BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
----------------o0o------------------
ÑAËNG THUÏC HIEÀN
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAØM:
PHÖÔNG PHAÙP LAËP CAÁP HAI
VAØ KHAI TRIEÅN TIEÄM CAÄN
LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC
THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
2003
BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO
ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
ÑAËNG THUÏC HIEÀN
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAØM:
PHÖÔNG PHAÙP LAËP CAÁP HAI
VAØ KHAI TRIEÅN TIEÄM CAÄN
Luaän vaên Thaïc syõ Toaùn hoïc
Chuyeân ngaønh: Toaùn Giaûi Tích
Maõ soá: 1. 01. 01
Ngöôøi höôùng daãn: TS. Nguyeãn Thaønh Long
Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh.
THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
2003
Luaän vaên ñöôïc hoaøn thaønh taïi:
Tröôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh.
Ngöôøi höôùng daãn: TS. Nguyeãn Thaønh Long
Khoa Toaùn- tin hoïc,
Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh.
Ngöôøi nhaän xeùt 1: PGS. TS. Nguyeãn Bích Huy
Khoa Toaùn- tin hoïc,
Ñaïi hoïc Sö Phaïm Tp. Hoà Chí Minh.
Ngöôøi nhaän xeùt 2: TS. Traàn Minh Thuyeát
Khoa Thoáng keâ-Toaùn- tin hoïc,
Ñaïi hoïc Kinh teá Tp. Hoà Chí Minh.
Hoïc vieân cao hoïc: Ñaëng Thuïc Hieàn
Tröôøng Cao ñaúng Giao thoâng khu vöïc 3.
Luaän vaên seõ ñöôïc baûo veä taïi Hoäi Ñoàng chaám luaän aùn caáp Tröôøng taïi Tröôøng Ñaïi hoïc
Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh
vaøo luùc ……giôø……ngaøy …..thaùng…..naêm 2003
Coù theå tìm hieåu luaän vaên taïi Phoøng Sau Ñaïi hoïc, thö vieän Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm
TP. Hoà Chí Minh.
THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH
2003
LÔØI CAÛM ÔN
MUÏC LUÏC
Muïc luïc:…………………………………….………………………………………trang 0
Chöông 1: Phaàn toång quan…………………………………………….……..….…trang 1
Chöông 2: Caùc kyù hieäu vaø khoâng gian haøm……………………………..….…..…trang 4
Chöông 3: Söï toàn taïi, duy nhaát nghieäm………….……………………………..….trang 6
Boå ñeà 3.1…………...……………………….…………………………..….trang 6
Boå ñeà 3.2………...……………………………….……………………..….trang 6
Ñònh lyù 3.1……….……………………………………….……………..…..trang 9
Chuù thích 3.1…………………………………..………………………......trang 10
Chuù thích 3.2………………………………………………………………trang 10
Chöông 4: Thuaät giaûi hoäi tuï caáp hai……………………………………...….……trang 11
4.1. Thuaät giaûi laëpï caáp hai………………….…………….……………..…….trang 11
Ñònh lyù 4.1………………………………...……………………..…..…….trang 12
Ñònh lyù 4.2…………………...…………………………………………….trang 13
4.2. Söï hoäi tuï cuûa thuaät giaûi laëpï caáp hai…………………………..…….……trang 16
Ñònh lyù 4.3………………………………..……………………………..….trang16
Chuù thích 4.1……………………….…………………………………..….trang 19
Chöông 5: Khai trieån tieäm caän nghieäm theo tham soá beù………………………...trang 20
Boå ñeà 5.1………………………………………………..…………………trang 21
Boå ñeà 5.2………………………………………………………..…………trang 22
Boå ñeà 5.3……………………………………..……………………………trang 23
Ñònh lyù 5.1………………………………………………..………………..trang 25
Chuù thích 5.1…….…………………………………………………..…….trang 26
Ñònh lyù 5.2………………………...……………………………………….trang 26
Chöông 6: Moät soá heä phöông trình haøm cuï theå………………..…………………trang 28
6.1. Khaûo saùt thuaät giaûi laëp caáp hai…………………………………………...trang 28
6.2. Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm………………………………......……...trang 33
Phaàn keát luaän. …………………………………...………………………….....….trang 39
Taøi lieäu tham khaûo………………………………………………………….……..trang 40
1
CHÖÔNG 1
TOÅNG QUAN
Trong luaän vaên naày, chuùng toâi nghieân cöùu heä phöông trình haøm sau ñaây
m n
(
)
m
n
f i ( x) = ε ∑∑ aijk Φ f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i ( x),
(1.1)
k =1 j =1
k =1 j =1
∀x ∈ Ω; i = 1,..., n, trong ñoù Ω = [a, b] hoaëc Ω laø moät khoaûng khoâng bò chaän cuûa IR,
aijk , bijk laø caùc haèng soá thöïc cho tröôùc; g i : Ω → IR, Rijk , S ijk : Ω → Ω, vaø
Φ : IR → IR laø caùc haøm soá lieân tuïc cho tröôùc thoaû moät soá ñieàu kieän naøo ñoù maø ta seõ
chæ roõ sau ñoù. Caùc haøm f i : Ω → IR laø caùc aån haøm, ε laø moät tham soá beù.
Trong tröôøng hôïp rieâng Φ( y ) = y 2 , Rijk = S ijk , heä (1.1) ñöôïc nghieân cöùu bôûi caùc
taùc giaû N.T. Long, N.H. Nghóa, T.N. Dieãm[6]; L.T. Vaân [11].
Trong [12], caùc taùc giaû C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu ñaõ nghieân cöùu heä (1.1)
sau ñaây öùng vôùi Ω = [−b, b], m = n = 2, aijk = 0 vaø S ijk laø caùc nhò thöùc baäc nhaát.
⎧ f1 ( x) = a11 f1 (b11 x + c11 ) + a12 f 2 (b12 x + c12 )
⎪
+ a13 f1 (b13 x + c13 ) + g1 ( x),
⎪
⎨
⎪ f 2 ( x) = a 21 f1 (b21 x + c 21 ) + a 22 f 2 (b22 x + c 22 )
⎪⎩
+ a 23 f 2 (b23 x + c 23 ) + g 2 ( x),
(1.2)
vôùi moïi x ∈ Ω = [−b, b], trong ñoù, caùc haèng soá aij , bij , cij , b cho tröôùc thoûa caùc ñieàu
kieän:
bij < 1, b ≥ max [
i, j
cij
1 − bij
3
], max (
i
∑ aij
) < 1,
(1.3)
j =1
caùc haøm soá g1 , g 2 lieân tuïc cho tröôùc vaø f1 , f 2 laø caùc aån haøm. Nghieäm cuûa heä (1.2) luùc
naøy cuõng ñöôïc xaáp xæ bôûi moät daõy qui naïp hoäi tuï ñeàu vaø oån ñònh ñoái vôùi caùc g i .
Trong [9], caùc taùc giaû Nghóa, Khoâi ñaõ xeùt heä phöông trình haøm cuï theå sau ñaây
ñeå laøm kieåm tra moät thuaät toaùn soá
2
x
x 1
x 1
x 1
1
1
1
1
⎧
⎪⎪ f 1 ( x) = 100 f1 ( 2 ) + 200 f 1 ( 3 + 2 ) + 100 f 2 ( 4 + 4 ) + 100 f 2 ( 3 + 4 ) + g1 ( x),
(1.4)
⎨
⎪ f ( x) = 1 f ( x ) + 1 f ( x + 1 ) + 1 f ( x ) + 1 f ( x + 3 ) + g ( x),
1
1
2
2
2
⎪⎩ 2
100
4 200
2 3 100
2 200
4 4
vôùi moïi x ∈ [−1,1] , trong ñoù g1 , g 2 ñöôïc choïn sao cho heä (1.4) coù nghieäm chính xaùc bieát
tröôùc.
Trong [3], caùc taùc giaû Long, Nghóa, Ruy, Khoâi ñaõ nghieân cöùu moät tröôøng hôïp
rieâng cuûa (1.1) vôùi aijk = 0 vaø Ω = [−b, b] hay Ω laø khoaûng khoâng bò chaän cuûa IR.
Baèng caùch söû duïng ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, trong [3] ñaõ thu ñöôïc keát quaû veà söï
toàn taïi, duy nhaát vaø tính oån ñònh nghieäm cuûa heä (1.1) ñoái vôùi caùc haøm g i . Trong tröôøng
hôïp aijk = 0 vaø S ijk laø caùc nhò thöùc baäc nhaát, g ∈ C r (Ω; IR n ) vaø Ω = [−b, b], trong [3]
ñaõ thu ñöôïc moät khai trieån Maclaurin cuûa nghieäm cuûa heä (1.1) cho ñeán caáp r. Hôn
nöõa, neáu g i laø caùc ña thöùc baäc r , thì nghieäm cuûa heä (1.1) cuõng laø ña thöùc baäc r. Keá
ñoù, neáu g i laø caùc haøm lieân tuïc, nghieäm f cuûa (1.1) ñöôïc xaáp xæ bôûi moät daõy caùc ña
thöùc hoäi tuï ñeàu. Sau ñoù, caùc keát quaû treân ñaây ñaõ ñöôïc nôùi roäng bôûi caùc taùc giaû Long,
Nghóa[4] cho mieàn Ω ⊂ IR p nhieàu chieàu vaø S ijk laø caùc haøm affine. Hôn nöõa, trong [4]
cuõng cho moät ñieàu kieän ñuû veà söï hoäi tuï caáp hai. Moät soá keát quaû lieân quan ñeán khai
trieån tieäm caän cuûa nghieäm cho heä (1.1) theo moät tham soá beù ε cuõng ñöôïc xem xeùt
trong baøi baùo cuûa Long, Nghóa, Dieãm [6] vaø Long [8].
Gaàn ñaây, N.T. Long, P.H. Danh, N.K. Khoâi [5] ñaõ nghieân cöùu heä phöông trình
tích phaân-haøm
β ij x +γ ij
⎛
⎞
⎜
f i ( x) = ∑ ⎜ aij f j (bij x + cij ) + α ij ∫ f j (t )dt ⎟⎟ + g i ( x), i = 1,2, x ∈ [−b, b].
⎟
j =1 ⎜
0
⎝
⎠
2
(1.7)
Sau ñoù P.H. Danh, H.T.H. Dung, N.T. Long[1] ñaõ xeùt heä
β ijk x +γ ijk
⎛
⎞
⎜
f i ( x) = ∑∑ ⎜ aijk f j (bijk x + cijk ) + α ikj
f j (t )dt ⎟⎟ + g i ( x),
∫
⎟
k =1 j =1 ⎜
0
⎝
⎠
m n
(1.8)
i = 1,2,..., n, x ∈ Ω = [−b, b], trong ñoù g i : Ω → IR laø caùc haøm lieân tuïc cho tröôùc,
aijk , bijk , cijk ,α ijk , β ijk , γ ijk ∈ R laø caùc haèng soá thöïc cho tröôùc thoûa theâm moät soá ñieàu
kieän phuï. Caùc taùc giaû trong [1, 5] ñaõ thieát laäp nghieäm f = ( f1 ,..., f n ) bôûi moät daõy caùc
ña thöùc hoäi tuï ñeàu.
3
Luaän vaên naày ñöôïc trình baøy trong 6 chöông, phaàn keát luaän vaø cuoái cuøng laø
phaàn taøi lieäu tham khaûo.
Trong chöông 1, laø phaàn toång quan veà heä phöông trình haøm, moät soá keát quaû ñaõ
coù tröôùc ñoù vaø moät soá noäi dung caàn trình baøy trong caùc chöông cuûa luaän vaên.
Trong chöông 2, laø phaàn trình baøy coâng cuï chuû yeáu ñeå söû duïng cho caùc chöông
sau.
Trong chöông 3, döïa vaøo ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, chuùng toâi chöùng minh
söï toàn taïi, duy nhaát nghieäm cuûa heä (1.1).
Trong chöông 4, chuùng toâi nghieân cöùu moät ñieàu kieän ñuû ñeå thu ñöôïc thuaät giaûi
laëp hoäi tuï caáp hai cho heä (1.1). Ñieàu naày cho pheùp gia taêng toác ñoä hoäi tuï cuûa thuaät giaûi
laëp so vôùi thuaät giaûi xaáp xæ lieân tieáp cuûa aùnh xaï co.
Trong chöông 5, chuùng toâi nghieân cöùu heä phöông trình haøm (1.1) bò
nhieãu bôûi moät tham soá beù ε . Chuùng toâi thu ñöôïc trong chöông naày moät khai trieån tieäm
caän nghieäm cuûa heä (1.1) ñeán caáp N + 1 theo ε , vôùi ε ñuû nhoû theo nghóa
N
f ε = ∑ ε r f [ r ] + O(ε N +1 )
r =0
töùc laø
n
N
sup ∑ f i ( x) − ∑ ε r f i[ r ] ( x) ≤ C ε
x∈Ω i =1
N +1
,
r =0
trong ñoù C laø moät haèng soá ñoäc laäp vôùi ε .
Trong chöông 6, chuùng toâi nghieân cöùu moät soá ví duï heä phöông trình haøm cuï theå
p
vôùi thuoäc daïng (1.1) öùng vôùi m = 1, n = 2, Ω = [−1,1], Φ ( y ) = y , p ≥ 2, ôû ñoù moät thuaät
giaûi hoäi tuï caáp hai vaø chæ ra caùc thaønh phaàn trong khai trieån tieäm caän ñeán caáp hai cho
heä ñöôïc khaûo saùt.
Phaàn keát luaän neâu leân moät soá keát quaû thu ñöôïc trong luaän vaên vaø moät soá chuù yù
keøm theo. Cuoái cuøng laø phaàn taøi lieäu tham khaûo.
4
CHÖÔNG 2
CAÙC KYÙ HIEÄU VAØ KHOÂNG GIAN HAØM
Trong chöông 2, laø phaàn giôùi thieäu veà caùc kyù hieäu, caùc khoâng gian haøm vaø moät
soá coâng cuï cô baûn ñöôïc söû duïng trong luaän vaên.
2.1. Caùc kyù hieäu
Ta kyù hieäu Ω = [a, b] hay Ω laø khoaûng khoâng bò chaën trong IR.
Vôùi Ω = [a, b] , ta kyù hieäu X = C (Ω; IR n ) laø khoâng gian Banach cuûa caùc haøm soá
f = ( f1 ,..., f n ) : Ω → IR n lieân tuïc treân Ω ñoái vôùi chuaån
n
f
X
= sup ∑ f i ( x) .
x∈Ω i =1
(2.1)
Khi Ω laø khoaûng khoâng bò chaën, ta kyù hieäu X = C b (Ω; IR n ) laø khoâng gian Banach cuûa
caùc haøm soá f : Ω → IR n lieân tuïc, bò chaän treân Ω ñoái vôùi chuaån (2.1).
Töông töï, vôùi soá nguyeân khoâng aâm m, ta ñaët
C m (Ω; IR n ) = { f = ( f 1 ,..., f n ) ∈ C (Ω; IR n ) : f i ( k ) ∈ C (Ω; IR), 0 ≤ k ≤ m, 1 ≤ i ≤ n}.
Vôùi Ω laø khoaûng khoâng bò chaën, ta kyù hieäu
C bm (Ω; IR n ) = { f = ( f1 ,..., f n ) ∈ C b (Ω; IR n ) : f i ( k ) ∈ C b (Ω; IR), 0 ≤ k ≤ m, 1 ≤ i ≤ n}.
Maët khaùc, C m (Ω; IR n ) vaø C bm (Ω; IR n ) cuõng laø caùc khoâng gian Banach ñoái vôùi chuaån
n
f
m
= max sup ∑ f i( k ) ( x) .
1≤ k ≤ m x∈Ω i =1
(2.2)
2.2. Ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach
Ñònh lyù ñieåm baát ñoäng sau ñaây ñöôïc söû duïng nhieàu laàn trong caùc chöông sau.
Ñònh lyù 2.1.( Ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach) Cho X laø khoâng gian Banach vôùi chuaån
⋅ , K ⊂ X laø taäp ñoùng. Cho T : K → K laø aùnh xaï thoûa maõn: Toàn taïi soá thöïc
σ , 0 ≤ σ < 1 sao cho
5
(2.3)
Tf − Tg ≤ σ f − g , ∀f , g ∈ K .
Khi ñoù ta coù
(i) Toàn taïi duy nhaát f ∈ K sao cho f = Tf .
(ii) Vôùi moãi f (0) ∈ K , xeùt daõy { f (ν ) } cho bôûi f (ν ) = Tf
(j) lim
ν →∞
(jj)
(jjj)
f
(ν )
( ν −1)
, ν = 1, 2,... ta coù
f (ν ) − f = 0,
−f ≤ f
f (ν ) − f ≤
(0)
σ
1−σ
− Tf
( 0)
σν
, ν = 1,2,...
1−σ
f (ν ) − f (ν −1) , ν = 1,2,...
Chöùng minh ñònh lyù 2.1 coù theå tìm thaáy trong caùc saùch veà nhaäp moân giaûi tích.
6
CHÖÔNG 3
ÑÒNH LYÙ TOÀN TAÏI VAØ DUY NHAÁT NGHIEÄM
Trong chöông naày, döïa vaøo ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, chuùng ta chöùng
minh söï toàn taïi, duy nhaát nghieäm cuûa heä (1.1).
Ta vieát heä (1.1) theo daïng cuûa moät phöông trình toaùn töû trong X ≡ C (Ω; IR n )
( hoaëc trong X = C b (Ω; IR n ) ) nhö sau
(3.1)
f = ε Af + Bf + g
trong ñoù
f = ( f1 ,..., f n ),
Af = ( ( Af )1 ,..., ( Af ) n ),
Bf = ( ( Bf )1 ,..., ( Bf ) n ),
vôùi
( Af ) i ( x) = ∑∑ aijk Φ ( f j ( Rijk ( x)) ),
m
n
k =1 j =1
m n
( Bf ) i ( x) = ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)), ( 1 ≤ i ≤ n ) vôùi moïi x ∈ Ω .
k =1 j =1
Ta kyù hieäu:
=
[bijk ]
n
m
∑∑ 1max
≤ j ≤n
i =1 k =1
bijk .
Ñaàu tieân, ta caàn boå ñeà sau.
Boå ñeà 3.1. Giaû söû
[bijk ] < 1 vaø S ijk : Ω → Ω lieân tuïc. Khi ñoù:
i) Bf
f
X
≤ [bijk ]
X
∀f ∈ X .
ii) Toaùn töû tuyeán tính I − B : X → X laø khaû ñaûo vaø ( I − B) −1 ≤
Chöùng minh:
i) Ta coù:
1
1 − [bijk ]
.
7
n
Bf
X
n
m n
= sup ∑ ( Bf ) i ( x) ≤ sup ∑ ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x))
x∈Ω i =1
x∈Ω i =1 k =1 j =1
n m n
≤ sup ∑∑∑ bijk f j ( S ijk ( x))
x∈Ω i =1 k =1 j =1
n
m
n
≤ ∑∑ max bijk sup ∑ f j ( S ijk ( x)) ≤ [bijk ] f
i =1 k =11≤ j ≤ n
X
x∈Ω j =1
.
ii) Tröôùc heát, ta nghieäm laïi raèng B < 1. Thaät vaäy, do (i) vaø [bijk ] < 1, ta chuù yù
raèng B = sup
0 ≠ f ∈X
Bf
f
X
≤ [bijk ] < 1, do ñoù, B < 1.
X
Tieáp theo, ta chöùng minh raèng I − B khaû ñaûo, töùc laø, vôùi moãi g ∈ X , phöông trình
f = Bf + g coù nghieäm duy nhaát f ∈ X . Thaät vaäy, xeùt aùnh xaï
δ :X →X
Khi ñoù, δ laø aùnh xaï co.
Ta coù:
f
X
= Bf + g
X
f a δ f = Bf + g
≤ B f
X
+ g
Vì f = ( I − B ) −1 g neân ( I − B) −1 g
X
X
≤
hay f
g
X
1− B
X
≤
g
X
1− B
.
.
Vaäy
( I − B)
−1
= sup
0 ≠ g∈ X
( I − B ) −1 g
g
X
X
≤
1
1
,
≤
1 − B 1 − [bijk ]
vaø Boå ñeà 3.1 ñöôïc chöùng minh.
Do boå ñeà 1, ta vieát laïi heä (2.1) nhö sau:
f = ( I − B) −1 (ε Af + g ) ≡ Tf .
Ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau:
( H 1 ) Rijk , S ijk : Ω → Ω lieân tuïc;
(3.2)
8
( H 2 ) g = ( g1 ,..., g n ) ∈ X ;
(H 3 )
[bijk ] < 1 ;
( H 4 ) Φ : R → R thoûa ñieàu kieän
∀M > 0, ∃C1 ( M ) > 0 : Φ ( y ) − Φ ( z ) ≤ C1 ( M ) y − z ∀y, z ∈ [− M , M ].
(H 5 ) M >
2 g
X
1 − [bijk ]
vaø 0 < ε 0 <
(
M 1 − [bijk ]
)
2(MC1 ( M ) + n Φ (0) ) [aijk ]
Vôùi moãi M > 0, ta ñaët K M = { f ∈ X : f
≤ M} .
X
Khi ñoù, ta coù boå ñeà sau ñaây.
Boå ñeà 3.2. Giaû söû ( H 1 ) - ( H 4 ) ñuùng. Khi ñoù, ta coù
i) Af
X
(
≤ [aijk ] C1 ( M ) f
~
ii) Af − Af
X
X
+ n Φ (0)
~
≤ C1 ( M ) [aijk ] f − f
)
∀f ∈ K M ,
~
∀f , f ∈ K M .
X
Chöùng minh.
(i) ∀f ∈ K M ,
n
n
m n
(
∑ ( Af ) i ( x) ≤ ∑∑∑ aijk Φ f j ( Rijk ( x))
i =1
)
i =1 k =1 j =1
n
m
n
(
≤ ∑∑ max aijk sup ∑ Φ f j ( Rijk ( x))
i =1 k =11≤ j ≤ n
n
x∈Ω j =1
m
n
(
≤ ∑∑ max aijk sup ∑ Φ f j ( x)
i =1 k =11≤ j ≤ n
n
x∈Ω j =1
m
n
(
)
)
≤ ∑∑ max aijk sup ∑ C1 ( M ) f j ( x) + Φ(0)
i =1 k =11≤ j ≤ n
(
x∈Ω j =1
≤ [aijk ] C1 ( M ) f
Vaäy: Af
X
(
≤ [aijk ] C1 ( M ) f
~
(ii) ∀f , f ∈ K M , ta coù
X
X
)
+ n Φ (0) .
)
+ n Φ (0) .
)
.
9
n
) (
)
) (
)
n m n
~
~
(
Af
)
(
x
)
−
(
A
f
)
(
x
)
≤
∑ i
∑∑∑ aijk Φ f j ( Rijk ( x)) − Φ f j ( Rijk ( x))
i
(
i =1
i =1 k =1 j =1
n m
n
~
≤ ∑∑ max aijk sup ∑ Φ f j ( Rijk ( x)) − Φ f j ( Rijk ( x))
i =1 k =11≤ j ≤ n
(
x∈Ω j =1
) (
n m
n
~
≤ ∑∑ max aijk sup ∑ Φ f j ( x) − Φ f j ( x)
i =1 k =11≤ j ≤ n
(
x∈Ω j =1
)
n m
n
~
≤ C1 ( M )∑∑ max aijk sup ∑ f j ( x) − f j ( x)
i =1 k =11≤ j ≤ n
x∈Ω j =1
~
≤ C1 ( M ) [aijk ] f − f
Vaäy:
~
Af − Af
X
X
.
~
≤ C1 ( M ) [aijk ] f − f
X
.
Khi ñoù, ta coù ñònh lyù sau ñaây.
Ñònh lyù 3.1. Giaû söû ( H 1 ) - ( H 5 ) ñuùng. Khi ñoù, vôùi moãi ε , vôùi ε ≤ ε 0 , heä (3.2) coù moät
nghieäm duy nhaát f ∈ K M .
~
Chöùng minh. Hieån nhieân raèng Tf ∈ X , vôùi moïi f ∈ X . Xeùt f , f ∈ K M , ta deã daøng
nghieäm laïi raèng, do boå ñeà 3.1 vaø 3.2, raèng
Tf
= ( I − B) −1 (ε Af + g )
X
≤
~
Tf − T f
X
1
1 − [bijk ]
[ε
0
X
X
+ g
[aijk ] (MC1 ( M ) + n Φ (0) ) + g
~
= ( I − B) −1 ε ( Af − A f )
≤
≤ ( I − B) −1 (ε Af
X
ε 0 C1 ( M ) [aijk ]
1 − [bijk ]
X
)
],
~
≤ ε 0 ( I − B ) −1 Af − A f
~
f −f
X
.
ε 0 [aijk ] (MC1 ( M ) + n Φ (0) ) + g
X
≤
(3.3)
X
(3.4)
Chuù yù raèng, töø ( H 5 ) ta coù
Töø ñaây ta suy ra
X
(
)
M
1 − [bijk ] .
2
10
ε 0 [aijk ] (MC1 ( M ) + n Φ(0) ) + g
X
1 − [bijk ]
≤ M vaø
ε 0 C1 ( M ) [aijk ]
1 − [bijk ]
< 1.
(3.5)
Ta suy töø (3.3), (3.4), (3.5) raèng T : K M → K M laø aùnh xaï co. Khi ñoù, söû duïng ñònh lyù
ñieåm baát ñoäng Banach, ta coù duy nhaát moät haøm f ∈ K M sao cho f = Tf .
Chuù thích 3.1.
Nhôø ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, nghieäm f cuûa heä (3.2) ñöôïc xaáp xæ bôûi
thuaät giaûi sau:
f (ν ) = Tf
(ν −1)
≡ ( I − B ) −1 (ε Af (ν −1) + g ),
cho tröôùc.
f (0) ∈ K M
Khi ñoù
(3.6)
f (ν ) → f trong X khi ν → +∞
(3.7)
Vaø
f
vôùi
(ν )
σ=
−f
X
≤
f ( 0) − Tf
1−σ
ε 0 C1 ( M ) [aijk ]
1 − [bijk ]
(0)
X
σ ν , ∀ν = 1,2,... ,
(3.8)
< 1.
Chuù thích 3.2.
Trong tröôøng hôïp rieâng Φ ( y ) = y 2 , Rijk = S ijk , heä (1.1) ñöôïc chöùng minh toàn taïi
vaø duy nhaát nghieäm bôûi caùc taùc giaû N.T. Long, N.H. Nghóa, T.N. Dieãm [6]; L.T. Vaân
[11].
11
CHÖÔNG 4
THUAÄT GIAÛI LAËP CAÁP HAI
Trong ñònh lyù 3.1 ñaõ cho moät thuaät giaûi xaáp xæ lieân tieáp (3.6), theo nguyeân taéc
aùnh xaï co, ñoù cuõng laø moät thuaät giaûi hoäi tuï caáp 1. Trong phaàn naøy chuùng ta nghieân cöùu
moät thuaät giaûi caáp hai cho heä (1.1). Moät soá ñieàu kieän phuï lieân quan ñeán heä (1.1) ta seõ
ñaët sau.
4.1. THUAÄT GIAÛI LAËP CAÁP HAI
Xeùt heä phöông trình haøm
m n
(
)
m n
f i ( x) = ε ∑∑ aijk Φ f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i ( x),
k =1 j =1
k =1 j =1
(1.1)
∀x ∈ Ω; i = 1,..., n,
Ta giaû söû raèng Φ ∈ C 1 ( IR; IR). Döïa vaøo xaáp xæ sau ñaây:
Φ ( f j(ν ) ) ≅ Φ ( f j(ν −1) ) + Φ / ( f j(ν −1) )( f j(ν ) − f j(ν −1) ) .
(4.1)
Ta thu ñöôïc giaûi thuaät sau ñaây cho heä (1.1)
(
)
i) Cho tröôùc f ( 0 ) = f1( 0 ) ,..., f n( 0 ) ∈ X .
ii) Giaû söû bieát f (ν −1) = ( f1(ν −1) ,..., f n(ν −1) ) ∈ X , ta xaùc ñònh f (ν ) = ( f 1(ν ) ,..., f n(ν ) ) ∈ X bôûi
fi
(ν )
m n
( x) = ε ∑∑ aijk Φ ( f j(ν −1) ( Rijk ( x)))
k =1 j =1
m
n
[
(
+ ε ∑ ∑ aijk Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν ) ( Rijk ( x)) − f j(ν −1) ( Rijk ( x))
k =1 j =1
)]
m n
+ ∑∑ bijk f j(ν ) ( S ijk ( x)) + g i ( x), x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n, ν = 1,2,...
(4.2)
k =1 j =1
Ta vieát laïi (4.2) döôùi daïng
n
m
n
m
(ν )
f i(ν ) ( x) = ∑∑ α ijk
( x) f j(ν ) ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j(ν ) ( S ijk ( x)) + g i(ν ) ( x),
j =1 k =1
j =1 k =1
x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n, ν = 1,2,...
(ν )
trong ñoù α ijk
, g i(ν ) phuï thuoäc vaøo f (ν −1) cho bôûi:
(4.3)
12
(ν )
α ijk
( x) = ε aijk Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))),
(4.4)
g i(ν ) ( x) = g i ( x)
+ε
∑∑ a [Φ( f
m
n
ijk
k =1 j =1
(ν −1)
j
]
( Rijk ( x))) − Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x)) . (4.5)
Khi ñoù ta coù ñònh lyù sau:
Ñònh lyù 4.1. Giaû söû ( H 1 ) - ( H 3 ) laø ñuùng. Neáu f (ν −1) ∈ X thoûa
n
m
(ν )
αν ≡ ∑∑ max sup α ijk
( x) + [bijk ] < 1.
(4.6)
i =1 k =11≤ j ≤ n x∈Ω
Khi ñoù toàn taïi duy nhaát f (ν ) ∈ X laø nghieäm cuûa (4.3)−(4.5) .
Chöùng minh.
Heä (4.3) ñöôïc vieát laïi nhö sau:
f (ν ) = Tν f
(ν )
(4.7)
,
Vôùi
n m
n m
j =1 k =1
j =1 k =1
(ν )
(Tν f ) i ( x) = ∑∑ α ijk
( x) f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i(ν ) ( x),
x ∈ Ω , 1 ≤ i ≤ n , ν = 1,2,... , f = ( f1 ,..., f n ) ∈ X .
(4.8)
Hieån nhieân raèng Tν : X → X . Ta chæ caàn nghieäm laïi raèng
Tν f − Tν h X ≤ αν f − h X , ∀f , h ∈ X .
~
Thaät vaäy, vôùi f , h ∈ X , ñaët f = f − h, ta coù
(4.9)
n
∑ (Tν f ) ( x) − (Tν h) ( x)
i =1
i
i
n
n m
n m
~
~
(ν )
= ∑ ∑∑ α ijk
( x) f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x))
i =1
j =1 k =1
n
n
j =1 k =1
m
n
n m
~
~
(ν )
≤ ∑∑∑ α ijk
( x) f j ( Rijk ( x)) + ∑∑∑ bijk f j ( S ijk ( x))
i =1 j =1 k =1
n
m
(ν )
≤ ∑∑ max α ijk
( x)
i =1 k =1
1≤ j ≤ n
i =1 j =1 k =1
n
∑
j =1
n m
~
f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ max bijk
i =1 k =1
1≤ j ≤ n
n
∑
j =1
~
f j ( S ijk ( x))
13
n m
~
(ν )
≤ ∑∑ max sup α ijk
( x) f
i =1 k =1
1≤ j ≤ n
x∈Ω
n m
~
+ ∑∑ max bijk f
X
i =1 k =1
n m
⎡ n m
(ν )
( x) + ∑∑
= ⎢∑∑ max sup α ijk
i =1 k =1
⎣ i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω
n m
⎡
(ν )
= ⎢∑∑ max sup α ijk
( x) + [bijk ]
1≤ j ≤ n x∈Ω
⎣ i =1 k =1
1≤ j ≤ n
X
⎤ ~
max bijk ⎥ f
X
1≤ j ≤ n
⎦
⎤ ~
⎥ f X = αν f − h
⎦
X
.
Vaäy
Tν f − Tν h
n
. ≤ sup ∑ (Tν f ) i ( x) − (Tν h) i ( x) ≤ αν f − h
X
x∈Ω i =1
X
.
Söû duïng ñònh lyù ñieåm baát ñoäng Banach, ñònh lyù 4.1 ñöôïc chöùng minh.
Ñònh lyù 4.2. Giaû söû ( H 1 ) − ( H 3 ) ñuùng. Cho aijk ∈ IR. Khi ñoù, toàn taïi hai haèng soá
M , ε , sao cho: Vôùi f (0) ∈ K M cho tröôùc, heä (4.3)−(4.5) toàn taïi duy nhaát nghieäm
f (ν ) thoûa ñieàu kieän
f (ν ) ∈ K M , ∀ν = 0,1,2,...
(4.10)
Chöùng minh. Giaû söû f (0) ∈ K M , vôùi hai haèng soá M , ε , maø ta seõ choïn sau.
Ta cuõng giaû söû baèng qui naïp raèng:
(4.11)
f (ν −1) ∈ K M .
Ta seõ chöùng minh raèng f (ν ) ∈ K M . Vôùi moïi x ∈ Ω, ta coù töø (4.3) raèng:
n
∑
i =1
n
n
m
(ν )
f i(ν ) ( x) ≤ ∑∑∑ α ijk
( x) f j(ν ) ( Rijk ( x))
i =1 j =1 k =1
n
n
m
n
+ ∑∑∑ bijk f j(ν ) ( S ijk ( x)) + ∑ g i(ν ) ( x)
i =1 j =1 k =1
n
i =1
m
(ν )
≤ ∑∑ max α ijk
( x)
i =1 k =11≤ j ≤ n
n
m
+ ∑∑ max bijk
i =1 k =11≤ j ≤ n
n
n
∑
j =1
n
∑
j =1
f j(ν ) ( Rijk ( x))
f j(ν ) ( S ijk ( x)) + g (ν )
m
(ν )
≤ ∑∑ max sup α ijk
( x) f (ν )
i =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω
n m
+ ∑∑ max bijk f (ν )
i =1 k =1 1≤ j ≤ n
X
X
+ g (ν )
X
X
14
⎛ n m
(ν )
≤ ⎜⎜ ∑∑ max sup α ijk
( x) + [bijk ]
j
n
≤
≤
1
x
∈
Ω
⎝ i =1 k =1
⎞ (ν )
⎟ f
⎟
⎠
X
+ g (ν )
X
(4.12)
.
Do ñoù
f (ν )
X
⎛ n m
(ν )
≤ ⎜⎜ ∑∑ max sup α ijk
( x) + [bijk ]
j
n
≤
≤
1
x
∈
Ω
i
k
=
=
1
1
⎝
⎞ (ν )
⎟ f
⎟
⎠
X
+ g (ν )
X
.
(4.13)
Maët khaùc, vôùi moïi x ∈ Ω, ta coù töø (4.4), (4.11), raèng:
(
)
(ν )
α ijk
( x) ≤ ε aijk Φ / f j(ν −1) ( Rijk ( x)) ≤ ε aijk sup Φ / ( y ) ≡ ε M 1 aijk , (4.14)
y ≤M
trong ñoù M 1 = sup Φ / ( y ) .
y ≤M
Ta suy töø (4.14) raèng:
n
m
(ν )
sup α ijk
( x) ≤ ε M 1
∑∑ 1max
≤ j ≤ n x∈Ω
j =1 k =1
(4.15)
[aijk ] .
Maët khaùc, ta cuõng coù töø (4.5) raèng:
g i(ν ) ( x) = g i ( x)
−ε
∑∑ aijk [Φ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) − Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x))] .
m n
k =1 j =1
Chuù yù raèng soá haïng trong daáu moùc […] ñöôïc ñaùnh giaù nhö sau
Φ ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) − Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x))
= Φ ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) − Φ (0) − Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x)) + Φ (0)
= Φ / (θ f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x)) − Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x)) + Φ (0)
(
≤ Φ / (θ f j(ν −1) ( Rijk ( x))) + Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x)))
)f
(ν −1)
j
( Rijk ( x)) + Φ (0)
≤ 2M 1 f j(ν −1) ( Rijk ( x)) + Φ (0) ,
trong ñoù soá thöïc θ , 0 < θ < 1 xuaát hieän do vieäc aùp duïng ñònh lyù Lagrange cho haøm Φ :
Φ ( z ) − Φ (0) = zΦ / (θ z ) vôùi z = f j(ν −1) ( Rijk ( x)).
Do ñoù ta suy ra töø (4.11) raèng
15
n
∑
i =1
n
g i(ν ) ( x) ≤ ∑ g i ( x)
i =1
n m n
∑∑∑ aijk
+ε
i =1 k =1 j =1
≤ g
X
+ε
n
Φ ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) − Φ / ( f j(ν −1) ( Rijk ( x))) f j(ν −1) ( Rijk ( x))
m
∑∑ max aijk
i =1 k =1
1≤ j ≤ n
≤ g
≤ g
X
j =1
f j(ν −1) ( Rijk ( x))
1
∑∑ max a (n Φ(0) + 2M
+ ε [aijk ] (n Φ (0) + 2 MM 1 ) .
X
n
+ε
X
m
i =1 k =1
Vaäy
g (ν )
∑ ( Φ ( 0) + 2 M
n
≤ g
X
1≤ j ≤ n
ijk
1
)
f (ν −1)
X
)
+ ε [aijk ] (n Φ (0) + 2MM 1 ).
(4.16)
Töø (4.13), (4.15) vaø (4.16), ta ñöôïc:
f (ν )
X
(
≤ ε M 1 [aijk ] + [bijk ]
+ g
X
hay
(1 −
[bijk ] − ε M 1 [aijk ]
)
f (ν )
(4.17)
X
+ ε [aijk ] (n Φ (0) + 2 MM 1 ).
)
f (ν )
X
≤ g
X
+ ε [aijk ] (n Φ (0) + 2MM 1 ).
Vôùi M > 0 ñaõ choïn nhö trong ( H 5 ), ta choïn ε sao cho hai ñieàu kieän sau ñöôïc thoûa:
(4.18)
[bijk ] + ε M 1 [aijk ] < 1,
g
X
(4.19)
+ ε [aijk ] (3MM 1 + n Φ (0) ) ≤ (1 − [bijk ] ) M .
Khi ñoù, ta suy ra töø (4.17), (4.18) vaø (4.19) raèng:
f (ν )
X
≤
g
X
+ ε [aijk ] (n Φ (0) + 2 MM 1 )
1 − [bijk ] − ε M 1 [aijk ]
(4.20)
≤ M.
Ñieàu naày khaúng ñònh (4.10).
Ta chuù yù raèng (4.19) daãn ñeán (4.18), bôûi vì (4.19) töông ñöông vôùi:
g
X
(
)
+ ε [aijk ] (2MM 1 + n Φ (0) ) ≤ 1 − [bijk ] − ε M 1 [aijk ] M .
Nhö vaäy, ta chæ caàn choïn ε thoûa (4.19).
(4.21)
- Xem thêm -