Tài liệu Hướng dẫn học sinh thpt giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TẠ THỊ XINH HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TẠ THỊ XINH HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý SƠN LA, NĂM 2016 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GVC - ThS: Nguyễn Hải Lý đã tận tình chỉ dẫn và giúp đỡ trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin, phòng Đào tạo ĐH, phòng Quản lý Khoa học và Quan hệ Quốc tế, Trung tâm thông tin Thư viện, cùng các phòng ban khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc, trường Trung học phổ thông Chiềng Sinh đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K53 - Đại học sư phạm Toán và các em học sinh đã đóng góp ý kiến và chia sẻ kinh nghiệm cho em. Với khóa luận này, chúng em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận này hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Sơn la, 05/2016 Người thực hiện khóa luận Tạ Thị Xinh DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT THPT đọc là Trung học phổ thông HHKG đọc là Hình học không gian PP đọc là Phương pháp Vtpt đọc là Vectơ pháp tuyến Vtcp đọc là vectơ chỉ phương TB đọc là trung bình MỤC LỤC MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................... 1 3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 2 4. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................ 2 5. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 2 6. Giả thiết khoa học ............................................................................................. 2 7. Đóng góp của đề tài........................................................................................... 3 8. Cấu trúc của đề tài ............................................................................................. 3 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 4 1.1. Một số khái niệm ............................................................................................ 4 1.1.1. Quan niệm về bài toán................................................................................. 4 1.1.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học ........................................ 4 1.1.3. Vị trí của bài tập toán học ........................................................................... 6 1.1.4. Các chức năng của bài tập toán học: ........................................................... 7 1.1.5. Hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằng cách phân loại bài toán. ........ 7 1.1.6. Yêu cầu đối với lời giải một bài toán ......................................................... 8 1.2. Phương pháp chung tìm lời giải một bài toán ................................................ 9 1.2.1. Một số cách thức khai thác bài toán .......................................................... 14 1.2.2. Các năng lực tư duy cần có khi giải toán. ................................................. 14 1.3. Một số bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian. ......................... 18 1.3.1. Nội dung phương pháp tọa độ trong không gian_ Hình học 12 THPT. ... 18 1.3.2. Một số kiến thức cơ bản về PP tọa độ trong không gian. ......................... 19 1.3.3. Thực trạng việc dạy học giải các bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian ở một số trường THPT ..................................................................... 22 CHƯƠNG 2: HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. .............. 24 2.1. Dạng1: Viết phương trình mặt phẳng. ......................................................... 24 2.2. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng. ..................................................... 32 2.3.Dạng 3: Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng. ................................ 39 2.4. Dạng 4: Tìm một điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. ................................ 43 2.5. Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu.............................................................. 47 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................ 51 3.1. Mục đích thực nghiệm.................................................................................. 51 3.2. Phương pháp thực nghiệm ........................................................................... 51 3.3. Nội dung thực nghiệm .................................................................................. 51 3.4. Tổ chức thực nghiệm.................................................................................... 51 3.5. Kết quả thực nghiệm .................................................................................... 52 3.6. Kết luận rút ra từ thực nghiệm ..................................................................... 53 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 56 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đất nước ta đã và đang bước vào giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam sẽ trở thành nước công nghiệp, hội nhập kinh tế quốc tế. Trước tình hình này đòi hỏi nền giáo dục Việt Nam phải đào tạo được những con người có trí tuệ phát triển, thông minh, sáng tạo. Đó cũng chính là mục tiêu của nền giáo dục ở nước ta là phát huy tối đa khả năng của con người để phục vụ cho đất nước. Học tập nâng cao tri thức là nhu cầu thiết yếu của học sinh, sinh viên nói riêng và của con người nói chung. Điều này đòi hỏi các nhà quản lý giáo dục, các nhà sư phạm tâm huyết phải có sự đầu tư nghiên cứu, đề ra những hướng tiếp cận tri thức mới, những phương pháp dạy học mới sao cho phù hợp với trình độ và khả năng nhận thức của học sinh để việc giáo dục đạt hiệu quả tốt nhất. Tri thức cần vững từ những kiến thức cơ bản nhất. Toán học là một trong những ngành khoa học cổ nhất của loài người. Đây cũng là ngành khoa học có nhiều liên quan đến các ngành khoa học khác cũng như có rất nhiều ứng dụng to lớn trong thực tiễn. Song trong quá trình giảng dạy môn toán tại các trường THPT người giáo viên chỉ bước đầu hướng dẫn học sinh giải bài tập toán mà thường bỏ qua công đoạn cuối cùng của giải một bài toán đó là khai thác bài toán. Bởi vậy mà việc giải toán chưa thực sự phát huy hết tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. Chưa đáp ứng được yêu cầu về mục tiêu giáo dục đặt ra hiện hành. Với các lí do trên em đã chọn để thực hiện nghiên cứu khóa luận: “Hướng dẫn học sinh THPT giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian” . 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc hướng dẫn học sinh THPT giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian. 1 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu một số vấn đề lý luận liên quan đến việc hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian. - Điều tra khảo sát việc dạy học giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian ở một số trường THPT. - Đề xuất một số giải pháp dạy học giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian cho học sinh THPT. - Tiến hành thử nghiệm sư phạm để bước đầu có kết luận cần thiết cho việc nghiên cứu. 3. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số vấn đề lý luận có liên quan đến việc hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian. - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra – quan sát. - Thử nghiệm sư phạm: Bước đầu có được kết luận cần thiết cho việc nghiên cứu. 4. Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu việc giải và khai thác các dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian. - Học sinh lớp 12 ở trường THPT. 5. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của đề tài là việc giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian cho học sinh lớp 12 ở trường THPT. 6. Giả thiết khoa học Việc hướng dẫn học sinh THPT giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian nếu được thực hiện theo đúng các cấp độ đã trình bày sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian cho học sinh THPT. Góp phần nâng cao chất lượng việc DH toán ở phổ thông. 2 7. Đóng góp của đề tài Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành sư phạm Toán, cho học sinh và giáo viên THPT 8. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, phụ lục, danh mục, tài liệu tham khảo đề tài gồm 3 chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2: Hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số dạng toán về PP tọa độ trong không gian. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm - Kết luận 3 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số khái niệm 1.1.1. Quan niệm về bài toán Bài toán là một tình huống kích thích, đòi hỏi một lời giải đáp không có sẵn ở người giải tại thời điểm bài toán được đưa ra. Định nghĩa này gồm 3 ý chính: - Chỉ có bài toán đối với người nào đó hay chính xác hơn là trạng thái phát triển nào đó của người giải. - Lời giải đáp phải tương thích với tình huống của bài toán. - Lời giải đáp gắn liền với tình huống như một đặc trưng của tình huống mà người giải đã quen thuộc. 1.1.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học Trong quá trình dạy học môn toán, giải một bài tập toán học chiếm một vai trò vô cùng quan trọng. Đây là hoạt động quan trọng được thực hiện thường xuyên liên tục trong quá trình dạy học lên lớp của giáo viên, mặt khác có thể thấy trong giải toán, hoạt động giải bài tập là hoạt động có nhiều tác dụng trong rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực và phát triển trí tuệ cho học sinh. Bài tập toán và hoạt động giải bài tập toán thể hiện mối liên hệ mật thiết giữa hoạt động học của học sinh và hoạt động dạy của giáo viên với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. Tức là thông qua bài tập toán và hoạt động giải bài tập toán người học sinh thể hiện được mức độ thông hiểu, lĩnh hội tri thức thông qua quá trình dạy học của người giáo viên. Để giải tốt được một bài tập toán tức là người học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định của việc học bao gồm hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Chính vì vậy mà theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim thì bài tập có vai trò “giá mang hoạt động” của học sinh. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học được thể hiện trên cả ba bình diện: mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. 4 + Trên bình diện mục tiêu: Bài tập là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là: - Bài tập hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn. - Bài tập phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành những phẩm chất trí tuệ. - Bài tập bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới. + Trên bình diện nội dung dạy học: Bài tập là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần lý thuyết. + Trên bình diện phương pháp dạy học: Bài tập là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện những mục tiêu dạy học khác nhau. Khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động. Bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh được thực hiện độc lập học tập trong giao lưu. [Phương pháp dạy học môn Toán, Nguyễn Bá Kim, NXB Đại học sư phạm, tr.412-413] Ngoài dụng ý trên thì bài tập toán còn là tiêu chuẩn để kiểm tra, đánh giá mức độ, kết quả dạy của người giáo viên và kết quả học của người học sinh cũng như đánh giá khả năng làm việc một cách độc lập và trình độ phát triển tư duy của học sinh theo hướng tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo. Việc rèn luyện, bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chính là rèn luyện cho học sinh khả năng thực hiện,vận dụng bốn bước theo phương pháp tìm lời giải bài toán của Polya. Điều này cũng phù hợp với phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề theo xu hướng đổi mới phương pháp dạy học của nền giáo dục ở nước ta hiện nay. 5 Muốn bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh, người giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán. Tức là người giáo viên cần phải : + Giúp cho học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại. + Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức tương ứng. Bên cạnh đó, một điểm đáng chú ý nữa là: “Trong quá trình giải một bài tập toán, cần khuyến khích cho học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất, đẹp nhất…” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn Toán (phần I), NXB Giáo dục). 1.1.3. Vị trí của bài tập toán học “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy , hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn toán (phần I), NXB Giáo Dục. ). Giải bài tập toán không chỉ giúp cho học sinh củng cố một cách bền vững các kiến thức mới được tiếp cận cho học sinh mà còn nhằm phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ. Vì vậy, trong quá trình dạy học người thầy giáo phải chú trọng bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh. Như chúng ta đã biết thì năng lực giải bài toán chính là khả năng vận dụng các quy tắc, thuật giải đối với những bài toán ở dạng tường minh cũng như khả năng 6 xác định và ứng dụng bốn bước trong phương pháp tìm lời giải bài toán của Polya đối với những bài toán đưa ra ở dạng ẩn tàng, không có thuật giải. 1.1.4. Các chức năng của bài tập toán học: Mỗi bài tập toán học đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Các chức năng đó là: + Chức năng dạy học. + Chức năng giáo dục. + Chức năng phát triển. + Chức năng kiểm tra. Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học: + Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. + Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập , sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới. + Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất tư duy khoa học. + Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh. Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình. 1.1.5. Hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằng cách phân loại bài toán. a) Phân loại bài toán theo hình thức bài toán: - Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một cách rõ ràng trong đề bài toán. 7 - Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa được đưa ra rõ ràng trong đề bài toán. b) Phân loại bài toán theo phương pháp giải toán: - Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó. - Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó không theo một angôrit nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào đó. c) Phân loại bài toán theo nội dung bài toán: - Bài toán số học - Bài toán hình học - Bài toán đại số d) Phân loại bài toán theo ý nghĩa giải toán: - Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học hoặc một vài kiến thức hay kỹ năng nào đó. - Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như các kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo. Như vậy tùy thuộc vào từng loại bài toán khác nhau mà người giáo viên có thể hướng dẫn học sinh cách giải bài toán một cách hiệu quả nhất. 1.1.6. Yêu cầu đối với lời giải một bài toán Để phát huy tác dụng của bài tập toán cần nắm vững các yêu cầu của lời giải. Theo Nguyễn Bá Kim có đưa ra bảy yêu cầu đối với lời giải một bài toán: Một là: Kết quả đúng kể cả các bước trung gian Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng thỏa mãn các yêu cầu đề ra không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức … Hai là: lập luận phải chặt chẽ. Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau: Luận đề phải nhất quán (Tức là phải thống nhất trong kết luận của định lý, hay là phải thống nhất trong việc xác định điều ta phải chứng minh. Không được đánh tráo luận đề.) 8 Luận cứ phải đúng (Xác định một cách chính xác những kiến thức được vận dụng vào chứng minh, ví dụ như: tiên đề, định lý, định nghĩa… Luận cứ phải chân thực.) Luận chứng phải hợp logic (Các bước suy luận phải hợp lôgic). Ba là: Lời giải đầy đủ Lời giải không được bỏ xót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào. Bốn là: ngôn ngữ chính xác Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn. Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này. Năm là : Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật. Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố… Sáu là: Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất. Cần khuyến khích học sinh tìm tòi giải một bài toán bằng nhiều cách, cho học sinh phân tích, so sánh các cách giải khác nhau để lựa chọn được cách giải ngắn gọn và hợp lý nhất nhằm củng cố và rèn luyện tư duy độc lập suy nghĩ, tự giác, phát triển khả năng tổng hợp hóa,khái quát hóa và so sánh cho học sinh. Bảy là: Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Cho học sinh làm quen với việc nghiên cứu giải những bài toán tương tự bằng cách mở rộng hay lật ngược vấn đề sẽ giúp cho học sinh có một cách nhìn tổng quát đối với một vấn đề. Giúp củng cố, khắc sâu thêm kiến thức cho học sinh. Sau khi cho học sinh giải xong những dạng bài tập ở cấp độ tri thức phương pháp đưa ra ở dạng ẩn tàng thì người giáo viên cần phải cho học sinh khái quát lại tri thức phương pháp để học sinh có khả năng tự giải quyết những dạng bài tập tương tự, còn nếu người giáo viên không cho học sinh khái quát lại tri thức phương pháp sau khi đã giải xong bài tập thì việc giải bài tập này là vô nghĩa vì học sinh không thể giải được những bài toán tương tự. 1.2. Phương pháp chung tìm lời giải một bài toán Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài 9 toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán cụ thể. Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải của một bài toán. Biết lời giải của một bài toán không quan trọng bằng việc làm thế nào để có thể giải được bài toán đó. Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, người giáo viên phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán. Đối với những dạng bài tập toán đã có thuật giải và những bài toán có quy tắc tựa thuật giải thì người giáo viên cần dạy cho học sinh nắm bắt và biết cách vận dụng thuật giải và những quy tắc tựa thuật giải của bài toán đó. Còn đối với những bài toán đưa ra ở cấp độ tri thức ẩn tàng tức là những bài toán không có thuật giải cụ thể để áp dụng giải thì người giáo viên phải dạy học theo cách hướng dẫn học sinh kỹ năng tìm định hướng giải bài toán dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải một bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, Nguyễn Bá Kim đã nêu lên phương pháp chung để giải một bài toán như sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (Phân tích bài toán) - Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán. - Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh. - Có thể sử dụng công thức, kí hiệu hình vẽ để minh họa hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài. Kỹ năng tìm định hướng lời giải thể hiện rõ nét nhất trong bước này. Theo Polya, người giải toán phải tìm hiểu kỹ nội dung đề bài để tìm hiểu: Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn? Phải hiểu rõ nội dung bài toán người học mới có khả năng vận dụng các tri thức toán học vào việc định hướng lời giải của bài toán. Cụ thể là khả năng nắm bắt và vận dụng những tri 10 thức lí thuyết như các khái niệm, định nghĩa, tính chất, mệnh đề, định lí và hệ quả đã tích lũy được vào việc định hướng lời giải bài toán. Như vậy khi phân tích bài toán và các dữ kiện trong bài toán, người học có thể xác định được các kiến thức sinh ra bài toán. Từ đó xác định các kiến thức liên quan để có thể vận dụng giải bài toán cũng như xác định được các thao tác kỹ năng cần sử dụng khi định hướng giải bài toán để có được hướng đi tốt nhất cho lời giải. Bước 2: Tìm cách giải Trong cuốn Đại số sơ cấp và thực hành giải toán của tác giả Hoàng Kỳ đã viết về phần tìm tòi lời giải của một bài toán như sau: “Đây là bước quan trọng nếu không nói là quan trọng nhất - trong việc giải bài toán. Không có một thuật toán tổng quát nào có thể giải được mọi bài toán, mà chỉ có thể đưa ra những lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải được đúng hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới thành công hơn.” - Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh. Liên hệ cái đã cho hay cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán nào đó có liên quan. Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán như chứng minh, phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích… - Tìm tòi những cách giải khác. So sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất. Trong bước tìm cách giải, việc định hướng tìm lời giải thể hiện ở khả năng nắm bắt và vận dụng các thao tác kỹ thuật và các phương pháp giải toán đã được tích lũy để tìm ra cách giải bài toán. Tìm cách giải là bước có tác dụng trực tiếp đến kết quả việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Việc định hướng tìm lời giải bài toán được thấy rõ khi học sinh đã định hướng được các kiến thức liên quan đến bài toán. Tiếp theo đó, học sinh sẽ định hướng xây dựng các chi tiết của các bước giải bài toán. Việc xác định hướng đi cụ thể của bài toán giúp cho 11 lời giải được thể hiện rõ ràng hơn. Đây là một kỹ năng không thể thiếu vì nếu không định hướng xây dựng các chi tiết của các bước giải thì học sinh sẽ không thể đi đến lời giải bài toán dù rằng học sinh đã định hướng được chính xác. Nhờ việc xem xét hướng đi trước mà có thể giải toán bằng nhiều cách khác nhau, các cách giải đặc trưng, các khả năng về kết quả. Mặt khác, đối với những bài toán mà việc tìm đường lối giải không khó, đôi khi đã khá rõ ràng, thì cái khó lại chủ yếu thuộc về kỹ năng thuật giải. Do vậy việc nắm bắt và vận dụng những thao tác kỹ thuật và các phương pháp giải toán đã được tích lũy vào việc định hướng lời giải đòi hỏi người giải toán không ít sự sáng tạo trong quá trình hoạt động của mình. Sự sáng tạo nói trên còn thể hiện ở việc học sinh biết chọn thao tác kỹ thuật nhanh nhất, hiệu quả nhất để xây dựng chi tiết việc tiến hành giải và thể hiện lời giải tối ưu. Một bài toán thông thường không chỉ có duy nhất một cách giải. Vì thế, sau khi đã tìm được lời giải ta có thể định hướng để tìm tòi các cách giải khác. Từ đó, so sánh các cách giải để tìm được cách giải tối ưu. Điều này sẽ giúp học sinh nâng cao khả năng hiểu và vận dụng các kiến thức, kỹ năng khác nhau trong giải một bài toán, giúp học sinh mở rộng tầm nhìn về toàn bộ hệ thống kiến thức của bài toán, củng cố khả năng nắm vững các quan hệ ẩn tàng bên trong các kiến thức kỹ năng khác nhau kiên quan đến bài toán. Bước 3: Trình bày lời giải - Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó. Khả năng trình bày và hoàn thiện lời giải bài toán thể hiện ở khả năng sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu và các lập luận toán học nhằm đưa ra một lời giải chính xác của bài toán. Thông thường quá trình suy nghĩ tìm tòi lời giải của bài toán là quá trình “phân tích đi lên”, trong khi đó việc trình bày lời giải của bài toán lại là quá trình “phân tích đi xuống”. Thực tế cho thấy có nhiều học sinh mặc dù đã hiểu và nghĩ ra lời giải của bài tập nhưng không thể trình bày và hoàn thiện chính xác lời giải đó. Điều đó ảnh hưởng lớn tới kỹ năng giải toán của học sinh. Như vậy việc rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải, nghiên cứu cách trình bày lời 12 giải những bài toán tương tự không những giúp học sinh định hướng được cách trình bày lời giải mà còn giúp học sinh biết biết chọn ra cách giải nhanh nhất, lời giải hay nhất và cách giải sáng tạo nhất. Mặt khác khi xem xét tổng thể tất cả các lời giải khác nhau của bài toán học sinh có cách nhìn sâu sắc hơn về bài toán. Đồng thời học sinh tự nâng cao khả năng giải toán của bản thân bổ sung những kinh nghiệm hữu ích trong học và giải bài tập. Khả năng trình bày lời giải thể hiện việc đảm bảo yêu cầu chung của một lời giải: ngôn ngữ kí hiệu rõ ràng, chính xác, quy tắc suy luận đúng, các bước suy luận hợp lôgic, cách trình bày ngắn gọn, đầy đủ không thừa mà cũng không thiếu. Kết quả đúng kể cả các bước trung gian, lập luận chặt chẽ, luận đề phải nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợp lôgic, lời giải đầy đủ, ngôn ngữ chính xác, trình bày rõ ràng đảm bảo mỹ thuật, trình bày nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất, nghiên cứu trình bày lời giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu sâu lời giải của một bài toán chính là ta đi kiểm tra, đánh giá và khai thác lời giải của một bài toán. Trong đó, kiểm tra, đánh giá lời giải của bài toán chính là ta đi thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm được của bài toán. Còn việc khai thác lời giải của một bài toán chính là ta đi tìm các cách giải khác (nếu có) của bài toán và nghiên cứu các bài toán có liên quan. - Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải. - Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Các kiến thức kỹ năng liên quan tới các bài tập đã cho luôn có quan hệ với nhau và chúng tạo nên cơ sở tìm ra bài tập mới. Việc tìm bài toán liên quan cần vận dụng thường xuyên khi giải bài tập. Vì khi giải một bài toán nào đó thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: bài toán này có quan hệ gián tiếp với kiến thức nào hay loại bài nào đó hay không? Trên cơ sở đó hoặc là quy bài toán đã cho về bài toán quen thuộc đã biết cách giải, hoặc có thể sử dụng những kiến thức liên quan để giải bài toán đã cho. Từ đó cũng góp phần rèn luyện kỹ năng định 13 hướng tìm lời giải bài toán cho các bài toán tiếp theo. Việc rèn luyện khả năng sáng tạo các bài toán mới là một yêu cầu cần thiết (tuy không dễ) nhưng rất bổ ích. 1.2.1. Một số cách thức khai thác bài toán Việc khai thác bài toán chính là công đoạn cuối cùng của giải một bài toán. Đây cũng là một công đoạn vô cùng cần thiết và bổ ích nhưng cũng lại là công đoạn thường hay bị bỏ qua trong việc giải bài toán ở trường THPT. Việc chúng ta giải một bài toán theo như bản gợi ý về bốn bước giải một bài toán của Polya thì ở bước thứ 3 trình bày lời giải, rất có thể có thiếu sót, nhầm lẫn. Vì vậy việc ta thực hiện bước cuối cùng của giải một bài toán là vô cùng cần thiết. Việc kiểm tra lại sẽ giúp ta tránh được những sai sót và còn giúp ta tích lũy thêm kinh nghiệm khi giải những bài toán khác. Hơn nữa, việc nhìn nhận lại toàn bộ cách giải có thể giúp ta phát hiện được cách giải tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn. Ngoài ra, nhìn lại toàn bộ lời giải nhiều khi gợi ý cho ta tìm được những bài toán mới, mà bài toán vừa xét chỉ là trường hợp đặc biệt của bài toán đã giải. Ta có thể khai thác một bài toán theo bốn hướng như sau: - Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự. - Hướng 2: Khái quát hóa bài toán ban đầu để phát biểu bài toán tổng quát - Hướng 3: Thay đổi giả thiết thành kết luận, kết luận thành giả thiết để thiết lập bài toán ngược - Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã giải dẫn đến phương pháp để giải một bài toán khác. Trong quá trình giải một bài toán, tùy thuộc vào từng bài toán khác nhau mà ta có thể vận dụng một trong các hướng khai thác bài toán ở trên để có được những bài toán mới. 1.2.2. Các năng lực tư duy cần có khi giải toán. Để phát triển trí tuệ cho học sinh, cần coi trọng việc rèn luyện cho học sinh các năng lực tư duy cần có khi giải toán như: năng lực phân tích và tổng hợp, 14