Tài liệu Hình không gian thể tích từ cơ bản đến nâng cao

http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO FULL Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 – 10 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ABC vuông ở A . Ta có: 2 2 2 a) Định lý Pitago : BC  AB  AC 2 A 2 b) BA  BH .BC ; CA  CH .CB c c) AB. AC  BC. AH 1 1 1   2 2 AH AB AC 2 e) BC  2 AM b c b c f) sin B  , cos B  , tan B  , cot B  a a c b B d) g) b  a.sin B  a.cos C , c  a.sin C  a.cos B, a  b H M a C b b  sin B cos C b  c.tan B  c.cot C 2. Hệ thức lượng trong tam giác thường Định lý hàm số côsin: a 2  b 2  c 2  2bc.cos A a b c Định lý hàm số sin:    2R sin A sin B sin C 3. Các công thức tính diện tích a) Công thức tính diện tích tam giác S abc 1 1 a.ha  a.b sin C   pr  2 2 4R Đặc biệt: ABC vuông ở A : S  p  p  a p  b p  c với p  a b c 2 1 AB. AC 2 ABC đều cạnh ABC : S  a2 3 4 b) Diện tích hình vuông: S  cạnh x cạnh c) Diện tích hình chữ nhật: S  dài x rộng 1 d) Diện tích hình thoi: S  (chéo dài x chéo ngắn) 2 BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 1 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 1 (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2 f) Diện tích hình bình hành: S  đáy x chiều cao g) Diện tích hình tròn: S   R 2 e) Diện tích hình thang: S  ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A. QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa Đường thẳng và mặt phẳng gọi là a P a  P   song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. a (P) 2.Các định lý: Định lý 1: Nếu đường thẳng a a      b a a  b     không nằm trên mặt phẳng   và song song với một đường thẳng  nào đó nằm trên   a   b α thì a song song với   . Định lý 2: Nếu đường thẳng a   a  P   b a  (Q)  P  Q  b  song song với mặt phẳng P thì mọi mặt phẳng Q chứa a mà cắt P Q P  Q  b   b P a  Q a  b P thì cắt theo giao tuyến song song với a . Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó. a a Q a b P a §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. P Q P  Q   P Q BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 2 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 2. Các định lý: Định lý 1: Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng Q thì P và Q song song với nhau. Định lý 2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia. Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P Q song song thì mọi mặt phẳng R đã cắt P thì phải cắt Q và các giao tuyến của chúng và a, b  P a b  I a Q, b       P  Q  Q P a b I Q P Q  a Q     a  P   a P Q P Q    R   P  a   a   R  Q  b  R b a P b Q song song. B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là a  P  a  c, c   P vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó. P 2. Các định lý: Định lý 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng  P thì đường thẳng d góc với mặt phẳng P và đường thẳng b nằm trong c d  a , d  b   a , b  P   d  P  a  b    d b P vuông góc với mặt phẳng P . Định lý 3: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông a a a  P , b  P b  ab  a ' P . Khi đó, BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 3 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a ' của a trên P . §2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0. 2. Các định lý: Định lý 1: Nếu một mặt phẳng a  P    Q  P chứa một đường thẳng vuông góc a  Q  với một mặt phẳng khác thì hai mặt Q a phẳng đó vuông góc với nhau. P Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng P và Q vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong P  Q    P  Q  d   a  Q   a   P , a  d   P , vuông góc với giao tuyến của P và Q đều vuông góc với mặt phẳng Q . Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P P  Q  A   P  và Q vuông góc với nhau và A    a   P  là một điểm trong P thì đường A  a  a  Q   thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với Q sẽ nằm trong P Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. P a Q d P a A Q P  Q  a    P    R   a   R    Q  R   P Q a R §3.KHOẢNG CÁCH BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 4 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng P ) là khoảng cách giữa hai điểm M O O và H , trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mặt phẳng P )  H a P H  d O; a  OH ; d O;  P  OH 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng P O a song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng P .  H P  d a; P  OH 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d O P P; Q  OH H Q 4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. a d a; b  AB A b B §4.GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b . a a' b' b BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 5 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với a mặt phẳng P là góc giữa a và hình chiếu a ' của nó trên mặt phẳng  P . Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng P thì ta a' P nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P là 90 . 3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm b a Q P 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác H  trong mặt phẳng P a b Q P S và S ' là diện tích hình chiếu H ' của H  trên mặt phẳng P ' thì: S '  S cos  C A trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng P và P ' . B ÔN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A. CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN: 1. Thể tích khối lăng trụ: V  S .h Trong đó: S : Diện tích đa giác đáy. h : Đường cao của hình lăng trụ. a) Thể tích khối hộp chữ nhật: A' D' V  a.b.c với a , b, c là ba kích thước C' B' A B BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG D C 6 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan b) Thể tích khối lập phương: V  a3 với a là độ dài cạnh A' D' C' B' A D B C 2. Thể tích khối chóp: Trong đó: 1 V  S .h 3 S : Diện tích đa giác đáy. h : Đường cao của hình chóp. 3. Tỉ số thể tích tứ diện: Hai khối chóp S . ABC và S .MNP có chung đỉnh S và các góc ở đỉnh S . Khi đó: VS .MNP SM SN SP  . . VS . ABC SA SB SC S M P N C A B 4. Thể tích khối chóp cụt: h V B  B ' BB ' 3 Trong đó: B , B ' : Diện tích hai đáy.  A'  B' C' A B h : Chiều cao. C Chú ý: 1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d  a 2 , Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d  a 3 , Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a , b, c là d  a 2  b 2  c 2 , a 3 2 3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). 4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. 2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h  BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 7 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan PHÂN DẠNG BÀI TẬP A. LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ 1. Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1. Cho ( H ) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của ( H ) bằng: A. a3 . 2 B. a3 3 . 2 C. a3 3 . 4 D. a3 2 . 3 Hướng dẫn giải: a3 3 V  S SBC . AA '  4 A' C' B' C A B Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có AA  a , tam giác ABC đều cạnh a . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . a3 3 a3 3 . B. VABC . ABC  . 12 8 Hướng dẫn giải: A. VABC . ABC  S ABC  C. VABC . ABC  a2 3 a3 3 , h  AA '  a  V  S ABC .h  4 4 a3 3 . 4 A D. VABC . ABC  a3 . 6 B C B' A' C' Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông, BA  BC  a , AA  a 2 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . 2.a 3 A. VABC . ABC   . B. VABC . ABC   3 Hướng dẫn giải: 2.a 3 . 2 C. VABC . ABC   BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 2.a 3 . 4 D. VABC . ABC a3  . 3 8 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan V 1 a3 2 AB.BC. AA '  2 2 B' C' A' C B A Ví dụ 4. Lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC  2a, AB  a . Mặt bên ́ BB’C’C  là hình vuông. Khi đó thể tıch lăng trụ là: A. a3 3 . 3 B. a 3 2 . C. 2a3 3 . Hướng dẫn giải: Ta có: BB ' C ' C là hình vuông  h  BB  2a   AC  BC 2  AB 2  a 3   D. a 3 3 . B' C' A' 1 a2 3 AB. AC  2 2 .S ABC  a3 3  VABC . A’ B’C ’  BB  S ABC  C B A Ví dụ 5. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC. A ' B ' C ' là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC  a 2 và biết A ' B  3a . Tính thể tích khối lăng trụ. A. a3 . B. a3 2 . Hướng dẫn giải: ABC vuông cân tại A nên AB  AC  a ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng  AA '  AB  AA '  D. 2a 3 . C. a3 3 . A' C' B' A ' B 2  AB 2  2 a 2  V  B.h  S ABC . AA '  a 3 2 C A B BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 9 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Ví dụ 6. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC. A ' B ' C ' là tam giác đều cạnh a  4 và biết diện tích tam giác A ' BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. A. 8 2 . 3 B. 8 . 3 C. 8 2 . Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm BC .Ta có: ABC đều nên D. 8 . A' AB 3  2 3; AI  BC  A ' I  BC 2 2S 1 S A ' BC  BC. A ' I  A ' I  A ' BC  4 2 BC AA '   ABC   AA '  AI C' AI  AA '  B' C A A ' I 2  AI 2  2 I  VABC . A ' B 'C '  S ABC . AA '  8 3 B Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a . Tính thể tích khối lăng trụ này. A. 9a3 . B. 9 . Hướng dẫn giải: C. 3a3 . ABCD. A ' B ' C ' D ' là lăng trụ đứng nên BD  BD '2  DD '2  3a 3a ABCD là hình vuông  AB  2 D. 3 . A' B' C' 2 9a Suy ra B  S ABCD  4  V  B.h  S ABCD . AA '  9a 3 D' A B D C Ví dụ 8. Cho hình hộp đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác AAC vuông cân và AC  a . Tính theo a thể tích của khối hộp ABCD. ABCD . a3 2 a3 2 . B. VABCD . ABC D  . 24 48 Hướng dẫn giải: A. VABCD . ABC D  C. VABCD . ABC D  BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG a3 2 . 16 D. VABCD . ABC D  a3 2 . 8 10 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan A ' C  a  AC  AA '  a a  AB  2 2 A a3 2  V  S ABCD . AA '  8 D C B D' A' B' C' Ví dụ 9. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60 . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích hình hộp . a3 6 A. . 2 a3 3 B. . 2 Hướng dẫn giải: a3 6 C. . 6 Ta có tam giác ABD đều nên BD  a và S ABCD  2 S ABD  a2 3 2 Theo đề bài BD '  AC  a 3 DD '  BD '2  BD 2  a 2  V  S ABCD .DD '  a3 3 D. . 6 A' D' B' a 3 C' 6 2 A D B C Ví dụ 10. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm , người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. A. 1200cm3 . B. 1600cm3 . C. 2400cm3 . Hướng dẫn giải: Theo đề bài, ta có: AA '  BB '  CC '  DD '  12cm A' nên ABCD là hình vuông. AB  44 cm  24 cm  20 cm; h  12 cm B'  V  S ABCD .h  4800cm3 D. 4800cm3 . D' C' A B D C 2. Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 11 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  BC  a , AB hợp với mặt đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . a3 3 . B. VABC . ABC   a 3 3 . 2 Hướng dẫn giải: A. VABC . ABC   C. VABC . ABC  a 3 . D. VABC . ABC   5a 3 2 . A'  AA '   ABC   AA ',  ABC    A ' B, AB  ABA '  60 C' 1 a3 3  AA '  AB.tan 60  a 3  V  . AB.BC. AA '  2 2 B' C A B Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C , góc giữa BC và  ABBA bằng 60 , AB  AA  a . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . 15.a 3 18.a 3 . B. VABC . ABC   . 4 4 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của A ' B ' .  C ' M   ABB ' AC  A. VABC . ABC    C. VABC . ABC  15a 3 . 4 D. VABC . ABC  18a 3 . 4 C' A' M   BC ',  ABB ' A '  BC ', BM   MBC '  60 B' a 15 2 2 a 15 a 3 15   V  S A ' B 'C ' . AA '  4 4  MC '  BB '2  MB '2 . tan 60   S A ' B 'C ' C A B Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AC  a , ACB  60 , góc giữa BC và mặt phẳng  AAC C  bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . A. VABC . ABC   a 3 6 . B. VABC . ABC   a 3 3 . C. VABC . ABC   2 2 a 3 . D. VABC . ABC   a 3 5 . Hướng dẫn giải: BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 12 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan AC  a  AB  a 3, BC  2a C' B' AB   AA ' C ' C   A'   BC ',  AA ' C ' C   BC ', AC '  AC ' B  30  AC '  3a  CC '  AC '2  AC 2  2a 2 V  1 AB. AC.CC '  a 3 6 2 C B A Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD của lăng trụ hợp với đáy  ABCD  một góc 30. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD . a3 3 a3 2 . B. VABCD . ABC D  . 3 2 Hướng dẫn giải: DD '   ABCD A. VABCD . ABC D   C. VABCD . ABC D  D. Kết quả khác. A   BD ';  ABCD  BD ', BD  DBD '  30 a3 6 3 D C B a 6  DD '  BD.tan 30  3  V  S ABCD .DD '  a3 6 . 3 D' A' B' C' Ví dụ 5. Cho hình hộp đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD  60o . Biết AB hợp với đáy  ABCD  một góc 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD . a3 . B. VABCD . ABC D  a 3 5 . 2 Hướng dẫn giải: A. VABCD . ABC D  C. VABCD. ABCD  a 3 . BB '   ABCD  D. VABCD . ABC D  A   AB ',  ABCD   AB ', AB  BAB '  30 a 3  BB '  AB.tan 30  3  V  S ABCD .BB '  2 S ABD .BB '  D' A' B' BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG D C B a3 2 a3 3 . 2 C' 13 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa AC ' và mặt phẳng BCC B bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD . A. VABC . ABC   2a 3 . B. VABC . ABC   2a 3 . C. VABC . ABC   Hướng dẫn giải: AB  BCC ' B '  2a 3 . 2 D. VABC . ABC   a 3 . A   AC ', BCC ' B '   AC ', BC '  AC ' B  30 D C B  BC '  AB.cot 30  a 3  BB '  BC '2  B ' C '2  a 2 D' A'  V  S ABCD .BB '  a 3 2 B' C' Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , đường chéo AC ' tạo với mặt bên BCC B một góc  0    45o . Khi đó, thể tích khối lăng trụ bằng:   B. a 3 cot 2 . A. a 3 cot 2   1 . C. a 3 cot 2   1 . Hướng dẫn giải: AB  BCC ' B '  D. a 3 tan 2   1 . A   AC ', BCC ' B '   AC ', BC '  AC ' B   D C B  BC '  AB.cot   BB '  a cot 2   1 D' A'  V  S ABCD .BB '  a 3 cot 2   1 B' C' 3. Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  BC  a , AB hợp với mặt đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . a3 3 . B. VABC . ABC   a 3 3 . 2 Hướng dẫn giải: A. VABC . ABC   C. VABC . ABC  a 3 . BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG D. VABC . ABC   5a 3 2 . 14 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan  C' A'  AA '   ABC   AA ',  ABC    A ' B, AB  ABA '  60 1 a3 3  AA '  AB.tan 60  a 3  V  . AB.BC. AA '  2 2 B' C A B Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , AC  2a, CAB  120, góc giữa  ABC  và mặt phẳng  ABC  bằng 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC . A. VABC . ABC   a 3 3 . B. VABC . ABC   3a 3 3 . C. VABC . ABC   3a 3 . Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC . AM  AC.cos 60  a A' C' B' AC 2  AB 2  2 AB. AC.cos120  2a 3 BC  D. VABC . ABC   2 a 3 3 . A ' M  BC , AM  BC   A ' BC ,  ABC   A ' M , AM   AMA '  45  AA '  AM  a  V  C A M 1 BC. AM . AA '  a 3 3 2 B Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng  AB ' C ' tạo với mặt đáy 0 góc 60 . Tính theo a thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . A. V a3 3 . 2 B. V  3a3 3 . 4 C. V  Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm B ' C '  A ' M  B 'C '  600  A' M  S A ' B ' C ' a3 3 . 8 D. V  A C  AB ' C ',  A ' B ' C '   AM , A ' M   AMA ' a 3 3a ; AA '  A ' M .tan AMA '  2 2 2 3 3a 3 a 3   V  SABC . AA '  4 8 3a3 3 . 8 B C' A' M B' BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 15 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có cạnh đáy bằng a . Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABC  bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ a3 3 a3 3 . B. VABC . ABC   . 8 4 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC .  A ' M  BC , AM  BC A. VABC . ABC    C. VABC . ABC   ABC. ABC . a3 . 2 D. VABC . ABC   A' a3 3 . 2 C' B'  A ' BC ,  ABC   A ' M , AM   A ' MA  30 a a3 3  AA '  AM .tan 30   V  S ABC . AA '  2 8 C A M B Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC  a , mặt phẳng  A ' BC  tạo với đáy một góc 30 và tam giác A ' BC có diện tích bằng a 2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . A. a 3 3 8 . B. 3a 3 3 . 4 C. 3a 3 3 . 8 Hướng dẫn giải: BC  AB     BC  A ' B BC  AA '   BC  AB   ABC    BC  A ' B   A ' BC    BC   ABC    A ' BC    3a 3 3 . 2 A' C' B'  ABC,  A ' BC   AB, A ' B  ABA ' 2 S A ' BC  D. 2.S  A ' BC 2.a 3 1   2a 3 A ' B.BC  A ' B  BC a 2 C A B AB  A ' B.cos ABA '  2a 3.cos 300  3a; AA '  A ' B.sin ABA '  2a 3.sin 300  a 3 VABC . A ' B 'C ' 1 1 3a 3 3  B.h  S ABC . AA '  . AB.BC. AA '  .3a.a.a 3  2 2 2 BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 16 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , mặt phẳng BC ' D hợp với đáy  ABCD một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ a3 6 a3 3 . B. VABCD . ABC D  . 6 2 Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của BD .  AC  BD, C ' I  BD    BC ' D   ABCD  BD   A. VABCD . ABC D   C. VABCD . ABC D  ABCD. ABCD . a3 6 . 2 D. Kết quả khác. A' D' B' C' BC ' D;  ABCD   AC , C ' I   CIC '  60 1 a 2 a 6  CC '  CI .tan 60  AC  2 2 2 a3 6  V  S ABCD .CC '  2 A CI  D I B C 0 Ví dụ 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng  A ' BC  hợp với đáy  ABCD một góc 60 , A ' C hợp với đáy  ABCD một góc 300 và AA '  a 3 . Tính theo a thể tích khối hộp. A. V  2a 3 6 . B. V  2a 3 6 . 3 Hướng dẫn giải: AA '   ABCD A'  300  A ' C ,  ABCD   A ' C , AC   A ' CA  60 AB  BC  0     A ' BC  ,  ABCD   A ' B, AB  A ' BA AA ' tan A ' BA  a; AC  3 D. V  a . C. V  2a3 2 . AA ' tan A ' CA C' B'  3a D' A AC 2  AB 2  2a 2; S ABCD  AB.BC  2a 2 2  VABCD . A ' B ' C ' D '  S ABCD . AA '  2a 3 6 D B C 4. Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết cạnh bên bằng a 3 và hợp với đáy  ABC  một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . a3 3 3a 3 3 . B. VABC . ABC  . 8 8 Hướng dẫn giải: A. VABC . ABC   C. VABC . ABC  BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 5a 3 3 . 8 D. Đáp án khác. 17 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Kẻ A ' H   ABC   B' C'   AA ',  ABC    AA ', AH   A ' AH  60 A' 3a 3a 3 3  A ' H  AA '.sin 60   V  S ABC . A ' H  2 8 B C H A Ví dụ 2. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , điểm A ' cách đều ba điểm A, B, C . Góc giữa AA ' và  ABC  bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . 3a 3 4 a3 3 . B. VABC . ABC   . 4 2 Hướng dẫn giải: Gọi G là trọng tâm của ABC  A ' G   ABC  A. VABC . ABC   C. VABC . ABC   a3 3 . 4 D. VABC . ABC  5a 3 3 . 4 B' C'   AA ',  ABC    AA ', AG  GAA '  60  A ' G  AG. tan 60  a  V  S ABC . A ' G  a3 3 4 A' C B G A Ví dụ 3. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC  2a ; cạnh bên AA  2a . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. ABC . A. V  1 3 a3 a . B. V  . 3 2 Hướng dẫn giải: C. V  a3 . BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG D. V  2a 3 . 3 18 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung tuyến BH cũng là đường cao của nó và 1 HB  HA  HC  AC  a . 2 A' C' B' A ' H  A ' A2  AH 2  2a 2  a 2  a VABC . ABC  A ' H  S ABC B A 1  A ' H  BH  AC  a 3 2 H C Ví dụ 4. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với tâm O của tam giác ABC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ a 3 ABC. ABC , biết khoảng cách giữa AA ' và BC là . 4 a3 3 a3 3 . B. VABC . ABC   . 12 4 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC  BC   AA ' M  A. VABC . ABC   C. VABC . ABC  4a 3 3 . 5 B' C' Gọi H là hình chiếu của M lên AA ' a 3 HM 1  HM  d AA ', BC    sin A ' AO   8 AM 2 a  A ' AO  30 A ' O  AO. tan A ' AO  3 D. Kết quả khác. A' M H B C a3 3  V  S ABC . A ' O  12 O A Ví dụ 5. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A ' trên  ABC  là trung điểm của BC , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . a3 3 a3 3 . B. VABC . ABC  . 4 3 Hướng dẫn giải: A. VABC . ABC  C. VABC . ABC  BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG a3 3 . 12 D. VABC . ABC  a3 3 . 8 19 http://www.toanmath.com/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan Gọi M là trung điểm của BC  A ' M   ABC   B' C'   AA ',  ABC    AA ', AM   A ' AM  30  A ' M  AM . tan 30  A' a a3 3  V  S ABC . A ' M  2 8 C B M A Ví dụ 6. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của A ' trên  ABC  là trung điểm của AB , góc giữa mặt phẳng  AAC C  và mặt đáy bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC . A. VABC . ABC   2 a 3 3 . B. VABC . ABC   3a 3 3 . C. VABC . ABC   3a 3 3 . 2 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của AB , kẻ MH  AC  A ' M   ABC   D. VABC . ABC   a 3 3 . B' C'  ACC ' A ',  ABC   A ' H , HM   A ' HM  60 A' 2 1 1 a 3 AC.MH  S ABC  2 2 2 a 3 3a  MH   A ' M  MH . tan 60  2 2 3 3a 3 V  S ABC . A ' M  2 S ABC  a 2 3; S AMC  B C M H A a 10 Ví dụ 7. Cho lăng trụ ABC. ABC có AA  , AC  a 2, BC  a, ACB  135o . Hình chiếu vuông góc của 4  lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm M của AB . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ C ABC. ABC . A. VABC . ABC  a 3 . B. VABC . ABC   a3 6 . 8 C. VABC . ABC  3a 3 . 8 D. VABC . ABC   3a 3 3 . Hướng dẫn giải: BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG 20