PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(Trong các kì thi chọn học sinh giỏi các trường, các tỉnh)
Phần 1. Một số bài toán cũ
1. (THPT Chu Văn An, Hà Nội)
x 3 x 2 2x 2y3 1
3
2
3
y y 2y 2z 1
3
2
3
z z 2z 2x 1
2. (THPT chuyên Lê Quý Đôn)
xy 2x y 6 y 2x 0
2
2
1
2
x y 1 xy 8
3. (Hà Nội – Armsterdam, chọn đội tuyển lớp 10)
Giải hệ phương trình
x y x y 2
2
x y2 x 2 y 2 4
4. (Bắc Giang, 08-09)
x x y 2 9
3
3
x(y x ) 7
5. (THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa Vũng Tàu, 08-09)
8
2
18
x 2 y 2 z 2 yz 2zx 3xy
x
y
z
6. (Hà Nội TST, 02-03)
cos x cos y cos z 3 3
2
Giải hệ phương trình sau:
sin x sin y sin z 3
2
7. (Hà Nội, 03-04)
Giải các phương trình sau:
1. 2cosx+sin19x-5 2 sin 21x 3 2 sin10 x
5
3
2. 32 x 40 x 10 x 3 0
8. (Hà Nội, 04-05)
Giải phương trình: 3
cos 2 x
2
sin 2 x
2
x
( ) 2 3
2
x
94( )
9. (Hà Nội, 05-06)
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2x y 1 (1 2x y)(1 12x 2005y 2 ) 0
1 y
2004x y 2.20051 x 2006 2 0
Page 1 of 15
10. (Hà Nội, 06-07)
Giải các phương trình sau:
1. 15 x 5 11x 3 28 1 3x
2. 4 x 1 1 x 2 2 x 2 2 x 1
11. (Hà Nội TST, 06-07)
x 2y
x x 2 y 2 2
y 2x y 0
x 2 y2
12. (Hà Nội, 08-09)
Giải phương trình:
2 1 1 x2
3
1 x
3
1 x
5x
13. (Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh)
1 | y |
| x | 3 | y | log 3 1 | y |
| y | 3 | x | log 1 | x |
3
1 | x |
14. (Nam Định, 02-03)
x.2 x y 1 3y.22x y 2
a. Giải hệ phương trình:
2x y
3y.8x y 1
2x.2
b. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: (4m - 3) x 3 +(3m - 4) 1 x 1 - m
15. (Nam Định, 01-02)
Tìm tất cả các cặp số (x;y) thỏa mãn:
1
1
1
sin x
sin y
sin 2000
sin y
sin 2000
sin x
16. (Nam Định 08-09)
z 2 2xyz 1
2 2
2
3 4
3x y 3y x 1 x y
4
3
2
z zy 4y 4y 6y z
17. (Nghệ An TST, 06-07)
Giải phương trình
(a 4)x + ax = 2(a 2)x
với hằng số a > 4.
18. (Nghệ An, bảng B, 2008)
cos[ (3 x 9 x 2 160 x 800 )] 1
8
19. (Quảng Nam, 07-08)
Giải hệ phương trình
Page 2 of 15
x 2 y 2 2x y 2 0
3
2
2x 3x 6y 12x 13 0
20. (Hải Dương)
Giải hệ phương trình
x x 2 1 2006 y
y y 2 1 2006x
21. (Olympic đồng bằng sông Cửu Long, lần XV)
Giải hệ phương trình
x 4 y 4x 3 6x 2 y 4x y 0
4
3
2
y z 4y 6y z 4y z 0
4
3
2
z x 4z 6z x 4z x 0
21. (Bình Phước, 08-09, vòng 2)
Giải phương trình
4 1 x 1 3x 2 1 x 1 x 2
23. (Hải Phòng, chọn HSG không chuyên, 08-09)
Cho hệ phương trình sau
cos x x 2
y tan y 1
Chứng minh rằng hệ đã cho có duy nhất nghiệm thoả mãn 0 < x < y <1
24. (Nghệ An TST 08-09)
a. Giải hệ phương trình
y x 3
2 z 2 y y 1
2
x z 4x 0
b. Giải phương trình
16x 3 24x 2 12x 3 3 x
25. (Olympic sinh viên toàn quốc)
26. (Kĩ sư tài năng Bách khoa 1999)
Chứng minh rằng phương trình: a.cosx + b.sin2x + c.cos3x = x có nghiệm trên [; ], a, b, c R
27. (Kĩ sư tài năng Bách khoa 2003)
Giải hệ phương trình
Page 3 of 15
x y 3 2y 2
3
y z 2z 2
3
z t 2t 2
3
t x 2x 2
28. (Kĩ sư tài năng Bách khoa 2006)
Phương trình x3 – ax2 + 4 = 0, (a là tham số) có bao nhiêu nghiệm?
29. (Kĩ sư tài năng Bách khoa 2007)
Cho phương trình:
1 x x
3
x 1 x m (1), m là tham số
a. Giải phương trình (1) khi m =1
b. Tìm m để (1) có nghiệm
30. (Thanh Hoá TST, 08-09)
Giải bất phương trình
3x
2
4
(x 2 4).3x 2 1
31. (Đồng Nai, 08-09)
Giải phương trình
1 2sin x 1 2cos x 1 3
32. (Thái Bình 03-04)
Giải và biện luận phương trình
3x
2
2ax 2
32x
2
4ax a 2
x 2 2ax a
33. (Thái Bình 04-05)
2z 1 x 3 x 2 x
a. Giải hệ phương trình 2y 1 z 3 z 2 z
3
2
2x 1 y y y
b. Giải phương trình
với 0 < a < 1
34. (Thái Bình 05-06)
a. Giải các phương trình
1. 5sin x cos 2x 2cos x 0
2.2007 x 2006 x 2005x 2004 x
b. Tìm m để hệ sau có nghiệm
35. (Thái Bình 06-07)
a. Giải phương trình
2cos2x 1
1
2
1
2
cos2x log 2 3cos2x 1
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hệ có nghiệm
Page 4 of 15
36. (Olympic Miền Trung và Tây Nguyên)
37. (Quảng Nam 06 – 07)
a. Giải các phương trình sau trên tập số thực :
a) 9
x 1
2
log 3 5 ( x 2 2 x 3) 32 x x log 1 (2 x 1 2) 0
5
b) x ( 2 x 2 2 ) x 2 2
2 x 2 y 2 x y 2 1 2 8
b. Giải hệ phương trình
2 2
x y
38. (Huế)
Giải hệ phương trình:
x + log 2 y = ylog 2 3 + log 2 x
xlog 2 72 + log 2 x = 2y + log 2 y
39. (Huế 00 – 01)
Giải phương trình
x 2 2x 1
16 2.42x 1 0
40. (Huế 06-07, vòng 2)
Giải hệ phương trình
6x 2 y 2 5xy 7x 3y 2 0
x y
ln x 2 ln y 2
3
41. (Huế 08-09)
a. (Dành cho học sinh chuyên)
Tìm các cặp số thực x ; y sao cho:
2 x 4 y 32
xy 8
b. (Dành cho học sinh không chuyên)
log8 xy 3log8 x log8 y
Giải hệ phương trình
x 3
log 2 y 4 log y x
42. (Hà Tĩnh TST, 07-08)
x 3 - 8x = y3 + 2x
Giải hệ
2
2
x - 3y = 6
43. (Cần Thơ TST, 08-09)
a. (vòng 1) Giải phương trình sau trên R
y 2 xy 1 0
2
2
x y 2x 2y 1 0
Page 5 of 15
b. (vòng 2) Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình
x 2 5x 10 60 24x 5x 2
44. (Tp. Hồ Chí Minh, 04-05, vòng 1)
4x 2 2 2y 15
a.
2
4y 2 2x 15
b.
9x 2 12x 2 3x 8
c.
x 3 4x 2 5x 6 3 7x 2 9x 4
45. (Tp.HCM, 03-04, vòng 1)
Giải hệ phương trình sau
46. (Tp.HCM, 02-03, vòng 2)
a. Giải hệ phương trình
b. Giải phương trình
47. (Tp.HCM, 01-02, vòng 1)
1. Giải các phương trình
a.
b.
2. (đề đề nghị) Giải hệ phương trình
48. (Tp.HCM, 96-97, vòng 2)
49. (Thanh Hoá, 01-02)
1. Giải phương trình
log x cos x sin x log 1 cos x cos 2x 0
x
2. Giải phương trình sau với x 0; 2 : 4
1 2x 1
x
4x
2
2x 1
1 2 1
x
4
x
50. (Thanh Hoá, 02-03)
51. (Thanh Hoá, 03-04, bảng B)
1. Giải các phương trình
a. sin x sin x sin 2 x cos x 1
b.log 7 x log 3 ( x 2)
2. Xác định số nghiệm x 0; 2 của phương trình 2sin x 2cos x
Page 6 of 15
52. (Thanh Hoá, 05-06, bảng B)
Giải hệ phương trình
log 2 x log 4 y log 4 z 2
log 3 y log 9 x log 9 z 2
log z log y log x 2
4
16
16
53. (Thanh Hoá, 07-08)
1. Giải phương trình
2. Giải hệ phương trình
x y3 2xy 2
3
9
4
x y 2xy
54. (Hà Tĩnh, TST, 09-10)
x 4 20 7 x 3 x 4 9
55. (Thanh Hoá, 05-06, đề nghị)
1 x 2
1 2 x
1 1
2 x
log
cos x
2. (1 cos x)log cos x sin x (1 sin x) sin x
x2
1. 2
2
x2
3. (7 + 5 2)
cosx
2
4. x - 3x + 1 = -
- (17 + 12 2)
3
3
4
cos3x
= cos3x .
2
x + x +1.
1
2
6. x 3log 3 x 5 log 5 x 3 x 2
5. cosx + cos2x + cos3x + cos4x = -
7. 3 tgx 1 (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x).
x
8. log22 x + x.log7(x + 3)= log2x [ + 2.log7(x + 3)]
2
9. Gi¶i ph¬ng tr×nh (sin)x + (tan)x = ()x
(víi x lµ tham sè, 0 < x < )
2
2x + 1
10. Giải bất phương trình 2x 2 - 6x + 2 log 2
(x -1) 2
1 42x y .51 2x y 1 22x y1 (1)
11. Giải phương trình
y3 4x 1 ln(y 2 2x) 0(2)
56. (Hải Dương, 08-09)
5x 2y 1 2 log 5 4y 1
Giải hệ phương trình 5 y 2z 1 2 log 5 4z 1
5z 2x 1 2 log 4x 1
5
57. (???) Giải phương trình
58. (Khánh Hoà, 08-09)
Page 7 of 15
1 x 2
1. 2
x2
1 2 x
2
x2
1 1
2 x
2.
59. (Tiền Giang, đề nghị Olympic ĐBSCL 2008)
3
x3 4 x2 5x 6 7 x 2 9 x 4
60. (Vĩnh Long, đề nghị Olympic ĐBSCL 2008)
3
2
Giải phương trình log 3 x 1 3 x 1 3 x 4 2 log 2 x 1
Page 8 of 15
Phần 2. Một số bài toán cập nhật
Đề thi chọn đội tuyển các trường và các tỉnh năm học 2010-2011
Tổng hợp : huynhcongbang – www.mathsope.org
1.Giải hệ phương trình
x 3 3 x 12 y 50
3
y 12 y 3 z 2
z 3 27 x 27 z
(Trường THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng; USA TST 2009)
2. Giải hệ phương trình
(2 x 2 3 x 4)(2 y 2 3 y 4) 18
2
2
x y xy 7 x 6 y 14 0
(Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, đề chọn đội dự tuyển)
3. Giải phương trình
3 x 3 2 x 2 2 3 x 3 x 2 2 x 1 2 x 2 2 x 2
(Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, đề chọn đội dự tuyển)
4. Giải hệ phương trình
y 2 x2 x 2 1
2
e
y 1
3 log ( x 2 y 6) 2 log ( x y 2) 1
2
2
(Trường THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp, đề chọn đội tuyển 11)
5. Giải hệ phương trình:
2(2 x 1)3 2 x 1 (2 y 3) y 2
4 x 2 2 y 4 6
(Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)
6. Giải phương trình:
2 sin 2 x 3 2 sin x 2 cos x 5 0
(Trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi)
7.Giải hệ phương trình sau:
1
y 2 x
2
y
x x
2
2
y ( x 1 1) 3 x 3
(Đề chọn đội tuyển trường Chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định).
8. Giải hệ phương trình.
x 4 x 3 y 9 y y 3 x x 2 y 2 9 x
3 3
x( y x ) 7
Page 9 of 15
(Đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên)
9. Giải hệ phương trình:
x 4 2 x y 4 y
2
2 3
( x y ) 3
(Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội)
10. Giải hệ phương trình:
( x 2)2 ( y 3)2 ( y 3)( x z 2)
2
x 5 x 9 z 7 y 15 3 yz
8 x 2 18 y 2 18 xy 18 yz 84 x 72 y 24 z 176
(Đề chọn đội tuyển THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội).
11. Giải hệ phương trình
x 3y x 3 12
3
y 4z y 6
3
9z 2x z 32
(Đề Chọn đội tuyển ĐHKHTN HN, vòng 1, ngày 2,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=13730 )
12. Giải phương trình
5x 6 2
1
5x 7
x2
1
x 1
(Đề chọn HSG tỉnh Quảng Ninh, bảng A)
13. Giải hệ phương trình
x 2 y 2 1 2x 2y
2x y 2 y 1
(Đề chọn HSG thành phố Hà Nội)
14. Giải hệ phương trình
x x y 1 1
2
y x 2y x y 2 x 0
(Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia tỉnh Quảng Bình)
15. Giải hệ phương trình
6x z
5 x y
x y 6xy x z 5xz 4
6z y
4x y
5
z
y
6zy
x
y
5xy
4 x z
6 y z
6
x z 5xz y z 4yz
(Chọn đội tuyển PTNK Tp.HCM)
16. Giải hệ phương trình
Page 10 of 15
2x 2 y 3xy 4x 2 9y
2
7y y 2x 9x
(Chọn đội tuyển Nha Trang – Khánh Hoà,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=13992 )
17. Giải hệ phương trình
2z x y 1 x 2 y2
2
2
y z 1 2xy 2xz 2yz
2
2
2
y(3x 1) 2x (x 1)
(Chọn đội tuyển KHTN, vòng 3, ngày 2,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14955 )
18. Giải hệ phương trình
x 2 y 2 z 2 2xy zx zy 3
2
2
x y yz zx 2xy 1
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Bình Định,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14203 )
19.
2
1. Giải phương trình : 5x 6
1
x2
1
5x 7
x 1
2. Tìm các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có nghiệm
x 3 3x 2 1 m
x x 1
3
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh, bảng A,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14186 )
20. Giải phương trình
3 x 3 y y x
1 x 2 y 2y 2 2x 2
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng Tháp,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14175 )
21. Giải hệ phương trình
y 2 x 2x 2 y x 3 18 2
3
4
y x x 28
(THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14161 )
22. Giải hệ sau
2x y x 1 2 x 1 2 2x y 2
y 2 4x x 1 17 0
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Khánh Hoà,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14139 )
23. Giải các hệ phương trình sau
Page 11 of 15
3x y3 y 2 y
a)
3
2
3y x x x
3x y3 y 2 y
b) 3y z 3 z 2 z
3
2
3z x x x
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Long An, vòng 1,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=13963 )
24.
1. Giải phương trình trên tập số thực
x5 – x4 – x3 – 11x2 + 25x – 14 = 0
2. Giải phương trình
sin x
4
.sin 3x cos 3x cos x
3
4
3
0
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=13916 )
25. Giải phương trình
x 2 x 1 x 3 4 x 1 1
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Long,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14396 )
26.
1. Giải phương trình
x 2 7 x 2 x 1 x 2 8x 7 1
2. Giải hệ phương trình nghiệm thực
2 2x y 3 2x y
3
x 6 1 x 4
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc)
27. Giải hệ phương trình trên tập số thực
x 4 5y 6
2 2
x y 5x 6
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14452 )
28.
1. Giải phương trình x 2 4x 3 x 5
2. Giải phương trình x 3 x 2 3x 1 2 x 2 trên [-2;2]
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Long An, vòng 2,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14465 )
29. Giải hệ phương trình
x11 xy10 y 22 y12
4
4
2
2
7y 13x 8 2y . 3 x(3x 3y 1)
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Tp. Hồ Chí Minh,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=13995 )
Page 12 of 15
30. Giải phương trình
x 4 2x 3 2x 2 2x 1 (x 3 x)
1 x2
x
(Chọn đội dự tuyển tỉnh Hà Tĩnh, vòng 1,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14352 )
31. Giải hệ phương trình sau
2 x 1 2x 2 y 1 2y 4 10x 1
2
2
2
2 2
x y z 2xz 2yz x y 1 0
(Chọn đổi dự tuyển tỉnh Hà Tĩnh, vòng 2,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14351 )
32. Giải hệ phương trình
x 2 y 2 1
5
2
57
4x 3x 25 y(3x 1)
(Chọn đội dự tuyển Nghệ An, ngày 2,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=13910 )
Lời nhắn
Nguyên văn bởi namdung, 27-09-2010, 06:01 PM, #1,
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=13643
“Nhằm giúp các bạn có thêm những góc nhìn khác nhau về đề thi của các trường, các tỉnh, có thêm
tài liệu để ôn tập, đồng thời thấy tự tin hơn trước những bài toán khó và lạ, chúng tôi tiếp tục tổ chức
sưu tầm, giải và bình luận đề thi chọn học sinh giỏi của các trường và các tỉnh năm 2010-2011. [...]
Cách thức thực hiện hết sức đơn giản, các bạn tham gia giải và gửi bài về cho tôi theo địa chỉ:
[email protected]. Tôi sẽ tổng hợp lại và chuyển cho bạn canvqb để chuyển sang Latex.
Kết quả cuối cùng chúng ta sẽ có một cuốn E-book dành cho tất cả các bạn yêu toán.
”
Tải “Lời giải và Bình luận đề thi các tỉnh và các trường đại học năm 2009 – 2010” (Trần Nam
Dũng chủ biên) : http://www.vnmath.com/2010/01/loi-giai-va-binh-luan-e-thi-cac-tinh-va.htm
P/S: Các bạn cũng có thể post trực tiếp lời giải (và bình luận nếu có thể) trực tiếp lên MS
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=13643
Chân thành cảm ơn./.
Page 13 of 15
Phần 3. Một số bài toán trên các diễn đàn toán học
(mathscope.org, diendantoanhoc.net, maths.vn, diendan3t.net,
truongtructuyen.vn, boxmath.vn, math.vn)
1(1)
3(1)
5(1)
7(1)
12
2
1 y 3x x
1 12 6
y 3x
y
2xy
x2 y
x 3 2
x 2x 9
2xy
y
y2 x
2
3
y 2y 9
x 3 6x 2 y 9xy 2 4y3 0
x y x y 2
1
3
3
3x y x y
x 2 y 2 1
x y 1 3 x y 5
2(1)
x 2 xy 4 y 2 xy 4 12
x 2 y2 xy 1 4y
4(1)
y(x y) 2 2x 2 7y 2
2x 3 9y 3 (x y)(2xy 3)
6(1)
x 2 xy y 2 3
x 3 4y y3 16x
8(1)
y 2 1 5(x 2 1)
x 6 y3 x 2 9y 2 30 28y
10(3)
2x 3 x y
(xy 1)3 2y3 (9 5xy)
9(1)
xy(5y 1) 1 3y
3 2x 2 y x 4 y 2 x 2 1 2x 2 y 4
11(3)
1 1 x y 4 x 2 (x 4 1 2x 2 2xy 2 )
y 1 2x 3 y 3x 6
13(3)
1 4x 6 y 2 5x 6
x 2 y 2 1 2y 2
15(3)
x 2 7y 2 4xy 2 4y
x 2 3xy 2y 2 x y 6 0
17(2)
2
2
x xy 2y 8x 10y 12 0
2x 2 x y 2 7
19(2)
xy x y 3
x y xy x 2 2y 2
21(2)
x 2y y x 1 2x 2y
x y + 2y x = 3x 2x - 1
23(4)
y x + 2x y = 3y 2y -1
7x 2 xy 1 2xy 1
12(3)
y 1 3x 2 2x
6x 4 x 2 x y 2 y 12 x 2 6
14(3)
2
5x 4 x 2 1 y 2 11x 2 5
2
2
y x xy 3
16(3) 2
x 2xy 7x 5y 9
y x 2 y 2 48
18(1)
x y x 2 y 2 24
6x 2 3xy x 1 y
20(2) 2
2
x y 1
x 2 y 2 xy 1
22(2)
2
3x y y 3
24(4)
x 1
xy 3
y2
xy 4
Page 14 of 15
3 x y
2
7x y
2
2
2
1
1
13
x
y
2
2
2
25(4)
2
xy 1 xy(x y) 33
2
4
x y x z 20
26(4) y x y x 8
z x z x 15
(x + 3y + 4z + t) 2 = 27(x 2 + y 2 + z 2 + t 2 )
27(4)
3
3
3
3
x + y + z + t = 93
28(1) 4sin x 21 sin x cos(xy) 2 y 0
29(1) 6x 8x 27 x 1 1 0
1 1 2y 4 2x 4
x 2y
30. 1 1
2
2
2
2
3x y x 3y
x 2y
31.
x = y2 + z 2
2
2
y = z + x
z = x 2 + y2
33. 16x 3 1 4 x
32.
1
2
35(2) 2.11x 18x 4 x (2 x 3x 5x )
37(2)
x 1 x 3 2 (x 1)(x 2 3x 5) 2x
38(2)
x 1 x 3 2 (x 1)(x 2 3x 5) 2x
39(2)
3 x 2 x x 3 x 2 4x 1
3
3
2
81x - 8 = x - 2x +
4
x-2
3
x 2 (y z) 5
3
2
34(2) y (z x) 3
2
1
z (x y) 3
36(2) 2x+1= x + 1 + 4x
40(2)
2x
5x 3 2 3
x2 1
Page 15 of 15
.PDF 
15 
341 
105 
