HỆ THỐNG BÀI TẬP BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 6
I)Tập hợp số tự nhiên N = 0;1;2;3; 4;5;6... ; 0 là số tự nhiên nhỏ nhất ;không có số tự nhiên
lớn nhất
* a�N ; a được biểu diễn theo hệ số thập phân như sau: a =
an an 1........a4 a3a2 a1a0 an .10 n an1 .10 n 1 ......... a4 .10 4 a3 .103 a2 .10 2 a1.101 a0 .100
Ví dụ :
254687 = 2.105+ 5. 104+ 4. 103+ 6. 102+ 8. 101 + 7. 100
II) Bài tập về các phép tính cộng ,trừ ,nhân, chia số tự nhiên
Bài tập 1:Tìm một số tự nhiên có 5 chữ số .Biết rằng khi thêm chữ số 2 vào bên phải số tự
nhiên đó ta được một số tự nhiên lớn gấp ba lần số tự nhiên có được bằng cách thêm chữ
số 2 vào bên trái số tự nhiên ban đầu
Hướng dẫn:
Gọi số cần tìm có dạng abc de và hai số mới tạo ra là : abcde2 và 2abcde
Ta có : 2abcde nên e.3
�
3
abcde2
= 2 thì e = 4 và 1
d.3+1 = 4 thì d = 1 và 0
c.3
= 1 thì c = 7 và 2
b.3 +2 = 7 thì b = 5 và 1
a.3 +1 = 5 thì a = 8 và 2 vậy số cần tìm là: abc de = 85714
Bài tập 2:Tìm một số tự nhiên có 5 chữ số .Biết rằng khi thêm một chữ số vào bên phải
số tự nhiên đó ta được một số tự nhiên lớn gấp ba lần số tự nhiên có được bằng cách thêm
chữ số đó vào bên trái số tự nhiên ban đầu
Hướng dẫn:
Gọi số cần tìm có dạng x = abc de và hai số mới tạo ra là : xy và yx với y là chữ số mới
thêm vào
Ta có
xy = 3. yx
hay 10x + y = 3.( 100000 y + x) � 7x = 299999y � x = 42857y
Do x là số có 5 chữ số thì y chỉ là số 1 hoặc số 2 nếu y �3 thì x là số có sáu chữ số không
đúng theo đề bài đã cho . vậy với y = 1 thì ta có x = 45782 hoặc y = 2 thì x = 85714 .
Bài tập 3:Tìm một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 3 .nếu bỏ chữ số hàng đơn vị
thì được một số mới nhỏ hơn chữ số cần tìm 1992 đơn vị .
Hướng dẫn: gọi số cần tìm là x thì
x 3
x 3
là số mới nên ta có :x –
= 1992 biến đổi
10
10
dẳng thức nầy ta được :
9x = 19920-3 hay x =
19917
2213 .
9
Bài tập 4: Tìm một số tự nhiên a .Biết rằng khi chia a cho 54 thì có số dư là 38 nhưng khi
chia a cho 18 thì được thương là 14 và còn số dư .
Hướng dẫn: Do chia a cho 54 có số dư là 38 nên ta có : a = 54.x + 38= 18.3x +18.2 + 2
= 18(3x + 2) +2
Hay a = 18(3x+2) + 2
(*)
và theo phép chia a cho 18 có thương là 14 và còn số dư r nên ta có : a = 18. 14
+r
(**)
So sánh (*) và (**) ta có r = 2 và a = 18. 14
+ 2 = 254
Bài tập 5: tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng gấp 5 lần hiệu của chúng và tích của
n
6 4 4 4 4 4Soá7lôù4
4 4 4 48
1 4 2 43
1 4 44 2 4 4 43 hieäu=a
chúng gấp 24 lần hiệu của chúng
Hướng dẫn: ta có thể dùng sơ đồ sau:
Gọi hiệu của hai số là a ta có tổng của hai số là 5a và tích là 24a
Soá nhoû
Theo sơ đồ ta có tổng cọng thêm hiệu bằng hai số lớn:5a+a = 6a
Theo sơ đồ ta có tổng trừ đi hiệu bằng hai số nhỏ : 5a - a = 4a
Vậy số lớn bằng :3a và số nhỏ bằng 2a
Và : số lớn �số nhỏ = 24a � số lớn =
24a
24a
12
=
soá nhoû
2a
Và số nhỏ =
24a
24a
8
soá lôùn
3a
Bài tập 6: tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng là 6210 nếu giảm một số đi 7 đơn vị thì
tích mới của chúng bằng 5265
Hướng dẫn: Gọi hai số cần tìm là a và b .Ta có a.b = 6210 nếu bớt đi một trong hai số 7
đơn vị thì tích mới là 5265 đã giảm đi 7 lần số còn lại .nên hiệu 6210 – 5265 = 945 bằng 7
lần một trong hai số a hoặc b
Nếu a =
945
6210
945
6210
135 thì b =
46 Nếu b =
135 thì a =
46
7
135
7
135
12 3 �999...9
123
Bài tập 7: Hãy tìm kết quả của phép nhân 333..3
50 chöõ soá
50 chöõ soá
12 3 �999...9
1 2 3 = 333..3
12 3 �(100...00
14 2 43 1) = 333..3000...0
123 1 2 3 333...3
123
Hướng dẫn:Ta có A = 333..3
50 chöõ soá
50 chöõ soá
50 chöõ soá
50 chöõ soá
50 chöõ soá 50 chöõ soá
50 chöõ soá
333..32
12 3 666...6
123 7
Thực hiện phép trừ ta có kết quả49Achöõ=soá
49 chöõ soá
1 2 3 �333...3
123
Bài tập 8: Hãy tìm kết quả của phép nhân 333...3
50 chöõ soá
50 chöõ soá
1 2 3 �333...3
123
Hướng dẫn:Ta có B = 333...3
50 chöõ soá
50 chöõ soá
111...1
1 2 3 �3 �333...3
1 2 3 111...1
1 2 3 �999...9
1 2 3 111...1
1 2 3 �(1000...0
1 2 3 1) 111...1000...0
1 2 3 1 2 3 111...1
123
50 chöõ soá
50 chöõ soá
50 chöõ soá
50 chöõ soá
50 chöõ soá
50 chöõ soá
50 chöõ soá
50 chöõ soá
50 chöõ soá
123 12 3
Thực hiện phép trừ ta có kết quả B = 111...10888...89
49 chöõ soá
49 chöõ soá
Bài tập 9: Hãy chứng minh C = 111222 và D = 444222 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
Hướng dẫn:Ta có C = 111222 = 111000 + 111.2 = 111.1000 = 111.2 = 111.(1000 +2) =
111.1002 = 111.3.334
C = 333.334
Và
là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
D = 444222 = 444000 +111.2 = 111(4000+2 ) =111.4002 = 111.6.667
= 666.6677
D = 666.6677 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp .
III) Bài tập về các phép chia có dư:
Bài tập 10: Tìm hai số tự nhiên biết rằng chia hai số đó cho nhau được thương bằng 6 và
số dư bằng 49 và tổng của ba số bị chia ,số chia và số dư bằng
595.
Số
Hướng dẫn: số chia :
b
dư
Số bị chia : a
Theo đề bài ta có : a + b + 49 = 595 .Theo sơ đồ ta có :
a = 6b + 49 hay 6b + 49 + a +
49 = 595
Hay :7b + 98 = 595 � 7b = 497 � b =
497
= 71 và a = 6.71+49 = 475
7
Số bị chia là :475 và số chia là :71
Bài tập 11:một phép chia có thương là 4 ,số dư là 25 ,tổng của ba số bị chia ,số chia và số
dư bằng 210 .Tìm số bị chia và số chia đó.
Hướng dẫn: tương tự bài tập 10(ĐS: 153 và 32 )
Bài tập 12: Tìm thương của một phép chia ,biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm
5 vào số chia thì thương và số dư vẫn không đổi .
Hướng dẫn:Gọi a là số bị chia ,b là số chia , q là thương và r là số dư
Ta có : a
Và
= b.q + r
(1)
: a+15 = (b + 5).q + r
(2) . � a + 15 = b.q +5.q +r � a = (b.q + r) + 5.q - 15 �
a = a + 5.q – 15
Hay
:
5q = 15
vậy q = 5
Bài tập 13: Tìm thương của một phép chia ,biết rằng nếu thêm 73 vào số bị chia và thêm 4
vào số chia thì thương vẫn không đổi nhưng số dư tăng 5 đơn vị.
Hướng dẫn:Gọi a là số bị chia ,b là số chia , q là thương và r là số dư
Ta có : a
Và
= b.q + r
(1)
: a+73 = (b + 4).q + r +5
(2) a + 73 = b.q +4.q +r +5 � a = (b.q + r) + 4.q –
73+5 � a = a + 4.q – 68
Hay
:
4q = 68 vậy q = 17
IV) Bài tập về phép toán lũy thừa và phối hợp các phép toán :
Bài tập 14: Chứng minh
4 + 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 220 = 221
Hướng dẫn Đặt A = 4 + 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 220 � 2A = 8+ 23 + 24 + 25 + . . . + 220
+ 221
Nên 2A = 8+ 23 + 24 + 25 + . . . + 220 + 221
-A = 4 + 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 220
A = 221
723 �542
=8
1084
Bài tập 15: Chứng minh
723 �542 (9.8)3 .54 2
93.83.542
36.2 9
723 �542
2
6 6 23 8
Hướng dẫn B.đổi V.T.=
=
4
4
2
4
4
108
(54.2)
54 .(27.2) .2
3 .2
108
nên đ. thức đã cm
Bài tập 16 : Tính giá trị của biểu thức :
a) A
210.13 210.65
28.104
Hướng dẫn
b) B (1 2 3 ...100).(12 22 32 ...1002 ).(65.111 13.15.37)
210.13 210.65 210 (13 65) 210.2.39 211.39
A
11
3
28.104
28.23.13
211
2 .13
B (1 2 3 ...100).(12 22 32 ...1002 ).(65.111 13.15.37) Ta có: 65.111-13 .
15.37= 0
Bài tập 17 :Tìm x biét rằng :
a)
d)
e)
2x .4 = 128
b)
x15 = x
; c)
(2x +1)3 = 125
;
(x -5 )4 = (x -5 )6
A = 3+32+33 . . . +399 +3100
Hướng dẫn a)
d)
;
2x .4 = 128
và
2A + 3 = 3x
b)
x15 = x
c)
(2x +1)3 = 125
(x -5 )4 = (x -5 )
04
2x
= 32
015 = 0
2x
= 53
( �1)15 = � 1
x
= 3
x = 0 hoặc x = � 1
(2x + 1)3= 53
= 0
( �1)4
2x + 1 = 5
= �1
x
=2
x -5 = 0 hoặc x -5 = �1
x
=5
; x = 6 hoặc x = 4
e)
(1)
A = 3+32+33 . . . +399 +3100 Nên 3A = 32+33 . . . +399 +3100+3101 2A = 3A –A = 3101 - 3
Mặc khác
2A + 3 = 3x �
2A
= 3x - 3
(2)
Từ (1) và (2) ta có : x = 101
Bài tập 18: tìm số tự nhiên có ba chữ số .Biết rằng bình phương của chữ số hàng chục
bằng tích của hai chữ số kia và số tự nhiên đó trừ đi số gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự
ngược lại bằng 495.
Hướng dẫn Gọi số cần tìm là abc = 102a+10b + c ; số viết ngược lại là cba = 102c+10b
+a
Theo đề bài ta có : b2 = a.c và 102a+10b + c - 102c+10b + a = 495 hay 100 (a-c ) - ( a –
c) = 495
99 (a-c) 495
a-c = 5 hay a = c + 5 .Do 0 �a
�9
nên 0
�c �4
* Với c = 0 � a = 5 và b2 = 5.0 = 0 � b = 0 nên số cần tìm là : abc = 500
* Với c = 1 � a = 6 và b2 = a.c = 6 � không tìm được chữ số b
* Với c = 2 � a = 7 và b2 = a.c = 14 � không tìm được chữ số b
* Với c = 3 � a = 8 và b2 = a.c = 24 � không tìm được chữ số b
* Với c = 4 � a = 9 và b2 = a.c = 36 � b = 6 nên số cần tìm là : abc = 964
Bài tập 19:Không thực hiện phép nhân hãy so sánh các tích sau:
a) A = 1998.1998 và B = 1996.2000
b) C = 2000.2000 và D = 1990.2010
c)
E = 25.33 -10
và
d)
G = 32.53 – 31 và H = 53.31 + 32
Hướng dẫn a) Ta có : A = 1998.1998 = (1996+2) .1998 = 1996 .1998+2.(1996+2) =
1996 .1998+2.1996+4
Và
B = 1996.2000 = 1996.(1998+2) = 1996.1998+2.1996 Vậy A > B
và A – B = 4
b) Ta có : C = 2000.2000 = (1990+10).2000 = 1990. 2000 + 10.2000 = 1990.
2000 + 10.1990+100
Và D = 1990.2010 = 1990.(2000 +10) = 1990. 2000 + 10.1990 Vậy
C > D và C – D = 100
c) Ta có : E = 25.33 -10 = 33.(26-1) - 10 = 33.26 - 43
Và
F = 31.26+10 = (33-2).26 + 10 = 33.26-42 vậy F > E và F – E = 1
d)Ta có :G = 32.53–31= (31+1).53 – 31 = 53.31+22 Và H = 53.31 + 32
nên H > G và H – G = 10
Bài tập 20: Chứng minh: 37.13-13 chia hết cho 24+37.12
Hướng dẫn Ta có :
Vây
37.13-13 = 37.(12+1) -13 = 37.12 +37 -13 = 37.12 +24
37.13-13
24+37.12
1 chứng tỏ 37.13-13 chia hết cho
24+37.12 24+37.12
:
24+37.12
Bài tập 21: Tính A =
101 100 99 ... 3 2 1
101 100 99 ... 3 2 1
Hướng dẫn Ta có :A =
;
B=
3737.43 4343.37
2 4 6 8 ... 100
101 100 99 ... 3 2 1
101 100 99 ... 3 2 1
101(101 1)
101 100 99 ... 3 2 1
101.51
101.51
2
101
A=
101 100 99 ... 3 2 1 (101 100) (99 98) ...(3 2) 1 1144
1 2
1 4...4
51
31
51chöõ soá1
Và B =
3737.43 4343.37
101.37.43 101.43.37
0
0
2 4 6 8 ... 100 2 4 6 8 ... 100 2 4 6 8 ... 100
Bài tập 22 :Vận dụng tính chất của các phép tính hãy tìm kết quả một cách hợp lí
a) 1990.1990-1992.1998
b) (1374.57+687.86):
(26.13+74.14)
c)
(124.327+52) : (870+235.122)
d)
423134.846267 423133
846267.423133 423134
Hướng dẫn
a) 1990.1990 1992 .1998 = (1992– 2 ).(1988+2) – 1992 .1998= 1992 .1988+2.1992 –
2.1988 – 4 – 1992 .1998
= 2.1992 –2.1988 – 4
= 2 (1992 – 1988 – 2) = 2.2 = 4
b)
(1374.57 + 687.86): (26.13+ 74.14) =
1374.57 + 687.86 1374.57 + 1374.43
=
=
26.13+74.14
26.13+74.14
1374(57 43)
26.13 74.(13 1)
=
137400
137400
26.13 74.13 74 13(26 74) 74
=
137400
1300 74
137400
= 100
1374
c) (124. 237+152) : (870+235.122) =
124.237+152 (122 2).(235 2) 152 122.235 244 470 4 152
870+235.122
870+235.122
870+235.122
=
d)
122.235 870
1
122.235 870
423134.846267 423133 (423133 1)846267 423133 846267.423133 846267 423133
846267.423133 423134
846267.423133 423134
846267.423133 423134
=
846267.423133 423134
846267.423133 423134
=1
Bài tập 23 : Tìm số tự nhiên a :
a) 697:
15a 364
= 17
a
b) 92.4 –27 =
a 350
315
a
41 2a 5 �
c) 720 : �
�
� 2 .5
3
d) (a+1)+ (a+2)+ (a+3)+
… +(a+100) = 5750
Hướng dẫn
15a 364
15a 364
697
364
364
364
� 15
14
= 17 �
=
= 41 �
= 41-15 � a
a
a
17
a
a
26
a)
697:
b)
92.4 –27 =
a 350
a 350
350
350
315 �
92.4 27 315 �
25 � a
14
a
a
a
25
28
3
41 2a 5 �
14
c) 720 : �
�
� 2 .5 � 720 :40 = 46 - 2a � 2a = 46 - 18 � a =
2
d) (a+1)+ (a+2)+ (a+3)+ … +(a+100) = 5750 � 100a+
�a =
700
7
100
101.100
=5750 � 100a = 5750-5050
2
V.Bài tập về tính chất chia hết của số tự nhiên:
Kiến thức cơ bản: Gọi A = an an ...a3a2 a1a0 T a có:
AM 2 � a0M2
AM 4 � a1a0 M4
AM25 � a1a0 M25
AM 8 � a2a1a0 M8
AM 3 � an an1 ... a3 a2 a1 a0 M3
AM 9 � an an 1 ... a3 a2 a1 a0 M9
�an an 1 ... a3 a2 a1 a0 M
11
AM11 � �
11
�
�an an 1 ... a3 a2 a1 a0 M
(neáu n chaún)
neáu n leû
�A Mm
�
� A Mm.n
�A Mn
�m,n 1
�
A �Bmod m � (A B) �0 mod m
Bài tập 24 : Cho n là một số tự nhiên chứng minh rằng :
a) (n+10) (n+15) chia hết cho 2
b) n(n+1) (n+2) chia hết cho 2,3,6
c) n(n+1) (2n+1) chia hết cho 2,3
Hướng dẫn
a) Nếu n = 2k .
Thì (n+10) (n+15) = ( 2k+10) (2k+15) = 2(k + 5) (2k+15)
chia
hết cho 2
Nếu n = 2k + 1. Thì (n+10) (n+15) = ( 2k+1+10) (2k+1+15) = (2k + 11) .2 (k+8) chia
hết cho 2
b) Ta có n chia3 có số dư r lần lượt là 0;1;2.
Nếu r = 0 thì n = 3k
.Nên n(n+1) (n+2) = 3k (3k + 1) (3k+2)
chia hết cho 3
Nếu r = 1 thì n = 3k+1 .Nên n(n+1) (n+2) = (3k + 1) (3k+2) (3k+3) = 3(3k + 1)
(3k+2) (k+1) chia hết cho 3
Nếu r = 2 thì n = 3k+2 .Nên n(n+1) (n+2) = (3k + 2) (3k+3) (3k+4) = 3(3k + 2) (k+1)
(3k+4) chia hết cho 3
Vậy n(n+1) (n+2)
chia hết cho 3
Và n(n+1) (n+2) là ba số liên tiếp nên trong đó có ít nhất một thừa số chẳn, vậy n(n+1)
(n+2)
chia hết cho 2.
Nhưng (2;3) = 1.
Vậy n(n+1) (n+2)
chia hết cho 6
c) Ta có n chia3 có số dư r lần lượt là 0;1;2
Nếu r = 0 thì n = 3k .
Nên: n(n+1) (2n+1) = 3k(3k+1) (6k+1)
chia hết cho 3
Nếu r = 1 thì n = 3k+1 . Nên: n(n+1) (2n+1) = (3k+1) (3k+2) (6k+3) = 3(3k+1)
(3k+2) (2k+1) chia hết cho 3
Nếu r = 2 thì n = 3k+2 . Nên: n(n+1) (2n+1) = (3k+2) (3k+3) (6k+5) = 3(3k+2)
(k+1) (6k+5) chia hết cho 3
Vậy n(n+1) (2n+1)
chia hết cho 3
Mặc khác n(n+1) chia hết cho 2
nên n(n+1) (2n+1)
chia hết cho 3
Bài tập 25 : Cho A = 1119+1118+1117 . . . +115+114 +113+112 +11+1 .Chứng minh A chia
hết cho 5
Do 11n có chữ số tận cùng là 1nên tổng A có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5
Bài tập 26 : Chứng minh rằng :
a) A= 1018 +8 chia hết cho 72
b) B= 88 + 2020 chia hết cho 17
c) C= 2 +22+23+24+25+26+. . . +260 chia hết cho 3 , 7 và 15
d) D= 3 +33+35+37+. . . +31991chia hết cho 13 và 41
Hướng dẫn
0
6 184chöõ
7 soá48
17 chöõ soá 0
64
7 48
a) A = 1018 +8 = 100...00000 8 100...00008 chia hết cho 9 vì tổng các chữ số bằng 9 và
chia hết cho 8vì ba chữ số tận cùng là ….008 chia hết cho 9 và (9;8) = 1 .Nên 1028 +8 M
72 , vậy AM72
b) B = 88 + 2020 = (23)8 +2020 = 224 + 2020 = 2020(24 +1) = 2020 .17 M17 ,vậy B M17
c) C = 2 +22+23+24+25+26+. . . +260 = 2(1+2)+ 23(1+2)+25(1+2)+27(1+2)+. . .
+257(1+2)+259(1+2)
= 3(2 + 23 +25 +27+. . . +257+259) .
Vậy C M3
C = 2 +22+23+24+25+26+. . . +260 = 2(1+2+22)+ 24(1+2+22)+27(1+2+22)+. . .
+255(1+2+22)+258(1+2+22)
C=
7(2+24 +27+210 +. . .+252+255+258) M7
C=
2(1+2+22+23)+25(1+2+22+23)+29(1+2+22+23)+. . .
Vậy C M7
+253(1+2+22+23)+257(1+2+22+23)
=
15(2 +25 + 29 + . . . + 253 + 257) M15
Vậy C M15
d) D = 3 +33+35+37+. . . +31991 = 3(1 +32+34)+37(1 +32+34)+313(1 +32+34)+. . .
+31987(1+32+34)
= (1+32+34)m= 91m= 13.7m
Vậy D M13
D = 3 +33+35+37+. . . +31991 = 3(1 +32+34+36)+39(1 +32+34+36)+317(1 +32+34+35)+. . .
+31985(1+32+34+36)
= (1+32+34+36) n= 820n= 41.20n
Bài tập 27: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho :
a) (2x +1) (y–3)
= 10
b) (3x –2) (2y–3) = 1
c) (x +1) (2y–1)
d) x+6
= y(x–1)
= 12
Vậy D M41
e) x–3 = y(x+2)
Hướng dẫn
Do x,y�N
a) (2x +1) (y–3)
10
10
= 10 � (2x +1) = y 3 .Do (2x +1) �N � y 3 �N � y –3 là ước
tự nhiên của 10
* y –3 = 10 � y = 13 nên x = 0
1
�N (loại)
2
* y –3 = 5 � y = 8
nên x =
* y –3 = 2 � y = 5
nên x = 2
* y –3 = 1 � y = 4
nên x =
9
�N (loại) vậy x = 0 , y = 13 hoặc x = 2 , y = 5 là
2
các cặp số cần tìm
3x 2 1 �
x 1
�
��
2y 3 1 �
y2
�
b) (3x –2) (2y–3) = 1 � nên �
12
x = 1 , y = 2 là các số cần tìm
12
c) (x +1) (2y –1) = 12 � (x + 1) = 2y 1 .Do (x +1) �N � 2y 1 �N � 2y–1là
ước tự nhiên lẽ của 12
* 2y –1 = 1 � y = 1 nên x = 11
* 2y –1 = 3 � y = 2 nên x = 3
vậy x = 11 , y = 1 hoặc x = 3 , y = 2 là các cặp
số cần tìm
d) x+6
= y(x–1) � (x+6) M (x–1)
� (x–1+7) M (x–1) � 7 M (x–1)
x 1 7 �
x 8�y 2
�
� (x–1) = �
��
vậy x = 8, y = 2 hoặc x = 2 , y = 8 là các
x 1 1
x2�y8
�
�
cặp số cần tìm
e) x–3 = y(x+2) � (x–3) M(x+2) � (x+2–5) M(x+2) � 5 M(x+2) � x+2 là ước
tự nhiên của 5
* x+2 = 5
* x+2 = 1
� x=3 � y=0
� x = -1 �N
số cần tìm
Bài tập 28: Tìm các số tự nhiên n sao cho:
vậy x = 3, y = 0 là cặp
a) n2 + 4 chia hết cho n+ 2
b) 13n
chia hết cho n–1
c) 1+2+3+4+. . . n = 820
Hướng dẫn
n2 8 �
n6
�
�
�
n2 1
n 1(loaïi)
��
a) n2 +4 Mn+2 � (n-2) (n+2)+8 Mn+2 � 8 Mn+2 � �
�
n2 4 �
n2
�
�
n2 2 �
n0
�
n 1 1
n2
�
�
��
n 1 13 �
n 14
�
b) 13n M n–1 � 13n– 13+13M n–1 � 13M n–1 � �
c) 1+2+3+4+. . . n = 820 ta có 1+2+3+4+. . . n
n(n 1)
n(n 1)
820 hay
nên
2
2
n(n+1) = 1640
Hay n(n+1) = 23.5.41= 40.41 vậy n = 40
Bài tập 29:
Hướng dẫn Ta có 398 chia cho a dư 38 nên 398- 38= 360 Ma và a > 38
Và 450 chia cho a dư 18 nên 450- 18= 432 Ma vậy a là ước chung của
360 và 432 và a > 38
Vậy a = 72
Bài tập 30: Tìm các số tự nhiên a biết rằng 350 chia cho a dư 14 còn 320 chia cho a thì dư
26
Hướng dẫn
Ta có 350 chia cho a dư 14 nên 350 -14 = 336 Ma
Và
320 chia cho a dư 26 nên 320 -26 = 294 Ma .Vậy a là ước chung của
336 và 294 và a > 26
Vậy a = 42
VI.Bài tập về bội và ước của số tự nhiên:
Bài tập 31: Tìm các số tự nhiên có ba chữ số biết rằng chia nó cho 17 dư 8, còn chia nó
cho25 thì dư 16
Hướng dẫn
n là số cần tìm thì n - 8 M17 � n – 8+17M17 � n +9M17
n-16 M25 � n –16+25M17 � n +9M25
Do đó n +9 là bội chung có ba chữ số của 25 và 17 hay n + 9 = 425k trong đó 425 =
BCNN(17;25) và k �N*
k = 1 ta có n = 425-9 = 416
k = 2 ta có n = 850 -9 = 841
Bài tập 32: Tìm các số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số biết rằng n chia cho 8 dư 7, n
chia cho 31 thì dư 28
Hướng dẫn
n là số cần tìm thì n - 7 M8 � n +1M8 � n + 1+ 64 M8 � n + 65M8
n- 28M31 � n + 3M31 � n + 3+ 62 M31 � n + 65M31
Do đó n + 65 là bội chung lớn nhất có ba chữ số của 8 và 31 hay n + 65 = 248k trong đó
248 = BCNN(8;31)
và k�N*
k = 5 ta có n = 248.5 - 65 = 1175 có 4 chữ số (loại)
k = 4 ta có n = 248.4 -65 = 927 là số cần tìm
Bài tập 33: Tìm các số tự nhiên n nhỏ hơn 500 biết rằng n chia cho 15 dư 8, n chia cho
35 thì dư 13
Hướng dẫn
n là số cần tìm thì n - 8 M15 � n – 8+30M15 � n +22M15
n-13 M35 � n –13+35M35 � n +22M35
Do đó n +22 là bội chung nhỏ hơn 500 của 15 và 35 hay n = 105k – 22 trong đó 105 =
BCNN(15;35) và k �N*
k = 1 ta có n = 105 –22
= 83
k = 2 ta có n = 105.2 –22
= 188
k = 3 ta có n = 105.3 –22
= 293
k = 4 ta có n = 105.4 –22
= 398
Bài tập 34: Tìm các số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số biết rằng n chia lần lượt cho
2,3,4,5,6có số dư lần lượt là 1,2,3,4,5
Hướng dẫn
n là số cần tìm thì n + 1 �BC(2,3,4,5,6) .Do đó n +1 = 60.k hay n = 60.k
1000
hay k �16
60
-1 �999 .Do n là số lớn nhất có 3 chữ số nên k �
với k = 16 thì n = 60.16-1= 960-1= 959
với k = 15 thì n = 60.15-1= 900-1= 899 < 959 vậy n = 959
Bài tập 35: Tìm các số tự nhiên n nhỏ nhất biết rằng n chia lần lượt cho 8,12,15 có số dư
lần lượt là 6,10,13nhưng chia hết cho 23
Hướng dẫn
n là số cần tìm thì n +2 � BC(8,12,15) hay n = 120k –2 và n = 23m
Nên 120k –2 = 23m � m
120k 2
6k 2
25
1
� k � 4 vậy k �4
= 23.5k
23
23
6
6
Với k = 4 thì n = 478 không chia hết cho 23
Với k = 5 thì n = 598 nhỏ nhất chia hết cho 23 là số cần tìm
VII. Tập hợp số nguyên Z
a. Z = ... 5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3; 4;5...
b. a,b,c �Z
ta có :
* a < b � a+c < b +c
* a < b � a.c < b.c với c > 0
* a < b � a.c > b.c với c < 0
VIII.Bài tập về các phép toán trên số nguyên
Bài tập 36:Tìm số nguyên x biết rằng :x+(x+1) +(x+2) +(x+3) +(x+4) + . . .
+17+18+19+20 = 20
Hướng dẫn Ta có : x+(x+1) +(x+2) +(x+3) +(x+4) + . . . +17+18+19+20 = 20
Suy ra :
x+(x+1) +(x+2) +(x+3) +(x+4) + . . . +17+18+19 = 0
(x + 19) +(x +1 +18)+ (x+2 +17) +. . .
=0
(x + 19) +(x + 19) +(x + 19) + . . .
=0
� x+19 = 0
� x = –19
Bài tập 37: Tìm các số nguyên a,b,c biết rằng : a + b = 11; b + c = 13; c + a = 2
Hướng dẫn:
a + b + b + c + c + a = 11+13 +2
2(a+b+c) = 26 � a+b+c = 13 � (a+b+c) –( b + c) = 13-13 �
a= 0 ,b = 11,c = 2
Bài tập 38: Tìm các số nguyên a,b,c biết rằng :
a+b+c+d= 1 ; a+c+d
= 2 ; a+b+d
=3 ;
a+b+c
= 4
Hướng dẫn:
a bcd 1
a bcd 1
a
cd 2
b
a bcd 1
a b
1
d 3
c
a b c
2
4
a+b+c+d= 1 � a=
d 3
1+1+2+3=7
Bài tập39:Cho x1+x2+x3+x4+x5 + . . .+x48+x49+x50+x51 = 0
và (x1+x2) = (x3+x4) =(x5 + x6) =. . .= (x47+x48) = (x49+x50) = (x50+x51) = 1.Tính
x50
Hướng dẫn: Ta có
(x1+x2+x3+x4+x5 + . . .+x48+x49+x50+x51) = (x1+x2)+(x3+x4 )+(x5 +x6)+. . .+(x47+x48)+
(x49+x50)+x51
0
Vậy
=
25+x51
x51 = -25 mà x51 + x50 = 1 hay -25 + x50 = 1 � x50 = 26
Bài tập40:Thực hiện phép tính sau : 2100 –299 –298–297– . . . . –23–22–2–1
Hướng dẫn: D =
2100 –299 –298–297– . . . . –23–22–2–1
2D = 2101 –2100 –299 –298–297– . . . . –23–22–2
D = 2D –D = 2101 – 2.2100 +1= 2101 – 2101 +1= 1
Bài tập41:Tìm các số nguyên x sao cho :
a) (x –1)2 = 0
=0
Hướng dẫn:
a) (x –1)2 = 0 � x-1 = 0 � x = 1
b) x(x –1) = 0
c) (x+1)(x –2)
x 0
x
�
�
��
x 1 0
x
�
�
b) x(x –1) = 0 � �
0
1
x 1 0
x 1
�
�
��
x2 0
x2
�
�
c) (x+1)(x –2) = 0 � �
Bài tập42:Cho dãy số : a1. ; a2; a3; a4; . . . . a99; a100 .Trong đó a1 = 1; a2 = –1;ak = ak-2.ak-1 ; (k�
N ,k �3)Tính a100
Hướng dẫn:
Ta có : a1. a2 = a3 = 1.(-1) = -1 ; a2. a3 = a4 = (-1).(-1) = 1 ; a3 . a4
= a5 = ( -1 ).1= -1
Vậy ta có dãy số như sau: 1;-1;-1;1;-1;-1;1. . .
Vậy a97=1 ;a98 = -1 ;a99=-1 vậy a100 = 1
Bài tập43Tìm các cặp số nguyên x và y sao cho :
a) xy –3x +2y = 11 � xy –3x +2y –6 = 5 � x(y –3)+2(y –3) = 5
Hướng dẫn:
� (y –3)(x+2) = 5
x2
�
�
x2
5
� (y –3) =
� x +2 �5 � �
�
x2
x2
�
x 1
�
1
x
�
�
1
x
��
�
5
x
�
5
x
�
1 � y 8
3 � y 2
3�y 4
4 � y 2
b) x2y –x + xy = 4 � xy(x +1) –( x+1) = 3 � (x +1)( xy –1) = 3 � 3M(x+1)
x 1
�
�
x 1
��
�
x 1
�
x 1
�
1
x
�
�
1
x
��
�
3
x
�
3
x
�
0 loïai
2 � y 1
2 � y 1
4 � y 0
Bài tập44: Tìm tổng A và B Với A là tổng các số nguyên âm lẽ có hai chữ số và B là tổng
các số nguyên dương chẳn có hai chữ số
Hướng dẫn: A + B= 10-11+12-13+14-15+. . . +98-99 = 45. (-1) = - 45
Bài tập45 : Cho A = 2–5 + 8–11+ 14 –17+ . . .–95+ 98–101
a) Viết số hạng thứ n dưới dạng tổng quát .
b) Tính giá trị của biểu thức A
Hướng dẫn:
a) Ta có :
an= –(2an-1+ an-2)
b) Trong A có 34 số hạng chia thành 17 cặp mỗi cặp đều bằng -3 nên
tổng A = 17.(-3) = -51
Bài tập46 : Cho B =1+ 2–3–4 + 5+6 –7–8+ . . . –99–100.
a) A có chia hết cho 2,cho 3, cho 5 hay không ?
b) A có bao nhiêu ước nguyên có bao nhiêu ước tự nhiên.
Hướng dẫn:
a) Tổng trên có 100 số hạng chia thành 25 nhóm mỗi có bốn số hạng đều
bằng -4 vậy tổng trên bằng : 25 .(-4) = -100 vậy A chia hết cho 2, cho5 và không chia hết
cho 3
c) Phân tích tổng A = 22 . 52 nên có 9 ước tự nhiên là :1,2,4,5,10,20,25,50,100
Và có 18 ước nguyên là �1, �2, � 4, �5, �10, �20, �25, �50, �100
Bài tập47 : Tìm số nguyên n sao cho :
a) n+5 Mn–2
+ 3Mn–1
b) 2 n+1 Mn–5
c)
n2 + 3n –13 Mn +3
d) n2
- Xem thêm -