Tài liệu Khóa học casio - doremon

Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon KHÓA HỌC CASIO – ĐÔ-RÊ-MON Buổi 1: Sử dụng cơ bản 1. Ý nghĩa các nút bấm: Trên máy casio, có nút nổi, ta bấm trực tiếp, nút chìm có hai loại: màu vàng như STO, SOLVE,…., để bấm nút này, ta cần bấm nút SHIFT trước. Loại màu đỏ, như các biến nhớ A,B,C,X,Y…ta bấm nút ALPHA trước nhé ! 2. Một số nút chức năng cơ bản: -CALC: Tính giá trị biểu thức chứa biến X, hoặc Y, hoặc cả X và Y. Soạn biểu thức chứa x,y xong, ta bấm CALC, máy sẻ hỏi X? ta nhập 1 số cho X và nhấn dấu =, máy hỏi Y? ta nhập 1 số cho Y,=, máy cho giá trị biểu thức tương tứng của x,y mà ta đưa vào. VD: Soạn X2+2XY+3,CACL,2,=,1= máy cho KQ 11 -SOLVE: chức năng giải pt một ẩn X hoặc hai ẩn X,Y ( cho Y tìm X tương ứng ): VD: Soạn biểu thức X2-3X+2,SOLVE, máy hỏi X? (cho X giá trị khởi đầu ), ta nhập 6 chẳng hạn, máy cho kết quả X=2,R=0 (R là độ sai số ) , như vậy TH này máy cho nghiệm đúng luôn. Muốn tìm nghiệm còn lại, ta bấm nút ⊲⊳ để sửa biểu thức (khi con trỏ ở cuối dòng bấm ⊳ nó nhảy về đầu dòng, và nếu nó đầu dòng, bấm nút ⊲ nó sẽ về cuối dòng cho nhanh nhé ), ta thêm () vào đầu và cuối dòng, để con trỏ cuối dòng, ấn nút phân số, sẽ được phân số, thêm mẫu số là X-2, bấm SOLVE, =, ta được nghiệm thứ 2 là X=1. Vậy pt X2-3X+2 có hai nghiệm X=2,X=1. 3. Phím nhớ: -Phím Ans, biến nhớ tức thời, nó lưu kết quả vừa tính xong. VD bấm 1+2=3( bây giờ ans là 3), sau bấm Ans2 sẽ ra 9( bây giờ ans là 9), bấm = tiếp sẽ ra 81… -A,B,C,X,Y là biến nhớ tạm thời, do ta gán vào bằng cách bấm STO A( gán kết quả vừa tình vào A), đặc biệt tiện dụng khi kết quả tìm là số lẻ dài loằng ngoằng mà ghi ra giấy phát ốm. 4. Giải phương trình bậc 4, hay phân tích thành nhân tử pt bậc 4: 4 3 2 Ví dụ 1: Pt bậc 4 có nghiệm đẹp ( nguyên, hữu tỉ ) 6 x + 5 x + 3x − 3x − 2 = 0 4 3 2 Soạn biểu thức : 6 x + 5 x + 3x − 3x − 2 và bấm = ( để lưu bt ) -Bấm SOLVE,1,= máy cho nghiệm x=0,666666666667, R=0, như vậy nghiệm đẹp , đúng rồi, như đó là phân số nào. Bấm AC ( xóa màn hình hiện thời ), bấm Ans ra 2/3, hihi, tuyệt vời, pt có nghiệm x = 2 ⇔ ( 3x − 2 ) . A = 0 3 ( ) Ta phân tích pt thành tích thôi ( chia đa thức hoặc nhóm nhé ) ( 3 x − 2 ) 2 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = 0 , xong. Ví dụ 2: PT bậc 4 nghiệm ko đẹp ( nó sẽ dạng tích hai tam thức bậc 2) x 4 + 6 x3 + 5 x 2 + 4 x − 1 = 0 -Bấm SOLVE,= để tìm nghiệm thức 2, máy cho nghiệm rất lẻ, bấm STO B ( lưu nghiệm vào B) Page x4 + 6 x3 + 5x2 + 4 x − 1 -Sửa bt thành ( ) x− A 1 Soạn biểu thức VT và bấm dấu = ( để lưu bt sử dụng lâu dài ) -SOLVE,1,= ra nghiệm lẻ, bấm (SHIFT) STO A -Bấm AC, và bấm ∆ để trở lại màn hình có biểu thức VT đã soạn Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon -Bấm A+B cho ra -5, bấm AB ra -1 2 Vậy theo định lý Viet đảo A,B là nghiệm pt bậc hai: x + 5x − 1 Do đó ta phân tích ( bằng cách chia đa thức cho đa thức ) ta đươc: x 4 + 6 x 3 + 5 x 2 + 4 x − 1 = 0 ⇔ ( x 2 + 5 x − 1)( x 2 + x + 1) ( )( Để nhanh các bạn nên dùng pp nhẩm x 4 + 6 x 3 + 5 x 2 + 4 x − 1 = x 2 + 5 x − 1 ax 2 + bx + c ) a ,c ta biết ngay nhờ hệ số đầu cuối ( đầu =đâu.đầu, cuối =cuối.cuối ) ta có a=1,c=1 còn b ta dựa vào hệ số bậc 3 hai vế: 6 = 1.b + 5.a ⇒ b = 1 4 3 2 Ví dụ 3: Giải pt: 2 x + 5x − 4 x − 10 x + 3 = 0 -Soạn bt VT và bấm = ( đừng quên bấm =, ko sau gõ lại ốm ra ) -SOLVE với x=1, ra nghiệm lưu vào A -Sủa bt thành: VT , SOLVE ,=, ra nghiệm lẻ, lưu vào B x− A -Thử AB đẹp ko ?( đẹp thì may mắn cho bạn , ta viet đảo ) lẻ thì A, và B ko phải là hai nghiệm anh em một nhà. -Sửa bt thành VT , SolVE,=, ra nghiệm lẻ lưu vào C ( x − A)( x − B ) -Tính A.C đẹp ko, đẹp thì tính A+C, vi et ra pt bậc hai có nghiệm là A,C. Không đẹp thì tính B.C 2 Mình bấm may mắn ra: A.C=-1/2,A+C=-3/2 vậy phân tích ra x + ( 3 1 x − ≈ 2 x 2 + 3x − 1 2 2 )( ) Giải pt trên: 2 x 4 + 5 x 3 − 4 x 2 − 10 x + 3 = 0 ⇔ 2 x 2 + 3 x − 1 x 2 + x − 3 = 0 Chú ý: PP này áp dụng cho pt bậc cao hơn cả 4 nhé, cứ mạnh dạn 5. Thực hành: Giải các phương trình sau: 1) x 4 + 6 x3 − 12 x 2 − 48 x + 32 = 0 2) x 6 + x5 − 2 x 4 + x3 − 2 x + x − 3 = 0 3) x 2 + ( x − 2 ) x 2 + 1 − 3 x − 2 = 0 4) 3 x + 1 + 5 x + 4 = 2 x + 3 5) ( x + 1) 3 x + 1 − 5 2 x − 1 + 6 x 2 − x − 1 = 5 x + 5 6) x3 + 8 = 3 x 2 − 8 x + 8 -------------------------------------------------------------------------------------------- Buổi 2: Giải PT và BPT vô tỷ Page 2 Vd5: 2 3 3 x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 -Bấm SOLVE ra được x=-2, ta nhóm như sau: Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon 2 ( 3 ) ( 3x − 2 + 2 + 3 ) 6 − 5x − 4 = 0 6 ( x + 2) ⇔ 3 + 2 15 ( 2 + x ) 6 − 5x + 2 3x − 2 − 2 3 3x − 2 + 4 =0   6 −15 ⇔ ( x + 2)  + =0 2 6 − 5 x + 2   3 3 x − 2 − 2 3 3 x − 2 + 4 6 Do x ≤ ⇒ biểu thức [] luôn âm. Vậy pt có nghiệm duy nhất x=-2 5  3 3 x − 2 = a 2a + 3b − 8 = 0 ⇒ 3 2  6 − 5 x = b 5a + 3b = 8 Cách khác: Đặt  Cách khác nữa: Đặt Pt trở thành: 2 3 3 6 − t2 6 − 5x = t ≥ 0 ⇒ x = 5  18 − 3t 2  6 − t2 3 − 2 = 8 − 3t ⇔ 8  − 2  = ( 8 − 3t ) , pt bậc 3 5  5  3 x + 1 − 6 − x + 3 x 2 − 14 x − 8 = 0 VD6: -SOLVE ra nghiệm x=5, liên hợp : ⇔ 3 ( x − 5) ( ) ( ) 3 x + 1 − 4 + 1 − 6 − x + ( 3 x 2 − 14 x − 5 ) = 0 x −5 + ( x − 5 )( 3 x + 1) = 0 3x + 1 + 4 1 + 6 − x + 3 1   ⇔ ( x − 5)  + + ( 3 x + 1)  = 0  3x + 1 + 4 1 + 6 − x  1 Với đk: − ≤ x ≤ 3 ⇒ [...] > 0 . Vậy pt có nghiệm duy nhất x=5 3 VD7: x + 2 + x 2 − x − 2 ≤ 3 x − 2 -SOLVE ra nghiệm x=2, thay x=2 vào thấy hai căn = nhau, nên nhóm 2 căn với nhau liên hợp  −2  + x + 1 ≤ 0  x + 2 + 3x − 2  −2 2 + x + 1, x ≥ 3 x + 2 + 3x − 2 Cuối cùng được: ( x − 2 )  Đặt: f ( x ) = Soạn bt f(x) cho các giá trị x=2/3 đến số rất lớn 1000 cho giá trị dương, nên ta cần chứng minh f(x) luôn dương. ( nếu SHIFT SOLVE thì CAN’T SOLVE vô nghiệm ) Ta đánh giá lỏng lẻo: x + 2 + 3x − 2 ≥ 2 2 6 +2 +0 = ( bấm 3 3 −2 3 6 ≥ −2. =− ( bấm AC, -2:Ans=) 2 x + 2 + 3x − 2 2 6 −2 Suy ra: f ( x ) = + x + 1 > 0, 441 > 0 (bấm +2/3+1=) x + 2 + 3x − 2 2:3+ 2 = ) Page 3 Suy ra: Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon Vậy bpt có nghiệm 2 ≤x<2 3 VD8: (13 − 4 x ) 2 x − 3 + ( 4 x − 3) 5 − 2 x = 2 + 8 16 x − 4 x 2 − 15 2 Bấm SOLVE bt 16 x − 4 x − 15 xem có n đẹp hay ko ? để phân tích nhân tử , ra x=1,5 Vậy 16 x − 4 x 2 − 15 = Đặt: a = ( 2 x − 3)( 5 − 2 x ) 2 x − 3, b = 5 − 2 x , pt trở thành hệ: ( 2b 2 + 3) a + ( 2a 2 + 3) b = 2 + 8ab ( hệ đx)  2 2  a + b = 2 VD9: ( x + 2 ) ( ) ( x2 + 4 x + 7 + 1 + x ) x2 + 3 + 1 = 0 Nhìn là biết dạng xét hàm, để tìm quan hệ hàm, ta thay x ở số hạng thức 2 thành y, soạn bt ( x + 2) ( ) ( ) x2 + 4 x + 7 + 1 + y y2 + 3 +1 SOLVE, máy hỏi Y? nhập 100=,máy hỏi solve for x, bấm = để xác nhận, ra x=-102. Đoán x=-y2 hay x+2=-y Đặt: a = x + 2, b = − y Ta có: a ( ) ( a2 + 3 + 1 − b VD10: x3 − 3x 2 − 3 x + 2 ) b 2 + 3 + 1 = 0 , phân tích ra a=b hoặc xét hàm ( x + 1) 3 =0 ( Dùng tru bò chút, chuyển vế bp mất căn: x 3 − 3 x 2 − 3 x ) 2 3 − 4 ( x + 1) = 0 Soạn bt VT, nhớ bấm dấu = để lưu SOLVE,với x=1 cho ra nghiệm x=1,6180… STO A VT , solve tiếp ra x=-0,8284… STO B x− A VT Sửa bt thành solve tiếp ( chú ý bấm dấu = liên tục đến khi máy hết hỏi nhé ) ( x − A)( x − B ) Sửa bt thành ra nghiệm-0,61803….STO C 2 Bấm AC=-1.A+C=1 nên có nhân tử x − x − 1 ( Vậy yên tâm khai triển phân tích nhé, kết quả là đây: x 2 − 4 x − 4 Cách IQ: Nhận dạng pt đẳng cấp, chú ý có 3 2 − x − 1) = 0 , ta biểu bt ngoài căn về chứa (x+1) =0 a b 3 Đặt, hoặc chia ta có: x = a, x + 1 = b ⇒ a 3 − ab 2 + 2b3 = 0 ⇔   − Vd11: x 2 − 10 x − 1 + 2 ( x − 4 ) 3 x − 2 + 14 = 0 Cái này bp khó nhằn, liên hợp thôi. Chú y đk x ≥ 1 a +2=0 b 4 ( x + 1) 3 2 Page PT x3 − x ( x + 1) + 2 ( x + 1) )( x Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon SOLVE với x=1 được x=2 VT , SOLVE = tiếp ta x=2, vậy bt liên hợp có nghiệm kép x=2 X −1 Sửa thành 2 Vậy ta phải liên hợp cho ra ( x − 2 ) = x 2 − 4 x + 4 =A 2 x − 1 + ax + b ⇒ x − 1 − ( ax + b ) ≈ x 2 − 4 x + 4 Muốn tìm bt liên cho ⇒ − a 2 x 2 + (1 − 2ab ) x − b 2 − 1 ∼ x 2 − 4 x + 4   1  − a 2 1 − 2ab −b 2 − 1  a = ± ⇒ = = ⇒ 2 1 4 −4 b = 0 , hay  x − 1 − 1  x  ( do x=2 là nghiệm nên 2  thay vào có 2a+b+1=0, thế tìm a.b)  2 − 1 + 2a + b = 0 1   f ( 2 ) = 0  a = − Lớp 12 học đạo hàm rồi thì ta phải có:  ⇔ 1 ⇔ 2 + a = 0  f ' ( 2 ) = 0  b = 0  2 2 −1 Tương tự ta tìm được :  −4 + 2c + d = 0 1   c = − ⇔ ( x − 4 ) 3x − 2 + cx + d ⇒  3.2 − 2 + 2 − 4 3 2 + c = 0 ( )   d = 5 2 3.2 − 2   x Hay ( x − 4 ) 3x − 2 − + 5 2 ) ( ( ) ( ) Vậy PT tương đương: x 2 − 4 x + 4 − 5 x − 1 − x + 2 ( x − 4 ) 3 x − 2 − x + 10 = 0  ⇔ ( x 2 − 4 x + 4 ) 1 +  3 ( 4 x − 19 ) 5 x −1 + x + 2 ( x − 4)  =0 3 x − 2 + x − 10  Cách khác: Nhóm thành các bình phương nhận x=2 làm nghiệm: x −1 → 2 ( x − 4) ( 2 ) 3 x − 2 → ( 3 x − 2 + bx + c ) x −1 + a 2 Do x =2 là nghiệm , nên có ngay a = −1 , 2 + 2b + c = 0 ….tự nhóm nhé ! VD12: a) ( x 2 + 2 x − 2 ) 3 x + 1 + x3 − 2 x 2 + x − 2 = 0 b) ( 2 x 2 − 4 x − 6 ) x − 1 + x 3 − x 2 − 9 x + 20 = 0 Page 5 c) x 3 + ( 3 x − 2 ) x − 1 − 7 x + 2 = 0 Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon d ) − x 2 + 5 x + 20 + 3 x 2 + 16 x − 60 = −5 x 2 + 5 x + 100 e)7 x 2 + ( 3x + 4 ) 5 x 2 + 6 + 3 x + 1 = 0 f ) ( x − 7 ) 2 − x + ( x − 3) 2 + x + 4 − x 2 = 5 x − 14 g )16 x 3 + 6 x = ( 6 x + 13) 3 x + 5 h) 2 x − 3 + 4 x 2 + 1 = x + 4 − x + 6 + 2 x 4 − x VD13: a ) x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5 b) 3 x 2 − 1 + x = x 3 − 2 c) x 2 + x − 1 = ( x + 2 ) x 2 − 2 x + 2 d ) 2 − x + 4 − x + 2 x − 5 = 2 x 2 − 5x e) x + 2 + 5 x + 6 + 2 8 x + 9 = 4 x 2 f )2 x − 1 + 5 x − 1 = x 2 + 1 g )4 x + 2 + 22 − 3 x = x 2 + 8 h) ( x + 1) x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 = x 2 + 7 x + 12 t ) x3 − 3x + 1 = 8 − 3x 2 u) 2 − x 1 − 5x + 4 1 + =− 3x + 1 6 x + 3 +1 Buổi 4: Kĩ thuật tìm nghiệm kép của pt Vô Tỷ ( bí quết của MON) 2 ĐK: Nếu f ( a ) = f ' ( a ) = 0 thì x=a là nghiệm kép của pt, và pt sẽ phân tích được dạng ( x − a ) . A = 0 B1: Soạn bt f(x), solve, ra được nghiệm đẹp x=a. Tính f’(x) và kiểm tra f’(a)=0 suy ra nghiệm kép là x=a. 2 B2: Trình bày bài giải: Biến đổi về dạng ( x − a ) . A = 0 , có thể khử căn bằng bp hoặc liên hợp, Tìm bt thức liên hợp với căn g ( x ) dạng g ( x ) + mx + n , m,n thỏa mãn  g ( a ) + ma + n = 0 m =  ⇒   2 2  g ( x ) − ( mx + n ) ∼ ( x − a ) ( ti − le − he − so )  n = Page 6 VD: f ( x ) = 6 x 4 − 47 x 2 − ( 2 x + 4 ) 5 x + 6 + 9 x + 106 = 0 Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon f ' ( x ) = 24 x 3 − 94 x − 2 5 x + 6 − 5 ( 2x + 4) +9 2 5x + 6 -F(x) SOLVE x=2, -Bấm bt f’(Ans) trên với x là Ans, bấm =, ra kết quả 0. Vậy x=2 là nghiệm kép. -Tìm bt liên hợp với 5   4 + 2a + b = 0 a=−  5 x + 6 + ax + b = 0    8 5 x + 6 + ax + b = 0 ∼  ⇒  −a 2 5 − 2ab 6 − b 2 ⇒  2 2 = =  b = − 11 5 x + 6 − ( ax + b ) ≡ ( x − 2 ) 4  1 −4  4 Vậy bt liên hợp là: 5 11 5x + 6 − x − 8 4 Giải: Ta có f ( x ) = 6 x 4 − 47 x 2 − ( 2 x + 4 ) 5 x + 6 + 9 x + 106 = 0  5 x 11   5 x 11    ⇔  6 x 4 − 47 x 2 + 9 x + 106 − ( 2 x + 4 )  +   − ( 2 x + 4 )  5 x + 6 − −  = 0 8 4  8 4    2 1  x + 2  ⇔ ( x − 2 )  ( 24 x 2 + 96 x + 95 ) + 25   = 0 ⇔ x = 2  32   4 Bài luyện: a) 7 x 2 − 2 ( x + 2 ) 5 x 2 + 4 + 2 x + 9 = 0 b) 16 x 5 + 64 x 4 + 36 x3 − 44 x 2 − 18 x − 4 2 x + 3 + 19 = 0 Buổi 5: Phân tích nhân tử pt hai ẩn x và y ( để giải hệ ) ( nguồn bài tập từ ĐVH) Máy tính giải được pt một ẩn, nên với pt nhiều(n) ẩn, máy đòi nhập (n-1)ẩn, và tìm ẩn còn lại. Sự ưu tiên cac bạn tự tìm hiểu ( vd x và y thì máy yêu cầu cho y, tìm x) Đối với bt hai ẩn: f(x,y) ,ta thay một giá trị Y, và máy sẽ tìm ra giá trị X tương ứng. Từ mối quan hệ này ta có thể dự đoán mối quan hệ giữa X và Y. Chú ý khi cho Y , và giá trị khởi đầu X, phải thuộc đk xác định ( nếu ko máy báo lỗi ) B1: Soạn bt f(x;y) Page Máy sẽ tìm ra X ( nếu có ) 7 B2: SOLVE, máy hỏi Y? ta nhập Y một giá trị, rồi nhấn dấu =, máy hỏi tiếp giá trị đầu của X, ta nhập 1 giá trị rồi bấm dấu = Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon B3: Từ mối quan hệ X, Y ta đi chứng minh quan hệ đó ( phân tích nhân tử, liên hợp, hàm số …) 2 2 2 2  x + x − xy + y = 2 xy + xy − y Vd1:  ( Đặng Việt Hùng ) 2  x + 2 y x + 2 = 2 x − 3 y B1: Soạn bt Vt PT1 B2: Solve, Cho y 1000, bấm = ,(máy thông báo solve forx ) , nhập 2000, bấm = (vì khi y=1000, thì đk x 2 − 1000 x , 1000 x − 10002 , nên phải gán x>1000) Máy cho đáp số 1000. Vậy ta đoán x=y B3: Phân tích nhân tử ( trình bày bài giải ) Thay x=y vào các căn ta thấy 2 2 2 x 2 − xy = 0, xy − y 2 = 0 , vậy ta liên hợp hai căn này cho nhau: 2 2 x + x − xy + y = 2 xy + xy − y ⇔ ( x − y ) +  1 2 ⇔ ( x − y ) 1 + x 2 − xy + xy − y 2  ( x − y) 2 x 2 − xy + xy − y 2 =0  =0⇔ x= y   x − 2 y + y2 + x − 2 y + 4 = y + 2  VD2:  ( DVH ) 2 2 x − 16 y + 4 = y x +  y  B1-Soạn bt: x − 2 y + y 2 + x − 2 y + 4 − ( y + 2) B2-Solve: y=100, gán x= 10000, máy chạy ra x=200 ( vì sao cho x lớn thế ? IQ tí nhé ).Vậy x=2y B3- Phân tích: Thay x=2y vào ta có căn thức nhất =y, căn thứ hai =2, vậy ta ghép x − 2 y + y 2 + x − 2 y + 4 − ( y + 2) = 0 ⇔ ⇔ x − 2y x − 2 y + y2 + y + ( ) ( x − 2 y + y2 − y + ) x − 2y + 4 − 2 = 0   x − 2y 1 1 = 0 ⇔ ( x − 2y)  + =0 x − 2y + 4 + 2 x − 2 y + 4 + 2   x − 2 y + y 2 + y Page 2  2 y − 2) ( 2 2  x y + 3 y + 2 x + 1 = y + Vd3:  y − 2 y −1   xy + 4 x + 4 y − 2 = ( 4 x + 6 ) 4 x + 1 8 ⇔ x= y Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon B1: Soạn bt VT-VP pt một, Solve, cho y=101 ( biết vì sao ko ? để căn (y-1) đẹp) , máy giải ra x lẻ . Đảo ngược ẩn: soạn lại bt trên ( với x đổi cho y và ngược lại ) Solve: ch y=100, gán x=2>1, máy cho x=10002, vậy đoán: x = y 2 + 2 Vậy pt đầu có: y = x 2 + 2 Lại nhận thấy với y-2=0 hay y=2 thì mẫu số =0, vậy chúng có nhân tử chung B2: Biến đổi về tích: 2 2 ( y − 2) 2 x y + 3y + 2 x +1 = y + 2 y − 2 y −1 ⇔ x2 y + 2 y − y 2 + 2 x2 + 1 − 2 y − 1 = 0 Thử thay y = x 2 + 2 vào hai căn thấy chúng = nhau, nên chúng “nên duyên “ liên hợp : y ( x + 2 − y) + 2   2 = 0 ⇔ ( x2 + 2 − y )  y +  = 0 ⇔ y = x2 + 2 x2 + 1 + y −1  x 2 + 1 + y − 1  2 ( x2 + 2 − y ) Luyện : 2y − 2  3 x − y + 4 x + 4 = x + 1 vd3  3 y + 12 x + 3 = y + 2 2 x + 4 − 1  x ( 2 y ( x − y + 1) + ( x − y + 2 ) x + 3 y = 4 y − 1 Vd4:  2  x + 2 y − 6 + x + 3 = 2 x + y + x )  x + 1 = 2 y + ( 2 x + 2 y − 1) x + 3 y + 1 − 3x 2 x + y + 2 Vd5:  2 2 3 x + 3 + 2 x = x + 4 y + 3 Buổi 6: CASIO với phương pháp hàm số Mục đích vẫn là tìm quan hệ x,y trong một pt của hệ, từ đó xấy dựng hàm đặc trưng f ( a ) = f ( b ) , f đơn điệu trong khoảng chứa a,b, suy ra a=b.  3 3y2 − 5 = x − 2 +1  VD1:  2 2 ( x + y − 3) x + y + 5 = ( 2 x − 3) 2 x + 5 B1: Soạn bt VT-VP của pt hai, solve với y=100- x=10000, suy ra x=y2 hay 2x=x+y2 ( ) 3 3x − 5 = x − 2 + 1 Page ⇔ x + y 2 = 2 x ⇔ x = y 2 . Thay vào pt1: 9 Vậy hàm số đặc trưng là: f ( t ) = ( t − 3) t + 5 , pt có dạng f x + y 2 = f ( 2 x ) Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon 6 2 2 3 3 3  x + 3 x y = x y + 3 xy VD2:  ( DVH ) 3 3  2 y − 1 + 3 x + 6 x = 2 y + y + 7 B1: Khai thác pt một bằng casio: y=100- x=100, vậy dự đoán x=y B2: -Phân tích thành nhân tử ( lớp 10) x 6 + 3 x 2 y 2 = x3 y 3 + 3 xy 3 ⇔ ( x 6 − x 3 y 3 ) + 3 ( x 2 y 2 − xy 2 ) = 0 ⇔ x 3 ( x3 − y 3 ) + 3 xy 2 ( x − y ) = 0 x = y ⇔ ( x − y )  x 3 ( x 2 + xy + y 2 ) + 3 xy 2  = 0 ⇔ x ( x − y )  x 2 ( x 2 + xy + y 2 ) + 3 y 2  = 0 ⇔  x = 0 3  x2   x2   x2  x = 0 x2 Cách 2: Chia hai vế cho y :   + 3   = x 3 + 3 x ⇔ f   = f ( x ) ⇔ =x⇔ y x = y  y   y   y  4 3 2 2 7 + + 4 + + 3 9x + 9 = 0 x y ( ) 2  y +4 VD3:  (ĐVH) 4 x + 1 + xy y 2 + 4 = 0  4 B1: Khai thác pt1 bằng casio: y=1=>x=-0,8 = − ( khó đoán hì ) 5 4 Cho y= 12 ( tự biết vì sao nhé ) cho ra x=-0,25, đoán x = − 2 y +4 3 B2: Ta biến đổi pt hai: ⇒ 16 ( x + 1) + x 2 y 2 ( y 2 + 4 ) = 0 ⇔  x ( y 2 + 4 ) + 4 ( xy 2 ) + 16 ( x + 1) − 4 xy 2 = 0  x ( y 2 + 4) + 4 = 0 2 2 2   ⇔  x ( y + 4 ) + 4 ( xy ) + 4 ( xy + 4 x + 4 ) = 0 ⇔   xy 2 + 4 = 0 ( các bạn biết chỗ màu đỏ ấy từ đâu rồi chứ ) x 2 y 4 + 4 x 2 y 2 + 16 x + 16 = 0 Cách khác: Xét pt bậc hai ẩn x: ∆ ' = 4 x 4 − x 2 (16 x + 16 ) = 4 x 2 ( x − 2 ) 2 ( đẹp ) Cách Thầy HÙng đưa về hàm số quá phức tạp: …. 1 3x + 4  2 x + 3y +1 = y − y + x +1 VD4:   9 y − 2 + 3 7x + 2 y + 2 = 2 y + 3  B1: Casio pt1: cho y=100 x=9999, vậy x = y 2 − 1 ⇔ Đặt a = x +1 = y x + 1 ⇒ x = a −1 2 1 3a 2 + 1 1 1 ⇔ a 2 − − 3a = y 2 − − 3 y ⇔ f ( a ) = f ( y ) ⇔ a = y Pt1 trở thành: a + 3 y = y − + y a a y 2 2 ( )( )  x ( x 2 + 4 ) + 1 = y + 3 3x 2 + y  4)  2  −6 x + 2 y + 10 x − 16 x + 4 = 0 Page 2 x + 3 2 x − y = y + 4  1)  2 2 x2 + 1 − x = 1  x y 1 + y + 1 10 Luyện: Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon  2x +1 x2 + x + 1 =  y2 + 3  2y 2)   y + 3 − 2 x − y + 3 = 12 x − 8  9 x 2 + 16   y3 + 3 2 x − 2 y + 3 = 3 3  x +3 3)  2  2 y − 3x + 2 y + 1 = 2  6x − 5  1 4 y +1 = 2 x2 − 4 + 2  x−2 + − y y 5)   2 2 2 2 2 x y − x = x + 1 − 2 x y 4 y + 1 ( x 2 + 4 ) ( x − 2 ) y − 1 + 2 = y 2 − 2 y + 15  6)   y − 10 x + 11 + x 5 x − 6 = 0 ( ) Page 11 --------------------------------------Còn nữa-------------------------------------------- Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon Buổi 7: Phân tích nhân tử biểu thức chứa căn Mục đích phân tích là nhằm đưa pt phức tạp về tích các phương trình đơn giản hơn. Một pp rất cơ bản mà mọi loại phương trình đều có. VD1: Giải bất pt: x 2 + 5 x = ( x + 2 ) x 2 + 3 Để giải pt này ta có thể bp hai vế, rồi phân tích nhân tử như đã học. Tuy nhiên bây giờ ta sẽ ép tích ph này. Dùng máy, dễ dàng cho ra nghiệm x=1 x 2 + 3 = 2 , tìm nghiệm khác 1 thì thấy ko có nghiệm đẹp nữa. Vậy chứng tỏ có Thay x=1 vào một nhân tử tạo ra pt bậc nhất. Ta nghĩ ngay dạng Vậy ta nhóm: x2 + 5x = ( x + 2) x2 + 3 ⇔ x2 + 3 = ⇔ x 2 (x + 3 − x −1 = − + 3) − ( x + 1) 2 x 2 + 3 − x + a = 0, x = 1 ⇒ a = −1 x2 + 5x x2 + 5x 2x − 2 ⇔ x2 + 3 − x − 1 = − x −1 = x+2 x+2 x+2 2 ⇔ x+2 ( )( ) x2 + 3 − x − 1 x + 2 + x2 + 3 + x + 1 = 0 Khi giải ta chỉ cần trình bày: (1) ⇔ (  x2 + 3 = x +1 x = 1 x + 3 − x −1 2x + 3 + x + 3 = 0 ⇔  ⇔  x 2 + 3 = −2 x − 3  x = −2 ± 2 )( 2 ) 2 VD2: ( x − 2 ) 2 − x + 2 ( x + 1) 2 x − 1 + 2 ( 2 − x )( 2 x − 1) = 4 x + 1 2 − x , 2 x − 1 , và tích của chúng. Quan sát ta thấy có tham gia vào pt là : Ta giảm căn bằng cách đặt t = 2 − x ⇒ x = 2 − t 2 ( Pt trở thành: −2t 2 + 2t + 6 ) 3 − 2t 2 = t 3 − 4t 2 + 9 1 . Thay vào biểu thức dạng : 3 1  a=− a + b = 1    2 3 − 2t 2 = at + b ⇒  a 5⇒ − 3 + b = 3 b = 3  2 Solve ra được hai nghiệm đẹp x = 1; x = − Nhân tử sẽ là: 2 3 − 2t 2 + t − 3 Ta biến đổi: ( −2t + 2t + 6 ) 3 − 2t = t − 4t + 9 ⇔ ( −t + t + 3) ( 2 3 − 2t + t − 3 ) = t 2 2 2 3 2 2 ( 3 − 4t 2 + 9 + ( −t 2 + t + 3) ( t − 3) ) ⇔ ( −t 2 + t + 3) 2 3 − 2t 2 + t − 3 = 0 ⇒ OK Bài tập: =0 12 2) ( x − 7 ) 2 − x + ( x − 7 ) 3x + 1 + 9 x + 3 + 3 2 + 5 x − 3x 2 − ( x + 2) x2 − 1 − x x2 + 1 + x4 − 1 = − x2 + 2 x + 3 Page 1) Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon Buổi 8: Dùng bảng (table) trong TH nghiệm lẻ. Như ta đã biết, nếu máy tìm ra nghiệm lẻ, thì chúng ta cần tìm nghiệm sinh đôi của nó, từ đó tính tông, tich của chúng, rồi dùng viet đảo tìm ra biểu thức nhân tử bậc hai đó. Sau đây cũng là 1 cách, tuy nhiên chi đúng với một số TH đơn giản. f ( x ) + ax + b a, b ∈ Z VD: Giải pt: ( 3 x − 5 ) 2 x 2 − 1 + 4 x 2 − 6 x + 3 = 0 Soạn bt VT, solve với x=1, ra được nghiệm lẻ gán vô A. Bấm MODE 7, nhập hàm số 2 A2 − 1 + AX , bấm =,=, nhậ p giá trị đầu x=-5 và giá trị cuối x=5, bước nhảy step là 1, bấn =, ta được bảng giá trị của hàm số trên ứn với x=-6 đến x=5 Trong bảng đó chú ý, với x=2 thì giá trị tương ứng là 4 ( là số hữu tỉ là OK) Điều đó có nghĩa là thức: 2 A2 − 1 + 2 A = 4 ⇔ 2 A2 − 1 + 2 A − 4 = 0 hay A là nghiệm của biểu 2 x 2 − 1 − 2 x − 4 . Đây chính là bt liên hợp hoặc nhân tử của VT trên. Ta cần có: ( 3 x − 5 ) 2 x 2 − 1 + 4 x 2 − 6 x + 3 = ( 2x2 − 1 + 2x − 4 )( 2 x 2 − 1 + cx + d ) Để tim c, d ta dùng nhiều cách: 2 x 2 − 1 x2, x và hệ số tự do.: c = 1 Nhân bt cần có , đồng nhất hệ số ta có:   d = −1 -Đống nhất hệ số của C2: Cho hai giá trị x ta có hệ bậc nhất c và d C3: Tiếp tục dò nghiệm bt Tóm lại: pt tương đương ( 2x2 − 1 + 4x2 − 6x + 3 ( 3x − 5 ) 2x2 − 1 − 2x − 4 )( 2x2 −1 + x −1 ) 2x2 − 1 + 2x − 4 = 0 Nhận xét: Bảng giá trị có tác dụng với giá trị nguyên, nên dạng f ( x) + m c x + vô tác dụng. n d Tuy nhiên ta có thể dự đoán mẫu đưa về hệ số a f ( x ) + cx + d , hệ số a ta dự đoán, dùng table tìm c, d nguyên. VD2: ( x − 5) x 2 + x + 2 + 5 x 2 + 11x + 6 = 0 Soạn btVT, solve cho x=1 ta được nghiệm x=0,971…, lưu vào A . 2 Vào MODE 7, soạn f ( x ) = 2 A + A + 2 + Ax , vào cho x từ -5 đến 5, ta được bảng giá trị với x=1 f(x) =3 đẹp ( hữu tỉ ) Vậy bt nhân tử ( hoặc liên hợp ) là: 2 x 2 + x + 2 + x − 3 ( )( ) Đến đây ta có phân tích: 2 x 2 + x + 2 + x − 3 a x 2 + x + 2 + bx + c = 0 , Từ tìm a,b,c các bạn nhé ! Hạn ché: Dạng f ( x ) + ax 2 + bx + c thì Table được ko ? Luyện : Giải các phương trình: 3) ( 3x 2 − 5 x + 11) x 2 + 8 − 2 x3 + 13x 2 − 10 x + 32 = 0 Page 2) ( x 2 + 3x − 7 ) x 2 + 1 + 2 x 3 − 6 x 2 − 5 x − 17 = 0 13 1) ( 2 x − 7 ) 3x + 1 + x 2 − 4 x − 7 = 0 Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon Buổi 9: Gợi ý tìm nghiệm hệ, tìm nhân tử chung của các biểu thức ( rút gọn phân thức, phân tích nhân tử …)  f ( x ) = 0 2 2 ⇔ f ( x ) + g ( x ) = 0 . Do vậy để tìm nghiệm chung hai bt f(x) và g(x) ,  g ( x ) = 0 Nhận xét:  2 ta đi dò nghiệm pt : solve f ( x ) + g ( x ) 2 VD1: 4 x 2 − 8 x + x + 3 − 3 x − 1 = 0 một bài khá đơn giản, nhưng mang tính minh họa cao. ( Soạn: 4 x 2 − 8 x 2 ) +( ) 2 x + 3 − 3 x − 1 , solve được x=2 Vậy ta biết hai biểu thức trên có nhân tử chung, từ dò ép tích lh nhé. VD2: 2 x 2 − 2 x − 1 + 3 x3 − 14 = x − 2 ( Soạn : 2 x 2 − 2 x − 1 2 ) ( + 3 ) 2 x3 − 14 − x + 2 solve với x=-1 ta được 1 nghiệm xấu, sto A. Như vậy hai biểu thức trên có nhân tử chung. ( ) Vậy ta biến đổi liên hợp biểu thức thứ 2, sẽ có nhân tử chung là x 2 − 2 x − 1 . VD3: ( x + 4) 3x + 1 + 9 x − 4 2 3x + 1 + x − 2 > 3 + x + 3 + 6 x − 3 3 x 2 + 10 x + 3 Ta không thể quy đồng, mà nghĩ tới việc rút gọn phân thức vế trái. Lấy máy tính bấm SOLVE mẫu số 2 3 x + 1 + x − 2 được 1 nghiệm gán vào A ( SHIFT STO A). Bấm AC ( xóa ), soạn biểu thức bấm = được 0 ( gán nghiệm trên vào bt được ko, hoặc thay x bởi A bấm =0 ), như vậy chứng tỏ MS và TS có nghiệm chung hay có nhân tử chung. Vậy ta có: ( x + 4) 3x + 1 + 9 x − 4 2 3x + 1 + x − 2 ⇔ (2 3x + 1 + x − 2 )( > 3 + x + 3 + 6 x − 3 3 x 2 + 10 x + 3 3x + 1 + 3 2 3x + 1 + x − 2 ) > 3+ x + 3 + 6 x − 3 3 x 2 + 10 x + 3 ⇔ 3 x + 1 + 3 > 3 + x + 3 + 6 x − 3 3 x 2 + 10 x + 3 ( ⇔ 3 x + 1 − x + 3 > 3 2 x − 3 x 2 + 10 x + 3 ) Đến đây bt được giải bằng pp ẩn phụ ( đặt hiệu hai căn =t ) VD4: x + 3 −1 2 6 − x − x 2 − 2 2 − x − ( x + 1) x + 3 + x + 1 ≤ 2− x − x+2 (1 − x ) 2 − x + 3 − 3x Ta cần xem TS và MS mỗi phân thức có nhân tử chung hay ko , hai TS và hai MS có nhân tử chung hay ko ? Nhận thấy TS bên trái có nghiệm x=-2 thay vào MS bên trái thấy =0, nên ta phân tích MS vế trái theo tử số. Tương tự, đối với phân thức bên phải và giữa hai MS. Vậy ta có: (2 )( 2 − x − x −1 ≤ ) (2 x + 3 −1 2− x − x+2 )( 2 − x − x −1 ) 2 − x +1 14 x + 3 −1 Page (1) ⇔ Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon (1) ⇔ 1 (2 ) (2 )( 2 − x − x −1   ⇔ 2 2 − x − x −1   1 ( ⇔ 2− x − x+2 ≤  ≤0⇔ 2 − x +1  2   −3 ≤ x ≤ 2 ≤0⇔  x ≠ −1 +1 2 − x +1 x −1 )( −1 2 2 2 − x +1 ) ( 2 − x − x −1 )   1 − 2 − x − x + 2  ≤ 0 2 2 − x − x −1  2 − x +1    1 ⇔ x −1 ( ) ( ) ≤0 ) 2 − x −1 + 1− x  f ( x, y ) = 0 2 2 ⇔ f ( x, y ) + g ( x, y ) = 0  g ( x, y ) = 0 Vấn đề nghiệm hệ:  Vậy có hai cách dò nghiệm hệ: 2 2 Soạn : f ( x, y ) + g ( x, y ) rồi gán x,y vào xem cặp nào =0 ( có vẻ nhanh hơn thử bt ) Hoặc cho y tìm x? ( máy chạy lây và chưa chắc đúng ). Nếu pt chứa căn nên chọn cặp x,y để căn đẹp hoặc hiệu hai căn =0 ( dù căn ko đẹp ).) Các bạn thử đi nhé ! Nếu rút thế được , dù phức tạp, ta cũng nên thế đưa về 1 ẩn rồi solve tìm x,y  xy + x + 1 = 7 y VD1:  2 2 2  x y + xy + 1 = 13 y ( B − 2009 ) 2  7 y −1  2 7 y −1 Ta rút thế và soạn nguyên bt:  . y + 1 − 13 y 2 , SOLVE ra y=1, y=1/3. Từ đó suy ra  y + y +1  y +1  nghiệm hệ. ( 4 x 2 + 1) x + ( y − 3 ) 5 − 2 y = 0 VD2:  ( A − 2010 ) 4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x = 7 Cách 1: Thế: ( ) Soạn bt: 4 x 2 + 1 x + ( 7 − 4 x2 − 2 3 − 4x − 3 ) 5 − 2 7 − 4 x 2 − 2 3 − 4 x , SOLVE được x=1/2 suy ra y=2. Cách 2: Nhắm nhe hai căn đẹp thì có thể đoán x=1/2 và y=2, hoặc x=-1/4,y=2,…, soạn bt để thử cho 2 2 nhanh:  4 x 2 + 1 x + ( y − 3) 5 − 2 y  +  4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x − 7  ….    Chúc các bạn mùa thi QG THPT thành công ! 15 ) Page (