Tài liệu Hình học phẳng

Nguyễn Minh Hà NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ Mục lục Lời giới thiệu iii Lời nói đầu v Các ký hiệu vii Chương 1. Hướng của đoạn thẳng 1 §1. Hình thang và hình bình hành 1 §2. Đoạn thẳng 2 §3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó 3.1. Các định nghĩa 3.2. Các định lí 3.3. Hướng của đoạn thẳng định hướng 4 4 10 17 §4. 18 18 19 20 §5. 21 21 22 26 §6. 27 27 29 Vectơ, hướng và phương của nó 4.1. Các định nghĩa 4.2. Các định lí 4.3. Hướng và phương của vectơ Hướng và phương của tia 5.1. Các định nghĩa 5.2. Các định lí 5.3. Hướng và phương của tia Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng 6.1. Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp 6.2. Đường thẳng định hướng §7. Độ dài đại số của đoạn thẳng định hướng Chương 2. §8. §9. Hướng của góc Góc giữa hai tia Góc định hướng giữa hai tia và các vấn đề có liên quan 9.1. Góc định hướng giữa hai tia 31 37 37 44 44 i ii Mục lục 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. Cơ sở, tia cơ sở của góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt có cùng đỉnh Sự không trùng lặp, sự trùng lặp của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt có cùng đỉnh Nguồn và cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt có cùng đỉnh Các định lí về cát tuyến của hai góc định hướng giữa hai tia-khác bẹt cùng đỉnh Sự cùng hướng, sự ngược hướng của hai góc định hướng giữa hai tia 10.1. Hai góc định hướng giữa hai tia có cùng đỉnh 10.2. Hai góc định hướng giữa hai tia bất kỳ 10.3. Hướng của góc định hướng giữa hai tia, mặt phẳng định hướng 10.4. Hướng của tam giác và hướng của đa giác lồi 45 46 47 51 §10. Số đo của góc định hướng, góc lượng giác giữa hai tia 11.1. Số đo của góc định hướng giữa hai tia 11.2. Góc lượng giác giữa hai tia 63 63 68 76 77 §11. 81 81 82 §12. 86 86 87 90 §13. 91 91 92 94 §14. 95 95 97 101 Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai vectơ 12.1. Góc giữa hai vectơ 12.2. Góc định hướng giữa hai vectơ 12.3. Góc lượng giác giữa hai vectơ Cung, cung định hướng, cung lượng giác 13.1. Cung 13.2. Cung định hướng 13.3. Cung lượng giác Góc, góc định hướng, góc lượng giác giữa hai đường thẳng 14.1. Góc giữa hai đường thẳng 14.2. Góc định hướng giữa hai đường thẳng 14.3. Góc lượng giác giữa hai đường thẳng §15. Một vài kết quả cơ bản 105 Tài liệu tham khảo 109 Tra cứu theo vần 111 Lời giới thiệu Cùng bạn đọc, Thuở còn là học sinh phổ thông, khi học bài góc lượng giác tôi cảm thấy có gì đó bất ổn nhưng không hiểu vì sao mình lại có cảm giác đó. Sau này, sống bằng nghề dạy Toán và làm toán, tôi mới hiểu rằng cái đồng hồ chính là nguyên nhân của sự bất ổn đó, khái niệm góc lượng giác được định nghĩa thông qua cái đồng hồ nhưng cái đồng hồ lại không phải là khái niệm của hình học phẳng. Trong hệ tiên đề Hilbert của hình học Euclid phẳng, gọi tắt là hình học phẳng, mọi khái niệm phải được định nghĩa thông qua hai khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng và ba quan hệ cơ bản: liên thuộc, nằm giữa, toàn đẳng. Mải mê với công việc riêng của mình, tôi không hề nghĩ rằng lại có một người quan tâm đến việc định nghĩa góc lượng giác mà không sử dụng cái đồng hồ, nói theo cách của những người làm toán chuyên nghiệp, quan tâm tới vấn đề xây dựng lý thuyết về hướng trong hình học phẳng. Cầm trong tay bản thảo hơn một trăm trang cuốn sách “Hướng trong hình học phẳng”, hơn một trăm trang mà viết trong hơn mười năm trời, tôi thực sự bất ngờ vì cái tình yêu âm thầm và bền bỉ mà tác giả của nó, TS Nguyễn Minh Hà dành cho Toán học. Với những gì mà tôi biết về TS Nguyễn Minh Hà, với cách đặt vấn đề rất hợp lý của “Hướng trong hình học phẳng”, chắc rằng cuốn sách này là một tài liệu rất đáng đọc cho bất kỳ ai quan tâm tới hình học phẳng, đặc biệt là sinh viên khoa Toán của các trường Đại học sư phạm và Cao đẳng sư phạm. Hãy đọc “Hướng trong hình học phẳng” để xem cái cách mà TS Nguyễn Minh Hà vất cái đồng hồ ra khỏi hình học phẳng. GS. TSKH Nguyễn Văn Khuê iii Lời nói đầu Tôi xây căn nhà nhỏ của tôi trong toà nhà lớn của Hilbert và Euclid Hướng là khái niệm quan trọng của hình học. Tuy nhiên, từ thời Euclid cho tới trước thời của Descartes hướng không được coi là khái niệm của hình học. Từ khi có phương pháp toạ độ của Descartes tình trạng trên đã phần nào được giải quyết, bằng các khái niệm ma trận và định thức hướng đã trở thành khái niệm của hình học. Chú ý rằng “phần nào được giải quyết” chứ không phải “hoàn toàn được giải quyết”, khi không có phương pháp toạ độ người ta vẫn chỉ có thể nói tới hướng dưới dạng mô tả. Vì vậy những vấn đề liên quan tới hướng thường bị né tránh, trong toàn bộ tác phẩm “Cơ sở hình học” của Hilbert [1] không có dòng nào dành cho khái niệm hướng. Không có khái niệm hướng, không thể trình bày một cách chặt chẽ nhiều vấn đề của hình học (góc lượng giác, vectơ, lí thuyết biến hình, . . . ). Không có khái niệm hướng, ta gặp rất nhiều khó khăn trong học tập, giảng dạy và nghiên cứu hình học. Không có khái niệm hướng, hình học phẳng - một trong những ngành khoa học cổ xưa nhất của nhân loại - tưởng như không còn điều gì đáng bàn sau khi Hilbert viết tác phẩm “Cơ sở hình học” cho đến ngày hôm nay vẫn chưa hoàn chỉnh. Vì sao lại cứ phải né tránh? Liệu có thể nói tới khái niệm hướng mà không cần sử dụng phương pháp toạ độ hay không? Nhiều năm nay những câu hỏi này đã thôi thúc tôi hướng tới mục tiêu: xây dựng lí thuyết về hướng, trước hết là trong hình học phẳng, không sử dụng phương pháp toạ độ, đủ tốt cho việc làm toán. Giờ đây lí thuyết này đã được xây dựng xong. Cuốn sách “Hướng trong hình học phẳng” mà bạn đang có trong tay chứa đựng toàn bộ lí thuyết đó, nó bao gồm hai chương: Chương I-Hướng của đoạn thẳng; Chương II-Hướng của góc. Tôi dành lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Duy Khánh, người đã có nhiều đóng góp trong việc trình bày và biên tập cuốn sách. Tôi rất mong nhận được những nhận xét quý giá từ độc giả. Nguyễn Minh Hà v Các ký hiệu A = B: các điểm A , B trùng nhau. A 6= B: các điểm A , B khác nhau. A, B / X Y : hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ X Y . A / X Y / B: hai điểm A, B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ X Y . AB: đoạn thẳng có hai đầu mút là các điểm A, B. AB: độ dài đoạn thẳng AB (nếu không có gì nhầm lẫn). AB: đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A, B (nếu không có gì nhầm lẫn). a ≡ b: các đường thẳng a, b trùng nhau. a 6≡ b: các đường thẳng a, b không trùng nhau. a ∥ b: các đường thẳng a, b song song. a ∥≡ b: các đường thẳng a, b hoặc song song hoặc trùng nhau. a ⊥ b: các đường thẳng a, b vuông góc. vii viii Các ký hiệu a 6⊥ b: các đường thẳng a, b không vuông góc. a ∩ b = O : các đường thẳng a, b cắt nhau tại điểm O . # » AB: đoạn thẳng định hướng có đầu mút đầu là điểm A , đầu mút cuối là điểm B. #» 0 : đoạn thẳng định hướng-không. # » # » # » # » # » # » # » # » AB ↑↑ CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD cùng hướng. AB ↑↓ CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD ngược hướng. # » # » # » −−→ AB ∥ CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD cùng phương. # » # » # » # » # » # » # » # » AB = CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD bằng nhau. AB 6= CD : các đoạn thẳng định hướng AB, CD khác nhau. # » # » AB: vectơ chứa đoạn thẳng định hướng AB (nếu không có gì nhầm lẫn). # » # » [ AB]: vectơ chứa đoạn thẳng định hướng AB. #» 0 : vectơ-không (nếu không có gì nhầm lẫn). #» [ 0 ]: vectơ-không. #» #» #» a ↑↑ b : các vectơ #» a , b cùng hướng. #» #» #» a ↑↓ b : các vectơ #» a , b ngược hướng . #» #» #» a ∥ b : các vectơ #» a , b cùng phương. #» #» #» a ⊥ b : các vectơ #» a , b vuông góc. #» #» #» a = b : các vectơ #» a , b bằng nhau. #» #» #» a 6= b : các vectơ #» a , b khác nhau. Các ký hiệu ix # » AB: tia có gốc là điểm A và đi qua điểm B (nếu không có gì nhầm lẫn). I x ↑↑ J y: các tia I x, J y cùng hướng. I x ↑↓ J y: các tia I x, J y ngược hướng. I x ≡ J y: các tia I x, J y trùng nhau. I x ∥ J y: các tia I x, J y cùng phương. I x ⊥ J y: các tia I x, J y vuông góc. I x ⊂ J y: tia I x thuộc tia J y. Ox0 : tia đối của tia Ox. x0 x: đường thẳng chứa hai tia Ox và Ox0 . yx: đường thẳng chứa hai tia đối nhau Ox và O y. y: góc giữa hai tia có các cạnh là các tia Ox, O y. xO # » # » ƒ AOB: góc giữa hai tia có các cạnh là các tia O A, OB. # » y: góc giữa hai tia có các cạnh là các tia O AO A, O y. # »  : góc giữa hai tia có các cạnh là các tia Ox, OB xOB . (Ox, O y): góc định hướng giữa hai tia có cạnh đầu là tia Ox, cạnh cuối là tia O y. # » # » # » # » # » (O A, OB): góc định hướng giữa hai tia có cạnh đầu là tia O A , cạnh cuối # » là tia OB. (O A, O y): góc định hướng giữa hai tia có cạnh đầu là tia O A , cạnh cuối là tia O y. # » (Ox, OB) góc định hướng giữa hai tia có cạnh đầu là tia Ox, cạnh cuối là # » tia OB. x Các ký hiệu (I x, I y) ↑↑ (J z, J t): các góc định hướng giữa hai tia (I x, I y), (J z, J t) cùng hướng. (I x, I y) ↑↓ (J z, J t): các góc định hướng giữa hai tia (I x, I y), (J z, J t) ngược hướng. 4 ABC : tam giác ABC . 4 ABC ↑↑ 4 X Y Z : các tam giác ABC , X Y Z cùng hướng. 4 ABC ↑↓ 4 X Y Z : các tam giác ABC , X Y Z ngược hướng. (Ox, O y)k : góc lượng giác giữa hai tia có góc định hướng giữa hai tia sinh là (Ox, O y) và có chu kì là k. #» #» 〈 #» a , b 〉: góc giữa hai vectơ có các cạnh là các vectơ #» a, b. #» ( #» a , b ): góc định hướng giữa hai vectơ có cạnh đầu là vectơ #» a , cạnh cuối #» là vectơ b . #» #» #» #» ( #» a , b ) ↑↑ ( #» c , d ): các góc định hướng giữa hai vectơ ( #» a , b ), ( #» c , d ) cùng hướng. #» #» #» #» ( #» a , b ) ↑↓ ( #» c , d ): góc định hướng giữa hai vectơ ( #» a , b ), ( #» c , d ) ngược hướng. #» ( #» a , b )k : góc lượng giác giữa hai vectơ có góc định hướng giữa hai vectơ #» sinh là ( #» a , b ) và có chu kì là k. Ù AB: cung có hai đầu mút là các điểm A, B. å AB: cung định hướng có đầu mút đầu là điểm A , đầu mút cuối là điểm B. å å : các cung định hướng å å cùng hướng. AB ↑↑ CD AB, CD å å : các cung định hướng å å ngược hướng. AB ↑↓ CD AB, CD å AB k : cung lượng giác có cung định hướng sinh là å AB và có chu kì là k. 〈a, b〉: góc giữa hai đường thẳng có các cạnh là các đường thẳng a, b. Các ký hiệu xi (a, b): góc định hướng giữa hai đường thẳng có cạnh đầu là đường thẳng a, cạnh cuối là đường thẳng b. (a, b) ↑↑ (c, d): góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b), (c, d) cùng hướng. (a, b) ↑↓ (c, d): góc định hướng giữa hai đường thẳng (a, b), (c, d) ngược hướng. (a, b)k : góc lượng giác giữa hai đường thẳng có góc định hướng giữa hai đường thẳng sinh là (a, b) và có chu kì là k. : Kết thúc một phép chứng minh. Chương 1 Hướng của đoạn thẳng 1. Hình thang và hình bình hành Theo quan niệm thông thường, hình thang và hình bình hành là hai khái niệm khác nhau và được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1. Hình thang là tứ giác lồi có một bộ hai cạnh đối thuộc hai đường thẳng song song và bộ hai cạnh đối còn lại thuộc hai đường thẳng không song song. Định nghĩa 2. Hình bình hành là tứ giác lồi mà mỗi bộ hai cạnh đối cùng thuộc hai đường thẳng song song. Định nghĩa 1 có vẻ rõ ràng nhưng lại không phù hợp với tinh thần của lí thuyết tập hợp. Do đó nó không thuận tiện cho việc làm toán. Vì vậy, gần đây, trong nhiều tài liệu người ta định nghĩa hình thang như sau. Định nghĩa 3. Hình thang là tứ giác lồi có một bộ hai cạnh đối thuộc hai đường thẳng song song. Trong định nghĩa 3, bộ hai cạnh đối còn lại của hình thang có thể thuộc hai đường thẳng hoặc song song hoặc không song song. Do đó hình bình hành là một hình thang đặc biệt. 1 2 1. Hướng của đoạn thẳng Định nghĩa 3 phù hợp với tinh thần của lí thuyết tập hợp. Vì vậy nó thuận tiện cho việc làm toán. Do đó nó được coi là định nghĩa chính thống và chính thức được sử dụng trong cuốn sách này. Mỗi một trong hai cạnh thuộc bộ hai cạnh đối thuộc hai đường thẳng song song của hình thang được gọi là cạnh đáy của nó. Mỗi một trong hai cạnh thuộc bộ hai cạnh đối còn lại của hình thang được gọi là cạnh bên của nó. Do đó, đối với hình bình hành, một hình thang đặc biệt, ta có hai cách quan niệm về cạnh đáy và cạnh bên. Cụ thể, với hình bình hành ABCD , nếu coi AB, CD là cạnh đáy thì AD, CB là cạnh bên, nếu coi AD, CB là cạnh đáy thì AB, CD là cạnh bên. Theo cách kí hiệu thông thường, một tứ giác lồi K có bốn đỉnh là X , Y , Z, T và bốn cạnh là X Y , Y Z, ZT, T X được kí hiệu là ABCD , trong đó (A, B, C, D) là một hoán vị của (X , Y , Z, T) và (AB, BC, CD, D A) là một hoán vị của (X Y , Y Z, ZT, T X ). Do đó K được kí hiệu bởi một trong tám cách sau: X Y ZT, Y ZT X , ZT X Y , T X Y Z, X T ZY , T ZY X , ZY X T, Y X T Z . Theo thói quen, cách kí hiệu trên cũng được dùng để kí hiệu hình thang K có bốn đỉnh là X , Y , Z, T và bốn cạnh là X Y , Y Z, ZT, T X . Tuy nhiên, với cách kí hiệu này ta không thể biết được cạnh nào trong bốn cạnh X Y , Y Z, ZT, T X là cạnh đáy của K . Đó là nguyên nhân của nhiều bất lợi trong việc làm toán. Vì vậy, trong cuốn sách này hình thang K có bốn đỉnh là X , Y , Z, T , bốn cạnh là X Y , Y Z, ZT, T X và hai cạnh đáy là X Y , ZT được kí hiệu là ABCD , trong đó (A, B, C, D) là một hoán vị của (X , Y , Z, T), (AB, BC, CD, D A) là một hoán vị của (X Y , Y Z, ZT, T X ) và (AB, CD) là một hoán vị của (X Y , ZT). Do đó K được kí hiệu bởi một trong bốn cách sau: X Y ZT, ZT X Y , Y X T Z, T ZY X . Chú ý 4. 1) Nếu một trong bốn tứ giác lồi ABCD, CD AB, BADC, DCBA là hình thang thì cả bốn cùng là hình thang. 2) Nếu một trong tám tứ giác lồi ABCD, BCD A, CD AB, D ABC, ADCB, DCBA, CBAD, BADC là hình bình hành thì cả tám cùng là hình bình hành. 2. Đoạn thẳng Trong mục này, một số kiến thức cơ bản về đoạn thẳng được nhắc lại. Định nghĩa 5. Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm khác nhau A, B được gọi là đoạn thẳng, hoặc kí hiệu là AB hoặc kí hiệu là BA . −−→ −−→ Định nghĩa 6. Giao của các tia AB, BA được gọi là miền trong của đoạn thẳng AB. 2. Đoạn thẳng 3 Định nghĩa 7. Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm trùng nhau A, B cũng được gọi là đoạn thẳng (đoạn thẳng-không, khi cần nhấn mạnh), kí hiệu bởi một trong các cách sau: AB, BA, A A, BB. Định nghĩa 8. Miền trong của đoạn thẳng-không là tập hợp rỗng. Các điểm A, B được gọi là đầu mút của đoạn thẳng AB. Với sự xuất hiện của khái niệm đoạn thẳng-không, thuật ngữ đoạn thẳng mang một ý nghĩa mới: đoạn thẳng có thể là đoạn thẳng-khác không (hai đầu mút khác nhau) và cũng có thể là đoạn thẳng-không (hai đầu mút trùng nhau). Vì vậy, để tránh nhầm lẫn, trong các vấn đề liên quan tới khái niệm đoạn thẳng, khi cần thiết ta sẽ nhấn mạnh các thuật ngữ: đoạn thẳng-khác không, đoạn thẳng-không. Chú ý 9. 1) Gốc O của tia Ox không thuộc tia Ox. 2) Hình gồm tia Ox và điểm O được gọi là tia Ox mở rộng. 3) Các đầu mút của đoạn thẳng AB không thuộc miền trong của đoạn thẳng AB. Nếu ta qui ước một đoạn thẳng nào đó có độ dài bằng 1 thì đối với mỗi đoạn thẳng tồn tại duy nhất một số thực dương biểu thị độ dài của đoạn thẳng đó. Nếu không có gì nhầm lẫn thì độ dài đoạn thẳng AB được kí hiệu đơn giản là AB. Chú ý 10. AB = 0 khi và chỉ khi AB là đoạn thẳng-không. Định nghĩa 11. Hai đoạn thẳng AB, CD được gọi là bằng nhau nếu chúng có độ dài bằng nhau. Để biểu thị hai đoạn thẳng AB, CD bằng nhau, ta viết AB = CD . Định lí 12. Nếu điểm C hoặc thuộc miền trong hoặc trùng với một trong hai đầu mút của đoạn thẳng AB thì AB = AC + CB (hệ thức Chasles cho đoạn thẳng). Trong định lí 12, đoạn thẳng AB có thể là đoạn thẳng-không. Chú ý 13. 1) Thay cho cách nói điểm C thuộc miền trong của đoạn thẳng AB ta còn có các cách nói đơn giản hơn: điểm C thuộc đoạn thẳng AB, điểm C nằm trong đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa các điểm A, B. 2) Nếu điểm C thuộc đường thẳng AB, không nằm trong đoạn thẳng AB, khác các điểm A, B thì ta nói điểm C nằm ngoài đoạn thẳng AB. 4 1. Hướng của đoạn thẳng Định nghĩa 14. Hình thang có đúng một cạnh đáy là đoạn thẳngkhông được gọi là hình thang-không. A A B C h.1 C=D B h.2 Tam giác ABC không phải là hình thang-không nhưng tứ giác ABCD với C = D là hình thang-không có một cạnh đáy là đoạn thẳng-khác không AB và một cạnh đáy là đoạn thẳng-không CD (h.1, h.2). Với sự xuất hiện của khái niệm hình thang-không, thuật ngữ hình thang mang một ý nghĩa mới: hình thang có thể là hình thang-khác không (hai cạnh đáy là những đoạn thẳng-khác không) và cũng có thể là hình thang-không (có đúng một cạnh đáy là đoạn thẳng-không). Vì vậy, để tránh nhầm lẫn, trong các vấn đề liên quan tới khái niệm hình thang, khi cần thiết ta sẽ nhấn mạnh các thuật ngữ: hình thang-khác không, hình thang-không. 3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó Trong mục 2, khi định nghĩa đoạn thẳng ta không phân biệt thứ tự hai đầu mút của nó. Trong mục này, ta làm quen với một khái niệm mới: đoạn thẳng mà thứ tự hai đầu mút của nó phân biệt. 3.1. Các định nghĩa. Định nghĩa 15. Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai điểm (A, B) được gọi là # » đoạn thẳng định hướng, kí hiệu là AB. # » Khi các điểm A, B trùng nhau, đoạn thẳng định hướng AB được gọi là đoạn thẳng định hướng-không, còn kí hiệu bởi một trong các cách # » # » # » sau: BA , A A , BB. Các điểm A, B theo thứ tự được gọi là đầu mút đầu, đầu mút cuối # » của đoạn thẳng định hướng AB. Khi cần thiết, thay cho thuật ngữ đoạn thẳng định hướng ta có thể nhấn mạnh bằng các thuật ngữ: đoạn thẳng định hướng-khác không 3. Đoạn thẳng định hướng, hướng và phương của nó 5 (hai đầu mút khác nhau); đoạn thẳng định hướng-không (hai đầu mút trùng nhau). # » Định nghĩa 16. Độ dài của đoạn thẳng định hướng AB là độ dài của đoạn thẳng AB. # » # » Độ dài của đoạn thẳng định hướng AB được kí hiệu là | AB|. Vậy # » | AB| = AB. # » # » Chú ý 17. | AB| = 0 khi và chỉ khi AB là đoạn thẳng định hướng-không. Đoạn thẳng AB được gọi là đoạn thẳng sinh của đoạn thẳng định # » hướng AB. Vậy độ dài của đoạn thẳng định hướng là độ dài của đoạn thẳng sinh của đoạn thẳng định hướng đó. Bổ đề sau đây không chỉ giúp ta chứng minh bổ đề 20 mà còn có vai trò quan trọng trong nhiều tình huống khác. Bổ đề 18. (Bổ đề hình thang) Nếu AB ∥ CD thì 1) Hoặc A, D / BC hoặc A / BC / D . 2) A, D / BC khi và chỉ khi ABCD là hình thang. 3) A / BC / D khi và chỉ khi ABDC là hình thang. Chứng minh. 1) Hiển nhiên. 2) Điều kiện cần. Vì AB ∥ CD nên A, B / CD và C, D / AB (1). Gọi (∆) là giao của nửa mặt phẳng bờ CD chứa A, B và nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, D (h.3). E A B (∆) D C h.3 Có hai trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1. AD , BC song song. Hiển nhiên B, C / AD . Trường hợp 2. AD , BC không song song. Gọi E là giao điểm của AD và BC . Vì A, D / BC nên E không thuộc đoạn thẳng AD . Kết hợp với 6 1. Hướng của đoạn thẳng đoạn thẳng AD thuộc (∆), suy ra E không thuộc (∆). Từ đó, chú ý rằng đoạn thẳng BC thuộc (∆), suy ra E không thuộc đoạn thẳng BC . Điều đó có nghĩa là B, C / AD . Tóm lại, trong cả hai trường hợp ta đều có B, C / AD (2). Từ (1) và (2), chú ý rằng A, D / BC , suy ra ABCD là tứ giác lồi. Kết hợp với AB ∥ CD , suy ra ABCD là hình thang. Điều kiện đủ. Vì ABCD là hình thang nên ABCD là tứ giác lồi. Do đó A, D / BC . 3) Điều kiện cần. Vì AB ∥ CD nên A, B / CD và C, D / AB (1). Gọi (∆) là giao của nửa mặt phẳng bờ CD chứa A , B và nửa mặt phẳng bờ AB chứa C , D . Vì A / BC / D nên AD và BC cắt nhau. Gọi F là giao điểm của AD và BC (h.4). B A (∆) F C h.4 D Vì A / BC / D nên F thuộc đoạn thẳng AD . Do đó A, F / BD và D, F / AC (2). Vì F thuộc đoạn thẳng AD nên F thuộc (∆). Từ đó chú ý rằng đoạn thẳng BC thuộc (∆), suy ra F thuộc đoạn thẳng BC . Do đó C, F / BD và B, F / AC (3). Từ (2) và (3) suy ra A, C / BD và B, D / AC (4). Từ (1) và (4) suy ra ABDC là tứ giác lồi. Kết hợp với AB ∥ CD , suy ra ABDC là hình thang. Điều kiện đủ. Vì ABDC là hình thang nên ABDC là tứ giác lồi. Do đó A / BC / D .  Chú ý 19. Nửa mặt phẳng bờ a và đường thẳng a không có điểm chung. Bổ đề 20. (Bổ đề ba hình thang) Nếu ba đường thẳng AB, CD, X Y đôi một không trùng nhau và ABY X , DCY X là hình thang thì ABCD cũng là hình thang.