Hệ thống bài tập bồi dưỡng hsg toán 6

  • Số trang: 20 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 72 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

HỆ THỐNG BÀI TẬP BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 6 I)Tập hợp số tự nhiên N =  0;1;2;3; 4;5;6... ; 0 là số tự nhiên nhỏ nhất ;không có số tự nhiên lớn nhất * a�N ; a được biểu diễn theo hệ số thập phân như sau: a = an an 1........a4 a3a2 a1a0  an .10 n  an1 .10 n 1  .........  a4 .10 4  a3 .103  a2 .10 2  a1.101  a0 .100 Ví dụ : 254687 = 2.105+ 5. 104+ 4. 103+ 6. 102+ 8. 101 + 7. 100 II) Bài tập về các phép tính cộng ,trừ ,nhân, chia số tự nhiên Bài tập 1:Tìm một số tự nhiên có 5 chữ số .Biết rằng khi thêm chữ số 2 vào bên phải số tự nhiên đó ta được một số tự nhiên lớn gấp ba lần số tự nhiên có được bằng cách thêm chữ số 2 vào bên trái số tự nhiên ban đầu Hướng dẫn: Gọi số cần tìm có dạng abc de và hai số mới tạo ra là : abcde2 và 2abcde Ta có : 2abcde nên e.3 � 3 abcde2 = 2 thì e = 4 và   1 d.3+1 = 4 thì d = 1 và   0 c.3 = 1 thì c = 7 và   2 b.3 +2 = 7 thì b = 5 và   1 a.3 +1 = 5 thì a = 8 và   2 vậy số cần tìm là: abc de = 85714 Bài tập 2:Tìm một số tự nhiên có 5 chữ số .Biết rằng khi thêm một chữ số vào bên phải số tự nhiên đó ta được một số tự nhiên lớn gấp ba lần số tự nhiên có được bằng cách thêm chữ số đó vào bên trái số tự nhiên ban đầu Hướng dẫn: Gọi số cần tìm có dạng x = abc de và hai số mới tạo ra là : xy và yx với y là chữ số mới thêm vào Ta có xy = 3. yx hay 10x + y = 3.( 100000 y + x) � 7x = 299999y � x = 42857y Do x là số có 5 chữ số thì y chỉ là số 1 hoặc số 2 nếu y �3 thì x là số có sáu chữ số không đúng theo đề bài đã cho . vậy với y = 1 thì ta có x = 45782 hoặc y = 2 thì x = 85714 . Bài tập 3:Tìm một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 3 .nếu bỏ chữ số hàng đơn vị thì được một số mới nhỏ hơn chữ số cần tìm 1992 đơn vị . Hướng dẫn: gọi số cần tìm là x thì x 3 x 3 là số mới nên ta có :x – = 1992 biến đổi 10 10 dẳng thức nầy ta được : 9x = 19920-3 hay x = 19917  2213 . 9 Bài tập 4: Tìm một số tự nhiên a .Biết rằng khi chia a cho 54 thì có số dư là 38 nhưng khi chia a cho 18 thì được thương là 14 và còn số dư . Hướng dẫn: Do chia a cho 54 có số dư là 38 nên ta có : a = 54.x + 38= 18.3x +18.2 + 2 = 18(3x + 2) +2 Hay a = 18(3x+2) + 2 (*) và theo phép chia a cho 18 có thương là 14 và còn số dư r nên ta có : a = 18. 14 +r (**) So sánh (*) và (**) ta có r = 2 và a = 18. 14 + 2 = 254 Bài tập 5: tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng gấp 5 lần hiệu của chúng và tích của n 6 4 4 4 4 4Soá7lôù4 4 4 4 48 1 4 2 43 1 4 44 2 4 4 43 hieäu=a chúng gấp 24 lần hiệu của chúng Hướng dẫn: ta có thể dùng sơ đồ sau: Gọi hiệu của hai số là a ta có tổng của hai số là 5a và tích là 24a Soá nhoû Theo sơ đồ ta có tổng cọng thêm hiệu bằng hai số lớn:5a+a = 6a Theo sơ đồ ta có tổng trừ đi hiệu bằng hai số nhỏ : 5a - a = 4a Vậy số lớn bằng :3a và số nhỏ bằng 2a Và : số lớn �số nhỏ = 24a � số lớn = 24a 24a  12 = soá nhoû 2a Và số nhỏ = 24a 24a  8 soá lôùn 3a Bài tập 6: tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng là 6210 nếu giảm một số đi 7 đơn vị thì tích mới của chúng bằng 5265 Hướng dẫn: Gọi hai số cần tìm là a và b .Ta có a.b = 6210 nếu bớt đi một trong hai số 7 đơn vị thì tích mới là 5265 đã giảm đi 7 lần số còn lại .nên hiệu 6210 – 5265 = 945 bằng 7 lần một trong hai số a hoặc b Nếu a = 945 6210 945 6210  135 thì b =  46 Nếu b =  135 thì a =  46 7 135 7 135 12 3 �999...9 123 Bài tập 7: Hãy tìm kết quả của phép nhân 333..3 50 chöõ soá 50 chöõ soá 12 3 �999...9 1 2 3 = 333..3 12 3 �(100...00 14 2 43  1) = 333..3000...0 123 1 2 3  333...3 123 Hướng dẫn:Ta có A = 333..3 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 333..32 12 3 666...6 123 7 Thực hiện phép trừ ta có kết quả49Achöõ=soá 49 chöõ soá 1 2 3 �333...3 123 Bài tập 8: Hãy tìm kết quả của phép nhân 333...3 50 chöõ soá 50 chöõ soá 1 2 3 �333...3 123 Hướng dẫn:Ta có B = 333...3 50 chöõ soá 50 chöõ soá  111...1 1 2 3 �3 �333...3 1 2 3  111...1 1 2 3 �999...9 1 2 3  111...1 1 2 3 �(1000...0 1 2 3  1)  111...1000...0 1 2 3 1 2 3  111...1 123 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 50 chöõ soá 123 12 3 Thực hiện phép trừ ta có kết quả B = 111...10888...89 49 chöõ soá 49 chöõ soá Bài tập 9: Hãy chứng minh C = 111222 và D = 444222 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp Hướng dẫn:Ta có C = 111222 = 111000 + 111.2 = 111.1000 = 111.2 = 111.(1000 +2) = 111.1002 = 111.3.334 C = 333.334 Và là tích của hai số tự nhiên liên tiếp D = 444222 = 444000 +111.2 = 111(4000+2 ) =111.4002 = 111.6.667 = 666.6677 D = 666.6677 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp . III) Bài tập về các phép chia có dư: Bài tập 10: Tìm hai số tự nhiên biết rằng chia hai số đó cho nhau được thương bằng 6 và số dư bằng 49 và tổng của ba số bị chia ,số chia và số dư bằng 595. Số Hướng dẫn: số chia : b dư Số bị chia : a Theo đề bài ta có : a + b + 49 = 595 .Theo sơ đồ ta có : a = 6b + 49 hay 6b + 49 + a + 49 = 595 Hay :7b + 98 = 595 � 7b = 497 � b = 497 = 71 và a = 6.71+49 = 475 7 Số bị chia là :475 và số chia là :71 Bài tập 11:một phép chia có thương là 4 ,số dư là 25 ,tổng của ba số bị chia ,số chia và số dư bằng 210 .Tìm số bị chia và số chia đó. Hướng dẫn: tương tự bài tập 10(ĐS: 153 và 32 ) Bài tập 12: Tìm thương của một phép chia ,biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm 5 vào số chia thì thương và số dư vẫn không đổi . Hướng dẫn:Gọi a là số bị chia ,b là số chia , q là thương và r là số dư Ta có : a Và = b.q + r (1) : a+15 = (b + 5).q + r (2) . � a + 15 = b.q +5.q +r � a = (b.q + r) + 5.q - 15 � a = a + 5.q – 15 Hay : 5q = 15 vậy q = 5 Bài tập 13: Tìm thương của một phép chia ,biết rằng nếu thêm 73 vào số bị chia và thêm 4 vào số chia thì thương vẫn không đổi nhưng số dư tăng 5 đơn vị. Hướng dẫn:Gọi a là số bị chia ,b là số chia , q là thương và r là số dư Ta có : a Và = b.q + r (1) : a+73 = (b + 4).q + r +5 (2) a + 73 = b.q +4.q +r +5 � a = (b.q + r) + 4.q – 73+5 � a = a + 4.q – 68 Hay : 4q = 68 vậy q = 17 IV) Bài tập về phép toán lũy thừa và phối hợp các phép toán : Bài tập 14: Chứng minh 4 + 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 220 = 221 Hướng dẫn Đặt A = 4 + 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 220 � 2A = 8+ 23 + 24 + 25 + . . . + 220 + 221 Nên 2A = 8+ 23 + 24 + 25 + . . . + 220 + 221 -A = 4 + 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 220 A = 221 723 �542 =8 1084 Bài tập 15: Chứng minh 723 �542 (9.8)3 .54 2 93.83.542 36.2 9 723 �542   2  6 6  23  8 Hướng dẫn B.đổi V.T.= = 4 4 2 4 4 108 (54.2) 54 .(27.2) .2 3 .2 108 nên đ. thức đã cm Bài tập 16 : Tính giá trị của biểu thức : a) A  210.13  210.65 28.104 Hướng dẫn b) B  (1  2  3  ...100).(12  22  32  ...1002 ).(65.111  13.15.37) 210.13  210.65 210 (13  65) 210.2.39 211.39 A    11 3 28.104 28.23.13 211 2 .13 B  (1  2  3  ...100).(12  22  32  ...1002 ).(65.111  13.15.37) Ta có: 65.111-13 . 15.37= 0 Bài tập 17 :Tìm x biét rằng : a) d) e) 2x .4 = 128 b) x15 = x ; c) (2x +1)3 = 125 ; (x -5 )4 = (x -5 )6 A = 3+32+33 . . . +399 +3100 Hướng dẫn a) d) ; 2x .4 = 128 và 2A + 3 = 3x b) x15 = x c) (2x +1)3 = 125 (x -5 )4 = (x -5 ) 04 2x = 32 015 = 0 2x = 53 ( �1)15 = � 1 x = 3 x = 0 hoặc x = � 1 (2x + 1)3= 53 = 0 ( �1)4 2x + 1 = 5 = �1 x =2 x -5 = 0 hoặc x -5 = �1 x =5 ; x = 6 hoặc x = 4 e) (1) A = 3+32+33 . . . +399 +3100 Nên 3A = 32+33 . . . +399 +3100+3101 2A = 3A –A = 3101 - 3 Mặc khác 2A + 3 = 3x � 2A = 3x - 3 (2) Từ (1) và (2) ta có : x = 101 Bài tập 18: tìm số tự nhiên có ba chữ số .Biết rằng bình phương của chữ số hàng chục bằng tích của hai chữ số kia và số tự nhiên đó trừ đi số gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại bằng 495. Hướng dẫn Gọi số cần tìm là abc = 102a+10b + c ; số viết ngược lại là cba = 102c+10b +a Theo đề bài ta có : b2 = a.c và 102a+10b + c - 102c+10b + a = 495 hay 100 (a-c ) - ( a – c) = 495 99 (a-c) 495 a-c = 5 hay a = c + 5 .Do 0 �a �9 nên 0 �c �4 * Với c = 0 � a = 5 và b2 = 5.0 = 0 � b = 0 nên số cần tìm là : abc = 500 * Với c = 1 � a = 6 và b2 = a.c = 6 � không tìm được chữ số b * Với c = 2 � a = 7 và b2 = a.c = 14 � không tìm được chữ số b * Với c = 3 � a = 8 và b2 = a.c = 24 � không tìm được chữ số b * Với c = 4 � a = 9 và b2 = a.c = 36 � b = 6 nên số cần tìm là : abc = 964 Bài tập 19:Không thực hiện phép nhân hãy so sánh các tích sau: a) A = 1998.1998 và B = 1996.2000 b) C = 2000.2000 và D = 1990.2010 c) E = 25.33 -10 và d) G = 32.53 – 31 và H = 53.31 + 32 Hướng dẫn a) Ta có : A = 1998.1998 = (1996+2) .1998 = 1996 .1998+2.(1996+2) = 1996 .1998+2.1996+4 Và B = 1996.2000 = 1996.(1998+2) = 1996.1998+2.1996 Vậy A > B và A – B = 4 b) Ta có : C = 2000.2000 = (1990+10).2000 = 1990. 2000 + 10.2000 = 1990. 2000 + 10.1990+100 Và D = 1990.2010 = 1990.(2000 +10) = 1990. 2000 + 10.1990 Vậy C > D và C – D = 100 c) Ta có : E = 25.33 -10 = 33.(26-1) - 10 = 33.26 - 43 Và F = 31.26+10 = (33-2).26 + 10 = 33.26-42 vậy F > E và F – E = 1 d)Ta có :G = 32.53–31= (31+1).53 – 31 = 53.31+22 Và H = 53.31 + 32 nên H > G và H – G = 10 Bài tập 20: Chứng minh: 37.13-13 chia hết cho 24+37.12 Hướng dẫn Ta có : Vây 37.13-13 = 37.(12+1) -13 = 37.12 +37 -13 = 37.12 +24 37.13-13 24+37.12   1 chứng tỏ 37.13-13 chia hết cho 24+37.12 24+37.12 : 24+37.12 Bài tập 21: Tính A = 101  100  99  ...  3  2  1 101  100  99  ...  3  2  1 Hướng dẫn Ta có :A = ; B= 3737.43  4343.37 2  4  6  8  ...  100 101  100  99  ...  3  2  1 101  100  99  ...  3  2  1 101(101  1) 101  100  99  ...  3  2  1 101.51 101.51 2     101 A= 101  100  99  ...  3  2  1 (101  100)  (99  98)  ...(3  2)  1 1144 1 2 1 4...4 51 31 51chöõ soá1 Và B = 3737.43  4343.37 101.37.43  101.43.37 0   0 2  4  6  8  ...  100 2  4  6  8  ...  100 2  4  6  8  ...  100 Bài tập 22 :Vận dụng tính chất của các phép tính hãy tìm kết quả một cách hợp lí a) 1990.1990-1992.1998 b) (1374.57+687.86): (26.13+74.14) c) (124.327+52) : (870+235.122) d) 423134.846267  423133 846267.423133  423134 Hướng dẫn a) 1990.1990 1992 .1998 = (1992– 2 ).(1988+2) – 1992 .1998= 1992 .1988+2.1992 – 2.1988 – 4 – 1992 .1998 = 2.1992 –2.1988 – 4 = 2 (1992 – 1988 – 2) = 2.2 = 4 b) (1374.57 + 687.86): (26.13+ 74.14) = 1374.57 + 687.86 1374.57 + 1374.43 = = 26.13+74.14 26.13+74.14 1374(57  43) 26.13  74.(13  1)  = 137400 137400  26.13  74.13  74 13(26  74)  74 = 137400 1300  74 137400 = 100 1374 c) (124. 237+152) : (870+235.122) = 124.237+152 (122  2).(235  2)  152 122.235  244  470  4  152   870+235.122 870+235.122 870+235.122 = d) 122.235  870 1 122.235  870 423134.846267  423133 (423133  1)846267  423133 846267.423133  846267  423133   846267.423133  423134 846267.423133  423134 846267.423133  423134 = 846267.423133  423134 846267.423133  423134 =1 Bài tập 23 : Tìm số tự nhiên a : a) 697: 15a  364 = 17 a b) 92.4 –27 = a  350  315 a 41   2a  5 � c) 720 : � � � 2 .5 3 d) (a+1)+ (a+2)+ (a+3)+ … +(a+100) = 5750 Hướng dẫn 15a  364 15a  364 697 364 364 364 � 15   14 = 17 � = = 41 � = 41-15 � a  a a 17 a a 26 a) 697: b) 92.4 –27 = a  350 a  350 350 350  315 �  92.4  27  315 �  25 � a   14 a a a 25 28 3 41   2a  5 �  14 c) 720 : � � � 2 .5 � 720 :40 = 46 - 2a � 2a = 46 - 18 � a = 2 d) (a+1)+ (a+2)+ (a+3)+ … +(a+100) = 5750 � 100a+ �a = 700 7 100 101.100 =5750 � 100a = 5750-5050 2 V.Bài tập về tính chất chia hết của số tự nhiên: Kiến thức cơ bản: Gọi A = an an  ...a3a2 a1a0 T a có: AM 2 � a0M2 AM 4 � a1a0 M4 AM25 � a1a0 M25 AM 8 � a2a1a0 M8 AM 3 � an  an1  ...  a3  a2  a1  a0 M3 AM 9 � an  an 1  ...  a3  a2  a1  a0 M9 �an  an 1  ...  a3  a2  a1  a0 M 11 AM11 � � 11 � �an  an 1  ...  a3  a2  a1  a0 M (neáu n chaún)  neáu n leû  �A Mm � � A Mm.n �A Mn �m,n  1   � A �Bmod  m  � (A  B) �0 mod  m  Bài tập 24 : Cho n là một số tự nhiên chứng minh rằng : a) (n+10) (n+15) chia hết cho 2 b) n(n+1) (n+2) chia hết cho 2,3,6 c) n(n+1) (2n+1) chia hết cho 2,3 Hướng dẫn a) Nếu n = 2k . Thì (n+10) (n+15) = ( 2k+10) (2k+15) = 2(k + 5) (2k+15) chia hết cho 2 Nếu n = 2k + 1. Thì (n+10) (n+15) = ( 2k+1+10) (2k+1+15) = (2k + 11) .2 (k+8) chia hết cho 2 b) Ta có n chia3 có số dư r lần lượt là 0;1;2. Nếu r = 0 thì n = 3k .Nên n(n+1) (n+2) = 3k (3k + 1) (3k+2) chia hết cho 3 Nếu r = 1 thì n = 3k+1 .Nên n(n+1) (n+2) = (3k + 1) (3k+2) (3k+3) = 3(3k + 1) (3k+2) (k+1) chia hết cho 3 Nếu r = 2 thì n = 3k+2 .Nên n(n+1) (n+2) = (3k + 2) (3k+3) (3k+4) = 3(3k + 2) (k+1) (3k+4) chia hết cho 3 Vậy n(n+1) (n+2) chia hết cho 3 Và n(n+1) (n+2) là ba số liên tiếp nên trong đó có ít nhất một thừa số chẳn, vậy n(n+1) (n+2) chia hết cho 2. Nhưng (2;3) = 1. Vậy n(n+1) (n+2) chia hết cho 6 c) Ta có n chia3 có số dư r lần lượt là 0;1;2 Nếu r = 0 thì n = 3k . Nên: n(n+1) (2n+1) = 3k(3k+1) (6k+1) chia hết cho 3 Nếu r = 1 thì n = 3k+1 . Nên: n(n+1) (2n+1) = (3k+1) (3k+2) (6k+3) = 3(3k+1) (3k+2) (2k+1) chia hết cho 3 Nếu r = 2 thì n = 3k+2 . Nên: n(n+1) (2n+1) = (3k+2) (3k+3) (6k+5) = 3(3k+2) (k+1) (6k+5) chia hết cho 3 Vậy n(n+1) (2n+1) chia hết cho 3 Mặc khác n(n+1) chia hết cho 2 nên n(n+1) (2n+1) chia hết cho 3 Bài tập 25 : Cho A = 1119+1118+1117 . . . +115+114 +113+112 +11+1 .Chứng minh A chia hết cho 5 Do 11n có chữ số tận cùng là 1nên tổng A có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5 Bài tập 26 : Chứng minh rằng : a) A= 1018 +8 chia hết cho 72 b) B= 88 + 2020 chia hết cho 17 c) C= 2 +22+23+24+25+26+. . . +260 chia hết cho 3 , 7 và 15 d) D= 3 +33+35+37+. . . +31991chia hết cho 13 và 41 Hướng dẫn 0 6 184chöõ 7 soá48 17 chöõ soá 0 64 7 48 a) A = 1018 +8 = 100...00000  8  100...00008 chia hết cho 9 vì tổng các chữ số bằng 9 và chia hết cho 8vì ba chữ số tận cùng là ….008 chia hết cho 9 và (9;8) = 1 .Nên 1028 +8 M 72 , vậy AM72 b) B = 88 + 2020 = (23)8 +2020 = 224 + 2020 = 2020(24 +1) = 2020 .17 M17 ,vậy B M17 c) C = 2 +22+23+24+25+26+. . . +260 = 2(1+2)+ 23(1+2)+25(1+2)+27(1+2)+. . . +257(1+2)+259(1+2) = 3(2 + 23 +25 +27+. . . +257+259) . Vậy C M3 C = 2 +22+23+24+25+26+. . . +260 = 2(1+2+22)+ 24(1+2+22)+27(1+2+22)+. . . +255(1+2+22)+258(1+2+22) C= 7(2+24 +27+210 +. . .+252+255+258) M7 C= 2(1+2+22+23)+25(1+2+22+23)+29(1+2+22+23)+. . . Vậy C M7 +253(1+2+22+23)+257(1+2+22+23) = 15(2 +25 + 29 + . . . + 253 + 257) M15 Vậy C M15 d) D = 3 +33+35+37+. . . +31991 = 3(1 +32+34)+37(1 +32+34)+313(1 +32+34)+. . . +31987(1+32+34) = (1+32+34)m= 91m= 13.7m Vậy D M13 D = 3 +33+35+37+. . . +31991 = 3(1 +32+34+36)+39(1 +32+34+36)+317(1 +32+34+35)+. . . +31985(1+32+34+36) = (1+32+34+36) n= 820n= 41.20n Bài tập 27: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho : a) (2x +1) (y–3) = 10 b) (3x –2) (2y–3) = 1 c) (x +1) (2y–1) d) x+6 = y(x–1) = 12 Vậy D M41 e) x–3 = y(x+2) Hướng dẫn Do x,y�N a) (2x +1) (y–3) 10 10 = 10 � (2x +1) = y  3 .Do (2x +1) �N � y  3 �N � y –3 là ước tự nhiên của 10 * y –3 = 10 � y = 13 nên x = 0 1 �N (loại) 2 * y –3 = 5 � y = 8 nên x = * y –3 = 2 � y = 5 nên x = 2 * y –3 = 1 � y = 4 nên x = 9 �N (loại) vậy x = 0 , y = 13 hoặc x = 2 , y = 5 là 2 các cặp số cần tìm 3x  2  1 � x 1 � �� 2y  3  1 � y2 � b) (3x –2) (2y–3) = 1 � nên � 12 x = 1 , y = 2 là các số cần tìm 12 c) (x +1) (2y –1) = 12 � (x + 1) = 2y  1 .Do (x +1) �N � 2y  1 �N � 2y–1là ước tự nhiên lẽ của 12 * 2y –1 = 1 � y = 1 nên x = 11 * 2y –1 = 3 � y = 2 nên x = 3 vậy x = 11 , y = 1 hoặc x = 3 , y = 2 là các cặp số cần tìm d) x+6 = y(x–1) � (x+6) M (x–1) � (x–1+7) M (x–1) � 7 M (x–1) x 1  7 � x 8�y 2 � � (x–1) = � �� vậy x = 8, y = 2 hoặc x = 2 , y = 8 là các x 1  1 x2�y8 � � cặp số cần tìm e) x–3 = y(x+2) � (x–3) M(x+2) � (x+2–5) M(x+2) � 5 M(x+2) � x+2 là ước tự nhiên của 5 * x+2 = 5 * x+2 = 1 � x=3 � y=0 � x = -1 �N số cần tìm Bài tập 28: Tìm các số tự nhiên n sao cho: vậy x = 3, y = 0 là cặp a) n2 + 4 chia hết cho n+ 2 b) 13n chia hết cho n–1 c) 1+2+3+4+. . . n = 820 Hướng dẫn n2 8 � n6 � � � n2 1 n  1(loaïi) �� a) n2 +4 Mn+2 � (n-2) (n+2)+8 Mn+2 � 8 Mn+2 � � � n2  4 � n2 � � n2  2 � n0 � n 1  1 n2 � � �� n  1  13 � n  14 � b) 13n M n–1 � 13n– 13+13M n–1 � 13M n–1 � � c) 1+2+3+4+. . . n = 820 ta có 1+2+3+4+. . . n  n(n  1) n(n  1)  820 hay nên 2 2 n(n+1) = 1640 Hay n(n+1) = 23.5.41= 40.41 vậy n = 40 Bài tập 29: Hướng dẫn Ta có 398 chia cho a dư 38 nên 398- 38= 360 Ma và a > 38 Và 450 chia cho a dư 18 nên 450- 18= 432 Ma vậy a là ước chung của 360 và 432 và a > 38 Vậy a = 72 Bài tập 30: Tìm các số tự nhiên a biết rằng 350 chia cho a dư 14 còn 320 chia cho a thì dư 26 Hướng dẫn Ta có 350 chia cho a dư 14 nên 350 -14 = 336 Ma Và 320 chia cho a dư 26 nên 320 -26 = 294 Ma .Vậy a là ước chung của 336 và 294 và a > 26 Vậy a = 42 VI.Bài tập về bội và ước của số tự nhiên: Bài tập 31: Tìm các số tự nhiên có ba chữ số biết rằng chia nó cho 17 dư 8, còn chia nó cho25 thì dư 16 Hướng dẫn n là số cần tìm thì n - 8 M17 � n – 8+17M17 � n +9M17 n-16 M25 � n –16+25M17 � n +9M25 Do đó n +9 là bội chung có ba chữ số của 25 và 17 hay n + 9 = 425k trong đó 425 = BCNN(17;25) và k �N*  k = 1 ta có n = 425-9 = 416  k = 2 ta có n = 850 -9 = 841 Bài tập 32: Tìm các số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số biết rằng n chia cho 8 dư 7, n chia cho 31 thì dư 28 Hướng dẫn n là số cần tìm thì n - 7 M8 � n +1M8 � n + 1+ 64 M8 � n + 65M8 n- 28M31 � n + 3M31 � n + 3+ 62 M31 � n + 65M31 Do đó n + 65 là bội chung lớn nhất có ba chữ số của 8 và 31 hay n + 65 = 248k trong đó 248 = BCNN(8;31) và k�N*  k = 5 ta có n = 248.5 - 65 = 1175 có 4 chữ số (loại)  k = 4 ta có n = 248.4 -65 = 927 là số cần tìm Bài tập 33: Tìm các số tự nhiên n nhỏ hơn 500 biết rằng n chia cho 15 dư 8, n chia cho 35 thì dư 13 Hướng dẫn n là số cần tìm thì n - 8 M15 � n – 8+30M15 � n +22M15 n-13 M35 � n –13+35M35 � n +22M35 Do đó n +22 là bội chung nhỏ hơn 500 của 15 và 35 hay n = 105k – 22 trong đó 105 = BCNN(15;35) và k �N*  k = 1 ta có n = 105 –22 = 83  k = 2 ta có n = 105.2 –22 = 188  k = 3 ta có n = 105.3 –22 = 293  k = 4 ta có n = 105.4 –22 = 398 Bài tập 34: Tìm các số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số biết rằng n chia lần lượt cho 2,3,4,5,6có số dư lần lượt là 1,2,3,4,5 Hướng dẫn n là số cần tìm thì n + 1 �BC(2,3,4,5,6) .Do đó n +1 = 60.k hay n = 60.k 1000 hay k �16 60 -1 �999 .Do n là số lớn nhất có 3 chữ số nên k �  với k = 16 thì n = 60.16-1= 960-1= 959  với k = 15 thì n = 60.15-1= 900-1= 899 < 959 vậy n = 959 Bài tập 35: Tìm các số tự nhiên n nhỏ nhất biết rằng n chia lần lượt cho 8,12,15 có số dư lần lượt là 6,10,13nhưng chia hết cho 23 Hướng dẫn n là số cần tìm thì n +2 � BC(8,12,15) hay n = 120k –2 và n = 23m Nên 120k –2 = 23m � m  120k  2 6k  2 25 1 � k �  4 vậy k �4 = 23.5k  23 23 6 6  Với k = 4 thì n = 478 không chia hết cho 23  Với k = 5 thì n = 598 nhỏ nhất chia hết cho 23 là số cần tìm VII. Tập hợp số nguyên Z a. Z =  ...  5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3; 4;5... b. a,b,c �Z ta có : * a < b � a+c < b +c * a < b � a.c < b.c với c > 0 * a < b � a.c > b.c với c < 0 VIII.Bài tập về các phép toán trên số nguyên Bài tập 36:Tìm số nguyên x biết rằng :x+(x+1) +(x+2) +(x+3) +(x+4) + . . . +17+18+19+20 = 20 Hướng dẫn Ta có : x+(x+1) +(x+2) +(x+3) +(x+4) + . . . +17+18+19+20 = 20 Suy ra : x+(x+1) +(x+2) +(x+3) +(x+4) + . . . +17+18+19 = 0 (x + 19) +(x +1 +18)+ (x+2 +17) +. . . =0 (x + 19) +(x + 19) +(x + 19) + . . . =0 � x+19 = 0 � x = –19 Bài tập 37: Tìm các số nguyên a,b,c biết rằng : a + b = 11; b + c = 13; c + a = 2 Hướng dẫn: a + b + b + c + c + a = 11+13 +2 2(a+b+c) = 26 � a+b+c = 13 � (a+b+c) –( b + c) = 13-13 � a= 0 ,b = 11,c = 2 Bài tập 38: Tìm các số nguyên a,b,c biết rằng : a+b+c+d= 1 ; a+c+d = 2 ; a+b+d =3 ; a+b+c = 4 Hướng dẫn: a bcd 1 a bcd 1   a cd  2 b a bcd  1  a b  1  d 3 c a b c  2  4 a+b+c+d= 1 � a= d  3 1+1+2+3=7 Bài tập39:Cho x1+x2+x3+x4+x5 + . . .+x48+x49+x50+x51 = 0 và (x1+x2) = (x3+x4) =(x5 + x6) =. . .= (x47+x48) = (x49+x50) = (x50+x51) = 1.Tính x50 Hướng dẫn: Ta có (x1+x2+x3+x4+x5 + . . .+x48+x49+x50+x51) = (x1+x2)+(x3+x4 )+(x5 +x6)+. . .+(x47+x48)+ (x49+x50)+x51 0 Vậy = 25+x51 x51 = -25 mà x51 + x50 = 1 hay -25 + x50 = 1 � x50 = 26 Bài tập40:Thực hiện phép tính sau : 2100 –299 –298–297– . . . . –23–22–2–1 Hướng dẫn: D = 2100 –299 –298–297– . . . . –23–22–2–1 2D = 2101 –2100 –299 –298–297– . . . . –23–22–2 D = 2D –D = 2101 – 2.2100 +1= 2101 – 2101 +1= 1 Bài tập41:Tìm các số nguyên x sao cho : a) (x –1)2 = 0 =0 Hướng dẫn: a) (x –1)2 = 0 � x-1 = 0 � x = 1 b) x(x –1) = 0 c) (x+1)(x –2) x 0 x � � �� x 1  0 x � � b) x(x –1) = 0 � � 0 1 x 1  0 x  1 � � �� x2  0 x2 � � c) (x+1)(x –2) = 0 � � Bài tập42:Cho dãy số : a1. ; a2; a3; a4; . . . . a99; a100 .Trong đó a1 = 1; a2 = –1;ak = ak-2.ak-1 ; (k� N ,k �3)Tính a100 Hướng dẫn: Ta có : a1. a2 = a3 = 1.(-1) = -1 ; a2. a3 = a4 = (-1).(-1) = 1 ; a3 . a4 = a5 = ( -1 ).1= -1 Vậy ta có dãy số như sau: 1;-1;-1;1;-1;-1;1. . . Vậy a97=1 ;a98 = -1 ;a99=-1 vậy a100 = 1 Bài tập43Tìm các cặp số nguyên x và y sao cho : a) xy –3x +2y = 11 � xy –3x +2y –6 = 5 � x(y –3)+2(y –3) = 5 Hướng dẫn: � (y –3)(x+2) = 5 x2 � � x2 5 � (y –3) = � x +2 �5 � � � x2 x2 � x 1 � 1 x � �  1 x �� � 5 x �  5 x �  1 � y  8  3 � y  2  3�y  4  4 � y  2 b) x2y –x + xy = 4 � xy(x +1) –( x+1) = 3 � (x +1)( xy –1) = 3 � 3M(x+1) x 1 � � x 1 �� � x 1 � x 1 � 1 x � �  1 x �� � 3 x �  3 x �  0 loïai  2 � y  1  2 � y 1  4 � y  0 Bài tập44: Tìm tổng A và B Với A là tổng các số nguyên âm lẽ có hai chữ số và B là tổng các số nguyên dương chẳn có hai chữ số Hướng dẫn: A + B= 10-11+12-13+14-15+. . . +98-99 = 45. (-1) = - 45 Bài tập45 : Cho A = 2–5 + 8–11+ 14 –17+ . . .–95+ 98–101 a) Viết số hạng thứ n dưới dạng tổng quát . b) Tính giá trị của biểu thức A Hướng dẫn: a) Ta có : an= –(2an-1+ an-2) b) Trong A có 34 số hạng chia thành 17 cặp mỗi cặp đều bằng -3 nên tổng A = 17.(-3) = -51 Bài tập46 : Cho B =1+ 2–3–4 + 5+6 –7–8+ . . . –99–100. a) A có chia hết cho 2,cho 3, cho 5 hay không ? b) A có bao nhiêu ước nguyên có bao nhiêu ước tự nhiên. Hướng dẫn: a) Tổng trên có 100 số hạng chia thành 25 nhóm mỗi có bốn số hạng đều bằng -4 vậy tổng trên bằng : 25 .(-4) = -100 vậy A chia hết cho 2, cho5 và không chia hết cho 3 c) Phân tích tổng A = 22 . 52 nên có 9 ước tự nhiên là :1,2,4,5,10,20,25,50,100 Và có 18 ước nguyên là �1, �2, � 4, �5, �10, �20, �25, �50, �100 Bài tập47 : Tìm số nguyên n sao cho : a) n+5 Mn–2 + 3Mn–1 b) 2 n+1 Mn–5 c) n2 + 3n –13 Mn +3 d) n2
- Xem thêm -