Hạng của module trên miền dedekind và miền các ideal chính

  • Số trang: 54 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 28 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Ân HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND VÀ MIỀN CÁC IDEAL CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Ân HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND VÀ MIỀN CÁC IDEAL CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ, K20 Mã số: 60 46 05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Mỵ Vinh Quang Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán – tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, những người đã cho tôi niềm đam mê khoa học và đã trang bị đầy đủ kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành luận văn. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành luận văn này, người đã cho tôi những định hướng và nhận xét quý báu trong quá trình xây dựng đề cương cũng như quá trình hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tin tưởng, động viên và ủng hộ về mặt tinh thần cả vật chất để tôi thuận lợi hoàn thành khóa học. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2012 Nguyễn Văn Ân MỤC LỤC Lời cảm ơn ......................................................................................................... i Mục lục ........................................................................................................... ii Lời mở đầu ....................................................................................................... iii Chương 1. MIỀN DEDEKIND ..................................................................... 1 1.1. Khái niệm đóng nguyên .................................................................... 1 1.2. Vành Noether .................................................................................... 2 1.3. Miền Dedekind.................................................................................. 3 1.4. Hạng của nhóm Abel ........................................................................ 9 Chương 2. HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND VÀ TRÊN MIỀN CÁC IDEAL CHÍNH........................................................................... 11 2.1. Cấp của phần tử............................................................................... 11 2.2. Module cyclic và tựa cyclic trên miền Dedekind ........................... 16 2.3. Khái niệm hạng của module trên miền Dedekind. ......................... 21 2.4. Một số tính chất của hạng module trên miền các ideal chính......... 31 2.5. So sánh một số tính chất của hạng module trên miền các ideal chính và miền Dedekind. .................................................................................. 41 Kết luận ......................................................................................................... 48 Tài liệu tham khảo ........................................................................................... 49 LỜI MỞ ĐẦU Có nhiều nghiên cứu module trên miền các ideal chính vì nó có nhiều tính chất “hay và đẹp” và miền Dedekind có thể xem như là mở rộng gần gủi nhất của miền các ideal chính, vì miền Dedekind còn bảo lưu được nhiều tính chất rất giống với miền các ideal chính, chẳng hạn: trong miền Dedekind mỗi ideal đều phân tích được duy nhất thành tích các ideal tối đại, mỗi ideal nguyên tố của miền Dedekind đều là ideal tối đại, tuy nhiên nó cũng có nhiều tính chất rất khác so với miền các ideal chính, chẳng hạn mỗi ideal của miền Dedekind nói chung không là ideal chính, module con của môt module cyclic trên miền Dedekind có thể không là module cyclic… Khái niệm hạng của module có thể xem như là khái niệm mở rộng của khái niệm hạng module tự do, tuy nhiên khái niệm hạng của một module đặc biệt là hạng của module trên miền Dedekind chưa được nghiên cứu nhiều, trong luận văn này sẽ nghiên cứu, tìm tòi và đưa ra những tính chất mới về hạng của một module trên miền Dedekind và miền các ideal chính. Luận văn gồm 2 chương Chương I: Miền Dedekind Trong chương này trình bài các tính chất cơ bản về miền Dedekind cần thiết cho chương II. Chương II: Hạng của module trên miền Dedekind và trên miền các ideal chính Trong chương này chúng tôi xây dựng và nghiên cứu các tính chất của cấp một phần tử trong module trên miền Dedekind, xây dựng và nghiên cứu các tính chất của module cyclic và tựa cyclic trên miền Dedekind, xây dựng khái niệm hạng của một module trên miền Dedekind và miền các ideal chính, nghiên cứu các tính chất quan trọng hạng của module trên miền Dedekind và miền các ideal chính. Chương 1. MIỀN DEDEKIND 1.1. Khái niệm đóng nguyên 1.1.1. Định nghĩa phần tử nguyên Cho 𝐴 và 𝐵 là những miền nguyên, 𝐴 ⊂ 𝐵 (tháp miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵). Phần tử 𝑏 thuộc 𝐵 được gọi là phần tử nguyên trên 𝐴 nếu tồn tại đa thức 𝑓(𝑥) thuộc 𝐴[𝑥] đơn khởi, bậc lớn hơn hoặc bằng 1, nhận 𝑏 làm nghiệm. Hay 𝑏 nguyên trên 𝐴 khi và chỉ khi tồn tại 𝑎0 , 𝑎1 , … 𝑎𝑛−1 ∈ 𝐴 sao cho 1.1.2. Định lý 𝑏𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑏 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑏 + 𝑎0 = 0 Cho tháp các miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵. Nếu 𝐵 là 𝐴-module hữu hạn sinh thì 𝐵 nguyên trên 𝐴 (nghĩa là mọi phần tử 𝑏 thuộc 𝐵 đều nguyên trên 𝐴). Chứng minh. Giả sử 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 là hệ sinh của 𝐴-module 𝐵, khi đó ∀𝑏 ∈ 𝐵 ta có Suy ra 𝑏1 𝑏 = 𝑎11 𝑏1 + ⋯ + 𝑎1𝑚 𝑏𝑚 𝑏 𝑏 = 𝑎21 𝑏1 + ⋯ + 𝑎2𝑚 𝑏𝑚 � 2 … 𝑏𝑚 𝑏 = 𝑎𝑚1 𝑏1 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑚 𝑏𝑚 (𝑎11 − 𝑏)𝑏1 + 𝑎12 b2 … + 𝑎1𝑚 𝑏𝑚 = 0 𝑎 𝑏 + (𝑎22 − 𝑏)𝑏2 + ⋯ + 𝑎2𝑚 𝑏𝑚 = 0 � 21 1 … 𝑎𝑚1 𝑏1 + 𝑎𝑚2 𝑏2 + ⋯ + (𝑎𝑚𝑚 − 𝑏)𝑏𝑚 = 0 Hệ có nghiệm 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 khác 0, do đó: a11  b a12  a1m a21 a22  b  a2 m 0    am1 am 2  amm  b Đẳng thức trên tương đương với (−1)𝑚 𝑏𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑏 𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑏 + 𝑎0 = 0, 𝑎𝑖 ∈ 𝐴 Vậy 𝑏 là nghiệm của đa thức: 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑚 + (−1)𝑚 𝑎𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ + (−1)𝑚 𝑎1 𝑥 + (−1)𝑚 𝑎0 ∈ 𝐴[𝑥] Từ đó suy ra b nguyên trên A.  1.1.3. Hệ quả Cho tháp các miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵, và b thuộc B. Khi đó các điều kiện sau là tương đương i) b nguyên trên A. ii) A[b] là A-module hữu hạn sinh. iii) A[b] nguyên trên A. 1.1.4. Định nghĩa bao đóng nguyên Cho các miền nguyên 𝐴 ⊂ 𝐵. Ta định nghĩa bao đóng nguyên của A trong B là tập 𝐴𝐵 = {𝑏 ∈ 𝐵|𝑏 nguyên trên A}. Nếu 𝐴𝐵 = 𝐵 thì ta nói B nguyên trên A, nếu 𝐴𝐵 = 𝐴 thì ta nói A đóng nguyên trong B. Nhận xét: 𝐴 ⊂ 𝐴𝐵 ⊂ 𝐵 1.1.5. Định nghĩa đóng nguyên Cho A là miền nguyên, K là trường các thương của A. Bao đóng nguyên của A trong K được gọi là bao đóng nguyên của A. Miền nguyên A được gọi là đóng nguyên nếu 𝐴𝐾 = 𝐴. 1.2. Vành Noether 1.2.1. Định nghĩa dây chuyền tăng các ideal Cho một dãy vô hạn các ideal {𝐼𝑛 |𝑛 = 1,2, … } trong một vành. Dãy này được gọi là một dây chuyền tăng nếu 𝐼1 ⊆ 𝐼2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ ⋯ Dãy này gọi là dây chuyền tăng nghiêm ngặt nếu 𝐼1 ⊂ 𝐼2 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐼𝑛 ⊂ ⋯ 1.2.2. Định nghĩa dãy dừng Một dây chuyền tăng các ideal 𝐼1 ⊆ 𝐼2 ⊆ ⋯ ⊆ 𝐼𝑛 ⊆ ⋯ trong một vành được gọi là dừng nếu có một số nguyên dương 𝑛0 sao cho 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛0 , ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . 1.2.3. Định nghĩa điều kiện dây chuyền tăng Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng nếu mọi dây chuyền tăng các ideal của R đều dừng. Nói cách khác, R được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng nếu R không chứa dây chuyền tăng nghiêm ngặt các ideal nào. 1.2.4. Định nghĩa vành Noether Một vành R được gọi là vành Noether nếu R thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng. 1.2.5. Định nghĩa điều kiện tối đại Một vành D được gọi là thỏa mãn điều kiện tối đại nếu mọi tập không rỗng S các ideal của D đều chứa một ideal sao cho không có một ideal nào trong S chứa nó thực sự; nghĩa là trong S có một ideal I sao cho nếu J là một ideal trong S mà 𝐼 ⊆ 𝐽 thì 𝐼 = 𝐽 (hay nói cách khác, mọi tập không rỗng S các ideal của D đều chứa phần tử tối đại). 1.2.6. Định lý Cho R là một vành, các mệnh đề sau là tương đương: i) R là vành Noether. ii) R thỏa mãn điều kiện tối đại. iii) Mọi ideal của R đều hữu hạn sinh. 1.3. Miền Dedekind 1.3.1. Định nghĩa miền Dedekind Cho D là miền nguyên, D được gọi là miền Dedekind nếu các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn: i) D là vành Noether. ii) Mọi ideal nguyên tố khác 0 đều tối đại. iii) D là đóng nguyên. Ví dụ 1. Miền các ideal chính là miền Dedekind, thậy vậy: Trong miền các ideal chính mọi ideal đều sinh bởi một phần tử nên hữu hạn sinh, do đó miền các ideal chính là vành Noether. Giả sử 〈𝑝〉 là ideal nguyên tố khác 0 trong miền các ideal chính X, và có ideal 〈𝑞〉 sao cho 〈𝑝〉 ⊂ 〈𝑞〉 ⊂ 𝑋 suy ra tồn tại 𝑎 ∈ 𝑋 sao cho 𝑝 = 𝑎𝑞, vì vậy 𝑎𝑞 ∈ 〈𝑝〉 kết hợp với 〈𝑝〉 là ideal nguyên tố suy ra 𝑎 ∈ 〈𝑝〉 hoặc 𝑞 ∈ 〈𝑝〉 điều này tương đương 𝑎 = 𝑏𝑝, (𝑣ớ𝑖 𝑏 ∈ 𝑋) hoặc 𝑞 = 𝑐𝑝, (𝑣ớ𝑖 𝑐 ∈ 𝑋). Vậy 〈𝑝〉 = 〈𝑞〉 hoặc 〈𝑞〉 = 𝑋, tức là 〈𝑝〉 tối đại. Giả sử X là miền các ideal chính, K là trường các thương của X, Ta đã có 𝑋 ⊂ 𝑋 𝐾 , ngược lại lấy 𝛼 ∈ 𝑋 𝐾 , ta có 𝛼 ∈ 𝐾 nên 𝛼 = 𝑎/𝑏, với 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 và (𝑎, 𝑏) = 1. Vì 𝛼 nguyên trên X nên tồn tại 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛−1 ∈ 𝑋 sao cho suy ra hay 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑎 𝑛 + ⋯ + 𝑎1 � � + 𝑎0 = 0 � � + 𝑎𝑛−1 � � 𝑏 𝑏 𝑏 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑏 + ⋯ + 𝑎1 𝑎𝑏 𝑛−1 + 𝑎0 𝑏 𝑛 = 0 𝑎𝑛 = −𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑏 − ⋯ − 𝑎1 𝑎𝑏 𝑛−1 − 𝑎0 𝑏 𝑛 Vậy 𝑎𝑛 ⋮ 𝑏 mà (𝑎, 𝑏) = 1 nên 𝑏 = 1 do đó 𝛼 = 𝑎 ∈ 𝑋. Do đó ta có 𝑋 𝐾 ⊂ 𝑋. Ví dụ 2. Cho K là trường sau cho ℚ ⊂ 𝐾 ⊂ ℂ, trong đó ℚ và ℂ lần lượt là trường các số hữu tỷ và trường các số phức, [𝐾: ℚ] = 𝑛. Ta gọi 𝑂𝐾 là vành các số nguyên của K trên ℤ, tức là 𝑂𝐾 = {𝛼 ∈ 𝐾|𝛼 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑡𝑟ê𝑛 ℤ} Khi đó 𝑂𝐾 là miền Dedekind (xem [9], trang 194, định lý 8.1.1). 1.3.2. Định nghĩa Ideal phân Cho D là miền nguyên, K là trường các thương của D. Tập con A khác rỗng của K được gọi là ideal phân của D nếu có 3 điều kiện sau: i) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 thì 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐴. ii) ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì 𝑎𝑥 ∈ 𝐴. iii) ∃𝛼 ∈ 𝐷, 𝛼 ≠ 0 để 𝛼𝐴 ⊂ 𝐷. Nhận xét Nếu 𝐴, 𝐵 là các ideal phân của 𝐷 thì 𝐴 + 𝐵, 𝐴𝐵 cũng là ideal phân của 𝐷. 1.3.3. Tính chất 1) Nếu 𝐴 ⊲ 𝐷 thì A là ideal phân của D. Ngược lại, nếu A là ideal phân của D và 𝐴 ⊂ 𝐷 thì 𝐴 ⊲ 𝐷. 2) Mỗi ideal phân A của D đều viết được 𝐴 = � 1.3.4. Định nghĩa Ideal 𝑷 𝐼 𝛼 với 𝛼 ∈ 𝐷, 𝐼 ⊲ 𝐷. Cho D là miền Dedekind, P là ideal nguyên tố của D, K là trường các thương của D. Ta định nghĩa 𝑃� = {𝛼 ∈ 𝐾|𝛼𝑃 ⊂ 𝐷} Nhận xét: 𝑃� là ideal phân của D, thật vậy • ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃�: (𝛼 + 𝛽)𝑃 ⊂ 𝛼𝑃 + 𝛽𝑃 ⊂ 𝐷 + 𝐷 = 𝐷, do đó 𝛼 + 𝛽 ∈ 𝑃�. • ∀𝑎 ∈ 𝐷, ∀𝛼 ∈ 𝑃�: (𝛼𝑎)𝑃 = 𝑎(𝛼𝑃) ⊂ 𝑎𝐷 ⊂ 𝐷, suy ra 𝛼𝑎 ∈ 𝑃�. • Lấy 𝛼 ∈ 𝑃\{0}. Khi đó ∀𝛽 ∈ 𝑃�, ta có 𝛼𝛽 = 𝛽𝛼 ∈ 𝛽𝑃 ⊂ 𝐷, nên 𝛼𝑃� ⊂ 𝐷. 1.3.5. Mệnh đề Cho D là miền Dedekind, P là ideal nguyên tố khác 0 của D. Khi đó 𝑃�𝑃 = 𝐷. Chứng minh. Vì 𝑃�, 𝑃 là ideal phân của D nên 𝑃�𝑃 là ideal phân của D. Với mọi 𝛼 ∈ 𝑃� thì 𝛼𝑃 ⊂ 𝐷 nên 𝑃�𝑃 ⊂ 𝐷, suy ra 𝑃� 𝑃 ⊲ 𝐷. Vì 1 ∈ 𝐷 ⊂ 𝑃� nên 1𝑃 ⊂ 𝑃� 𝑃 ⊲ 𝐷, do tính tối đại của P ta có 𝑃�𝑃 = 𝑃 hoặc 𝑃�𝑃 = 𝐷. Giả sử 𝑃�𝑃 = 𝑃, Khi đó ta chứng minh 𝑃� là một miền nguyên con của K chứa D. Thật vậy, vì 𝑃� là ideal phân của D nên 𝑃� đóng với phép trừ. Để chứng minh 𝑃� đóng với phép nhân ta lấy 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃�, cần chứng minh 𝛼𝛽 ∈ 𝑃�. Ta có:(𝛼𝛽)𝑃 = 𝛼(𝛽𝑃) ⊂ 𝛼𝑃 ⊂ 𝑃 ⊂ 𝐷(vì 𝑃�𝑃 = 𝑃) do đó 𝛼𝛽 ∈ 𝑃�. Do D là vành Noether nên 𝑃� là D-hữu hạn sinh. Do 𝑃� là miền nguyên nên 𝑃� là D-module hữu hạn sinh. Do đó 𝑃� nguyên trên D, mà D đóng nguyên nên 𝑃� = 𝐷, mâu thuẫn với bổ đề 1.3.5. Vậy 𝑃�𝑃 = 𝐷.  1.3.6. Định lý Nếu D là miền Dedekind thì mọi ideal khác 0 và khác D của D đều phân tích được duy nhất thành tích của một hoặc hữu hạn các ideal nguyên tố. Chứng minh. (xem [1], trang 10, mệnh đề 1.4.9). 1.3.7. Định nghĩa cấp của ideal có Từ định lý 1.3.6 nếu D là miền Dedekind thì ∀𝐴 ⊲ 𝐷, 𝐴 ≠ 0, 𝐴 ≠ 𝐷, ta 𝑘 𝑘 𝐴 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 trong đó 𝑃𝑖 là các ideal nguyên tố khác nhau của D và 𝑘𝑖 ≥ 1. Đây được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của A. Với mọi P là ideal nguyên tố của D ta quy ước 𝑃0 = 𝐷 = 〈1〉. Ta định nghĩa 𝑘𝑖 = 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 (𝐴), 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 Nếu P không có mặt trong sự phân tích tiêu chuẩn của A thì ta định nghĩa 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴) = 0, (𝑃 ≠ 𝑃𝑖 , ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚) Xét khi A là ideal phân của D, khi đó 𝐴 = 𝑘 𝑘 𝑙 𝑙 𝐼 𝛼 với 𝐼 ⊲ 𝐷 và 𝛼 ∈ 𝐷, theo trên ta có 𝐼 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝑘𝑖 ≥ 0, 〈𝛼〉 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝑙𝑖 ≥ 0. Từ giả thiết 〈𝛼〉𝐴 = 𝐼 ta 𝑙 𝑘 𝑙 𝑘 có 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 𝐴 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 . Ta định nghĩa 𝑘 −𝑙1 𝐴: = 𝑃1 1 𝑘 −𝑙𝑚 … 𝑃𝑚𝑚 Định nghĩa hợp lý, vì nếu 𝐴 = 𝐼 𝛼 𝐽 , 𝑘 𝑖 − 𝑙𝑖 ∈ ℤ 𝑘′ ′ 𝑙′ ′ 𝑘 𝑙 = , 𝐽 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 〈𝛽〉 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 𝛽 thì 𝐼 = 𝛼𝐴 và 𝐽 = 𝛽𝐴 nên 𝛽𝐼 = 𝛼𝐽, do đó 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 (𝛽𝐼) = 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 (𝛼𝐽) suy ra 𝑙𝑖′ + 𝑘𝑖 = 𝑙𝑖 + 𝑘𝑖′ hay 𝑘𝑖 − 𝑙𝑖 = 𝑘𝑖′ − 𝑙𝑖′ , 𝑖 = 1, … , 𝑚, vậy ta có 𝑘 −𝑙1 𝐴 = 𝑃1 1 𝑘 −𝑙𝑚 … 𝑃𝑚𝑚 𝑘 ′ −𝑙1′ = 𝑃1 1 ′ 𝑘 ′ −𝑙𝑚 … 𝑃1 𝑚 Từ kết quả trên ta suy ra các ideal phân của D lập thành một nhóm đối với phép nhân ideal, đơn vị là D. Nhận xét . 𝑘 −𝑘 𝑘 −𝑘 • Nếu 𝐴 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝑘𝑖 ∈ ℤ thì 𝐴−1 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚 𝑚 . 𝑘 𝑘 • Nếu 𝐴 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝑘𝑖 ∈ ℤ thì các điều kiện sau là tương đương o A là ideal nguyên của D. o 𝑘𝑖 ≥ 0, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚. o 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴) ≥ 0, ∀𝑃 là ideal nguyên tố. • 𝐴 = 𝐷 khi và chỉ khi 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴) = 0, ∀𝑃 là ideal nguyên tố. Để tiện lợi khi đưa ra tính chất cấp của ideal trong miền Dedekind, Sau đây chúng ta sẽ xây dựng tính chất số học của các ideal trong miền Dedekind tương tự như tính chất số học của các phần tử trên miền các ideal chính. 1.3.8. Định nghĩa chia hết Cho A, B là ideal (nguyên, phân) của D. Ta nói A chia hết cho B, viết 𝐴 ⋮ 𝐵, nếu tồn tại ideal nguyên C để 𝐴 = 𝐵𝐶. Khi 𝐴 ⋮ 𝐵 ta còn nói B là ước của A, viết 𝐵|𝐴. 𝐴 Sự tồn tại ideal nguyên 𝐶 như trên là duy nhất nên ta ký hiệu 𝐶 ≔ . 𝐵 Nhận xét: i) 𝐴 ⊂ 𝐵 khi và chỉ khi 𝐴 ⋮ 𝐵. ii) 𝑎 ∈ 𝐵 khi và chỉ khi 〈𝑎〉 ⋮ 𝐵. 1.3.9. Định nghĩa ước chung lớn nhất Cho A và B là ideal của D, ideal (𝐴, 𝐵) gọi là ước chung lớn nhất của A và B nếu xãy ra hai điều kiện sau: i) 𝐴 ⋮ (𝐴, 𝐵), 𝐵 ⋮ (𝐴, 𝐵) ii) Nếu 𝐴 ⋮ 𝐶 và 𝐵 ⋮ 𝐶 thì (𝐴, 𝐵) ⋮ 𝐶 1.3.10. Tính chất 𝑘 𝑘 𝑙 𝑙 𝑚𝑖𝑛{𝑘1 ,𝑙1 } 1) 𝐴 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝐵 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 thì (𝐴, 𝐵) = 𝑃1 𝑚𝑖𝑛{𝑘𝑚 ,𝑙𝑚 } … 𝑃𝑚 . 2) (𝐴, 𝐵) = 𝐴 + 𝐵. Chứng minh.Vì 𝐴 ⊂ 𝐴 + 𝐵, 𝐵 ⊂ 𝐴 + 𝐵 nên 𝐴 ⋮ (𝐴 + 𝐵), 𝐵 ⋮ (𝐴 + 𝐵). Nếu 𝐴 ⋮ 𝐶 và 𝐵 ⋮ 𝐶 tức là 𝐴 ⊂ 𝐶 và 𝐵 ⊂ 𝐶 suy ra (𝐴 + 𝐵) ⊂ 𝐶 hay (𝐴 + 𝐵) ⋮ 𝐶. 3) Nếu 𝐴𝐶 ⋮ 𝐵,(𝐴, 𝐵) = 〈1〉 thì 𝐶 ⋮ 𝐵. Chứng minh. Ta có 𝐴𝐶 ⊂ 𝐵, từ (𝐴 + 𝐵) = 〈1〉, suy ra tồn tại 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵: 𝑎 + 𝑏 = 1. Khi đó ∀𝑐 ∈ 𝐶: 𝑐 = 𝑐(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏 ∈ 𝐵, nên 𝐶 ⊂ 𝐵 hay 𝐶 ⋮ 𝐵. 4) Nếu (𝐴, 𝐵) = 〈1〉 thì 𝐴𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵. Chứng minh. Hiển nhiên ta có 𝐴𝐵 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 Mặt khác từ 𝐴 + 𝐵 = 〈1〉 suy ra tồn tại 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵: 𝑎 + 𝑏 = 1 Khi đó ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵: 𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) = 𝑎𝑥 + 𝑥𝑏 ∈ 𝐴𝐵, nên 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴𝐵. 5) Nếu (𝐴, 𝐵) = 〈1〉, 𝐶 ⋮ 𝐴, 𝐶 ⋮ 𝐵 thì 𝐶 ⋮ 𝐴𝐵. Chứng minh. Do 𝐶 ⋮ 𝐴, 𝐶 ⋮ 𝐵 nên 𝐶 ⊂ 𝐴 và 𝐶 ⊂ 𝐵 suy ra 𝐶 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴𝐵 hay 𝐶 ⋮ 𝐴𝐵. 6) Nếu 𝑃1 và 𝑃2 là các ideal nguyên tố khác nhau thì (𝑃1 , 𝑃2 ) = 〈1〉. Chứng minh. 𝑃1 là ideal nguyên tố nên 𝑃1 tối đại mà 𝑃1 ⊂ 𝑃1 + 𝑃2 ⊂ 𝐷  nên 𝑃1 + 𝑃2 = 𝐷 hay (𝑃1 , 𝑃2 ) = 〈1〉. 1.3.11. Định nghĩa bội chung nhỏ nhất Cho A và B là ideal của D, ideal [𝐴, 𝐵] gọi là bội chung nhỏ nhất của A và B nếu xãy ra hai điều kiện sau: i) [𝐴, 𝐵] ⋮ 𝐴, [𝐴, 𝐵] ⋮ 𝐵. ii) Nếu 𝐶 ⋮ 𝐴 và 𝐶 ⋮ 𝐵 thì 𝐶 ⋮ [𝐴, 𝐵]. Nhận xét: 𝑘 𝑘 𝑙 𝑙 𝑚𝑎𝑥{𝑘1 ,𝑙1 } 1) 𝐴 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝐵 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 thì [𝐴, 𝐵] = 𝑃1 2) [𝐴, 𝐵] = 𝐴 ∩ 𝐵. 1.3.12. Tính chất cấp của ideal 1) Cho 𝐴, 𝐵 là ideal phân bất kỳ của D, ta có 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴𝐵) = 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴) + 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐵) 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴 + 𝐵) = min {𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴), 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐵)} 𝑚𝑎𝑥{𝑘𝑚 ,𝑙𝑚 } … 𝑃𝑚 . Từ đó suy ra 𝐴 ⊂ 𝐵 khi và chỉ khi 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐴) ≥ 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝐵), ∀𝑃 là ideal nguyên tố. 2) Ta định nghĩa 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼) ≔ 𝑜𝑟𝑑𝑃 (〈𝛼〉), ∀𝛼 ∈ 𝐾 , khi đó ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾 ta có 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼𝛽) = 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼) + 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛽) 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼 + 𝛽) ≥ min {𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼), 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛽)} Nếu 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼) ≠ 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛽) min {𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼), 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛽)}. thì 1.3.13. Định lý 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝛼 + 𝛽) = Cho D là miền Dedekind, A là ideal (nguyên, phân) của D, B là ideal nguyên của D. Khi đó ∃𝛼 ∈ 𝐴 để 𝐴 = 〈𝛼〉 + 𝐴𝐵. 1.3.14. Định lý tử. Mọi ideal (nguyên, phân) của miền Dedekind D đều sinh bởi tối đa 2 phần Chứng minh. Giả sử A là ideal bất kỳ của D, 𝛽 ∈ 𝐴. Khi đó, 〈𝛽〉 ⊂ 𝐴 nên tồn tại B là ideal nguyên của D sao cho 〈𝛽〉 = 𝐴𝐵 . Theo định lý 1.3.13, tồn tại α thuộc A để 𝐴 = 〈𝛼〉 + 𝐴𝐵 = 〈𝛼〉 + 〈𝛽〉 = 〈𝛼, 𝛽〉  1.4. Hạng của nhóm Abel Trong luận văn này chúng tôi chuyển một số kết quả về hạng của nhóm Abel sang hạng của module trên miền các ideal chính và miền Dedekind. Sau đây là một số kết quả cơ bản được nhắc lại. 1.4.1. Độc lập và hạng. Cho S là tập khác rỗng và không chứa phần tử 0 của nhóm Abel G, S được gọi là độc lập nếu 𝑠1 , … , 𝑠𝑟 là các phần tử của S, và 𝑚1 , … , 𝑚𝑟 là các số nguyên thỏa hệ thức 𝑚1 𝑠1 + ⋯ + 𝑚𝑟 𝑠𝑟 = 0 ta sẽ suy ra được 𝑚𝑖 𝑠𝑖 = 0 ∀𝑖. Nếu S không độc lập thì hiễn nhiên ta nói S là phụ thuộc. Từ định nghĩa suy ra “Nhóm G là tổng trực tiếp của nhóm cyclic nếu và chỉ nếu nó được sinh ra bởi một tập độc lập”. Từ bổ đề Zorn’s suy ra “Mỗi tập độc lập tuyến tính của G nằm trong một tập độc lập tuyến tính tối đại”. Nếu 𝑝 nguyên tố, G là nhóm Abel thì ta gọi 𝑟𝑝 (𝐺) là lực lượng của tập độc lập tuyến tính tối đại gồm những phần tử có cấp là lũy thừa của 𝑝. Tương tự ta gọi 𝑟0 (𝐺) là lực lượng của tập độc lập tuyến tính tối đại gồm những phần tử có cấp vô hạn. Ta định nghĩa hạng của G là 𝑟(𝐺) = 𝑟0 (𝐺) + max 𝑟𝑝 (𝐺) 1.4.2. Mệnh đề (xem [5], 4.2.1) 𝑝 Nếu 𝐺 là nhóm Abel, hai tập độc lập tối đại gồm những phần tử có cấp là lũy thừa của số nguyên tố p thì có cùng lực lượng. Tương tự hai tập độc lập tối đại gồm những phần tử có cấp vô hạn cũng có cùng lực lượng. Do đó 𝑟0 (𝐺), 𝑟𝑝 (𝐺) và 𝑟(𝐺) chỉ phụ thuộc vào 𝐺. 1.4.3. Mệnh đề (xem [5], Bài tập 2, trang 102) Cho 𝐺 là nhóm Abel, H là nhóm con của G, 𝑑(𝐻) là số phần tử của tập sinh tối tiểu của 𝐻. Khi đó 𝑟(𝐺) hữu hạn khi và chỉ khi 𝑚𝑎𝑥{𝑑(𝐻)} hữu hạn (với H chạy khắp các nhóm con hữu hạn sinh của G), hơn nữa trong trường hợp này ta có 𝑟(𝐺) = 𝑚𝑎𝑥{𝑑(𝐻)}. 1.4.4. Mệnh đề (xem [5], Bài tập 3, trang 102) Cho 𝐺 là nhóm Abel hữu hạn sinh thì 𝑑(𝐺) = 𝑟(𝐺), hơn nữa 𝑑(𝐺) = 𝑟0 (𝐺) khi và chỉ khi 𝐺 không xoắn. 1.4.5. Mệnh đề (xem [5], Bài tập 4, trang 102) Cho A, B là các nhóm Abel hữu hạn sinh và B không xoắn thì ta có 𝑑(𝐴⨁𝐵) = 𝑑(𝐴) + 𝑑(𝐵) 1.4.6. Mệnh đề (xem [5], Bài tập 7, trang 102) Cho 𝐻 là nhóm con của nhóm Abel 𝐺 thì ta có i) 𝑟0 (𝐻) + 𝑟0 (𝐺/𝐻) = 𝑟0 (𝐺). ii) 𝑟𝑃 (𝐻) + 𝑟𝑃 (𝐺/𝐻) ≥ 𝑟𝑃 (𝐺). Chương 2. HẠNG CỦA MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND VÀ TRÊN MIỀN CÁC IDEAL CHÍNH Trong chương này chúng tôi xây dựng và nghiên cứu các tính chất của cấp một phần tử trong module trên miền Dedekind. Dựa vào tính chất cấp của phần tử chúng tôi xây dựng và nghiên cứu các tính chất của module cyclic và tựa cyclic trên miền Dedekind. Trên cơ sở đó chúng tôi xây dựng khái niệm hạng của một module trên miền Dedekind và miền các ideal chính, nghiên cứu các tính chất quan trọng về hạng của module trên miền Dedekind và miền các ideal chính. Trong chương này giả sử D là miền Dedekind, 𝑅 là vành giao hoán có đơn vị (nếu không có giả thiết gì thêm). 2.1. Cấp của phần tử 2.1.1. Định nghĩa cấp của một phần tử Cho 𝑀 là 𝑅-module, ta định nghĩa cấp của phần tử 𝑥 ∈ 𝑀 là 𝑂(𝑥) ≔ {𝑎 ∈ 𝑅/𝑎𝑥 = 0} Khi đó 𝑂(𝑥) là một ideal của R. Nếu 𝑂(𝑥) = 0 thì ta nói 𝑥 có cấp vô hạn. Nếu 𝑂(𝑥) ≠ 0 thì ta nói 𝑥 có cấp hữu hạn. 2.1.2. Mệnh đề Cho 𝑀 là 𝑅-module và 𝑥 ∈ 𝑀, Khi đó: 𝑂(𝑥) = 𝐴 khi và chỉ khi 𝑎𝑥 = 0, ∀𝑎 ∈ 𝐴 và nếu 𝑏𝑥 = 0 thì b ∈ 𝐴. Chứng minh.Chiều thuận của mệnh đề là hiển nhiên. Đảo lại, từ giả thiết 𝑎𝑥 = 0, ∀𝑎 ∈ 𝐴 suy ra 𝐴 ⊂ O(𝑥), Mặt khác ∀𝑏 ∈ 𝑂(𝑥), thì theo định nghĩa của 𝑂(𝑥) ta có 𝑏𝑥 = 0, từ đây theo giả thiết của mệnh đề thì 𝑏 ∈ 𝐴, do đó O(x) ⊂ 𝐴, vậy 𝑂(𝑥) = 𝐴. 2.1.3. Mệnh đề Cho M là D – module, khi đó ta có các tính chất sau i) Nếu, 𝑂(𝑥) = 𝐴 thì 𝑂(𝑏𝑥) = 𝐴 𝐴+〈𝑏〉 , ∀𝑏 ∈ 𝐷. ii) Nếu 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀, 𝑂(𝑥) = 𝐴, 𝑂(𝑦) = 𝐵, (𝐴, 𝐵) = 1 thì 𝑂(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝐵. iii) Nếu trong M các phần tử 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 có cấp là 𝐴1 , 𝐴2 , … 𝐴𝑛 thì M có chứa phần tử cấp [𝐴1 , 𝐴2 , … 𝐴𝑛 ]. Chứng minh i) Lấy 𝑐 ∈ 𝐴 𝐴+〈𝑏〉 suy ra 𝑐𝑏 ∈ đó 𝑐(𝑏𝑥) = (𝑐𝑏)𝑥 = 0. 𝐴 𝐴〈𝑏〉 𝐴+〈𝑏〉 mà 𝐴〈𝑏〉 𝐴+〈𝑏〉 ⊂ 𝐴(𝐴+〈𝑏〉) 𝐴+〈𝑏〉 = 𝐴, nên 𝑐𝑏 ∈ 𝐴 do Mặt khác nếu 𝑑(𝑏𝑥) = 0 thì 𝑑𝑏 ∈ 𝐴 suy ra 〈𝑑〉〈𝑏〉 ⋮ 𝐴 do đó 〈𝑑〉 𝐴+〈𝑏〉 mà � 〈𝑏〉 𝐴+〈𝑏〉 , 𝐴 𝐴 𝐴 � = 1 nên 〈𝑑〉 ⋮ 𝐴+〈𝑏〉 tức là 𝑑 ∈ 𝐴+〈𝑏〉 𝐴+〈𝑏〉 Vậy ta có 𝑂(𝑏𝑥) = 𝐴 𝐴+〈𝑏〉 〈𝑏〉 𝐴+〈𝑏〉 ⋮  ii) ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 ta có 𝑎𝑏(𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑏𝑦 = 0 nên 𝑐(𝑥 + 𝑦) = 0, ∀𝑐 ∈ 𝐴𝐵. Mặt khác, nếu 𝑑(𝑥 + 𝑦) = 0 thì 𝑑𝑎(𝑥 + 𝑦) = 0, ∀𝑎 ∈ 𝐴 hay 𝑑𝑎𝑦 = 0, ∀𝑎 ∈ 𝐴 suy ra 𝑑𝑎 ∈ 𝐵, ∀𝑎 ∈ 𝐴. Vì (𝐴, 𝐵) = 1 nên ∃𝑎0 ∈ 𝐴, 𝑏0 ∈ 𝐵 sao cho 𝑎0 + 𝑏0 = 1, khi đó 𝑑 = 𝑑(𝑎0 + 𝑏0 ) = 𝑑𝑎0 + 𝑑𝑏0 ∈ 𝐵, tương tự 𝑑 ∈ 𝐴, do đó 𝑑 = 𝑎0 𝑑 + 𝑑𝑏0 ∈ 𝐴𝐵 Vậy 𝑂(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝐵. iii) Ta chứng minh cho trường hợp 𝑛 = 2. Xãy ra hai trường hợp sau Trường hợp 1. Tồn tại i sao cho 𝐴𝑖 = 0 Khi đó [𝐴1 , 𝐴2 ] = 0, ta chọn 𝑥 = 𝑥𝑖 . Trường hợp 2. 𝐴𝑖 ≠ 0, ∀𝑖 ∈ {1,2}. 𝑘 ℎ 𝑙 𝑘 ℎ 𝑙 Giả sử 𝐴1 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , 𝐴2 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 . Khi đó [𝐴1 , 𝐴2 ] = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 , với 𝑙𝑖 = max{𝑘𝑖 , ℎ𝑖 } , 𝑖 ∈ {1, … , 𝑚}. Khi đó với mỗi i cố định (𝑖 ∈ {1, … , 𝑚}), không mất tính tổng quát, giả sử 𝑙𝑖 = 𝑘𝑖 . Khi đó với mỗi 𝑗 ∈ {1, … , 𝑚}\{𝑖}, ta lấy cố định phần tử 𝑎𝑗 ∈ 𝑘 𝑘 𝑃𝑗 𝑗 \𝑃𝑖 𝑖 . Đặt 𝑦𝑖 = (𝑎1 . 𝑎2 … 𝑎𝑖−1 . 𝑎𝑖+1 … 𝑎𝑚 )𝑥1 ∈ 𝑀. Ta chứng minh 𝑘 𝑂(𝑦𝑖 ) = 𝑃𝑖 𝑖 . 𝑘 𝑘𝑖−1 𝑘 𝑖+1 Ta có (𝑎1 . 𝑎2 … 𝑎𝑖−1 . 𝑎𝑖+1 … 𝑎𝑚 ) ∈ 𝑃𝑖𝑘𝑖 �𝑃1𝑘1 … 𝑃𝑖−1 . 𝑃𝑖+1 … 𝑃𝑚𝑚 � = 𝐴1 𝑘 𝑘 ∀𝑎 ∈ 𝑃𝑖 𝑖 , nên 𝑎𝑦𝑖 = 𝑎(𝑎1 . 𝑎2 … 𝑎𝑖−1 . 𝑎𝑖+1 … 𝑎𝑚 )𝑥1 = 0, ∀𝑎 ∈ 𝑃𝑖 𝑖 , Nếu 𝑏𝑦𝑖 = 0 thì 𝑏(𝑎1 . 𝑎2 … 𝑎𝑖−1 . 𝑎𝑖+1 … 𝑎𝑚 ) ∈ 𝐴1 , do đó 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 (𝑏𝑎1 . 𝑎2 … 𝑎𝑖−1 . 𝑎𝑖+1 … 𝑎𝑚 ) ≥ 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 𝐴1 = 𝑘𝑖 , vì 𝑎𝑗 ∉ 𝑃𝑖 , ∀𝑗 ≠ 𝑖 nên 𝑘 suy ra 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 (𝑏) ≥ 𝑘𝑖 = 𝑜𝑟𝑑𝑃𝑖 �𝑃𝑖 𝑖 �. Mặt khác ∀𝑃 ≠ 𝑃𝑖 , thì 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝑏) ≥ 0 = 𝑘 𝑘 𝑘 𝑜𝑟𝑑𝑃 �𝑃𝑖 𝑖 �. Vậy ta có 𝑜𝑟𝑑𝑃 (𝑏) ≥ 𝑜𝑟𝑑𝑃 �𝑃𝑖 𝑖 �, ∀𝑃 nên 𝑏 ∈ 𝑃𝑖 𝑖 . 𝑘 𝑙 Vậy 𝑂(𝑦𝑖 ) = 𝑃𝑖 𝑖 = 𝑃𝑖 𝑖 . 𝑙 𝑙 Đặt 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑚 . Theo (ii) thì 𝑂(𝑦) = 𝑃1 1 … 𝑃𝑚𝑚 = [𝐴1 𝐴2 ] Trong trường hợp n tổng quát, ta chứng minh (iii) bằng quy nạp.  2.1.4. Định nghĩa thành phần P-nguyên sơ Cho D – module M và P là ideal nguyên tố của D, ta định nghĩa thành phần P-nguyên sơ của M là tập 𝑀𝑃 = {𝑥 ∈ 𝑀|𝑥 có cấp là lũy thừa của 𝑃}. Khi đó 𝑀𝑃 là module con của M, thật vậy: Ta có 0 ∈ 𝑀𝑃 . Xét 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀𝑃 , với 𝑂(𝑥1 ) = 𝑃𝑟 , 𝑂(𝑥2 ) = 𝑃 𝑠 , đặt 𝑘 = max{𝑟, 𝑠}. Khi đó ∀𝑎 ∈ 𝑃𝑘 ta có 𝑎(𝑥1 + 𝑥2 ) = 𝑎𝑥1 + 𝑎𝑥2 = 0 suy ra 𝑎 ∈ 𝑂(𝑥1 + 𝑥2 ) nên 𝑃 𝑘 ⊂ 𝑂(𝑥1 + 𝑥2 ) do đó 𝑂(𝑥1 + 𝑥2 ) = 𝑃𝑙 , với 0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘, vậy 𝑥1 + 𝑥2 ∈ 𝑀𝑃 . Xét 𝑎 ∈ 𝐷, 𝑥 ∈ 𝑀𝑃 , 𝑂(𝑥) = 𝑃𝑡 , khi đó ∀𝑏 ∈ 𝑃 𝑡 ta có 𝑏(𝑎𝑥) = 𝑎(𝑏𝑥) = 0 suy ra 𝑏 ∈ 𝑂(𝑎𝑥) nên 𝑃𝑡 ⊂ 𝑂(𝑎𝑥) do đó 𝑂(𝑎𝑥) = 𝑃𝑢 , với 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑡, vậy 𝑎𝑥 ∈ 𝑀𝑃 .  2.1.5. Định nghĩa module P-nguyên sơ D-module M được gọi là D-module P-nguyên sơ nếu 𝑀 = 𝑀𝑃 , nói cách khác M được gọi là D-module P-nguyên sơ nếu mỗi phần tử của M đều có cấp là lũy thừa của P. 2.1.6. Định nghĩa phần xoắn Cho D-module M, ta gọi tập 𝑀𝑇 = {𝑥 ∈ 𝑀|𝑥 có cấp hữu hạn} là phần xoắn của M. Khi đó 𝑀𝑇 là module con của M, thật vậy: Ta có 0 ∈ 𝑀𝑇 . Xét 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀𝑇 , vì 𝑂(𝑥1 ) ≠ 0, 𝑂(𝑥2 ) ≠ 0, nên tồn tại 𝑎1 ∈ 𝑂(𝑥1 )\{0} và 𝑎2 ∈ 𝑂(𝑥2 )\{0} . Khi đó ta có 𝑎1 𝑎2 ≠ 0 và 𝑎1 𝑎2 (𝑥1 + 𝑥2 ) = 𝑎𝑥1 + 𝑎𝑥2 = 0 suy ra 𝑎1 𝑎2 ∈ 𝑂(𝑥1 + 𝑥2 ) nên 𝑂(𝑥1 + 𝑥2 ) ≠ 0 hay 𝑥1 + 𝑥2 ∈ 𝑀𝑇 . Xét 𝑎 ∈ 𝐷, 𝑥 ∈ 𝑀𝑇 , vì 𝑂(𝑥) ≠ 0, nên tồn tại 𝑏 ∈ 𝑂(𝑥)\{0} khi đó ta có 𝑏(𝑎𝑥) = 𝑎(𝑏𝑥) = 0 suy ra 𝑏 ∈ 𝑂(𝑎𝑥) nên 𝑂(𝑎𝑥) ≠ 0 hay 𝑎𝑥 ∈ 𝑀𝑇 .  2.1.7. Định nghĩa module xoắn và không xoắn M được gọi là module xoắn nếu 𝑀 = 𝑀𝑇 . Nói cách khác M là module xoắn nếu mọi phần tử của M đều có cấp hữu hạn. M được gọi là module không xoắn nếu 𝑀𝑇 = 0. Nói cách khác M là module không xoắn nếu mọi phần tử của M đều có cấp vô hạn. 2.1.8. Mệnh đề Cho D-module M và 𝑀𝑇 là phần xoắn của M. Khi đó module thương 𝑀/𝑀𝑇 là D-module không xoắn. Chứng minh. Giả sử 𝑀/𝑀𝑇 không là module không xoắn, khi đó tồn tại 𝑥̅ = 𝑥 + 𝑀𝑇 ∈ 𝑀/𝑀𝑇 sao cho 𝑥̅ ≠ 0� và 𝑂(𝑥̅ ) ≠ 0 tức là tồn tại 𝑎 ∈ 𝑂(𝑥̅ )\{0} suy ra 𝑎𝑥̅ = 0� hay 𝑎𝑥 ∈ 𝑀𝑇 do đó 𝑂(𝑎𝑥) ≠ 0 nên tồn tại 𝑏 ∈ 𝑂(𝑎𝑥)\{0} khi đó 𝑏𝑎𝑥 = 0 tức là 𝑎𝑏 ∈ 𝑂(𝑥), 𝑎𝑏 ≠ 0 vậy 𝑥 ∈ 𝑀𝑇 hay 𝑥̅ = 0� điều này mâu thuẩn với cách chọn x. Vậy M�M là module không xoắn.  T 2.1.9. Mệnh đề Cho D-module M. Khi đó phần xoắn 𝑀𝑇 là tổng trực tiếp của các thành phần P-nguyên sơ của M. Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh 𝑀𝑇 = � 𝑃 nguyên tố 𝑀𝑃 Với 𝑥 ∈ 𝑀𝑇 \{0} ta có 𝑂(𝑥) ≠ 0, mà D là miền Dedekind nên ta có thể 𝑒 𝑒 viết 𝑂(𝑥) = 𝑃1 1 … 𝑃𝑛 𝑛 , 𝑒1 > 0. 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 𝑖−1 𝑖+1 Với mỗi 𝑖 = 1, … , 𝑛 đặt 𝐴𝑖 = 𝑃1 1 … 𝑃𝑖−1 . 𝑃𝑖+1 … 𝑃𝑛 𝑛 . Khi đó (𝐴1 , … , 𝐴𝑛 ) = 1 nên tồn tại 𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 sao cho 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 1. Cho nên 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 𝑥 = (𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 )𝑥 = � 𝑎𝑖 𝑥 = � 𝑥𝑖 𝑒 với 𝑥𝑖 = 𝑎𝑖 𝑥 là phần tử thuộc 𝑀𝑃𝑖 . Thật vậy, nếu 𝑏 ∈ 𝑃𝑖 𝑖 thì 𝑏𝑎𝑖 ∈ 𝑂(𝑥) do 𝑒 đó 𝑏𝑥𝑖 = 𝑏𝑎𝑖 𝑥 = 0 hay 𝑏 ∈ 𝑂(𝑥𝑖 ). Vậy 𝑃𝑖 𝑖 ⊂ 𝑂(𝑥𝑖 ) nên 𝑂(𝑥𝑖 ) = 𝑃𝑖𝑡 , với 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑒𝑖 , do đó ta có 𝑥𝑖 ∈ 𝑀𝑃𝑖 , ∀𝑖 = 1, … , 𝑛. Từ đó ta có 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 𝑥 = � 𝑥𝑖 ∈ � 𝑀𝑃𝑖 Vậy 𝑀𝑇 là tổng các thành phần p-nguyên sơ của M. Tiếp theo ta chứng minh Thật vậy với 𝑀𝑃 ∩ �� 𝑀𝑄 � = {0} 𝑄≠𝑃 𝑥 ∈ 𝑀𝑃 ∩ �� 𝑀𝑄 � 𝑄≠𝑃 ta có 𝑥 ∈ 𝑀𝑃 nên tồn tại số nguyên dương m sao cho 𝑂(𝑥) = 𝑃𝑚 . Mặt khác 𝑥 ∈ � 𝑀𝑄 𝑄≠𝑃 𝑚 nên ta có thể viết 𝑥 = 𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑛 với 𝑥𝑖 ∈ 𝑀𝑄𝑖 , 𝑂(𝑥𝑖 ) = 𝑄𝑖 𝑖 với 𝑄𝑖 là các 𝑚 𝑚 ideal nguyên tố khác nhau. Ta có 𝑂(𝑥) = 𝑂(𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑛 ) = 𝑄1 1 … 𝑄𝑛 𝑛 . Vì 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 �𝑄1 1 … 𝑄𝑛 𝑛 , 𝑃𝑚 � = 1 nên tồn tại 𝑎 ∈ 𝑄1 1 … 𝑄𝑛 𝑛 , và 𝑏 ∈ 𝑃𝑚 sao cho 𝑎 + 𝑏 = 1. Khi đó 𝑥 = (𝑎 + 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 0, suy ra Vậy ta có 𝑀𝑃 ∩ �� 𝑀𝑄 � = {0} 𝑄≠𝑃 𝑀𝑇 = ⨁𝑃 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑡ố 𝑀𝑃 
- Xem thêm -