Lagrange loại 1..........................................................................11 2.1.1: Nguyên lí Đalămbe -L agrange................................................................... 11 2.1.2: Phương trình Lagrange loại 1...................................................................... 11 2.2: Những hạn chế của phương trình Lagrange loại 1.......................................13 2.3: Phương trình Lagrange loại II........................................................................ 14 2.3.1: Xây dựng phương trình................................................................................14 2.3.2: Ý nghĩa vật lí của Qk.................................................................................... 15 2.3.3: Ý nghĩa của z k............................................................................................... 17 2.3.4: Phương trình Lagrange loại II viết cho trường lực th ế ........................... 16 2.3.3: Phương trình Lagrange loại II là một phương trình vi phân bậc hai đối với tọa độ suy rộng.................................................................................................. 17 Chương 3: ứ n g dụng của phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài tập cơ lý thuyết 3.1: Các bước vận dụng phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài toán cơ h ọ c .........................................................................................................19 3.2: Vận dụng giải một số bài tập trong cơ lý thuyết..........................................19 KÉT L U Ậ N .............................................................................................................48 TÀI LIỆU THAM K H Ả O ...................................................................................49 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Như chúng ta đã biết cho đến thế kỉ XIX 1 chuyên ngành vật lý mới ra đời, đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và toán học đó là “chuyên nghành vật lý lý thuyết”. Sự ra đời của ngành vật lý lý thuyết này đã góp phần nâng cao và khái quát hóa những định luật vật lý thành những quy luật, những học thuyết hết sức tống quát, có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển của khoa học, đời sống và kĩ thuật. Với sự kết hợp những phương pháp toán học hiện đại, phát trien cao, vật lý lý thuyết còn tìm ra được những quy luật mới chưa tìm được bằng thực nghiệm và tiên đoán trước những mối quan hệ giữa các hiện tượng vật lý. Phương pháp toán học giải tích nghiên cứu vật lý đặc biệt là nghiên cứu cơ học được gọi là cơ lý thuyết. Đối với cơ hệ có chịu liên kết đã được nhà vật lý Lagrange tìm ra và được gọi là phương trình Lagrange. Phương trình Lagrange loại II thì có ưu điển hơn phương trình Lagrange loại I. Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng phương trình Lagrange loại II” giải quyết một số bài toán trong cơ lý thuyết. 2. Mục đích nghiên cún Mục đích của khóa luận này là áp dụng phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài tập cơ lý thuyết để nghiên cứu các hệ dao động bé và chuyển động của vật rắn mà chúng ta thường gặp trong thực tế. 3. Nhiệm yụ nghiên cún - Nghiên cứu những khái niệm cơ bản về liên kết, liên kết lý tưởng, tọa độ suy rộng, hàm Lagrange, hàm Haminton. 1 - Xây dựng phương trình Lagrange loại I tìm ra những hạn chế của phương trình Lagrange loại I đế từ đó xây dựng phương trình Lagrange loại II. - ứ n g dụng phương trình Lagrange loại II vào việc giải một số bài tập. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cún Phương trình Lagrange loại II là cơ sở quan trọng của nhiều bài toán. Đối tượng của khóa luận là ứng dụng phương trình Lagrange loại II vào giải một số bài tập cơ lý thuyết. 5. Phương pháp nghiên cún Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và giải tích toán học trong việc ứng dụng để giải các bài tập cơ lý thuyết bằng phương trình Lagrange loại II. 6. Nội dung nghiên cún Chương 1: Những khái niệm cơ bản. Chương 2: Phương trình Lagrange. Chương 3: ứ n g dụng của phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài tập cơ lý thuyết. 7. Đóng góp của đề tài. - Vận dụng đế giải các bài tập một cách đơn giản để tìm đặc điếm chuyển động của chất điểm ... - Là tài liệu tham khảo cho sinh viên khi nghiên cứu về cơ học lý thuyết. 2 NỘIDƯNG CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM c ơ BẢN 1.1: Khái niệm về liên kết 1.1.1: Số bâc tư• do - Liên kết • 1.1.1.1: Số bậc tự do Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do của nó. 1.1.1.2: Khái niệm về liên kết Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ trong không gian gọi là liên kết. Phương trình liên kết: Là các phương trình ràng buộc sự liên kết củả tọa độ và vận tốc. Giả sử ta xét cơ hệ gồm 3 chất điểm có tọa độ A (x,,y,,z,); Æ (x,,y 2,z 2);C (jt 3,y 3,z3). Khoảng cách giữa 3 điểm lần lượt là rn \ r23; r31 biếu diễn như hình vẽ: .( 4 Ч Ъ ’У и Ч Hình 1.1 3 Biểu thức nêu lên điều kiện liên kết của 3 chất điểm là: (x2 - xiý + (ỵ2 - }’, )2 + (z2 - z xf = rn2 <(*3 —^ 2) О’з —у г) (z3 ~ Z2) —^23 (x, - X3)2 + 0 ’ - У3)2 + (z, - Z3)2 = r312 Hay: (x 2 - X, )2 + (ỵ2 - }’, )2 + (z2 - zxý - ri22 = 0 < (*3 - x 2f + (>’3 - y 2) 2 + ( z 3 - z2) 2 - r232 = 0 (x, - x3)2 + (}’, - } ự + (z, - z 3)2- r3l2 = 0 Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bằng к phương trình: f a ’ 3^1>^1 УУм•>£ Hay rút gọn: - ạ ỉ ZN?1) 0 VOI (cc 1,2,3,.......,&) f a(r.,ị,t) = 0 (a = 1,2,..!,/ = 1,2,...N) Khi cơ hệ không phụ thuộc vào vận tốc hay chỉ phụ thuộc vào tọa độ và thời gian thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết hình học: / ơ( r ,0 = 0 (tf = - = Khi cơ hệ phụ thuộc cả tọa độ, vận tốc, thời gian thì liên kết đặt lên cơ hệ được gọi là liên kết động học: / а { г ^ п 1) = ° với (a = ỉ,2,..Ã,i = l,2,-N) - Ta có: d f ( M ) = ẳ — 'đr. + — ‘d t = 0 1=1 dr.i ' dt 4 với ( a = l,2 ,....,N ) (1.1) Liên kết động học được biểu diễn bằng phương trình (1.1) được gọi là liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân được. 1.1.1.1.3: H ệ hôlônôm Cơ hệ không chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên nó gọi là cơ hệ hôlônôm. h ĩ: + s M ' t) =ữ a />Ả + b^ỷ, + C l»Zi + g lì( ĩ í , t ) = 0 * , § + * , 01. 0 = 0 Ppidri +8fi(ri,t)d t = 0 với (/? = l,2,....,N ;i = 1,2,...N) (1.2) Phương trình (1.2) được gọi là phương trình liên kết động học không tích phân được. Cơ hệ chịu cả liên kết động học không tích phân được được gọi là cơ hệ không hôlônôm. 1.1.2: Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo 1.1.2.1: Dịch chuyển khả dĩ Dịch chuyến khả dĩ là những dịch chuyển thỏa mãn phương trình liên 1.1.2.2: Dịch chuyển ảo Dịch chuyển ảo là hiệu của 2 dịch chuyển khả dĩ vô cùng bé ổr;i =đr'i —đr;i 1.2: Tọa độ suy rộng Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điếm Mi (i= 1,2,...N) với liên kết đặt lên nó được biếu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m phương trình liên kết động học. Đe xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s = 3N-m-n tọa độ độc lập qi, q 2,.... qs thì q 1, q 2,.... qs là những tọa độ suy rộng. _ với (í = ỉ,N;k =1,.5) SỐ tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do của nó. 1.3: Liên kết lý tưởng Liên kết được gọi là lý tưởng nếu tống công ảo của những phản lực liên kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là: ±R'Sr, = £ ( * „ & ,,+ R . õ y , ,+ R , ^ Ẻ) = 0 (=1 /=1 1.4: Hàm Lagrange 1.4.1: Hàm Lagrange thì hàm Một hệ có s bậc tự do, được xác định bởi s tọa độ suy vọngqx,q2,...q Lagrange L = L ( qi, q2,.. .qs, qx, q2,.. .qs, t ) h a y : L = L ( qk, qk, t ) với k = l, 2 ...s 6 - Nếu điều kiện liên kết đặt lên cơ hệ là dừng và việc chuyển trạng thái của cơ hệ là thực thì có thể xác định các qk nhờ phương trình Lagrange: d ÕL ÕL dt ôqt ôqt = 0 với k = l, 2 ,..s Trong đó: L=T-U a) Hàm Lagrange có tính chất cộng tính. Hệ cơ học được cấu tạo từ 2 phần A và B có hàm Lagrange là L a, L b. Neu bỏ qua tương tác của A và B thì hệ này có hàm Lagrange là: L = L a + L b b) Hàm Lagrange có tính bất định Xét 2 hàm L (q k,qk,t)vầ L \ q k,qk, t )liên hệ với nhau bằng biểu thức: dt ĩ } S' = ưdt;S = Ldt ỔS' = ô s + õ \ d f ( q t ,t) ô \ d f {qt , t ) = \ d ( õ f (qt ,t)) = s f (qt ,t) t] = ổ f (q2, t ) - S f (qr t) = 0 =>ỔS' = ỔS Vậy L và L' cùng mô tả 1 trạng thái vật lí, có nghĩa là hàm Lagrange có ý nghĩa bất định. 7 1.4.2: Hàm Lagrange của hạt tự do - Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào r , t có nghĩa là L chỉ phụ thuộc vào vận tốc V . - Từ tính đẳng hướng của không gian thì L không phụ thuộc vào hướng của V có nghĩa là: L = L(v2) - Dạng của L được xác định bởi nguyên lí tương đối Galile L(v2) phải có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. - Khi chuyển từ hệ K sang K ’ thì: V = V + V ; t = t ' ; r = r f + Vt L(v2)-> L (v + v ) 2 L = av2 L(v2) = av2 = a í( v ' + ỹ ) j = av'2 + 2ãv'V + aV => L(v2) = L(v'2) + — (2aĩ'V + a V 2t) d tv mv Chọn a = — do đó L = 2 2 8 ^ fit V2 r r 1 Đôi với hệ: L = ^ - trong đó n là sô chât điêm của cơ hệ. Í=1 2 Trong hệ tọa độ Đecác: rdữ 'd p (v)2= Kd t j \d t y dl2 = dx2 + dỵ2 + dz _m dz +-^ + dt dt dt ếữ L/ — 2 T _ m( L = — (x + ỵ + z ) 2 2 2 \ Trong hệ tọa độ trụ: X —r COS#? y = r s in ọ z =z dl2 = í/r 2 + r2d ọ + dz2 J w L=— í ' 2 . 2 - 2 , • 2 \ +r ọ +z ) Trong hệ tọa độ cầu: X = rsin ớ c o s ^ y = rsinỡsin

L = — {r2 + r 2ế)2 + r 2sin 2 1.4.3: Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau. - Xét hệ của các hạt tương tác với nhau nhưng không tương tác với các vật bên ngoài hệ. 9 L = ỵ '3 1 /=1 z Dùng các hệ tọa độ suy rộng: Xi= М Ъ ’Яг’-Я ,) t r\ ầк k= * =1\ dũ, õqk 1 N L = -z 'L mi(xi + ỳl + z , ) - U ( , y,z, ) Z /=1 = ^ I a (4)-<7 á - ^ ( í ) Z /./; 1.5: Hàm Haminton Ta có hàm Haminton: H = ^ pkqk - L trong đó s là số bậc tự do của cơ hệ yt=l Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng ( dr.ì = 0 thì: dt H = T + U;L = T - U \ U = U (r) ÕL U L ÕT UI .. U ÕH Ĩ1 ( 1 :— \ Pk = — = ^ ^ = > <7i = ——\k = l,S ôq. dqt dpk ' ' 10 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE 2.1: Phương trình Lagrange loại I 2.1.1: Nguyên lí Đaỉămbe - Lagrange Xét một cơ hệ gồm N chất điếm chịu những liên kết lí tưởng đặt lên nó. Phương trình chuyển động của chất điểm i của cơ hệ : m iw i = Fi +iR Hay: J v(2 . 1') m w —F = Ri ii i Từ điều kiện: ỵ R ỔP = 0suy ra: /=I ỵ ,( m lw l - F l)ổĩl = 0 /=1 (2 .2 ) Phương trình này gọi là phương trình tổng quát của động lực học cơ hệ hay nguyên lí Đalămbe - Lagrange. Neu cơ hệ nằm trong trạng thái cân bằng w = Otức là: ỵ F ổ r =0: Nguyên lí dịch chuyển ảo nguyên lí Đalămbe. (=1 2.1.2: Phưong trình Lagrange loại I Từ nguyên lí Đalămbe - Lagrange và k phương trình biếu diễn liên kết đặt lên cơ hệ: Ỉ 4 , (S = 0 ( « = I , 2 , J ) i=I 11 (2.3) Ta có thể tìm được hệ phương trình vi phân mô tả chuyển động của cơ hệ không tự do. Thật vậy, nhân (2.3) với nhân tử vô định ( - Ằ ) rồi lấy tổng ỹ ỵ Ằ a ẴCíị õf.i = 0 theo a ta có: (2.4) /=1 a-\ Cộng 2 vế của phương trình (2.2) và (2.4) ta có: y (m N / w./ - F.i ~ y \ Ả a Ă (Xị ')ổr.i = 0 /=1 (2.5) a -1 Trong 3N dịch chuyển ảo ẵc ,ởy ,ỏz (i= 1,2,...N) có s= 3N- k dịch chuyển ảo độc lập và k dịch chuyển ảo phụ thuộc. Ta có thể chọn Ẳ sao cho k mỗi nhân tử m.w. - F . - ^ Ă A đứng trước dịch chuyển ảo phụ thuộc của a=\ tổng (2.5) bằng không. Khi đó tổng (2.5) chỉ còn lại s số hạng tương ứng với s dịch chuyển ảo độc lập tùy ý. Đe tổng còn lại luôn luôn bằng không thì các nhân tử m w. - F A đứng trước các dịch chuyển ảo độc lập trong tổng a=\ k buộc phải bằng không. Thành thử tất cả các nhân tử m.w. - F _ ^ đứng a=\ trước <$r. của (2.5) đều bằng không và ta nhận được hệ phương trình sau: mA = F , + t * a \ «=1 Ỷ Ẫ aA mxX,i = Flr+ IX a- 1 Hay: (i= 1,2 ,...N ) ( 2.6) aịx mỹ. J ì = F. ỉy + y \Ằ aActị y a =1 k mị. ^ i - Fỉz + ' Y ằ ơA ơị Ơ=1 12 (2.7) Hệ 3N phương trình (2.7) và k phương trình (2.3) cho phép xác định (3N+k) đại lượng vô hướng X.,y.,z-,Ầ (i= 1,2, ...N; a = \,2,...k). Những phương trình (2.6) hay (2.7) gọi là những phương trình Lagrange loại I. 2.2: Những hạn chế của phương trình Lagrange loại I Phương trình Lagrange loại I: m.w. = F! + A a =I Trong quá trình giải bài tập bằng phương trình Lagrange loại I do số ẩn rất lớn, số phương trình nhiều nên việc giải hệ thống những phương trình Lagrange loại I là một bài toán vô cùng phức tạp. Khi nghiên cứu chuyển động của cơ hệ tự do bài toán cho ta biết: - Khối lượng của các chất điểm Iĩii. - Lực chủ động tác dụng lên các chất điểm F . - k phương trình liên kết. Yêu cầu của bài toán: - Xác định phương trình động học của chất điểm rịt). - Xác định phản lực liên kết đặt lên các chất điểm R (R Rịy, R. ). Vậy có tất cả 3N+k phương trình trong đó có 3N phương trình mô tả chuyển động. Và k phương trình liên kết: / = 0 với a = \,2,...k. Vì vậy để giải quyết bài toán đơn giản hơn, thuận tiện và dễ dàng hơn người ta nghiên cứu và đưa ra phương trình Lagrange loại II. 13 2.3: Phương trình Lagrange loại II 2.3.1: Xây dựng phương trình Ta khảo sát 1 cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm. Liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bằng n phương trình: (2 .8) SỐ bậc tự do của cơ hệ là s= 3N-n. Vị trí của cơ hệ được xác định bởi s tọa độ suy rộng qì,q 2,...qs. Các bán kính véctơ r l à hàm của qỊ,q2,...qsvầ t: (2.9) Xuất phát từ nguyên lí Đalămbe- Lagrange (2.2) ta có thể thành lập phương trình chuyển động của cơ hệ trong tọa độ suy rộng. Khi thực hiện dịch chuyển, qk thay đổi theo thời gian và theo liên kết: (2.10) qt = q Á t , a ) Trong đó: t là biến số thời gian a là thông số thực biểu diễn tất cả các yếu tố khác mà qk phụ thuộc, kể cả liên kết. Khi liên kết thay đổi nhỏ hoặc tọa độ thay đổi nhỏ thì: dct ỗqk (t) = qk(t ,a + Sà) - qk {t,a) = - ljLỗa da (2 .11) Đại lượng Sqk(t) được gọi là biến phân của tọa độ suy rộng qk(t). Dễ thấy: dt <£/.. (í) = ỗ d_ dt 14 ‘ìt (0 = Sqt (0 (2 . 12)