Tài liệu Khảo sát sự suy giảm và thăng giáng trong quang học lượng tử Luận văn Thạc sỹ Vật lý

T rang 1 LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Huy Công, người thầy đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tôi rất nhiều về kiến thức cũng như phương pháp nghiên cứu đề tài để tôi thực hiện và hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, Ban chủ nhiệm phòng đào tạo sau Đại học, chủ nhiệm chuyên ngành TS. Nguyễn Huy Bằng, TS. Nguyễn Văn Phú cùng các thầy cô của trường Đại Học Vinh đã giúp đỡ, giảng dạy và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn cảm ơn Ban giám hiệu và Tập thể các thầy cô giáo Trường Đại Học Sài Gòn đã giúp đỡ quý báu cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người thân, những đồng nghiệp và tập thể anh chị em học viên lớp cao học 19 quang học đã dành tình cảm, động viên giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn đế hoàn thành luận văn. Sài gòn, tháng 6 năm 2013 Tác giả Trang 2 MỤC LỤC Trang Lòi cảm ơn Mở đầu ......................................................................................................................... 4 Chương 1: Sự suy giảm và thăng giáng của các đại lượng cổ điển................6 1.1 Khái niệm về sự suy giảm.....................................................................................6 1.2 Khái niệm về các thăng giáng ngẫu nhiên..........................................................6 1.3 Các hàm tương quan cổ đ iể n ............................................................................... 7 1.3.1 Hàm tương quan...............................................................................................7 1.3.2 Hàm tương quan cổ điển.................................................................................9 1.4 Chuyển động Brown............................................................................................... 9 1.4.1 Khái niệm chuyển động Brown..................................................................... 9 1.4.2 Phương trình Langevin.................................................................................. 11 1.4.3 Mau Boltzmann - Lorentz........................................................................... 16 1.5 Phương trình Fock-Planck cổ điển.....................................................................19 Kết luận chương 1....................................................................................................... 23 Chương 2. Sự suy giảm và thăng giáng của các đại lượng lượng tử ............ 24 2.1 Khái niệm về các thăng giáng lượng tử ............................................................. 24 2.1.1 Thăng giáng lượng tử .....................................................................................24 2.1.2 Các hàm tương quan lượng tử ...................................................................... 24 2.1.2.1 Hàm tương quan lượng tử của các nhiễu trắng.................................... 25 2.ỉ . 2.2 Hàm tương quan lượng tử của các nhiễu màu (nhiễu telegraph)..... 25 2.2 Dạng lượng tử của Phương trình Langevin và phương trình Fock-Planck...27 2.2.1 Dạng lượng tử của phương trình Langevin................................................27 2.2.2 Dạng lượng tử của phưưng trình Fock-Planck............................................31 2.3 Ma trận mật độ và phương trình ma trận mật độ đối với trường được lượng tử hoá.............................................................................................................................33 2.3.1 Ma trận mật độ................................................................................................ 33 Trang 3 2.3.2 Phương trình ma trận mật độ..................................................................... 34 2.3.3 Phương trình ma trận mật độ đối với trường đã được lượng tử hoá..... 36 Kết luận của chương 2 ........................................................................................... 42 Kết luận văn................................................................................................................43 Tài liệu tham khảo.................................................................................................... 44 Trang 4 M Ở ĐẦU N hư chúng ta đã biết, trong quang lượng tử, sự suy giảm đóng một vai trò rất quan trọng. Chẳng hạn như trong sự chuyển của nguyên tử từ trạng thái kích thích về trạng thái có mức năng lượng thấp hơn hay sự phân rã của trường phát xạ bên trong hộp cộng hưởng với các gương phản xạ không hoàn toàn thì khi đó các thông số của hệ lượng tử có sự tiến hóa, cụ thể là xuất hiện sự suy giảm do quá trình tương tác của hệ với môi trường. Sự thay đổi đó được phản ánh trong các phương trình chuyển động của các thông số của hệ với các thông số xác định của môi trường. Vấn đề mà chúng ta đặt ra là khảo sát sự suy giảm của chuyến động của các phân tử, nguyên tử (hạt vật chất) trong môi trường. Môi trường đó có thể là một môi trường thuần tuý cổ điên cũng có thê là một môi trường đã được lượng tử hoá. Trường họp môi trường được mô tả thuần túy cổ điến, đã có nhiều nghiên cứu đề cập đến vấn đề suy giảm này. Chẳng hạn như việc nghiên cứu chuyển động của các hạt vật chất trong chất lỏng (chuyển động Brown). Khi xét chuyển động của các hạt vật chất, chúng ta quan tâm đến những lực có tác dụng gây nên sự thay đổi chuyển động của hạt đó. Sự thay đổi này xẩy ra một cách hết sức ngẫu nhiên cả về hướng cũng như cả về độ lớn. Đối với trường hợp các hạt chuyển động theo các quy luật cổ điển, tức là chuyển động theo các quỹ đạo cụ thể, chúng ta đã có nhiều công trình nghiên cứu đề cập đến. Trong lý thuyết cổ điển, người ta đã thiết lập được các phương trình mô tả quy luật thay đối của các thông số cố điên dưới tác dụng của các lực cổ điển. Tuy nhiên, hiện tượng suy giảm này xẩy ra như thế nào khi môi trường mà chúng ta khảo sát đã được lượng tử hóa. Trong luận văn này, ngoài việc trình bày về lý thuyết suy giảm cổ điên khi môi trường còn được xem là môi trường cổ điển, tức là chưa được lượng tử hoá, chúng tôi sẽ đề cập đến sự suy giảm khi có mặt môi trường đã được lượng tử hoá Trang 5 và tính toán về những sự thay đối của các thông số đặc trưng cho hệ lượng tử khi có mặt của các môi trường này. Đồng thời luận văn tập trung khảo sát ma trận mật độ cũng như phương trình ma trận mật độ cho trường hợp đại lượng vật lý, cụ thể ở đây là cường độ trường điện, được xem xét theo quan điểm lượng tử, nghĩa là được biểu diễn dưới dạng toán tử. Ngoài ra, luận văn đề cập đến việc giải phương trình ma trận mật độ và tìm ra dạng tường minh của ma trận mật độ ímg với một trạng thái lượng tử cụ thể của trường điện từ. Được thông qua cấu trúc luận văn gồm 2 chương: Chương 1 - đề cập đến những vấn đề chung của sự suy giảm và thăng giáng của các đại lượng cổ điến. - Khảo sát chuyên động Brown, thiết lập phương trình LangeYin đối với chuyển động brown, mẫu va chạm Boltzmann —Lorentz. - Khảo sát phương trình Fock - Planck cũng như nghiệm của phương trình này đối vói trường hợp suy giảm của trường điện khi có sự va chạm với các phần tử của môi trường dẫn. Chương 2 - của luận văn, chúng tôi đề cập đến sự suy giảm của các đại lượng đã được lượng tử. - Trình bày tổng quan về những thăng giáng và các hàm tương quan của các đại lượng lượng tử. - Khảo sát các dạng lượng tử của các phương trình Langevin và phưưng trình Fock-Planck. - Trình bày phương pháp giải phương trình ma trận mật độ trong trường hợp trường được lượng tử hoá. - Dan dắt ra dạng tường minh của ma trận mật độ khi tính toán cho một trạng thái lượng tử cụ thể của trường. Trang 6 Chương 1 S ự SUY GIẢM VÀ THĂNG GIÁNG CỦA CÁC ĐẠI LƯ ỢNG CỔ ĐIỂN 1.1 Khái niệm về sụ suy giảm Như chúng ta đã biết, khi khảo sát các thông số của một đại lượng vật lý nào đó, chúng ta phải xét đại lượng đó nằm trong một mối quan hệ nào đó với các đối tượng xung quanh (tức là đối với một môi trường vật chất nào đó). Không gian chứa đựng các đối tượng xung quanh đó, thông thường, trong nhiệt động học, không gian đó được gọi là bể nhiệt; còn lại nói chung, không gian đó chứa một môi trường vật lý nào đó. Chẳng hạn, đại lượng vật lý đó có thế là một vật có khối lượng chuyển động trong trường hấp dẫn của quả đất (trường hấp dẫn) hay đại lượng vật lý đó có thể là một điện tích chuyến động trong trường điện từ,..v.v.... Dĩ nhiên khi một đại lượng vật lý nào đó, chuyển động trong một môi trường vật chất, nó sẽ tương tác với các hạt vật chất của chính môi trường đó. Kết quả của sự tương tác đó là các thông số của đại lượng đó được thay đổi theo thời gian. Chăng hạn do va chạm với các phân tử trong chất lỏng mà một hạt vật chất chuyên động trong chất lỏng sẽ bị giảm tốc độ. Thậm chí nếu mật độ phân tử của môi trường khá dầy đậc thì hạt vật chất đó hầu như không thể chuyển động được nữa. Nghĩa là, các thông số đặc trưng cho chuyển động của hạt vật chất bị suy giảm. Sự suy giảm đó là nhiều hay ít, phụ thuộc vào chính môi trường đó, tức là phụ thuộc vào trường vật lý mà trong đó hạt vật chất tồn tại. 1.2 Khái niệm về các thăng giáng ngẫu nhiên Một trong những vấn đề quan trọng nhất của quang học lượng tử là nghiên cứu tương tác của hệ lượng tử với trường ánh sáng kích thích. Khảo sát sự tương tác này, chúng ta tìm được sự thay đối theo thời gian của các thông số đặc trưng của hệ lượng tử thông qua việc giải phương trình chuyến động. Phương trình này, dưới dạng ma trận, được biêu diễn như sau: ^ P ~ = M V (t) dt (1.1) Trang 7 trong đó V là một véc tơ Bloch chứa một số thông số của hệ lượng tử. M là một ma trận có các thành phần là các đại lượng như tần số Rabi ( Q ), độ lệch tần ( A) và các hệ số Einstein (À) đặc trưng cho sự phân rã ngẫu nhiên. Phương trình này có dạng giống như phương trình Bloch trong cộng hượng thuận từ nên có tên gọi là phương trình quang học Bloch [1]. N hư chúng ta đã biết, trong hệ lượng tử có rất nhiều mức năng lượng. Nếu để ý đến tất cả các mức năng lượng, chúng ta sẽ vấp phải khó khăn về mặt toán học và khó có thể giải được một cách giải tích. Để có thể giải được phương trình quang học Bloch một cách giải tích, chúng ta phải sử dụng điều kiện gần đúng, đó là xem hệ nguyên tử chỉ là một hệ nguyên tử hai mức. Với việc sử dụng điều kiện gần đúng hai mức này, chúng ta dễ dàng khảo sát được ảnh hưởng của các thăng giáng của trường kích thích lên các thông số của hệ lượng tử một cách định lượng. Những kết quả thu được từ điều kiện gần đúng này vẫn giúp chúng ta thu được những kết quả thực nghiệm khá phù hợp với thực nghiệm và cho phép chúng ta giải thích và hiếu thêm được nhiều bản chất vật lý liên quan đến các sự kiện thực nghiêm đó. 1.3 Các loại hàm tương quan cố đien 1.3.1 Hàm tương quan Giả sử X là một biến số ngẫu nhiên. Hàm số f(x) được gọi là một hàm ngẫu nhiên nếu giá trị của nó không phgụ thuộc đơn giá vào biến số X. Nghĩa là ở một giá trị của X, hàm f(x) có thể nhận ngẫu nhiên các giá trị khác nhau. Khi đó ta chỉ có thể nói về xác suất để ở giá trị X cho trước, f(x) có giá trị nằm trong khoảng từ f(x) đến f(x) + df(x) là bao nhiêu. Nếu đại lượng ngẫu nhiên X là hàm của thời gian thỉ khi đó quá trình được mô tả bởi hàm ngẫu nhiên theo thời gian (thông thường được gợi một cách ngắn gọn là quá trình ngẫu nhiên). Đại lượng quan trọng nhất, đặc trưng cho một quá trình ngẫu nhiên là hàm tương quan của đại lượng ngẫu nhiên. Hàm tương quan K ( r ) được định nghĩa là giá trị trung bình của tích các hàm ngẫu nhiên ở hai thòi điêm khác nhau t và 1 ( t= t+ r ) [3]: 1T _>/J1 0 K ( T ) = ^ m ặ Ị f ( t ) f ( t + T)dt (1.2) Hay: K ( t)=< f ( t ) f ( t + T )> (1.3) Trang 8 ở đây đại lượng T có thể nhận giá trị âm hay dương. Như vậy hàm tương quan chính là số đo định lượng mối liên kết giữa các giá trị của hàm ngẫu nhiên ở các thời điểm kế tiếp nhau. Nếu T đủ lớn để các giá trị của hàm ngẫu nhiên ở thời điểm t và t + T không phụ thuộc vào nhau thì: K ( j ) =< f ự ) f ( t + ĩ ) >=< f i t ) X f ự + T)>=0 (1.4) Còn khi T = 0 thì: K (0)= < f2ự)> (1.5) Nghĩa là K ( t ) trùng với trung bình của bình phương hàm ngẫu nhiên f ự ) . Dạng cụ thê của hàm tương quan phụ thuộc vào tính chất của quá trình ngẫu nhiên. Ta có thế khai triển hàm ngẫu nhiên /(r) qua tích phân Fourier: f(t) = J f(ữ>) QXọ(icđ)dũ) (1-6) —co Khi đó ta biểu diễn < f 2(t) > dưới dạng: < / 2(0 > - ịl{ữ>)dcù = 2 ịl(a))dcù -M (1-7) 0 Hàm I(co) được gợi là mật độ phổ với các tính chất: I( cở) > 0 và / (cơ) = ỉ (-Cử) Thay (1.6) vào (1.7) ta được: < / 2( 0 >= J ịdcởdcủ'qx^ ( cũ+Cù )t\< f ( c ở ) f ( à ) > (1-8) ở đây / O ) là phép biến đổi Fourier ngược của / ( 0 / 0 ) = Y~ Ị fự)exp(-i(ơt)dt (1.9) Khi đó: < Ỵ — 00 — CO Thay t’ = t + T vào (1.10) và biến đổi ta được: -y j ịdtdt'QXỹ[-i(cũ + à ) t \ < f ( J ) f ự ) > (1 1 0 ) Trang 9 Thay (1.11) vào (1.7) và biến đổi ta được: J < / 2(0>= 271 +00 fexP(-ia>T)K(T)da>dT ( 1.12) So sánh (1.12) với (1.7) ta rút ra: J +CO J +O0 /(ứ)) = —— [ Q X p (-ỈC Ơ T )K (T )d T = — \ Q X\)(-ÌCũT)K(T)dCùdT 271 ^ ị (1.13) Sử dụng phép chuyển ảnh Laplace,ta có: /(® ) = 2ReẪT(z)|:, m (1.14) Như vậy là khi biết hàm tương quan đặc trưng cho một đại lượng thăng giáng, chúng ta có thể tính được mật độ phổ của đại lượng đó. 1.3.2 Hàm tương quan cô điên Nếu đại lượng chúng ta cần tính hàm tương quan là một đại lượng cổ điển (vĩ mô) thì chúng ta gọi hàm tương quan của đại lượng đó là hàm tương quan cổ điển. Chẳng hạn chúng ta cần xác định hàm tương quan của cường độ dòng điện ở hai thời điểm gần nhau thì đại lượng (ỉ(t)ỉ(t')} được gọi là hàm tương quan cổ điển. 1.4 Chuyển động Brown 1.4.1 Khái niệm về chuyến động Brown Trong trường hợp khi hạt chuyển động trong chất lỏng, vận tốc của hạt bị giảm đi do một lực cản tỷ lệ với vận tốc của hạt. Khi nghiên cứu kỹ lưỡng chuyển động của hạt như vậy chúng ta thấy rằng hạt đó thực hiện một chuyển động hỗn loạn. Hiện tưựng này lần đầu tiên được quan sát bởi nhà sinh vật học R. Brown. Vì thế mà nó có tên gọi là chuyển động Brown.[4] Theo Albert Einstein, nguyên nhân của việc hình thành chuyển động Brown (chuyển động lộn xộn của một hạt nhỏ xíu trong một chất lỏng) là do nhiều “cú sút” nhỏ mà hạt phải nhận lấy là hệ quả của chuyển động nhiệt của chất lỏng. Ban đầu, Einstein và những nhà vật lí khác tin rằng những cú sút này là độc lập với chuyển động của hạt và được đặc trưng bởi sự nhiễu trắng. Tuy nhiên, vào Trang 10 giữa thế kỉ 20, các nhà vật lí bắt đầu nhận ra rằng khi mật độ của hạt và của chất lỏng bằng nhau, thì những cú sút đó không hoàn toàn ngẫu nhiên nữa. Thậy vậy, người ta dự đoán có những “tương quan bền bỉ” giữa chuyển động của chất lỏng và hạt. Những tương quan này phát sinh do các hạt chuyến động trong một chất lỏng sẽ làm cho chất lỏng xung quanh chuyển động, thành ra sẽ ảnh hưởng đến chuyển động của hạt. Hình 1.1- Ảnh minh họa một quả cầu nhỏ xíu (ở giữa) được giữ bởi những nhíp quang học và chịu những cú sút ngẫu nhiên từ chất lỏng xung quanh. (Ảnh: Alain Doyon và Sylvia Jeney) Thí dụ, một người đang bơi ở một tốc độ không đổi sẽ đấy một phần nước xung quanh đi cùng vói người đó. Nhưng nếu người đó dừng lại đột ngột, thì người đó sẽ chịu một lực đẩy về phía trước từ khối nước đang chuyển động. Các nhà nghiên cứu gọi đây là “bộ nhớ thủy động lực học”, nhưng người ta vẫn khó quan sát thấy nó vì những hạt nhỏ xíu chịu sự chuyến động Brown. Trang 11 Trong khuôn khổ chuyển động Brown, thăng giáng nhiễu trắng có nghĩa là hạt thăng giáng với cường độ (hay năng lượng) như nhau, bất kể tần số các thăng giáng là khác nhau. Tuy nhiên, các thí nghiệm của Jeney cho thấy những tần số cao thật sự có độ lớn thăng giáng cao hơn - nghĩa là sự nhiễu không còn trắng nữa mà đã có màu [2]. Xét hệ gồm hạt và môi trường (thông thường được gọi là bê nhiệt). Bê nhiệt này gây nên hai hiện tượng: 1. Làm giảm vận tốc chuyển động của hạt; 2. Tạo nên những thăng giáng thống kê (ngẫu nhiên); Như vậy là bế nhiệt đóng một vai trò quan trọng trong khi xét đến chuyển động của một hạt nào đó tồn tại trong nó. 1.4.2 Phương trình Langevin Đe đơn giản ta xét chuyển động Brown một chiều. Giả sử hạt có khối lượng m, ở thời điểm t hạt có vận tốc v(/). Dưới ảnh hưởng của ngoại lực, hạt có gia tốc được xác định từ phương trình Newton [5]: m ^ ầ = K(t) dt v’ (1.15) (1.16) 2. Lực tương tác của các hạt khác trong chất lỏng. Ta giả thiết, lực tương tác này chỉ xuất hiện khi các hat khác va chạm với hạt có khối lượng m ở trên: FK{t) = < p Z S ( l - t J ± l) (1.17) Đại lượng (Ọ đặc trưng cho độ lớn của lực, còn (± l) chỉ hướng tác động lên hạt m ở thời điêm t. Ta giả thiết va đập về bên trái và bên phải xảy ra cùng tần số. Trang 12 Khi đó căn cứ vào tính thống kê, việc lấy trung bình theo các va đập sẽ dẫn đến kết quả: ( ^ ( ') ) = 0 (118) Tuy nhiên, đẻ đưa được ảnh hưởng của các va đập này vào trong phương trình diễn tả sự thay đổi trạng thái chuyển động của hạt, chúng ta thay việc lấy trung bình này bằng việc lấy trung bình của đại lượng bình phương của lực (1.18). Nói cách khác, chúng ta xét đến đại lượng bậc 2 của lực F (/), tức là xét đến hàm tương quan của lực này (Fv (t)Fy (t')\. Để cho đơn giản, như ở trên chúng ta đã đề cập là chúng ta giả thiết nhiễu gây bởi va đập là nhiễu trắng, tức là nhiễu có cường độ như nhau ở các thời điểm khác nhau: ( F j t ) F rc( f ) } = C S ( t - t ') Như vậy hằng số c tỷ lệ với (1.19) cp2 tức là tỷ lệ với độ lớn của lực. Kết quả lực K (t) trong (1.15) chính là tổng hợp của hai lực: lực cản (1.19) và lực va chạm ngẫu nhiên (1.17). Nghĩa là: m ^ = - ỵ , v { t ) + FK{t) at (1.20) Chia hai vế cho m và đưa vào các ký hiệu: 7=—; m m (1.21) Chúng ta có: ^ ) = - 7v( / ) + F ( 0 at (1.22) Phương trình này được gọi là phương trình Langevin. Sử dụng (1.21), các giá trị trung bình (1.18) và hàm tương quan (1.19) được thay thế bằng: (F(l)) = 0 và (F{t)F{e)) = Q S { t - t ')(1.23) Trang 13 ở đây o đặc trưng cho độ lớn của thăng giáng. Phương trình (1.22) chính là phương trình vi phân bậc nhất, nghiêm của nó có dạng [2]: v(/)= je x p [-/ ( / - r ) ] p ( r ) ir + v(o)exp(- ỵt) (1.24) 0 Trong biêu thức này v(o) chính là vận tốc ban đầu, tức là vận tốc tại thời điếm t = 0. ơ những thời điềm dài sau đó (t —» oo), số hạng thứ 2 của (1.24) có thể bỏ qua. Tiếp theo lấy trung bình theo tất cả các va chạm và sử dụng (1.23), la có: - (1-26) Đây chính là hàm tương quan của vận tốc [3]. Khi t' = t thì chúng ta nhận được số đo vận tốc không phụ thuộc vào dấu, khi /V /, chúng ta có hàm tương quan cho phép xác định được giá trị về sự bảo toàn của vận tốc trong bao lâu. Để xác định được điều đó, tốt nhất là chúng ta khảo sát trường hợp giới hạn sau đây: Trang 14 Khi t và t' khác nhau rất xa, ta có thể xem hạt ở thời điếm t không thể “nhớ” được vận tốc của nó ở thời điếm /' vì trong khoảng thời gian đó hạt đã thực hiện vô số lần các va chạm dẫn đến vô số lần thay đổi giá trị của vận tốc. Trong trường hợp như vậy, vận tốc ở thời điểm / và vận tốc ở thời điểm /' là hoàn toàn độc lập thống kê. Khi đó theo lý thuyết thống kê, chúng ta có: (1.27) Mặt khác, như trên chúng ta đã thấy khi t —>00 thì theo (1.26), ^v(/))> = 0 nên (1.30) sẽ bằng 0 khi t - t ' lớn. Điều này có nghĩa rằng đối với những khoảng thời gian lớn, thì giữa các giá trị cúa đại lượng vật lý ở các thời điểm khác nhau sẽ chẳng có mối liên hệ (mối tương quan) gì với nhau cả. Tuy nhiên, khi t và f khác nhau không nhiều thì chúng ta chờ đợi hàm tương quan (1.27) sẽ thay đổi một cách liên tục khi đi từ t - t'= 0 đến t - 1' = 00 . Chúng ta sẽ khảo sát kỹ về sự thay đối này. Muốn vậy, sử dụng nghiệm (1.26), chúng ta có hàm tương quan: (v(/)v(/')) = ộ'jexp[- ỵ(t - r)]F (r)ir.e x p [- /(/'-r')]F (y )ú /r'|) = }jexp[- ỵ(t + t'-T - r')](F (r)F (r'J)dĩ'dT 0 0 ở đây (F (r)F (r')) = Q ổ (ĩ - r') N hờ hàm Delta, tích phân theo T và r' có thế thay thế bằng một tích phân đơn. Với /> -/', chúng ta có: (v(t)v(f)) = íổ{exp[- ỵ(t + f ) + 2 ỵ T ^ d ĩ = Q - {exp[- y(t - 1')]- exp[- ỵ(t + / ’)]} 2r 0 Xét trường hợp giới hạn / + / ' » —; đồng thời / - / ' « — thì khi đó biểu thức trên có dạng đơn giản như sau: (1.28) Trang 15 Biểu diễn qua đồ thị, ta có: 0.6 0 / 2/ 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Hình 1.2 0 4 6 t-t' Đ ồ thị biêu diên vận tốc của hạt chuyến động Brown giảm theo hàm mũ Như vậy là hàm tương quan của vận tốc của hạt thực hiện chuyển động Brown giảm theo hàm mũ. Biểu thức (1.28) cho phép ta xác định được độ lớn của giá trị bình phương trung bình của vận tốc, đồng thời chỉ rõ sự tương quan kết hợp giữa các vận tốc. Rõ ràng sự tương quan kết họp của vận tốc suy giảm theo hàm 1Ĩ1 Ũ với hằng số suy giảm là H y . Nghĩa là sau thời gian t - t ' = \ / ỵ , biên độ của thăng giáng giảm đi chỉ còn lại Vi giá trị ban đầu. Từ biểu thức (1.28) thay thấy khi t * t ' thì: (1.29) Để tìm hiểu mối liên hệ giữa thăng giáng và sự suy giảm của vận tốc, tức là sự suy giảm của động năng ứng với chuyên động của hạt, chúng ta nhân (1.29) với m ! 2. Khi đó ta có: (1.30) ơ đây, vế trái là động năng trung bình của hạt. Ta giả thiết hạt ở trạng thái cân bằng nhiệt động với môi trường. Khi đó, theo nhiệt động lực học, động năng ứng với một bậc tự do ở trạng thái bân bang nhiệt động tương ứng vói nhiệt độ T là Trang 16 —kT với k là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ tuyệt đối Kenvin. Như vậy, chúng ta có: (1.31) So sánh (1.30) và (1.31), chúng ta có: o = — kT m (1.32) Đây là biẻu thức diễn tả mối liên hệ giữa độ lớn của thăng giáng YỚi hằng số suy giảm. Chú ý rằng y là số đo sự suy giảm gây nên sự khuếch tán động năng. Từ công thức (1.18) ta thấy rằng có thể tính được độ lớn của thăng giáng thông qua sự tiêu tán năng lượng. 1.4.3 Mẫu Boltzmann - Lorentz Trong công trình nghiên cứu về sự mở rộng vạch phổ do va chạm [6], Rautian và Sobelman đã trình bày sự phân tích về việc xuất hiện đồng thời của các hiệu ứng tương tác và sự thay đối vận tốc thông qua việc lấy gần đúng tuyến tính phương trình Boltzmann từ lý thuyết động học. v ấ n đề cốt lõi của va chạm trong phương trình Boltzmann được nghiên cứu dựa trên hai mẫu như sau: - Mau va chạm yếu, áp dụng cho trường hợp các phân tử của môi trường phát xạ (emiter) là nặng hơn so với các phân tử của môi trường (perturber). Khi đó người ta giả thiết là sự thay đổi vận tốc của phân tử emiter là rất nhỏ sau mỗi va chạm. - Mau va chạm mạnh, áp dụng cho trường họp khi phân tử của emiter là nhẹ hơn nhiều so với phân tử của môi trường (perturber). Khi đó, hiệu ứng va chạm xẩy ra rất mạnh và vận tốc của phân tử emiter sau va chạm thay đổi (cả về hướng lẫn độ lỏn) không phụ thuộc vào vận tốc trước va chạm. Trong công trình [7] người ta đã nghiên cứu mẫu Boltzmann - Lorentz (từ lý thuyết động học) đê phân tích sự mở rộng do va chạm. Mẩu này hoàn toàn tương tự như mẫu va cham mạnh ở trên của Rautian và Sobelman khi áp dụng cho trường hợp phân tử emiter nhẹ hơn phân tử của perterber. Trang 17 Trong mẫu Boltzmann - Lorentz (B-L), độ lớn của vận tốc được xem là không đổi giữa các va chạm, chỉ có hướng của vận tốc là thay đối sau mỗi va chạm mà thôi. Ngoài ra, tốc độ mà ở giá trị đó, phân tử phát xạ (emiter) va chạm được xem như là một biến số động lực, vỉ thế nó phụ thuộc vào vận tốc tức thời của phân tử emiter. Tính chất này hoàn toàn khác so với mẫu va chạm mạnh, trong đó tốc độ liên kết chính là tốc độ được lấy trung bình. Tốc độ trung bình này chính là nghịch đảo của thời gian tự do trung bình giữa các va chạm. Hiện tại, mẫu Boltzmann - Lorentz được sử dụng đẻ nghiên cứu các hiệu ứng tương tác trong sự mở rộng vạch phố. Trong quang lượng tử, toán tử gây nên sự mở rộng vạch phổ được gọi tắt là LBO (Line Broadening Operator). Theo quan điểm thuần tuý toán học, LBO đóng vai trò như là ma trận suy giảm ngẫu nhiên X [6]. Sự khác nhau ở đây là về phương diện vật lý ở chỗ tính thống kê không liên quan đến trường ngoài mà là liên quan đến phương trình động học mô tả va chạm tương ứng. Khi đó, ta có thể xem phương trình đối với các thông số của nguyên tử hai mức chịu tác dụng của va chạm và được kích thích bởi ánh sáng được mô tả bởi phương trình quang học Bloch hiệu dụng, trong đó LBO sẽ đóng vai trò là ma trận suy giảm. Khi đó chúng ta thấy rằng mẫu ngẫu nhiên của thăng giáng được thể hiện thông qua mẫu xung telegraph liên quan khá chặt chẽ với các phương trình động học Boltzmann - Lorentz. Việc mô tả thống kê tính chất của va chạm được giải thích như sau: Các phân tử emiter ở trong một trạng thái nguyên tử nào đó dịch chuyển với một vận tốc nào đó trong trường của ánh sáng laser kích thích. Do kết quả của hiệu ứng Doppler, tần số chuyển mức cộng hưởng của nguyên tử hai mức thay đổi. Chúng ta giả thiết rằng va chạm giữa các phân tử của emiter và các phân tử của trường chỉ làm thay đổi hướng của vận tốc còn độ lớn của vận tốc thì vẫn được giữ nguyên không đổi. Điều này có nghĩa là độ lệch lần giữa tần số chuyến mứ và tần số của trường kích thích thay đối là do kết quả của va chạm. Ta có thể biếu diễn sự thay đổi đó về mặt toán học như sau: A = (ứ)0 - CỬL)+ x(t) = A0 + (£v)= A0 + kvcosi9 = A0 + kvặ (1.33) Tiếp theo, ta giả thiết rằng sau mỗi va chạm, biến số ặ thay đối một cách ngẫu nhiên. Nếu giả thiết sau mỗi va chạm, vận tốc đổi hướng ngược lại (quay Trang 18 một góc 180°) thì thăng giáng do va chạm kv cosi9 (nhiễu va chạm) được giải thích như là một nhiễu telegraph [6], Do sự có mặt của va chạm trong công thức nên cần phải tính đến sự mở rộng không đồng nhất bằng cách lấy trung bình các kết quả theo phân bố vận tốc của các nguyên tử trong môi trường. Như chúng ta đã biết, cách thức đơn giản nhất đế mô tả sự phân bố ngẫu nhiên của môi trường kích thích đó là chúng ta thừa nhận rằng x(t) là một biến số ngẫu nhiên (Random Telegraph Signal (RTS)). Bức tranh vật lý của các thăng giáng này hết sức đơn giản. Chúng ta lập luận như sau: Neu k là véc tơ sóng của pho ton phát xạ và V là vận tốc tức thời của hạt emitter với sự thừa nhận rằng do kết quả của va chạm thì chỉ có hướng của V là thay đổi một cách ngẫu nhiên. Tại mỗi thời điểm, khi hạt emitter va chạm với môi trường (khí đệm) thì góc & giữa k và V thay đổi một cách đột ngột từ 7T sang -7Ĩ. Giữa hai va chạm, độ lớn vận tốc của hạt emtter vẫn không thay đối và kếl quả là chúng ta biếu diễn được RTS dưới dạng sau: x(t) = kvệ, (1.34) ở đây ậ = COSOí —(-l)"(í). Trong biểu thức này n(t) là số ngẫu nhiên của sự thay đổi dấu do kết quả của va chạm, tức là số thứ tự của thời gian, ở đó tín hiệu telegraph nhảy bậc do kết quả của va chạm, số các va chạm như vậy trong một thời gian hữu hạn được xác định bởi phân bố Poisson với (rit)) = ỵ(v)t/2 Từ sự khảo sát vi mô, cháng ta có thể liên kết ỵ với tốc độ V mà hạt emitter có trước khi xẩy ra va chạm kế tiếp. Trong trường hợp như vậy, ta có: r ( v ) = m pr f v , (1.35) ở đây np là mật độ số hạt của môi trường khí đệm còn r0 là bán kính hiệu đụng. Trong bức tranh thống kê này của các va chạm, hiệu ứng của khí đệm được xem như nhanh tức thời đến mức có thể xem vận tốc của hạt emtter sau va chạm là hoàn toàịin độc lập đối với vận tốc trước lúc va chạm. Sự phân bố xác suất của quá trình RTS ngẫu nhiên này có dạng sau [6]: Trang 19 đp{ỳt) = -ỵ(ỳ)p(ệit) + ỵ(v)p(-ệ,t) at (1.36) Phương trình master RTS này có thể được xem như là một mẫu của phương trình Boltzmann đã được tuyến tính hoá của lý thuyết động học. Nếu như nguồn phát xạ là đơn sắc thì chỉ có một giá trị xác định. Còn nếu như nguồn phát xạ chỉ là một thành tố của một tố hợp thống kê tồn tại trong sự cân bằng nhiệt động với môi trường khí đệm chứa trong buồng cộng hưởng ở nhiệt độ T thì vận tốc được xác định theo hàm phân bố Maxwell-Faraday như sau: f (v) = 4 7 r ( 2 n k BT / m Ỵ 212 Q X ỹ ( - m v 2 / 2 k BT ) v 2 (1.37) ở đây m là khối lượng của hạt emitter, kB là hang so Boltzmann. Với các giả thiết đó, động lực học của vật bức xạ được kích thích bởi các va chạm thống kê dẫn tới phương trì nil chuyển động ngẫu nhiên. Như vậy là với mẫu va chạm Boltzmann - Lorentz, chúng ta cũng đã thấy rằng, va chạm chính là nguyên nhân gây ra sự suy giảm của vận tốc trong quá trình chuyển động. Đồng thời ảnh hưởng của va chạm lên sự thay đối theo thời gian của các thông số đặc trưng cho nguyên tử, với cách lập lập trên, sẽ được phản ánh trong các thành phần ma trận suy giảm hiệu đụng. 1.5 Phuơng trình Fokker - Planck cô điên Phương trình Langevin (1.18) mô tả quy luật vận động brown và đóng một vai trò quan trong trong lý thuyết về laser. Quy luật chuyển động brown của hạt còn được mô tả thông qua phương trình Fokker - Planck. Phương trình này được thiết lập như sau: Khi thực hiện một loạt thí nghiệm giống nhau, chúng ta thấy rằng sau mỗi lần va chạm, hạt có khối lượng thực hiện một chuyển động brown. Tại thời điêm t, người ta đo được giá trị vận tốc của hạt ở mỗi thí nghiệm. Từ kết quả các thí nghiệm đó, chúng ta xác định được tập hợp số hạt f( ỵ ) d v có vận tốc nằm trong khoảng giữa V và v + clv. ở đây f ( v ) là hàm mật độ số hạt có vận tốc V. Nói một cách chính xác hơn thì bản thân hàm mật độ số hạt f ( v ) có ý nghĩa là xác suất tìm thấy hạt có vận tốc nằm trong khoảng giữa V và v + dv. Theo quan điểm thống kê, hàm / ( v ) phải thoả mãn điều kiện chuấn hoá: ĩ/( v )/v = 1 (1.38) Trang 20 Trong vật lý thống kê, người ta đã chỉ ra rằng, hàm phân bố xác suất f ( v ) liên quan đến chuyển động brown của hạt, tức là liên quan đến phương trình chuyến động (1.18). Sự thay đổi theo thời gian của hàm phân bố này được diễn tả bởi phương trình Fock - Planck như sau: g/(v) ± m +q ế l /M d v v J 2 ôv- õt (1.39) Đại lượng Q tương ứng với độ lớn Q của thăng giáng trong công thức (1.23), ở đây được gọi là hệ số khuếch tán. Xét trường hợp, sự thay đổi theo thời gian của hàm phân bố là chậm, tức là chúng ta xét nghiệm dừng của (1.39). Khi đó ta có: d/(v) _ dt dv 2 dv /(v ) = 0 (1.40) Nghiệm của (1.40) có dạng: m f d( v ) = N e x p (1.41) 2kT ( r_ tiQ Chúng ta có nhận xết đây chính là hàm phân bo Maxwell - Boltzmann đối ở đây N = với vận tốc của hạt ở trạng thái cân bằng nhiệt động. Khi vận tốc được thay bằng đạo hàm của toạ độ suy rộng q theo thời gian thì khi đó, phương trình (1.18) được thay thế bằng phương trình sau: (1.42) § = Ẫ -(ạ ) + F (0 dt Hàm F(t) ký hiệu lực thăng giáng gây nên bởi các hàm tương quan (1.23). Với những giả thiết như vậy, phương trình Fock - Planck sẽ có dạng sau: dt õ / X o ô2 dq 2 dq /(<7.0 (1.43) Nghiệm dừng của phương trình này có dạng: 2 -Ệ -)K (q')đq' Q‘ (1.44) Chúng ta giả thiết rằng Q là một hằng số không phụ thuộc vào toạ độ q và thời gian t.