Tài liệu Khai thác sách giáo khoa toán 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN CÔNG LỢI KHAI THÁC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 9 NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 1 NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN CÔNG LỢI KHAI THÁC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 9 NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 60.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Xuân Chung 2 NGHỆ AN - 2014 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy giáo TS Phạm Xuân Chung. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, đã trực tiếp giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại Học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện Luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô, Khoa sau đại học, Trường Đại Học Vinh. Phòng Giáo dục và Đào tạo Quỳ Hợp, Ban Giám Hiệu cùng các bạn bè đồng nghiệp trường THCS Thị Trấn đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi tới tất cả người thân và các bạn bè lòng biết ơn sâu sắc. Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó! Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được và biết ơn các ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn. Nghệ An, tháng 9 năm 2014 Tác giả 3 KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT (Quy ước về các chữ viết tắt sử dụng trong luận văn) Viết tắt Viết đầy đủ GV Giáo viên HS Học sinh THCS Trung học cơ sở 4 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1. 2. Lý do chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 1 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3 4. 5. 6. Giả thuyết khoa học Phương pháp nghiên cứu Đóng góp của luận văn 4 4 7. Cấu trúc luận văn 4 Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn. 6 4 1.1. Một số vấn đề cơ bản về năng lực 6 1.2. Năng lực toán học 7 1.3. Năng lực giải toán 9 1.4. Vai trò và chức năng của bài tập toán 18 1.5 Thực trạng việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi ở trường THCS hiện nay. 1.6. Kết luận chương 1. Chương 2. Các định hướng khai thác nội dung hình học trong sách giáo khoa toán 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, 25 26 27 giỏi 2.1. Giới thiệu nội dung hình học trong sách giáo khoa Toán 9. 27 2.2. Một số định hướng khai thác nội dung hình học trong sách giáo khoa toán 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, 29 giỏi. Định hướng 1: Mở rộng các công thức, định lý trong sách giáo 29 khoa. 5 Định hướng 2: Xây dựng các ứng dụng của các kiến thức hình học. 82 Đị nh hư ớn g 3: Phá t triể n hệ thố ng bài toá n từ bài toá n tro ng sác h giá o 6 51 kho a. Định hướng 4: Khai thác sách giáo khoa theo hướng tăng cường hoạt động tự học của học sinh. 116 2.3 Kết luận chương 2. Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm. 125 126 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm. 126 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 129 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm 133 134 135 126 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Trong thế kỷ 20 và những năm đầu thế kỷ 21 khoa học kỹ thuật tiếp tục phát triển mạnh, nhiều phát minh mới ra đời, có nhiều công trình khoa học có tính ứng dụng cao. Trong bối cảnh đó Đảng ta cũng rất chăm lo cho sự phát triển của đất nước, Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII xác định:"Phát triển giáo dục và đào tạo là quốc sách 7 hàng đầu, là nền tảng, động lực thúc đẩy phát triển kinh tế - xã hội trong giai đoạn đẩy mạnh công nghiệp hoá, hiện đại hoá" . Luật giáo dục năm 2005 đã xác định rõ mục tiêu như sau:"Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc". Luật giáo dục cũng nêu lên yêu cầu về nội dung, phương pháp giáo dục là:"Nội dung giáo dục phải bảo đảm tính cơ bản, toàn diện, thiết thực, hiện đại và có hệ thống, coi trọng giáo dục tư tưởng và ý thức công dân; kế thừa và phát huy truyền thống tốt đẹp, bản sắc văn hóa dân tộc, tiếp thu tinh hoa văn hóa nhân loại, phù hợp với sự phát triển về tâm sinh lý lứa tuổi của người học. Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên". 1.2. Ở trường phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học (A.A. Stôliar). Đối với học sinh, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy và chức năng kiểm tra đánh giá. Khối lượng bài tập toán ở trường phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng. Có những lớp bài toán có thuật giải, nhưng phần lớn là những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải. Đứng trước những bài toán đó, giáo viên gợi ý và hướng dẫn học sinh như thế nào để giúp họ tìm ra phương pháp giải là một vấn đề hết sức quan trọng. Tuy nhiên đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra được những gợi ý hợp lí, đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ thuật sư phạm của chính người giáo viên. 8 1.3. Bồi dưỡng năng lực giải toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, vì để giải bài toán học sinh phải suy luận, phải tư duy, phải liên hệ với các bài toán khác để tìm ra lời giải; phải biết huy động kiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh... Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu tượng cao độ của nó. Nhờ trừu tượng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và có ứng dụng rộng rãi. Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng tượng của học sinh được phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy. Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừu tượng hoá mà tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán của học sinh cũng được hình thành và phát triển. Bởi qua các thao tác tư duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định được phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thân cũng như những ý nghĩ và tư tưởng của người khác. Một mặt các em cũng phát hiện ra được những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. 1.4. Qua thực tế bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tại trường THCS ở địa phương, kết hợp tìm hiểu công tác dạy và học tại các trường THCS ở các xã, thị trấn trong Huyện, bằng việc gặp gỡ trao đổi với giáo viên và học sinh cùng với thực tế công tác giảng dạy của bản thân trong nhiều năm đã cho thấy: Đa phần cha mẹ học sinh luôn có nguyện vọng được phát triển năng khiếu môn Toán cho con em mình ngay từ bậc THCS, đó là nguyện vọng chính đáng, rất đáng hoan nghênh. Chưa có giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên, mỗi năm cũng chỉ có một giáo viên vừa dạy đại trà tại lớp, vừa bồi dưỡng chương trình nâng cao. Nhiều giáo viên được giao nhiệm vụ dạy toán đang còn băn khoăn, lúng túng trong việc phát hiện, bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán và bản thân mỗi giáo viên chưa nắm bắt được những biểu hiện của những học sinh khá, giỏi toán. Chưa có một tài liệu, chương trình bồi dưỡng học sinh khá, 9 giỏi cụ thể thống nhất cho toàn ngành. Vai trò của tổ chuyên môn chỉ đạo chưa cao còn giao phó cho giáo viên dạy. 1.5. Thông qua khai thác sách giáo khoa toán và sáng tạo bài toán mới làm cho học sinh đi từ bất ngờ này đến bất ngờ khác một cách thú vị, làm cho học sinh biết được cách thức tạo ra kiến thức cũng như bài toán mới và qua đó ứng dụng vào giải các bài tập toán. Trong quá trình dạy học đối tượng học sinh khá giỏi, tổ chức hoạt động khai thác kiến thức cũng như bài tập trong nhiều tiết dạy chính khóa, trong các buổi dạy nâng cao, trong các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi đã thu được một số kết quả nhất định. Việc khai thác sách giáo khoa toán nếu được giáo viên quan tâm một cách thường xuyên sẽ góp phần không nhỏ trong viÖc rÌn luyÖn cho c¸c em học sinh khá, giỏi tÝnh linh ho¹t, tÝnh ®éc lËp, tÝnh s¸ng t¹o. Khai thác bài tập khéo léo ngoài việc phát triển tư duy cho học sinh còn bồi dưỡng học sinh khả năng tự học, tự rèn luyện. Thông qua việc khai thác bài tập cũng giúp học sinh ôn tập được kiến thức cơ bản, trọng tâm, làm cho học sinh được rèn luyện một số phương pháp gải bài tập, học sinh có kỹ năng vẽ thêm đường phụ, kỹ năng tìm tòi lời giải và tự tin sáng tạo bài toán mới từ các bài tập toán trong sách giáo khoa. Vì những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là :"Khai thác sách giáo khoa toán 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi trung học cơ sở" 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các định hướng khai thác nội dung hình học trong sách giáo khoa Toán 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi ở bậc THCS. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Làm sáng tỏ khái niệm năng lực, năng lực giải toán. 3.2. Xây dựng các định hướng khai thác sách giáo khoa toán 9 nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi. 10 3.3. Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính hiệu quả của đề tài. 4. Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng được các định hướng khai thác sách giáo khoa có tính sư phạm và sử dụng các định hướng đó nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trong quá trình dạy học thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán nói chung và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán ở trường THCS nói riêng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các sách, tạp chí, các luận văn cao học có liên quan đến đề tài. - Nghiên cứu thực tiễn: Tìm hiểu thực tiễn về dạy học và định hướng để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi. - Thực nghiệm sư phạm: Nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu quả của các đề xuất trong đề tài luận văn. 6. Đóng góp của luận văn - Góp phần làm sáng tỏ cơ sở lý luận về bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh và đề xuất cách khai thác sách giáo khoa nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi và cụ thể hóa ở nội dung hình học trong sách giáo khoa toán 9. - Kết quả nghiên cứu của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên. 7. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm 3 chương. Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1. Một số vấn đề cơ bản về năng lực 1.2. Năng lực toán học 1.3. Năng lực giải toán 1.4. Vai trò và chức năng của bài tập toán 11 1.5. Thực trạng việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi ở trường THCS hiện nay. 1.6. Kết luận chương 1 Chương 2. Các định hướng khai thác nội dung hình học trong sách giáo khoa toán 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi 2.1. Giới thiệu nội dung hình học trong sách giáo khoa Toán 9 2.2. Một số định hướng khai thác nội dung hình học trong sách giáo khoa toán 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi Định hướng 1: Mở rộng các công thức, định lý trong sách giáo khoa Định hướng 2: Xây dựng các ứng dụng của các kiến thức hình học Định hướng 3: Phát triển hệ thống bài toán từ bài toán trong sách giáo khoa Định hướng 4: Khai thác sách giáo khoa theo hướng tăng cường hoạt động tự học của học sinh 2.3. Kết luận chương 2 Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.2.1. Tổ chức thực nghiệm 3.2.2. Nội dung thực nghiệm 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 3.3.1. Đánh giá định tính 3.3.2. Đánh giá định lượng 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm Kết luận chung 12 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số vấn đề cơ bản về năng lực Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học cho thấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động. Qua quá trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cần thiết và ngày càng phong phú đa dạng, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với mức độ mới cao hơn. Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong để giải quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định. Sau đây là một số cách hiểu về năng lực: +) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [27]. +) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó [10]. +) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó (Dẫn theo[2]). Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ, và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định nghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc). Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ... Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng, tức là thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau. 13 Tóm lại, năng lực khá trừu tượng trong tâm lí học. Tuy còn có những cách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhà tâm lí học đều thống nhất rằng: - Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động, để có năng lực cần phải có những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao. - Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải. + Có tri thức về hoạt động đó; + Tiến hành hoạt động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả; + Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra; + Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau; Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về năng lực, xét từ phương diện giáo dục, chúng ta có thể hiểu rằng: - Năng lực thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnh hưởng của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạn chế còn do những điều kiện khác của môi trường sống. - Những yếu tố bẩm sinh của năng lực cần có môi trường điều kiện xã hội (ở đây ta sẽ giới hạn trong môi trường giáo dục) thuận lợi mới phát triển được, nếu không sẽ bị thui chột. Do vậy năng lực không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà còn phát triển trong hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể. - Nói đến năng lực là nói đến năng lực trong một loại hoạt động cụ thể của con người. - Cấu trúc của năng lực bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những hành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau. Đồng thời năng lực còn liên quan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm. - Hình thành và phát triển những năng lực cơ bản của học sinh trong học tập và đời sống là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường sư phạm. 1.2. Năng lực toán học Theo V. A. Crutecxki.[5] năng lực toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2 mức độ: 14 Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng. Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài người. Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt đối. Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập tới năng lực sáng tạo. Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình toán học một cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức, khám phá ra các phương pháp giải độc đáo cho những bài toán không mẫu mực. Theo V. A. Crutecxki.[5]: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học. Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông minh trong việc học toán. Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắm được chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinh này qua học sinh khác. Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi. Các năng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng. Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán học. Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao dần về mặt năng lực toán học. Về vấn đề này nhà toán học Xôviết nổi tiếng, Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv cho rằng:"Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm 15 được toán học trong trường trung học với sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt". 1.3. Năng lực giải toán Năng lực giải toán là một thành phần của năng lực toán học, được hình thành, rèn luyện và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải toán. Do đó, năng lực giải toán có thể hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao yêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng độc lập huy động tri thức, kỹ năng, kinh nghiệm trong hoạt động giải toán, hướng đến việc góp phần hình thành, bồi dưỡng và phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh. 1.3.1. Các thành phần của năng lực giải toán a) Năng lực dự đoán vấn đề Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một quãng thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy ra thì ta đã làm công việc dự đoán. Để có dự đoán mang tính chuẩn xác cao, cần phải xem xét các bằng chứng một cách cẩn thận trước khi đưa ra điều dự đoán của mình. Theo tác giả Đào Văn Trung mô tả:“Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa biết. Hay dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” [25]. Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống, vậy liệu có cách nào học được dự đoán hay không? Theo G.Polia thì “...trừ những người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học tập để có được năng khiếu dự đoán đó. Quá trình dự đoán có kết quả khi phán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và như vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự đoán đúng. Những dự đoán có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trên những qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng không phải là nghĩ liều” [8]. 16 Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là học sinh phải giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm. Họ cần phải được rèn luyện các năng lực thành tố như: Năng lực xem xét các đối tượng Toán học, năng lực tư duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, tổng quát hoá; năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đã biết với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự. b) Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ Đứng trước một vấn đề, học sinh có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau. Một trong những phương án có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán. Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng để huy động kiến thức đối với việc giải toán. Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thực hiện được hay không còn phụ thuộc vào kỹ năng phân tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang được ngôn ngữ nào. Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ giúp học sinh có thêm những định hướng, những đường lối cho việc tìm tòi nhiều phương pháp, cách giải khác nhau. c) Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán được gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc cùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau. Khai thác chức năng của bài tập tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có vai trò khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo. Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt động này thể hiện trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượng của hoạt động (các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng). Những hoạt động đó là để biến đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối tượng, sao cho các tri thức mới tương thích với các tri thức đã có; từ chủ thể xâm nhập 17 vào đối tượng, hiểu và giải thích chúng, vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm của hoạt động nhận thức. Để sự tìm tòi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể. Biến đổi về dạng tương tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của bài toán với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau. Việc biến đổi đó có thể thực hiện nhờ biến đổi hình thức để tương thích với tri thức đã có của học sinh hoặc là biến đổi nội dung để có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài toán này với bài toán khác. Khi nghiên cứu một đối tượng cần phải xem xét nó trong mối liên hệ với các đối tượng khác và cần xét kĩ cái chưa biết để huy động những kiến thức gần nhất với bài toán đang giải hoặc ít ra là đã giải bài toán tương tự. Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán học sinh có thể quy các vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, về các bài toán tương tự đã giải. d) Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biện chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiều góc độ, có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau. Một bài toán có thể ta phải chuyển đổi ngôn ngữ bằng các cách khác nhau. Hoặc có thể nhìn nhận nó dưới nhiều “cái riêng” khác nhau. Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhận theo nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã có thì sẽ hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc sảo một niềm tin sẽ giải quyết được vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ẩn tàng những cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra. e) Năng lực phân chia trường hợp Trong việc trình bày lý thuyết, hệ thống hoá các kiến thức, cũng như khi giải toán biện luận, ..., ta cần phải phân chia một khái niệm. 18 Trong lôgic học, người ta quan niệm:“Phân chia khái niệm là thao tác lôgic, chia các đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm cần phải phân chia thành các nhóm theo những tiêu chuẩn nhất định” [22]. Nói cách khác, phân chia một khái niệm tức là đem ngoại diên của khái niệm ấy chia thành nhiều bộ phận [4]. Phân loại là phân chia một tập hợp đối tượng cho trước thành những tập hợp con, dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung. Giữa phân chia khái niệm và phân loại thường không có sự phân biệt rõ ràng, người ta thường dùng phân loại theo nghĩa phân chia khái niệm. Việc phân chia, phân loại phải tuân theo một số quy tắc nhất định: + Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, không bỏ sót; + Sự phân chia (phân loại) không trùng lặp; + Cùng một lúc không được đưa vào nhiều dấu hiệu khác nhau để phân chia; + Phân chia phải liên tục [22]. f) Năng lực suy luận lôgic Trong lôgic học người ta quan niệm rằng:“Suy luận là quá trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có trước” [7]. Các mệnh đề có trước gọi là tiền đề của suy luận, các mệnh đề mới rút ra gọi là hệ quả hay kết luận của suy luận. Một suy luận bất kỳ nói chung có cấu trúc lôgic A � B , trong đó A là tiên đề, B là kết luận. Cấu trúc lôgic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận. Xét suy luận với cấu trúc lôgic A � B , nếu suy luận kéo theo A � B đúng thì suy luận được gọi là suy luận hợp lôgic. Ta phải phân biệt hai hình thức suy luận: suy luận diễn dịch (suy diễn) và suy luận quy nạp. + Suy luận diễn dịch (phép suy diễn) là suy luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn) xác định rằng nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luận rút ra cũng đúng [4]. 19 Suy luận suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng. Vậy để đảm bảo tính chất đúng đắn của một suy diễn thì các tiền đề của suy luận phải đúng đồng thời suy luận phải hợp lôgic. + Suy luận quy nạp: chúng ta gọi các kết luận được rút ra trên cơ sở các quan sát và thực nghiệm, tức là những kết quả nhận được bằng con đường xem xét các trường hợp riêng và sau đó khái quát lên thành những quy luật cho các trường hợp tổng quát gọi là suy luận quy nạp [7]. * Quy nạp hoàn toàn được sử dụng rộng rải để chứng minh các định lý và giải Toán. Trong phương pháp quy nạp hoàn toàn, khẳng định chung được chứng minh là đúng trong mỗi trường hợp riêng có thể xảy ra, do đó, mặc dù được gọi là quy nạp, nhưng ta vẫn phải xem quy nạp hoàn toàn là suy luận thuộc loại suy diễn [7]. Thật vậy, để có thể áp dụng được phương pháp suy luận này, ta phải đưa về việc phân chia các trường hợp chung thành một số hữu hạn các trường hợp riêng có thể có và chứng minh khẳng định đúng trong tất cả các trường hợp riêng. Từ những đặc điểm trên về suy luận quy nạp hoàn toàn, để tránh sự trùng lặp nhiều, trong Luận văn chúng tôi sẽ không bàn nhiều về phát triển năng lực suy luận lôgic ở góc độ này. Vì năng lực này được phát triển nếu chúng ta phát triển được ở học sinh năng lực suy diễn, năng lực phân chia các trường hợp riêng. * Quy nạp không hoàn toàn là phép đi từ cái đúng riêng đến kết luận cho cái chung, đi từ một hiện tượng đơn nhất cho các hiện tượng phổ biến [7]. Đối với phép quy nạp không hoàn toàn, đặc biệt hoá và khái quát hoá, tương tự hoá, được xem là các thủ thuật lôgic tư duy chủ yếu, có ý nghĩa cực kỳ quan trọng trong khi tiến hành suy luận. Theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn:“Để đi đến cái mới trong Toán học phải biết được tư duy lôgic và tư duy biện chứng. Trong việc phát hiện vấn đề và định hướng giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng giữ vai trò chủ đạo, còn hướng giải quyết vấn đề đã rõ thì tư duy lôgic giữ vai trò chính” [24]. 20