Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Toán học Khảo sát hàm số hoàn chỉnh luyện thi đại học...

Tài liệu Khảo sát hàm số hoàn chỉnh luyện thi đại học

.PDF
137
1235
78

Mô tả:

THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 KHẢO SÁT HÀM SỐ HOÀN CHỈNH LTĐH CHỦ ĐỀ 1. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN 1 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 4 CÂU 1. ( DB-2004 ). Cho hàm số y  x 4  2m2 x 2  1  Cm  (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1 2. Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân . Giải 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)   x  0 3 2 2 2 2. Ta có : y '  4 x  4 m x  4 x x  m  0   2 2 x  m  m  0 (*) - Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị . Gọi ba điểm cực trị là : A  0;1 ; B   m;1  m 4  ; C  m;1  m 4  . Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân , thì đỉnh sẽ là A . - Do tính chất của hàm số trùng phương , tam giác ABC đã là tam giác cân rồi , cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông , thì AB vuông góc với AC.     AB    m;  m4  ; AC   m;  m4  ; BC   2m;0   Tam giác ABC vuông khi : BC 2  AB 2  AC 2  4m 2  m 2  m8  m 2  m8   2m 2  m 4  1  0;  m4  1  m  1 Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán . * Ta còn có cách khác - Tam giác ABC là tam giác vuông khi trung điểm I của BC : AI = IB , với I   0;  m 4  1|Page GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970    IA   0; m 4   IA2  m8 ; IB   m;0   IB 2  m 2  IA2  IB 2  m8  m 2 . Hay m 4  1  m  1 . CÂU 2. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  1 (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1 2.Tìm các giá trị của tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1. Giải 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C). 2. Ta có y'  4 x  4mx 3 x  0 y'  0   2 x  m - Hàm số có 3 cực trị  y’ đổi dấu 3 lần  phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt  m > 0 Khi m > 0 , đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là A( m ; 1  m 2 ) , B(  m ; 1  m 2 ) , C (0 ; 1) - Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. Vì 2 điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trên trục tung. Đặt I(0 ; y0). Ta có : IC = R   y0  0 (1  y 0 ) 2  1    y0  2  I  O (0 ; 0) hoặc I (0 ; 2) * Với I  O(0 ; 0) 2|Page GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 m  0 m  1   IA  R  m  (1  m 2 ) 2  1  m 4  2m 2  m  0   m  1  5 2   1  5 m  2  So sánh điều kiện m > 0, ta được m = 1 và m = 1  5 2 * Với I(0 ; 2) . IA = R  m  ( 1  m 2 ) 2  1  m 4  2 m 2  m  0 (*) Phương trình (*) vô nghiệm khi m > 0 Vậy bài toán thỏa mãn khi m = 1 và m = 1  5 2 1 4 3 (1) x  mx 2  2 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  3 . CÂU 3.Cho hàm số y  2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại. x  0  y  2 x3  2mx  2 x ( x 2  m) . y  0   2 x  m Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại  PT y   0 có 1 nghiệm  m  0 . CÂU 4.Cho hàm số y  f ( x)  x 4  2(m  2) x 2  m 2  5m  5 (Cm ) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. x  0  Ta có f  x   4 x 3  4(m  2) x  0   2 x  2  m 3|Page GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 Hàm số có CĐ, CT  PT f ( x )  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  2 (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A  0; m 2  5m  5  , B  2  m ;1  m  , C   2  m ;1  m     AB   2  m ; m 2  4m  4  , AC    2  m ;  m 2  4m  4  Do ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi ABC vuông tại A 3  AB.AC  0  m  2   1  m  1 (thoả (*)) CÂU 5.Cho hàm số y  x 4  2(m  2) x 2  m 2  5m  5 C m  1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. x  0  Ta có f  x   4 x 3  4(m  2) x  0   2 x  2  m Hàm số có CĐ, CT  PT f ( x )  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  2 (*) Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A  0; m 2  5m  5  , B  2  m ;1  m  , C   2  m ;1  m     AB   2  m ; m 2  4m  4  , AC    2  m ;  m 2  4m  4  1 Do ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi A  60 0  cos A  2   AB. AC 1      m  2  3 3 . AB . AC 2 Câu hỏi tương tự đối với hàm số: y  x 4  4(m  1) x 2  2m  1 CÂU 6. Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  m 2  m có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 120 0 . 4|Page GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 x  0  Ta có y   4 x 3  4mx ; y  0  4 x( x 2  m)  0    x    m (m < 0) Khi đó các điểm cực trị là: A(0; m 2  m ), B  m ; m  , C   m ; m     AB  (  m ;  m 2 ) ; AC  (  m ; m 2 ) . ABC cân tại A nên góc 120 chính là A .    1 AB. AC 1  m . m  m4 1 A  120  cos A          2 2 2 m4  m AB . AC m  0 (loaïi) 1 1 4 4 4  1 .Vậy m   .     2 m  2 m  m  m  3m  m  0  3 4 m    2 3 m m 3  3 m  m4 CÂU 7. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 . x  0  Ta có y  4 x 3  4mx  4 x( x 2  m)  0   2 x  m Hàm số đã cho có ba điểm cực trị  PT y   0 có ba nghiệm phân biệt và y  đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó  m  0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: A(0; m  1), B   m ; m 2  m  1 , C  m ; m2  m  1 S ABC  1 yB  y A . xC  x B  m 2 m ; AB  AC  m4  m , BC  2 m 2 m  1 AB. AC .BC (m 4  m)2 m 3 R 1  1  m  2m  1  0   2 m  5  1 4S ABC 4m m  2 Câu hỏi tương tự: y  x 4  2mx 2  1 5|Page ĐS: m  1, m  1  5 2 GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 CÂU 8. Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  2 m  m 4 có đồ thị (Cm) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4. x  0  Ta có y '  4 x 3  4mx  0   2  g ( x)  x  m  0 Hàm số có 3 cực trị  y '  0 có 3 nghiệm phân biệt   g  m  0  m  0 (*) Với điều kiện (*), phương trình y  0 có 3 nghiệm x1   m ; x2  0; x3  m . Hàm số đạt cực trị tại x1 ; x2 ; x3 . Gọi A(0;2m  m4 ); B  m ; m4  m2  2m  ; C   m ; m4  m2  2m  là 3 điểm cực trị của (Cm) . Ta có: AB 2  AC 2  m 4  m; BC 2  4m  ABC cân đỉnh A Gọi M là trung điểm của BC  M (0; m 4  m 2  2 m)  AM  m 2  m 2 Vì  ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó: 5 S ABC 1 1  AM .BC  .m2 . 4m  4  m 2  4  m5  16  m  5 16 . Vậy m  5 16 . 2 2 Câu hỏi tương tự: a) y  x 4  2m 2 x 2  1 , S = 32 ĐS: m  2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN CÂU 1. Cho hàm số y  x  2mx  m  1 (1) , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1 . 4 2 2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . CÂU 2. Cho hàm số y  x 4  2m 2 x 2  1 1 trong đó m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 6|Page GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32. CÂU 3.Cho hàm số y  x  2mx  m  m (1) , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  2 . 4 2 2 2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có góc bằng 1200. CÂU 4.Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + 1, a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. (1) b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích của tam giác ABC bằng 32. CÂU 5. Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + 1 (1) 1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân CÂU 6. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  2  m có đồ thị (Cm) với m là tham số . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).của hàm số khi m = 0 . 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị ( Cm ) là một tam giác vuông cân. 4 2 2 CÂU 7. Cho hàm số y  x  2( m  2) x  m  5m  5 . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2.Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân. CÂU 8. Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m – 1 . 1. Khảo sát và và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. (1) 2. Xác định m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. CÂU 9. Cho hàm số y  x  2mx  2m  m (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1 4 2 4 2. Xác định m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số (1) lập thành một tam giác đều. 7|Page GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 CÂU 10. Cho hàm số y  x 4  mx3  2 x2  3mx  1 (1) . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0. 2) Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu. CÂU 11. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m 2  m (1) với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m =  1. 2 Định m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông. CÂU 12. Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  1 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m  1 . 2. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1. CÂU 13. Cho hàm số y  x 4  2(1  m 2 ) x 2  m  1 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 0. 2. Tìm m để hàm số có đại cực, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất. CÂU 14. Cho hàm số y = x4  2x2 + 2 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Tìm tọa độ hai điểm A, B thuộc (C) sao cho đường thẳng AB song song với trục hoành và khoảng cách từ điểm cực đại của (C) đến AB bằng 8. CÂU 15. Cho hàm số y  x 4  2mx 2 (1), với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 . 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1. CÂU 16. Cho hàm số y  x 4  4  m  1 x 2  2m  1 có đồ thị  Cm  8|Page GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số khi m  . 2 2. Xác định tham số m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều CÂU 17. Cho hàm số y  x  (3m  1) x  3 (với m là tham số) 4 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m  1 . 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao 2 cho độ dài cạnh đáy bằng lần độ dài cạnh bên. 3 CÂU 18. Cho hàm số y = x4 – 2(m2 – m + 1)x2 + m – 1 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất. CÂU 19. Cho hàm số y  x 4  2( m  2) x 2  m 2  5m  5 C m  1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Với những giá trị nào của m thì đồ thị ( Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. CÂU 20. Cho hàm số y  x 4  2( m  1 )x 2  m (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. CÂU 21. Cho hàm số : y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 ; (1) (m là tham số ) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị CÂU 22. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  3 . Tìm m để hàm số có ba cực trị sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất. CÂU 23. Cho hàm số y  x 4  2( m  1) x 2  m (1) 9|Page GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị A,B,C sao cho OA=BC. Trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. CÂU 24. Cho hàm số y  x 4  mx 2  (KB-2011). m2 6 2 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại là A, các điểm cực tiểu là B,C sao cho tứ giác ABOC là hình thoi.( O là gốc tọa độ ). CÂU 25. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  1 (Cm) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có độ dài cạnh đáy BC gấp đôi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. CÂU 27. Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có cực đại y  x 4  8m.x 3  3(2m  1) x 2  4 CÂU 28. CMR hàm số f ( x)  x 4  x 3  5 x 2  1 . Có 3 điểm cực trị nằm trên một Parabol CÂU 29. Cho (Cm) : y  f ( x)  3x 4  4mx 3  6mx 2  24mx  1 . Biện luận theo m số lượng Cực đại, cực tiểu của (Cm) 1 3 CÂU 30. Cho (Cm) : y  f ( x)  .x 4  2 x 3  (m  2) x 2  (m  6).x  1 4 2 Tìm m để hàm số có 3 cực trị. Viết phương trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị của (Cm) CÂU 31. (ĐH Cảnh sát 2000) Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có cực đại y  1 4 3 x  mx 2  4 2 CÂU 32. (ĐH Kiến trúc 1999) Tìm m để f ( x )  mx 4  (m  1) x 2  (1  2m) có đung một cực trị ****************************************************************************************************** 10 | P a g e GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 PHẦN II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3 BÀI TẬP MẪU CÂU 1. Cho hàm số y   x 3  3x 2  3  m 2  1 x  3m 2  1 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (1) với m=1 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. Giải 1. Học sinh tự vẽ đồ thị . 2. Ta có : y '  3x 2  6 x  3  m 2  1 - Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì : y '  3x 2  6 x  3  m 2  1 =0 có hai nghiệm phân biệt   '  9  9  m2  1  0  9m 2  0;  m  0 (*) 3  3m  3  x1  3  1  m  A 1  m; 2m  2    x  3  3m  1  m  B 1  m; 2m3  2  2 3    OA  1  m; 2m3  2  ; OB  1  m; 2m3  2    Để tam giác OAB vuông tại O thì OAOB  0  1  m 1  m    2m3  2  2m3  2   0 Đến đây các bạn tự giải ………….. 3 2 CÂU 2. Cho hàm số y  x  3x  3 1  m  x  1  3m  Cm  1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m = 1 . 2. Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 . Giải 11 | P a g e GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C). 2. Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  x2 – 2x + (1 – m) = 0 có 2 nghiệm phân biệt   '  0  1 – (1 – m) > 0  m > 0 (*) - Với điều kiện (*), hàm số có CĐ, CT . Gọi A  x1; y1  ; B  x2 ; y2  là hai điểm cực trị . Với x1 , x2 là 2 hai nghiệm của phương trình ( x  2 x  1  m) = 0 (1) . - Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta được :  x 1  y     y '2mx  2m  2 . Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là  3 3 d : y = -2mx + 2m + 2 .  y1  2mx1  2m  2; y2  2mx2  2m  2 .  - Ta có : AB   x2  x1 ; 2m( x1  x2 )   AB   x2  x1  2 2  4m 2  x2  x1   x2  x1 4m 2  1  4m 4m2  1 ax 2  bx  c  0 CHÚ Ý:  a  0  . Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình b   x1  x2  a Theo định lý viet :  x x  c  1 2 a 2 x1  x2   x1  x2  2 c b2  4ac   2 /  b  4 x1 x2      4     a a2 a2 a a  a CÁC BẠN NHỚ ĐỂ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI SAU - Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (AB), h là khoảng cách từ O đến AB thì : h | 2m  2 | - S 1  4m 2 1 1 | 2m  2 | AB.h  4 m 1  4m 2 .  4m | m  1| 2 2 1  4m 2 12 | P a g e GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 2 - Theo giả thiết :  2 m m  1  4;  m  m  1  4  m3  2m 2  m  4  0   m  1  m 2  3m  4   0  m  1 Kết luận : với m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán . 1 CÂU 3 . Cho hàm số y  x 3  mx 2  x  m  1 3  Cm  a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=1 b. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu . Tìm m để khoảng cách giữa các điểm cực đại , cực tiểu là nhỏ nhất . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Tập xác định : D=R - Ta có đạo hàm : y '  x 2  2mx  1 . - Xét : g ( x; m)  x 2  2mx  1  0 1   '  m2  1  0m  R . Chứng tỏ hàm số luôn có CĐ,CT . m 2 2 1 - Bằng phép chia đa thức : y   x   y '  m 2  1 x  m  1 . Cho nên đường thẳng đi qua hai 3 3 3 3 2 2 điểm cực trị có PT : y    m 2  1 x  m  1 . 3 3 2 2 2 2     - Gọi hai điểm cực trị là : A  x1 ;   m 2  1 x1  m  1 ; B  x2 ;   m 2  1 x2  m  1  3 3 3 3     2  AB  2 2 2 4 2 ' 4 2 1   m 2  1  x2  x1     m 2  1  x2  x1    x2  x1 1   m 2  1  9 1 9  3   AB  2 m 2  1. 1  2 4 2 m  1  2  9 - Đặt : t  m 2  1  1  AB  f (t )  2 13 | P a g e m 2 2  4  1  1   m 2  1   9  4 3 4 t  t  g (t )  t 3  t ; g '(t )  4t 2  1  0t  1 9 3 GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 Hàm số g(t) luôn đồng biến . Do đó ming(t)=g(1)=7/3. - Vậy min AB  2 7 21 2  t  1;  m 2  1  1  m  0 3 3 CÂU 4. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m – 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.  PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:  x  1 (1)   2  g( x )  x  2 x  m  2  0 x 3  3 x 2  mx  m – 2  0 (2) (Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x  PT (1) có 3 nghiệm phân biệt    (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1     3  m  0  m3  g(1)  m  3  0 CÂU 5. Cho hàm số y   x 3  (2 m  1) x 2  (m 2  3m  2) x  4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.  y  3 x 2  2(2 m  1) x  (m2  3m  2) . (Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung  PT y  0 có 2 nghiệm trái dấu  3(m2  3m  2)  0  1  m  2 . 1 3 x  mx 2   2m  1 x  3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. CÂU 6. Cho hàm số y  2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.  TXĐ: D = R ; y  x 2 – 2mx  2 m –1 . Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung  y   0 có 2 nghiệm 14 | P a g e GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970   m 2  2m  1  0 phân biệt cùng dấu   2m  1  0 m  1   1 m  2 CÂU 7. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y  x  1 .  Ta có: y '  3x 2  6 x  m . Hàm số có CĐ, CT  y '  3x 2  6 x  m  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2   '  9  3m  0  m  3 (*) Gọi hai điểm cực trị là A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  1 m 1  2m   Thực hiện phép chia y cho y ta được: y   x   y '   2 x   2   3 3 3  3   m m  2m    2m    y1  y  x1      2  x1   2   ; y2  y  x2      2  x2   2   3 3  3    3   m  2m    Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : y     2 x 2   3  3   Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y  x  1  xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y  x  1 3  2m     2   1  m   (thỏa mãn) 2  3  TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y  x  1  yI  xI  1  y1  y2 x1  x2 m  2m    1     2   x1  x2   2  2     x1  x2   2 2 2 3  3   2m  2m    3  .2  6  m0 3  3  3  Vậy các giá trị cần tìm của m là: m  0;   2  15 | P a g e GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 CÂU 8. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  4m 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. x  0  Ta có: y  3 x 2  6mx ; y  0   . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m  0.  x  2m  Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)  AB  (2m; 4 m3 ) Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3) 3  2  AB  d A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x    2m 3 4 m  0  m   2 I  d 2m  m CÂU 9. Cho hàm số y   x 3  3mx 2  3m  1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x  8 y  74  0 .  y   3 x 2  6 mx ; y  0  x  0  x  2 m . Hàm số có CĐ, CT  PT y   0 có 2 nghiệm phân biệt  m  0 .  Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; 3m  1), B(2m; 4m3  3m  1)  AB (2 m; 4m 3 ) Trung điểm I của AB có toạ độ: I (m; 2 m3  3m  1)  Đường thẳng d: x  8y  74  0 có một VTCP u  (8; 1) . m  8(2m3  3m  1)  74  0 I  d A và B đối xứng với nhau qua d        m2  AB  d  AB.u  0 CÂU 10. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx (1). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2 y – 5  0 . 16 | P a g e GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970  Ta có y  x 3  3 x 2  mx  y '  3 x 2  6 x  m Hàm số có cực đại, cực tiểu  y  0 có hai nghiệm phân biệt    9  3m  0  m  3 1 2  1 1 Ta có: y   x   y   m  2  x  m 3 3 3 3  Tại các điểm cực trị thì y   0 , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình: 2  1 y   m  2 x  m 3 3  2  1 Như vậy đường thẳng  đi qua các điểm cực trị có phương trình y   m  2  x  m 3 3  nên  có hệ số góc k1  d: x – 2 y – 5  0  y  2 m  2. 3 1 5 1 x   d có hệ số góc k2  2 2 2 Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d    12  k1k2  1   m  2   1  m  0 23  Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I  d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy: m = 0 CÂU 11. Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  9 x  m  2 (1) có đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: y  1 x. 2  y '  3 x 2  6(m  1) x  9 17 | P a g e GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 Hàm số có CĐ, CT   '  9(m  1)2  3.9  0  m  (; 1  3)  (1  3;  ) 1 m 1  2 Ta có y   x   y  2(m  2m  2) x  4m  1 3 3   Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I là trung điểm của AB.  y1  2(m2  2m  2) x1  4m  1 ; y2  2(m2  2m  2) x2  4m  1  x  x  2(m  1) và:  1 2  x1.x2  3 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y  2(m 2  2m  2) x  4m  1 A, B đối xứng qua (d): y  1  AB  d  m  1. x   2 I  d CÂU 12. Cho hàm số y  x 3  3( m  1) x 2  9 x  m , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  1 . 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x 2  2 .  Ta có y '  3x 2  6(m  1) x  9. + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2  PT y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  PT x 2  2(m  1) x  3  0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 . m  1  3  '  (m  1) 2  3  0   m  1  3 (1) + Theo định lý Viet ta có x1  x2  2(m  1); x1 x2  3. Khi đó: x1  x 2  2   x1  x 2 2  4 x1 x 2  4  4m  12  12  4  (m  1)2  4  3  m  1 (2) + Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là  3  m  1  3 và  1  3  m  1. 18 | P a g e GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970 CÂU 13. Cho hàm số y  x 3  (1  2 m) x 2  (2  m) x  m  2 , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  1 . 1 2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  . 3  Ta có: y '  3 x 2  2(1  2 m) x  (2  m) Hàm số có CĐ, CT  y '  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1  x2 )  5   '  (1  2 m)2  3(2  m )  4 m 2  m  5  0   m  4   m  1 (*)  2(1  2m)  x1  x2   3 Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 , x2 . Khi đó ta có:  2  m x x   1 2 3 x1  x2  2 2 1 1   x1  x2    x1  x2   4 x1 x2  3 9  4(1  2m)2  4(2  m)  1  16m 2  12m  5  0  m  Kết hợp (*), ta suy ra m  3  29 3  29 m 8 8 3  29  m  1 8 1 3 1 x  (m  1) x 2  3(m  2) x  , với m là tham số thực. 3 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m  2 . CÂU 14. Cho hàm số y  2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  2 x2  1 .  Ta có: y  x 2  2(m  1) x  3(m  2) Hàm số có cực đại và cực tiểu  y  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    0  m 2  5m  7  0 (luôn đúng với m) 19 | P a g e GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM THẦY NGUYỄN QUANG SƠN 0909 230 970  x  3  2 m  x  x  2(m  1) Khi đó ta có:  1 2   2  x2 1  2 x2   3(m  2)  x1 x2  3(m  2)  8m 2  16m  9  0  m  4  34 . 4 CÂU 15. Cho hàm số y  4 x 3  mx 2 –3 x . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1  4 x2 .  y  12 x 2  2 mx –3 . Ta có:   m2  36  0, m  hàm số luôn có 2 cực trị x1 , x2 .   x1  4 x2  m  Khi đó:  x1  x2   6  1   x1 x2   4 m 9 2 Câu hỏi tương tự: y  x 3  3 x 2  mx  1 ; x1  2x2  3 ĐS: m  105 . CÂU 16. Cho hàm số y  (m  2) x3  3 x 2  mx  5 , m là tham số. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.  Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương  PT y '  3(m  2) x 2  6 x  m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt a  (m  2)  0  '  9  3m(m  2)  0  '  m 2  2m  3  0  3  m  1  m     P   m  0  m  0  3  m  2 . 0 3( m  2)  m  2  0 m  2  3  S  m  2  0 20 | P a g e GIẢNG DẠY TẠI TP.HCM
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan