Hình học của nhóm các phép dời trong mặt phẳng, trong không gian và ứng dụng của nó vào dảng dạy phép dời hình ở phổ thông

  • Số trang: 42 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 20 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán – người đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài, từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận. Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, khoa Toán của Trường Đại học Vinh đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của Khóa học, nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học tập hữu ích; giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là luận văn tốt nghiệp. Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh, Ban Giám Hiệu trường THPT Lê Hữu Trác, huyện Huyện Hương Sơn, tỉnh Hà Tĩnh cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Chân thành cảm ơn! Hà Tĩnh, ngày 20 tháng 08 năm 2013 Tác giả Nguyễn Văn Hùng 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... 1 MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 3 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI ................................................................................ 3 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ....................................................................... 3 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ....................................................................... 3 4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU .................................................................... 4 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .............................................................. 4 NỘI DUNG ..................................................................................................................... 5 CHƯƠNG 1. CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ........................ ... ..................5 1.1. ĐA TẠP KHẢ VI .................................................................................. 5 1.2. ÁNH XẠ KHẢ VI GIỮA HAI ĐA TẠP................................................11 1.3. NHÓM LIE ............................................................................................ 13 1.4. TẬP ĐẠI SỐ ZARISKY VÀ TÔ PÔ ZARISKY..........................................15 CHƯƠNG II. NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ TRONG GIẢNG DẠY TOÁN PHỔ THÔNG......................................................................................................................26 2.1. PHẦN I: MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN..........................................................................................................................27 2.2. PHẦN II: ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN VÀO GIẢNG DẠY PHÉP DỜI HÌNH Ở PHỔ THÔNG ..................................................................................34 KẾT LUẬN ........................................................................................ ..........................41 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................42 2 I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Qua học tập và nghiên cứu chuyên nghành hình học và tô pô, chúng tôi càng hiểu sâu hơn rằng Hình học afin nghiên cứu tính chất bất biến trong không gian afin; Hình học Ơclit nghiên cứu tính chất bất biến của các phép dời trong không gian Ơclit; Hình học xạ ảnh nghiên cứu tính chất bất biến trong không gian xạ ảnh; Hình học đại số nghiên cứu những tính chất bất biến của tập đại số qua các phép đồng phôi topo Zariski,…. Như vậy hình học nói chung đều nghiên cứu tính chất bất biến trong không gian nào đó. Từ nhiều năm giảng dạy ở trường THPT, chúng tôi nhận thấy hình học hình học Ơ clit chiếm phần lớn nội dung chương trình hình học phổ thông; Nó không chỉ gần gủi với thực tiễn mà còn góp phần quan trọng hình thành tri thức toán phổ thông cho học sinh. Bộ môn hình học này, như trình bày ở trên, chủ yếu là nghiên cứu các tính chất bất biến qua nhóm các phép dời. Do vậy, để hiểu sâu sắc hơn toán học phổ thông nói chung, hình học phổ thông nói riêng, tôi chọn đề tài luận văn tốt nghiệp là HÌNH HỌC CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẴNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO GIẢNG DẠY PHÉP DỜI HÌNH Ở PHỔ THÔNG. 2. Mục đích nghiên cứu Qua đề tài, chúng tôi muốn nghiên cứu hình học của nhóm các phép biến đổi trực giao chiều thấp và liên hệ nó với các phép dời hình ở bậc THPT 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tập hợp lại một số kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi; nhóm Lie; tập đại số Zariski và tô pô Zariski. Nêu các phép dời và ứng dụng của nó trong dảng dạy 3 toán phổ thông. Trình bày một số kết quả riêng mà chúng tôi tích lũy được trong quá trình giảng dạy. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của chúng tôi bao gồm: - Các kiến thức cơ bản về Đa tạp khả vi - Nhóm Lie - Tập đại số và tô pô Zariski - Nhóm Lie các phép dời trong không gian Ơclit 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc hiểu một số tài liệu liên quan đến các khái niệm của đa tạp khả vi; một số ví dụ của đa tạp khả vi, một số tính chất cơ bản của đa tạp khả vi và ánh xạ khả vi. - Đọc hiểu một số tài liệu về khái niệm nhóm Lie, ví dụ về nhóm Lie, điều kiện xác định nhóm Lie - Đọc hiểu một số tài liệu về tập đại số Zariski và tô pô Zariski - Đọc hiểu về nhóm Lie các phép dời trong mặt phẵng và trong không gian. - Đọc hiểu về các phép biến đổi ma trận. Đọc hiểu về phép dời hình trong chương trình phổ thông II/ Nội dung nghiên cứu - Tập hợp lại các kiến thức có liên quan về đa tạp khả vi; về nhóm Lie, tập đại số; tôp Zariski - Sử dụng các kết quả tổng quát về ma trận vuông và các khái niệm ở trên - Tìm mối liên hệ giữa phép dời hình, các phép biến đổi trực giao qua nhóm Lie và tập đại số Zariski - Tìm kiếm các ứng dụng những kiến thức vừa nêu vào toan phổ thông 4 NỘI DUNG CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 ĐA TẠP KHẢ VI Trong mục này trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi như là định nghĩa, ví dụ minh họa, một số tính chất của đa tạp khả vi và có chứng minh chi tiết. 1.1.1 Định nghĩa 1 i/ Giả sử M là T2 không gian. Nếu U mở trong M và U * là tập mở trong R n và  :U  U * đồng phôi thì (U , ) được gọi là một bản đồ của M . ii/ Với p U thì  ( p)  R n , nên  ( p )   x1 , x2 ,..., xn  . Khi đó  x1 , x2 ,..., xn  được gọi là tọa độ của p đối với (U ,  ) và (U ,  ) được gọi là hệ tọa độ địa phương iii/ Giả sử (U1 , 1 ) và (U 2 , 2 ) là 2 bản đồ của M sao cho W  U1  U 2   . Khi đó (U1 , 1 ) và (U 2 ,  2 ) được gọi là phù hợp nếu ánh xạ 2  11 : 1 (U1  U 2 )   2 (U1  U 2 ) là vi phôi ( song ánh và khả vi hai chiều) Chú ý: Ta thấy U1  U 2   và 2  11 : W1  1 (W)  W2  2 (W) , ( 2  11 ) 1  1  21 và 2  11 được gọi là công thức đổi tọa độ từ (U1 , 1 ) sang (U 2 ,  2 ) đối với các điểm p  W . Ta quy ước là nếu U1  U 2   thì (U1 , 1 ) và (U 2 ,  2 ) là phù hợp. Ví dụ 1: Trong R 2 ta lấy M  S 1   x; y  / x 2  y 2  1 Đặt U1   x; y   S1 / x  0   1  y ; y  y   1;1 , U   1;1 2 5 *  U* ; Và 1 :U1  1 y2 ; y   y Khi đó (U1 , 1 ) là một bản đồ của S 1 Chứng minh: * 1 là song ánh     Giả sử A 1  a 2 ; a và B 1  b2 ; b U1 sao cho 1 ( A)  1 ( B) . Khi đó a  b và do đó A  B . Vậy 1 là đơn ánh. Với bất kỳ y   1;1 , lấy X   1  y 2 ; y thì X U1 và 1  X   y . Vậy 1 là toàn ánh * 1 là liên tục: điều này hiển nhiên vì 1 là phép chiếu. * 11 là liên tục Ta có 11 :U *  U 1 x   1  x2 ; x  1 2 1 Vì các hàm tọa độ 11 : x  1  x , 12 : x  x liên tục nên Do đó 1 là đồng phôi Vậy (U1 , 1 ) là một bản đồ của S 1 . Ví dụ 2: Trong 2 ta lấy M  S 1   x; y  / x 2  y 2  1 6 11 liên tục 1 Đặt U 2   x; y   S / y  0   x;   1  x 2 / x   1;1 , U 2*   1;1  2 :U 2  U 2* và  x;  1  x2  x Khi đó U 2 ;2  là một bản đồ của M  S 1 và U1 ; 1  với U 2 ;2  là phù hợp Chứng minh: + Chứng minh tương tự ví dụ 1 thì ta có U 2 ;2  là bản đồ của S 1 + Ta chứng minh U1 ;1  và U 2 ; 2  là phù hợp. Thật vậy W  U1  U 2   x; y   S 1 / x  0, y  0 W1  1 (W)   0;1 , W2  2 (W)   0;1 Do đó f :  2  11 :  0;1   0;1 t 1 t2 Khi đó: f là song ánh f là hàm số khả vi vì f ' (t )  f 1 là hàm số khả vi vì t 1 t2 , t   0;1 f 1 : (0;1)   0;1 x  1  x2 7 Vậy U1 ; 1  và U 2 ; 2  là phù hợp 1.1.2 Định nghĩa 2 i/ Giả sử Giả sử M là T2 không gian. A  { U i ;i iI là họ các bản đồ trên M } nếu A thỏa mãn: Ui  M a/ i I b/ U i ; i  và U j ; j  là phù hợp, với mọi i  j thì ta nói A là một atlat của M    ii/ Hai atlat A  U i ; i iI , B  V j ; j  j J  được gọi là phù hợp nếu U i ; i  và V j ;  j  phù hợp với i, j Nhận xét: Nếu A và B là hai atlat phù hợp thì A  B cũng là một atlat 1.1.3 Định nghĩa i/ Nếu A là một atlat cực đại trên M ( tức là A không nằm trong bất kỳ atlat nào) thì A được gọi là một cấu trúc khả vi trên M ii/ Một T2 - không gian M có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạp khả vi n- chiều. Nhận xét: 1 a. Atlat cực đại A gọi là cấu trúc khả vi thì i   j là vi phôi với mọi i, j b. Khi nói M là đa tạp khả vi thì ta chỉ cần chỉ ra một atlat với số bản đồ ít nhất có thể để tính toán các phép tính khả vi trên nó. 8 1 2 2 Ví dụ 1: Lấy M  S   x; y  / x  y  1 . Ta đã chứng minh được U1 ; 1  và U 2 ;2  là hai bản đồ của M.    1 2 * Đặt U 3   x; y   S / x  0   1  y ; y / y   1;1 ,U 3   1;1 3 :U 3  U 3* và   1 y2 ; y  y U 4   x; y   S 1 / y  0   x;  1  x  / x   1;1 ,U 2 * 4   1;1  4 :U 4  U 4* và  x;  1  x   x 2 Tương tự, ta cũng chứng minh được U 3 ; 3  và U 4 ; 4  là hai bản đồ của M Do đó U 4 i ;  i i 1 là một Atlat của M 1 Vậy M  S là một đa tạp khả vi 1 – chiều Nhận xét: Cho M là đa tạp n – chiều . Ta thấy nếu N là tập mở trong M thì N cũng là một đa tạp n – chiều Chứng minh: Thật vậy, ta thường lấy atlat của N là thu hẹp của Atlat của M trên N. 9 Bây giờ giả sử M là đa tạp m – chiều với tập bản đồ bảo hòa là A  U i ; i i I và N là đa tạp n – chiều với tập bản đồ bảo hòa là B  V j ;  Ký hiệu j j J . f ij : U i  V j   i U i    j V j   R n  m ( a ; b )   a1 ;....; a m ; b1 ;....; bn   Khi đó U i  V j , f i j  ij là một atlat của tập tích Đềcác M  N Vậy M  N là một đa tạp (m + n ) – chiều. Ví dụ 2 : Ký hiệu GL(n, R) ={các tự đẳng cấu tuyến tính của R n }. Khi đó GL(n, R) là đa tạp khả vi n2 - chiều. Chứng minh: Ta đồng nhất tập Mat(n  n, R) tất cả các ma trận vuông cấp n với 2 Rn ; 2 Mat(n  n, R)  R n . Xét ánh xạ det : Mat(n  n, R)  R   A  xij  det A  (1)   sign x1i1 x2i2 ...xnin S n Ở đây phần tử (hay là biến) x tit , t = 1, 2, …, n là phần tử nằm ở hàng t, cột it của ma trận A. Do đó, rõ ràng det A là một đa thức bậc n, thuần nhất của n2 biến từ biến x11, x12,…., x1n, …. cho tới các biến xn1 , xn2,….., xnn. Sn là nhóm tất cả các song ánh (còn gọi là phép thế) trên tập n số 1, 2, …, n (có n! song ánh như vậy), sgn  là dấu của phép thế  . Cho nên khi đó: 10 i/ det là ánh xạ (chính xác là hàm số) khả vi , 1 1 ii/ det ( , 0)  det (0, )  GL(n,R) , 2 n suy ra GL(n,R) là mở trong R . Do đó GL(n,R) , đa tạp khả vi n2 - chiều. 1.2 ÁNH XẠ KHẢ VI GIỮA HAI ĐA TẠP 1.2.1 Định nghĩa 1: Giả sử M, N là các đa tạp. Ánh xạ f : M  N được gọi là khả vi, nếu i) f liên tục. ii) Với mọi bản đồ U  f 1  V   W   U ,   của M và đều  V,  của N sao cho:  ofo 1 khả có vi. ( ofo 1 : W1    W   W2   ( f (W)) ). 1.2.2 Định lí: Tích các ánh xạ khả vi là ánh xạ khả vi. 1.2.3 Định nghĩa 2: Đa tạp M được gọi là định hướng nếu và chỉ nếu Jacôbi của   1 có định thức  0, với mọi  ,   I 1.2.4 Các ví dụ Ví dụ 4: Chứng minh răng f : S1  S2  x  x, y     2 , Giải: 11 y 2 , 1   khả vi 2 Trước hết ta chứng minh f liên tục. Vì S1, S2 là các tập con trong R2, R3 nên ta chứng minh f liên tục dãy. Với bất kỳ dãy  xn , yn    x0 , y0  S1 2  x , y   S1 n n mà khi n   . Ta có xn2  yn2  1 và x02  y02  1 . Lúc đó 2 2  x 0   y0   1         1.  2  2  2 Nên 1   x 0 y0 1  2  x y f  x n , yn    n , n , , ,    S , khi n    2 2 2  2 2 2 do đó f liên tục. Theo bài 3 ta có: S1 với họ bản đồ và theo bài 1 ta có: S2 với họ bản đồ U ,  i  1,2,3, 4 là đa tạp khả vi, i i  V ,  i  1,2,3,4,5,6 là đa tạp khả vi. j j Bây giờ ta chứng minh với mọi bản đồ Ui ,i  của S1 và  Vj , j  của S2 sao cho U j  f 1  Vi    thì  j  f  i1 khả vi. Chẳng hạn ta chứng minh đối với U1 ,1  và  V1 , 1  . Theo đề ra ta có U1  f 1  V1   U1 mặt khác 1 1 1  f    y   1  f   1  y2 y 1   y 1   1  y , y  1  , , ,    2 2  2 2 2   2   1  f  11 khả vi vì nó có các hàm toạ độ khả vi. Vậy f là ánh xạ khả vi. Ví dụ 5: Chứng minh rằng tích các ánh xạ khả vi là ánh xạ khả vi. Chứng minh: 12 Giả sử M, N, P là các đa tạp với các họ bản đồ tương ứng là  V,  và  W,  ; Giả sử U ,  , f , g là các ánh xạ khả vi thoả mãn f g M   N  P . Ta cần chứng minh h : g  f : M  P là ánh xạ khả vi. Theo giả thiết f , g là các ánh xạ khả vi nên f , g là các ánh xạ liên tục, do đó g  f là ánh xạ liên tục. Với bất kỳ bản đồ  U ,  của M và  W,  của P sao cho A : U  h1  W    , ta xét   h   1    g  f   1 :  A     h U   W  . Do f là ánh xạ khả vi nên với mọi bản đồ  V,  của N sao cho U  f 1  V    , ta đều có   f   1 khả vi. Tương tự từ tính khả vi của g với mọi bản đồ  V,  của N sao cho V  g 1  W    , ta đều có   g   1 khả vi. Do đó với mọi bản đồ U,  của M và  W,  của P sao cho A : U  h1  W    , lúc đó   h   1    g  f   1    g  1     f   1  khả vi theo nghĩa giải tích vì tích của hai ánh xạ khả vi là khả vi. Vậy   g  f   1 khả vi theo nghĩa giải tích nên h  g  f khả vi. Vậy ta có điều phải chứng minh. 1.3 NHÓM LIE Trong mục này trình bày về định nghĩa nhóm Lie, Ví dụ về nhóm Lie, điều kiện xác định nhóm Lie 1.3.1 Định nghĩa và ví dụ 1.3.1.1 Định nghĩa nhóm Lie 13 Tập G được gọi là một nhóm Lie nếu và chỉ nếu G thoả mãn các điều kiện sau: i) G là một đa tạp khả vi ii) G là một nhóm (phép toán nhóm ta thường gọi là phép nhân và viết a.b ; a, b  G ). iii) Phép nhân ( f : G  G  G ;  a, b   a.b ) và phép nghịch đảo trên G (  : G  G ; a  a 1 ) là các ánh xạ khả vi. 1.3.1.2 Ví dụ a) Không gian véctơ R 2 với cấu trúc khả vi tự nhiên và với phép cộng véctơ thông thường thì R 2 là một nhóm Lie. Thật vậy, xét R 2  x( a, b) : a, b  R  ta có: + R 2 là một đa tạp khả vi với U  R 2 , id   : R2  R2 . + R2 là nhóm với phép cộng véctơ thông thường: x  ( a , b )  R2 y  ( c , d )  R2 x  y  ( a  c , b  d )  R2 , , + Phép nhân trên R2 : f : R2  R2  R2 ; s  x, y   x  y   a  c, b  d  và phép nghịch đảo trên R2 :  : R2  R2 . x   a, b     x    a, b  là các ánh xạ khả vi theo nghĩa thông thường. Vậy R 2 là nhóm Lie. Nhóm Gl (n, R) của các ma trận vuông, thực không suy biến là một nhóm Lie với phép nhân ma trận thông thường. 14 b) Nhóm trực giao O(n, R) là nhóm Lie được biểu diễn bằng các ma trận trực giao. c) Nhóm M(n, R) của các ma trận vuông, thực là một nhóm Lie với cấu trúc khả vi tự nhiên về phép cộng các ma trận. 1.4 TẬP ĐẠI SỐ ZARISKY VÀ TÔ PÔ ZARISKY Trong mục này trình bày về định nghĩa tập đại số Zarisky, tô pô Zarisky và một số ví dụ của nó 1.4.1. VÀNH ÐA THỨC 1.4.1.1 Định nghĩa. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và n là một số nguyên không âm. Vành đa thức A[ x1, x2, ..., xn] của n biến x1, x2, ... , xn trên A được định nghĩa theo quy nạp như sau: A[ x1, x2, ..., xn] : A[ x1, x2, ..., xn-1][xn] Tức là A[ x1, x2, ..., xn] là vành đa thức của biến xn trên vành A[ x1, x2, ..., xn-1]. Ký hiệu: A[X] = A[ x1, x 2, ..., x n]. Khi đó A[X] là vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và phép nhân đa thức thông thường. Các phần tử của A[X] được gọi là các đa thức, mọi đa thức 15 f  A[X] có dạng: f = r1 r2 rn  r ,r ,...r x1 x2 ...xn . Với d là một r1+r2+...+rnd 1 2 n số tự nhiên nào đó và r ,r ,...r  A, các phần tử r ,r ,...r ≠ 0 được gọi là 1 2 n 1 2 n r1 r2 rn các hệ tử của đa thức và các biểu thức x1 x2 ...xn kèm theo gọi là các đơn thức của f. 1.4.1.2. Bậc của đa thức. Với f  A[X], đặt degf :  max{r1 + r2 + ... + rn |  r ,r ,...r ≠ 0} nếu f ≠ 1 2 n 0 và đặt degf  - nếu f  0. Khi đó degf được gọi là bậc của f. Nếu degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng f = a1x1 + a2x2 + ….. + anxn + an+1, trong đó ít nhất phải có một hệ số gắn biến khác không. Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là, coi x1r1 x2r2 ....xn rn > x1s1 x2 s2 ....xn sn nếu r1 + r2 +…..+ rn > s1 + s2 +…..+ sn hoặc r1 + r2 +…..+ rn = s1 + s2 +…..+ sn và tọa độ khác không đầu tiên của véctơ (r1 – s1, r2 – s2 ,….., rn - sn ) là dương. 1.4.1.3. Ví dụ. Với 2 biến x1, x2, ta có 16 x1m > x1m 1 x2 > x1m 2 x2 2 > ....  x2m  ......  x1  x2 . 1.4.1.4. Mệnh đề. Nếu A là miền nguyên thì degfg = degf + degg với mọi đa thức f, g  A[X]. Chứng minh. Mọi đơn thức của fg đều có dạng uv với u là đơn thức của f và v là đơn thức của g. Gọi umax, vmax lần lượt là các đơn thức bậc lớn nhất của f, g theo thứ tự nêu trên. Với mọi u ≠ umax và v ≠ vmax ta có uv < umaxvmax, do đó uv ≠ umaxvmax. Gọi c, d  A là các hệ tử tương ứng của umax, vmax. Vì c, d ≠ 0 nên cd ≠ 0. Khi đó cdumaxvmax là hạng tử của fg. Do đó: deguv  degumaxv max = degumax + degvmax = degf + degg Vậy degfg = degf + degg. 1.4.1.5. Mệnh đề. Nếu A là miền nguyên thì A[X] là miền nguyên và các phần tử khả nghịch của A[X] là các phần tử khả nghịch của A. Chứng minh. Giả sử f, g là các đa thức khác 0 trong A[X]. Khi đó degf, degg  0 nên degfg  0 và do đó fg ≠ 0. Vì vậy A[X] là miền nguyên. Tiếp theo, nếu fg = 1 thì degfg = degf +degg = 0, suy ra degf = degg = 0; do đó f, g là những phần tử khác 0 của A. Vì vậy f, g là những phần tử khả nghịch của A. 1.4.1.5. Nhận xét. Nếu K là một trường thì 1/ Với mọi f, g  K[X] ta luôn có 17 deg(fg) = degf + degg. 2/ K[X] là miền nguyên vì fg ≠ 0 nếu f, g ≠ 0. 3/ K là tập các phần tử khả nghịch của K[X] vì fg ≠ 1 nếu f  K hoặc g  K. 1.4.1.6. Nghiệm của một đa thức. Cho A là vành giáo hoán có đơn vị và f= r1 r2 rn  r ,r ,...r x1 x2 ...xn với d  N. Với a = (a1, a2, ... r1+r2+...+rnd 1 2 n an)  An ta có giá trị: f(a) = r1 r2 rn  r ,r ,...r a1 a2 ...an . Khi đó r1+r2+...+rnd 1 2 n điểm a được gọi là nghiệm của f nếu f(a) = 0 và ta cũng nói f triệt tiêu tại a. Chú ý rằng, mỗi đa thức f xác định một ánh xạ f : Kn  K; a  f(a), gọi là ánh xạ đa thức. 1.4.1.7. Bổ đề. Giả sử K là một trường có vô hạn phần tử. Nếu f(a) = 0 với a  Kn thì f = 0. Chứng minh. +) Nếu n = 1 thì f là đa thức một biến nên nếu f là đa thức bậc d ≥ 1 thì f chỉ có hữu hạn nghiệm điều này mẫu thuẫn với f(a) = 0, a  Kn. +) Nếu n > 1, giả sử f chứa biến xn khi đó ta viết f dưới dạng 18 f = f0 + f1x n + f2xn + ... + fdxnd; trong đó f0, f1, ..., fd  K[ x1, x2, ..., xn-1] và fd ≠ 0. Suy ra tồn tại bộ số (a1, a2, ..., an-1) sao cho f(a1, a2, ..., an-1) ≠ 0. Do đó f0(a1, a2, ..., an-1) + f1(a1, a2, ..., an-1) xn + ... + fd(a1, a2, ..., an-1)xnd là đa thức một biến của xn có bậc d nên có hữu hạn nghiệm, mà đa thức này triệt tiêu với mọi a thuộc K với K vô hạn phần tử (vô lí). Vậy f = 0. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1.4.1.8. Nhận xét. Bổ đề không còn đúng nếu K là một trường hữu hạn. Chẳng hạn K = {1,2, ...,n } thì đa thức f = (x-1)(x-2) ... (x-n) là một đa thức khác 0 nhưng triệt tiêu trên toàn bộ K. 1.4.1.9. Hệ quả. Giả sử K là một trường có vô hạn phần tử. Cho f và g là hai đa thức trong K[X]. Nếu f(a) = g(a) với mọi a  Kn thì f = g. Trong luận văn này, từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn. 1.4.2. TẬP ĐẠI SỐ. 1.4.2.1. Định nghĩa. Cho K là trường, tập con V  Kn gọi là tập đại số nếu nó là nghiệm của một họ các đa thức n biến trong K[X]. 1.4.2.2. Ví dụ. 1/ Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình 1 = 0 vô nghiệm. 2/ Mọi điểm a = (a1, a2, ... , an) đều là tập đại số vì a là nghiệm duy nhất của hệ phương trình: 19  x1  a1  0 x  a  0  2 2  ...  xn  an  0 3/ Không gian Kn là tập đại số vì phương trình 0 = 0 đúng với mọi điểm của Kn. 4/ Các m – phẳng trong không gian afin An là các tập đại số vì đó là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính có dạng: a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2  ... a p1 x1  a p 2 x2  ...  a pn xn  bp  Trong đó hạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính trên bằng n - m và n - m ≤ p ≤ n. 1.4.3. Siêu mặt. 1.4.3.1. Định nghĩa. Cho f  K[X]. Ký hiệu Z(f) = {a  Kn : f(a) = 0}, tức là Z(f) là tập nghiệm của đa thức f. Khi đó: 1/ Z(f) =  nếu f là đa thức hằng khác 0 (degf = 0). 2/ Z(f) = Kn nếu f = 0 (degf   ) 3/ Z(f) được gọi là siêu mặt của không gian Kn nếu degf > 0. Đăc biệt degf = 1 thì Z(f) gọi là một siêu phẳng. 20
- Xem thêm -