Tài liệu KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC TIỂU HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH DƯƠNG HỮU TÒNG KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC TIỂU HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 MỤC LỤC MỤC LỤC .................................................................................................................... 3 30T T 0 3 LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 6 30T 30T DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ............................................................................ 7 30T T 0 3 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 8 30T T 0 3 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ........................................................................8 T 0 3 T 0 3 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục tiểu nghiên cứu .................................................9 T 0 3 T 0 3 3. Phương pháp nghiên cứu ...............................................................................................9 T 0 3 30T 5. Tổ chức của luận văn ...................................................................................................10 T 0 3 30T Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ TỰ 30T NHIÊN ........................................................................................................................ 12 T 0 3 1.1. Mục tiểu của chương .................................................................................................12 T 0 3 30T 1.2. Đặc trung khoa học luận của khái niệm số tự nhiên ...............................................12 T 0 3 T 0 3 1.2.1. Giai đoạn 1: từ thời kỳ nguyên thủy cho đến thời cổ đại ....................................12 T 0 3 T 0 3 1.2.2. Giai đoạn 2: thời trung cổ đến ba phần tư đầu của thế kỷ XIX ...........................16 T 0 3 T 0 3 1.2.3. Giai đoạn 3: phần tư còn lại của thế kỷ XIX .......................................................19 T 0 3 T 0 3 1.3. Một số kết luận ...........................................................................................................23 T 0 3 30T 1.3.1. Các giai đoạn nảy sinh và phát triển ....................................................................23 T 0 3 T 0 3 1.3.2. Phạm vi tác động của khái niệm số tự nhiên và các bài toán có liên quan .........24 T 0 3 T 0 3 1.3.3. Các đối tượng có liên quan ..................................................................................25 T 0 3 T 0 3 1.3.4. Các cách tiếp cận khái niệm số tự nhiên .............................................................25 T 0 3 T 0 3 Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN ....... 27 30T T 0 3 2.1. Mối quan hệ thể chế vói số tự nhiên trong các nhà trường đào tạo GV tiểu học...27 T 0 3 T 0 3 2.1.1. Số tự nhiên trong học phần số học ......................................................................28 T 0 3 T 0 3 2.1.2. Số tự nhiên trong học phần Phương pháp giảng dạy Toán ..................................31 T 0 3 T 0 3 2.1.3. Kết luận................................................................................................................35 T 0 3 30T 3 2.2. Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên ở bậc tiểu học.................................................37 T 0 3 T 0 3 2.2.1. Sách cải cách giáo dục (M 1 ) ................................................................................37 T 0 3 R R T 0 3 2.2.2. Sách giáo khoa hiện hành (M 2 ) ...........................................................................44 T 0 3 R R T 0 3 2.3. Kết luận chương 2 ......................................................................................................54 T 0 3 30T Chương 3: THỰC NGHIỆM .................................................................................... 57 30T 30T 3.1. Thực nghiệm A đối với giáo viên ...............................................................................57 T 0 3 T 0 3 3.1.1. Hình thức và nội dung thực nghiệm ....................................................................57 T 0 3 T 0 3 3.1.2. Phân tích tiên nghiệm bộ câu hỏi ........................................................................59 T 0 3 T 0 3 3.1.3. Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ..................................................62 T 0 3 T 0 3 3.1.3. Một số kết luận rút ra từ thực nghiệm A..............................................................68 T 0 3 T 0 3 3.2. Thực nghiệm B đối với học sinh ...............................................................................68 T 0 3 T 0 3 3.2.1. Phân tích tiên nghiệm tình huống thực nghiệm ...................................................68 T 0 3 T 0 3 3.2.1.1. Tình huống cơ sở ..........................................................................................68 T 0 3 30T 3.2.1.2. Cơ sở xây dựng tình huống thực nghiệm .....................................................69 T 0 3 T 0 3 3.2.1.3. Các chiến lược và cái có thể quan sát được ................................................70 T 0 3 T 0 3 3.2.1.4. Môi trường .................................................................................................71 T 0 3 30T 30T 30T 3.2.1.5. Tình huống thực nghiệm (Xem phụ lục 3) .................................................72 T 0 3 30T 30T T 0 3 3.2.1.6. Tổ chức thực nghiệm..................................................................................72 T 0 3 30T 30T T 0 3 a) Đối tượng: Các em HS lớp 2 - đã được học số tự nhiên ở lớp 1. .........................72 T 0 3 T 0 3 b) Dàn dựng kịch bản ................................................................................................72 T 0 3 30T 3.2.1.7. Đặc trưng của ánh huống thực nghiệm qua cách chọn các giá trị của biến T 0 3 T 0 3 ...................................................................................................................................73 3.2.1.8. Ảnh hưởng của việc lựa chọn giá trị của biến đến các chiến lược ..............74 T 0 3 T 0 3 3.2.1.9. Phân tích kịch bản ........................................................................................75 T 0 3 30T 3.2.2. Phân tích hậu nghiệm tình huống thực nghiệm ...................................................76 T 0 3 T 0 3 3.2.2.1. Một số kết quả ban đầu ..............................................................................76 T 0 3 30T 30T T 0 3 4 3.2.2.2. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm ......................................................76 T 0 3 30T 30T T 0 3 3.2.3. Một số kết luận rút ra từ thực nghiệm B..............................................................80 T 0 3 T 0 3 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 81 30T 30T TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 83 30T 30T Tiếng Việt ...........................................................................................................................83 T 0 3 T 0 3 Tiếng Anh ..........................................................................................................................84 T 0 3 T 0 3 Tiếng Pháp.........................................................................................................................84 T 0 3 30T PHỤ LỤC ................................................................................................................... 85 30T T 0 3 PHỤ LỤC 1: Các câu hỏi trong thực nghiệm A đối với giáo viên .................................85 T 0 3 T 0 3 Phụ lục 2: ..........................................................................................................................87 T 0 3 T 0 3 PHỤ LỤC 3: Tình huống thực nghiệm và quy tắc trò chơi trong thực nghiệm B ........99 T 0 3 T 0 3 PHỤ LỤC 4 : Các protocole pha 2,3,4 trong thực nghiệm ...........................................100 T 0 3 T 0 3 5 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Ái Quốc, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức và niềm say mê đối với Didactic Toán. Tôi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc cần thiết cho chúng tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên nhiệt tình giúp đỡ cho tôi trong việc dịch luận văn này sang tiếng Pháp. Tôi cũng xin chân thành cám ơn: - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN - SĐH trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi khi được học tập tại trường. - Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ và các đồng nghiệp thuộc Bộ môn Toán đã tạo mọi thuận lợi cho tôi trong lúc học tập tại trường ĐHSP TP.HCM. - Ban Giám hiệu và các giáo viên của trường tiểu học Lê Quý Đôn, TP. Cần Thơ đã nhiệt tình giúp đỡ và sắp xếp cho tôi thực nghiệm tại Quý trường. Xin gởi những lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic khóa 16 đã cùng tôi học tập, trải qua những ngày vui buồn và những khó khăn trong khóa học. Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia đình tôi, luôn động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt. Dương Hữu Tòng 6 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT GV: Giáo viên HS: Học sinh M1: Sách cải cách giáo dục M2: Sách giáo khoa hiện hành SGK: Sách giáo khoa SGV: Sách giáo viên R R R R 7 MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong bài giảng của mình tại trường xuân Đà Lạt tháng 04/2007, GS.Annie Bessot đã tình bày một tình huống "bút vẽ" trong thực nghiệm của B. de Villegas, Trường Đại học Los Andes: "Có các lọ màu để cách xa các cây bút vẽ. Trẻ em phải đến lấy bút vẽ và đặt vào các lọ màu. Các em chỉ được lấy bút vẽ một lần và đảm bảo rằng lọ nào cũng có một cây bút vẽ và không có cây bút vẽ nào bị dư." Thực nghiệm được thực hiện với trẻ em đã biết đếm, theo nghĩa đã biết giải quyết hai dạng toán sau : + Dạng toán 1: Xác định số tự nhiên ứng với số phần tử của tập hợp cho trước. + Dạng toán 2: Tạo ra tập hợp có số phần tử băng số tự nhiên n cho trước. Thực nghiệm chỉ ra rằng trẻ không giải quyết được tình huống "bút vẽ", dù các em biết giải quyết hai dạng toán này. Theo G.Brousseau, ứng xử trên của trẻ cho phép chỉ ra sự khác biệt giữa phép đếm như là một kiến thức văn hóa đời thường và phép đếm như là kiến thức công cụ để giải quyết tình huống cơ bản. Những phân tích trên đặt ra cho chúng tôi nhiều câu hỏi cần giải đáp : - Trong thể chế dạy học toán bậc tiểu học ở Việt Nam, khái niệm số tự nhiên được đưa vào như thế nào? Xoay quanh những dạng toán nào? Hai dạng toán nêu ở trên và mối quan hệ giữa chúng có vị trí, vai trò gì trong việc hình thành khái niệm số tự nhiên? - Phép đếm như là một kiến thức văn hóa đời thường có vai trò gì trong việc dạy học khái niệm số tự nhiên? Phép đếm như là một kiến thức toán học có đặc trưng gì? - Học sinh tiểu học Việt Nam, sau khi học về các số tự nhiên đầu tiên (ít nhất trong phạm vi 100) ứng xử thế nào trước tình huống kiểu tình huống "bút vẽ" của B. de Villegas? 8 - Giáo viên dạy học toán ở trường tiểu học Việt Nam có quan niệm như thế nào về khái niệm số tự nhiên và dạy học số tự nhiên? Họ quan niệm như thế nào về hai loại kiến thức phép đếm: phép đếm - kiến thức văn hóa đời thường và phép đếm như là một kiến thức toán học? 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục tiểu nghiên cứu Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán với việc vận dụng các yếu tố lý thuyết sau đây: - Lý thuyết nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học. - Lý thuyết tình huống, họp đồng didactic. Mục tiểu nghiên cứu của chúng tôi là tìm câu trả lời cho các câu hỏi xuất phát nêu trên, mà bây giờ được cụ thể hóa và mở rộng trong phạm vi lí thuyết didactic như sau : 1.Trong quá trình hình thành và phát triển, số tự nhiên có những đặc trưng khoa học luận cơ bản nào? 2.Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên ở nhà trường đào tạo GV tiểu học có những đặc trưng cơ bản nào ? Sự tương đồng và khác biệt của nó so với quá trình phát triển của nó trong lịch sử? 3.Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên trong thể chế dạy học toán ở bậc tiểu học có đặc trưng cơ bản nào? Sự tương đồng và khác biệt so với quá trình phát triển của nó trong lịch sử và so với mối quan hệ thể chế đào tạo GV tiểu học? 4.Những ràng buộc của thể chế dạy học ảnh hưởng như thế nào trên mối quan hệ cá nhân của GV và HS? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của hợp đồng didactic liên quan đến khái niệm số tự nhiên đáng được chú ý? 3. Phương pháp nghiên cứu Sau đây là sơ đồ thể hiện phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi sử dụng nhằm tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi được nêu ở trên: 9 - Đầu tiên, chúng tôi phân tích, tổng họp các công trình có liên quan đến đến đặc trưng khoa học luận của khái niệm số tự nhiên. - Tiếp theo nghiên cứu tri thức luận, phân tích chương trình và các giáo trình toán (được sử dụng đê dạy cho GV tiểu học) được thực hiện nhằm tìm hiểu khái niệm số tự nhiên được nghiên cứu như thế nào ở cấp độ đại học và mối quan hệ thể chế đào tạo GV với đối tượng số tự nhiên. - Hai nghiên cứu trên là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học số tự nhiên ở tiểu học. Phân tích chương trình và SGK, sách GV Toán 1, tài liệu hướng dẫn giảng dạy sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng số tự nhiên. - Sau những nghiên cứu trước đó, cho phép chúng tôi đề xuất các câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu. Tính thỏa đáng của chúng được kiểm chứng bằng các thực nghiệm trên đối tượng GV và HS. 5. Tổ chức của luận văn ❖ Mở đầu. ❖ Nội dung. 10 • Chương 1: Đặc trưng khoa học luận của khái niệm số tự nhiên. • Chương 2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên. 2.1.Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên trong các nhà trường đào tạo GV tiểu học. 2.2.Mối quan hệ thể chế với số tự nhiên ở bậc tiểu học. 2.3.Kết luận chương 2. • Chương 3: Thực nghiệm. ❖ Kết luận. ■ Tài liệu tham khảo. ■ Phụ lục. 11 Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ TỰ NHIÊN 1.1. Mục tiểu của chương Mục tiểu của chương này là phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu lịch sử hay khoa học luận về khái niệm số tự nhiên nhằm làm rõ các đặc trưng của đối tượng này trong quá trình nảy sinh và tiến triển của nó. Cụ thể, chúng tôi nhắm đến trả lời các câu hỏi sau đây: 1.Khái niệm số tự nhiên hình thành và phát triển qua những giai đoạn lịch sử nào? 2.Khái niệm số tự nhiên xuất hiện và tác động trong những kiểu bài toán, những kiểu tình huống nào? Nhằm giải quyết những bài toán nào? Trong phạm vi nào? Đặc trưng cơ bản của nó? 3.Những đôi tượng, khái niệm toán học nào có liên quan và góp phần nảy sinh và phát triển khái niệm số tự nhiên ? 4.Có những cách tiếp cận nào đối với khái niệm số tự nhiên? ứng với từng cách tiếp cận ấy, số tự nhiên sẽ lấy nghĩa gì? Tài liệu tham chiếu dùng để phân tích: Charles J. Brainerd (1979), John Crossley (1987), Martino T.-Spagnolo F (1996), Nguyễn Cang (1999), Nguyễn Phú Lộc (2008). 1.2. Đặc trung khoa học luận của khái niệm số tự nhiên Số tự nhiên là một thành tựu toán học lâu đời nhất của loài người. Lịch sử nảy sinh và phát triển của khái niệm số có thể được chia làm 3 giai đoạn. Giai đoạn 1 kéo dài từ thời kỳ nguyên thủy cho đến thời cổ đại. Đóng góp của giai đoạn này có từ nền văn minh cổ xưa: Ai Cập, Babylon và Hy lạp. Giai đoạn 2 từ thời trung cổ đến 3 phần tư-đầu của thế kỷ XIX. Sự đóng góp chính trong giai đoạn này thuộc về các học giả Thiên Chúa giáo và Đạo Hồi. Giai đoạn 3 được tính trong một phần tư sau của thế kỷ XIX. Trong suốt giai đoạn này, các nhà toán học đưa ra những quan điểm khác nhau về số. 1.2.1. Giai đoạn 1: từ thời kỳ nguyên thủy cho đến thời cổ đại ❖Cách tiếp cận số tự nhiên của người nguyên thủy 12 Số tự nhiên ra đời là do nhu cầu nhận biết về số lượng của sự vật. Chẳng hạn, người ta cần biết được số lượng của đàn thú để tổ chức cuộc đi săn, cần biết được số lượng của bên địch để tổ chức chiến đấu...Tình huống xuất hiện của số tự nhiên là nhu cầu cần đếm các đồ vật, đã có ngay từ các thời kì tiền sử. Ở bậc thấp của xã hội nguyên thủy không có khái niệm số trừu tượng. Điều này không có nghĩa là người nguyên thủy không đếm được số lượng đồ vật của một tập họp cụ thề, thí dụ số lượng người tham gia một buổi săn bắt, số lượng ao hồ có thể bắt cá,...Để nói về phép đếm của người nguyên thủy, tác giả Nguyễn Phú Lộc đã viết: "Có lẽ phép đếm sớm nhất là phương pháp đối chiếu theo nguyên tắc tương ứng một - một. Khi đếm một đàn cừu, chẳng hạn, thì mỗi con cừu ứng với một ngón tay, hay một viên đá, sỏi, hoặc bằng cái que, bằng một vét vạch lên mặt đất, bằng một cái nút trên một sợi dây..." [10, tr.9]. Để hiểu được số tự nhiên hình thành như thế nào, ta hãy hình dung con người nhận thức được số lượng sự vật bằng cách nào? Người nguyên thủy có thể phân biệt trong tự nhiên giữa một cái cây và một rừng cây, giữa một con chó sói và một bầy chó sói,...nghĩa là phân biệt giữa nhiều hơn và ít hơn. Có thể nói, con người nhận thức được số lượng sự vật bằng cách so sánh. Để nhận biết được số lượng của một tập hợp các "vật" nào đó, ta so sánh nó vói một tập họp mà ta đã biết rõ số lượng. Tập hợp này được gọi là tập hợp chuẩn. Để so sánh ta cho tương ứng mỗi vật của tập hợp đang xét với một vật xác định của tập hợp chuẩn, sao cho hai vật khác nhau được ứng với hai vật phân biệt của tập họp chuẩn. Dễ hình dung rằng khi lập tương ứng như vậy, mỗi phần tử của tập họp chuẩn và ngược lại (tương ứng như vậy gọi là tương ứng 1-1 hay là một song ánh) thì ta coi rằng hai tập hợp có số lượng bằng nhau, hay theo thuật ngữ toán học gọi là hai tập hợp có cùng lực lượng. Dần dần người ta đi đến đặt ra các con số để chỉ đặc điểm chung của các tập hợp có cùng lực lượng. * Nhận xét: - Khái niệm số tự nhiên chỉ xuât hiện trong đời sống sinh hoạt của người nguyên thủy chứ chưa hiện diện trong lĩnh vực toán học. - Từ những ghi nhận của tác giả Nguyễn Phú Lộc, chúng ta thấy được phép đếm của người nguyên thủy chính là sự thiết lập tương ứng 1-1. Đây chính là kiến thức toán học của phép đếm. Nó cho phép giải quyết tình huống. Phép đếm như thế cho phép so sánh được số phần tử của hai tập hợp. Cụ thể, điều này sẽ được đề cập ở bên dưới. - Khái niệm số tự nhiên xuất hiện ngầm ẩn trong tình huống: "So sánh sự nhiều hơn, ít hơn về số phần tử của hai tập hợp". Kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này là: Cho tương 13 ứng mỗi phần tử của tập này với duy nhất một phần tử của tập kia, tập nào có "thừa" phần tử sẽ có nhiều phần tử hơn. số tự nhiên vẫn chưa có tên, chưa được định nghĩa. - Ở đây, chúng ta cũng thấy được nghĩa của số tự nhiên, số tự nhiên lấy nghĩa "kết quả của phép đếm" một cách tường minh, còn nghĩa "biểu thị quan hệ tương ứng 1-1" một cách ngầm ẩn. Trên cơ sở như trên, đặc trưng bản số của số tự nhiên cũng được đề cập một cách không tường minh. (Đặc trung bản số của số tự nhiên là có chức năng biểu thị quan hệ số lượng - theo Từ điển Bách Khoa Toán học). ❖Cách tiếp cận số tự nhiên của người Ai Cập và Babylon Có nhiều điểm khác nhau về tri thức số của người Ai Cập và Babylon, nhưng họ lại có điểm giống nhau cơ bản. Các tác phẩm về số của hai nhóm này đều tập trung vào tính toán. Người Ai Cập cũng như người Babylon chưa từng nghĩ để xây dựng một khoa học về số. Đặc biệt, có lẽ không có bằng chứng nào cho câu hỏi như "số là gì ?". Đối với người Ai Cập, câu hỏi này có lẽ không có nghĩa gì cả. Đối với người Babylon, với cách tiếp cận về số của họ, câu hỏi này có thể có nghĩa nào đó. Mặc dù, người Babylon là người cổ đại am hiểu tường tận về tính toán, nhưng khoa học về số đối với họ là không tồn tại. Gần như, họ khám phá ra các cách dùng chung của số, nhưng ý nghĩa về sự tồn tại hữu ích của nó không được họ nhắc đến. Nói chung, họ không quan tâm đến việc làm rõ ý nghĩa của số tự nhiên hay tìm cách định nghĩa nó mà chỉ tập trung vào yếu tố "công cụ" của nó. Hai lĩnh vực toán học mà họ chọn để phát triển nó là Số học và Đại số. ❖Cách tiếp cận số tự nhiên của người Hy Lạp Người Hy Lạp là người đầu tiên thành công trong việc xây dựng khoa học về số vào khoảng thể kỷ thứ 6 đến thế kỷ 4 TCN. Thật vậy, họ được xem là người khởi đầu cho khoa học về số. Theo Bertrand Russell (1919), chúng ta vẽ ra biên của toán học và khoa học toán như sau: "Khi làm toán, người ta tham gia vào quá trình mà nhờ đó tầm ứng dụng của các khái niệm được mở rộng. Tức là, người ta tìm thêm các cách khác nhau để cho các khái niệm toán học được sử dụng. Khi làm khoa học toán, người ta tham gia vào quá trình ngược lại. Thay vì, mở rộng tầm ứng dụng của khái niệm, người ta lại thu hẹp. Trong khoa học toán, chúng ta đặt ra câu hỏi "khái niệm này có nghĩa gì?"[26, tr.25]. Các nhà toán học Hy Lạp nhận thấy câu hỏi như thế đầy thú vị. Ở đây, chỉ xét đến hai người đóng góp quan trọng nhất: Pythagoras và Plato. Cách tiếp cận số tự nhiên của Pythagoras (569 - 500 TCN) 14 Trong suốt những năm sinh sống ở Croton, Pythagoras có câu trả lời kinh ngạc cho câu hỏi "số là gì ?". Đối với ông, số là tất cả mà nó có theo nghĩa đen. số là thực tế duy nhất và số là ngôn ngữ của vũ trụ. Theo quan niệm của người Hy Lạp, vũ trụ và mọi thứ trong nó đều có thể quy về một hay một vài tổng quát như thế. Mặc dù, "Tất cả là số" nghe như nó khá ngây thơ so với ngày nay, nhưng nó là một ví dụ tuyệt vời cho cách tiếp cận của người Hy Lạp để giải mã các bí mật của tự nhiên. Khái niệm-về số của Pythagoras rất hẹp so với chúng ta ngày nay. Thật vậy, Pythagoras chỉ thừa nhận hai loại số : (1) dãy các nguyên dương vô tận (1, 2, 3, ...) tức được 𝑎 gọi là các số tự nhiên ngày nay và (2) dãy các phân số vô tận( 1 , và tử số đều là các số tư nhiên (gói là "số hữu tỉ" ngày nay). 𝑎2 𝑎3 , ,...) mà tất cả mẫu số 𝑏1 𝑏2 𝑏3 * Nhận xét: - Xét về lịch sử, phát biểu "Tất cả là số" đánh dấu bước đột phá quan trọng: phán đoán về các nền tảng của toán học. Theo quan điểm Pythagoras, toán học không thể diễn ra nếu thiếu vắng đi nên tảng của số. - Pythagoras đưa ra được dãy các số tự nhiên 1, 2, 3, 4...và dãy các phân số. Ông cũng phát hiện ra được tính vô hạn của dãy số tự nhiên. Tuy nhiên, ông không đề cập đến số 0 trong hai dãy số trên. Mặc dù, ông không đưa ra được định nghĩa số tự nhiên dưới ngôn ngữ toán học ngày nay, nhưng ông cũng đánh dấu được một bước ngoặt là-quan tâm đến yếu tố "đối tượng" hơn là "công cụ" của số tự nhiên. Cách tiếp cận số tụ nhiên của Plato (428 hay 427-347 TCN) Ít hay nhiều, Plato đi đến cùng kết luận về nguồn gốc của số như Pythagoras. Tức là, ông kết luận rằng số là "thực". Ông đưa ra giải thích như sau: đại lượng số, không giống như các đại lượng mùi, màu, và vị, nó rất trừu tượng. Trong khi chúng ta có thể trải nghiệm và đạt được về kiến thức về mùi, màu, và vị theo lối trực tiếp trực giác, nhưng chúng ta không thể đạt được kiến thức về số theo lối này. Tuy nhiên, chúng ta biết nhiều về số, có lẽ, nhiều hơn chúng ta biết về các đại lượng trải nghiệm qua trực giác. Kiến thức như thế có thể đạt được bằng cách nào? Nếu trong đầu suy ngẫm về những thứ mà không thể thấy được, thì những thứ này phải độc lập trong trí óc và những thứ vật chất khác. Sự tin tưởng của Plato về sự tồn tại độc lập của số và nói chung các khái niệm toán học có trong ba tác phẩm nổi tiếng của ông: The Meno, The Phaedo, và The Republic. 15 * Nhận xét: Điểm nhấn của Plato là ông phát hiện ra được bản chất của số tự nhiên: tồn tại độc lập đối với các vật trông thấy được. Tuy nhiên, ông cũng không đưa ra được một định nghĩa chính xác cho số tự nhiên. Dưới ngôn ngữ của toán học, số tự nhiên không phụ thuộc nội dung của các đồ vật mà chỉ liên hệ đến số lượng phần tử của tập hợp. Tóm lại, trong giai đoạn này số tự nhiên có các đặc trưng cơ bản sau: - Nguồn gốc làm xuất hiện khái niệm số trừu tượng là cách đếm nguyên sơ các đồ vật, mà nội dung là so sánh các vật của tập hợp cụ thể đã cho với các vật của một tập họp xác định nào đó, lấy làm chuẩn. Theo ngôn ngữ toán học, số tự nhiên xuất hiện trong tình huống "So sánh sự nhiều hơn, ít hơn về số phân tử của hai tập hợp". - Các bài toán có liên quan là: xác định số phần tử của một tập hợp, so sánh số phần tử của hai tập hợp,...số tự nhiên thể hiện chức năng "công cụ" của mình. Cơ chế đối tượng của số tự nhiên chỉ được nhắc đến một cách mờ nhạt. Trong giai đoạn này, khái niệm số tự nhiên lấy cơ chế của một khái niệm protomathémtique. - Đến đây, đặc trưng bản số của số tự nhiên được tiếp cận không tường minh. Đặc trưng tự số tồn tại một cách ngầm ẩn. Bởi lẽ, khi so sánh số phần tử của hai tập hợp sẽ xảy ra các trường hợp "nhiều hơn, ít hơn, bằng nhau" về số phân tử của hai tập đó. Khi đó, đặc trưng tự số của số tự nhiên tồn tại một cách ngầm ẩn. - Số tự nhiên xuất hiện như thế đó và nó cũng có nghĩa riêng của bản thân. Số tự nhiên lấy nghĩa "kết quả của phép đếm", còn nghĩa "biểu thị tương ứng 1-1 giữa các tập hợp" một cách ngầm ẩn thông qua phép đếm. - Bước tiến quan trọng trong sự phát triển số tự nhiên là nhận thức được tính vô hạn của dãy số tự nhiên. Hơn thế nữa, số tự nhiên không lệ thuộc vào nội dung các đồ vật mà chỉ phụ thuộc vào quan hệ số lượng phần tử của các tập hợp. Đây là khám phá quan trọng của các nhà toán học. Bởi lẽ, nó cho phép trừu tượng hóa, khái quát hóa lên những thuộc tính bản chất của số tự nhiên. 1.2.2. Giai đoạn 2: thời trung cổ đến ba phần tư đầu của thế kỷ XIX Điểm quan trọng nhất về thời kỳ Trung cổ là khoa học giả thần bí của "số luận" hoàn toàn thống trị tri thức về số trong giai đoạn này. Các tác phẩm của các học giả số bắt đầu và kết thúc với số luận. "Số luận" nên được hiểu là luận đề mà tính đúng sai của các mệnh đề 16 được chứng minh bằng các phân tích về số. Trong suốt thời kỳ Trung cổ, số luận được hầu hết mọi người chấp nhận như là một phương pháp để có được kiến thức về một thứ nào đó. Như đã biết, cả hai Pythagoras Brotherhood và trường phái của Plato đều tán thành các dạng của số luận. Cả hai đều nghĩ rằng sự thật về vũ trụ có thể được làm sáng tỏ bằng cách thực hiện tính toán số học với các con số đặc biệt nào đó. Nhưng cả hai đều không đưa số luận đến thời kỳ rực rỡ của nó. Nigidius Figulus (La Mã) - sống trong suốt thế kỷ thứ nhất SCN, được xem như là cha đẻ của số luận Trung cổ. Điểm giống nhau của việc giảng dạy của Nigidius và tác phẩm của Pythagoras là số luận. Chú ý rằng, số luận của Pythagoras chỉ liên quan đến các câu hỏi mà được ngày nay xem như là các vấn đề khoa học chính đáng. Nhưng, trường Nigidius và một trường triết học La mã sau đó nhận thấy rằng các câu hỏi như thế khá khô khan và không thú vị. Thần học là lĩnh vực mà họ rất quan tâm và họ nhận thấy khả năng rất lớn của số luận trong lĩnh vực này. Rõ ràng, họ quyết định số luận có thể được dùng để chứng minh tính chân trị của các mệnh đề thần học hằng ngày. Các nhà số luận Alexandria mở rộng số luận thần học của Nigidius đến mức độ logic bằng cách phát minh ra "gematria". Trong gematria, số luận được ứng dụng cho các Kinh Cựu ước. Các tiết trong Kinh Cựu ước chứa các số nào đó về kí tự, số từ, các dấu nhấn và chúng được giải thích là chứa đựng ý nghĩa bí ẩn nào đó. St. Augustine (353 - 430) được xem như là người đầu tiên thay đổi số luận trong số ở nhà thờ. Augustine tin rằng gematria được áp dụng cho Kinh Tân ước hơn là Kinh Cựu ước. Đây là một điểm cực kỳ quan trọng cho bộ mặt số luận trong suốt thế kỷ IV và V. Augustine được cho là người hoàn chỉnh gematria - như là phân tích các Kinh Tân ước. Sau đó, ông kết luận rằng thượng đế là người số luận và số là ngôn ngữ chung mà thượng đế ban tặng cho nhân loại. Có rất nhiều nhà số luận trong thời Augustine như là Proclus (411- 485), St. Isadore (579 - 636), St. Thomas Aquinas (1226 - 1274) và nhà thơ Dante (1265 -1321). Proclus phát minh ra các công thức số luận. Nhưng không may mắn, ông ấy không có những suy nghĩ trước đó để các công thức số luận của ông ấy dựa vào Kinh Tân ước. St. Isadore được cho là người chuẩn bị một quyển tự điển tham khảo về số trong cả hai Kinh Tân ước và Cựu ước. Aquinas mở rộng số luận Thiên chúa giáo của các thế kỷ trước, bao gồm các quan niệm về số mà ông ấy khám phá trong các tác phẩm của Aristotle. Dante phát hiện số luận trong thơ 17 của mình. Trong tác phẩm The Divine Comedy của mình, Dante trang bị đầy đủ hệ các ký hiệu số còn mập mờ. Sau đó, các nhà toán học Hồi giáo tiếp cận số học và đại số theo lối của tổ tiên Babylon và Hy Lạp. Các nhà toán học Hồi giáo thêm số 0 vào các số tự nhiên và số hữu tỷ của người Hy Lạp. Người Babylon đã sử dụng con số 0 này trước đó. Họ cũng đưa ra các kí hiệu số như hiện tại. Ngoài việc thêm số 0 vào hệ thống số của người Hy Lạp và các kí hiệu mới, các nhà toán học Hồi giáo có đóng góp không nhiều. Họ cố tìm kiếm để bắt chước và giữ lại các tác phẩm của người Hy Lạp, hơn là tự tìm ra các hướng mới cho riêng mình. Trong rất nhiều tác phẩm của người Hồi giáo, đều gặp phải một vấn đề như người Babylon và Hy Lạp đã từng gặp: sự thu hẹp khái niệm số. Nhớ lại rằng, người Hy Lạp chỉ chấp nhận hai loại số: số tự nhiên và phân số. Tuy nhiên, để có thể hoàn thành được hệ thống số học và đại số, các loại số khác phải được thừa nhận, đặc biệt: số âm, số vô tỷ, và số phức. Người Hy Lạp xem các loại số khác chỉ là tưởng tượng và người Hồi giáo cũng xem như thế. Khái niệm số của thời kỳ cổ đại và trung cổ số luận bị giới hạn bởi các tiểu chuẩn hiện đại. Đến cuối giai đoạn hai, khái niệm số được mở rộng và hình thành nhiều loại số mới. Đó là kết quả của việc áp dụng các phép toán đại số và số học đối với số tự nhiên và phân số. Trong suốt quá trình mở rộng đầy phức tạp này, các nhà toán học ngầm ẩn giả định rằng: các số mới này xét về mặt logic được suy ra từ khái niệm số của người Hy Lạp. Tức là, họ giả định các số mới có thể được suy ra từ số tự nhiên. Nói chung, trong giai đoạn này số tự nhiên có các đặc trưng như sau: - Lĩnh vực chiếm ưu thế của số tự nhiên trong giai đoạn này là số luận. Có rất nhiều nhà số luận. Tuy nhiên, họ không quan tâm nhiều đến yếu tố "đối tượng" mà chỉ tập trung vào yếu tố công cụ. Phạm vi hoạt động của số tự nhiên: thần học, Kinh Cựu ước, Kinh Tân ước, thơ, số học, Đại số,... - Việc bổ sung số 0 vào dãy các số tự nhiên làm cho tập hợp số tự nhiên được hoàn thiện như như ngày nay. Có nhiều tập hợp số mới được hình thành trong giai đoạn này, chẳng hạn: số hữu tỷ, số âm, số vô tỷ,...Tuy nhiên, khái niệm số tự nhiên vẫn chưa được định nghĩa. Trong giai đoạn này, số tự nhiên lấy cơ chế của khái niệm paramathémtique. 18 1.2.3. Giai đoạn 3: phần tư còn lại của thế kỷ XIX Giai đoạn bắt đầu trong suốt phhần tư còn lại của thế kỷ XIX. Đặc trưng của thời kỳ này là việc thống nấát khái niệm số được thực hiện nhiều hơn là mở rộng nó. Lịch sử ghi nhận lại sự cố gắng của các nhà toán học trong việc xây dựng thành công các định nghĩa của số tự nhiên thỏa đáng về mặt logic. ❖Cách tiếp cận "bản số" của George Cantor (1845 -1918) Trong quá trình phát triển lý thuyết tập hợp, Cantor phát minh ra khái niệm bản số trong những năm từ 1874 đến 1884. Đầu tiên, ông thiết lập bản số như là công cụ để so sánh các tập hợp hữu hạn. Ví dụ, các tập hợp {1,3,5} và {2,3,4} không bằng nhau, nhưng có cùng số phần tử, tức là 3. Bên cạnh đó, ông đưa ra khái niệm phép tương ứng 1-1. Phép tương ứng này cho phép chứng minh hai tập hợp hữu hạn có cùng bản số nếu có một tương ứng 1-1 giữa các phần tử của các tập họp. Khi sử dụng tương ứng 1-1 này, ông chuyển từ khái niệm này sang các tập hợp vô hạn, tức tập hợp các số tự nhiên N = {1,2,3,...} * Nhân xét: - Để thấy được thành tựu của nhà toán học người Đức này, chúng tôi xin trình bày đoạn trích" trong Từ điển Bách Khoa Toán học như sau: "Ông đã định nghĩa khái niệm tương đương của các tập hợp. Thêm nữa, số đồ vật cấu thành một tập hợp cho sẵn - được xác định là chung cho tập hợp cho sẵn và mọi tập hợp đồ vật tuông đương với nó, không phụ thuộc gì đặc trung nội dung của những đồ vật này. Định nghĩa này đã phản ánh thực chất của số tự nhiên là kết quả đếm các đồ vật, cấu tạo nên tập hợp đã cho. Thật vậy, mọi giai đoạn lịch sử, việc đếm bao hàm sự đối chiếu, từng cái một, các đồ vật cần đếm với các đồ vật làm thành tập hợp "chuẩn " (ở giai đoạn lịch sử sơ khai, đó là các ngón tay trên bàn tay, các vật khắc trên thanh gỗ,...; ở giai đoạn hiện đại, đó là các từ ngữ hay kí hiệu biểu diễn số)" [18, tr.27]. Qua đó, ta rút ra được một số điểm cần lưu ý như sau: + Nghĩa của các số tự nhiên được đề cập tường minh: "kết quả của phép đếm", "biểu thị lớp các tập hợp tương đương", "biểu thị tương ứng 1-1 giữa các tập hợp". + Sự tồn tại của hai kiến thức phép đếm: phép đếm - gắn liền với số phần tử của tập hợp và phép đếm - sự thiết lập tương ứng 1-1. 19 + Cũng giống như Plato đã nhận định rằng số tự nhiên không phụ thuộc vào nội dung của các đồ vật. Định nghĩa như trên của Cantor được xem như là một xuất phát điểm để mở rộng khái niệm đặc trưng số lượng của các tập hợp vô hạn. - Xét về lịch sử, Cantor là người có công trong việc tiếp cận số tự nhiên theo đặc trưng bản số. Một số khái niệm toán học trong lý thuyết tập hợp có liên quan đến khái niệm số tự nhiên là: hai tập hợp tương đương, bản số, tương ứng 1-1. ❖Cách tiếp cận "thứ tự' của Dedekỉnd (1831 -1916) Ngày nay, Richard Dedekind được nhớ như là người quan trọng nhất trong việc đưa ra lá cắt Dedekind - một phương pháp được chấp nhận rộng rãi để định nghĩa khái niệm số thực. Tuy nhiên, chúng ta cũng cần quan tâm đến Dedekind bởi vì ông là nhà toán học đầu tiên đề nghị một lý thuyết quan hệ hoàn chỉnh về số. Lý thuyết được trình bày trong "Was sind und was sollen die zahlen" (Bản chất và ý nghĩa của số). Bởi vì, số thứ tự là các số hạng chung của các cấp số. Điều đó dẫn Dedekind (1887) đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự. "Những phần tử này được gọi là số tự nhiên hay số thứ tự hay đơn giản là số". Nguyên nhân số chỉ phụ thuộc duy nhất vào các tính chất thứ tự của số tự nhiên dẫn ông đến kết luận rằng số thứ tự cơ bản hơn bản số. Đây là một điều quan trọng về lý thuyết của Dedekind. Ông đề nghị rằng các số tự nhiên là gì đi nữa, trước tiên chúng phải là một cấp số. ❖Nhận xét: Điểm mấu chốt trong lý thuyết của Dedekind là: đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự. Khái niệm số tự nhiên xuất hiện gắn liền với số thứ tự và cấp số. Do đó, ông chỉ tiếp cận số tự nhiên trên đặc trưng tự số (tính sắp thứ tốt của dãy các số tự nhiên) của nó mà bỏ qua hẵn đặc trưng bản số. Với cách tiếp cận của Dedekind, số tự nhiên sẽ lấy nghĩa "chỉ vị trí của số hạng trong một cấp số". ❖Cách tiếp cận "tiên đề" của Peano (1858 -1932) Mặc dù, nói chung các lý thuyết của Dedekind và Peano là không khác nhau, nhưng cần chỉ ra rằng lý thuyết của Peano được xem xét rộng rãi hơn. Lý thuyết của Peano xuất hiện đầu tiên vào năm 1899 trong quyển "Formulaire de mathématiques". Lý thuyết của Peano có 3 khái niệm cơ bản và 5 tiên đề sử dụng 3 khái niệm trên. Các khái niệm không 20