Tài liệu HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằng Định nghĩa: Hệ ptvp là hệ gồm các ptvp chứa đạo hàm của các hàm cần tìm Ví dụ: Các hệ ptvp Hệ 2 ptvp cấp 1  F (t , x, y, x, y ')  0 Trong đó  G (t , x, y, x, y ')  0 t là biến độc lập, x(t), y(t) là các hàm cần tìm. Hệ 3 ptvp cấp 1 dạng chính tắc  x  f (t , x, y , z )   y  g (t , x, y, z )  z  h(t , x, y, z )  Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng Hệ ptvp tuyến tính cấp 1 hệ số hằng là hệ ptvp có dạng  dx1  dt  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  f1 (t )   dx2  a x  a x  ...  a x  f (t ) 21 1 22 2 2n n 2  dt .............................................................   dxn  a x  a x  ...  a x  f (t ) n1 1 n2 2 nn n n  dt Trong đó fi(t), i=1,2, …,n là các hàm liên tục trong (a,b) Hệ pt tuyến tính cấp 1hệ số hằng Đặt  a11 a12 a a22 21 A :  : a  n1 an 2 ... a1n   x1 (t )   f1 (t )   x (t )   f (t )   ... a2 n  X (t )   2  F (t )   2   :   :  : :   x (t )   f (t )   ... ann   n   n  Thì hpt trên có thể viết thành dX  AX  F (t ) dt dX  AX dt (1) Hệ không thuần nhất (2) Hệ thuần nhất Nghiệm của hệ là 1 hàm vecto trong (a,b) gồm các hàm khả vi, liên tục trong (a,b) và thỏa hệ Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử d Ta kí hiệu phép lấy đạo hàm là D  Suy ra dt 2 3 d d 2 3 D = 2 , D = 3 , ... dt dt Ví dụ với hệ ptvp sau  x  2 x  y  et ( D  2) x  y  et  Ta viết thành   y  x  2 y  t  x  ( D  2) y  t Sau đó, ta dùng phương pháp khử như đối với hpt đại số tuyến tính Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử  x1  3x1  x2  et Ví dụ: Giải hpt   x2  2 x1  2 x2  t Ta viết lại hpt ( D  3) x1  x2  et (1)   2 x1  ( D  2) x2  t (2) Lấy 2*(1)+(D-3)*(2) để khử x1, ta được : (2  ( D  2)( D  3)) x2  2e  ( D  3)t t  D x2  5Dx2  4 x2  2e  3t  1 2 Viết lại kí hiệu thường Ta giải pt trên t t   x2  5 x2  4 x2  2e  3t  1 Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử t   x2  5 x2  4 x2  2e  3t  1 2 t 3 11 x2  C1e  C2e  te  t  3 4 16 x2 t Thay vào pt (2)  x1   x2  2 2 t 4t 1 1 t 1 41 t  x1  C2e  C1e  e (t  1)  t  2 3 4 24 4t Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử Ví dụ: Giải hpt Ta viết lại hpt  x   5 x  y  2t  1  2t  y  x  3 y  e   D  5 x  y  2t  1(1)  2t  x  D  3 y  e (2)    Lấy (1)+(D-5)*(2) để khử x, ta được : 1   D  3 D  5 y  2t  1   D  5 e2t   D 2  8D  16 y  3e2t  2t  1 (3) Viết lại kí hiệu thường y   8 y   16 y  3e2t  2t  1 (3) Và giải pt (3) Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử y   8 y   16 y  3e2t  2t  1 (3) 3 2t 1  y  C1e  C2te  e   t  1 4 8 4t 4t Thay vào pt (2) x   D  3 y  e 2 t 7 2t 3 1   C1  C2  e  C2te  e  t  4 8 4 4t 4t Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử  x1' Ví dụ: Giải hpt  x '  2  x'  3  2 x1  4 x2  3x3  4 x1  6 x2  3 x3  3x1  3x2  x3 Ta viết lại hpt: ( D  2) x1  4 x2  3x3  0 (1)  4 x1  ( D  6) x2  3x3  0 (2) 3 x  3 x  ( D  1) x  0 (3) 2 3  1 Khử x3: (1)+(2) và 3*(3)-(D-1)*(2) ( D  2) x1  ( D  2) x2  0  (4( D  1)  9) x1  (( D  1)( D  6)  9) x2  0 Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử Hệ trên tương đương với: ( D  2) x1  ( D  2) x2  0  2 (4 D  5) x1  ( D  5D  3) x2  0 (4) (5) Khử x2: (D2+5D+3)*(4)+(D+2)*(5) ( D  5D  3)( D  2) x1  (4 D  5)( D  2) x1  0 3 2  ( D  3D  4) x1  0  x1 3x1  4 x1  0 t 2t 2t  x1  C1e  C2e  C3te t 2t 2t Thay vào pt (4) để tìm x2: x2  C1e  C4e  C3te 2 1 Thay vào (1) để tìm x3: x3  C1e  (4C2  C3  4C4 )e 2t 3 t Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng dX  AX  F (t ) Hệ pt dt Với A là ma trận thực, vuông chéo được Tồn tại ma trận S khả nghịch sao cho A=SDS-1 dX 1 Thay vào hpt  SDS X  F (t ) dt 1 dX 1 1 S  DS X  S F (t ) dt dY 1 dX -1 Thay vào hpt trên Đặt Y=S X  S dt dt dY  DY  S 1F (t ) Đây là n-ptvp cấp 1 riêng biệt dt Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng  x1  x1  2 x2  t 2 Ví dụ: Giải hpt   x2  x1  4 x2  2 1 2   2 1  1  1 1   2 0 A S  ,S   ,D       1 4    1 1  1 2   0 3 Đặt Y=S-1X, ta được hpt: 2   y  2 y  t 2 dY  1 1 1  DY  S F (t )   2 dt   y2  3 y2  t  4  y1  e  2 dt  (t 2  2)e   2 dt dt  C1   2   3 dt  3dt y  e (  t  4) e dt  C2  1      Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng 1 2 1 3  2t y   t  t   C e 1  1 2 2 4   y2  1 t 2  4 t  34  C2e3t  3 9 27 Ta tính  2 1   y1  X  SY    y   1  1   2  2 2 5 17  2t 3t x   t  t   2 C e  C e 1 2  1 3 9 54   x2   5 t 2  1 t  55  C1e 2t  C2e3t  6 18 108 Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng  x1  x1  3x2  3x3  e 2t  Ví dụ: Giải hpt  x2  3 x1  5 x2  3 x3  e 2t  x  6 x  6 x  4 x  2t 1 2 3  3 2 t  e   1 3 3  1  2t     A  3 5 3 F (t )   e   S  1     6 6 4  0    2 t       1 3 1   2 0 1   1 S   2 2 0 , D  0 2   2   0 0  1 1  1    1  0 1  1 2  0  0  4  1 Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng Đặt Y=S-1X, ta được hpt 1 1  2 t  y1  C1e  2 t  4  y1  2 y1  e 2t  t   2 t   y 2  C2 e  y2  2 y2   y  4 y  t 1 1 4t 3  y3  C3e  t   3 4 16  3 3  2t 4t Vậy  (C1  C2 )e  C3e  4 t  16   x1    3 3   2t 4t   C1e  C3e  t  X  SY   x2    4 16 x     3  1 1  C2e 2t  2C3e 4t  t   2 8   Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng  x1   x1  3x2  2 x3  t 2  2  Ví dụ: Giải hpt  x2  3 x1  x2  2 x3  t  x  x  x  2 x  2t 3  3 1 2 2   t 1 1 1  1 3 2    2     F ( t )   t  S  1 1 1 A  3 1 2        1 1 0   2t   1 1 2        1 1 2  0 0 0  1 1 S  1 1 2 , D   0 4 0     4    0 0 4  2  2 0     Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng Đặt Y=S-1X, ta được hpt 1 2  y1   t  C1  2  y1  t   1 1  4 t  y2  4 y2  t   y2  C2e  t  4 16   y  4 y 3  3  y3  C3e 4t  1 2 1 1  4t 4t  x1  C1  C2e  C2e  2 t  4 t  16  1 2 1 1  4t 4t X  SY   x2  C1  C2e  C2e  t  t  2 4 16  1 2 1 1  4t  x3  C1  C2e  2 t  4 t  16 Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tập Giải các hpt sau  x  2 x  y 1.   y  x  2 y  x  4 x  6 y 2.   y  2 x  3 y  t  x  y  2 x  6 y  cos t 3.   y  x  3 y  sin t  x1'  x1  4 x2  4 x3  et  ' 4.  x2  8 x1  11x2  8 x3  2t  ' 8 x1  8 x2  5 x3  x3  Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tập  x1'  ' 5.  x2  '  x3  4 x1  2 x2  5 x3  t 2  6 x1  x2  6 x3  2t  8 x1  3x2  9 x3  x1  2 x1  x2  2 x3  2t  2t  6.  x2  5 x1  3 x2  3 x3  e  x   x  2 x 1 3  3