Tài liệu Hệ thống bonus malus trong bảo hiểm phi nhân thọ (lv01880)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN THƯA HỆ THỐNG BONUS-MALUS TRONG BẢO HIỂM PHI NHÂN THỌ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN THƯA HỆ THỐNG BONUS-MALUS TRONG BẢO HIỂM PHI NHÂN THỌ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. Hà Bình Minh HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hà Bình Minh, thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Thưa Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn "Hệ thống Bonus-Malus trong bảo hiểm phi nhân thọ" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Hà Bình Minh. Các số liệu, những kết luận nghiên cứu được trình bày trong luận văn này là trung thực, các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Thưa Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Mô hình xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Khái niệm và ví dụ về xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Định nghĩa và các tính chất của xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Trạng thái dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Cách tính trạng thái dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Giới thiệu hệ thống tính phí bảo hiểm ôtô . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Giới thiệu về lịch sử ra đời hệ thống Bonus-Malus ở Bỉ . . . . . . . 15 2.2. Hệ thống Bonus-Malus ở một số nước trên thế giới . . . . . . . . . . . 20 2.3. Hệ thống Bonus-Malus trong bảo hiểm ô tô ở Việt Nam . . . . . . . 21 2.3.1. Công ty Bảo Việt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2. Công ty bảo hiểm toàn cầu GIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 3. Xây dựng mô hình xích Markov cho hệ thống Bonus-Malus 24 3.1. Các ví dụ thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2. Giả thiết của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3. Ma trận chuyển của hệ thống Bonus-Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4. Tính trạng thái dừng và mức phí bảo hiểm trung bình . . . . . . . . . 28 3.4.1. Tính trạng thái dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4.2. Tính mức phí bảo hiểm trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5. Tính toán bằng phần mềm Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Hệ thống Bonus-Malus (Bonus-Malus systems) là hệ thống tính phí bảo hiểm ô tô được dùng phổ biến trên thế giới. Tại Việt Nam, hệ thống này mới được công ty Bảo Hiểm Bảo Việt sử dụng trong bảng tính phí bảo hiểm ô tô trong những năm gần đây. Đứng từ góc độ công ty bảo hiểm, việc hiểu rõ hệ thống tính phí này là cần thiết, vì công ty cần phải hiểu được cách tính phí bảo hiểm cho từng nhóm khách hàng khác nhau, sao cho đạt được được mức phí trung bình cao nhất, với lợi nhuận cao nhất, . . . . Về phía góc độ người mua bảo hiểm, việc hiểu rõ hệ thống này giúp người mua có được chiến lược mua bảo hiểm sao cho có lợi nhất. Một mô hình toán học cho phép mô hình hóa và tính toán hệ thống Bonus-Malus được sử dụng rộng rãi và hiệu quả là mô hình xích Markov. Do đó, việc khảo sát hệ thống tính phí bảo hiểm này, cũng như tìm hiểu các kiến thức toán học đằng sau nó là một việc hoàn toàn có ý nghĩa để giúp cho việc tính toán và duy trì hệ thống được hiệu quả. Với mục đích tìm hiểu mô hình xích Markov và áp dụng mô hình này vào hệ thống thu phí bảo hiểm ôtô dựa trên hệ thống Bonus-Malus và được sự định hướng của TS. Hà Bình Minh, tôi chọn đề tài "Hệ thống Bonus-Malus trong bảo hiểm phi nhân thọ" làm luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sĩ của mình. Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn được chia làm 03 chương: Chương 1 trình bày các khái niệm, tính chất, ví dụ về mô hình xích Markov, khái niệm về ma trận chuyển, ma trận chính quy, và trạng thái dừng và cách tìm trạng thái dừng của ma trận chính quy của một xích Markov. Chương 2 trình bày về lịch sử ra đời của hệ thống Bonus-Malus ở Bỉ và một 1 số nước khác trên thế giới. Chương này cũng khảo sát hai công ty ở Việt Nam cũng áp dụng hệ thống Bonus-Malus trong bảo hiểm ô tô. Chương 3 trình bày một số ví dụ thực tế hệ thống Bonus-Malus với số liệu ở Đức, Brazil và áp dụng vào hệ thống thực tế của công ty Bảo Việt. Chương này cũng trình bày cách tìm ma trận chuyển, trạng thái dừng của các ví dụ áp dụng đó. Phần cuối của chương trình bày việc tính toán và mô phỏng hệ thống Bonus-Malus bởi phần mềm Matlab, với số liệu của công ty Bảo Việt. 2. Mục đích nghiên cứu Sử dụng mô hình xích Markov để mô tả hệ thống Bonus-Malus trong bảo hiểm ô tô. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Sử dụng mô hình xích Markov để mô tả hệ thống Bonus-Malus trong bảo hiểm ô tô. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Biểu phí bảo hiểm ô tô của các công ty bảo hiểm phi nhân thọ. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các mô hình xích Markov, ngôn ngữ lập trình MATLAB. 6. Đóng góp mới của luận văn Luận văn trình bày chi tiết việc sử dụng xích Markov để mô hình hóa hệ thống Bonus-Malus trong bảo hiểm ô tô ở một số quốc gia trên thế giới cũng như ở Việt Nam. Luận văn là một tài liệu tham khảo tốt về hệ thống Bonus-Malus trong bảo hiểm ô tô. 2 Chương 1 Mô hình xích Markov Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về mô hình xích Markov, cụ thể ở ba mục đầu chương trình bày về khái niệm, ví dụ, các tính chất cơ bản của xích Markov. Các mục tiếp theo trình bày về trạng thái dừng, tính chất và cách tìm trạng thái dừng. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu trong chương 7 của tài liệu tham khảo [3]. 1.1. Khái niệm và ví dụ về xích Markov Chẳng hạn, ta xét ví dụ đơn giản sau về chương trình cai nghiện thuốc lá (Quit Smoking program) được hãng Sedco Inc thử nghiệm phát triển. Ví dụ 1.1.1 (Chương trình cai nghiện thuốc lá). Sau thời gian thử nghiệm chương trình cai nghiện thuốc lá do hãng Sedco Inc phát triển, có 75% số người tham gia chương trình cai được thuốc và 25% người còn lại tiếp tục hút thuốc. Tuy nhiên, hãng Sedco nhận ra rằng sự thành công của chương trình không chỉ phụ thuộc vào những con số này, mà còn phụ thuộc vào tỷ lệ liệu những người đã bỏ thuốc có tiếp tục hút thuốc trở lại hay không. Vì vậy hãng Sedco tiếp tục theo dõi những người đã tham dự chương trình cai thuốc lá. Họ nhận ra rằng trong số những người tiếp tục hút thuốc, sau mỗi năm có 90% số người này vẫn tiếp tục hút thuốc và 10% số này bỏ thuốc. Trong số những người cai được thuốc, sau mỗi năm có 80% số người này không hút thuốc và 20% số người này hút thuốc trở lại. Hãng Sedco muốn biết tỷ lệ số người cai được thuốc lá sau một năm, năm năm, mười năm là bao nhiêu? Trước tiên khái niệm trạng thái được định nghĩa như sau. 3 Định nghĩa 1.1.1. Trạng thái là tình huống (hoặc kết quả, hoặc vị trí) có thể xuất hiện trong một quá trình nào đó tại một thời điểm cho trước tùy ý. Trong ví dụ trên, những người tham gia chương trình hoặc ở trong trạng thái hút thuốc hoặc trong trạng thái không hút thuốc. Ta có thể dùng ma trận sau để biểu diễn sự chuyển đổi tỉ lệ của những người trong trạng thái hút thuốc hoặc trạng thái không hút thuốc sau mỗi năm. Đặt S trạng thái hút thuốc và N là trạng thái không hút thuốc, và S P := S N N ! 0.90 0.10 . 0.20 0.80 Ma trận P được gọi là ma trận chuyển. Ý nghĩa các phần tử của ma trận chuyển P được mô tả như sau: • 0.90 là xác suất mà một người chuyển từ trạng thái S (hút thuốc) sang trạng thái S (hút thuốc), nghĩa là người đó đang hút thuốc vẫn tiếp tục hút thuốc; • 0.10 là xác suất mà một người chuyển từ trạng thái S (hút thuốc) sang trạng thái N (không hút thuốc), nghĩa là người đó đang hút thuốc thì bỏ thuốc; • 0.20 là xác suất mà một người chuyển từ trạng thái N (không hút thuốc) sang trạng thái S (hút thuốc), nghĩa là người đó đang không hút thuốc thì trở thành người hút thuốc; • 0.80 là xác suất mà một người chuyển từ trạng thái N (không hút thuốc) sang trạng thái tiếp theo N (không hút thuốc), nghĩa là người đó không hút thuốc vẫn tiếp tục không hút thuốc. 4 Mỗi dòng trong ma trận P là các xác suất chuyển từ một trạng thái nào đó tới tất cả các trạng thái có thể, do đó tổng các phần tử trên một dòng luôn bằng 1. Chính xác hơn, ta có định nghĩa về ma trận chuyển dưới đây. Định nghĩa 1.1.2 (Ma trận chuyển). Một ma trận chuyển là một ma trận vuông mà mỗi phần tử nằm trong đoạn [0, 1] và tổng các phần tử trên một dòng luôn là 1. Trong Ví dụ 1.1.1 ở trên, ta biểu diễn vector hàng [0.25 0.75] mô tả kết quả của chương trình cai nghiện thuốc lá, tức là có 25% số người ở trạng thái hút thuốc (S) và 75% số người ở trạng thái không hút thuốc (N). Làm sao để biết được tỷ lệ (hút thuốc/ không hút thuốc) này biến đổi ra sao sau 1 năm. Ta thực hiện phép nhân vector hàng [0.25 0.75] với ma trận chuyển P :  S 0.25 ! N  0.90 0.10 0.75 0.20 0.80 và thu được kết quả là  S 0.375 Kết quả là vector hàng [0.375 N  0.625 . 0.625], mô tả rằng: sau một năm tỷ lệ người hút thuốc từ 25% tăng lên 37.5% và tỷ lệ người không hút thuốc giảm tử 75% xuống 62.5%. Để dễ hiểu, thay vì thực hiện phép nhân ma trận như trên, ta có thể dùng sơ đồ cây dưới đây để minh họa. Ở bước thứ nhất có hai trạng thái có thể là S và N, tương ứng với các tỷ lệ là 25% và 75% . Ở bước thứ hai có sự chuyển đổi giữa các trạng thái với nhau. Tại bước cuối là tỷ lệ ứng với các trạng thái. Ta sẽ thực hiện phép cộng để xác định tỷ lệ của những người hút thuốc (S) như sau: 0.25(0.90) + 0.75(0.20) = 0.225 + 0.150 = 0.375, 5 và tỷ lệ của những người không hút thuốc (N) như sau: 0.25(0.10) + 0.75(0.80) = 0.625. Ví dụ 1.1.2. Trong Ví dụ 1.1.1 ở trên, làm thế nào để xác định được tỷ lệ phần trăm của số người (hút thuốc/ không hút thuốc) sau 2 năm, 3 năm, 4 năm? Giải. Như tính toán ở trên, tỷ lệ số người (hút thuốc/ không hút thuốc) sau 1 năm là  S 0.25 ! N   S 0.90 0.10 = 0.75 0.375 0.20 0.80 N  0.625 . Ta nhân tiếp vector hàng [0.375 0.625] với ma trận P , ta sẽ thu được tỷ lệ số người (hút thuốc/ không hút thuốc) sau 2 năm là ! 0.90 0.10 [0.375 0.625] = [0.4625 0.5375]. 0.20 0.80 và sau 3 năm là [0.4625 ! 0.90 0.10 0.5375] = [0.52375 0.20 0.80 0.47625]. Quy trình này có thể thực hiện cho các năm tiếp theo, sau 4 năm, 5 năm, . . . . Tiếp theo, ta xét một ví dụ sau có nhiều hơn hai trạng thái. 6 Ví dụ 1.1.3. Vào cuối mỗi năm tài chính, chương trình cho sinh viên vay tập hợp thông tin về tình hình thanh toán các khoản vay. Các khoản vay được chia thành ba loại: thanh toán trong vòng 15 ngày (nhãn 0 -15); thanh toán từ 16 đến 90 ngày (có nhãn 16 -90); và thanh toán trên 90 ngày (có nhãn 90+). Một nghiên cứu cho ta thấy ma trận chuyển sau đây, là ma trận biểu diễn tỷ lệ sinh viên thay đổi từ loại hình thanh toán này sang loại hình thanh toán khác: 0 − 15 16 − 90 90+   0 − 15 0.86 0.08 0.06   16 − 90 0.62 0.29 0.09 . 90+ 0.17 0.37 0.46 Giả sử rằng trong năm nay, tỉ lệ phần trăm số sinh viên ở mỗi loại là 0-15: 80%; 16-90 : 11%; và 90+ : 9%. a) Tìm tỉ lệ phần trăm số sinh viên ở mỗi loại trong năm tiếp theo; b) Tìm tỉ lệ phần trăm số sinh viên ở mỗi loại sau đó 3 năm. Giải. Tỉ lệ phần trăm số sinh viên ở mỗi loại trong năm đầu tiên được biểu diễn qua vector dòng [0.80 0.11 0.09]. a) Tỉ lệ phần trăm số sinh viên ở mỗi loại trong năm tiếp theo là   0.86 0.08 0.06   [0.80 0.11 0.09] 0.62 0.29 0.09 = [0.772 0.129 0.099] 0.17 0.37 0.46 Như vậy, có 77.2% số sinh viên thuộc loại 0−15, 12% thuộc loại 16−90 và 9.9% thuộc loại 90 + . b) Sau 3 năm, tỉ lệ phần trăm số sinh viên ở mỗi loại là  3 0.86 0.08 0.06   [0.80 0.11 0.09] 0.62 0.29 0.09 = [0.755 0.139 0.106]. 0.17 0.37 0.46 Như vậy sau 3 năm, có 75.5% số sinh viên thuộc loại 0-15, 13.9% thuộc loại 16-90, và 10.6% thuộc loại 90+. 7 1.2. Định nghĩa và các tính chất của xích Markov Ta đi đến định nghĩa xích Markov sau đây. Định nghĩa 1.2.1. (Xích Markov) Một xích Markov là một dãy các phép thử có các tính chất sau đây: 1. Một phép thử có một số hữu hạn các kết quả rời rạc, được gọi là các trạng thái. 2. Sau khi thực hiện phép thử, kết quả sẽ rơi vào một trong các trạng thái đó. 3. Nếu thực hiện phép thử kế tiếp, kết quả có thể chuyển từ trạng thái hiện tại tới bất kì một trạng thái nào khác, hoặc vẫn ở nguyên trạng thái đó. 4. Xác suất chuyển từ một trạng thái này sang một trạng thái khác ở mỗi phép thử chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại và không phụ thuộc vào quá khứ. 5. Xác suất chuyển từ một trạng thái này sang một trạng thái khác ở mỗi phép thử được thể hiện như sau trong ma trận chuyển: phần tử pij của ma trận chuyển biểu diễn xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j ở mỗi phép thử. Giả sử P = [pij ] là ma trận chuyển cấp m × m của một xích Markov được cho như sau   p11 p12 . . . p1m    p21 p22 . . . p2m   P = ... ... ... ... .   pm1 pm2 . . . pmm Khi đó các phần tử pj thỏa mãn các tính chất sau 8 (a) Phần tử pij của ma trận chuyển biểu diễn xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j ở mỗi phép thử, (b) pij nằm trong đoạn [0, 1]; (c) Tổng của các phần tử pij trên mỗi hàng là 1. 1.3. Trạng thái dừng Ta thấy rằng xích Markov cho phép ta xác định vector trạng thái cho một dãy các phép thử. Cụ thể, để tính được vector trạng thái bước tiếp theo, ta chỉ cần lấy vector trạng thái hiện tại nhân với ma trận chuyển. Bằng cách nhân liên tiếp với ma trận chuyển, ta có thể xác định được vector trạng thái sau một thời gian dài. Liệu rằng các vector trạng thái tiến tới một trạng thái dừng hay trạng thái cân bằng nào đó hay không? Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.3.1. Giả sử ma trận chuyển của một xích Markov được cho bởi ! 0.6 0.4 P = 0.1 0.9 và một vector trạng thái ban đầu là [0.50 0.50]. Nếu ta tính toán một dãy các vector trạng thái với các bước tiếp sau, ta sẽ thu được bảng sau: Như vậy, ta có thể nhận thấy rằng từ bảng trên, vector trạng thái sẽ tiến tới [0.20 0.80] khi dãy phép thử tăng lên. Thực tế, trong trường hợp này vector trạng thái [0.20 0.80] có tính chất thú vị. Ta hãy tính bước tiếp theo nếu giả sử rằng vector trạng thái ban đầu là [0.20 0.80]. ! 0.6 0.4 [0.20 0.80] = [(0.20)(0.6) + (0.80)(0.1) (0.20)(0.4) + (0.80)(0.9)] 0.1 0.9 = [0.12 + 0.08 = [0.20 0.08 + 0.72] 0.80]. Do đó ta có thể kết luận được rằng khi vector trạng thái đạt đến [0.20 0.80] thì quá trình sẽ đạt đến một trạng thái dừng hay trạng thái cân bằng. Từ đó ta có định nghĩa sau về trạng thái cân bằng 9 Bước Vector trạng thái 0 [0.50 0.50] 1 [0.35 0.65] 2 [0.275 3 = [0.50 0.50]P 0.725] = [0.35 0.65]P = [0.50 [0.238 0.762] =[0.275 0.725]P =[0.50 0.50]P 3 4 [0.219 0.781] =[0.238 0.762]P =[0.50 0.50]P 4 5 [0.209 0.791] =[0.219 0.781]P =[0.50 0.50]P 5 6 [0.204 0.796] =[0.209 0.791]P =[0.50 0.50]P 6 7 [0.202 0.798] =[0.204 0.796]P =[0.50 0.50]P 7 8 [0.201 0.799] =[0.202 0.798]P =[0.50 0.50]P 8 0.50]P 2 Định nghĩa 1.3.1. Vector trạng thái a = [a1 a2 · · · an ] được gọi là một trạng thái dừng hoặc trạng thái cân bằng đối với xích Markov có ma trận chuyển là P nếu aP = a. Ví dụ 1.3.2. Ta xét ví dụ về bài toán cai nghiện thuốc lá. Ta thấy trạng thái dừng là [ 32 13 ] vì !       0.90 0.10 2 1 1.8 0.2 0.2 0.8 2 1 = = . + + 3 3 3 3 3 3 3 3 0.20 0.80 Điều này chỉ ra rằng, mặc dù kết quả sau năm đầu tiên của chương trình cai nghiện là có 25% số người hút thuốc và 75% số người không hút thuốc, nhưng theo thời gian thì chương trình cai thuốc lá sẽ đạt tới trạng thái ổn định là có 2 1 số người hút thuốc và số người không hút thuốc. 3 3 1.4. Cách tính trạng thái dừng Trong mục này ta chỉ ra cách tìm trạng thái dừng, chẳng hạn với Ví dụ 1.3.2. Ta giả sử X = [x y] là trạng thái dừng của xích Markov, khi đó theo định 10 nghĩa [x ! 0.90 0.10 y] = [x 0.20 0.80 y]. Hệ tương đương với  −0.10x + 0.20y 0.10x − 0.20y Mặt khác, do x + y = 1, ta có  −0.10x + 0.20y x + y =0 = 0. =0 = 1. 2 1 Giải hệ này ta có x = , y = . Vậy ma trận trạng thái dừng là 3 3   2 1 . 3 3 Ví dụ 1.4.1. Tìm trạng thái dừng của xích Markov với ma trận chuyển   0.3 0.2 0.5   P = 0.1 0.4 0.5 . 0.4 0 0.6 Tương tự như trên, ta xét phương trình   0.3 0.2 0.5   [x y z] 0.1 0.4 0.5 = [x 0.4 0 0.6 và do điều kiện x + y + z = 1. Ta thu được hệ    0.5x + 0.5y − 0.4z     0.2x − 0.6y   −0.7x + 0.1y + 0.4z     x + y + z 11 y =0 =0 =0 = 1. z] Giải hệ này ta thu được 3 1 5 x = ;y = ;z = 9 9 9 và do đó trạng thái dừng là  3 9 1 9  5 . 9 Ví dụ 1.4.2. Một nhà xã hội học đã nghiên cứu sự dịch chuyển dân số giữa nông thôn và thành thị trong một vùng. Ma trận chuyển của sự thay đổi hàng năm từ vùng này sang vùng khác là P = N T N 0.76 0.24 T 0.08 0.92 ! Điều này chỉ ra rằng 76% cư dân nông thôn vẫn ở lại khu vực nông thôn, 24% di chuyển từ nông thôn ra thành thị, 8% dân cư đô thị chuyển về nông thôn, và 92% dân cư đô thị vẫn tiếp tục ở lại trong đô thị. Tìm tỷ lệ phần trăm dân số ở khu vực nông thôn và thành thị tại trạng thái cân bằng khi sự di chuyển đã ổn định. Giải. Giả sử [x y] là trạng thái dừng của quá trình dịch chuyển dân số, với x là tỉ lệ người sống ở nông thôn và y là tỉ lệ người sống ở thành thị. Để tìm được trạng thái dừng ta giải hệ ! 0.76 0.24 [x y] = [x y]. 0.08 0.92 Kết hợp hệ này với điều kiện x + y = 1 ta có    x+y =1   −0.24x + 0.08y    0.24x − 0.08y =0 = 0. Giải hệ này ta có x = 0.25 và y = 0.75. Vậy trạng thái dừng là [0.25 0.75], và điều này chỉ ra rằng dân số sẽ ổn định là 25% sống ở nông thôn và 75% sống ở thành thị. 12 Để một xích Markov luôn đạt được một trạng thái dừng thì ma trận chuyển phải có tính chất chính quy theo nghĩa sau: Định nghĩa 1.4.1. Ma trận chuyển P được gọi là chính quy nếu tồn tại n ∈ N∗ sao cho P n chỉ có các phần tử là dương. Tính chất chính quy của ma trận chuyển rất hữu ích vì nó cho ta biết một xích Markov sẽ luôn có một trạng thái dừng. Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau. Ví dụ 1.4.3. Ma trận ! 0.3 0.7 0.25 0.75 P = là chính quy vì P 1 = P có tất cả các phần tử đều dương. Ma trận ! 0 1 0.6 0.4 P = cũng chính quy vì ta thấy P2 = 0 1 0.6 0.4 ! 0 1 ! 0.6 0.4 = 0.6 0.4 ! 0.24 0.76 có các phần tử đều dương. Cách tìm trạng thái dừng được thể hiện qua ví dụ sau. Ví dụ 1.4.4. Tìm trạng thái dừng của ma trận chuyển sau   0 0.5 0.5   P = 0.5 0.5 0  . 0.5 0 0.5 Trước hết P là ma trận chính quy, vì      0 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25      P 2 = 0.5 0.5 0  0.5 0.5 0  = 0.25 0.5 0.25 0.5 0 0.5 0.5 0 0.5 0.25 0.25 0.5 13 có các phần tử đều dương. Để tìm trạng thái dừng ta giải phương trình   0 0.5 0.5   [x y z] 0.5 0.5 0  = [x y z], 0.5 0 0.5 với x + y + z = 1. Ta thu được hệ sau       −x + 0.5y + 0.5z 0.5y + 0.5z = x         0.5x − 0.5y 0.5x + 0.5y = y ⇐⇒     0.5x − 0.5z 0.5x + 0.5z = z         x + y + z x + y + z =1 =0 =0 , =0 =1 giải hệ này ta thu được nghiệm Vậy trạng thái dừng là 1 3 1 1 1 x = ;y = ;z = . 3 3 3  1 1 3 3 . Công thức tính trạng thái dừng Ngoài cách tính trạng thái dừng như ở trên ta có cách tính khác của trạng thái dừng như sau: a = 1t (I − P + Q)−1 trong đó 1t = (1, 1, . . . , 1)t , và I là ma trận đơn vị và   1 ··· 1   Q =  ... . . . ...  . 1 ··· 1 14 (1.4.1) Chương 2 Hệ thống Bonus-Malus trong tính phí bảo hiểm ô tô 2.1. Giới thiệu về lịch sử ra đời hệ thống Bonus-Malus ở Bỉ Bonus-Malus là từ trong tiếng Latin, có nghĩa là thưởng-phạt. Lịch sử ra đời của hệ thống Bonus-Malus trong tính phí bảo hiểm ô tô ở Bỉ được tóm tắt như sau: a) Trước năm 1971 Năm 1956, ở Bỉ đã quy định việc bắt buộc phải tham gia bảo hiểm ô tô. Ban đầu, các khoản phí bảo hiểm được tính dựa trên một số đặc trưng của xe như động cơ, mã lực, tính chất thể thao của xe, . . . Các lái xe trẻ tuổi sẽ có thể có được giảm phí khi mua bảo hiểm. Tới năm 1961, một công ty bảo hiểm hạng trung đã có sáng kiến táo bạo khi giới thiệu một cách tính phí bảo hiểm mới. Công ty sẽ giảm phí (tức là thưởng) đối với người có ít hoặc không có yêu cầu bồi thường và tăng phí (tức là phạt) đối với người có nhiều yêu cầu bồi thường. Người mua bảo hiểm có thể được lựa chọn giữa hai cách tính phí: cách tính cũ (là như nhau đối với mọi người mua, không dựa trên lịch sử lái xe của họ), và cách tính mới dựa trên một hệ thống thưởng-phạt. Nhờ phương thức kinh doanh mới lạ này mà công ty này đã tăng gấp đôi thị phần bảo hiểm ô tô ở Bỉ trong năm năm, từ 2% đến gần 5%. Mặc dù phí bảo hiểm ban đầu để tham gia vào hệ thống thưởng-phạt cao hơn khoảng 20% so hệ thống tính phí cũ, nhưng nhiều khách hàng sẵn sàng chấp nhận chi phí này để tham gia vào hệ thống tính phí mới. Bởi vì theo thời gian, nếu khách hàng có ít yêu cầu bồi thường thì số phí bảo hiểm khách hàng phải đóng cho các năm sau sẽ giảm dần, và do đó khách 15