Tài liệu KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Trọng Huỳnh KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Trọng Huỳnh KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 1 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục BẢNG KÝ HIỆU .............................................................................. 2 T 5 5T LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................... 3 T 5 5T CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ .................................................. 4 T 5 T 5 1.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản ............................................................ 4 T 5 T 5 1.2. Địa phương hóa vành giao hoán .............................................................. 13 T 5 T 5 CHƯƠNG 2: KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN KHÔNG GIAO T 5 HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA .................................................. 17 T 5 2.1. Xây dựng vành các thương của vành không giao hoán ........................... 17 T 5 T 5 2.2. Khả năng nhúng của một miền vào một vành chia .................................. 26 T 5 T 5 KẾT LUẬN ..................................................................................... 38 T 5 5T TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................... 39 T 5 T 5 2 BẢNG KÝ HIỆU  Tập các số tự nhiên  Tập các số nguyên  Tập các số hữu tỉ ∅ Tập rỗng U ( R) Nhóm nhân các phần tử khả nghịch của vành R RS , RS −1 Vành các thương phải của R tại S Qclr ( R ) (Qcll ( R ) ) Vành các thương phải (trái) cổ điển của R K [ x] Vành đa thức biến x trên K K (G ) Vành các tổng hình thức sinh bởi G trên K K [ x,ϕ ] Vành đa thức biến x cùng với tự đồng cấu trên K ann X Linh hóa tử của X K G Vành sinh bởi tập G trên K Mn (K ) Tập các ma trận vuông cấp n lấy hệ số trên K x1 , x2 ,..., xn Nhóm sinh bởi các phần tử x1 , x2 ,..., xn Z(R) Tâm của vành R A R A là ideal của vành R N(R) Radical nguyên tố của vành R Spec(R) Tập các ideal nguyên tố của vành R J(R) Radical Jacobson của vành R MR M là R – môđun phải Q8 Nhóm quaternion 3 LỜI NÓI ĐẦU Cho vành R giao hoán có đơn vị 1 . Một tập S ⊂ R được gọi là tập con nhân (đóng nhân) của R nếu 1∈ S và ∀x, y ∈ S ⇒ xy ∈ S . Xác định quan hệ “∼” trên tập R × S như sau: Với a, b ∈ R; s, t ∈ S thì ( a, s )  (b, t ) ⇔ ∃u ∈ S ,( at − bs)u =0 Dễ kiểm tra “∼” là quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của ( a, s ) được ký hiệu: a / s và gọi là một thương (phân số). Gọi RS −1 là tập hợp tất cả các lớp tương đương a / s (thương, phân số). Trên RS −1 xác định phép cộng và nhân: a / s + b / t =( at + bs) / st , ( a / s )(b / t ) = ab / st Khi đó RS −1 trở thành một vành giao hoán. Vành RS −1 được gọi là vành các thương của vành R theo tập con nhân S . Hơn nữa, nếu I là một ideal nguyên tố của R ta có tập nhân đóng S = R\I, vành các thương R S là vành địa phương. Khi R là một miền nguyên giao R R hoán và S = R\{0}, vành các thương R S là một trường, gọi là trường các R R thương của R. Như vậy, mỗi miền nguyên giao hoán R đều được nhúng vào một trường các thương duy nhất sai khác một đẳng cấu. Vấn đề đặt ra là đối với một miền nguyên không giao hoán, có thể nhúng nó vào một vành chia hay không? Nếu được thì có duy nhất hay không? 4 Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản Phần này ta nhắc lại một số định nghĩa, tính chất và các định lý cơ bản của đại số không giao hoán. 1.1.1. Định nghĩa Cho tập hợp R khác rỗng , trên R ta trang bị hai phép toán thường được kí hiệu là “+ ” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân). Ta nói R, +,. là một vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) R, + là một nhóm giao hoán. ii) R,. là một nửa nhóm. iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý x, y , z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz và ( y + z ) x =yx + zx. Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi R là vành giao hoán, nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi R là vành có đơn vị. 1.1.2. Định nghĩa Một bộ phận A khác rỗng của vành R cùng với hai phép toán của vành R cảm sinh trên A là một vành thì ta nói A là vành con của vành R. 1.1.3. Định nghĩa Cho R là một vành, một vành con A của R được gọi là ideal trái (ideal phải) của vành R nếu thỏa mãn điều kiện: ra ∈ A (ar ∈ A), ∀a ∈ A, ∀r ∈ R . Vành con A của R được gọi là ideal của vành R nếu A vừa là ideal trái vừa là ideal phải của vành R . 5 1.1.4. Định nghĩa Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử của R đều không phải là ước của 0 thì R được gọi là một miền nguyên. Chú ý: để tránh nhầm lẫn với đại số giao hoán ta gọi miền nguyên R (như định nghĩa trên) là miền. 1.1.5. Định nghĩa Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong R đều khả nghịch thì R được gọi là một vành chia (thể). 1.1.6. Định nghĩa Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập không rỗng các ideal phải của R đều có phần tử tối tiểu. Các định nghĩa vành Artin trái, vành Artin một cách tương tự. Ta có thể định nghĩa vành Artin phải thông qua dây chuyền giảm: Vành R là vành Artin phải khi và chỉ khi mọi dây chuyền giảm các ideal phải của R ρ1 ⊃ ρ 2 ⊃  ⊃ ρ n ⊃  đều dừng. Tức là, ∃N ∈ * , ρ n= ρ N , ∀n ≥ N . 1.1.7. Định nghĩa Vành R được gọi là vành Noether phải nếu mọi tập không rỗng các ideal phải của R đều có phần tử tối đại. Các định nghĩa vành Noether trái, vành Noether một cách tương tự. 1.1.8. Mệnh đề Cho vành R các điều kiện sau là tương đương: i) R là vành Noether phải. ii) R thỏa điều kiện dây chuyền tăng. iii) Mỗi ideal phải của R là hữu hạn sinh. iv) Mỗi tập khác rỗng của các ideal phải của R có một phần tử tối đại. 1.1.9. Định nghĩa Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng aben. M được gọi là 6 một R-môđun phải nếu có một ánh xạ f : MxR → M thỏa ( m, r )  mr sao cho ∀m, m1 , m2 ∈ M và ∀a, b ∈ R thì: i) m( a + b) = ma + mb. ii) ( m1 + m2 )a =m1a + m2 a. iii) ( ma )b = m( ab). Chú ý: M R là R-môđun phải, tương tự ta có R M là R-môđun trái. Nếu không nói gì thêm thì R-môđun phải M gọi tắt là R-môđun M. 1.1.10. Định nghĩa Cho R-môđun M và tập ∅ ≠ N ⊂ M . N được gọi là môđun con của M nếu với phép toán cảm sinh trên M thì N là một R-môđun N. Hơn nữa, khi N là môđun con của M R , với phép toán cảm sinh trên M thì M/N cũng là một R-môđun phải và được gọi là môđun thương. 1.1.11. Định lý Cho M là một R- môđun phải và N là tập con khác rỗng của M. Khi đó N là một môđun con của M khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn: i) ∀x, y ∈ N : x − y ∈ N . ii) ∀a ∈ R, ∀x ∈ N : xa ∈ N . 1.1.12. Định nghĩa R-môđun M được gọi là môđun đơn hay bất khả quy nếu MR ≠ 0 và M có đúng hai môđun con là M và 0. Nếu mỗi môđun con của M R là hạng tử trực tiếp của M R thì M R được R R R R R R gọi là môđun phải nửa đơn. 1.1.13. Định nghĩa R-môđun M được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền giảm (d.c.c) nếu mọi dãy giảm các môđun M 0 ⊃ M 1 ⊃ .... dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn 7 tại n sao cho: = = Mn M ... . n +1 R-môđun được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền tăng (a.c.c) nếu mọi dãy tăng các môđun: M 1 ⊂ M 2 ⊂ .... dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại n = Mn M ... . sao cho: = n +1 R-môđun phải M được gọi là môđun Noether nếu mọi tập không rỗng các môđun con của M đều có phần tử tối đại. R-môđun M được gọi là môđun Artin nếu mọi nếu mọi tập không rỗng các môđun con của M đều có phần tử tối tiểu. 1.1.14 .Mệnh đề Giả sử A là môđun con của môđun M. Các điều kiện sau đây là tương đương: i) M là môđun Artin. ii) A và M/A là môđun Artin. iii) M thỏa điều kiện dây chuyền giảm (d.c.c). 1.1.15 .Mệnh đề Giả sử A là môđun con của môđun M. Các điều kiện sau đây là tương đương: i) M là môđun Noether. ii) A và M/A là môđun Noether. iii) M thỏa điều kiện dây chuyền tăng (a.c.c). iiii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh. 1.1.16. Định nghĩa M được gọi là R-môđun trung thành nếu với r ∈ R mà Mr = 0 thì r = 0. 1.1.17. Mệnh đề 0} là ideal hai phía Cho M là R-môđun. Khi đó A ( M ) = {r ∈ R | Mr = của R. Hơn nữa, M là R / A ( M ) - môđun trung thành. 8 1.1.18. Bổ đề Cho M là R-môđun. Với mỗi r ∈ R ta có một tự đồng cấu nhóm cộng: Tr : M → M cho bởi Tr ( m )= mr, ∀m ∈ M . Kí hiệu E(M) là vành các tự đồng cấu nhóm cộng M và C ( M ) = {ϕ ∈ E ( M ) | T ϕ = r ϕ Tr , ∀ r ∈ R } . Khi đó, nếu M là môđun đơn thì C ( M ) là vành chia. 1.1.19. Định nghĩa Vành R là đơn nếu R2 ≠ 0 và R chỉ có hai ideal là 0 và R. P P 1.1.20. Định lý Cho vành R các điều kiện sau là tương đương: i) R là vành Artin phải đơn. ii) Tồn tại n ∈  sao cho R  M n ( D ) , trong đó D là một vành chia nào đó. 1.1.21. Định nghĩa Một phần tử a của vành R là lũy linh nếu tồn tại n sao cho a n = 0 . Nếu mọi phần tử của một ideal A của R là lũy linh thì A được gọi là nil ideal. Ideal A của vành R là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho An = 0 . 1.1.22. Định lý Cho vành R các điều kiện sau là tương đương: i). R là tích trực tiếp hữu hạn các vành Artin đơn. ii). R là R-môđun nửa đơn. iii). R là Artin phải và không có ideal lũy linh khác 0. iv). R là Artin phải và giao của các ideal phải tối đại của nó là 0. 1.1.23. Định nghĩa Vành R được gọi là nửa đơn phải nếu môđun R R là môđun phải nửa R đơn. R 9 1.1.24. Định nghĩa Cho vành R. Radical của R là tập tất cả các phần tử của R linh hóa tất cả các R-môđun đơn. Kí hiệu J(R). Nếu R không có môđun đơn nào thì ta đặt J(R) = R. Radical được định nghĩa như trên được gọi là radical (căn) Jacobson của R. 1.1.25. Định lý J ( R ) =  ( p : R ) , trong đó p chạy khắp tập các ideal phải tối đại của R và ( p : R ) =∈ {x R | Rx ⊂ p} . Hơn nữa, ( p : R ) là ideal hai phía của R lớn nhất nằm trong p. 1.1.26. Định lý Cho vành R có đơn vị. Khi đó: J ( R ) =  p , trong đó p chạy khắp tập các ideal phải tối đại của R. 1.1.27. Mệnh đề Cho R là vành các điều kiện sau là tương đương. i) Nếu 0 ≠ a, b ∈ R thì aRb ≠ 0. r ii) Nếu 0 ≠ A, B  R thì AB ≠ 0. iii) Nếu 0 ≠ A, B  R thì AB ≠ 0. 1.1.28. Định nghĩa Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu aRb = 0 với a, b ∈ R thì a = 0 hoặc b = 0 . Ideal A của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu R / A là vành nguyên tố. Tập của các ideal nguyên tố của R được ký hiệu Spec(R). 1.1.29. Định nghĩa Radical nguyên tố của R là giao tất cả các ideal nguyên tố của R, kí 10 hiệu là N ( R ) . Rõ ràng radical nguyên tố của R chứa tất cả các ideal lũy linh của R. 1.1.30. Mệnh đề Cho R là vành các điều kiện sau tương đương: i) R không có ideal phải lũy linh khác không. ii) R không có ideal lũy linh khác không. iii) N ( R ) = 0 . 1.1.31. Định lý Nếu R là vành Artin phải thì N ( R ) lũy linh và là ideal lũy linh lớn nhất của R. Hơn nữa, R / N ( R ) là vành nửa đơn và J ( R ) = N ( R ) . 1.1.32. Định nghĩa Vành R là nửa nguyên tố nếu vành R không có ideal lũy linh khác 0. 1.1.33. Định nghĩa Nếu vành R có một môđun đơn trung thành M R thì R được gọi là vành nguyên thủy phải. Ideal A của vành R là được gọi là ideal nguyên thủy nếu R/A là vành nguyên thủy. 1.1.34. Bổ đề i) Vành đơn có đơn vị thì nguyên thủy. ii) Vành nguyên thủy thì nguyên tố. 1.1.35. Định lý A là ideal của vành R có đơn vị thì các điều kiện sau là tương đương: i) A = J ( R ) . ii) A là giao của tất cả các ideal phải tối đại của R. iii) A là tập các phần tử x ∈ R sao cho 1 − ax là khả nghịch phải với mọi a ∈ R . 11 1.1.36. Định nghĩa Vành R được gọi là nửa nguyên thủy nếu J(R) = 0. 1.1.37. Định nghĩa Phần tử e ≠ 0 được gọi là lũy đẳng nếu e 2 = e . 1.1.38. Bổ đề Cho vành R không có ideal lũy linh khác (0). Giả sử ρ ≠ 0 là một ideal phải tối tiểu của R. Khi đó, tồn tại phần tử lũy đẳng e trong R sao cho ρ = eR . 1.1.39. Bổ đề Cho R là một vành và a ∈ R sao cho a 2 − a lũy linh. Khi đó, hoặc a là lũy linh hoặc tồn tại một đa thức q(x) với hệ số nguyên sao cho e = aq( a ) là phần tử lũy đẳng khác không. 1.1.40. Định lý Nếu R là vành Artin và ρ ≠ 0 là một ideal phải không lũy linh của R thì ρ có chứa một phần tử lũy đẳng khác không. 1.1.41. Định lý Cho R là một vành bất kỳ và e là phần tử lũy đẳng của R. Khi đó J ( eRe) = eJ ( R )e. 1.1.42. Định lý Cho R là vành không có ideal lũy linh khác không và giả sử rằng e ≠ 0 là phần tử lũy đẳng trong R. Khi đó, eR là ideal phải tối tiểu của R khi và chỉ khi eRe là vành chia. 1.1.43. Hệ quả Cho R không có ideal lũy linh khác không và e ≠ 0 là một phần tử lũy đẳng trong R. Khi đó, eR là ideal tối tiểu của vành R nếu và chỉ nếu Re là ideal tối tiểu của vành R. 12 1.1.44. Định nghĩa Phần tử x ∈ R là chính quy phải nếu xr = 0 thì r = 0. Phần tử x ∈ R là chính quy trái nếu rx = 0 thì r = 0. Phần tử x ∈ R là chính quy nếu nó vừa chính quy phải và chính quy trái. Kí hiệu: CR (O ) là tập tất cả các phần tử chính quy của R. 1.1.45. Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Tập A được gọi là đại số trên R nếu thỏa các tính chất sau đây: i) A là R-môđun. ii) A là vành. iii) ∀x, y ∈ A, ∀r ∈ R : r (= xy ) ( rx= )y x ( ry ) . Cho X là vị nhóm tự do sinh bởi các phần tử x1 , x2 ,..., xn . Gọi RX là đại số của vị nhóm X trên R, khi đó RX được gọi là đại số tự do sinh bởi các phần tử x1 , x2 ,..., xn . Kí hiệu là: R x1 , x2 ,..., xn . 13 1.2. Địa phương hóa vành giao hoán 1.2.1. Định nghĩa Cho A là một vành giao hoán có đơn vị là 1 ≠ 0. Một tập S ⊂ A được gọi là tập (con) nhân (tập đóng nhân) của A nếu: i) 1∈ S . ii) ∀x, y ∈ S : xy ∈ S . Ví dụ: • S = A\P với P là ideal nguyên tố của A là một tập con nhân.   A là một tập con nhân. • S = {fn | n ≥ 0} với f ∈ P P • Với A là miền giao hoán, S = A\{0} là một tập con nhân. • S = 1 + I, với I là một ideal của A, là một tập con nhân. Trên tập A×S ta xác định quan hệ “∼” như sau: (a,s) ∼ (b,t) ⇔ ∃u ∈S: (at - bs)u = 0. Dễ kiểm tra “∼” là quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của (a,s) được ký hiệu: a/s và gọi là một thương (phân số). Gọi S-1A là tập hợp tất P P cả các lớp tương đương a/s (thương, phân số). Trên S-1A xác định phép cộng P P và nhân như sau: • a/s + b/t = (at+bs)/st • (a/s)(b/t)= ab/st Khi đó S-1A trở thành một vành giao hoán có đơn vị là 1/1. Vành S-1A P P P P được gọi là vành các thương của vành A theo tập con nhân S. 1.2.2. Tính chất • Mọi phần tử u/v với u, v ∈ S đều khả nghịch. • Nếu A là miền giao hoán, S = A\{0} thì S-1A là trường (trường các P thương của A). P 14 • Ánh xạ f: A → S-1A xác định bởi f(x) = x/1 là một đồng cấu vành (nói P P chung không là đơn cấu). • Đồng cấu f có các tính chất sau: + s ∈ S thì f(s) khả nghịch trong S-1A. P P + f(a) = 0 thì ∃s ∈ S: as = 0. + Mỗi phần tử của S-1A được viết dưới dạng f(a).f(s)-1 với a ∈ A, s ∈ S. P P P P 1.2.3. Mệnh đề Cho g: A  B là một đồng cấu vành sao cho g(s) khả nghịch trong B với mọi s ∈ S. Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành h: S-1A  B sao P P cho g = h o f. R R Chứng minh: Tồn tại: Xét h : S−1A → B định bởi h(a/s)=g(a).g(s)-1. P P + h là ánh xạ : Với a/s = b/t ta có ∃u ∈ S : ( at − bs ) u =0 . Khi đó:[g(a).g(t) - g(b).g(s)].g(u) = 0. Suy ra g(a).g(t) - g(b).g(s) = 0 (vì g(u) khả nghịch trong B) hay g(a).g(t) = g(b).g(s). Do đó: g(a).g(s)-1 = g(b).g(t)-1 P P P P (vì g(s),g(t) khả nghịch). Vậy: h(a/s) = h(b/t). + h là đồng cấu vành: ∀a / s, b / t ∈ S−1A: • h(a/s).h(b/t) = g(a)g(s)-1.g(b)g(t)-1 = g(a.b).g(s.t)-1= h(ab/st) = h(a/s.b/t). P P P P P P • h(a/s) + h(b/t) = g(a).g(s)-1 + g(b).g(t)-1 = g(a).g(t).g(s)-1.g(t)-1 + P P P P P P P P g(b).g(s). g(s)-1.g(t)-1 = [g(a).g(t) + g(b).g(s)]. g(s)-1.g(t)-1 = g(a.t + b.s). g(s.t)-1 P P P P P P P P P = h(a.t + b.s/st) = h(a/s + b/t). + ∀a ∈ A: h o f(a) = h(a/1) = g(a).g(1)-1=g(a) (do g(1)=1). R R P P Do đó: g = h o f. R R Tính duy nhất : Giả sử có đồng cấu h’ thỏa g = h’ o f. R R Khi đó: ∀a/s ∈ S-1A, ta có: h’(a/s) = h’(a/1.1/s) = h’(a/1).h’[(s/1)-1] P P P P P 15 = h’(a/1).h’(s/1)-1 = h’f(a). [h’f(s)]-1 = g(a).g(s)-1 = h(a/s). Do đó: h = h’. P P P P P P □ 1.2.4. Hệ quả Nếu g : A → B là một đồng cấu vành sao cho: i) g(s) khả nghịch trong B với mọi s ∈ S . ii) Với mọi a ∈ ker g đều tồn tại s ∈ S sao cho as = 0. iii) Mỗi phần tử của B đều được viết dưới dạng g(a)g(s)-1 trong đó P P a ∈ A, s ∈ S . Khi đó: tồn tại duy nhất một đẳng cấu vành h : S −1 A → B sao cho g = h o f. R R Thậy vậy: Vì g(s) khả nghịch trong B với mọi s ∈ S nên theo kết quả mệnh đề 1.2.3 tồn tại duy nhất đồng cấu vành h : S −1 A → B sao cho g = h o f. R R + h là toàn ánh: Vì mỗi phần tử b ∈ B có dạng b = g ( a ) g ( s ) −1 −1 = [h o f ( a )][h o f ( s ) −1 ] =h[f(a)][h(f(s) ] h= [f ( a ) f ( s ) −1 ] h ( a / s ) do đó h là = toàn ánh. + h là đơn ánh: Xét h(a/s) = 0 ta có h[f ( a ) f ( s ) −1 ] = 0 ⇒ g ( a ) g ( s ) −1 = 0 ⇒ g ( a ) = 0 ⇒ ∃t ∈ S : at = 0 ⇒ a / s = 0 / 1 . Vậy: h là đẳng cấu. □ 1.2.5. Địa phương hóa Cho P là ideal nguyên tố của vành A. Tập S = A\P là tập con nhân của A. Trong trường hợp này vành các thương S-1A được kí hiệu là A P . Vành A P P P 1 P là vành địa phương với ideal tối đại duy nhất là: S −= R R R R { p / s | p ∈ P, s ∈ S }. Thật vậy: S −1 P là ideal thật sự của AP vì: R R + 0 ∈ S −1 P. + ∀p / s, p '/ s ' ∈ S −1 P ta có: p / s + p '/ s ' =( ps '+ p ' s ) / ss ' ∈ S −1 P (vì ss ' ∈ S và ps '+ p ' s ∈ P ). 16 + ∀p / s ∈ S −1 P, ∀a / t ∈ S −1 A ta có: ( p / s )(= a / t ) pa / st ∈ S −1 P (vì pa ∈ P và st ∈ S ). + 1∉ S −1 P vì nếu ngược lại 1∈ S −1 P . Khi đó = 1 p / s, p ∈ P ⇒ ∃t ∈ S : (1s − p )t =0 ⇒ st = pt ∈ P (mâu thuẫn). Ngoài ra, ∀a / s ∉ S −1 P, a ∉ P ta có ngay a ∈ S ⇒ a / s khả nghịch. Nếu J là một ideal thật sự của AP thì J không có phần tử khả nghịch. Suy ra R R J ⊂ S −1 P . Vậy S-1P là ideal tối đại duy nhất của A P . □ P P R R Vành địa phương A P gọi là địa phương hóa của vành A theo ideal R R nguyên tố P. 1.2.6. Tính chất S-1P là vành không khi và chỉ khi 0 ∈ S . P P Đặc biệt, Khi R là một miền giao hoán thì trường các thương của R tương ứng với địa phương hóa của R bởi tập con nhân đóng S = R\{0}. 17 Chương 2: KHẢ NĂNG NHÚNG MỘT MIỀN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO MỘT VÀNH CHIA 2.1. Xây dựng vành các thương của vành không giao hoán Mở rộng hơn cho vành không giao hoán, cách xây dựng vành các thương bằng phương pháp địa phương hóa theo tâm của lý thuyết vành giao hoán như trên cũng có thể áp dụng để xây dựng vành các thương cho một số vành không giao hoán. Tuy nhiên, không phải với vành không giao hoán bất kỳ nào chúng ta cũng có thể xây dựng được R S bằng phương pháp 1.2 trên. R R 2.1.1. Định nghĩa Cho S là một tập con đóng nhân của vành R. Một đồng cấu α: R → R' được gọi là một S-nghịch đảo nếu α(S) ⊂ U(R') (U(R') là nhóm nhân các phần tử khả nghịch của vành R'). Vành R' được gọi là vành các thương phải của vành R (tương ứng với S ⊂ R ) nếu có một đồng cấu ϕ : R → R ' sao cho: i) ϕ là S − nghịch đảo. ii) Mọi phần tử R’ có dạng ϕ ( a )ϕ ( s ) −1 với a ∈ R, s ∈ S . iii) ker ϕ = {r ∈ R | rs = 0, ∀s ∈ S }. Trong trường hợp tổng quát, không phải bất kỳ vành R có đơn vị nào cũng tồn tại vành các thương phải R’. Hơn nữa, từ (iii) ta có ngay R’ ≠ 0. 2.1.2. Mệnh đề Cho vành R tồn tại vành các thương phải (ứng với S), khi đó với mọi a ∈ R và s ∈ S ta đều có aS ∩ sR ≠ Ø. 18 Thật vậy: Với mọi a ∈ R và s ∈ S, ϕ ( s ) ϕ ( a ) ∈ R ' , nên tồn tại r ∈ −1 ' R và s' ∈ S sao cho: ϕ ( s ) −1ϕ (= a ) ϕ ( r )ϕ ( s ' ) −1 ⇒ ϕ ( as = ) ϕ ( sr ) . Do đó theo (iii) ta được: (as' − sr)s" = 0, với s" ∈ S. Vậy: as's" = srs" ∈ aS ∩ sR. □ Với tính chất này S được gọi là khả hoán bên phải (hoặc S là một tập Ore phải). 2.1.3. Mệnh đề Cho R tồn tại vành các thương phải (ứng với S) và a ∈ R. Nếu tồn tại s' ∈ S sao cho as' = 0 thì as = 0 với mọi s ∈ S. Thật vậy: Từ as'=0 ta có ngay ϕ (a) ϕ (s ') = 0 do đó ϕ (a) = 0, theo (iii) ta được as = 0 với s ∈ S. □ Tập S thỏa mãn tính chất này được gọi là khả nghịch phải. 2.1.4. Định nghĩa Tập con đóng nhân S ⊆ R vừa là tập khả hoán bên phải, vừa khả nghịch phải thì ta gọi S là tập mẫu số phải. 2.1.5. Định lý Vành R có vành các thương phải tương ứng với S khi và chỉ khi S là một tập mẫu số phải. Chứng minh: + Chiều thuận: Dễ dàng suy ra từ mệnh đề 2.1.2 và 2.1.3. + Chiều ngược: giả sử S là một tập mẫu số phải, và ta ký hiệu vành các thương phải tương ứng với S (nếu có) là RS −1 . Trước hết ta đi xây dựng cấu trúc của tập RS −1 (tương tự như cách xây dựng đối với vành giao hoán): Vì mọi phần tử của RS −1 phải có dạng “as −1 ” (với a ∈ R và s ∈ S), nên ta bắt đầu với tập R × S và định nghĩa một quan hệ