Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
Phạm Đình Hiệu
HỌC CẤU TRÚC MẠNG LOGIC MARKOV VÀ ỨNG DỤNG
TRONG BÀI TOÁN PHÂN LỚP
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
1
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
Phạm Đình Hiệu
HỌC CẤU TRÚC MẠNG LOGIC MARKOV VÀ ỨNG DỤNG
TRONG BÀI TOÁN PHÂN LỚP
Chuyên ngành: Bảo đảm toán học cho máy tính và hệ thống tính toán.
Mã số: 60 46 35
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Minh Huyền
Hà Nội - 2012
2
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................................6
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC ............................................................................8
1.1
Lý thuyết đồ thị..............................................................................................8
1.2
Logic tân từ cấp một ......................................................................................9
1.2.1
Các khái niệm và ký hiệu........................................................................9
1.2.2
Công thức trong logic tân từ cấp một ...................................................10
1.2.3
Dạng chuẩn hội .....................................................................................12
1.3
Xác suất – thống kê .....................................................................................13
1.3.1
Các khái niệm .......................................................................................13
1.3.2
Công thức Bayes ...................................................................................15
1.3.3
Cực đại hóa xác suất có điều kiện.........................................................16
1.3.4
Xích Markov .........................................................................................17
1.3.5
Xích Markov Monte Carlo ....................................................................19
1.3.6
Phƣơng pháp lấy mẫu Gibbs .................................................................20
CHƢƠNG 2. MẠNG LOGIC MARKOV ...............................................................21
2.1
Giới thiệu .....................................................................................................21
2.2
Mạng Markov ..............................................................................................22
2.3
Mạng logic Markov .....................................................................................24
2.4
Suy diễn .......................................................................................................29
2.4.1
Suy diễn MAP/MPE .............................................................................29
2.4.2
Suy diễn điều kiện.................................................................................32
2.5
Học tham số và học cấu trúc........................................................................34
2.5.1
Học tham số ..........................................................................................34
2.5.2
Học cấu trúc ..........................................................................................39
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG MẠNG LOGIC MARKOV TRONG BÀI TOÁN
GÁN NHÃN VAI NGHĨA
3.1
Bài toán gán nhãn vai nghĩa ........................................................................46
3.2
Mô tả dữ liệu sử dụng ..................................................................................46
3
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
3.3
Giới thiệu công cụ Thebeast ........................................................................47
3.4
Các bƣớc thực hiện bài toán ........................................................................48
3.4.1
Dữ liệu và cấu trúc dữ liệu trong Thebeast ...........................................48
3.4.2
Xây dựng dữ liệu huấn luyện ................................................................49
3.5
Đánh giá kết quả thực nghiệm .....................................................................52
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................55
4
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1-1. Đồ thị G ......................................................................................................8
Hình 1-2. Phân phối biên trên biến rời rạc ................................................................14
Hình 1-3. Phân phối biên cho biến liên tục ...............................................................15
Hình 2-1. Minh họa cho mạng Markov ....................................................................22
Hình 2-2. Mạng Markov nền .....................................................................................26
Hình 3-1. Biểu diễn cây cú pháp ...............................................................................50
5
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
LỜI NÓI ĐẦU
Trong sự phát triển về Công nghệ thông tin hiện nay vấn đề xử lý, tính toán
không còn thuần túy là tính toán trên các dữ liệu kiểu số biểu diễn dƣới dạng cấu
trúc, bảng biểu hay véc tơ, vv. Nó đã đƣợc phát triển mở rộng xử lý trên dữ liệu
kiểu hình ảnh, âm thanh, văn bản, đồ thị và nhiều kiểu khác nữa. Trong sự phát triển
đó của Công nghệ, học máy đƣợc xem là một lĩnh vực của trí tuệ nhân tạo với mục
tiêu là nghiên cứu các thuật toán cho phép máy tính có thể học đƣợc các khái niệm.
Thƣờng học máy đƣợc phân làm hai phƣơng pháp: phƣơng pháp quy nạp và phƣơng
pháp suy diễn. Đến nay học máy có ứng dụng rộng khắp trong các ngành khoa học,
sản xuất, đặc biệt những ngành cần phân tích khối lƣợng dữ liệu khổng lồ. Một số
ứng dụng thƣờng thấy: Rôbốt, trò chơi, phân tích thị trƣờng chứng khoán, phát hiện
gian lận tài chính, phân tích ảnh thiên văn, phân loại chuỗi gene, quá trình hình
thành gene, phân tích ảnh X-quang, các hệ chuyên gia chẩn đoán tự động, tìm kiếm,
nhận dạng hay nhiều ứng dụng liên quan tới xử lý ngôn ngữ tự nhiên.
Học quan hệ thống kê cũng là một trong các lĩnh vực của học máy, nó hƣớng
tới sự kết hợp giữa học theo quan hệ và học theo thống kê nhằm xử lý các dữ liệu
không chắc chắn với cấu trúc quan hệ phức tạp. Có nhiều mô hình đƣợc phát triển
gần đây cho học quan hệ thống kê nhƣ mô hình quan hệ xác suất (Probabilistic
Relational Model) sử dụng logic kết hợp với các mạng Bayes hay Markov. Trong
đó các mạng MLN (Markov Logic Network) mang tính tổng quát cao nhất, có thể
chuyển đổi sang các mô hình khác và ngày càng có nhiều nghiên cứu về các mạng
này. Mạng logic Markov có thể đƣợc xem nhƣ là một sự kết hợp hữu cơ giữa học
logic và học thống kê. Mục đích của MLN là mô tả một minh họa cho trƣớc với một
tập các công thức logic có trọng số. Nó cho phép sử dụng những ƣu điểm của logic
tân từ cấp một là khả năng biểu diễn tri thức và các mối quan hệ phức tạp của tri
thức, cùng với ƣu điểm của mạng Markov có thể xử lý một cách hiệu quả sự không
chắc chắn và giải quyết tri thức một cách đối lập và thiếu thông tin.
6
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu các mạng MLN và phƣơng pháp học cấu
trúc cho mạng MLN. Luận văn cũng triển khai một ứng dụng giải quyết bài toán
phân lớp với mạng MLN sử dụng phần mềm Thebeast. Cụ thể ở đây là bài toán gán
nhãn vai nghĩa trong lĩnh vực xử lý ngôn ngữ. Xử lý ngôn ngữ chính là xử lý thông
tin khi đầu vào là dữ liệu ngôn ngữ, tức là dữ liệu kiểu văn bản hay tiếng nói. Các
dữ liệu liên quan đến ngôn ngữ viết (văn bản) và tiếng nói đang dần trở nên kiểu dữ
liệu chính con ngƣời có và lƣu trữ dƣới dạng điện tử. Việc xây dựng ngữ liệu mẫu
cho bài toán gán nhãn vai nghĩa tƣơng đối phức tạp, nên bƣớc đầu thực hiện chúng
tôi chỉ dùng giới hạn bài toán ở 2 vai nghĩa “tác thể” và “bị thể” trong câu.
Bố cục luận văn đƣợc chia làm 3 chƣơng:
Chƣơng I: Cơ sở toán học
Trong chƣơng này sẽ trình bày về một số kiến thức cơ bản đƣợc sử dụng trong
luận văn liên quan tới lý thuyết đồ thị, logic và xác suất thống kê.
Chƣơng II: Mạng logic Markov
Chƣơng này sẽ trình bày các kiến thức về mạng Markov, mạng logic Markov
và một số vấn đề về học máy với mạng logic Markov nhƣ suy diễn, học tham số và
đặc biệt là học cấu trúc.
Chƣơng III: Ứng dụng mạng logic Markov trong bài toán gán nhãn vai
nghĩa
Chƣơng này sẽ trình bày về bài toán gán nhãn vai nghĩa, vấn đề xây dựng dữ
liệu huấn luyện trong công cụ Thebeast cho bài toán gán nhãn vai nghĩa và đánh giá
kết quả.
7
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
CHƢƠNG 1.
CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1 Lý thuyết đồ thị
Định nghĩa 1.1.1. Đồ thị là cặp
từ
, trong đó A là tập đỉnh, F là ánh xạ
[3].
Ta cũng có thể định nghĩa đồ thị là cặp:
, trong đó
là tập đỉnh và
là tập cung. Về thực chất đồ thị là một tập hợp các đối tƣợng
đƣợc biểu diễn bằng các đỉnh và giữa các đối tƣợng có quan hệ (nhị nguyên) biểu
diễn bằng các cung[3].
Cho đồ thị
gọi là đỉnh đầu,
. Nếu có
thì ta nói rằng
là một cung và
gọi là đỉnh cuối của cung đó.
Hai đỉnh kề nhau là hai đỉnh của cùng một cung. Đỉnh nút là đỉnh kề với chính
nó.
Định nghĩa 1.1.2. Đồ thị
đồ thị
nếu
với
đƣợc gọi là đồ thị con của
[3].
Định nghĩa 1.1.3. Hai đỉnh gọi là liên thông với nhau nếu chúng trùng nhau
hoặc có xích nối với nhau[3].
Đồ thị
đối xứng gọi là đồ thị vô hƣớng tức là
ta luôn có
.
Định nghĩa 1.1.4. Đồ thị vô hƣớng đƣợc gọi là đầy đủ nếu hai đỉnh bất kỳ đều
có cung nối với nhau[3].
Định nghĩa 1.1.5. Clic (Clique) của đồ thị là một đồ thị con đầy đủ[3].
Hình 1-1. Đồ thị G
8
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
Clic cực đại là một clic với số nút là lớn nhất, không thể thêm bất kỳ nút nào
nữa để cho nó vẫn còn là một clic.
Ví dụ: Cho đồ thị
nhƣ hình vẽ:
Ví dụ trong hình trên các clique cực đại là {(3; 4; 6); (3; 1); (1; 2); (2; 4); (2; 5); (5;
6)}
1.2 Logic tân từ cấp một
1.2.1 Các khái niệm và ký hiệu
Logic tân từ cấp một là một ngôn ngữ rất mạnh để biểu diễn những thông tin
có quan hệ phức tạp, cho phép ta mô tả thế giới với các đối tƣợng, các thuộc tính
của đối tƣợng và các mối quan hệ giữa các đối tƣợng[9].
Một cơ sở tri thức xây dựng trên logic tân từ cấp một (KB) là một tập các câu
hay các công thức trong logic tân từ cấp một. Công thức đƣợc xây dựng bằng cách
sử dụng 4 loại ký hiệu: hằng, biến, hàm và vị từ[9], [12].
Ký hiệu hằng: dùng để chỉ các đối tƣợng trên một miền (Ví dụ miền chỉ
ngƣời: Nga, Hùng,…).
Ký hiệu biến: dùng để biểu diễn các đối tƣợng trong miền (ví dụ x, y).
Ký hiệu vị từ: biểu diễn mối quan hệ giữa các đối tƣợng trong miền (ví dụ
Bạn(x,y) biểu diễn quan hệ x là bạn của y) hay là thuộc tính của các đối
tƣợng (ví dụ Hútthuốc(x) biểu diễn thuộc tính có hút thuốc của đối tƣợng x
(x có hút thuốc)).
Các ký hiệu phép toán logic:
(hội),
(tƣơng đƣơng).
9
(tuyển),
(kéo theo),
(phủ định),
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
Các ký hiệu lƣợng từ:
(với mọi),
(tồn tại).
Các ký hiệu ngăn cách: Dấu phẩy, dấu mở ngoặc, dấu đóng ngoặc.
1.2.2 Công thức trong logic tân từ cấp một
Các hạng thức là các biểu thức mô tả các đối tƣợng. Các hạng thức xác định
đệ quy nhƣ sau:
Các hằng, biến là hạng thức.
Nếu
là các hạng thức và
là hàm thì
là hạng thức.
Một hạng thức không chứa biến đƣợc gọi là một hạng thức nền. Ví dụ: Nga là
ký hiệu hằng, MotherOf là ký hiệu hàm một biến, thì MotherOf (Nga) là một hạng
thức nền.
Một công thức nguyên tử đƣợc định nghĩa là:
Nếu P là vị từ n biến và
là các hạng thức thì
là
công thức nguyên tử.
Các công thức đƣợc xây dựng một cách đệ quy từ các công thức nguyên tử
bằng cách sử dụng các phép toán logic và các lƣợng từ. Nếu
thức thì những ký hiệu sau đây cũng là công thức: :
F1
F2,
F1 và
và
là các công
F1, F1^F2, F1 F2, F1
F1[9].
Mức ƣu tiên:
1. Các lƣợng từ có mức ƣu tiên cao nhất.
2. Phép phủ định có mức ƣu tiên cao hơn các phép toán logic khác.
3. Phép hội có mức ƣu tiên cao hơn phép tuyển.
Ta có thể sử dụng các dấu ngoặc đơn để thực thi các mức ƣu tiên.
Ví dụ:
1. Nga và anh trai cô ấy không có bạn chung:
2. Tất cả con chim đều bay:
10
F2,
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
Công thức đóng:
Một biến nằm trong phạm vi của lƣợng từ gọi là biến ràng buộc. Ví dụ
biến ràng buộc trong
là
.
Một biến nằm ngoài phạm vi của bất kỳ lƣợng từ nào gọi là biến tự do. Ví dụ :
là biến tự do trong
.
Một công thức đƣợc gọi là công thức đóng nếu nó không chứa biến tự do nào.
Ở đây chúng ta chỉ quan tâm tới các công thức đóng.
Một literal dƣơng (Positive literal) là một công thức nguyên tử, một literal âm
(negative literal) là một công thức nguyên tử ở dạng phủ định. Các công thức trong
cơ sở tri thức KB (knowledge base) kết nối với nhau bởi phép hội, vì vậy một KB có
thể đƣợc coi là một công thức đơn lớn.
Một hạng thức nền (hay hạng thức cụ thể) (ground term) là một hạng thức
không chứa biến. Một công thức nguyên tử nền (ground atom) là một công thức
nguyên tử mà tất cả các tham biến của nó đều là các hạng thức nền.
Không gian Herbrand (Herbrand universe) U(C) của tập các mệnh đề C là
tập các hạng thức cụ thể đƣợc xây dựng từ hàm và hằng trong C (hoặc nếu C không
chứa hằng thì cũng coi nhƣ nó chứa một hằng bất kỳ, giả sử là A). Nếu C chứa các
hằng thì U(C) là hữu hạn. (Ví dụ: Nếu C chỉ chứa duy nhất một hàm
và không
chứa hằng, U(C) =
Một minh họa (interpretation) là một ánh xạ giữa các hằng, vị từ và hàm
trong ngôn ngữ và các đối tƣợng, các hàm và các mối quan hệ trong miền. Một
minh họa có thể là phép gán giá trị chân lý cho các vị từ. Cùng với một minh họa,
nó gán một giá trị chân lý tới mọi công thức nguyên tử, và vì vậy tới mọi công thức
trong cơ sở tri thức.
Một công thức là thỏa được nếu và chỉ nếu tồn tại ít nhất một minh họa làm cho nó
đúng. Vấn đề suy diễn cơ bản trong logic tân từ cấp một là xác định cơ sở tri thức
11
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
KB có suy dẫn ra một công thức F hay không? Nghĩa là nếu F đúng với mọi minh
họa khi KB đúng (ký hiệu KB
KB
). Ta có thể viết lại: KB dẫn ra F nếu và chỉ nếu
F là không thỏa đƣợc. Mọi cơ sở tri thức trong logic tân từ cấp một đều có
thể chuyển sang dạng mệnh đề (clausal form). Dạng mệnh đề cho cơ sở tri thức
trong logic tân từ cấp một là hội của các mệnh đề, trong đó mỗi biến đều có các
lƣợng từ toàn thể. Việc chuyển đổi này bao gồm việc xóa hết tất cả các lƣợng từ tồn
tại bằng phƣơng pháp Skolem. Trong miền hữu hạn một công thức có lƣợng từ tồn
tại có thể thay thế bởi một phép tuyển của các thay thế của nó.
1.2.3 Dạng chuẩn hội
Mọi công thức trong logic tân từ cấp một có thể chuyển thành một công thức
tƣơng đƣơng trong dạng chuẩn hội (CNF)
lƣợng từ,
là biến và
, trong đó Q là
là hội của các mệnh đề.
Ví dụ:
Logic tân từ cấp một
Biến đổi trong logic tân từ cấp một
“Bạn của bạn là bạn”
“Hút thuốc dẫn đến ung thƣ”
“Nếu hai ngƣời là bạn thì họ cùng hoặc
không cùng hút thuốc”
)
12
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
1.3 Xác suất – thống kê
1.3.1 Các khái niệm
Định nghĩa 1.3.1. Xác xuất của biến cố A là một số không âm bằn trong
khoảng [0;1], ký hiệu là P(A), biểu thị khả năng xảy ra biến cố A và đƣợc xác định
nhƣ sau:
Trong đó
là số trƣờng hợp thuận lợi cho ,
là số trƣờng hợp có thể có khi
phép thử thực hiện .
Định nghĩa 1.3.2. Xác suất có điều kiện của biến cố
đã xảy ra là một con số không âm, đƣợc ký hiệu là
xảy ra của biến cố
trong tình huống biến cố
với điều kiện biến cố
, nó biểu thị khả năng
đã xảy ra khi đó:
Định nghĩa 1.3.3. Biến ngẫu nhiên: Một biến nhận các giá trị của nó ứng với
một xác suất nào đấy gọi là biến ngẫu nhiên[1].
Định nghĩa 1.3.4. Hai biến ngẫu nhiên
và
và
là độc lập nếu
.
Định nghĩa 1.3.5. Phân phối đồng thời (joint distribution): Cho hai biến
ngẫu nhiên
và
đồng thời của
nhiên của
đƣợc định nghĩa trên cùng một không gian xác suất, phân phối
và
là xác suất của các biến cố đƣợc định nghĩa trong véc tơ ngẫu
và .
Định nghĩa 1.3.6. Phân phối biên (marginal distribution): Cho hai biến ngẫu
nhiên
và , và
phân phối của
là phân phối đồng thời của chúng. Phân phối biên của
mà
đƣợc bỏ qua.
13
là
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
Các công thức cho phân phối đồng thời:
Trƣờng hợp cho các biến rời rạc:
Trƣờng hợp cho các biến liên tục:
trong đó
và của
và
khi biết
là phân phối điều kiện của
.
và
là phân phối biên của
Phân phối đồng thời cho các biến độc lập:
Trƣờng hợp cho các biến rời rạc:
Trƣờng hợp cho các biến liên tục:
Các công thức cho phân phối biên:
Trƣờng hợp cho các biến rời rạc:
trong đó
.
Minh họa bằng hình vẽ:
Hình 1-2. Phân phối biên trên biến rời rạc
14
khi biết
và .
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
Trƣờng hợp cho các biến liên tục:
Minh họa bằng hình vẽ:
Hình 1-3. Phân phối biên cho biến liên tục
1.3.2 Công thức Bayes
Cho biến cố và các biến cố
-
Có tập
sao cho[8]:
rời nhau từng đôi một.
Thì ta có công thức tổng:
Công thức Bayes [1]:
Trong đó:
A1, …, An là hệ đầy đủ : A1+ …+ An = Ω - không gian mẫu.
15
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
là xác suất xảy ra biến cố Ak
: Xác suất để biến cố B xảy ra. P(B)>0.
P(B| Ai) là xác suất để B xảy ra biết rằng Ai đã xảy ra rồi ( tỉ lệ xảy ra B
trong Ai)
1.3.3 Cực đại hóa xác suất có điều kiện
Với một tập giả thiết có thể , hệ thống học sẽ tìm giả thiết có thể xảy ra nhất
đối với các dữ liệu quan sát đƣợc
. Giả thiết
này đƣợc gọi là giả thiết cực
đại hóa xác suất có điều kiện (maximum a posteriori – MAP) [6].
theo định lý Bayes
và
Ví dụ: Tập
bao gồm giả thiết
là nhƣ nhau đối với mọi giả thiết.
: Anh ta chơi tennis,
tennis. Tính giá trị của hai xác suất có điều kiện
đó
: Anh ta không chơi
và
, trong
là tập dữ liệu về thông tin về thời tiết nhƣ: trời nắng hay mƣa, nhiệt độ,
độ ẩm, sức gió,…
Giả thiết có thể nhất
nếu
. Vì
, ngƣợc lại thì
là nhƣ nhau đối với cả hai giả
thiết nên có thể bỏ qua đại lƣợng
và
. Vì vậy chỉ cần tính hai biểu thức
và đƣa ra kết quả tƣơng ứng.
Nếu
, thì kết luận anh ta chơi tennis.
Ngƣợc lại thì kết luận anh ta không chơi tennis.
Giả sử trong phƣơng pháp ƣớc lƣợng hợp lý cực đại (hay đánh giá khả năng
xảy ra cao nhất – maximum likelihood estimation – MLE) tất cả các giá trị đều có
16
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
giá trị xác suất tiên nghiệm nhƣ nhau : P(
tìm giả thiết cực đại hóa giá trị
dữ liệu
thì phƣơng pháp MLE
trong đó
gọi là khả năng xảy ra của
đối với .
Vẫn với ví dụ trên, tập
ta không chơi tennis.
bao gồm hai giả thiết
: Anh ta chơi tennis,
: Anh
lúc này là tập dữ liệu mà trong đó biết trời nắng, gió mạnh.
Giả sử ta có
, vậy
hệ thống sẽ kết luận rằng anh ta sẽ không chơi tennis.
1.3.4 Xích Markov
Xét một hệ nào đó đƣợc quan sát tại những thời điểm rời rạc 0, 1, 2,…Giả sử
các quan sát đó là
(ĐLNN) (
trong đó
Khi đó ta có một dãy các đại lƣợng ngẫu nhiên
là trạng thái tại thời điểm
là ĐLNN rời rạc. Ký hiệu
của hệ. Giả thiết rằng mỗi
là tập giá trị của các
. Khi đó
một tập hữu hạn hay đếm đƣợc, các phần tử của nó đƣợc ký hiệu là
là
Ta gọi
là không gian trạng thái của dãy.
Định nghĩa 1.3.7. Ta nói rằng dãy các ĐLNN (
với mọi
là một xích Markov nếu
và với mọi
.
Ta coi thời điểm
là tƣơng lai,
là hiện tại còn
Nhƣ vậy, xác suất có điều kiện của một sự kiện
là quá khứ.
nào đó trong tƣơng lai nếu biết
hiện tại và quá khứ của hệ cũng giống nhƣ xác suất có điều kiện của
nếu biết
trạng thái hiện tại của hệ. Đó chính là tính Markov của hệ. Đôi khi tính Markov của
hệ còn phát biểu dƣới dạng : Nếu biết trạng thái hiện tại của hệ thì quá khứ và
tương lai độc lập với nhau.
17
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
Giả sử
sau
là xác suất để xích tại thời điểm
bƣớc, tại thời điểm
ở trạng thái
chuyển sang trạng thái . Đây là một con số nói
chung phụ thuộc vào
. Nếu đại lƣợng này không phụ thuộc
ta nói xích
là thuần nhất[7].
Ma trận xác suất chuyển
Giả sử
là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Nói một cách
chính xác là: Giả sử (
là không gian xác suất,
ngẫu nhiên nhận giá trị trong tập đếm đƣợc
tính Markov và tính thuần nhất của
là biến (đại lƣợng)
là không gian trạng thái. Khi đó,
có nghĩa là:
không phụ thuộc vào .
đƣợc gọi là ma trận xác suất chuyển sau một bƣớc,
có điều kiện để hệ tại thời điểm
tại thời điểm
(hiện tại) ở trạng thái , chuyển sang trạng thái
(tƣơng lai).
Xác suất chuyển sau
Rõ ràng rằng
và đặt
là xác suất
bƣớc đƣợc định nghĩa theo công thức:
. Ta quy ƣớc:
. Đó là ma trận xác suất chuyển sau
bƣớc.
Phân phối dừng
Phân phối của hệ tại thời điểm
đƣợc cho bởi công thức sau :
18
Luận văn thạc sĩ
Đặt
Phạm Đình Hiệu
và gọi
Ta có
là phân phối ban đầu của hệ.
. Và
đƣợc gọi là phân phối dừng nếu
1.3.5 Xích Markov Monte Carlo
Tích phân Monte Carlo
Tiếp cận đầu tiên của Monte Carlo là một phƣơng pháp phát triển bởi các nhà
vật lý sử dụng phép sinh số ngẫu nhiên để tính toán. Giả sử rằng ta phải tính toán
tích phân rất phức tạp:
Nếu ta có thể phân tích hàm
mật độ
về dạng tích của một hàm
đƣợc định nghĩa trong khoảng
và một hàm
.
Tích phân có thể hiểu nhƣ là một kỳ vọng của hàm
qua hàm mật độ
.
Vì vậy nếu ta sinh một số lƣợng lớn các biến ngẫu nhiên
mật độ
thì:
Công thức này gọi là tích phân Monte Carlo.
Ví dụ:
19
từ hàm
Luận văn thạc sĩ
Phạm Đình Hiệu
Trong đó
, khi
suy ra
Một vấn đề khi áp dụng tích phân Monte Carlo là việc thu các mẫu từ các
phân bố xác suất phức tạp
. Phƣơng pháp giải quyết vấn đề này là phƣơng pháp
Markov chain Monte Carlo (MCMC). Ý tƣởng đơn giản của MCMC là: Cho một
phân phối xác suất
trên tập
, ta phải sinh ngẫu nhiên các phần tử của
với phân
phối . MCMC thực hiện việc này bằng cách xây dựng một xích Markov với phân
phối dừng
và mô phỏng xích này. Thuật toán sinh đƣợc dùng là phƣơng pháp lấy
mẫu Gibbs đƣợc trình bày dƣới đây.
1.3.6 Phƣơng pháp lấy mẫu Gibbs
Cho tập các biến
. Giả thiết trạng thái hiện tại là
.
Chọn một giá trị mới
cho
từ
). Đặt
là giá trị mới đó.
Tiếp theo chọn một
giá
trị
mới
cho
từ
,
rồi
từ
.
Tiếp tục tƣơng tự với
đến khi có một trạng thái mới
20
.
- Xem thêm -