TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
8o*£»EEW;,0 = 0 (« = 1,2,..*,1 = 1,2,..#)
Khi / phụ thuộc vào tọa độ, thời gian và cả vận tốc thì những liên kết
đặt lên cơ hệ gọi là liên kết động học.
f a(r,r.9t) = 0 với (a = 1,2,..k,i = 1,2,..N )
JLdf
df
Tacó: d f ợ.,t) = ỵ ^ ^ d r . + ^ d t = 0 với (« = 1,2,....,N)
«=1 dr.i
' dt
(1.1)
Liên kết động học được biểu diễn bằng phương trình (1.1) được gọi là
liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân được..
1.1.1.3. Hệ hôlônôm
Cơ hệ không chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên
nó gọi là cơ hệ hôlônôm.
4
P/liri + g / ,( ĩi ' t ) = 0
a,rxl +bl„ỹí +cllli l + gll(ĩ„t) = ữ
h ^ + t Á 7»*)
0
Ppidri + gpịr.,t)dt = ồ với (/? = 1,2,....,N;i = 1,2,...N)
(1.2)
Phương trình (1.2) được gọi là phương trình liên kết động học không
tích phân được. Cơ hệ chịu cả liên kết động học không tích phân được được
gọi là cơ hệ không hôlônôm.
1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo
1.1.2.1. Dịch chuyển khả dĩ
Dịch chuyển khả dĩ là những dịch chuyển thỏa mãn phương trình liên
kết (1.1) và (1.2):
df ợ.,t) = Ỷ ^ d ĩ. + ^ - d t = 0
/=l dĩ.ĩ
Ôt
4 / 'a ( 'f > 0 = Ề ^ 'f + i r í/í= 0
/=1 Ỏĩ.i
Òt
P/«dĩ:i + 8fi(r,,t)dt = 0
1.1.2.2. Dịch chuyển ảo
Dịch chuyển ảo là hiệu của 2 dịch chuyển khả dĩ vô cùng bé
ỗrỉ = drỉ —dr
5
1.2. Tọa độ suy rộng
Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm Mj (/ = 1 , 2 , với liên kết
đặt lên nó được biếu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m phương
trình liên kết động học.
Đe xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s = 3N —m —n tọa độ độc lập qi,
q2,.... qs thì q b q2,.... qs là những tọa độ suy rộng.
với (/ = \,N;k = 1,5)
7; = 7t e k J )
SỐ tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do
của nó.
1.3. Liên kết lí tưởng
Giả sử có chất điểm Mi chuyển động dưới tác dụng của lực Fị
(ỉ = 1
, 2
Nếu chất điểm chuyển động tự do, theo định luật II Niutown, ta
có:
w ,= ịШ./
(i = 1,2 ,...,/V)
( 1.3 )
F
Khi có liên kêt đặt lên cơ hệ, gia tôc W. = — có thê không thỏa mãn các
m,i
phương trình liên kết.
Ta có phương trình liên kết:
f a{r„r2,...,rN, t) = 0
Đạo hàm bậc nhất phương trình trên ta được:
6
ỷ C Ể Ĩ+ C =0
«=1 õr.i õt
õt
Tiếp tục đạo hàm bậc 2 ta được:
N
P ft
(=1
or.
. ■NST'(=1
d df
dt õr;
d dft
dt ôt
F
Gia tôc W.= — có thê không thỏa mãn phương trình (1.4). Điêu này có
m.ị
ý nghĩa là liên kết đã tác dụng lên chất điểm Mị một lực nào đó gọi là phản
lực liên kết. Kí hiệu là R thì phương phương trình chuyển động của chất
điểm không tự do Mị có dạng:
m.w.=F.+R.
(/ = l,2,...,AO
(1.5)
Để phân biệt với phản lực R ta gọi lực F là hoạt lực hay lực hoạt động.
Liên kết được gọi là lí tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực liên
kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là:
ỷ R.ồr,
i i = Ỳ (vRix. & ,i + R iyâ ys,i + Rhỏzi)
iz I7 = 0
/=]
/=]
1.4. Hàm Lagrange
1.4.1. Hàm Lagrange
Một hệ có s bậc tự do, được xác định bởi s tọa độ suy rộng qx,q2,...q
thì hàm Lgrange
L = L ( qx, q2,.. .qir, ậị, q2,.. .qi;, t ) hay: L = L (qk, qk, t )
với
k = 1,2,...,5
Neu điều kiện liên kết đặt lên cơ hệ là dừng và việc chuyển trạng thái
của cơ hệ là thực thì có thể xác định các qk nhờ phương trình Lagrange:
7
d dL
dt dqk
ÔL
= Ovới k=l,2,..s
õqk
Trong đó: L=T-U
a) Hàm Lagrange có tính chất cộng tính
Hệ cơ học được cấu tạo từ 2 phần A và B có hàm Lagrange là LA, LB. Neu
bỏ qua tương tác của A và B thì hệ này có hàm Lagrange là: L= LA+ LB.
b) Hàm Lagrange có tính bất định
Xét 2 hàm L(qk,ậk,t) và Lr(qk,ậk, t ) liên hệ với nhau bằng biểu thức:
h
S' = ị ưdt\S = ị Ldt
'-d f ( q k,t)’'-d f ( q t , t ) dt
f,
I.
dt
{
at
ỔS’ = ỏ s + ỗ ị d f
ô \ d f ( q t ,t)= \ d ( S f ị q l ,t)) = ổ f ( q , . , t ) t' = ổ f ( q 2, t ) - ổ f ( q r t) = 0
^ Ổ S ' = ỔS
Vậy L và L'cùng mô tả 1 trạng thái vật lý, có nghĩa là hàm Lagrange
có ý nghĩa bất định.
8
1.4.2. Hàm Lagrange của hạt tự do
Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của
hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào r,t có nghĩa là L chỉ phụ thuộc
vào vận tốc
V .
Từ tính đắng hướng của không gian thì L không phụ thuộc vào hướng
của
V
có nghĩa là:
L = L(v2)
Dạng của L được xác định bởi nguyên lí tương đối Galile L(v2) phải có
dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính.
Khi chuyển từ hệ K sang K’ thì:
L(v2) —» LỊV + ỹ ) 2
_ av 2
LJ =
L(v2) = av2 =aị[v' + ỹ ) 2^ = av'2 + 2av'Ỹ + a V 2
_ dĩ'
dt
=> L(v2) = L(vn ) + — (2 aĩ'V + a V ỉt)
d tv
Chọn
CI- —
2
do đó L =
mv
2
9
(v)2=
r dl_
,T Ÿ
гт л
Kdt J
\ LU J
dt
dl2 = dx2 + dy2 + dz
L/ —
dx2dy2 dz:
+ - r— +
2 y dt
dt
dt J
m
/ 2
T
L
2
_2 \
2 (x +>’ + г )
- Trong tọa độ trụ:
X= rcosọ
ỵ = г sin (p
z =z
dl2 = ếừ2 + r2d ọ + í/z2
L = — ị r 2 + г2ф2 + Z2)
- Trong hệ tọa độ cầu:
X = rsinớcos#?
у = rsinỡsinọ
z = rcosỡ
dỉ2 = dr2 + r2dỡ 2 + r 2sin2ỡ d ọ 2
=> L = — [r2 + г2# 2 + r 2sin2
1.4.3. Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau
Xét hệ của các hạt tương tác với nhau nhưng không tương tác với các
vật bên ngoài hệ.
L = Ỳ iỈ Ĩ Ỉ Ệ - - U ự l,K1,...rfl)
i=l 2
Dùng các hệ tọa độ suy rộng:
10
1.5. Hàm Hamỉnton
Ta có:
H = ^ pkqk - L trong đó s là số bậc tự do của cơ hệ
*=1
Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng " § = ол thì
\õt
у
H =T + U
L =T - U
ư= ư(r)
ÕL ÕT
=>p* =T — = ^Tõật dq.
,
<7*
ÕH
Ф»
Với k=l,2,...
CHƯƠNG 2
P H Ư Ơ N G T R ÌN H H A M IN T O N
2.1. Phương trình tổng quát của động lực học
Xét hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng của những liên kết lí tưởng.
Phương trình chuyển động của chất điếm i của cơ hệ có dạng:
mi w i= F i+ R i
(2.1)
V /
nên:
m.w.
i i —F.
i = R;
ỉ
Từ điều kiện:
ỵ ^ R /ổ r ỉ = o
/=]
Ta có:
Ỷ 1(mlwi - Ft)âr. =0
(=1
(2 .2 )
Đây là phươìĩg trình tống quát của động lực học cơ hệ hay còn gọi là
nguyên lí D ’ Alambert- Lagrange. Đó là một trong những nguyên lí quan
trọng nhất của động lực học cơ hệ.
Trong trường hợp đặc biệt khi hệ ở trạng thái cân bằng V = 0, w. =0 ta
được nguyên lí quan trọng sau của tĩnh học:
Ì F .< 5 r = 0
(=1
Phương trình này còn được gọi là nguyên lí dịch chuyến ảo.
12
(2.3)
2.2. Phương trình Hamỉnton
2.2.1. Xung lượng suy rộng
Xét hàm Lagrange của cơ hệ:
L = T - V = Ỳ í)m,{rl)1- V Ợ i,rì , ..... ĩ„)
/=1 2
Đai lương —^ = m r = p .
ôr.ỉ
(i=ì,N) là xung lương của chất điểm thứ i.
ÕL
Trường hơp tống quát đai lương p k = —— ( k = 1,5) goi là xung lương
ôqk
suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.
Khi đó, qkđược gọi là vận tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.
qk được gọi là gia tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.
Thế năng
u không phụ thuộc vào
dĩ
f)T
S
Pk = Ệ L = ^ r =
dqk ôqk
qknên pk có dạng:
__
+bk(k = l,s)
Trong đó bk và aiklà hàm của tọa độ suy rộng và thời gian
Từ đó ta có:
ỳ i = Ỷ . cikPk+ d i (k = \,s)
k=I
(2.4)
Trong đó cik và di là những hàm của tọa độ suy rộng và thời gian.
2.2.2. Xây dựng hàm Haminton
Hàm Lagrange là hàm của tọa độ suy rộng qk, vận tốc suy rộng qkvà
thời gian t:
13
L = L(qt ,ql ,t)
c!L = ±
k=1
ÔL ,
dL 7,
ÔL 7
—— í/g, + ^ — í/úr, + ——dt
dqk
dqk
õt
Từ phương trình Lagrange loại II trong trường lực thế:
CÓ
d_
dL_
dt õq
ổ<7*
ÕL
-— =
ôqt
=
0
, ÕL
d ÔL
.
p, và - — = —— -— = p.
ôqt
dt .ôqt
Nên:
dL = Ỳ I X d q t + p t d p k] + ^ d t
k=\
Õt
s
ÕL
= L ( P tdqt + d{ptqt ) - q kdpk) + ^ d t
k=\
Õt
s
s
ÔL
d (ỵ .P Á k ~ L) = HèỊidpt - p kdqk - ^ P d t
k=\
k\=
Ớt
Hàm H =2_JPkqk - L biêu diên thông qua các biên sô qk p kvà t gọi là
*=I
hàm Haminton H.
H(<Ị^Pt >t) = Ỳ P Á t - L
k=1
14
- Xem thêm -